北师版数学九年级上册同步训练《4.3 相似多边形》
一、单选题
1．（2021九上·平果期末）下列各组图形中，一定相似的是（ ）
A．两个矩形 B．两个菱形
C．两个正方形 D．两个等腰梯形
2．（2021九上·来宾期末）已知：如图，在 中， ，则下列等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2021九上·甘井子期末）如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，∠A＝80°，∠C＝90°，∠F＝70°，则∠E的度数为（ ）
A．70° B．80° C．90° D．120°
4．（2020九上·保定期中）如图，在矩形、三角形、正五边形、菱形的外边加一个宽度一样的外框，保证外框的边界与原图形对应边平行，则外框与原图一定相似的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3 D．4个
5．（2019九上·榆次期中）在如图所示的各组图形中，相似的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．②④
6．（2021九上·舞钢期末）下列说法正确的是（ ）
A．相似多边形都是位似多边形
B．有一个角是100°的两个等腰三角形一定相似
C．两边对应成比例，且有一个角对应相等的两个三角形一定相似
D．所有的菱形都相似
7．（2020九上·洪洞期中）下列说法错误的是（ ）
A．含 角的直角三角形与含 角的直角三角形是相似的
B．所有的矩形是相似的
C．所有边数相等的正多边形是相似的
D．所有的等边三角形都是相似的
8．（2020九上·长春期末）用放大镜观察一个五边形时，不变的量是（ ）
A．各边的长度 B．各内角的度数
C．五边形的周长 D．五边形的面积
9．（2019九上·青山期中）如图，有三个矩形，其中是相似图形的是（ ）
A．甲和乙 B．甲和丙 C．乙和丙 D．甲、乙和丙
10．（2018九上·定兴期中）如图，取一张长为a，宽为b的长方形纸片，将它对折两次后得到一张小长方形纸片，若要使小长方形与原长方形相似，则原长方形纸片的边a、b应满足的条件是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2020九上·青山期中）一个多边形的边长依次为1，2，3，4，5，6，与它相似的另一个多边形的最大边长为8，那么另一个多边形的周长是 .
12．（2020九上·合肥月考）以正方形各边的中点为顶点，可以组成一个新正方形，则新正方形与原正方形的相似比为 。
13．（2019九上·乡宁期中）秋天红透的枫叶，总能牵动人们无尽的思绪，所以诗人杜牧说：“停车坐爱枫林晚，霜叶红于二月花”如图是两片形状完全相同，大小不同的枫叶，则 的值为 ．
14．（2018九上·太原期中）如图，正方形ABCD中，点E是对角线BD上的一点，BE=BC，过点E作EF⊥AB，EG⊥BC，垂足分别为点F，G，则正方形FBGE与正方形ABCD的相似比为 ．
15．两个三角形相似，其中一个三角形的两个内角是40°、60°．那么另一个三角形的最大角是 度，最小角是 度．
16．图中的两个四边形相似，则 = ，a= ．
三、解答题
17．已知四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似，且A1B1：B1C1：C1D1：D1A1=7：8：11：14，若四边形ABCD的周长为40，求四边形ABCD各边的长．
18．如图，四边形ABCD和四边形EFGH相似，求∠α、∠β的大小和EH的长度．
19．（2019九上·庆阳月考）如图，点 是菱形 对角线 的延长线上任意一点，以线段 为边作一个菱形 ，且菱形 菱形 ，连接 ，求证： .
20．如图，△ABC中，AB=8厘米，AC=16厘米，点P从A出发，以每秒2厘米的速度向B运动，点Q从C同时出发，以每秒3厘米的速度向A运动，其中一个动点到端点时，另一个动点也相应停止运动，那么，当以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间是多少？
21．如图所示，现有边长为1，a（a＞1）的一张矩形纸片ABCD，把这个矩形按要求分割，画出分割线，并在相应的位置上写出a的值．
（1）把这个矩形分成两个全等的小矩形，且分成的两个矩形与原矩形相似．
（2）把这个和矩形分成三个矩形，且每一个矩形都与原矩形相似，给出两种不同的分割．
22．试判断如图所示的两个矩形是否相似．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】相似图形
【解析】【解答】解：A、两个矩形四个角相等，但是各边不一定对应成比例，所以不一定相似，故不符合题意；
B、两个菱形，对应边成比例，对应角不一定相等，不符合相似多边形的定义，故不符合题意；
C、两个正方形，对应角相等，对应边一定成比例，一定相似，故符合题意；
D、两个等腰梯形同一底上的角不一定相等，对应边不一定成比例，不符合相似多边形的定义，故不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据多边形相似的判定“各角对应相等、各边的比相等”并结合各选项可判断求解.
2．【答案】C
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】∵∠AED=∠B，∠A=∠A，
∴△ADE∽△ACB，
∴ .
由此可得，只有选项C正确，故答案为：C.
【分析】先由两组对角分别相等得出△ADE∽△ACB，再由相似三角形对应边成比例列式，结合每项分别判断即可.
3．【答案】B
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD∽四边形EFGH，∠A＝80°，
∴∠E＝∠A＝80°，
故答案为：B
【分析】根据相似多边形的对应角相等可求解.
4．【答案】C
【知识点】相似图形
【解析】【解答】矩形的原图与外框不相似，因为其对应角的度数一定相同，但对应边的比值不一定相等，不符合相似的条件；
锐角三角形的原图与外框相似，因为其对应角均相等，对应边均对应成比例，符合相似的条件；
正五边形相似，因为它们的边长都对应成比例、对应角都相等，符合相似的条件；
菱形的原图与外框相似，因为其对应角均相等，对应边均对应成比例，符合相似的条件．
综上，外框与原图一定相似的有3个，
故答案为：C．
【分析】根据相似图形的判定方法：对应边成比例和夹角相等，逐项判定即可。
5．【答案】C
【知识点】相似图形
【解析】【解答】①∵正六边形与一般六边形的对应边不成比例，
∴两图形不相似；
②∵正方形的各角相等，且对应边的比相等，
∴两正方形相似；
③∵菱形的角相等，对应边的比也相等，
∴两个菱形相似．
④两个矩形的对应角相等，但对应边的比不相等，
∴两个矩形不一定相似．
故答案为：C．
【分析】根据相似多边形的性质对各组多边形进行逐一判断即可．
6．【答案】B
【知识点】相似图形；位似变换
【解析】【解答】解：A、当多边形对应顶点连线相交于一点，且对应边成比例的两个相似多边形是位似多边形，故A选项错误；
B、因为三角形内角和为 ，所以有一个角100°的等腰三角形一定是顶角为100°，故两个等腰三角形三个角相等，故两个三角形相似，故B选项正确；
C、两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，故C选项错误；
D、正方形也属于菱形，与普通菱形不相似，故不是所有菱形都相似，故D选项错误.
故答案为：B.
【分析】根据三角形相似的判定可以判断出B、C选项，根据相似多边形以及位似多边形的性质判断A、D即可得出答案.
7．【答案】B
【知识点】相似图形；相似三角形的判定
【解析】【解答】A. 含 角的直角三角形可知另一个锐角为60°，与含 角的直角三角形是相似的，故不符合题意；
B. 若一个矩形的长与宽的比为2：1，另一个矩形的长与宽的比为3：1，则这两个矩形就不相似，故B选项符合题意；
C. 所有边数相等的正多边形是相似的，符合题意，故不符合题意；
D. 所有的等边三角形都是相似的，符合题意，故不符合题意，
故答案为：B.
【分析】根据相似三角形与相似多边形的判定方法逐一进行判断即可得.
8．【答案】B
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：用一个放大镜去观察一个五边形，放大后的五边形与原五边形相似，
A.相似五边形的对应边成比例，所以各边长都变大，故A选项不符合题意；
B.相似五边形的对应角相等，所以对应角大小不变，故B符合题意;
C.相似五边形的周长得比等于相似比，故C选项不符合题意;
D.相似五边形的面积比等于相似比的平方，故D选项不符合题意.
故答案为：B．
【分析】用放大镜观察一个图形，则与原图形相似，根据相似图形的性质进行判断.即相似图形的对应角相等，对应边成比例，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.
9．【答案】B
【知识点】相似图形
【解析】【解答】根据对应角相等且对应边成比例的两个多边形相似即可判断.
∵
∴是相似形的是甲和丙
故答案为：B.
【分析】根据多边形相似的判定定理，即可得到答案。
10．【答案】B
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：对折两次后的小长方形的长为b，宽为 a，
∵小长方形与原长方形相似，
∴ = ，
∴a=2b．
故答案为：B
【分析】由题得对折两次后的小长方形纸片的长和宽，再根据相似多边形的性质可得，化简可得a与b的关系。
11．【答案】28
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：设另一个多边形的周长是x．依题意，有
x：（1+2+3+4+5+6）=8：6，
解得x=28．
故另一个多边形的周长是28．
【分析】根据相似多边形的周长比等于相似比作答．
12．【答案】 ：1
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：设正方形的边长为2，则新正方形的边长为，
∴ 新正方形与原正方形的相似比为.
故答案为：.
【分析】设正方形的边长为2，根据题意求出新正方形的边长为，再根据相似多边形的性质得出新正方形与原正方形的相似比为，即可求解.
13．【答案】6
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】由题意得：这两片枫叶相似
则
解得
故答案为：6．
【分析】根据相似多边形的性质即可得．
14．【答案】
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：设BG=x，
则BE= x，
∵BE=BC，
∴BC= x，
则正方形FBGE与正方形ABCD的相似比=BG：BC=x： x= ：2，
故答案为：
【分析】设BG=x，可得BE= x，BC= x，可得两个正方形的相似比.
15．【答案】80；40
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：∵一个三角形的两个内角是40°、60°．
∴另一个内角为：180°-40°-60°=80°，
∵两个三角形相似，
∴另一个三角形的最大角是80°，最小角是40°．
故答案为：80，40
【分析】根据相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，即可求解。
16．【答案】63；85°
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：由于两个四边形相似，它们的对应边成比例，对应角相等，
所以 ，解得x=36，y=27，则 ．
．
故答案为63；85°
【分析】两个四边形相似，可得出它们的对应角相等，对应边成比例，就可求出答案。
17．【答案】解：∵四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似，且A1B1：B1C1：C1D1：D1A1=7：8：11：14，
∴AB：BC：CD：DA=7：8：11：14，
∵四边形ABCD的周长为40，
∴AB=40× =7，BC=40× =8，CD=40× =11，DA=40× =14．
∴四边形ABCD各边的长分别为：AB=7，BC=8，CD=11，DA=14
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【分析】利用四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似，可得出对应边成比例，再由四边形ABCD的周长为40，利用相似多边形的周长比等于相似比，可求出四边形ABCD各边的长。
18．【答案】解：∵四边形ABCD和四边形EFGH相似，
∴∠α=∠B=83°，∠D=∠H=118°， ， ，
∴ ，
∴EH=28（cm）．
答：∠α=83°，∠β=81°，EH=28cm
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【分析】根据已知条件：四边形ABCD和四边形EFGH相似，可得出它们的对应边成比例，对应角相等，就可求出∠α、∠β的大小及EH的长度。
19．【答案】解：∵菱形 菱形 ，
∴∠DAB=∠EAG，
∴∠DAB+∠GAB=∠EAG+∠GAB，即∠EAB=∠GAD，
∵四边形ABCD、AEFG都是菱形，
∴AE=AG，AB=AD，
在△EAB和△GAD中 ，
∴△EAB≌△GAD，
∴GD=EB.
【知识点】三角形全等及其性质；菱形的性质；相似多边形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】由相似多边形的性质可得∠DAB=∠EAG，根据角的和差关系可得∠EAB=∠GAD，根据菱形的性质可得AE=AG，AB=AD，利用SAS可证明△EAB≌△GAD，即可证明GD=EB.
20．【答案】解：设运动了ts，根据题意得：AP=2tcm，CQ=3tcm，则AQ=AC﹣CQ=16﹣3t（cm），当△APQ∽△ABC时， ，即 ，解得：t= ；当△APQ∽△ACB时， ，即 ，解得：t=4；故当以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间是： s或4s．
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【分析】由题意根据路程=速度时间，可将AP、CQ、AQ用含t的代数式表示。因为∠A时公共角，所以以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时分两种情况讨论求解：
①当△APQ∽△ABC时，可得比例式，代入可得关于t的方程，解方程即可求解；
②当△APQ∽△ACB时，可得比例式，代入可得关于t的方程，解方程即可求解。
21．【答案】解：（1）∵是自相似2分割，
∴BF=FC=BC，
根据相似矩形对应边成比例，
∴a a=1，
解得a=；
（2）如图所示：
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【分析】（1）根据相似矩形对应边成比例列出比例式，代入数据求解即可；
（2）把矩形三等分就可以自相似3分割，先纵向分割出一个小矩形，再横向二等分也可以得到矩形自相3分割，然后根据相似矩形对应边成比例列式求解．
22．【答案】解：这两个矩形的角是直角，因而对应角一定相等，
小矩形的长是40﹣10﹣10=20，宽是20﹣5﹣5=10，
因为=，即两个矩形的对应边的比相等，
因而这两个矩形相似．
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【分析】如果两个矩形的对应角相等，且对应边的比相等，那么这两个矩形相似，依此判断即可．
1 / 1北师版数学九年级上册同步训练《4.3 相似多边形》
一、单选题
1．（2021九上·平果期末）下列各组图形中，一定相似的是（ ）
A．两个矩形 B．两个菱形
C．两个正方形 D．两个等腰梯形
【答案】C
【知识点】相似图形
【解析】【解答】解：A、两个矩形四个角相等，但是各边不一定对应成比例，所以不一定相似，故不符合题意；
B、两个菱形，对应边成比例，对应角不一定相等，不符合相似多边形的定义，故不符合题意；
C、两个正方形，对应角相等，对应边一定成比例，一定相似，故符合题意；
D、两个等腰梯形同一底上的角不一定相等，对应边不一定成比例，不符合相似多边形的定义，故不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据多边形相似的判定“各角对应相等、各边的比相等”并结合各选项可判断求解.
2．（2021九上·来宾期末）已知：如图，在 中， ，则下列等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】∵∠AED=∠B，∠A=∠A，
∴△ADE∽△ACB，
∴ .
由此可得，只有选项C正确，故答案为：C.
【分析】先由两组对角分别相等得出△ADE∽△ACB，再由相似三角形对应边成比例列式，结合每项分别判断即可.
3．（2021九上·甘井子期末）如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，∠A＝80°，∠C＝90°，∠F＝70°，则∠E的度数为（ ）
A．70° B．80° C．90° D．120°
【答案】B
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD∽四边形EFGH，∠A＝80°，
∴∠E＝∠A＝80°，
故答案为：B
【分析】根据相似多边形的对应角相等可求解.
4．（2020九上·保定期中）如图，在矩形、三角形、正五边形、菱形的外边加一个宽度一样的外框，保证外框的边界与原图形对应边平行，则外框与原图一定相似的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3 D．4个
【答案】C
【知识点】相似图形
【解析】【解答】矩形的原图与外框不相似，因为其对应角的度数一定相同，但对应边的比值不一定相等，不符合相似的条件；
锐角三角形的原图与外框相似，因为其对应角均相等，对应边均对应成比例，符合相似的条件；
正五边形相似，因为它们的边长都对应成比例、对应角都相等，符合相似的条件；
菱形的原图与外框相似，因为其对应角均相等，对应边均对应成比例，符合相似的条件．
综上，外框与原图一定相似的有3个，
故答案为：C．
【分析】根据相似图形的判定方法：对应边成比例和夹角相等，逐项判定即可。
5．（2019九上·榆次期中）在如图所示的各组图形中，相似的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．②④
【答案】C
【知识点】相似图形
【解析】【解答】①∵正六边形与一般六边形的对应边不成比例，
∴两图形不相似；
②∵正方形的各角相等，且对应边的比相等，
∴两正方形相似；
③∵菱形的角相等，对应边的比也相等，
∴两个菱形相似．
④两个矩形的对应角相等，但对应边的比不相等，
∴两个矩形不一定相似．
故答案为：C．
【分析】根据相似多边形的性质对各组多边形进行逐一判断即可．
6．（2021九上·舞钢期末）下列说法正确的是（ ）
A．相似多边形都是位似多边形
B．有一个角是100°的两个等腰三角形一定相似
C．两边对应成比例，且有一个角对应相等的两个三角形一定相似
D．所有的菱形都相似
【答案】B
【知识点】相似图形；位似变换
【解析】【解答】解：A、当多边形对应顶点连线相交于一点，且对应边成比例的两个相似多边形是位似多边形，故A选项错误；
B、因为三角形内角和为 ，所以有一个角100°的等腰三角形一定是顶角为100°，故两个等腰三角形三个角相等，故两个三角形相似，故B选项正确；
C、两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，故C选项错误；
D、正方形也属于菱形，与普通菱形不相似，故不是所有菱形都相似，故D选项错误.
故答案为：B.
【分析】根据三角形相似的判定可以判断出B、C选项，根据相似多边形以及位似多边形的性质判断A、D即可得出答案.
7．（2020九上·洪洞期中）下列说法错误的是（ ）
A．含 角的直角三角形与含 角的直角三角形是相似的
B．所有的矩形是相似的
C．所有边数相等的正多边形是相似的
D．所有的等边三角形都是相似的
【答案】B
【知识点】相似图形；相似三角形的判定
【解析】【解答】A. 含 角的直角三角形可知另一个锐角为60°，与含 角的直角三角形是相似的，故不符合题意；
B. 若一个矩形的长与宽的比为2：1，另一个矩形的长与宽的比为3：1，则这两个矩形就不相似，故B选项符合题意；
C. 所有边数相等的正多边形是相似的，符合题意，故不符合题意；
D. 所有的等边三角形都是相似的，符合题意，故不符合题意，
故答案为：B.
【分析】根据相似三角形与相似多边形的判定方法逐一进行判断即可得.
8．（2020九上·长春期末）用放大镜观察一个五边形时，不变的量是（ ）
A．各边的长度 B．各内角的度数
C．五边形的周长 D．五边形的面积
【答案】B
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：用一个放大镜去观察一个五边形，放大后的五边形与原五边形相似，
A.相似五边形的对应边成比例，所以各边长都变大，故A选项不符合题意；
B.相似五边形的对应角相等，所以对应角大小不变，故B符合题意;
C.相似五边形的周长得比等于相似比，故C选项不符合题意;
D.相似五边形的面积比等于相似比的平方，故D选项不符合题意.
故答案为：B．
【分析】用放大镜观察一个图形，则与原图形相似，根据相似图形的性质进行判断.即相似图形的对应角相等，对应边成比例，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.
9．（2019九上·青山期中）如图，有三个矩形，其中是相似图形的是（ ）
A．甲和乙 B．甲和丙 C．乙和丙 D．甲、乙和丙
【答案】B
【知识点】相似图形
【解析】【解答】根据对应角相等且对应边成比例的两个多边形相似即可判断.
∵
∴是相似形的是甲和丙
故答案为：B.
【分析】根据多边形相似的判定定理，即可得到答案。
10．（2018九上·定兴期中）如图，取一张长为a，宽为b的长方形纸片，将它对折两次后得到一张小长方形纸片，若要使小长方形与原长方形相似，则原长方形纸片的边a、b应满足的条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：对折两次后的小长方形的长为b，宽为 a，
∵小长方形与原长方形相似，
∴ = ，
∴a=2b．
故答案为：B
【分析】由题得对折两次后的小长方形纸片的长和宽，再根据相似多边形的性质可得，化简可得a与b的关系。
二、填空题
11．（2020九上·青山期中）一个多边形的边长依次为1，2，3，4，5，6，与它相似的另一个多边形的最大边长为8，那么另一个多边形的周长是 .
【答案】28
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：设另一个多边形的周长是x．依题意，有
x：（1+2+3+4+5+6）=8：6，
解得x=28．
故另一个多边形的周长是28．
【分析】根据相似多边形的周长比等于相似比作答．
12．（2020九上·合肥月考）以正方形各边的中点为顶点，可以组成一个新正方形，则新正方形与原正方形的相似比为 。
【答案】 ：1
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：设正方形的边长为2，则新正方形的边长为，
∴ 新正方形与原正方形的相似比为.
故答案为：.
【分析】设正方形的边长为2，根据题意求出新正方形的边长为，再根据相似多边形的性质得出新正方形与原正方形的相似比为，即可求解.
13．（2019九上·乡宁期中）秋天红透的枫叶，总能牵动人们无尽的思绪，所以诗人杜牧说：“停车坐爱枫林晚，霜叶红于二月花”如图是两片形状完全相同，大小不同的枫叶，则 的值为 ．
【答案】6
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】由题意得：这两片枫叶相似
则
解得
故答案为：6．
【分析】根据相似多边形的性质即可得．
14．（2018九上·太原期中）如图，正方形ABCD中，点E是对角线BD上的一点，BE=BC，过点E作EF⊥AB，EG⊥BC，垂足分别为点F，G，则正方形FBGE与正方形ABCD的相似比为 ．
【答案】
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：设BG=x，
则BE= x，
∵BE=BC，
∴BC= x，
则正方形FBGE与正方形ABCD的相似比=BG：BC=x： x= ：2，
故答案为：
【分析】设BG=x，可得BE= x，BC= x，可得两个正方形的相似比.
15．两个三角形相似，其中一个三角形的两个内角是40°、60°．那么另一个三角形的最大角是 度，最小角是 度．
【答案】80；40
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：∵一个三角形的两个内角是40°、60°．
∴另一个内角为：180°-40°-60°=80°，
∵两个三角形相似，
∴另一个三角形的最大角是80°，最小角是40°．
故答案为：80，40
【分析】根据相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，即可求解。
16．图中的两个四边形相似，则 = ，a= ．
【答案】63；85°
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：由于两个四边形相似，它们的对应边成比例，对应角相等，
所以 ，解得x=36，y=27，则 ．
．
故答案为63；85°
【分析】两个四边形相似，可得出它们的对应角相等，对应边成比例，就可求出答案。
三、解答题
17．已知四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似，且A1B1：B1C1：C1D1：D1A1=7：8：11：14，若四边形ABCD的周长为40，求四边形ABCD各边的长．
【答案】解：∵四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似，且A1B1：B1C1：C1D1：D1A1=7：8：11：14，
∴AB：BC：CD：DA=7：8：11：14，
∵四边形ABCD的周长为40，
∴AB=40× =7，BC=40× =8，CD=40× =11，DA=40× =14．
∴四边形ABCD各边的长分别为：AB=7，BC=8，CD=11，DA=14
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【分析】利用四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似，可得出对应边成比例，再由四边形ABCD的周长为40，利用相似多边形的周长比等于相似比，可求出四边形ABCD各边的长。
18．如图，四边形ABCD和四边形EFGH相似，求∠α、∠β的大小和EH的长度．
【答案】解：∵四边形ABCD和四边形EFGH相似，
∴∠α=∠B=83°，∠D=∠H=118°， ， ，
∴ ，
∴EH=28（cm）．
答：∠α=83°，∠β=81°，EH=28cm
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【分析】根据已知条件：四边形ABCD和四边形EFGH相似，可得出它们的对应边成比例，对应角相等，就可求出∠α、∠β的大小及EH的长度。
19．（2019九上·庆阳月考）如图，点 是菱形 对角线 的延长线上任意一点，以线段 为边作一个菱形 ，且菱形 菱形 ，连接 ，求证： .
【答案】解：∵菱形 菱形 ，
∴∠DAB=∠EAG，
∴∠DAB+∠GAB=∠EAG+∠GAB，即∠EAB=∠GAD，
∵四边形ABCD、AEFG都是菱形，
∴AE=AG，AB=AD，
在△EAB和△GAD中 ，
∴△EAB≌△GAD，
∴GD=EB.
【知识点】三角形全等及其性质；菱形的性质；相似多边形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】由相似多边形的性质可得∠DAB=∠EAG，根据角的和差关系可得∠EAB=∠GAD，根据菱形的性质可得AE=AG，AB=AD，利用SAS可证明△EAB≌△GAD，即可证明GD=EB.
20．如图，△ABC中，AB=8厘米，AC=16厘米，点P从A出发，以每秒2厘米的速度向B运动，点Q从C同时出发，以每秒3厘米的速度向A运动，其中一个动点到端点时，另一个动点也相应停止运动，那么，当以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间是多少？
【答案】解：设运动了ts，根据题意得：AP=2tcm，CQ=3tcm，则AQ=AC﹣CQ=16﹣3t（cm），当△APQ∽△ABC时， ，即 ，解得：t= ；当△APQ∽△ACB时， ，即 ，解得：t=4；故当以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间是： s或4s．
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【分析】由题意根据路程=速度时间，可将AP、CQ、AQ用含t的代数式表示。因为∠A时公共角，所以以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时分两种情况讨论求解：
①当△APQ∽△ABC时，可得比例式，代入可得关于t的方程，解方程即可求解；
②当△APQ∽△ACB时，可得比例式，代入可得关于t的方程，解方程即可求解。
21．如图所示，现有边长为1，a（a＞1）的一张矩形纸片ABCD，把这个矩形按要求分割，画出分割线，并在相应的位置上写出a的值．
（1）把这个矩形分成两个全等的小矩形，且分成的两个矩形与原矩形相似．
（2）把这个和矩形分成三个矩形，且每一个矩形都与原矩形相似，给出两种不同的分割．
【答案】解：（1）∵是自相似2分割，
∴BF=FC=BC，
根据相似矩形对应边成比例，
∴a a=1，
解得a=；
（2）如图所示：
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【分析】（1）根据相似矩形对应边成比例列出比例式，代入数据求解即可；
（2）把矩形三等分就可以自相似3分割，先纵向分割出一个小矩形，再横向二等分也可以得到矩形自相3分割，然后根据相似矩形对应边成比例列式求解．
22．试判断如图所示的两个矩形是否相似．
【答案】解：这两个矩形的角是直角，因而对应角一定相等，
小矩形的长是40﹣10﹣10=20，宽是20﹣5﹣5=10，
因为=，即两个矩形的对应边的比相等，
因而这两个矩形相似．
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【分析】如果两个矩形的对应角相等，且对应边的比相等，那么这两个矩形相似，依此判断即可．
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