北师版数学九年级上册同步训练《4.7 相似三角形的性质》
一、单选题
1．（2021九上·宜宾期末）已知 ，点C对应点F，若 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．（2021九上·郧县期末）如图△ABC∽△ACD，则下列式子中不成立的是（ ）
A． ＝ B． ＝
C．AC2＝AD AB D． ＝
3．（2021·惠州模拟）已知 ，相似比为 ，则 与 的面积比为（ ）
A． B． C． D．
4．（2021九下·鄞州月考）如图，已知△ABC∽△BDC，其中AC=4，CD=2，则BC=（ ）
A．2 B． C． D．4
5．（2021九下·杭州开学考）如图，在 中，已知 ，E,F分别在边AC,AB上，DE//BC，DF//AC，则（ ）
A． B．
C． D．
6．（2021九上·越城期末）一个三角形框架模型的三边长分别为20厘米、30厘米、40厘米，木工要以一根长为60厘米的木条为一边，做一个与模型三角形相似的三角形，那么另两条边的木条长度不符合条件的是（ ）
A．30厘米、45厘米 B．40厘米、80厘米
C．80厘米、120厘米 D．90厘米、120厘米
7．（2021九上·崇左期末）如图，在△ABC中，D，E分别是AB,AC上的点，且DE// BC，若AE： EC=1： 4，那么 的值为（ ）
A．1∶16 B．1∶18 C．1∶20 D．1∶24
8．（2021九上·萧山期末）如图，正方形ABCD的边长为2， ， 线段MN的两端在CD，AD上滑动，当 与以D，M，N为顶点的三角形相似时，DM的长为（ ）
A． B． 或 C． D． 或
9．（2021九上·下城期末）在10倍的放大镜下看到的三角形与原三角形相比，三角形的周长（ ）
A．没有发生变化 B．放大了10倍
C．放大了30倍 D．放大了100倍
10．（2021九上·建湖期末）两个相似三角形面积比是 ，其中一个三角形的周长为18，则另一个三角形的周长是（ ）
A．12 B．12或24 C．27 D．12或27
二、填空题
11．（2021·永州模拟）已知△ABC的三边分别是5，6，7，则与它相似△ 的最短边为10，则△ 的周长是
12．（2021九上·越城期末）
如果两个相似三角形的面积比为4：9，较小三角形的周长为4，那么这两个三角形的周长和为 .
13．（2021九上·武功期末）如图， 平分 且 ，则当 时， .
14．（2021九上·萧山期末）如图所示，在矩形ABCD中， ， ，点E在对角线BD上，且 ，连结AE并延长交DC于点F，则 .
15．（2020九上·株洲期中）如图， ，点 在 上， 与 交于点 ， ， ，则 的长为 ．
16．（2020九上·福鼎期中）如图，在正方形网格上有两个相似三角形△ABC和△DEF，则∠BAC的度数为 ．
三、解答题
17．（2019九上·乐安期中）如图，已知 ， ， ，求 的度数．
18．（2019九上·兰考期中）如图，在 中， ， ，点 从点 出发沿 边想向点 以 的速度移动，点 从点 出发沿 边向点 以 的速度移动，如果 、 同时出发，经过几秒后 和 相似？
19．（2019九上·上海月考）如图，已知 的边BC=16，高AD=8，矩形EFGH的边FG在 的边BC上，顶点E、H分别在边AB、AC上，且FG=6，求边EF长
20．已知：如图，△ADE∽△ABC，AB=10cm，AD=6cm，BC=12cm，∠A=56°，∠ADE=40°．求：∠ACB的度数及DE的长。
21．（2016九上·九台期末）已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，有一内接正方形DEFC，连接AF交DE于G，AC=15，BC=10，求EG的长．
22．（2020九上·新乐期中）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm．点P从点A开始沿边AB向点B以每秒1cm的速度移动，点Q从点B开始沿边BC向点C以每秒2cm的速度移动，点P，Q分别从点A，B同时出发，且当一点到达终点时，另一点也停止运动．
（1）经过多少秒，可使PBQ的面积等于8cm2？
（2）经过多少秒，△ABC与△PBQ相似？
（3）线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：在 中， ，
∵ ，
∴ =75°，
故答案为：B.
【分析】根据三角形的内角和算出∠C的度数，进而根据相似三角形对应角相等得出∠F的度数.
2．【答案】D
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC∽△ACD，
∴ ＝ ， ＝ ， ，
∴AC2＝AD AB，
∴A、B、C成立，不符合题意；
D错误，符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据相似三角形对应边成比例列式整理即可得解.
3．【答案】A
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】∵ ，相似比为
∴ 与 的面积比为 ，
故答案为：A．
【分析】根据 ，相似比为 ，求面积比即可。
4．【答案】B
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：（1）∵△ABC∽△BDC，
∴
∴
解之：BC=.
故答案为：B.
【分析】利用相似三角形的对应边成比例，可得BC2=CD·AC，代入计算求出BC的长.
5．【答案】D
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：A、∵DE∥BC，∴, 不符合题意；
B、∵ ，∴∵DF∥AC，，不符合题意；
C、∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴, ∵DF∥AC，∴△BDF∽△ABC，∴, ∴ ，不符合题意；
D、设S△ADE=1，则S△BDF=4，S四边形EDFC=9-1-4=4，∴ ；
故答案为：D.
【分析】根据两条直线平行可得三角形相似，利用相似三角形的性质分别判断A、B，然后根据相似三角形的面积比等于相似比可以判断C，再设S△ADE=1，根据面积的关系可以判断D.
6．【答案】C
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解： ① 设20厘米、30厘米、40厘米的对应边分别为60厘米、x厘米、y厘米，
根据题意得： ，
解得 ， ；
②设20厘米、30厘米、40厘米的对应边分别为x厘米、60厘米、y厘米，
根据题意得： ，
解得 ， ；
③设20厘米、30厘米、40厘米的对应边分别为x厘米、y厘米、60厘米，
根据题意得： ，
解得 ， .
故答案为：C.
【分析】根据相似的性质分别列出比例式，然后利用比例的性质分别计算出各组对应值即可
7．【答案】C
【知识点】平行线分线段成比例；相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵DE∥BC，
∴ ，
∴ ，
∴S△BDE=4S△ADE，
又∵S△BDE=S△ABE-S△ADE，
∴4S△ADE= S△EBC-S△ADE，
∴ ，
故答案为：C.
【分析】因为三角形ABE和三角形BEC同高，所以根据AE：EC=1：4可得S△ABE：S△CBE=1：4，S△ABE=S△CBE，由平行线分线段成比例动力可得比例式AD：DB=AE：EC=1：4，于是可得S△ADE：S△BDE=1：4，由图形的构成得S△BDE=S△ABE-S△ADE，代入计算整理即可求解.
8．【答案】D
【知识点】勾股定理；正方形的性质；相似三角形的性质
【解析】【解答】解： 正方形ABCD边长是2， ，
，
，
当 ∽ 时
，
.
当 ∽ 时，
，
.
或 .
故答案为：D.
【分析】根据正方形的性质可得∠A= ∠C=90°, AD=AB=2 ,则AN=EB=1 ,再根据勾股定理求得AE的长, 分两种情况讨论，即假设△ABE∽△NDM或△ABE∽△MDN，分别求出DM的长即可.
9．【答案】B
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵在10倍的放大镜下看到的三角形与原三角形相似，相似比为10：1，
∴根据相似三角形的性质，三角形的周长比等于相似比，
∴三角形的周长被放大了10倍.
故答案为：B.
【分析】由相似三角形的性质可知其周长比等于相似比，据此即可判断.
10．【答案】D
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵两个相似三角形面积比是 ，
∴两个相似三角形周长比是2：3，
当较大三角形的周长为18时，
较小三角形的周长为18× =12；
当较小三角形的周长为18时，
较大三角形的周长为18× =27；
故答案为：D.
【分析】 根据相似三角形的性质求出相似比，得到周长比，根据题意，分两种情况讨论，即当较大三角形的周长为18时，当较小三角形的周长为18时，分别列比例式解答即可．
11．【答案】36
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解： △ABC与△ 相似，
经检验： 符合题意；
故答案为：
【分析】利用相似三角形的对应边之比等于周长比，可求出结果.
12．【答案】10
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：设较大三角形的周长为x，
两个相似三角形相似，两个相似三角形的面积比为4：9，
两个相似三角形的周长比为2：3，
，
解得， ，
这两个三角形的周长和为 ，
故答案为：10.
【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方计算即可.
13．【答案】
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
∵△ABD∽△DBC
∴
∵AB=2，BC=3，
∴
∴
故答案为：
【分析】由相似三角形的对应边的比相等可得，把已知的线段AB、BC的值代入比例式计算即可求解.
14．【答案】
【知识点】矩形的性质；相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴ ，
∵ ， ，
∴ .
∵ ，
∴ .
∵ ，
∴
∴ ，
解得： ，
则 ，
∴ .
故答案为： .
【分析】根据勾股定理求出BD，得到DE的长，根据相似三角形的性质得到比例式，代入计算即可求出DF的长，求出CF，计算即可．
15．【答案】
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解： ，
，
即 ①，
，
，
即 ②，
①②，
得 ，
，
，
解得 ．
故答案为：
【分析】根据相似三角形的性质可得，，再将两式相加即可求解。
16．【答案】135°
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC∽△DEF，
∴∠BAC＝∠EDF，
又∠EDF＝90°+45°＝135°，
∴∠BAC＝135°．
故答案是：135°．
【分析】根据相似三角形的性质，对应角相等直接求解即可。
17．【答案】解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
【知识点】三角形内角和定理；相似三角形的性质；相似三角形的判定
【解析】【分析】根据三角形内角和定理求出∠ACB=70°，根据相似三角形的性质得出 = ，∠BAD=∠CAE，求出 = ，∠BAC=∠DAE，推出△BAC∽△DAE，根据相似三角形的性质得出∠AED=∠ACB即可．
18．【答案】解：设经过 秒后 和 相似.
则 ， ，
∵ ， ，
∴ ，
① 与 边是对应边，则 ，
即 ，
解得 ，
② 与 边是对应边，则 ，
即 ，
解得 .
综上所述，经过 秒或 秒后 和 相似.
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【分析】设经过 秒后 和 相似. ， ，分两种情况：① 与 边是对应边，② 与 边是对应边进行讨论即可.
19．【答案】解：设AD与EH相交于点P，
∵四边形EFGH是矩形，
∴EH∥FG且EH=FG=6，
∴△AEH∽△ABC，
∵AD⊥BC，
∴AP⊥EH，
∴ = ，
设EF=x，则PD=EF=x，
∵AD=8，AP=8-x，BC=16，
∴ = .
∴x=5，
∴EF=5．
【知识点】矩形的性质；相似三角形的性质；相似三角形的应用
【解析】【分析】根据矩形性质得出EH∥FG，EF=PD，EH=FG=6，得出△AEH∽△ABC，根据相似三角形高之比等于相似比，得出关系式，代入求出即可．
20．【答案】解：△AED中已知，
∵∠A=56°，∠ADE=40°，
∴∠AED=84°．
∵△ADE∽△ABC，
∴∠ACB=∠AED=84°， ．
∴ = ．
∴DE=7.2（cm）
答：∠ACB的度数是84°，DE是7.2 cm。
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【分析】根据相似三角形的对应边成比例、对应角相等，据此进行解答即可。
21．【答案】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，四边形CDEF是正方形，∴DE∥BC，DE=DC，∴ ，∵AC=15，BC=10，∴ ，∴CD=6，即正方形CDEF的边长为6，∵EF∥AC，∴△EFG∽△DAG，∴ ，∴ ，解得：EG= ．故EG的长是 ．
【知识点】平行线分线段成比例；相似三角形的性质
【解析】【分析】根据条件可得DE∥BC，DE=DC，可得对应边成比例，即可确定CD的值，然后根据EF∥AC，可得△EFG∽△DAG，利用相似三角形的性质可得关于EG的方程，解方程即可.
22．【答案】（1）解：设经过t秒，PBQ的面积等于8cm2，
由题意得，AP＝tcm，BQ＝2tcm，则BP＝（6﹣t）cm，
∵PBQ的面积等于8cm2，
∴ ×2t×（6﹣t）＝8，
解得，t1＝2，t2＝4，
答：经过2秒或4秒，PBQ的面积等于8cm2；
（2）解：设经过m秒，△ABC与△PBQ相似，
当△ABC∽△PBQ时， ，即 ，
解得，m＝ ；
当△ABC∽△QBP时， ，即 ，
解得，m＝ ，
答：经过 秒或 秒，△ABC与△PBQ相似；
（3）解：线段PQ不能将△ABC分成面积相等的两部分，
理由如下：假设经过n秒线段PQ将△ABC分成面积相等的两部分，
则 ×2n×（6﹣n）＝ ×6×8× ，
整理得，n2﹣6n+12＝0，
∵△＝36﹣4×12＝﹣12＜0，
∴原方程无解，
∴线段PQ不能将△ABC分成面积相等的两部分．
【知识点】相似三角形的性质；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】（1）分别表示出BP和BQ，建立方程求解即可作答；
（2）根据题意进行分类讨论即可作答；
（3）根据题意，分别列出两部分图形的面积，建立方程并整理讨论方程是否有解即可。
1 / 1北师版数学九年级上册同步训练《4.7 相似三角形的性质》
一、单选题
1．（2021九上·宜宾期末）已知 ，点C对应点F，若 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：在 中， ，
∵ ，
∴ =75°，
故答案为：B.
【分析】根据三角形的内角和算出∠C的度数，进而根据相似三角形对应角相等得出∠F的度数.
2．（2021九上·郧县期末）如图△ABC∽△ACD，则下列式子中不成立的是（ ）
A． ＝ B． ＝
C．AC2＝AD AB D． ＝
【答案】D
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC∽△ACD，
∴ ＝ ， ＝ ， ，
∴AC2＝AD AB，
∴A、B、C成立，不符合题意；
D错误，符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据相似三角形对应边成比例列式整理即可得解.
3．（2021·惠州模拟）已知 ，相似比为 ，则 与 的面积比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】∵ ，相似比为
∴ 与 的面积比为 ，
故答案为：A．
【分析】根据 ，相似比为 ，求面积比即可。
4．（2021九下·鄞州月考）如图，已知△ABC∽△BDC，其中AC=4，CD=2，则BC=（ ）
A．2 B． C． D．4
【答案】B
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：（1）∵△ABC∽△BDC，
∴
∴
解之：BC=.
故答案为：B.
【分析】利用相似三角形的对应边成比例，可得BC2=CD·AC，代入计算求出BC的长.
5．（2021九下·杭州开学考）如图，在 中，已知 ，E,F分别在边AC,AB上，DE//BC，DF//AC，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：A、∵DE∥BC，∴, 不符合题意；
B、∵ ，∴∵DF∥AC，，不符合题意；
C、∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴, ∵DF∥AC，∴△BDF∽△ABC，∴, ∴ ，不符合题意；
D、设S△ADE=1，则S△BDF=4，S四边形EDFC=9-1-4=4，∴ ；
故答案为：D.
【分析】根据两条直线平行可得三角形相似，利用相似三角形的性质分别判断A、B，然后根据相似三角形的面积比等于相似比可以判断C，再设S△ADE=1，根据面积的关系可以判断D.
6．（2021九上·越城期末）一个三角形框架模型的三边长分别为20厘米、30厘米、40厘米，木工要以一根长为60厘米的木条为一边，做一个与模型三角形相似的三角形，那么另两条边的木条长度不符合条件的是（ ）
A．30厘米、45厘米 B．40厘米、80厘米
C．80厘米、120厘米 D．90厘米、120厘米
【答案】C
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解： ① 设20厘米、30厘米、40厘米的对应边分别为60厘米、x厘米、y厘米，
根据题意得： ，
解得 ， ；
②设20厘米、30厘米、40厘米的对应边分别为x厘米、60厘米、y厘米，
根据题意得： ，
解得 ， ；
③设20厘米、30厘米、40厘米的对应边分别为x厘米、y厘米、60厘米，
根据题意得： ，
解得 ， .
故答案为：C.
【分析】根据相似的性质分别列出比例式，然后利用比例的性质分别计算出各组对应值即可
7．（2021九上·崇左期末）如图，在△ABC中，D，E分别是AB,AC上的点，且DE// BC，若AE： EC=1： 4，那么 的值为（ ）
A．1∶16 B．1∶18 C．1∶20 D．1∶24
【答案】C
【知识点】平行线分线段成比例；相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵DE∥BC，
∴ ，
∴ ，
∴S△BDE=4S△ADE，
又∵S△BDE=S△ABE-S△ADE，
∴4S△ADE= S△EBC-S△ADE，
∴ ，
故答案为：C.
【分析】因为三角形ABE和三角形BEC同高，所以根据AE：EC=1：4可得S△ABE：S△CBE=1：4，S△ABE=S△CBE，由平行线分线段成比例动力可得比例式AD：DB=AE：EC=1：4，于是可得S△ADE：S△BDE=1：4，由图形的构成得S△BDE=S△ABE-S△ADE，代入计算整理即可求解.
8．（2021九上·萧山期末）如图，正方形ABCD的边长为2， ， 线段MN的两端在CD，AD上滑动，当 与以D，M，N为顶点的三角形相似时，DM的长为（ ）
A． B． 或 C． D． 或
【答案】D
【知识点】勾股定理；正方形的性质；相似三角形的性质
【解析】【解答】解： 正方形ABCD边长是2， ，
，
，
当 ∽ 时
，
.
当 ∽ 时，
，
.
或 .
故答案为：D.
【分析】根据正方形的性质可得∠A= ∠C=90°, AD=AB=2 ,则AN=EB=1 ,再根据勾股定理求得AE的长, 分两种情况讨论，即假设△ABE∽△NDM或△ABE∽△MDN，分别求出DM的长即可.
9．（2021九上·下城期末）在10倍的放大镜下看到的三角形与原三角形相比，三角形的周长（ ）
A．没有发生变化 B．放大了10倍
C．放大了30倍 D．放大了100倍
【答案】B
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵在10倍的放大镜下看到的三角形与原三角形相似，相似比为10：1，
∴根据相似三角形的性质，三角形的周长比等于相似比，
∴三角形的周长被放大了10倍.
故答案为：B.
【分析】由相似三角形的性质可知其周长比等于相似比，据此即可判断.
10．（2021九上·建湖期末）两个相似三角形面积比是 ，其中一个三角形的周长为18，则另一个三角形的周长是（ ）
A．12 B．12或24 C．27 D．12或27
【答案】D
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵两个相似三角形面积比是 ，
∴两个相似三角形周长比是2：3，
当较大三角形的周长为18时，
较小三角形的周长为18× =12；
当较小三角形的周长为18时，
较大三角形的周长为18× =27；
故答案为：D.
【分析】 根据相似三角形的性质求出相似比，得到周长比，根据题意，分两种情况讨论，即当较大三角形的周长为18时，当较小三角形的周长为18时，分别列比例式解答即可．
二、填空题
11．（2021·永州模拟）已知△ABC的三边分别是5，6，7，则与它相似△ 的最短边为10，则△ 的周长是
【答案】36
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解： △ABC与△ 相似，
经检验： 符合题意；
故答案为：
【分析】利用相似三角形的对应边之比等于周长比，可求出结果.
12．（2021九上·越城期末）
如果两个相似三角形的面积比为4：9，较小三角形的周长为4，那么这两个三角形的周长和为 .
【答案】10
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：设较大三角形的周长为x，
两个相似三角形相似，两个相似三角形的面积比为4：9，
两个相似三角形的周长比为2：3，
，
解得， ，
这两个三角形的周长和为 ，
故答案为：10.
【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方计算即可.
13．（2021九上·武功期末）如图， 平分 且 ，则当 时， .
【答案】
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
∵△ABD∽△DBC
∴
∵AB=2，BC=3，
∴
∴
故答案为：
【分析】由相似三角形的对应边的比相等可得，把已知的线段AB、BC的值代入比例式计算即可求解.
14．（2021九上·萧山期末）如图所示，在矩形ABCD中， ， ，点E在对角线BD上，且 ，连结AE并延长交DC于点F，则 .
【答案】
【知识点】矩形的性质；相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴ ，
∵ ， ，
∴ .
∵ ，
∴ .
∵ ，
∴
∴ ，
解得： ，
则 ，
∴ .
故答案为： .
【分析】根据勾股定理求出BD，得到DE的长，根据相似三角形的性质得到比例式，代入计算即可求出DF的长，求出CF，计算即可．
15．（2020九上·株洲期中）如图， ，点 在 上， 与 交于点 ， ， ，则 的长为 ．
【答案】
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解： ，
，
即 ①，
，
，
即 ②，
①②，
得 ，
，
，
解得 ．
故答案为：
【分析】根据相似三角形的性质可得，，再将两式相加即可求解。
16．（2020九上·福鼎期中）如图，在正方形网格上有两个相似三角形△ABC和△DEF，则∠BAC的度数为 ．
【答案】135°
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC∽△DEF，
∴∠BAC＝∠EDF，
又∠EDF＝90°+45°＝135°，
∴∠BAC＝135°．
故答案是：135°．
【分析】根据相似三角形的性质，对应角相等直接求解即可。
三、解答题
17．（2019九上·乐安期中）如图，已知 ， ， ，求 的度数．
【答案】解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
【知识点】三角形内角和定理；相似三角形的性质；相似三角形的判定
【解析】【分析】根据三角形内角和定理求出∠ACB=70°，根据相似三角形的性质得出 = ，∠BAD=∠CAE，求出 = ，∠BAC=∠DAE，推出△BAC∽△DAE，根据相似三角形的性质得出∠AED=∠ACB即可．
18．（2019九上·兰考期中）如图，在 中， ， ，点 从点 出发沿 边想向点 以 的速度移动，点 从点 出发沿 边向点 以 的速度移动，如果 、 同时出发，经过几秒后 和 相似？
【答案】解：设经过 秒后 和 相似.
则 ， ，
∵ ， ，
∴ ，
① 与 边是对应边，则 ，
即 ，
解得 ，
② 与 边是对应边，则 ，
即 ，
解得 .
综上所述，经过 秒或 秒后 和 相似.
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【分析】设经过 秒后 和 相似. ， ，分两种情况：① 与 边是对应边，② 与 边是对应边进行讨论即可.
19．（2019九上·上海月考）如图，已知 的边BC=16，高AD=8，矩形EFGH的边FG在 的边BC上，顶点E、H分别在边AB、AC上，且FG=6，求边EF长
【答案】解：设AD与EH相交于点P，
∵四边形EFGH是矩形，
∴EH∥FG且EH=FG=6，
∴△AEH∽△ABC，
∵AD⊥BC，
∴AP⊥EH，
∴ = ，
设EF=x，则PD=EF=x，
∵AD=8，AP=8-x，BC=16，
∴ = .
∴x=5，
∴EF=5．
【知识点】矩形的性质；相似三角形的性质；相似三角形的应用
【解析】【分析】根据矩形性质得出EH∥FG，EF=PD，EH=FG=6，得出△AEH∽△ABC，根据相似三角形高之比等于相似比，得出关系式，代入求出即可．
20．已知：如图，△ADE∽△ABC，AB=10cm，AD=6cm，BC=12cm，∠A=56°，∠ADE=40°．求：∠ACB的度数及DE的长。
【答案】解：△AED中已知，
∵∠A=56°，∠ADE=40°，
∴∠AED=84°．
∵△ADE∽△ABC，
∴∠ACB=∠AED=84°， ．
∴ = ．
∴DE=7.2（cm）
答：∠ACB的度数是84°，DE是7.2 cm。
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【分析】根据相似三角形的对应边成比例、对应角相等，据此进行解答即可。
21．（2016九上·九台期末）已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，有一内接正方形DEFC，连接AF交DE于G，AC=15，BC=10，求EG的长．
【答案】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，四边形CDEF是正方形，∴DE∥BC，DE=DC，∴ ，∵AC=15，BC=10，∴ ，∴CD=6，即正方形CDEF的边长为6，∵EF∥AC，∴△EFG∽△DAG，∴ ，∴ ，解得：EG= ．故EG的长是 ．
【知识点】平行线分线段成比例；相似三角形的性质
【解析】【分析】根据条件可得DE∥BC，DE=DC，可得对应边成比例，即可确定CD的值，然后根据EF∥AC，可得△EFG∽△DAG，利用相似三角形的性质可得关于EG的方程，解方程即可.
22．（2020九上·新乐期中）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm．点P从点A开始沿边AB向点B以每秒1cm的速度移动，点Q从点B开始沿边BC向点C以每秒2cm的速度移动，点P，Q分别从点A，B同时出发，且当一点到达终点时，另一点也停止运动．
（1）经过多少秒，可使PBQ的面积等于8cm2？
（2）经过多少秒，△ABC与△PBQ相似？
（3）线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能，请说明理由．
【答案】（1）解：设经过t秒，PBQ的面积等于8cm2，
由题意得，AP＝tcm，BQ＝2tcm，则BP＝（6﹣t）cm，
∵PBQ的面积等于8cm2，
∴ ×2t×（6﹣t）＝8，
解得，t1＝2，t2＝4，
答：经过2秒或4秒，PBQ的面积等于8cm2；
（2）解：设经过m秒，△ABC与△PBQ相似，
当△ABC∽△PBQ时， ，即 ，
解得，m＝ ；
当△ABC∽△QBP时， ，即 ，
解得，m＝ ，
答：经过 秒或 秒，△ABC与△PBQ相似；
（3）解：线段PQ不能将△ABC分成面积相等的两部分，
理由如下：假设经过n秒线段PQ将△ABC分成面积相等的两部分，
则 ×2n×（6﹣n）＝ ×6×8× ，
整理得，n2﹣6n+12＝0，
∵△＝36﹣4×12＝﹣12＜0，
∴原方程无解，
∴线段PQ不能将△ABC分成面积相等的两部分．
【知识点】相似三角形的性质；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】（1）分别表示出BP和BQ，建立方程求解即可作答；
（2）根据题意进行分类讨论即可作答；
（3）根据题意，分别列出两部分图形的面积，建立方程并整理讨论方程是否有解即可。
1 / 1
