湘教版数学九年级上册《第4章 锐角三角函数》单元检测A卷
一、单选题
1．（2021·天津） 的值等于（ ）
A． B． C．1 D．2
2．（2021九下·樊城期中）如图，A，B，C是3×1的正方形网格中的三个格点，则 tan∠ABC的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·开福模拟）如图，AC是电线杆AB的一根拉线，测得BC的长为6米，∠ACB=50°，则拉线AC的长为（ ）
A． B． C．6cos50° D．
4．（2020·黔南）如图，数学活动小组利用测角仪和皮尺测量学校旗杆的高度，在点D处测得旗杆顶端A的仰角∠ADE为55°，测角仪CD的高度为1米，其底端C与旗杆底端B之间的距离为6米，设旗杆AB的高度为x米，则下列关系式正确的是（ ）
A．tan55°＝ B．tan55°＝
C．sin55°＝ D．cos55°＝
5．（2020·长春）比萨斜塔是意大利的著名建筑，其示意图如图所示．设塔顶中心点为点B，塔身中心线 与垂直中心线 的夹角为 ，过点B向垂直中心线 引垂线，垂足为点D．通过测量可得 、 、 的长度，利用测量所得的数据计算 的三角函数值，进而可求 的大小．下列关系式正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2021·十堰）如图，小明利用一个锐角是 的三角板测量操场旗杆的高度，已知他与旗杆之间的水平距离 为 ， 为 （即小明的眼睛与地面的距离），那么旗杆的高度是（ ）
A． B． C． D．
7．（2021·株洲）某限高曲臂道路闸口如图所示， 垂直地面 于点 ， 与水平线 的夹角为 ， ，若 米， 米，车辆的高度为 （单位：米），不考虑闸口与车辆的宽度.
①当 时， 小于3.3米的车辆均可以通过该闸口；②当 时， 等于2.9米的车辆不可以通过该闸口；③当 时， 等于3.1米的车辆不可以通过该闸口.则上述说法正确的个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
8．（2021·重庆）如图，在建筑物AB左侧距楼底B点水平距离150米的C处有一山坡，斜坡CD的坡度（或坡比）为 ，坡顶D到BC的垂直距离 米（点A，B，C，D，E在同一平面内），在点D处测得建筑物顶A点的仰角为50°，则建筑物AB的高度约为（参考数据： ； ； ）
A．69.2米 B．73.1米 C．80.0米 D．85.7米
9．（2021·长春）如图是净月潭国家森林公园一段索道的示意图．已知A、B两点间的距离为30米， ，则缆车从A点到达B点，上升的高度（BC的长）为（ ）
A． 米 B． 米 C． 米 D． 米
10．（2021·云南）在 中， ，若 ，则 的长是（ ）
A． B． C．60 D．80
11．（2021·泰安）如图，为了测量某建筑物BC的高度，小颖采用了如下的方法：先从与建筑物底端B在同一水平线上的A点出发，沿斜坡AD行走130米至坡顶D处，再从D处沿水平方向继续前行若干米后至点E处，在E点测得该建筑物顶端C的仰角为60°，建筑物底端B的俯角为45°，点A、B、C、D、E在同一平面内，斜坡AD的坡度i＝1：2.4．根据小颖的测量数据，计算出建筑物BC的高度约为（参考数据： ≈1.732）（ ）
A．136.6米 B．86.7米 C．186.7米 D．86.6米
12．（2020·重庆A）如图，在距某居民楼AB楼底B点左侧水平距离60m的C点处有一个山坡，山坡CD的坡度（或坡比）i＝1：0.75，山坡坡底C点到坡顶D点的距离CD＝45m，在坡顶D点处测得居民楼楼顶A点的仰角为28°，居民楼AB与山坡CD的剖面在同一平面内，则居民楼AB的高度约为（参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）（ ）
A．76.9m B．82.1m C．94.8m D．112.6m
二、填空题
13．（2021·百色）数学活动小组为测量山顶电视塔的高度，在塔的椭圆平台遥控无人机.当无人机飞到点P处时，与平台中心O点的水平距离为15米，测得塔顶A点的仰角为30°，塔底B点的俯角为60°，则电视塔的高度为 米.
14．（2021·烟台）数学兴趣小组利用无人机测量学校旗杆高度，已知无人机的飞行高度为40米，当无人机与旗杆的水平距离是45米时，观测旗杆顶部的俯角为30°，则旗杆的高度约为 米．（结果精确到1米，参考数据： ， ）
15．（2021·阜新）如图，甲楼高21m，由甲楼顶看乙楼顶的仰角是45°，看乙楼底的俯角是30°，则乙楼高度约为 m（结果精确到1m， ）．
16．（2021·荆州）如图1是一台手机支架，图2是其侧面示意图， ， 可分别绕点A，B转动，测量知 ， .当 ， 转动到 ， 时，点C到 的距离为 cm.（结果保留小数点后一位，参考数据： ， ）
17．（2021·武汉）如图，海中有一个小岛 ，一艘轮船由西向东航行，在 点测得小岛 在北偏东 方向上；航行 到达 点，这时测得小岛 在北偏东 方向上.小岛 到航线 的距离是 （ ，结果用四舍五入法精确到0.1）.
18．（2021·赤峰）某滑雪场用无人机测量雪道长度．如图，通过无人机的镜头C测一段水平雪道一端A处的俯角为50°，另一端B处的俯角为45°，若无人机镜头 处的高度 为 米，点A，D，B在同一直线上，则通道AB的长度为 米．(结果保留整数，参考数据 ， ， )
三、解答题
19．（2021·张家界）计算：
20．（2021·百色）计算：（π﹣1）0＋| ﹣2|﹣（ ）﹣1＋tan60°.
21．（2021·河南）开凿于北魏孝文帝年间的龙门石窟是中国石刻艺术瑰宝，卢舍那佛像是石窟中最大的佛像.某数学活动小组到龙门石窟景区测量这尊佛像的高度.如图，他们选取的测量点 与佛像 的底部 在同一水平线上.已知佛像头部 为 ，在 处测得佛像头顶部 的仰角为 ，头底部 的仰角为 ，求佛像 的高度（结果精确到 .参考数据： ， ， ）
22．（2021·常德）今年是建党100周年，学校新装了国旗旗杆（如图所示），星期一该校全体学生在国旗前举行了升旗仪式.仪式结束后，站在国旗正前方的小明在A处测得国旗D处的仰角为 ，站在同一队列B处的小刚测得国旗C处的仰角为 ，已知小明目高 米，距旗杆 的距离为15.8米，小刚目高 米，距小明24.2米，求国旗的宽度 是多少米？（最后结果保留一位小数）（参考数据： ）
23．（2021·广安）如图①、图②分别是某种型号跑步机的实物图与示意图.已知跑步机手柄 与地面 平行，踏板 长为 ， 与地面 的夹角 ，支架 长为 ， ，求跑步机手柄 所在直线与地面 之间的距离.（结果精确到 .参考数据： ， ， ， ）
24．（2021·荆门）某海域有一小岛P，在以P为圆心，半径r为 海里的圆形海域内有暗礁.一海监船自西向东航行，它在A处测得小岛P位于北偏东 的方向上，当海监船行驶 海里后到达B处，此时观测小岛P位于B处北偏东 方向上.
（1）求A，P之间的距离AP；
（2）若海监船由B处继续向东航行是否有触礁危险？请说明理由.如果有触礁危险，那么海监船由B处开始沿南偏东至多多少度的方向航行能安全通过这一海域？
25．（2021·盐城）某种落地灯如图1所示， 为立杆，其高为 ； 为支杆，它可绕点 旋转，其中 长为 ； 为悬杆，滑动悬杆可调节 的长度.支杆 与悬杆 之间的夹角 为 .
（1）如图2，当支杆 与地面垂直，且 的长为 时，求灯泡悬挂点 距离地面的高度；
（2）在图2所示的状态下，将支杆 绕点 顺时针旋转 ，同时调节 的长（如图3），此时测得灯泡悬挂点 到地面的距离为 ，求 的长.（结果精确到 ，参考数据： ， ， ， ， ， ）
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：由题意可知， ，
故答案为：A．
【分析】根据特殊角三角函数值解答即可.
2．【答案】A
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图所示，在 中，
.
故答案为：A.
【分析】根据锐角三角函数的定义，直接计算得结论.
3．【答案】B
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：∵∠ABC=90°，∠ACB=60°，BC=6m，
∴cos50°= = ，
∴AC= .
故答案为：B.
【分析】直接利用锐角三角函数关系得出cos50°= ，进而得出答案.
4．【答案】B
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：∵在Rt△ADE中，DE＝6，AE＝AB﹣BE＝AB﹣CD＝x﹣1，∠ADE＝55°，
∴sin55°＝ ，cos55°＝ ，tan55°＝ ，
故答案为：B.
【分析】根据锐角三角形函数的定义“sin∠ADE=，cos∠ADE=，tan∠ADE=”并结合题意即可判断求解.
5．【答案】A
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：根据题意可知，在直角三角形ABD中，求∠A可由以下方法求得
①sinA=
②cosA=
③tanA=
故答案为：A.
【分析】根据题意，结合锐角三角函数的定义，表示得到∠A的式子，进行判断即可得到答案。
6．【答案】D
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：∵AB⊥BC，DE⊥BC，AD∥BC，
∴四边形ABCD是矩形，
∵BC＝15m，AB＝1.5m，
∴AD＝BC＝15m，DC＝AB＝1.5m，
在Rt△AED中，
∵∠EAD＝30°，AD＝15m，
∴ED＝AD tan30°＝15× ＝5 ，
∴CE＝CD＋DE＝ .
故答案为：D.
【分析】证明四边形ABCD是矩形，可得AD＝BC＝15m，DC＝AB＝1.5m，在Rt△AED中，求出ED＝AD tan30°＝5 ，利用CE＝CD＋DE即可求出结论.
7．【答案】C
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】如图过E点作 交 的延长线于点M，
则
①当 时， 三点共线，
小于3.3米的车辆均可以通过该闸口，故①正确.
②当 时，
等于2.9米的车辆不可以通过该闸口，故②正确.
③当 时，
等于3.1米的车辆可以通过该闸口，故③错误.
综上所述：说法正确的为：①②，共2个.
故答案为：C.
【分析】如图过E点作EM⊥AB交AB的延长线于点M，①当 时，A、B、E三点共线，根据h=AE=AB+BE可求得h的值，比较h与3.3的大小即可判断求解；②当 时，根据h=AB+BE×sin可求得h的值，比较h与2.9的大小即可判断求解；③当 时，根据h=AB+BE×sin可求得h的值，比较h与3.1的大小即可判断求解.
8．【答案】D
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：如图所示，作DF⊥AB于F点，则四边形DEBF为矩形，
∴ ，
∵斜坡CD的坡度（或坡比）为 ，
∴在Rt△CED中， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在Rt△ADF中，∠ADF=50°，
∴ ，
将 代入解得： ，
∴AB=AF+BF=35.7+50=85.7米，
故答案为：D.
【分析】作DF⊥AB于F点，则四边形DEBF为矩形，可求出BF的长，利用坡度的定义，可求出CE的长，根据BE=BC-CE，可求出BE，DF的长；在Rt△ADF中，利用解直角三角形求出AF的长，然后根据AB=AF+BF求出AB的长.
9．【答案】A
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，
，
即 ，
故答案为：A．
【分析】先求出 ，再计算求解即可。
10．【答案】D
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：∵∠ABC=90°，sin∠A= = ，AC=100，
∴BC=100×3÷5=60，
∴AB= =80，
故答案为：D．
【分析】由sinA= = 可求出BC，再利用勾股定理求出AB即可.
11．【答案】A
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：
过点D作DH⊥AB，延长DE交BC于点F
在直角三角形ADH中，∵AD=130，DH：AH=1：2.4
∴DH=50
∵四边形DHBF为矩形
∴BF=DH=50
在直角三角形EFB中，tan45°=
∴EF=，在直角三角形EFC中，FC=EF×tan60°
∴CF=×=50
∴BC=BF+CF=50+50=50+86.6=136.6
故答案为：A.
【分析】根据题意，由直角三角形的性质、矩形的性质，结合特殊角的锐角三角函数，计算得到答案即可。
12．【答案】B
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：如图，由题意得，∠ADF＝28°，CD＝45，BC＝60，
在Rt△DEC中，
∵山坡CD的坡度i＝1：0.75，
∴ ＝ ＝ ，
设DE＝4x，则EC＝3x，由勾股定理可得CD＝5x，
又CD＝45，即5x＝45，
∴x＝9，
∴EC＝3x＝27，DE＝4x＝36＝FB，
∴BE＝BC+EC＝60+27＝87＝DF，
在Rt△ADF中，
AF＝tan28°×DF≈0.53×87≈46.11，
∴AB＝AF+FB＝46.11+36≈82.1，
故答案为：B.
【分析】由山坡CD的坡度i＝1：0.75可得DE：EC=4：3，设DE＝4x，则EC＝3x，由勾股定理可得CD＝5x且CD＝45即可分别计算DE、EC，可得BE；由“在坡顶D点处测得居民楼楼顶A点的仰角为28°”可由AF＝tan28°×DF，即可计算AB.
13．【答案】
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：根据题意可知： ， ， ， ，
在 中， ，
在 中， ，
∴ ，
即电视塔的高度为 米.
故答案为：
【分析】在Rt△APO中，利用解直角三角形求出AO的长；在Rt△BPO中，利用解直角三角形求出BO的长；然后根据AB=AO+BO，代入计算可求出AB的长.
14．【答案】14
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：如图，无人机所在水平线与旗杆所在竖直线交于点B，旗杆为CD，无人机为点A，由题意可知，AB=45米，∠BAC=30°，BD=40米，
（米），
（米）；
故答案为：14．
【分析】根据直角三角形的性质求出OC，求出答案即可。
15．【答案】57
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：根据题意画出下图： ， ，垂足分别为点 、点 ， ， ， ， ，垂足为点 ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
在 中， ，
在 中， ，
∴ ，
即乙楼高度约为57 ．
【分析】根据题意，证明四边形ABCE为矩形，继而得到CE=AB=21，在直角三角形ACE中，求出AE，在直角三角形ADE中，求出DE即可得到答案。
16．【答案】6.3
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：如图，作CD⊥AE于点D，作BG⊥AE于点G，作CF⊥BG于点F，则四边形CDGF是矩形，
∴CD=FG，
在直角△ABG中， ， ，
∴ （cm），∠ABG=30°，
∵ ，
∴∠CBF=20°，
∴∠BCF=70°，
在直角△BCF中， ，∠BCF=70°，
∴ （cm），
∴CD=FG= （cm），
即点C到 的距离为6.3cm；
故答案为：6.3.
【分析】作CD⊥AE于点D，作BG⊥AE于点G，作CF⊥BG于点F，得出四边形CDGF是矩形，得出CD=FG，解直角△ABG，再根据已知条件求出∠BCF，解直角△BCF，求出BF，最后根据线段间的和差关系求出CD即可解答.
17．【答案】10.4
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【解答】过点A作AD⊥BC，垂足为D，根据题意，得∠ABC=30°，∠ACD=60°，
∴∠ABC=∠CAB=30°，
∴AC=BC=12，
∵sin60°= ，
∴AD=AC sin60°=12 =6 ≈10.4
故答案为：10.4.
【分析】过点A作AD⊥BC，垂足为D，由已知条件易得∠ABC=30°，∠ACD=60°，根据锐角三角函数sin60°=可求解.
18．【答案】438
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：由题意得， ，
在 中， ，
（米），
在 中， ，
则 （米），
则 （米），
故答案是：438．
【分析】先求出 （米），再利用锐角三角函数计算求解即可。
19．【答案】解：
.
【知识点】实数的运算；求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】根据乘方、绝对值的性质、特殊角的三角函数值、二次根式的性质依次计算后，再合并即可.
20．【答案】解：原式
【知识点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】先算乘方运算，同时化简绝对值，代入特殊角的三角函数值；再合并即可.
21．【答案】解：设佛像 的高度为xm，
∵∠BAD=45°，
∴∠BAD=∠ABD=45°，
∴AD=BD=x，
∵佛像头部 为 ，
∴CD=x-4，
∵∠DAC=37.5°，
∴tan∠DAC= = ≈0.77，
解得：x≈17.4，
经检验，该方程有意义，且符合题意，
因此x≈17.4是该方程的解，
∴求佛像 的高度约为17.4m.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】设佛像BD的高度为xm，易得AD=BD=x，CD=x-4，然后根据∠DAC的正切函数可得x的值，最后进行检验即可.
22．【答案】解：由题意得，四边形GAEM、GBFN是矩形，
∴ME=GA=15.8（米），FN=GB=GA+BA=15.8+24.2=40（米），MG=AE=1.4（米），NG=BF=1.8（米），
在Rt△DME中，
∴
∴ （米），
∴ （米）；
在Rt△CNF中，
∴ ，即 （米），
∴ （米），
∴ （米）
答：国旗的宽度 是1.6米。
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】易证四边形GAEM、GBFN是矩形，利用矩形的性质可求出相关线段的长，可证得△DME是等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质可求出DM的长，即可求出DG的长；在Rt△CNF中，利用解直角三角形求出CN的长，然后根据CG=CN+NG，求出CG的长；利用CD=CG-DG，即可求出CD的长.
23．【答案】解：如图，过C点作FG⊥AB于F，交DE于G.
∵CD与地面DE的夹角∠CDE为15°，∠ACD为75°，
∴∠ACF=∠FCD-∠ACD=∠CGD+∠CDE-∠ACD=90°+15°-75°=30°，
∴∠CAF=60°，
在Rt△ACF中，CF=AC sin∠CAF= m，
在Rt△CDG中，CG=CD sin∠CDE=1.5·sin15°，
∴FG=FC+CG= +1.5·sin15°≈1.3m.
故跑步机手柄AB所在直线与地面DE之间的距离约为1.3m.
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】过C点作FG⊥AB于F，交DE于G，在Rt△ACF中，根据锐角三角函数sin∠CAF=可求得CF的值，在Rt△CDG中，根据锐角三角函数sin∠CDE=可求得CG的值，由线段的构成FG=FC+CG可求解.
24．【答案】（1）解：如图1，作 ，交AB的延长线于C，
由题意知： ， .
设 ：则 ，
，
解得 ，
经检验： 是原方程的根，且符合题意，
（2）解： ，
.
因此海监船继续向东航行有触礁危险；
设海监船无触礁危险的新航线为射线BD，
以 为圆心， 为半径作圆，过 作圆P的切线 交 于点D，∴∠PDB=90°，
由（1）得：
∴ ，
∴∠PBD=60°，
∴∠CBD=15°，
∴海监船由B处开始沿南偏东小于 的方向航行能安全通过这一海域
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【分析】（1） 作 ，交AB的延长线于C，设 ， ， 由，解出x值即可；
（2）先判断出海监船继续向东航行有触礁危险；设海监船无触礁危险的新航线为射线BD， 以 为圆心， 为半径作圆，过 作圆P的切线 交 于点D，可得∠PDB=90°，
由（1）得可得，据此可得∠PBD=60°，由∠CBD=∠PBD-∠PBC，求出∠CBD的度数即可.
25．【答案】（1）解：过点 作 交 于 ，
∵ ，
∴ ，
，
，
∴ ，
答：点 距离地面113厘米；
（2）解：过点 作 垂直于地面于点 ，
过点 作 交 于点 ，
过点 作 交 于点 ，
∴∠BAG=∠AGN=∠BNG=90°，
∴四边形ABGN为矩形，
∴AB=GN=84(cm)，
∵ ，将支杆 绕点 顺时针旋转 ，
∴∠BCN=20°，∠MCD=∠BCD-∠BCN=40°，
∴ ，
，
，
∴CG=CN+NG=50.76+84=134.76(cm)，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
，
，
答： 长为58厘米.
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）过点作交 于 ，利用求出FC， 根据FA=AB+BC-CF计算即得结论；
（2）过点 作 垂直于地面于点 ，过点 作 交 于点 ，过点 作 交 于点 ，由求出CN，根据线段的和差求出CG、MN、CM，由即可求出结论.
1 / 1湘教版数学九年级上册《第4章 锐角三角函数》单元检测A卷
一、单选题
1．（2021·天津） 的值等于（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】A
【知识点】求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：由题意可知， ，
故答案为：A．
【分析】根据特殊角三角函数值解答即可.
2．（2021九下·樊城期中）如图，A，B，C是3×1的正方形网格中的三个格点，则 tan∠ABC的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图所示，在 中，
.
故答案为：A.
【分析】根据锐角三角函数的定义，直接计算得结论.
3．（2021·开福模拟）如图，AC是电线杆AB的一根拉线，测得BC的长为6米，∠ACB=50°，则拉线AC的长为（ ）
A． B． C．6cos50° D．
【答案】B
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：∵∠ABC=90°，∠ACB=60°，BC=6m，
∴cos50°= = ，
∴AC= .
故答案为：B.
【分析】直接利用锐角三角函数关系得出cos50°= ，进而得出答案.
4．（2020·黔南）如图，数学活动小组利用测角仪和皮尺测量学校旗杆的高度，在点D处测得旗杆顶端A的仰角∠ADE为55°，测角仪CD的高度为1米，其底端C与旗杆底端B之间的距离为6米，设旗杆AB的高度为x米，则下列关系式正确的是（ ）
A．tan55°＝ B．tan55°＝
C．sin55°＝ D．cos55°＝
【答案】B
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：∵在Rt△ADE中，DE＝6，AE＝AB﹣BE＝AB﹣CD＝x﹣1，∠ADE＝55°，
∴sin55°＝ ，cos55°＝ ，tan55°＝ ，
故答案为：B.
【分析】根据锐角三角形函数的定义“sin∠ADE=，cos∠ADE=，tan∠ADE=”并结合题意即可判断求解.
5．（2020·长春）比萨斜塔是意大利的著名建筑，其示意图如图所示．设塔顶中心点为点B，塔身中心线 与垂直中心线 的夹角为 ，过点B向垂直中心线 引垂线，垂足为点D．通过测量可得 、 、 的长度，利用测量所得的数据计算 的三角函数值，进而可求 的大小．下列关系式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：根据题意可知，在直角三角形ABD中，求∠A可由以下方法求得
①sinA=
②cosA=
③tanA=
故答案为：A.
【分析】根据题意，结合锐角三角函数的定义，表示得到∠A的式子，进行判断即可得到答案。
6．（2021·十堰）如图，小明利用一个锐角是 的三角板测量操场旗杆的高度，已知他与旗杆之间的水平距离 为 ， 为 （即小明的眼睛与地面的距离），那么旗杆的高度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：∵AB⊥BC，DE⊥BC，AD∥BC，
∴四边形ABCD是矩形，
∵BC＝15m，AB＝1.5m，
∴AD＝BC＝15m，DC＝AB＝1.5m，
在Rt△AED中，
∵∠EAD＝30°，AD＝15m，
∴ED＝AD tan30°＝15× ＝5 ，
∴CE＝CD＋DE＝ .
故答案为：D.
【分析】证明四边形ABCD是矩形，可得AD＝BC＝15m，DC＝AB＝1.5m，在Rt△AED中，求出ED＝AD tan30°＝5 ，利用CE＝CD＋DE即可求出结论.
7．（2021·株洲）某限高曲臂道路闸口如图所示， 垂直地面 于点 ， 与水平线 的夹角为 ， ，若 米， 米，车辆的高度为 （单位：米），不考虑闸口与车辆的宽度.
①当 时， 小于3.3米的车辆均可以通过该闸口；②当 时， 等于2.9米的车辆不可以通过该闸口；③当 时， 等于3.1米的车辆不可以通过该闸口.则上述说法正确的个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】如图过E点作 交 的延长线于点M，
则
①当 时， 三点共线，
小于3.3米的车辆均可以通过该闸口，故①正确.
②当 时，
等于2.9米的车辆不可以通过该闸口，故②正确.
③当 时，
等于3.1米的车辆可以通过该闸口，故③错误.
综上所述：说法正确的为：①②，共2个.
故答案为：C.
【分析】如图过E点作EM⊥AB交AB的延长线于点M，①当 时，A、B、E三点共线，根据h=AE=AB+BE可求得h的值，比较h与3.3的大小即可判断求解；②当 时，根据h=AB+BE×sin可求得h的值，比较h与2.9的大小即可判断求解；③当 时，根据h=AB+BE×sin可求得h的值，比较h与3.1的大小即可判断求解.
8．（2021·重庆）如图，在建筑物AB左侧距楼底B点水平距离150米的C处有一山坡，斜坡CD的坡度（或坡比）为 ，坡顶D到BC的垂直距离 米（点A，B，C，D，E在同一平面内），在点D处测得建筑物顶A点的仰角为50°，则建筑物AB的高度约为（参考数据： ； ； ）
A．69.2米 B．73.1米 C．80.0米 D．85.7米
【答案】D
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：如图所示，作DF⊥AB于F点，则四边形DEBF为矩形，
∴ ，
∵斜坡CD的坡度（或坡比）为 ，
∴在Rt△CED中， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在Rt△ADF中，∠ADF=50°，
∴ ，
将 代入解得： ，
∴AB=AF+BF=35.7+50=85.7米，
故答案为：D.
【分析】作DF⊥AB于F点，则四边形DEBF为矩形，可求出BF的长，利用坡度的定义，可求出CE的长，根据BE=BC-CE，可求出BE，DF的长；在Rt△ADF中，利用解直角三角形求出AF的长，然后根据AB=AF+BF求出AB的长.
9．（2021·长春）如图是净月潭国家森林公园一段索道的示意图．已知A、B两点间的距离为30米， ，则缆车从A点到达B点，上升的高度（BC的长）为（ ）
A． 米 B． 米 C． 米 D． 米
【答案】A
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，
，
即 ，
故答案为：A．
【分析】先求出 ，再计算求解即可。
10．（2021·云南）在 中， ，若 ，则 的长是（ ）
A． B． C．60 D．80
【答案】D
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：∵∠ABC=90°，sin∠A= = ，AC=100，
∴BC=100×3÷5=60，
∴AB= =80，
故答案为：D．
【分析】由sinA= = 可求出BC，再利用勾股定理求出AB即可.
11．（2021·泰安）如图，为了测量某建筑物BC的高度，小颖采用了如下的方法：先从与建筑物底端B在同一水平线上的A点出发，沿斜坡AD行走130米至坡顶D处，再从D处沿水平方向继续前行若干米后至点E处，在E点测得该建筑物顶端C的仰角为60°，建筑物底端B的俯角为45°，点A、B、C、D、E在同一平面内，斜坡AD的坡度i＝1：2.4．根据小颖的测量数据，计算出建筑物BC的高度约为（参考数据： ≈1.732）（ ）
A．136.6米 B．86.7米 C．186.7米 D．86.6米
【答案】A
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：
过点D作DH⊥AB，延长DE交BC于点F
在直角三角形ADH中，∵AD=130，DH：AH=1：2.4
∴DH=50
∵四边形DHBF为矩形
∴BF=DH=50
在直角三角形EFB中，tan45°=
∴EF=，在直角三角形EFC中，FC=EF×tan60°
∴CF=×=50
∴BC=BF+CF=50+50=50+86.6=136.6
故答案为：A.
【分析】根据题意，由直角三角形的性质、矩形的性质，结合特殊角的锐角三角函数，计算得到答案即可。
12．（2020·重庆A）如图，在距某居民楼AB楼底B点左侧水平距离60m的C点处有一个山坡，山坡CD的坡度（或坡比）i＝1：0.75，山坡坡底C点到坡顶D点的距离CD＝45m，在坡顶D点处测得居民楼楼顶A点的仰角为28°，居民楼AB与山坡CD的剖面在同一平面内，则居民楼AB的高度约为（参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）（ ）
A．76.9m B．82.1m C．94.8m D．112.6m
【答案】B
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：如图，由题意得，∠ADF＝28°，CD＝45，BC＝60，
在Rt△DEC中，
∵山坡CD的坡度i＝1：0.75，
∴ ＝ ＝ ，
设DE＝4x，则EC＝3x，由勾股定理可得CD＝5x，
又CD＝45，即5x＝45，
∴x＝9，
∴EC＝3x＝27，DE＝4x＝36＝FB，
∴BE＝BC+EC＝60+27＝87＝DF，
在Rt△ADF中，
AF＝tan28°×DF≈0.53×87≈46.11，
∴AB＝AF+FB＝46.11+36≈82.1，
故答案为：B.
【分析】由山坡CD的坡度i＝1：0.75可得DE：EC=4：3，设DE＝4x，则EC＝3x，由勾股定理可得CD＝5x且CD＝45即可分别计算DE、EC，可得BE；由“在坡顶D点处测得居民楼楼顶A点的仰角为28°”可由AF＝tan28°×DF，即可计算AB.
二、填空题
13．（2021·百色）数学活动小组为测量山顶电视塔的高度，在塔的椭圆平台遥控无人机.当无人机飞到点P处时，与平台中心O点的水平距离为15米，测得塔顶A点的仰角为30°，塔底B点的俯角为60°，则电视塔的高度为 米.
【答案】
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：根据题意可知： ， ， ， ，
在 中， ，
在 中， ，
∴ ，
即电视塔的高度为 米.
故答案为：
【分析】在Rt△APO中，利用解直角三角形求出AO的长；在Rt△BPO中，利用解直角三角形求出BO的长；然后根据AB=AO+BO，代入计算可求出AB的长.
14．（2021·烟台）数学兴趣小组利用无人机测量学校旗杆高度，已知无人机的飞行高度为40米，当无人机与旗杆的水平距离是45米时，观测旗杆顶部的俯角为30°，则旗杆的高度约为 米．（结果精确到1米，参考数据： ， ）
【答案】14
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：如图，无人机所在水平线与旗杆所在竖直线交于点B，旗杆为CD，无人机为点A，由题意可知，AB=45米，∠BAC=30°，BD=40米，
（米），
（米）；
故答案为：14．
【分析】根据直角三角形的性质求出OC，求出答案即可。
15．（2021·阜新）如图，甲楼高21m，由甲楼顶看乙楼顶的仰角是45°，看乙楼底的俯角是30°，则乙楼高度约为 m（结果精确到1m， ）．
【答案】57
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：根据题意画出下图： ， ，垂足分别为点 、点 ， ， ， ， ，垂足为点 ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
在 中， ，
在 中， ，
∴ ，
即乙楼高度约为57 ．
【分析】根据题意，证明四边形ABCE为矩形，继而得到CE=AB=21，在直角三角形ACE中，求出AE，在直角三角形ADE中，求出DE即可得到答案。
16．（2021·荆州）如图1是一台手机支架，图2是其侧面示意图， ， 可分别绕点A，B转动，测量知 ， .当 ， 转动到 ， 时，点C到 的距离为 cm.（结果保留小数点后一位，参考数据： ， ）
【答案】6.3
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：如图，作CD⊥AE于点D，作BG⊥AE于点G，作CF⊥BG于点F，则四边形CDGF是矩形，
∴CD=FG，
在直角△ABG中， ， ，
∴ （cm），∠ABG=30°，
∵ ，
∴∠CBF=20°，
∴∠BCF=70°，
在直角△BCF中， ，∠BCF=70°，
∴ （cm），
∴CD=FG= （cm），
即点C到 的距离为6.3cm；
故答案为：6.3.
【分析】作CD⊥AE于点D，作BG⊥AE于点G，作CF⊥BG于点F，得出四边形CDGF是矩形，得出CD=FG，解直角△ABG，再根据已知条件求出∠BCF，解直角△BCF，求出BF，最后根据线段间的和差关系求出CD即可解答.
17．（2021·武汉）如图，海中有一个小岛 ，一艘轮船由西向东航行，在 点测得小岛 在北偏东 方向上；航行 到达 点，这时测得小岛 在北偏东 方向上.小岛 到航线 的距离是 （ ，结果用四舍五入法精确到0.1）.
【答案】10.4
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【解答】过点A作AD⊥BC，垂足为D，根据题意，得∠ABC=30°，∠ACD=60°，
∴∠ABC=∠CAB=30°，
∴AC=BC=12，
∵sin60°= ，
∴AD=AC sin60°=12 =6 ≈10.4
故答案为：10.4.
【分析】过点A作AD⊥BC，垂足为D，由已知条件易得∠ABC=30°，∠ACD=60°，根据锐角三角函数sin60°=可求解.
18．（2021·赤峰）某滑雪场用无人机测量雪道长度．如图，通过无人机的镜头C测一段水平雪道一端A处的俯角为50°，另一端B处的俯角为45°，若无人机镜头 处的高度 为 米，点A，D，B在同一直线上，则通道AB的长度为 米．(结果保留整数，参考数据 ， ， )
【答案】438
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：由题意得， ，
在 中， ，
（米），
在 中， ，
则 （米），
则 （米），
故答案是：438．
【分析】先求出 （米），再利用锐角三角函数计算求解即可。
三、解答题
19．（2021·张家界）计算：
【答案】解：
.
【知识点】实数的运算；求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】根据乘方、绝对值的性质、特殊角的三角函数值、二次根式的性质依次计算后，再合并即可.
20．（2021·百色）计算：（π﹣1）0＋| ﹣2|﹣（ ）﹣1＋tan60°.
【答案】解：原式
【知识点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】先算乘方运算，同时化简绝对值，代入特殊角的三角函数值；再合并即可.
21．（2021·河南）开凿于北魏孝文帝年间的龙门石窟是中国石刻艺术瑰宝，卢舍那佛像是石窟中最大的佛像.某数学活动小组到龙门石窟景区测量这尊佛像的高度.如图，他们选取的测量点 与佛像 的底部 在同一水平线上.已知佛像头部 为 ，在 处测得佛像头顶部 的仰角为 ，头底部 的仰角为 ，求佛像 的高度（结果精确到 .参考数据： ， ， ）
【答案】解：设佛像 的高度为xm，
∵∠BAD=45°，
∴∠BAD=∠ABD=45°，
∴AD=BD=x，
∵佛像头部 为 ，
∴CD=x-4，
∵∠DAC=37.5°，
∴tan∠DAC= = ≈0.77，
解得：x≈17.4，
经检验，该方程有意义，且符合题意，
因此x≈17.4是该方程的解，
∴求佛像 的高度约为17.4m.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】设佛像BD的高度为xm，易得AD=BD=x，CD=x-4，然后根据∠DAC的正切函数可得x的值，最后进行检验即可.
22．（2021·常德）今年是建党100周年，学校新装了国旗旗杆（如图所示），星期一该校全体学生在国旗前举行了升旗仪式.仪式结束后，站在国旗正前方的小明在A处测得国旗D处的仰角为 ，站在同一队列B处的小刚测得国旗C处的仰角为 ，已知小明目高 米，距旗杆 的距离为15.8米，小刚目高 米，距小明24.2米，求国旗的宽度 是多少米？（最后结果保留一位小数）（参考数据： ）
【答案】解：由题意得，四边形GAEM、GBFN是矩形，
∴ME=GA=15.8（米），FN=GB=GA+BA=15.8+24.2=40（米），MG=AE=1.4（米），NG=BF=1.8（米），
在Rt△DME中，
∴
∴ （米），
∴ （米）；
在Rt△CNF中，
∴ ，即 （米），
∴ （米），
∴ （米）
答：国旗的宽度 是1.6米。
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】易证四边形GAEM、GBFN是矩形，利用矩形的性质可求出相关线段的长，可证得△DME是等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质可求出DM的长，即可求出DG的长；在Rt△CNF中，利用解直角三角形求出CN的长，然后根据CG=CN+NG，求出CG的长；利用CD=CG-DG，即可求出CD的长.
23．（2021·广安）如图①、图②分别是某种型号跑步机的实物图与示意图.已知跑步机手柄 与地面 平行，踏板 长为 ， 与地面 的夹角 ，支架 长为 ， ，求跑步机手柄 所在直线与地面 之间的距离.（结果精确到 .参考数据： ， ， ， ）
【答案】解：如图，过C点作FG⊥AB于F，交DE于G.
∵CD与地面DE的夹角∠CDE为15°，∠ACD为75°，
∴∠ACF=∠FCD-∠ACD=∠CGD+∠CDE-∠ACD=90°+15°-75°=30°，
∴∠CAF=60°，
在Rt△ACF中，CF=AC sin∠CAF= m，
在Rt△CDG中，CG=CD sin∠CDE=1.5·sin15°，
∴FG=FC+CG= +1.5·sin15°≈1.3m.
故跑步机手柄AB所在直线与地面DE之间的距离约为1.3m.
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】过C点作FG⊥AB于F，交DE于G，在Rt△ACF中，根据锐角三角函数sin∠CAF=可求得CF的值，在Rt△CDG中，根据锐角三角函数sin∠CDE=可求得CG的值，由线段的构成FG=FC+CG可求解.
24．（2021·荆门）某海域有一小岛P，在以P为圆心，半径r为 海里的圆形海域内有暗礁.一海监船自西向东航行，它在A处测得小岛P位于北偏东 的方向上，当海监船行驶 海里后到达B处，此时观测小岛P位于B处北偏东 方向上.
（1）求A，P之间的距离AP；
（2）若海监船由B处继续向东航行是否有触礁危险？请说明理由.如果有触礁危险，那么海监船由B处开始沿南偏东至多多少度的方向航行能安全通过这一海域？
【答案】（1）解：如图1，作 ，交AB的延长线于C，
由题意知： ， .
设 ：则 ，
，
解得 ，
经检验： 是原方程的根，且符合题意，
（2）解： ，
.
因此海监船继续向东航行有触礁危险；
设海监船无触礁危险的新航线为射线BD，
以 为圆心， 为半径作圆，过 作圆P的切线 交 于点D，∴∠PDB=90°，
由（1）得：
∴ ，
∴∠PBD=60°，
∴∠CBD=15°，
∴海监船由B处开始沿南偏东小于 的方向航行能安全通过这一海域
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【分析】（1） 作 ，交AB的延长线于C，设 ， ， 由，解出x值即可；
（2）先判断出海监船继续向东航行有触礁危险；设海监船无触礁危险的新航线为射线BD， 以 为圆心， 为半径作圆，过 作圆P的切线 交 于点D，可得∠PDB=90°，
由（1）得可得，据此可得∠PBD=60°，由∠CBD=∠PBD-∠PBC，求出∠CBD的度数即可.
25．（2021·盐城）某种落地灯如图1所示， 为立杆，其高为 ； 为支杆，它可绕点 旋转，其中 长为 ； 为悬杆，滑动悬杆可调节 的长度.支杆 与悬杆 之间的夹角 为 .
（1）如图2，当支杆 与地面垂直，且 的长为 时，求灯泡悬挂点 距离地面的高度；
（2）在图2所示的状态下，将支杆 绕点 顺时针旋转 ，同时调节 的长（如图3），此时测得灯泡悬挂点 到地面的距离为 ，求 的长.（结果精确到 ，参考数据： ， ， ， ， ， ）
【答案】（1）解：过点 作 交 于 ，
∵ ，
∴ ，
，
，
∴ ，
答：点 距离地面113厘米；
（2）解：过点 作 垂直于地面于点 ，
过点 作 交 于点 ，
过点 作 交 于点 ，
∴∠BAG=∠AGN=∠BNG=90°，
∴四边形ABGN为矩形，
∴AB=GN=84(cm)，
∵ ，将支杆 绕点 顺时针旋转 ，
∴∠BCN=20°，∠MCD=∠BCD-∠BCN=40°，
∴ ，
，
，
∴CG=CN+NG=50.76+84=134.76(cm)，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
，
，
答： 长为58厘米.
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）过点作交 于 ，利用求出FC， 根据FA=AB+BC-CF计算即得结论；
（2）过点 作 垂直于地面于点 ，过点 作 交 于点 ，过点 作 交 于点 ，由求出CN，根据线段的和差求出CG、MN、CM，由即可求出结论.
1 / 1
