湘教版数学九年级上册同步训练《4.4 解直角三角形的应用》
一、单选题
1．（2021·温州）图1是第七届国际数学教育大会（ICME）的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形 .若 . ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·章丘模拟）保利观澜旁边有一望江公园，公园里有一文峰塔，工程人员在与塔底中心的 同一水平线的 处，测得 米，沿坡度 的斜坡 走到 点，测得塔顶 仰角为37°，再沿水平方向走20米到 处，测得塔顶 的仰角为22°，则塔高 为（ ）米．（结果精确到十分位）（ ， ， ， ， ， ）
A．18.3米 B．19.3米 C．20米 D．21.2米
3．（2021·湖北模拟）如图，我市在建的鄂咸高速太和新城段路基的横断面为梯形ABCD，DC∥AB，斜坡AD长为8米，坡角α为30°，斜坡BC的坡角β为45°，则斜坡BC的长为（ ）
A．6米 B． 米 C．4米 D． 米
4．（2021·曾都模拟）如图，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为30°，看这栋楼底部C处的俯角为60°，热气球A处与楼的水平距离为 ，则这栋楼的高度为（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·柳州模拟）在一次夏令营活动中，小明同学从营地A出发，要到A地的北偏东60°方向的C处，他先沿正东方向走了200 m到达B地，再沿B地北偏东30°方向走，恰好到达目的地C处，那么，由此可知，B，C两地相距（ ）
A．200 m B．150 m C．100 m D．250 m
6．（2021·香坊模拟）如图，一渔船以32海里/时的速度向正北航行，在A处看到灯塔S在渔船的北偏东30°，半小时后航行到B处看到灯塔S在船的北偏东60°，若渔船继续向正北航行到C处时，此时渔船在灯塔S的正西方向，此时灯塔S与渔船的距离（ ）
A．16海里 B．18海里 C．8海里 D．8 海里
7．（2021·邯郸模拟）如图是某厂家新开发的一款摩托车，它的大灯射出的光线 ， 与地面 的夹角分别为8°和10°，该大灯照亮地面的宽度 的长为3.5米，则该大灯距地面的高度为（ ）
（参考数据： ， ， ， ）
A．3.5米 B．2.5米 C．4.5米 D．5.5米
8．（2021·淮南模拟）如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东 方向，距离灯塔40海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的正东方向上的B处，这时，B处与灯塔P的距离BP的长可以表示为（ ）
A．40海里 B． 海里
C． 海里 D． 海里
9．（2021·南关模拟）如图，在 岛周围20海里水域有暗礁，一艘轮船由西向东航行到 处时，发现岛在北偏东64°的方向且与轮船相距52海里．若该轮船不改变航向，为航行安全，需要计算 到 的距离 ．下列算法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2021·沙坪坝模拟）某数学兴趣小组在歌乐山森林公园借助无人机测量某山峰的垂直高度AB.如图所示，无人机在地面BC上方120米的D处测得山顶A的仰角为22°，测得山脚C的俯角为63.5°.已知AC的坡度为1：0.75，点A，B，C，D在同一平面内，则山峰的垂直高度AB约为（ ）
（参考数据：sin63.5°≈0.89，tan63.5°≈2.00，sin22°≈0.37，tan22°≈0.40）
A．141.4米 B．188.6米 C．205.7米 D．308.6米
二、填空题
11．（2021·娄底）高速公路上有一种标线叫纵向减速标线，外号叫鱼骨线，作用是为了提醒驾驶员在开车时减速慢行.如图，用平行四边形 表示一个“鱼骨”， 平行于车辆前行方向， ，过B作 的垂线，垂足为 （A点的视觉错觉点），若 ，则 .
12．（2021·遵义）小明用一块含有60°（∠DAE＝60°）的直角三角尺测量校园内某棵树的高度，示意图如图所示，若小明的眼睛与地面之间的垂直高度AB为1.62m，小明与树之间的水平距离BC为4m，则这棵树的高度约为 m.（结果精确到0.1m，参考数据： 1.73）
13．（2021·黄冈）如图，建筑物 上有一高为 的旗杆 ，从D处观测旗杆顶部A的仰角为 ，观测旗杆底部B的仰角为 ，则建筑物 的高约为 （结果保留小数点后一位）.（参考数据 ， ， ）
14．（2021·乐山）如图，为了测量“四川大渡河峡谷”石碑的高度，佳佳在点C处测得石碑顶A点的仰角为 ，她朝石碑前行5米到达点D处，又测得石顶A点的仰角为 ，那么石碑的高度 的长 米.（结果保留根号）
15．（2021·山西）太原地铁2号线是山西省第一条开通运营的地铁线路，于2020年12月26日开通．如图是该地铁某站扶梯的示意图，扶梯 的坡度 （ 为铅直高度与水平宽度的比）．王老师乘扶梯从扶梯底端 以0.5米/秒的速度用时40秒到达扶梯顶端 ，则王老师上升的铅直高度 为 米．
16．（2021·三台模拟）如图是某商场营业大厅自动扶梯示意图.自动扶梯 的倾斜角为 ，在自动扶梯下方地面 处测得扶梯顶端 的仰角为 ， 、 之间的距离为4 . 则自动扶梯的垂直高度 = .（结果保留根号）
三、解答题
17．（2021·宿迁）一架无人机沿水平直线飞行进行测绘工作，在点P处测得正前方水平地面上某建筑物AB的顶端A的俯角为30°，面向AB方向继续飞行5米，测得该建筑物底端B的俯角为45°，已知建筑物AB的高为3米，求无人机飞行的高度(结果精确到1米，参考数据： 1.414， =1.732).
18．（2021·成都）越来越多太阳能路灯的使用，既点亮了城市的风景，也是我市积极落实节能环保的举措.某校学生开展综合实践活动，测量太阳能路灯电池板离地面的高度.如图，已知测倾器的高度为1.6米，在测点A处安置测倾器，测得点M的仰角 ，在与点A相距3.5米的测点D处安置测倾器，测得点M的仰角 （点A，D与N在一条直线上），求电池板离地面的高度 的长.（结果精确到1米；参考数据： ）
19．（2021·武威）如图1是平凉市地标建筑“大明宝塔”，始建于明嘉靖十四年（1535年），是明代平凉韩王府延恩寺的主体建筑.宝塔建造工艺精湛，与崆峒山的凌空塔遥相呼应，被誉为平凉古塔“双璧”.某数学兴趣小组开展了测量“大明宝塔的高度”的实践活动，具体过程如下：
方案设计：如图2，宝塔 垂直于地面，在地面上选取 两处分别测得 和 的度数（ 在同一条直线上）.
数据收集：通过实地测量：地面上 两点的距离为 .
问题解决：求宝塔 的高度（结果保留一位小数）.
参考数据： ， .
根据上述方案及数据，请你完成求解过程.
20．（2021·岳阳）某镇为创建特色小镇，助力乡村振兴，决定在辖区的一条河上修建一座步行观光桥，如图，该河旁有一座小山，山高 ，坡面 的坡度 （注：从山顶 处测得河岸 和对岸 的俯角分别为 ， .
（参考数据： ， ， ）
（1）求山脚 到河岸 的距离；
（2）若在此处建桥，试求河宽 的长度.（结果精确到 ）
21．（2021·凉山）王刚同学在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识测量河对岸大树AB的高度，他在点C处测得大树顶端A的仰角为 ，再从C点出发沿斜坡走 米到达斜坡上D点，在点D处测得树顶端A的仰角为 ，若斜坡CF的坡比为 （点 在同一水平线上）.
（1）求王刚同学从点C到点D的过程中上升的高度；
（2）求大树AB的高度（结果保留根号）.
22．（2021·绍兴）拓展小组研制的智能操作机器人，如图1，水平操作台为l，底座AB固定，高AB为50cm，连杆BC长度为70cm，手臂CD长度为60cm.点B，C是转动点，且AB，BC与CD始终在同一平面内，
（1）转动连杆BC，手臂CD，使 ， ，如图2，求手臂端点D离操作台 的高度DE的长（精确到1cm，参考数据： ， ）.
（2）物品在操作台 上，距离底座A端110cm的点M处，转动连杆BC，手臂CD，手臂端点D能否碰到点M？请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】勾股定理的应用；解直角三角形的应用
【解析】【解答】∵在 中， ，
∴
在 中， ，
故答案为：A.
【分析】在 中，利用正弦三角函数定义求出OB，然后在 中，根据勾股定理求OC2即可.
2．【答案】B
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】如图所示，作BG⊥DA延长线于点G，作BF⊥ED于点F，四边形BFDG为矩形，
∵斜坡 的坡度 ，
∴ ，
则设 ， ，
∴ ， ， ，
在 中，∠EBF=37°，
∴ ， ，
在 中，∠ECF=22°，
∴ ，
即： ，
解得： ，
经检验， 是上述分式方程的解，
∴ ，
故答案为：B．
【分析】作BG⊥DA延长线于点G，作BF⊥ED于点F，四边形BFDG为矩形，在 中，∠EBF=37°，在 中，∠ECF=22°，即： ，解的x的值，检验即可。
3．【答案】D
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【解答】解：分别作DE⊥AB于点E，CF⊥AB于点F，
∵DC∥AB，
∴ ，
在Rt△ADE中，
∵ AD = 8米，坡角α =30°，
DE = ADsinα = 8sin30° = 4米；
在Rt△ADE中，
坡BC的坡角β = 45°，
∴ .
【分析】做辅助线DE⊥AB于点E，CF⊥AB于点F，构建出两对直角三角形，根据已知条件分别用三角函数解这两个三角形，即可的出本题答案.
4．【答案】C
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：过A点作AD⊥BC，垂足为D，由题意可得，
AD⊥BC，AD＝30m，∠BAD＝30°，∠DAC＝60°，
∴BD＝AD tan30°＝30 10 （m），CD＝AD tan60°＝30 30 （m），
∴BC＝BD+CD＝10 30 40 （m），
故答案为：C.
【分析】过A点作AD⊥BC，垂足为D根据题目中的数据和锐角三角函数，可以求得BD和CD的长从而可以得到BC的长.
5．【答案】A
【知识点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【解答】解：根据题意可作出图形，如图：
由图可知 ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰三角形，
∴ 米.
故答案为：A.
【分析】根据题意作出图形，再根据方位角即可判定 是等腰三角形，即可求出 米.
6．【答案】D
【知识点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【解答】解：由题意得，AB＝32 16（海里），∠ACS＝90°，
∵∠A＝30°，∠CBS＝60°，
∴∠ASB＝∠CBS﹣∠A＝30°，
∴∠ASB＝∠A，
∴BS＝AB＝16（海里），
在Rt△CBS中，sin∠CBS ，
∴CS＝BS sin∠CBS＝16 （海里），
故答案为：D．
【分析】先求出∠ASB＝∠A，再利用锐角三角函数计算求解即可。
7．【答案】B
【知识点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：过点A作AD⊥MN于点D，如图所示：
在Rt△ADB与Rt△ACD中，tan∠ABD= ＝tan8°≈ ，
tan∠ACD＝ ＝tan10°≈ ，
∴BD≈7AD，CD≈ AD，
∵BD CD＝BC，
∴7AD AD＝3.5，
解得：AD＝2.5，
即该大灯距地面的高度2.5米，
故答案为：B．
【分析】根据题意构造直角三角形，利用锐角三角函数即可解题。
8．【答案】D
【知识点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【解答】∵一艘海轮位于灯塔P的南偏东37°方向，
∴∠BAP=37°，
∵AP=40海里，
∴BP=AP sin37°=40sin37°海里；
故答案为：D．
【分析】由题意可得∠BAP=37°，根据BP=AP sin∠BAP即可求出结论.
9．【答案】A
【知识点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【解答】解：由题意可得∠CAO=64°，
∴cos∠CAO= ，
即cos64°= ，
∴AC=52cos64°．
故答案为：A．
【分析】先求出∠CAO的度数，再通过解直角三角形求解。
10．【答案】C
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】如图，过点D作DE⊥AB，垂足为E，DF⊥BC，交BC的延长线于点F，
∵BC⊥AB，
∴四边形DFBE是矩形，
∴DF=BE=120，DE=FB，∠EDC=∠DCF=63.5°，
设AE=x，则AB=x+120，
∵tan∠ADE= ，
∴tan22°= ，
∴DE= x，
∵tan∠DCF= ，
∴tan63.5°= ，
∴FC=60，
∵AC的坡度为1：0.75，
∴tan∠ACB= =1：0.75，
∴CB= x+90，
∵FC+BC=FB=DE，
∴60+ x+90= x，
解得x=85.7，
∴AB=x+120=205.7，
故答案为：C.
【分析】过点D作DE⊥AB，垂足为E，DF⊥BC，交BC的延长线于点F，设AE=x，得出AB=x+120，根据锐角三角函数的定义求出DE= x，FC=60，再根据AC的坡度为1：0.75，得出CB= x+90，利用FC+BC=FB=DE，得出方程60+ x+90= x，解方程求出x的值，即可求出AB的值.
11．【答案】15
【知识点】平行四边形的性质；解直角三角形的应用
【解析】【解答】解：如图所示，
∵ 且四边形 为平行四边形，
∴ ， ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ mm.
故答案为：15.
【分析】根据平行四边形的性质，可求出，由于，即可求出结论.
12．【答案】8.5
【知识点】矩形的性质；解直角三角形的应用
【解析】【解答】解：∵AB⊥BC，DC⊥BC，AD∥BC，
∴四边形ABCD是矩形，
∵BC＝4m，AB＝1.62m，
∴AD＝BC＝4m，DC＝AB＝1.62m，
在Rt△AED中，
∵∠DAE＝60°，AD＝4m，
∴DE＝AD tan60°＝4× ＝4 （m），
∴CE＝ED+DC＝4 +1.62≈8.5（m）
答：这棵树的高度约为8.5m.
故答案为：8.5.
【分析】易证四边形ABCD是矩形，利用矩形的性质可求出AD，DC的长，在Rt△AED中，利用解直角三角形求出DE的长，然后根据CE＝ED+DC，可求出CE的长.
13．【答案】24.2
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：由题意得： ，
是等腰直角三角形，
，
设 ，则 ，
在 中， ，即 ，
解得 ，经检验，是所列分式方程的解，且符合题意，
即建筑物 的高约为 ，
故答案为：24.2.
【分析】利用已知条件可知△BCD是等腰直角三角形，可得到BC=CD=x，可表示出AC的长；再在Rt△ACD中，利用解直角三角形，可建立关于x的方程，解方程求出x的值，即可得到BC的长.
14．【答案】
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：由题意可知：∠A=30°，∠ADB=60°
∴∠CAD=30°
∴△ADC是等腰三角形，
∴DA=DC又DC=5米
故AD=5米
在Rt△ADB中，∠ADB=60°
∴AB=sin60°×AD= 米
故答案为：
【分析】利用已知条件可得到△ADC是等腰三角形，可求出AD的长，在Rt△ADB中，利用解直角三角形可得到AB=sin60°×AD，代入计算求出AB的长.
15．【答案】
【知识点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：∵ 的坡度 ，
．
∴ ，
∵ 米，
∴ ，
解得： ，
故答案为： ．
【分析】根据坡度比，列出比例式求解即可。
16．【答案】
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【解答】∵∠BAC+∠ABC=∠BCD=60°，∠BAC=30°，
∴∠ABC=30°，
∴∠ABC=∠BAC，
∴BC=AC=4，
在Rt△BCD中，BD=BCsin60°=4× = ，
故答案为： .
【分析】先推出∠ABC=∠BAC，得BC=AC=4，然后利用三角函数即可得出答案.
17．【答案】解：如图，延长PQ，BA，相交于点E，
由题意可得：AB⊥PQ，∠E＝90°，
又∵∠BQE＝45°，
∴BE＝QE，
设BE＝QE＝x，
∵PQ＝5，AB＝3，
∴PE＝x＋5，AE＝x－3，
∵∠E＝90°，
∴sin∠APE＝ ，
∵∠APE＝30°，
∴tan30°＝ ，
解得：x＝ ≈14，
答：无人机飞行的高度约为14米.
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】 延长PQ，BA，相交于点E， 由 ∠BQE＝45° 可得 BE＝QE，设BE＝QE＝x， 可得PE=5+x，AE=x-3，由∠APE＝30°，可得 tan30°＝ 可得结果.
18．【答案】解：过E作EF⊥MN于F，连接EB，设MF=x米，
∵∠EFN=∠FND=∠EDN=∠A=90°，
∴四边形FNDE，四边形FNAB均是矩形，
∴FN=ED=AB=1.6米，AD=BE=3.5米，
∵∠MEF=45°，∠EFM=90°，
∴MF=EF=x，
∴FB=FE+EB=x+3.5，
∴tan∠MBF= ，
∴解得 米，
经检验 米符合题意，
∴MN=MF+FN=6.5+1.6=8.1≈8米.
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】过E作EF⊥MN于F，连接EB，设MF=x米，结合已知可知四边形FNDE，四边形FNAB均是矩形，由矩形的性质可得FN=ED=AB，AD=BE；由等腰直角三角形的性质得MF=EF=x，由线段的构成FB=FE+EB可将FB用含x的代数式表示出来，根据锐角三角函数tan∠MBF=可得关于x的方程，解方程求得x的值，再根据线段的构成MN=MF+FN可求解.
19．【答案】解： 设 ，
在 中， ，
在 中， ，
，
解得， .
答：宝塔的高度约为
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【分析】 设 ，在中，求出， 在 中， 求出，根据AD+BD=AB，列出方程求解即可.
20．【答案】（1）解：∵ ，坡面 的坡度 ，
∴ m，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴山脚 到河岸 的距离为24m
（2）解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴河宽 的长度约为53.3m
【知识点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）根据AB的坡度求出CA，由∠CBE=∠BEC=45°，可得CE=CB=80m，利用AE=CE-CA计算即得结论；
（2）根据平行线的性质得出∠BFC=∠DBF=31°，从而求出，利用EF=CF-CE计算即得结论.
21．【答案】（1）解：过D作DH⊥CE于H，如图所示：
在Rt△CDH中， ，
∴CH=3DH，
∵CH2+DH2=CD2，
∴（3DH）2+DH2=（ ）2，
解得：DH=2或-2（舍），
∴王刚同学从点C到点D的过程中上升的高度为2米
（2）解：延长AD交CE于点G，设AB=x米，
由题意得，∠AGC=30°，
∴GH= = = ，
∵CH=3DH=6，
∴GC=GH+CH= +6，
在Rt△BAC中，∠ACB=45°，
∴AB=BC，
∴tan∠AGB= ，
解得：AB= ，
即大树AB的高度为 米
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）过D作DH⊥CE于H，在Rt△CDH中，根据斜坡CF的坡比为 可得CH=3DH，用勾股定理可得关于DH的方程，解方程可求得DH的值；
（2）延长AD交CE于点G，设AB=x米，根据锐角三角函数tan∠AGC=可求得GH的值；由线段的构成GC=GH+CH可求得GC的值；在Rt△BAC中，根据锐角三角函数tan∠AGB=可求得大树AB的高度.
22．【答案】（1）解：过点C作 于点P，
过点B作 于点Q，如图1，
，
，
在 中， ， .
，
.
∴手臂端点D离操作台 l 的高度DE的长为106cm.
（2）解：能.
理由：当点B，C，D共线时，如图2，
， ，
在 中， ，
.
手臂端点D能碰到点M
【知识点】勾股定理的应用；解直角三角形的应用
【解析】【分析】（1） 过点C作 于点P，先求出∠CBQ的度数， 在 中， 利用三角函数定义求出CQ，然后根据线段间的关系求出DE即可；
（2） 当点B，C，D共线时， 手臂达到最长， 在 中， 利用勾股定理求出AD，然后比较即可判断.
1 / 1湘教版数学九年级上册同步训练《4.4 解直角三角形的应用》
一、单选题
1．（2021·温州）图1是第七届国际数学教育大会（ICME）的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形 .若 . ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理的应用；解直角三角形的应用
【解析】【解答】∵在 中， ，
∴
在 中， ，
故答案为：A.
【分析】在 中，利用正弦三角函数定义求出OB，然后在 中，根据勾股定理求OC2即可.
2．（2021·章丘模拟）保利观澜旁边有一望江公园，公园里有一文峰塔，工程人员在与塔底中心的 同一水平线的 处，测得 米，沿坡度 的斜坡 走到 点，测得塔顶 仰角为37°，再沿水平方向走20米到 处，测得塔顶 的仰角为22°，则塔高 为（ ）米．（结果精确到十分位）（ ， ， ， ， ， ）
A．18.3米 B．19.3米 C．20米 D．21.2米
【答案】B
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】如图所示，作BG⊥DA延长线于点G，作BF⊥ED于点F，四边形BFDG为矩形，
∵斜坡 的坡度 ，
∴ ，
则设 ， ，
∴ ， ， ，
在 中，∠EBF=37°，
∴ ， ，
在 中，∠ECF=22°，
∴ ，
即： ，
解得： ，
经检验， 是上述分式方程的解，
∴ ，
故答案为：B．
【分析】作BG⊥DA延长线于点G，作BF⊥ED于点F，四边形BFDG为矩形，在 中，∠EBF=37°，在 中，∠ECF=22°，即： ，解的x的值，检验即可。
3．（2021·湖北模拟）如图，我市在建的鄂咸高速太和新城段路基的横断面为梯形ABCD，DC∥AB，斜坡AD长为8米，坡角α为30°，斜坡BC的坡角β为45°，则斜坡BC的长为（ ）
A．6米 B． 米 C．4米 D． 米
【答案】D
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【解答】解：分别作DE⊥AB于点E，CF⊥AB于点F，
∵DC∥AB，
∴ ，
在Rt△ADE中，
∵ AD = 8米，坡角α =30°，
DE = ADsinα = 8sin30° = 4米；
在Rt△ADE中，
坡BC的坡角β = 45°，
∴ .
【分析】做辅助线DE⊥AB于点E，CF⊥AB于点F，构建出两对直角三角形，根据已知条件分别用三角函数解这两个三角形，即可的出本题答案.
4．（2021·曾都模拟）如图，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为30°，看这栋楼底部C处的俯角为60°，热气球A处与楼的水平距离为 ，则这栋楼的高度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：过A点作AD⊥BC，垂足为D，由题意可得，
AD⊥BC，AD＝30m，∠BAD＝30°，∠DAC＝60°，
∴BD＝AD tan30°＝30 10 （m），CD＝AD tan60°＝30 30 （m），
∴BC＝BD+CD＝10 30 40 （m），
故答案为：C.
【分析】过A点作AD⊥BC，垂足为D根据题目中的数据和锐角三角函数，可以求得BD和CD的长从而可以得到BC的长.
5．（2021·柳州模拟）在一次夏令营活动中，小明同学从营地A出发，要到A地的北偏东60°方向的C处，他先沿正东方向走了200 m到达B地，再沿B地北偏东30°方向走，恰好到达目的地C处，那么，由此可知，B，C两地相距（ ）
A．200 m B．150 m C．100 m D．250 m
【答案】A
【知识点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【解答】解：根据题意可作出图形，如图：
由图可知 ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰三角形，
∴ 米.
故答案为：A.
【分析】根据题意作出图形，再根据方位角即可判定 是等腰三角形，即可求出 米.
6．（2021·香坊模拟）如图，一渔船以32海里/时的速度向正北航行，在A处看到灯塔S在渔船的北偏东30°，半小时后航行到B处看到灯塔S在船的北偏东60°，若渔船继续向正北航行到C处时，此时渔船在灯塔S的正西方向，此时灯塔S与渔船的距离（ ）
A．16海里 B．18海里 C．8海里 D．8 海里
【答案】D
【知识点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【解答】解：由题意得，AB＝32 16（海里），∠ACS＝90°，
∵∠A＝30°，∠CBS＝60°，
∴∠ASB＝∠CBS﹣∠A＝30°，
∴∠ASB＝∠A，
∴BS＝AB＝16（海里），
在Rt△CBS中，sin∠CBS ，
∴CS＝BS sin∠CBS＝16 （海里），
故答案为：D．
【分析】先求出∠ASB＝∠A，再利用锐角三角函数计算求解即可。
7．（2021·邯郸模拟）如图是某厂家新开发的一款摩托车，它的大灯射出的光线 ， 与地面 的夹角分别为8°和10°，该大灯照亮地面的宽度 的长为3.5米，则该大灯距地面的高度为（ ）
（参考数据： ， ， ， ）
A．3.5米 B．2.5米 C．4.5米 D．5.5米
【答案】B
【知识点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：过点A作AD⊥MN于点D，如图所示：
在Rt△ADB与Rt△ACD中，tan∠ABD= ＝tan8°≈ ，
tan∠ACD＝ ＝tan10°≈ ，
∴BD≈7AD，CD≈ AD，
∵BD CD＝BC，
∴7AD AD＝3.5，
解得：AD＝2.5，
即该大灯距地面的高度2.5米，
故答案为：B．
【分析】根据题意构造直角三角形，利用锐角三角函数即可解题。
8．（2021·淮南模拟）如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东 方向，距离灯塔40海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的正东方向上的B处，这时，B处与灯塔P的距离BP的长可以表示为（ ）
A．40海里 B． 海里
C． 海里 D． 海里
【答案】D
【知识点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【解答】∵一艘海轮位于灯塔P的南偏东37°方向，
∴∠BAP=37°，
∵AP=40海里，
∴BP=AP sin37°=40sin37°海里；
故答案为：D．
【分析】由题意可得∠BAP=37°，根据BP=AP sin∠BAP即可求出结论.
9．（2021·南关模拟）如图，在 岛周围20海里水域有暗礁，一艘轮船由西向东航行到 处时，发现岛在北偏东64°的方向且与轮船相距52海里．若该轮船不改变航向，为航行安全，需要计算 到 的距离 ．下列算法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【解答】解：由题意可得∠CAO=64°，
∴cos∠CAO= ，
即cos64°= ，
∴AC=52cos64°．
故答案为：A．
【分析】先求出∠CAO的度数，再通过解直角三角形求解。
10．（2021·沙坪坝模拟）某数学兴趣小组在歌乐山森林公园借助无人机测量某山峰的垂直高度AB.如图所示，无人机在地面BC上方120米的D处测得山顶A的仰角为22°，测得山脚C的俯角为63.5°.已知AC的坡度为1：0.75，点A，B，C，D在同一平面内，则山峰的垂直高度AB约为（ ）
（参考数据：sin63.5°≈0.89，tan63.5°≈2.00，sin22°≈0.37，tan22°≈0.40）
A．141.4米 B．188.6米 C．205.7米 D．308.6米
【答案】C
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】如图，过点D作DE⊥AB，垂足为E，DF⊥BC，交BC的延长线于点F，
∵BC⊥AB，
∴四边形DFBE是矩形，
∴DF=BE=120，DE=FB，∠EDC=∠DCF=63.5°，
设AE=x，则AB=x+120，
∵tan∠ADE= ，
∴tan22°= ，
∴DE= x，
∵tan∠DCF= ，
∴tan63.5°= ，
∴FC=60，
∵AC的坡度为1：0.75，
∴tan∠ACB= =1：0.75，
∴CB= x+90，
∵FC+BC=FB=DE，
∴60+ x+90= x，
解得x=85.7，
∴AB=x+120=205.7，
故答案为：C.
【分析】过点D作DE⊥AB，垂足为E，DF⊥BC，交BC的延长线于点F，设AE=x，得出AB=x+120，根据锐角三角函数的定义求出DE= x，FC=60，再根据AC的坡度为1：0.75，得出CB= x+90，利用FC+BC=FB=DE，得出方程60+ x+90= x，解方程求出x的值，即可求出AB的值.
二、填空题
11．（2021·娄底）高速公路上有一种标线叫纵向减速标线，外号叫鱼骨线，作用是为了提醒驾驶员在开车时减速慢行.如图，用平行四边形 表示一个“鱼骨”， 平行于车辆前行方向， ，过B作 的垂线，垂足为 （A点的视觉错觉点），若 ，则 .
【答案】15
【知识点】平行四边形的性质；解直角三角形的应用
【解析】【解答】解：如图所示，
∵ 且四边形 为平行四边形，
∴ ， ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ mm.
故答案为：15.
【分析】根据平行四边形的性质，可求出，由于，即可求出结论.
12．（2021·遵义）小明用一块含有60°（∠DAE＝60°）的直角三角尺测量校园内某棵树的高度，示意图如图所示，若小明的眼睛与地面之间的垂直高度AB为1.62m，小明与树之间的水平距离BC为4m，则这棵树的高度约为 m.（结果精确到0.1m，参考数据： 1.73）
【答案】8.5
【知识点】矩形的性质；解直角三角形的应用
【解析】【解答】解：∵AB⊥BC，DC⊥BC，AD∥BC，
∴四边形ABCD是矩形，
∵BC＝4m，AB＝1.62m，
∴AD＝BC＝4m，DC＝AB＝1.62m，
在Rt△AED中，
∵∠DAE＝60°，AD＝4m，
∴DE＝AD tan60°＝4× ＝4 （m），
∴CE＝ED+DC＝4 +1.62≈8.5（m）
答：这棵树的高度约为8.5m.
故答案为：8.5.
【分析】易证四边形ABCD是矩形，利用矩形的性质可求出AD，DC的长，在Rt△AED中，利用解直角三角形求出DE的长，然后根据CE＝ED+DC，可求出CE的长.
13．（2021·黄冈）如图，建筑物 上有一高为 的旗杆 ，从D处观测旗杆顶部A的仰角为 ，观测旗杆底部B的仰角为 ，则建筑物 的高约为 （结果保留小数点后一位）.（参考数据 ， ， ）
【答案】24.2
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：由题意得： ，
是等腰直角三角形，
，
设 ，则 ，
在 中， ，即 ，
解得 ，经检验，是所列分式方程的解，且符合题意，
即建筑物 的高约为 ，
故答案为：24.2.
【分析】利用已知条件可知△BCD是等腰直角三角形，可得到BC=CD=x，可表示出AC的长；再在Rt△ACD中，利用解直角三角形，可建立关于x的方程，解方程求出x的值，即可得到BC的长.
14．（2021·乐山）如图，为了测量“四川大渡河峡谷”石碑的高度，佳佳在点C处测得石碑顶A点的仰角为 ，她朝石碑前行5米到达点D处，又测得石顶A点的仰角为 ，那么石碑的高度 的长 米.（结果保留根号）
【答案】
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：由题意可知：∠A=30°，∠ADB=60°
∴∠CAD=30°
∴△ADC是等腰三角形，
∴DA=DC又DC=5米
故AD=5米
在Rt△ADB中，∠ADB=60°
∴AB=sin60°×AD= 米
故答案为：
【分析】利用已知条件可得到△ADC是等腰三角形，可求出AD的长，在Rt△ADB中，利用解直角三角形可得到AB=sin60°×AD，代入计算求出AB的长.
15．（2021·山西）太原地铁2号线是山西省第一条开通运营的地铁线路，于2020年12月26日开通．如图是该地铁某站扶梯的示意图，扶梯 的坡度 （ 为铅直高度与水平宽度的比）．王老师乘扶梯从扶梯底端 以0.5米/秒的速度用时40秒到达扶梯顶端 ，则王老师上升的铅直高度 为 米．
【答案】
【知识点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：∵ 的坡度 ，
．
∴ ，
∵ 米，
∴ ，
解得： ，
故答案为： ．
【分析】根据坡度比，列出比例式求解即可。
16．（2021·三台模拟）如图是某商场营业大厅自动扶梯示意图.自动扶梯 的倾斜角为 ，在自动扶梯下方地面 处测得扶梯顶端 的仰角为 ， 、 之间的距离为4 . 则自动扶梯的垂直高度 = .（结果保留根号）
【答案】
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【解答】∵∠BAC+∠ABC=∠BCD=60°，∠BAC=30°，
∴∠ABC=30°，
∴∠ABC=∠BAC，
∴BC=AC=4，
在Rt△BCD中，BD=BCsin60°=4× = ，
故答案为： .
【分析】先推出∠ABC=∠BAC，得BC=AC=4，然后利用三角函数即可得出答案.
三、解答题
17．（2021·宿迁）一架无人机沿水平直线飞行进行测绘工作，在点P处测得正前方水平地面上某建筑物AB的顶端A的俯角为30°，面向AB方向继续飞行5米，测得该建筑物底端B的俯角为45°，已知建筑物AB的高为3米，求无人机飞行的高度(结果精确到1米，参考数据： 1.414， =1.732).
【答案】解：如图，延长PQ，BA，相交于点E，
由题意可得：AB⊥PQ，∠E＝90°，
又∵∠BQE＝45°，
∴BE＝QE，
设BE＝QE＝x，
∵PQ＝5，AB＝3，
∴PE＝x＋5，AE＝x－3，
∵∠E＝90°，
∴sin∠APE＝ ，
∵∠APE＝30°，
∴tan30°＝ ，
解得：x＝ ≈14，
答：无人机飞行的高度约为14米.
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】 延长PQ，BA，相交于点E， 由 ∠BQE＝45° 可得 BE＝QE，设BE＝QE＝x， 可得PE=5+x，AE=x-3，由∠APE＝30°，可得 tan30°＝ 可得结果.
18．（2021·成都）越来越多太阳能路灯的使用，既点亮了城市的风景，也是我市积极落实节能环保的举措.某校学生开展综合实践活动，测量太阳能路灯电池板离地面的高度.如图，已知测倾器的高度为1.6米，在测点A处安置测倾器，测得点M的仰角 ，在与点A相距3.5米的测点D处安置测倾器，测得点M的仰角 （点A，D与N在一条直线上），求电池板离地面的高度 的长.（结果精确到1米；参考数据： ）
【答案】解：过E作EF⊥MN于F，连接EB，设MF=x米，
∵∠EFN=∠FND=∠EDN=∠A=90°，
∴四边形FNDE，四边形FNAB均是矩形，
∴FN=ED=AB=1.6米，AD=BE=3.5米，
∵∠MEF=45°，∠EFM=90°，
∴MF=EF=x，
∴FB=FE+EB=x+3.5，
∴tan∠MBF= ，
∴解得 米，
经检验 米符合题意，
∴MN=MF+FN=6.5+1.6=8.1≈8米.
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】过E作EF⊥MN于F，连接EB，设MF=x米，结合已知可知四边形FNDE，四边形FNAB均是矩形，由矩形的性质可得FN=ED=AB，AD=BE；由等腰直角三角形的性质得MF=EF=x，由线段的构成FB=FE+EB可将FB用含x的代数式表示出来，根据锐角三角函数tan∠MBF=可得关于x的方程，解方程求得x的值，再根据线段的构成MN=MF+FN可求解.
19．（2021·武威）如图1是平凉市地标建筑“大明宝塔”，始建于明嘉靖十四年（1535年），是明代平凉韩王府延恩寺的主体建筑.宝塔建造工艺精湛，与崆峒山的凌空塔遥相呼应，被誉为平凉古塔“双璧”.某数学兴趣小组开展了测量“大明宝塔的高度”的实践活动，具体过程如下：
方案设计：如图2，宝塔 垂直于地面，在地面上选取 两处分别测得 和 的度数（ 在同一条直线上）.
数据收集：通过实地测量：地面上 两点的距离为 .
问题解决：求宝塔 的高度（结果保留一位小数）.
参考数据： ， .
根据上述方案及数据，请你完成求解过程.
【答案】解： 设 ，
在 中， ，
在 中， ，
，
解得， .
答：宝塔的高度约为
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【分析】 设 ，在中，求出， 在 中， 求出，根据AD+BD=AB，列出方程求解即可.
20．（2021·岳阳）某镇为创建特色小镇，助力乡村振兴，决定在辖区的一条河上修建一座步行观光桥，如图，该河旁有一座小山，山高 ，坡面 的坡度 （注：从山顶 处测得河岸 和对岸 的俯角分别为 ， .
（参考数据： ， ， ）
（1）求山脚 到河岸 的距离；
（2）若在此处建桥，试求河宽 的长度.（结果精确到 ）
【答案】（1）解：∵ ，坡面 的坡度 ，
∴ m，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴山脚 到河岸 的距离为24m
（2）解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴河宽 的长度约为53.3m
【知识点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）根据AB的坡度求出CA，由∠CBE=∠BEC=45°，可得CE=CB=80m，利用AE=CE-CA计算即得结论；
（2）根据平行线的性质得出∠BFC=∠DBF=31°，从而求出，利用EF=CF-CE计算即得结论.
21．（2021·凉山）王刚同学在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识测量河对岸大树AB的高度，他在点C处测得大树顶端A的仰角为 ，再从C点出发沿斜坡走 米到达斜坡上D点，在点D处测得树顶端A的仰角为 ，若斜坡CF的坡比为 （点 在同一水平线上）.
（1）求王刚同学从点C到点D的过程中上升的高度；
（2）求大树AB的高度（结果保留根号）.
【答案】（1）解：过D作DH⊥CE于H，如图所示：
在Rt△CDH中， ，
∴CH=3DH，
∵CH2+DH2=CD2，
∴（3DH）2+DH2=（ ）2，
解得：DH=2或-2（舍），
∴王刚同学从点C到点D的过程中上升的高度为2米
（2）解：延长AD交CE于点G，设AB=x米，
由题意得，∠AGC=30°，
∴GH= = = ，
∵CH=3DH=6，
∴GC=GH+CH= +6，
在Rt△BAC中，∠ACB=45°，
∴AB=BC，
∴tan∠AGB= ，
解得：AB= ，
即大树AB的高度为 米
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）过D作DH⊥CE于H，在Rt△CDH中，根据斜坡CF的坡比为 可得CH=3DH，用勾股定理可得关于DH的方程，解方程可求得DH的值；
（2）延长AD交CE于点G，设AB=x米，根据锐角三角函数tan∠AGC=可求得GH的值；由线段的构成GC=GH+CH可求得GC的值；在Rt△BAC中，根据锐角三角函数tan∠AGB=可求得大树AB的高度.
22．（2021·绍兴）拓展小组研制的智能操作机器人，如图1，水平操作台为l，底座AB固定，高AB为50cm，连杆BC长度为70cm，手臂CD长度为60cm.点B，C是转动点，且AB，BC与CD始终在同一平面内，
（1）转动连杆BC，手臂CD，使 ， ，如图2，求手臂端点D离操作台 的高度DE的长（精确到1cm，参考数据： ， ）.
（2）物品在操作台 上，距离底座A端110cm的点M处，转动连杆BC，手臂CD，手臂端点D能否碰到点M？请说明理由.
【答案】（1）解：过点C作 于点P，
过点B作 于点Q，如图1，
，
，
在 中， ， .
，
.
∴手臂端点D离操作台 l 的高度DE的长为106cm.
（2）解：能.
理由：当点B，C，D共线时，如图2，
， ，
在 中， ，
.
手臂端点D能碰到点M
【知识点】勾股定理的应用；解直角三角形的应用
【解析】【分析】（1） 过点C作 于点P，先求出∠CBQ的度数， 在 中， 利用三角函数定义求出CQ，然后根据线段间的关系求出DE即可；
（2） 当点B，C，D共线时， 手臂达到最长， 在 中， 利用勾股定理求出AD，然后比较即可判断.
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