湘教版数学九年级上册《 第4章 锐角三角函数》单元检测B卷

湘教版数学九年级上册《 第4章 锐角三角函数》单元检测B卷
一、单选题
1．（2021·毕节）如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD.其中 ， ， ，斜坡AB长8m.则斜坡CD的长为（　　）
A． B． C． D．
2．（2021·桂林）如图，在平面直角坐标系内有一点P（3，4），连接OP，则OP与x轴正方向所夹锐角α的正弦值是（　　）
A． B． C． D．
3．（2021·永州）下列计算正确的是（　　）
A．（π﹣3）0＝1 B．tan30°＝
C． ＝±2 D．a2 a3＝a6
4．（2021·福建）如图，某研究性学习小组为测量学校A与河对岸工厂B之间的距离，在学校附近选一点C，利用测量仪器测得 .据此，可求得学校与工厂之间的距离 等于（　　）
A． B． C． D．
5．（2021八下·锡山期末）如图，在矩形 中， ， ， 是 的中点，将 沿直线 翻折，点落 在点 处，连结 ，则 的长为（　　）
A． B． C． D．
6．（2021·鄂州）如图， 中， ， ， .点 为 内一点，且满足 .当 的长度最小时， 的面积是（　　）
A．3 B． C． D．
7．（2021·玉林）如图， 底边 上的高为 ， 底边 上的高为 ，则有（　　）
A． B．
C． D．以上都有可能
8．（2021·丹东）如图，在矩形 中，连接 ，将 沿对角线 折叠得到 交 于点O， 恰好平分 ，若 ，则点O到 的距离为（　　）
A． B．2 C． D．3
9．（2021·怀化）如图，菱形ABCD的四个顶点均在坐标轴上，对角线AC、BD交于原点O， 于E点，交BD于M点，反比例函数 的图象经过线段DC的中点N，若 ，则ME的长为（　　）
A． B． C． D．
10．（2021·宜昌）如图， 的顶点是正方形网格的格点，则 的值为（　　）
A． B． C． D．
11．（2021·随县）如图，某梯子长10米，斜靠在竖直的墙面上，当梯子与水平地面所成角为 时，梯子顶端靠在墙面上的点 处，底端落在水平地面的点 处，现将梯子底端向墙面靠近，使梯子与地面所成角为 ，已知 ，则梯子顶端上升了（　　）
A．1米 B．1.5米 C．2米 D．2.5米
12．（2021·衡阳）如图是某商场营业大厅自动扶梯的示意图.自动扶梯 的倾斜角为 ，大厅两层之间的距离 为6米，则自动扶梯 的长约为（ ）（　　）.
A．7.5米 B．8米 C．9米 D．10米
二、填空题
13．（2021·南通）如图，一艘轮船位于灯塔P的南偏东 方向，距离灯塔50海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东 方向上的B处，此时B处与灯塔P的距离为　 　海里（结果保留根号）.
14．（2021·荆门）计算： 　 　.
15．（2021·荆门）如图，在平面直角坐标系中， 斜边上的高为1， ，将 绕原点顺时针旋转 得到 ，点A的对应点C恰好在函数 的图象上，若在 的图象上另有一点M使得 ，则点M的坐标为　 　.
16．（2021·贵港）如图，在矩形ABCD中，BD是对角线，AE⊥BD，垂足为E，连接CE，若 ，则tan∠DEC的值是　 　.
17．（2021·无锡）一条上山直道的坡度为1：7，沿这条直道上山，则前进100米所上升的高度为　 　米.
18．（2021·仙桃）如图，某活动小组利用无人机航拍校园，已知无人机的飞行速度为 ，从A处沿水平方向飞行至B处需 ，同时在地面C处分别测得A处的仰角为 ，B处的仰角为 .则这架无人机的飞行高度大约是　 　 （ ，结果保留整数）
三、解答题
19．（2021·达州）计算： .
20．（2021·张家界）计算：
21．（2021·湘西）有诗云：东山雨霁画屏开，风卷松声入耳来.一座楼阁镇四方，团结一心建家乡.1987年为庆祝湘西自治州成立三十周年，湘西州政府在花果山公园内修建了一座三层楼高的“一心阁”民族团结楼阁.芙蓉学校数学实践活动小组为测量“一心阁” 的高度，在楼前的平地上A处，观测到楼顶 处的仰角为30°，在平地上 处观测到楼顶 处的仰角为 ，并测得A、 两处相距 ，求“一心阁” 的高度.（结果保留小数点后一位，参考数据： ， ）
22．（2021·张家界）张家界大峡谷玻璃桥是我市又一闻名中外的五星景点.某校初三年级在一次研学活动中，数学研学小组设计以下方案测量桥的高度.如图，在桥面正下方的谷底选一观测点 ，观测到桥面 ， 的仰角分别为 ，测得 长为320米，求观测点 到桥面 的距离.（结果保留整数，参考数据： ）
23．（2021·娄底）我国航天事业捷报频传，天舟二号于2021年5月29日成功发射，震撼人心.当天舟二号从地面到达点A处时，在P处测得A点的仰角 为 且A与P两点的距离为6千米，它沿铅垂线上升75秒后到达B处，此时在P处测得B点的仰角 为 ，求天舟二号从A处到B处的平均速度.（结果精确到 ，取 ）
24．（2021·铜仁）如图，在一座山的前方有一栋住宅，已知山高 m，楼高 m，某天上午9时太阳光线从山顶点 处照射到住宅的点 外.在点 处测得点 的俯角 ，上午10时太阳光线从山顶点 处照射到住宅点 处，在点 处测得点 的俯角 ，已知每层楼的高度为3m， m，问：以当天测量数据为依据，不考虑季节天气变化，至少要买该住宅的第几层楼，才能使上午10时太阳光线照射到该层楼的外墙？（ ）
25．（2021·安顺）随着科学技术的不断进步，无人机被广泛应用到实际生活中，小星利用无人机来测量广场 两点之间的距离.如图所示，小星站在广场的 处遥控无人机，无人机在 处距离地面的飞行高度是 ，此时从无人机测得广场 处的俯角为 ，他抬头仰视无人机时，仰角为 ，若小星的身高 （点 在同一平面内）.
（1）求仰角 的正弦值；
（2）求 两点之间的距离（结果精确到 ）.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：过点A作AE⊥BC于点E，过D作DF⊥BC于点F，
∴
∵AD//BC
∴
∴
∴则四边形AEFD是矩形，
∴
在 中，AB=8，
∴
∴
在 中， ，
∴
故答案为：B.
【分析】过点A作AE⊥BC于点E，过D作DF⊥BC于点F，证明四边形AEFD是矩形，可得，在 中，利用AE=AB·cos∠ABC，求出AE即得DF，在 中，，可得，据此即得结论.
2．【答案】D
【知识点】点的坐标；勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：作PM⊥x轴于点M，
∵P（3，4），
∴PM=4，OM=3，
由勾股定理得：OP=5，
∴ ，
故答案为：D
【分析】作PM⊥x轴于点M，根据勾股定理求出OP，然后根据正弦三角函数定义计算即可.
3．【答案】A
【知识点】算术平方根；同底数幂的乘法；零指数幂；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：A.因为π﹣3≠0，所以（π﹣3）0＝1，因此选项A符合题意；
B.tan30°＝ ，因此选项B不符合题意；
C. ＝2，因此选项C 不符合题意；
D.a2 a3＝a2+3＝a5，因此选项D 不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据非零数的0次幂为1可判断A；根据特殊角的三角函数值可判断B；根据算术平方根的概念可拍的C；根据同底数幂的乘法法则可判断D.
4．【答案】D
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【解答】
，
.
故答案为：D.
【分析】利用即可求出AB.
5．【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；翻折变换（折叠问题）；锐角三角函数的定义；线段的中点
【解析】【解答】解：如图所示，过点E作EH⊥CF于H
由折叠可得：AB=AF=2，BE=EF，∠AEB=∠AEF，
∵点E是BC中点， ，
∴BE=CE=EF= ，
∴△EFC为等腰三角形
∴CF=2FH=2CH
∴∠EFC=∠ECF，AE= ，
∵∠BEF=∠AEB+∠AEF=∠EFC+∠ECF，
∴∠ECF=∠AEB，
∴ = = ，
∴
∴CF=2CH=
故答案为：D.
【分析】过点E作EH⊥CF于H，由折叠的性质可得：AB=AF=2，BE=EF，∠AEB=∠AEF，由线段中点的概念可得BE=CE=EF= ，推出△EFC为等腰三角形，由勾股定理可得AE的值，由等腰三角形的性质可得到∠ECF=∠AEB，据此求解.
6．【答案】D
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：
取 中点O，并以O为圆心， 长为半径画圆
由题意知：当B、P、O三点共线时，BP最短
点P是BO的中点
在 中，
是等边三角形
在 中，
.
【分析】由勾股逆定理得出∠APC为90°，取 中点O，并以O为圆心， 长为半径画圆，则知当B、P、O三点共线时，BP最短，再求出OC的长，然后利用勾股定理求出BO，再根据线段间的关系求出△PCO为等边三角形，得出∠ACP为60°，利用三角函数的定义求出AP，代入面积公式计算即可.
7．【答案】A
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：分别过点A作AE⊥BC于点E，PF⊥QR于点F，如图所示，
由题意得： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为：A.
【分析】分别过点A作AE⊥BC于点E，PF⊥QR于点F，可得 ，可得结果.
8．【答案】B
【知识点】角平分线的性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】如图，过点O作OF⊥BD于F，
∴OF为点O到 的距离，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠ABC=90°，
∵将 沿对角线 折叠得到△BDE，
∴∠EBD=∠CBD，
∵ 恰好平分 ，
∴∠ABO=∠EBD，OA=OF，
∴∠EBD=∠CBD=∠ABO，
∴∠ABO=30°，
∵ ，
∴OF=OA=AB·tan30°=2，
故答案为：B．
【分析】过点O作OF⊥BD于F，由矩形的性质可得∠A=∠ABC=90°，由折叠的性质可得∠EBD=
∠CBD，由角平分线的性质可得∠ABO=∠EBD，OA=OF，从而求出∠ABO=30°，利用∠ABO的正切值求出OA即可.
9．【答案】D
【知识点】菱形的性质；解直角三角形；反比例函数图象上点的坐标特征；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：∵菱形ABCD，
∴
∴D点的坐标为（0，2）
设C点坐标为（ ，0）
∵线段DC的中点N
∴设N点坐标为（ ，1）
又∵反比例函数 的图象经过线段DC的中点N
∴ ，解得
即C点坐标为（ ，0），
在 中，
∴
∵菱形ABCD
∴ ， ，
∴ 是等边三角形
又∵ 于E点， 于O点
∴ ，
∵ ， ，
∴
∴
又∵在 中，
∴
∴
故答案为：D.
【分析】利用菱形的性质可求出点D的坐标，设C点坐标为（ ，0） 可求出线段DC的中点坐标N，将点N的坐标代入函数解析式，可求出点C的坐标，即可得到OC的长；再利用解直角三角形求出∠ODC=30°，易证△ABC是等边三角形；再利用AAS证明△AOM≌△BEM，利用全等三角形的性质，可证得AM=BM；然后利用解直角三角形求出ME的长.
10．【答案】B
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：作AD⊥BC于D，
由图可知：AD=3，BD=3，
在Rt△ABD中， ，
∴ = ，
故答案为：B.
【分析】利用勾股定理求出AB的长，再利用锐角三角函数的定义求出cos∠ABC的值.
11．【答案】C
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【解答】解：如图所示标记字母，
根据题意得AB=CE=10米，
∵sinβ ，
在Rt△ECD中，sin ，
∴CD= ，
在Rt△ABD中，sin ，
∴ ，
∴AC=CD-AD=8-6=2.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件可得到AB，CE的长；利用同角三角函数，可求出sinβ的值；在Rt△ECD中，利用解直角三角形求出CD的长，再求出AD的长；然后根据AC=CD-AD，可求出AC的长.
12．【答案】D
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【解答】解：根据题意，得：
∵ 米
∴ 米
故答案为：D.
【分析】由求出AB即可.
13．【答案】
【知识点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【解答】解：如图，作PC⊥AB于点C，
在Rt△APC中，AP=50海里，∠APC=90°-60°=30°，
∴ 海里， 海里，
在Rt△PCB中，PC= 海里，∠BPC=90°-45°=45°，
∴PC=BC= 海里，
∴ 海里，
故答案为： .
【分析】如图，作PC⊥AB于点C，在Rt△APC中，求出∠APC=90°-60°=30°，可得 海里，由勾股定理求出PC=海里，由于△PCB为等腰直角三角形，可得PC=BC= 海里，利用勾股定理求出PB即可.
14．【答案】
【知识点】实数的运算；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：
.
故答案为： .
【分析】根据绝对值的性质、负整数幂的性质、特殊角三角函数值，零指数幂的性质分别进行计算，再合并即可.
15．【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；特殊角的三角函数值；坐标与图形变化﹣旋转；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：如图，过点 作 轴，过点 作 轴，
由题意可知 ，
则 ，C在 上，
设
即 解得 （不符合题意，舍去）
所以
故答案为： .
【分析】过点 作 轴，过点 作 轴，先求出，可得点C（1，），设 ，由，据此求出m值即可.
16．【答案】
【知识点】矩形的性质；锐角三角函数的定义；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：如图，过点 作 于点 ，
在 与 中，
，
，
， ，
，tan∠ADB＝ ＝ ，
设AB＝a，则AD＝2a，
∴BD＝ a，
∵S△ABD＝ BD AE＝ AB AD，
∴AE＝CF＝ a，
∴BE＝FD＝ a，
∴EF＝BD﹣2BE＝ a﹣ a＝ a，
∴tan∠DEC＝ ＝ ，
故答案为： .
【分析】过点 作 于点 ，证明 ，可得 ， ，由tan∠ADB＝ ＝ ，可设AB＝a，则AD＝2a，由勾股定理求出BD＝ a，根据S△ABD＝ BD AE＝ AB AD，可求出AE＝CF＝ a，继而可得BE＝FD＝ a，利用EF=BD-2BE求出EF，据此tan∠DEC＝ 即可求出结论.
17．【答案】
【知识点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：如图，
设BC=x，则AB=7x，
由题意得： ，解得：x= ，
故答案为： .
【分析】设BC=x，则AB=7x，根据勾股定理建立方程，求出x值即可.
18．【答案】20
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：如图，过点 作 于点 ，过点 作水平线的垂线，垂足为点 ，
由题意得： ， ，
，
在 中， ， ，
在 中， ，
，
在 中， ，
即这架无人机的飞行高度大约是 ，
故答案为：20.
【分析】过点A作AD⊥BC于点D，过点B作水平线的垂线，垂足为点E，由题意得：AB=30m，∠ACE=75°，∠BCE=30°，AB∥CE，据此可求得∠ACB、∠ABC的度数，然后分别在Rt△ABD、Rt△ACD中，求解可得AD、BD、CD的值，进而求得BC的值，最后在Rt△BCE中进行求解即可.
19．【答案】解：原式
【知识点】实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】先算乘方运算，同时化简绝对值，代入特殊角的三角函数值，再算乘法运算，然后合并即可.
20．【答案】解：
.
【知识点】实数的运算；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】根据乘方、绝对值的性质、特殊角的三角函数值、二次根式的性质依次计算后，再合并即可.
21．【答案】解：由题意得： ，
∴CH=BH，
设CH=BH=xm，则有 m，
∴ ，即 ，
解得： ，
∴ m.
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】由题意得CH=BH，设CH=BH=xm，则有 m，由 列出方程，求出x值即可.
22．【答案】解：过点 作 交 的延长线于点
由图可知： ，AM∥CD
∴∠B=∠BAM=30°，∠DCA=∠CAM=60°
∴
∴
∴
在 中，
∴ ，即
∴ （米）
答.观测点 到桥面 的距离是277米.
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】 过点 作 交 的延长线于点 ， 根据平行线的性质得出∠B=∠BAM=30°，∠DCA=∠CAM=60°，从而求出，即得∠B=∠BAC，由等角对等边可得CA=CB=320，在中，由求出AD即可.
23．【答案】解：根据在P处测得A点的仰角 为 且A与P两点的距离为6千米知；
在 中， ，
(千米)，
，
又由在P处测得B点的仰角 为 ，
为等腰直角三角形，
，
（千米），
天舟二号从A处到B处的平均速度为： ，
答：天舟二号从A处到B处的平均速度为 .
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】利用含30°角的直角三角形的性质得出 (千米)，由勾股定理求出DP的长，求出△BDP为等腰直角三角形，可得BD=DP，由AB=BD-AD可求出AB的长，由路程÷时间=平均速度计算即得结论.
24．【答案】解：设FD=x，则ME=AB-EF-FD=120-40-x=80-x，
∵∠EAM=45°，MA⊥CM，
∴△EAM为等腰直角三角形，其三边之比为 ，
∴AM=ME=80-x，
∵∠FAM=60°，MA⊥MF，
∴△AMF为30°，60°，90°直角三角形，
∴ ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
解得 米，
∵每层楼的高度为3米，
∴ ，
答：至少要买该住宅的第9层楼，才能使上午10时太阳光线照射到该层楼的外墙.
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】 设FD=x，则ME=AB-EF-FD=120-40-x=80-x，可求出△EAM为等腰直角三角形， 从而得出AM=ME=80-x， 可求出 △AMF为直角三角形且∠MFA=30°，可求出 ， 由于，据此建立方程，求出x值，再除以每层楼的高度3米，将结果与8米进行比较即可.
25．【答案】（1）解：如图，过A点作AD⊥BC于D，过E点作EF⊥AD于F，
∵∠EBD＝∠FDB＝∠DFE＝90°，
∴四边形BDFE为矩形，
∴EF＝BD，DF＝BE＝1.6m，
∴AF＝AD DF＝41.6 1.6＝40（m），
在Rt△AEF中，sin∠AEF= ，即sin = .
答：仰角 的正弦值为 。
（2）解：在Rt△AEF中，EF＝ m，
在Rt△ACD中，∠ACD＝63°，AD＝41.6 m，
∵tan∠ACD= ，
∴CD＝41.6÷tan63°＝41.6÷1.96≈21.22m，
∴BC＝BD＋CD＝30＋21.22≈51m.
答：B，C两点之间的距离约为51m.
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）过A点作AD⊥BC于D，过E点作EF⊥AD于F，可证四边形BDFE为矩形，可得EF＝BD，DF＝BE＝1.6m， 从而求出AF＝AD DF＝40（m），由sin∠AEF=sinα= 即可求出结论；
（2）在Rt△AEF中，由勾股定理求出EF，在Rt△ACD中，由tan∠ACD= 求出CD，利用BC=BD+CD即可求出结论；
1 / 1湘教版数学九年级上册《 第4章 锐角三角函数》单元检测B卷
一、单选题
1．（2021·毕节）如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD.其中 ， ， ，斜坡AB长8m.则斜坡CD的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：过点A作AE⊥BC于点E，过D作DF⊥BC于点F，
∴
∵AD//BC
∴
∴
∴则四边形AEFD是矩形，
∴
在 中，AB=8，
∴
∴
在 中， ，
∴
故答案为：B.
【分析】过点A作AE⊥BC于点E，过D作DF⊥BC于点F，证明四边形AEFD是矩形，可得，在 中，利用AE=AB·cos∠ABC，求出AE即得DF，在 中，，可得，据此即得结论.
2．（2021·桂林）如图，在平面直角坐标系内有一点P（3，4），连接OP，则OP与x轴正方向所夹锐角α的正弦值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】点的坐标；勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：作PM⊥x轴于点M，
∵P（3，4），
∴PM=4，OM=3，
由勾股定理得：OP=5，
∴ ，
故答案为：D
【分析】作PM⊥x轴于点M，根据勾股定理求出OP，然后根据正弦三角函数定义计算即可.
3．（2021·永州）下列计算正确的是（　　）
A．（π﹣3）0＝1 B．tan30°＝
C． ＝±2 D．a2 a3＝a6
【答案】A
【知识点】算术平方根；同底数幂的乘法；零指数幂；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：A.因为π﹣3≠0，所以（π﹣3）0＝1，因此选项A符合题意；
B.tan30°＝ ，因此选项B不符合题意；
C. ＝2，因此选项C 不符合题意；
D.a2 a3＝a2+3＝a5，因此选项D 不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据非零数的0次幂为1可判断A；根据特殊角的三角函数值可判断B；根据算术平方根的概念可拍的C；根据同底数幂的乘法法则可判断D.
4．（2021·福建）如图，某研究性学习小组为测量学校A与河对岸工厂B之间的距离，在学校附近选一点C，利用测量仪器测得 .据此，可求得学校与工厂之间的距离 等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【解答】
，
.
故答案为：D.
【分析】利用即可求出AB.
5．（2021八下·锡山期末）如图，在矩形 中， ， ， 是 的中点，将 沿直线 翻折，点落 在点 处，连结 ，则 的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；翻折变换（折叠问题）；锐角三角函数的定义；线段的中点
【解析】【解答】解：如图所示，过点E作EH⊥CF于H
由折叠可得：AB=AF=2，BE=EF，∠AEB=∠AEF，
∵点E是BC中点， ，
∴BE=CE=EF= ，
∴△EFC为等腰三角形
∴CF=2FH=2CH
∴∠EFC=∠ECF，AE= ，
∵∠BEF=∠AEB+∠AEF=∠EFC+∠ECF，
∴∠ECF=∠AEB，
∴ = = ，
∴
∴CF=2CH=
故答案为：D.
【分析】过点E作EH⊥CF于H，由折叠的性质可得：AB=AF=2，BE=EF，∠AEB=∠AEF，由线段中点的概念可得BE=CE=EF= ，推出△EFC为等腰三角形，由勾股定理可得AE的值，由等腰三角形的性质可得到∠ECF=∠AEB，据此求解.
6．（2021·鄂州）如图， 中， ， ， .点 为 内一点，且满足 .当 的长度最小时， 的面积是（　　）
A．3 B． C． D．
【答案】D
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：
取 中点O，并以O为圆心， 长为半径画圆
由题意知：当B、P、O三点共线时，BP最短
点P是BO的中点
在 中，
是等边三角形
在 中，
.
【分析】由勾股逆定理得出∠APC为90°，取 中点O，并以O为圆心， 长为半径画圆，则知当B、P、O三点共线时，BP最短，再求出OC的长，然后利用勾股定理求出BO，再根据线段间的关系求出△PCO为等边三角形，得出∠ACP为60°，利用三角函数的定义求出AP，代入面积公式计算即可.
7．（2021·玉林）如图， 底边 上的高为 ， 底边 上的高为 ，则有（　　）
A． B．
C． D．以上都有可能
【答案】A
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：分别过点A作AE⊥BC于点E，PF⊥QR于点F，如图所示，
由题意得： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为：A.
【分析】分别过点A作AE⊥BC于点E，PF⊥QR于点F，可得 ，可得结果.
8．（2021·丹东）如图，在矩形 中，连接 ，将 沿对角线 折叠得到 交 于点O， 恰好平分 ，若 ，则点O到 的距离为（　　）
A． B．2 C． D．3
【答案】B
【知识点】角平分线的性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】如图，过点O作OF⊥BD于F，
∴OF为点O到 的距离，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠ABC=90°，
∵将 沿对角线 折叠得到△BDE，
∴∠EBD=∠CBD，
∵ 恰好平分 ，
∴∠ABO=∠EBD，OA=OF，
∴∠EBD=∠CBD=∠ABO，
∴∠ABO=30°，
∵ ，
∴OF=OA=AB·tan30°=2，
故答案为：B．
【分析】过点O作OF⊥BD于F，由矩形的性质可得∠A=∠ABC=90°，由折叠的性质可得∠EBD=
∠CBD，由角平分线的性质可得∠ABO=∠EBD，OA=OF，从而求出∠ABO=30°，利用∠ABO的正切值求出OA即可.
9．（2021·怀化）如图，菱形ABCD的四个顶点均在坐标轴上，对角线AC、BD交于原点O， 于E点，交BD于M点，反比例函数 的图象经过线段DC的中点N，若 ，则ME的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】菱形的性质；解直角三角形；反比例函数图象上点的坐标特征；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：∵菱形ABCD，
∴
∴D点的坐标为（0，2）
设C点坐标为（ ，0）
∵线段DC的中点N
∴设N点坐标为（ ，1）
又∵反比例函数 的图象经过线段DC的中点N
∴ ，解得
即C点坐标为（ ，0），
在 中，
∴
∵菱形ABCD
∴ ， ，
∴ 是等边三角形
又∵ 于E点， 于O点
∴ ，
∵ ， ，
∴
∴
又∵在 中，
∴
∴
故答案为：D.
【分析】利用菱形的性质可求出点D的坐标，设C点坐标为（ ，0） 可求出线段DC的中点坐标N，将点N的坐标代入函数解析式，可求出点C的坐标，即可得到OC的长；再利用解直角三角形求出∠ODC=30°，易证△ABC是等边三角形；再利用AAS证明△AOM≌△BEM，利用全等三角形的性质，可证得AM=BM；然后利用解直角三角形求出ME的长.
10．（2021·宜昌）如图， 的顶点是正方形网格的格点，则 的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：作AD⊥BC于D，
由图可知：AD=3，BD=3，
在Rt△ABD中， ，
∴ = ，
故答案为：B.
【分析】利用勾股定理求出AB的长，再利用锐角三角函数的定义求出cos∠ABC的值.
11．（2021·随县）如图，某梯子长10米，斜靠在竖直的墙面上，当梯子与水平地面所成角为 时，梯子顶端靠在墙面上的点 处，底端落在水平地面的点 处，现将梯子底端向墙面靠近，使梯子与地面所成角为 ，已知 ，则梯子顶端上升了（　　）
A．1米 B．1.5米 C．2米 D．2.5米
【答案】C
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【解答】解：如图所示标记字母，
根据题意得AB=CE=10米，
∵sinβ ，
在Rt△ECD中，sin ，
∴CD= ，
在Rt△ABD中，sin ，
∴ ，
∴AC=CD-AD=8-6=2.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件可得到AB，CE的长；利用同角三角函数，可求出sinβ的值；在Rt△ECD中，利用解直角三角形求出CD的长，再求出AD的长；然后根据AC=CD-AD，可求出AC的长.
12．（2021·衡阳）如图是某商场营业大厅自动扶梯的示意图.自动扶梯 的倾斜角为 ，大厅两层之间的距离 为6米，则自动扶梯 的长约为（ ）（　　）.
A．7.5米 B．8米 C．9米 D．10米
【答案】D
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【解答】解：根据题意，得：
∵ 米
∴ 米
故答案为：D.
【分析】由求出AB即可.
二、填空题
13．（2021·南通）如图，一艘轮船位于灯塔P的南偏东 方向，距离灯塔50海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东 方向上的B处，此时B处与灯塔P的距离为　 　海里（结果保留根号）.
【答案】
【知识点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【解答】解：如图，作PC⊥AB于点C，
在Rt△APC中，AP=50海里，∠APC=90°-60°=30°，
∴ 海里， 海里，
在Rt△PCB中，PC= 海里，∠BPC=90°-45°=45°，
∴PC=BC= 海里，
∴ 海里，
故答案为： .
【分析】如图，作PC⊥AB于点C，在Rt△APC中，求出∠APC=90°-60°=30°，可得 海里，由勾股定理求出PC=海里，由于△PCB为等腰直角三角形，可得PC=BC= 海里，利用勾股定理求出PB即可.
14．（2021·荆门）计算： 　 　.
【答案】
【知识点】实数的运算；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：
.
故答案为： .
【分析】根据绝对值的性质、负整数幂的性质、特殊角三角函数值，零指数幂的性质分别进行计算，再合并即可.
15．（2021·荆门）如图，在平面直角坐标系中， 斜边上的高为1， ，将 绕原点顺时针旋转 得到 ，点A的对应点C恰好在函数 的图象上，若在 的图象上另有一点M使得 ，则点M的坐标为　 　.
【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；特殊角的三角函数值；坐标与图形变化﹣旋转；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：如图，过点 作 轴，过点 作 轴，
由题意可知 ，
则 ，C在 上，
设
即 解得 （不符合题意，舍去）
所以
故答案为： .
【分析】过点 作 轴，过点 作 轴，先求出，可得点C（1，），设 ，由，据此求出m值即可.
16．（2021·贵港）如图，在矩形ABCD中，BD是对角线，AE⊥BD，垂足为E，连接CE，若 ，则tan∠DEC的值是　 　.
【答案】
【知识点】矩形的性质；锐角三角函数的定义；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：如图，过点 作 于点 ，
在 与 中，
，
，
， ，
，tan∠ADB＝ ＝ ，
设AB＝a，则AD＝2a，
∴BD＝ a，
∵S△ABD＝ BD AE＝ AB AD，
∴AE＝CF＝ a，
∴BE＝FD＝ a，
∴EF＝BD﹣2BE＝ a﹣ a＝ a，
∴tan∠DEC＝ ＝ ，
故答案为： .
【分析】过点 作 于点 ，证明 ，可得 ， ，由tan∠ADB＝ ＝ ，可设AB＝a，则AD＝2a，由勾股定理求出BD＝ a，根据S△ABD＝ BD AE＝ AB AD，可求出AE＝CF＝ a，继而可得BE＝FD＝ a，利用EF=BD-2BE求出EF，据此tan∠DEC＝ 即可求出结论.
17．（2021·无锡）一条上山直道的坡度为1：7，沿这条直道上山，则前进100米所上升的高度为　 　米.
【答案】
【知识点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：如图，
设BC=x，则AB=7x，
由题意得： ，解得：x= ，
故答案为： .
【分析】设BC=x，则AB=7x，根据勾股定理建立方程，求出x值即可.
18．（2021·仙桃）如图，某活动小组利用无人机航拍校园，已知无人机的飞行速度为 ，从A处沿水平方向飞行至B处需 ，同时在地面C处分别测得A处的仰角为 ，B处的仰角为 .则这架无人机的飞行高度大约是　 　 （ ，结果保留整数）
【答案】20
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：如图，过点 作 于点 ，过点 作水平线的垂线，垂足为点 ，
由题意得： ， ，
，
在 中， ， ，
在 中， ，
，
在 中， ，
即这架无人机的飞行高度大约是 ，
故答案为：20.
【分析】过点A作AD⊥BC于点D，过点B作水平线的垂线，垂足为点E，由题意得：AB=30m，∠ACE=75°，∠BCE=30°，AB∥CE，据此可求得∠ACB、∠ABC的度数，然后分别在Rt△ABD、Rt△ACD中，求解可得AD、BD、CD的值，进而求得BC的值，最后在Rt△BCE中进行求解即可.
三、解答题
19．（2021·达州）计算： .
【答案】解：原式
【知识点】实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】先算乘方运算，同时化简绝对值，代入特殊角的三角函数值，再算乘法运算，然后合并即可.
20．（2021·张家界）计算：
【答案】解：
.
【知识点】实数的运算；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】根据乘方、绝对值的性质、特殊角的三角函数值、二次根式的性质依次计算后，再合并即可.
21．（2021·湘西）有诗云：东山雨霁画屏开，风卷松声入耳来.一座楼阁镇四方，团结一心建家乡.1987年为庆祝湘西自治州成立三十周年，湘西州政府在花果山公园内修建了一座三层楼高的“一心阁”民族团结楼阁.芙蓉学校数学实践活动小组为测量“一心阁” 的高度，在楼前的平地上A处，观测到楼顶 处的仰角为30°，在平地上 处观测到楼顶 处的仰角为 ，并测得A、 两处相距 ，求“一心阁” 的高度.（结果保留小数点后一位，参考数据： ， ）
【答案】解：由题意得： ，
∴CH=BH，
设CH=BH=xm，则有 m，
∴ ，即 ，
解得： ，
∴ m.
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】由题意得CH=BH，设CH=BH=xm，则有 m，由 列出方程，求出x值即可.
22．（2021·张家界）张家界大峡谷玻璃桥是我市又一闻名中外的五星景点.某校初三年级在一次研学活动中，数学研学小组设计以下方案测量桥的高度.如图，在桥面正下方的谷底选一观测点 ，观测到桥面 ， 的仰角分别为 ，测得 长为320米，求观测点 到桥面 的距离.（结果保留整数，参考数据： ）
【答案】解：过点 作 交 的延长线于点
由图可知： ，AM∥CD
∴∠B=∠BAM=30°，∠DCA=∠CAM=60°
∴
∴
∴
在 中，
∴ ，即
∴ （米）
答.观测点 到桥面 的距离是277米.
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】 过点 作 交 的延长线于点 ， 根据平行线的性质得出∠B=∠BAM=30°，∠DCA=∠CAM=60°，从而求出，即得∠B=∠BAC，由等角对等边可得CA=CB=320，在中，由求出AD即可.
23．（2021·娄底）我国航天事业捷报频传，天舟二号于2021年5月29日成功发射，震撼人心.当天舟二号从地面到达点A处时，在P处测得A点的仰角 为 且A与P两点的距离为6千米，它沿铅垂线上升75秒后到达B处，此时在P处测得B点的仰角 为 ，求天舟二号从A处到B处的平均速度.（结果精确到 ，取 ）
【答案】解：根据在P处测得A点的仰角 为 且A与P两点的距离为6千米知；
在 中， ，
(千米)，
，
又由在P处测得B点的仰角 为 ，
为等腰直角三角形，
，
（千米），
天舟二号从A处到B处的平均速度为： ，
答：天舟二号从A处到B处的平均速度为 .
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】利用含30°角的直角三角形的性质得出 (千米)，由勾股定理求出DP的长，求出△BDP为等腰直角三角形，可得BD=DP，由AB=BD-AD可求出AB的长，由路程÷时间=平均速度计算即得结论.
24．（2021·铜仁）如图，在一座山的前方有一栋住宅，已知山高 m，楼高 m，某天上午9时太阳光线从山顶点 处照射到住宅的点 外.在点 处测得点 的俯角 ，上午10时太阳光线从山顶点 处照射到住宅点 处，在点 处测得点 的俯角 ，已知每层楼的高度为3m， m，问：以当天测量数据为依据，不考虑季节天气变化，至少要买该住宅的第几层楼，才能使上午10时太阳光线照射到该层楼的外墙？（ ）
【答案】解：设FD=x，则ME=AB-EF-FD=120-40-x=80-x，
∵∠EAM=45°，MA⊥CM，
∴△EAM为等腰直角三角形，其三边之比为 ，
∴AM=ME=80-x，
∵∠FAM=60°，MA⊥MF，
∴△AMF为30°，60°，90°直角三角形，
∴ ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
解得 米，
∵每层楼的高度为3米，
∴ ，
答：至少要买该住宅的第9层楼，才能使上午10时太阳光线照射到该层楼的外墙.
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】 设FD=x，则ME=AB-EF-FD=120-40-x=80-x，可求出△EAM为等腰直角三角形， 从而得出AM=ME=80-x， 可求出 △AMF为直角三角形且∠MFA=30°，可求出 ， 由于，据此建立方程，求出x值，再除以每层楼的高度3米，将结果与8米进行比较即可.
25．（2021·安顺）随着科学技术的不断进步，无人机被广泛应用到实际生活中，小星利用无人机来测量广场 两点之间的距离.如图所示，小星站在广场的 处遥控无人机，无人机在 处距离地面的飞行高度是 ，此时从无人机测得广场 处的俯角为 ，他抬头仰视无人机时，仰角为 ，若小星的身高 （点 在同一平面内）.
（1）求仰角 的正弦值；
（2）求 两点之间的距离（结果精确到 ）.
【答案】（1）解：如图，过A点作AD⊥BC于D，过E点作EF⊥AD于F，
∵∠EBD＝∠FDB＝∠DFE＝90°，
∴四边形BDFE为矩形，
∴EF＝BD，DF＝BE＝1.6m，
∴AF＝AD DF＝41.6 1.6＝40（m），
在Rt△AEF中，sin∠AEF= ，即sin = .
答：仰角 的正弦值为 。
（2）解：在Rt△AEF中，EF＝ m，
在Rt△ACD中，∠ACD＝63°，AD＝41.6 m，
∵tan∠ACD= ，
∴CD＝41.6÷tan63°＝41.6÷1.96≈21.22m，
∴BC＝BD＋CD＝30＋21.22≈51m.
答：B，C两点之间的距离约为51m.
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）过A点作AD⊥BC于D，过E点作EF⊥AD于F，可证四边形BDFE为矩形，可得EF＝BD，DF＝BE＝1.6m， 从而求出AF＝AD DF＝40（m），由sin∠AEF=sinα= 即可求出结论；
（2）在Rt△AEF中，由勾股定理求出EF，在Rt△ACD中，由tan∠ACD= 求出CD，利用BC=BD+CD即可求出结论；
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