【精品解析】北师版数学九年级上册《第四章 图形的相似》单元检测A卷

北师版数学九年级上册《第四章 图形的相似》单元检测A卷
一、单选题
1．（2021·恩施）如图，在 的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1， 为 与正方形网格线的交点，下列结论正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵每个小正方形的边长都为1，
∴ ，
∴ ， ，故C错误；
∴△BCD是直角三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，故B错误；
∴ ，故D正确；
∵ 为 与正方形网格线的交点，
∴CE∥AB，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故A错误；
故答案为：D.
【分析】根据图形可得AB=4，AC=2，利用勾股定理求出，据此判断C；利用勾股定理的逆定理求出△BCD是直角三角形，由于，可证△ABC∽△CBD，可得，据此判断B、D；根据网格特点可得CE∥AB，可得点E边B的的中点，利用直角三角形的性质判断A即可.
2．（2021·聊城）如图，在直角坐标系中，点A，B的坐标为A（0，2），B（﹣1，0），将△ABO绕点O按顺时针旋转得到△A1B1O，若AB⊥OB1，则点A1的坐标为（　　）
A．（ ） B．（ ）
C．（ ） D．（ ）
【答案】A
【知识点】相似三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图所示，∵点A，B的坐标分别为A（0，2），B（﹣1，0），
∴OB=1，OA=2，
∴ ，
∵∠AOB=90°，
∴∠A1OB1=90°，
∴O A1⊥OB1，
又∵AB⊥OB1，
∴O A1∥AB，
∴∠1=∠2，
过A1点作A1C⊥x轴，
∴∠A1CO=∠AOB，
∴ ，
∴ ，
∵O A1=OA=2，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
故答案为：A．
【分析】先求出，再求出，最后求点的坐标即可。
3．（2021·文山模拟）如图，在 中，若 ，则 （　　）
A．4 B．8 C．9 D．12
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∵AD：AB=1：2，
∴ ，
∵△ADE的面积为3，
∴S△ABC=3×4=12．
故答案为：D．
【分析】由DE∥BC，所以△ADE∽△ABC，根据相似三角形的对应边对应成比例可求出解。
4．（2021·湘西）如图，在菱形 中， 是 的中点， ，交 于点 ，如果 ，那么菱形 的周长是（　　）
A．11 B．22 C．33 D．44
【答案】D
【知识点】菱形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 的中点，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ，
∵四边形 是菱形，
∴ ；
故答案为：D.
【分析】根据平行线可证 ，可得 ，由 是 的中点，可得EF是△ACD的中位线，可得CD=2EF=11，利用即可求出结论.
5．（2021·无锡）如图，D、E、F分别是 各边中点，则以下说法错误的是（　　）
A． 和 的面积相等
B．四边形 是平行四边形
C．若 ，则四边形 是菱形
D．若 ，则四边形 是矩形
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定；矩形的判定；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解： ∵点D、E、F分别是△ABC三边的中点，
∴DE、DF为△ABC得中位线，
∴ED∥AC，且ED＝ AC＝AF；同理DF∥AB，且DF＝ AB＝AE，
∴四边形AEDF一定是平行四边形，故B正确；
∴ ，
∴ ， ，
∴ 和 的面积相等，故A正确；
∵ ，
∴DF＝ AB=AE，
∴四边形 不一定是菱形，故C错误；
∵∠A＝90°，则四边形AEDF是矩形，故D正确；
故答案为：C.
【分析】根据三角形中位线定理可得ED∥AC，且ED＝ AC＝AF，DF∥AB，且DF＝ AB＝AE，可证四边形AEDF一定是平行四边形，由∠A=90°，可证四边形AEDF是矩形；根据平行线可证 ， ，利用相似三角形的性质可得 ，，据此判断A、B、D；由，可得DF＝ AB=AE，从而得出四边形 不一定是菱形，据此判断C.
6．（2021·温州）如图，图形甲与图形乙是位似图形， 是位似中心，位似比为 ，点 ， 的对应点分别为点 ， .若 ，则 的长为（　　）
A．8 B．9 C．10 D．15
【答案】B
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵图形甲与图形乙是位似图形， 是位似中心，位似比为 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴
故答案为：B.
【分析】根据位似图形的性质，结合位似比为 ，AB=6，列比例式计算即可解答.
7．（2021·鹤岗）如图，平行四边形 的对角线 、 相交于点E，点O为 的中点，连接 并延长，交 的延长线于点D，交 于点G，连接 、 ，若平行四边形 的面积为48，则 的面积为（　　）
A．5.5 B．5 C．4 D．3
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ，AE=EF， ，
∵平行四边形 的面积为48，
∴ ，
∵点 为 的中点，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ 和 同高不同底，
∴ ，
故答案为：C．
【分析】利用平行四边形ABFC的对角线AF、BC相交于点E，可得BE=CE，即点E为BC的中点，由于O点为AC的中点，即OE为三角形ABC的中位线，可得OE//AB，且，利用OE//AB可得，利用高相等的三角形的面积比等于它们底的比可得， 和 同高不同底，得出 ，
8．（2021·通辽）如图，已知 ， ， ，点E为射线 上一个动点，连接 ，将 沿 折叠，点B落在点 处，过点 作 的垂线，分别交 ， 于M，N两点，当 为线段 的三等分点时， 的长为（　　）
A． B． C． 或 D． 或
【答案】D
【知识点】翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：当点 为线段 的三等分点时，需要分两种情况讨论：
①如图1，当 时，
∵ ∥ ， ， ，
∴四边形 为矩形，
∴ ， ， ．
由折叠的性质可得 ， ．
在 中， ．
∵ ， ，
∴ ，
∴ ∽ ，
∴ ，即 ，解得 ，
∴ ．
②如图2，当 时，
∵ ∥ ， ， ，
∴四边形 为矩形，
∴ ， ， ．
由折叠的性质可得 ， ．
在 中， ．
∵ ， ，
∴ ，
∴ ∽ ，
∴ ，即 ，解得 ，
∴ ．
综上所述， 的长为 或 ．
故答案为：D．
【分析】根据勾股定理可得，根据相似三角形的性质，可得EN的长，根据勾股定理可得答案。
9．（2021·黑龙江）如图，平行四边形 的对角线 相交于点E，点O为 的中点，连接 并延长，交 的延长线于点D，交 于点G，连接 、 ，若平行四边形 的面积为48，则 的面积为（　　）
A．4 B．5 C．2 D．3
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ，AE=EF， ，
∵平行四边形 的面积为48，
∴ ，
∵点O为 的中点，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ 和 同高不同底，
∴ ，
故答案为：C．
【分析】先求出 ，再求出 ， ，最后求解即可。
10．（2021·朝阳模拟）如图，在平面直角坐标系中，点A在函数 的图象上，连结OA，过点A作AB平行于x轴，点B在点A的右侧，连结OB交该函数图象于点C，连结AC．若 ，且 的面积为 ，则k的值为（　　）
A．4 B．6 C．8 D．9
【答案】C
【知识点】反比例函数的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵AB∥x轴，
∴设A( ， )，B( ， )，C( ， )，
过点C作DE⊥ 轴于点D，交AB于点E，过点B作BF⊥ 轴于点F，延长BA交 轴于点G，则BG⊥ 轴，
∴CD∥BF，
则△OCD △OBF，
∴ ，
∵OC=2BC，即 ，
∴CD= BF，即 ，
∴ ，
∴点C的坐标为( ， )，
∵ ，即 ，
∴ ，
∴点B的坐标为( ， )，
∵ ，
，
，
，
∴ ，
解得： ，
故答案为：C．
【分析】过点C作DE⊥ 轴于点D，交AB于点E，过点B作BF⊥ 轴于点F，延长BA交 轴于点G，则BG⊥ 轴，CD∥BF，则△OCD △OBF，得出B、C的坐标，因为 ， ， ， ，即可得出k的值。
11．（2021·襄城模拟）如图，在平行四边形 中，点E是边 上一点，且 ， 交对角线 于点F，则 等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形 是平行四边形， ，
∴AD∥BC，AD=BC=3ED，
∴∠EDB=∠CBD，∠DEF=∠BCF，
∴△DFE∽△BFC，∴ .
故答案为：A.
【分析】根据平行四边形的性质和相似三角形的性质解答即可.
12．（2021·道外模拟）如图， 中， 为 边上的一点，过点 作 的平行线交 于点 ，连接 ，过点 作 的平行线交 于点 ，则下列结论中不一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：A选项：∵DF∥BE，∴ ，A不符合题意；
B选项：∵DF∥BE，∴ ，B不符合题意；
C选项：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴ ，
∵DF∥BE，∴△ADF∽△ABE，∴ ，
∴ ，C不符合题意；
D选项：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴ ，
DE DF，∴D符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据平行线分线段成比例进行求解即可。
二、填空题
13．（2021·徐州）如图，在 中，点 分别在边 上，且 ， 与四边形 的面积的比为　 　.
【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵ ，
∴
∴
∵∠B=∠B，
∴ ，
∴
∴ 与四边形 的面积的比= .
故答案是： .
【分析】证明 ，可得，据此即可求出结论.
14．（2021·资阳）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，交CD于点G.FH⊥CD于点H，连结CF.有下列结论：①AF＝CF2＝EF FG；③FG：EG＝4：5；④cos∠GFH＝ 　 　.
【答案】①②③④
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质；菱形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵菱形ABCD，
∴对角线BD所在直线是菱形ABCD的对称轴，沿直线BD对折，
∴AF＝CF，故①正确，
∠FAD＝∠FCD，
∵AD∥BC，
∴∠FAD＝∠FEC，
∴∠FCD＝∠FEC，
又∠CFG＝∠EFC，
∴△CFG∽△EFC，
∴ ＝ ，
∴CF2＝EF GF，
∴AF2＝EF GF，故②正确，
∵菱形ABCD中，∠BAD＝120°，
∴∠BCD＝120°，∠DCE＝60°，AD＝CD＝BC，
设AD＝CD＝BC＝m，
∵DE⊥BC，
∴∠DEC＝90°，
Rt△CDE中，CE＝CD cos60°＝m，
∴BE＝ m，
∵AD∥BE，
∴ ＝ ＝ ＝ ，
设AF＝2n，则CF＝AF＝2n，
又CF2＝FG EF，
∴(2n)2＝FG 8n，
∴FG＝ n，
∴EG＝EF﹣FG＝ n，
∴FG：EG＝( n)：（ n） ，故③正确，
设CE＝t，
Rt△CDE中，CD＝3t＝AD t，
Rt△BDE中，BD＝2DE＝3 t，
∵AD∥BE，
∴ ＝ ＝ ＝ ，
∴DF＝ BD＝ t，
Rt△DFH中，FH＝ t，
Rt△ADE中，AE＝ ＝ ＝ t，
∴EF＝ AE＝ t，
∵FG：EG＝4：8，
∴FG＝ EF＝ t，
Rt△FHG中，cos∠GFH＝ ＝ ＝ ，
故答案为：①②③④.
【分析】由菱形的性质可得对角线BD所在直线是菱形ABCD的对称轴，沿直线BD对折，点A落到点C处，据此判断①；由等腰三角形的性质可得∠FAD＝∠FCD，由平行线的性质可得∠FAD＝∠FEC，证明△CFG∽△EFC，由相似三角形的性质可判断②；由菱形的性质可得∠BCD＝120°，∠DCE＝60°，AD＝CD＝BC，设AD＝CD＝BC＝m，则BE＝m，设AF＝2n，则CF＝AF＝2n，FG＝n，据此判断③；设CE＝t，则CD= t，BD=3t，DF= t，AE= t，EF＝t，FG＝ t，据此判断④.
15．（2021·无锡）如图，在 中， ， ， ，点E在线段 上，且 ，D是线段 上的一点，连接 ，将四边形 沿直线 翻折，得到四边形 ，当点G恰好落在线段 上时， 　 　.
【答案】
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：过点F作FM⊥AC于点M，
∵将四边形 沿直线 翻折，得到四边形 ，当点G恰好落在线段 上，
∴FG= ，∠EFG= ，EF=AE=1，
∴EG= ，
∵∠FEM=∠GEF，∠FME=∠GFE=90°，
∴ ，
∴ ，
∴ = ， ，
∴AM=AE+EM= ，
∴ .
故答案是： .
【分析】过点F作FM⊥AC于点M，根据折叠的性质可得FG= ，∠EFG= ，EF=AE=1，由勾股定理求出EG=3，证明，可得，从而求出EM、MF、AM的长，利用勾股定理求出AF即可.
16．（2021·南京）如图，将 绕点A逆时针旋转到 的位置，使点 落在 上， 与 交于点E，若 ，则 的长为　 　.
【答案】
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质；旋转的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：过点C作CM// 交 于点M，
∵平行四边形ABCD绕点A逆时针旋转得到平行四边形
∴ ， ，
∴ ，
∴
∴
∵
∴
∴
∴∠
∵
∴
∵
∴∠
∵ ，
∴
∴∠
∴∠
在 和 中，
∴
∴
∵
∴△
∴
∴
∴
故答案为： .
【分析】过点C作CM// 交 于点M，利用旋转的性质可得AB=AB＇，AD=AD＇，同时可证得两平行四边形的对角相等，由此可推出∠BAB＇=∠DAD＇，∠B=∠D＇，可推出△ABB＇∽△ADD＇，利用相似三角形的对应边成比例，可得出对应边的比；从而可求出DD＇的值，即可求出CD＇，B＇C；再证明△CME∽△DC＇E，利用相似三角形的性质可求出CE的长.
17．（2021·扬州）如图，在 中， ，矩形 的顶点D、E在 上，点F、G分别在 、 上，若 ， ，且 ，则 的长为　 　.
【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：∵DE=2EF，设EF=x，则DE=2x，
∵四边形DEFG是矩形，
∴GF∥AB，
∴△CGF∽△CAB，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴AD+BE=AB-DE= = ，
∵AC=BC，
∴∠A=∠B，又DG=EF，∠ADG=∠BEF=90°，
∴△ADG≌△BEF（AAS），
∴AD=BE= = ，
在△BEF中， ，
即 ，
解得：x= 或 （舍），
∴EF= ，
故答案为： .
【分析】设EF=x，则DE=2x，证明△CGF∽△CAB，利用相似三角形的性质求出，从而求出AD+BE=AB-DE= ，证明△ADG≌△BEF（AAS），可得AD=BE= ，在△BEF中， ，可得 ，求出x值即可.
18．（2021·重庆）如图， 中，点D为边BC的中点，连接AD，将 沿直线AD翻折至 所在平面内，得 ，连接 ，分别与边AB交于点E，与AD交于点O.若 ， ，则AD的长为　 　.
【答案】3
【知识点】翻折变换（折叠问题）；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：由翻折可知
∴O是 的中点，
∵点D为边BC的中点，O是 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ .
故答案为：3.
【分析】利用折叠的性质可证得再证明OD是△C＇CB的中位线，利用三角形的中位线定理可求出OD的长，同时可证得OD∥BC＇，利用平行线分线段成比例定理，可求出AO的长；然后根据AD=AO+OD，可求出AD的长.
三、解答题
19．（2021·江西模拟）如图，D是△ABC的BC边上一点，E为AD上一点，若∠DAC=∠B，CD=CE，试说明△ACE∽△BAD．
【答案】解：∵CE=CD，
∴∠CED=∠CDE，
∴∠AEC=∠ADB，
∵∠DAC=∠B，
∴△ACE∽△BAD．
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【分析】先求出 ∠CED=∠CDE， 再求出 ∠AEC=∠ADB， 最后求解即可。
20．（2021·南京）如图， 与 交于点O， ，E为 延长线上一点，过点E作 ，交 的延长线于点F.
（1）求证 ；
（2）若 ，求 的长.
【答案】（1）证明：∵ ，
又∵ ，
∴
（2）解：∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的长为
【知识点】相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）图形中隐含对顶角相等，因此利用AAS可证得结论.
（2）利用全等三角形的对应边相等，可求出DC，BE的长；再由EF∥CD可证得△BEF∽△BCD，利用相似三角形的对应边成比例，可得比列式，代入计算求出EF的长.
21．（2021·绍兴）问题：如图，在 中， ， ， ， 的平分线AE，BF分别与直线CD交于点E，F，求EF的长.
答案： .
（1）探究：把“问题”中的条件“ ”去掉，其余条件不变.
①当点E与点F重合时，求AB的长；
②当点E与点C重合时，求EF的长.
（2）把“问题”中的条件“ ， ”去掉，其余条件不变，当点C，D，E，F相邻两点间的距离相等时，求 的值.
【答案】（1）解：①如图1，四边形ABCD是平行四边形，
，
.
平分 ，
.
.
.
同理可得： .
点E与点F重合，
.
②如图2，点E与点C重合，
同理可证 ，
∴ ABCD 是菱形，
，
点F与点D重合，
（2）解：情况1，如图3，
可得 ，
.
情况2，如图4，
同理可得， ，
又 ，
.
情况3，如图5，
由上，同理可以得到 ，
又 ，
.
综上： 的值可以是 ， ，2
【知识点】平行线的性质；平行四边形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；角平分线的概念
【解析】【分析】（1） ① 根据角平分线的定义，结合平行线的性质得出∠DAE=∠DEA，则知DE=AD=5，同理求出BC=CF=5，从而求出DC的长，即可解答；
② 根据①的方法求得 的四条边相等，得出 ABCD 是菱形， 则知点F与点D重合， 即可解答；
（2）由于E、F点的位置不可确定，则应分情况讨论，根据每种情况，利用AD=DE，CF=CB，结合 点C，D，E，F相邻两点间的距离相等分别构建等式求解即可.
22．（2021·浦东模拟）如图，已知梯形ABCD中，AB∥CD，∠D=90°，BE平分∠ABC，交CD于点E，F是AB的中点，联结AE、EF，且AE⊥BE．
求证：
（1）四边形BCEF是菱形；
（2）BE AE=2AD BC．
【答案】（1）证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE．
∵AE⊥BE，
∴∠AEB=90°．
∵F是AB的中点，
∴EF=BF= AB，
∴∠FEB=∠FBE=∠CBE，
∴EF∥BC．
∵AB∥CD，
∴四边形BCEF是平行四边形．
∵EF=BF，
∴四边形BCEF是菱形．
（2）证明：∵四边形BCEF是菱形，
∴BC=BF．
∵BF= AB，
∴AB=2BC．
∵AB∥CD，
∴∠DEA=∠EAB．
∵∠D=∠AEB=90°，
∴△EDA∽△AEB，
∴ = ，
∴BE AE=AD BA，
∴BE AE=2AD BC．
【知识点】菱形的判定；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）先证明∠BEC=∠CBE，得到CE=CB，再根据斜边上的中线性质得到AF=EF=BF，接着证明EF//BC，则可判断四边形BCEF为平行四边形，然后利用CB=CE可判断四边形BCEF为菱形；
（2）过点C作CH垂直BE于H，如图，根据等腰三角形的性质得到BH=EH，再证明△EDA∽△AEB，然后利用相似比得到结论。
23．（2021·梧州）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别为边BC，CD上的点，且AE⊥BF于点P，G为AD的中点，连接GP，过点P作PH⊥GP交AB于点H，连接GH.
（1）求证：BE＝CF；
（2）若AB＝6，BE BC，求GH的长.
【答案】（1）证明：在正方形ABCD中，
AB=BC，∠ABC=∠C=90°，
∵AE⊥BF，
∴∠BPE=90°，
∴∠BAP+∠ABP=∠FBC+∠ABP=90°，
∴∠BAP=∠FBC，
∴△ABE≌△BCF（ASA），
∴BE＝CF
（2）解：由题意，在正方形ABCD中，
∵AB＝6，BE BC，
∴ ， ，
∴ ，
∵G为AD的中点，
∴ ，
∵∠BAE=∠PBE，∠AEB=∠BEP，
∴△ABE∽△BPE，
∴ ，即 ，
∴ ，
∵∠APB=90°，
∴ ，
∵∠APG+∠APH=∠APH+∠HPB=90°，
∴∠APG =∠HPB，
∵∠GAP+∠PAB=∠PAB+∠ABP=90°，
∴∠GAP=∠ABP，
∴△APG∽△BPH，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
在直角三角形AGH中，由勾股定理，则
【知识点】勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）利用正方形的性质可证得AB=BC，∠ABC=∠C=90°，利用垂直的定义及余角的性质可推出∠BAP=∠FBC；再利用ASA证明△ABE≌△BCF，利用全等三角形的性质，可证得结论.
（2）利用正方形的性质，结合已知可求出AB，BE的长；利用勾股定理求出AE的长，同时可求出AG的长；再证明△ABE∽△BPE，利用相似三角形的性质可求出BP的长，利用勾股定理求出AP的长；然后证明△APG∽△BPH，利用相似三角形的性质可求出BH的长；从而可求出AH的长，然后利用勾股定理求出GH的长.
24．（2021·衢州）如图，
（1）【推理】
如图1，在正方形ABCD中，点E是CD上一动点，将正方形沿着BE折叠，点C落在点F处，连结BE，CF，延长CF交AD于点G.
求证： .
（2）【运用】
如图2，在（推理）条件下，延长BF交AD于点H.若 ， ，求线段DE的长.
（3）【拓展】
将正方形改成矩形，同样沿着BE折叠，连结CF，延长CF，BF交直线AD于G，两点，若 ， ，求 的值（用含k的代数式表示）.
【答案】（1）证明：如图1，
由 折叠得到，
，
.
又 四边形ABCD是正方形，
，
，
，
又 正方形
，
（2）解：如图，连接 ，
由（1）得 ，
，
由折叠得 ， ，
.
四边形 是正方形，
，
，
又 ，
，
.
， ，
， .
，
，
（ 舍去）
（3）解：如图，连结HE，
由已知 可设 ， ，可令 ，
①当点H在D点左边时，如图，
同（2）可得， ，
，
由折叠得 ，
，
又 ，
，
，
又 ，
，
，
，
，
，
.
，
，
，
（ 舍去）.
②当点 在 点右边时，如图，
同理得 ， ，
同理可得 ，
可得 ， ，
，
，
（ 舍去）.
【知识点】正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）利用折叠的性质可证得BE⊥CF，利用正方形的性质可得到BC=CD，∠D=∠BCE，利用余角的性质可得到∠BEC=∠CGD；然后利用AAS可证得结论.
（2）利用全等三角形的性质可求出DG的长，利用折叠的性质可得到BC=BF，CE=EF=9；再证明∠HFG=∠HGF，利用等角对等边可证得HF=HG，结合已知条件可求出HD，HF的长；再利用勾股定理建立关于DE的方程，解方程求出DE的长.
（3）连结HE， 设DH=4m，HG=5m， ，①当点H在D点左边时，同理可证得HF=HG，可得到DG=9，利用折叠的性质及余角的性质可推出∠BEC=∠CGD，利用有两组对应角相等的两三角形相似，可证得△CDG∽△BCE，利用相似三角形的性质，可表示出CE的长，即可得到DE的长；然后利用勾股定理，可求出x的值，即可得到DE与EC的比值；②当点 在 点右边时，如图，同理可证得△CDG∽△BCE，利用相似三角形的性质，可表示出CE的长，即可得到DE的长；然后利用勾股定理，可求出x的值，即可得到DE与EC的比值.
1 / 1北师版数学九年级上册《第四章 图形的相似》单元检测A卷
一、单选题
1．（2021·恩施）如图，在 的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1， 为 与正方形网格线的交点，下列结论正确的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2021·聊城）如图，在直角坐标系中，点A，B的坐标为A（0，2），B（﹣1，0），将△ABO绕点O按顺时针旋转得到△A1B1O，若AB⊥OB1，则点A1的坐标为（　　）
A．（ ） B．（ ）
C．（ ） D．（ ）
3．（2021·文山模拟）如图，在 中，若 ，则 （　　）
A．4 B．8 C．9 D．12
4．（2021·湘西）如图，在菱形 中， 是 的中点， ，交 于点 ，如果 ，那么菱形 的周长是（　　）
A．11 B．22 C．33 D．44
5．（2021·无锡）如图，D、E、F分别是 各边中点，则以下说法错误的是（　　）
A． 和 的面积相等
B．四边形 是平行四边形
C．若 ，则四边形 是菱形
D．若 ，则四边形 是矩形
6．（2021·温州）如图，图形甲与图形乙是位似图形， 是位似中心，位似比为 ，点 ， 的对应点分别为点 ， .若 ，则 的长为（　　）
A．8 B．9 C．10 D．15
7．（2021·鹤岗）如图，平行四边形 的对角线 、 相交于点E，点O为 的中点，连接 并延长，交 的延长线于点D，交 于点G，连接 、 ，若平行四边形 的面积为48，则 的面积为（　　）
A．5.5 B．5 C．4 D．3
8．（2021·通辽）如图，已知 ， ， ，点E为射线 上一个动点，连接 ，将 沿 折叠，点B落在点 处，过点 作 的垂线，分别交 ， 于M，N两点，当 为线段 的三等分点时， 的长为（　　）
A． B． C． 或 D． 或
9．（2021·黑龙江）如图，平行四边形 的对角线 相交于点E，点O为 的中点，连接 并延长，交 的延长线于点D，交 于点G，连接 、 ，若平行四边形 的面积为48，则 的面积为（　　）
A．4 B．5 C．2 D．3
10．（2021·朝阳模拟）如图，在平面直角坐标系中，点A在函数 的图象上，连结OA，过点A作AB平行于x轴，点B在点A的右侧，连结OB交该函数图象于点C，连结AC．若 ，且 的面积为 ，则k的值为（　　）
A．4 B．6 C．8 D．9
11．（2021·襄城模拟）如图，在平行四边形 中，点E是边 上一点，且 ， 交对角线 于点F，则 等于（　　）
A． B． C． D．
12．（2021·道外模拟）如图， 中， 为 边上的一点，过点 作 的平行线交 于点 ，连接 ，过点 作 的平行线交 于点 ，则下列结论中不一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
13．（2021·徐州）如图，在 中，点 分别在边 上，且 ， 与四边形 的面积的比为　 　.
14．（2021·资阳）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，交CD于点G.FH⊥CD于点H，连结CF.有下列结论：①AF＝CF2＝EF FG；③FG：EG＝4：5；④cos∠GFH＝ 　 　.
15．（2021·无锡）如图，在 中， ， ， ，点E在线段 上，且 ，D是线段 上的一点，连接 ，将四边形 沿直线 翻折，得到四边形 ，当点G恰好落在线段 上时， 　 　.
16．（2021·南京）如图，将 绕点A逆时针旋转到 的位置，使点 落在 上， 与 交于点E，若 ，则 的长为　 　.
17．（2021·扬州）如图，在 中， ，矩形 的顶点D、E在 上，点F、G分别在 、 上，若 ， ，且 ，则 的长为　 　.
18．（2021·重庆）如图， 中，点D为边BC的中点，连接AD，将 沿直线AD翻折至 所在平面内，得 ，连接 ，分别与边AB交于点E，与AD交于点O.若 ， ，则AD的长为　 　.
三、解答题
19．（2021·江西模拟）如图，D是△ABC的BC边上一点，E为AD上一点，若∠DAC=∠B，CD=CE，试说明△ACE∽△BAD．
20．（2021·南京）如图， 与 交于点O， ，E为 延长线上一点，过点E作 ，交 的延长线于点F.
（1）求证 ；
（2）若 ，求 的长.
21．（2021·绍兴）问题：如图，在 中， ， ， ， 的平分线AE，BF分别与直线CD交于点E，F，求EF的长.
答案： .
（1）探究：把“问题”中的条件“ ”去掉，其余条件不变.
①当点E与点F重合时，求AB的长；
②当点E与点C重合时，求EF的长.
（2）把“问题”中的条件“ ， ”去掉，其余条件不变，当点C，D，E，F相邻两点间的距离相等时，求 的值.
22．（2021·浦东模拟）如图，已知梯形ABCD中，AB∥CD，∠D=90°，BE平分∠ABC，交CD于点E，F是AB的中点，联结AE、EF，且AE⊥BE．
求证：
（1）四边形BCEF是菱形；
（2）BE AE=2AD BC．
23．（2021·梧州）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别为边BC，CD上的点，且AE⊥BF于点P，G为AD的中点，连接GP，过点P作PH⊥GP交AB于点H，连接GH.
（1）求证：BE＝CF；
（2）若AB＝6，BE BC，求GH的长.
24．（2021·衢州）如图，
（1）【推理】
如图1，在正方形ABCD中，点E是CD上一动点，将正方形沿着BE折叠，点C落在点F处，连结BE，CF，延长CF交AD于点G.
求证： .
（2）【运用】
如图2，在（推理）条件下，延长BF交AD于点H.若 ， ，求线段DE的长.
（3）【拓展】
将正方形改成矩形，同样沿着BE折叠，连结CF，延长CF，BF交直线AD于G，两点，若 ， ，求 的值（用含k的代数式表示）.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵每个小正方形的边长都为1，
∴ ，
∴ ， ，故C错误；
∴△BCD是直角三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，故B错误；
∴ ，故D正确；
∵ 为 与正方形网格线的交点，
∴CE∥AB，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故A错误；
故答案为：D.
【分析】根据图形可得AB=4，AC=2，利用勾股定理求出，据此判断C；利用勾股定理的逆定理求出△BCD是直角三角形，由于，可证△ABC∽△CBD，可得，据此判断B、D；根据网格特点可得CE∥AB，可得点E边B的的中点，利用直角三角形的性质判断A即可.
2．【答案】A
【知识点】相似三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图所示，∵点A，B的坐标分别为A（0，2），B（﹣1，0），
∴OB=1，OA=2，
∴ ，
∵∠AOB=90°，
∴∠A1OB1=90°，
∴O A1⊥OB1，
又∵AB⊥OB1，
∴O A1∥AB，
∴∠1=∠2，
过A1点作A1C⊥x轴，
∴∠A1CO=∠AOB，
∴ ，
∴ ，
∵O A1=OA=2，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
故答案为：A．
【分析】先求出，再求出，最后求点的坐标即可。
3．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∵AD：AB=1：2，
∴ ，
∵△ADE的面积为3，
∴S△ABC=3×4=12．
故答案为：D．
【分析】由DE∥BC，所以△ADE∽△ABC，根据相似三角形的对应边对应成比例可求出解。
4．【答案】D
【知识点】菱形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 的中点，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ，
∵四边形 是菱形，
∴ ；
故答案为：D.
【分析】根据平行线可证 ，可得 ，由 是 的中点，可得EF是△ACD的中位线，可得CD=2EF=11，利用即可求出结论.
5．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定；矩形的判定；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解： ∵点D、E、F分别是△ABC三边的中点，
∴DE、DF为△ABC得中位线，
∴ED∥AC，且ED＝ AC＝AF；同理DF∥AB，且DF＝ AB＝AE，
∴四边形AEDF一定是平行四边形，故B正确；
∴ ，
∴ ， ，
∴ 和 的面积相等，故A正确；
∵ ，
∴DF＝ AB=AE，
∴四边形 不一定是菱形，故C错误；
∵∠A＝90°，则四边形AEDF是矩形，故D正确；
故答案为：C.
【分析】根据三角形中位线定理可得ED∥AC，且ED＝ AC＝AF，DF∥AB，且DF＝ AB＝AE，可证四边形AEDF一定是平行四边形，由∠A=90°，可证四边形AEDF是矩形；根据平行线可证 ， ，利用相似三角形的性质可得 ，，据此判断A、B、D；由，可得DF＝ AB=AE，从而得出四边形 不一定是菱形，据此判断C.
6．【答案】B
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵图形甲与图形乙是位似图形， 是位似中心，位似比为 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴
故答案为：B.
【分析】根据位似图形的性质，结合位似比为 ，AB=6，列比例式计算即可解答.
7．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ，AE=EF， ，
∵平行四边形 的面积为48，
∴ ，
∵点 为 的中点，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ 和 同高不同底，
∴ ，
故答案为：C．
【分析】利用平行四边形ABFC的对角线AF、BC相交于点E，可得BE=CE，即点E为BC的中点，由于O点为AC的中点，即OE为三角形ABC的中位线，可得OE//AB，且，利用OE//AB可得，利用高相等的三角形的面积比等于它们底的比可得， 和 同高不同底，得出 ，
8．【答案】D
【知识点】翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：当点 为线段 的三等分点时，需要分两种情况讨论：
①如图1，当 时，
∵ ∥ ， ， ，
∴四边形 为矩形，
∴ ， ， ．
由折叠的性质可得 ， ．
在 中， ．
∵ ， ，
∴ ，
∴ ∽ ，
∴ ，即 ，解得 ，
∴ ．
②如图2，当 时，
∵ ∥ ， ， ，
∴四边形 为矩形，
∴ ， ， ．
由折叠的性质可得 ， ．
在 中， ．
∵ ， ，
∴ ，
∴ ∽ ，
∴ ，即 ，解得 ，
∴ ．
综上所述， 的长为 或 ．
故答案为：D．
【分析】根据勾股定理可得，根据相似三角形的性质，可得EN的长，根据勾股定理可得答案。
9．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ，AE=EF， ，
∵平行四边形 的面积为48，
∴ ，
∵点O为 的中点，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ 和 同高不同底，
∴ ，
故答案为：C．
【分析】先求出 ，再求出 ， ，最后求解即可。
10．【答案】C
【知识点】反比例函数的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵AB∥x轴，
∴设A( ， )，B( ， )，C( ， )，
过点C作DE⊥ 轴于点D，交AB于点E，过点B作BF⊥ 轴于点F，延长BA交 轴于点G，则BG⊥ 轴，
∴CD∥BF，
则△OCD △OBF，
∴ ，
∵OC=2BC，即 ，
∴CD= BF，即 ，
∴ ，
∴点C的坐标为( ， )，
∵ ，即 ，
∴ ，
∴点B的坐标为( ， )，
∵ ，
，
，
，
∴ ，
解得： ，
故答案为：C．
【分析】过点C作DE⊥ 轴于点D，交AB于点E，过点B作BF⊥ 轴于点F，延长BA交 轴于点G，则BG⊥ 轴，CD∥BF，则△OCD △OBF，得出B、C的坐标，因为 ， ， ， ，即可得出k的值。
11．【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形 是平行四边形， ，
∴AD∥BC，AD=BC=3ED，
∴∠EDB=∠CBD，∠DEF=∠BCF，
∴△DFE∽△BFC，∴ .
故答案为：A.
【分析】根据平行四边形的性质和相似三角形的性质解答即可.
12．【答案】D
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：A选项：∵DF∥BE，∴ ，A不符合题意；
B选项：∵DF∥BE，∴ ，B不符合题意；
C选项：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴ ，
∵DF∥BE，∴△ADF∽△ABE，∴ ，
∴ ，C不符合题意；
D选项：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴ ，
DE DF，∴D符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据平行线分线段成比例进行求解即可。
13．【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵ ，
∴
∴
∵∠B=∠B，
∴ ，
∴
∴ 与四边形 的面积的比= .
故答案是： .
【分析】证明 ，可得，据此即可求出结论.
14．【答案】①②③④
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质；菱形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵菱形ABCD，
∴对角线BD所在直线是菱形ABCD的对称轴，沿直线BD对折，
∴AF＝CF，故①正确，
∠FAD＝∠FCD，
∵AD∥BC，
∴∠FAD＝∠FEC，
∴∠FCD＝∠FEC，
又∠CFG＝∠EFC，
∴△CFG∽△EFC，
∴ ＝ ，
∴CF2＝EF GF，
∴AF2＝EF GF，故②正确，
∵菱形ABCD中，∠BAD＝120°，
∴∠BCD＝120°，∠DCE＝60°，AD＝CD＝BC，
设AD＝CD＝BC＝m，
∵DE⊥BC，
∴∠DEC＝90°，
Rt△CDE中，CE＝CD cos60°＝m，
∴BE＝ m，
∵AD∥BE，
∴ ＝ ＝ ＝ ，
设AF＝2n，则CF＝AF＝2n，
又CF2＝FG EF，
∴(2n)2＝FG 8n，
∴FG＝ n，
∴EG＝EF﹣FG＝ n，
∴FG：EG＝( n)：（ n） ，故③正确，
设CE＝t，
Rt△CDE中，CD＝3t＝AD t，
Rt△BDE中，BD＝2DE＝3 t，
∵AD∥BE，
∴ ＝ ＝ ＝ ，
∴DF＝ BD＝ t，
Rt△DFH中，FH＝ t，
Rt△ADE中，AE＝ ＝ ＝ t，
∴EF＝ AE＝ t，
∵FG：EG＝4：8，
∴FG＝ EF＝ t，
Rt△FHG中，cos∠GFH＝ ＝ ＝ ，
故答案为：①②③④.
【分析】由菱形的性质可得对角线BD所在直线是菱形ABCD的对称轴，沿直线BD对折，点A落到点C处，据此判断①；由等腰三角形的性质可得∠FAD＝∠FCD，由平行线的性质可得∠FAD＝∠FEC，证明△CFG∽△EFC，由相似三角形的性质可判断②；由菱形的性质可得∠BCD＝120°，∠DCE＝60°，AD＝CD＝BC，设AD＝CD＝BC＝m，则BE＝m，设AF＝2n，则CF＝AF＝2n，FG＝n，据此判断③；设CE＝t，则CD= t，BD=3t，DF= t，AE= t，EF＝t，FG＝ t，据此判断④.
15．【答案】
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：过点F作FM⊥AC于点M，
∵将四边形 沿直线 翻折，得到四边形 ，当点G恰好落在线段 上，
∴FG= ，∠EFG= ，EF=AE=1，
∴EG= ，
∵∠FEM=∠GEF，∠FME=∠GFE=90°，
∴ ，
∴ ，
∴ = ， ，
∴AM=AE+EM= ，
∴ .
故答案是： .
【分析】过点F作FM⊥AC于点M，根据折叠的性质可得FG= ，∠EFG= ，EF=AE=1，由勾股定理求出EG=3，证明，可得，从而求出EM、MF、AM的长，利用勾股定理求出AF即可.
16．【答案】
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质；旋转的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：过点C作CM// 交 于点M，
∵平行四边形ABCD绕点A逆时针旋转得到平行四边形
∴ ， ，
∴ ，
∴
∴
∵
∴
∴
∴∠
∵
∴
∵
∴∠
∵ ，
∴
∴∠
∴∠
在 和 中，
∴
∴
∵
∴△
∴
∴
∴
故答案为： .
【分析】过点C作CM// 交 于点M，利用旋转的性质可得AB=AB＇，AD=AD＇，同时可证得两平行四边形的对角相等，由此可推出∠BAB＇=∠DAD＇，∠B=∠D＇，可推出△ABB＇∽△ADD＇，利用相似三角形的对应边成比例，可得出对应边的比；从而可求出DD＇的值，即可求出CD＇，B＇C；再证明△CME∽△DC＇E，利用相似三角形的性质可求出CE的长.
17．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：∵DE=2EF，设EF=x，则DE=2x，
∵四边形DEFG是矩形，
∴GF∥AB，
∴△CGF∽△CAB，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴AD+BE=AB-DE= = ，
∵AC=BC，
∴∠A=∠B，又DG=EF，∠ADG=∠BEF=90°，
∴△ADG≌△BEF（AAS），
∴AD=BE= = ，
在△BEF中， ，
即 ，
解得：x= 或 （舍），
∴EF= ，
故答案为： .
【分析】设EF=x，则DE=2x，证明△CGF∽△CAB，利用相似三角形的性质求出，从而求出AD+BE=AB-DE= ，证明△ADG≌△BEF（AAS），可得AD=BE= ，在△BEF中， ，可得 ，求出x值即可.
18．【答案】3
【知识点】翻折变换（折叠问题）；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：由翻折可知
∴O是 的中点，
∵点D为边BC的中点，O是 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ .
故答案为：3.
【分析】利用折叠的性质可证得再证明OD是△C＇CB的中位线，利用三角形的中位线定理可求出OD的长，同时可证得OD∥BC＇，利用平行线分线段成比例定理，可求出AO的长；然后根据AD=AO+OD，可求出AD的长.
19．【答案】解：∵CE=CD，
∴∠CED=∠CDE，
∴∠AEC=∠ADB，
∵∠DAC=∠B，
∴△ACE∽△BAD．
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【分析】先求出 ∠CED=∠CDE， 再求出 ∠AEC=∠ADB， 最后求解即可。
20．【答案】（1）证明：∵ ，
又∵ ，
∴
（2）解：∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的长为
【知识点】相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）图形中隐含对顶角相等，因此利用AAS可证得结论.
（2）利用全等三角形的对应边相等，可求出DC，BE的长；再由EF∥CD可证得△BEF∽△BCD，利用相似三角形的对应边成比例，可得比列式，代入计算求出EF的长.
21．【答案】（1）解：①如图1，四边形ABCD是平行四边形，
，
.
平分 ，
.
.
.
同理可得： .
点E与点F重合，
.
②如图2，点E与点C重合，
同理可证 ，
∴ ABCD 是菱形，
，
点F与点D重合，
（2）解：情况1，如图3，
可得 ，
.
情况2，如图4，
同理可得， ，
又 ，
.
情况3，如图5，
由上，同理可以得到 ，
又 ，
.
综上： 的值可以是 ， ，2
【知识点】平行线的性质；平行四边形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；角平分线的概念
【解析】【分析】（1） ① 根据角平分线的定义，结合平行线的性质得出∠DAE=∠DEA，则知DE=AD=5，同理求出BC=CF=5，从而求出DC的长，即可解答；
② 根据①的方法求得 的四条边相等，得出 ABCD 是菱形， 则知点F与点D重合， 即可解答；
（2）由于E、F点的位置不可确定，则应分情况讨论，根据每种情况，利用AD=DE，CF=CB，结合 点C，D，E，F相邻两点间的距离相等分别构建等式求解即可.
22．【答案】（1）证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE．
∵AE⊥BE，
∴∠AEB=90°．
∵F是AB的中点，
∴EF=BF= AB，
∴∠FEB=∠FBE=∠CBE，
∴EF∥BC．
∵AB∥CD，
∴四边形BCEF是平行四边形．
∵EF=BF，
∴四边形BCEF是菱形．
（2）证明：∵四边形BCEF是菱形，
∴BC=BF．
∵BF= AB，
∴AB=2BC．
∵AB∥CD，
∴∠DEA=∠EAB．
∵∠D=∠AEB=90°，
∴△EDA∽△AEB，
∴ = ，
∴BE AE=AD BA，
∴BE AE=2AD BC．
【知识点】菱形的判定；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）先证明∠BEC=∠CBE，得到CE=CB，再根据斜边上的中线性质得到AF=EF=BF，接着证明EF//BC，则可判断四边形BCEF为平行四边形，然后利用CB=CE可判断四边形BCEF为菱形；
（2）过点C作CH垂直BE于H，如图，根据等腰三角形的性质得到BH=EH，再证明△EDA∽△AEB，然后利用相似比得到结论。
23．【答案】（1）证明：在正方形ABCD中，
AB=BC，∠ABC=∠C=90°，
∵AE⊥BF，
∴∠BPE=90°，
∴∠BAP+∠ABP=∠FBC+∠ABP=90°，
∴∠BAP=∠FBC，
∴△ABE≌△BCF（ASA），
∴BE＝CF
（2）解：由题意，在正方形ABCD中，
∵AB＝6，BE BC，
∴ ， ，
∴ ，
∵G为AD的中点，
∴ ，
∵∠BAE=∠PBE，∠AEB=∠BEP，
∴△ABE∽△BPE，
∴ ，即 ，
∴ ，
∵∠APB=90°，
∴ ，
∵∠APG+∠APH=∠APH+∠HPB=90°，
∴∠APG =∠HPB，
∵∠GAP+∠PAB=∠PAB+∠ABP=90°，
∴∠GAP=∠ABP，
∴△APG∽△BPH，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
在直角三角形AGH中，由勾股定理，则
【知识点】勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）利用正方形的性质可证得AB=BC，∠ABC=∠C=90°，利用垂直的定义及余角的性质可推出∠BAP=∠FBC；再利用ASA证明△ABE≌△BCF，利用全等三角形的性质，可证得结论.
（2）利用正方形的性质，结合已知可求出AB，BE的长；利用勾股定理求出AE的长，同时可求出AG的长；再证明△ABE∽△BPE，利用相似三角形的性质可求出BP的长，利用勾股定理求出AP的长；然后证明△APG∽△BPH，利用相似三角形的性质可求出BH的长；从而可求出AH的长，然后利用勾股定理求出GH的长.
24．【答案】（1）证明：如图1，
由 折叠得到，
，
.
又 四边形ABCD是正方形，
，
，
，
又 正方形
，
（2）解：如图，连接 ，
由（1）得 ，
，
由折叠得 ， ，
.
四边形 是正方形，
，
，
又 ，
，
.
， ，
， .
，
，
（ 舍去）
（3）解：如图，连结HE，
由已知 可设 ， ，可令 ，
①当点H在D点左边时，如图，
同（2）可得， ，
，
由折叠得 ，
，
又 ，
，
，
又 ，
，
，
，
，
，
.
，
，
，
（ 舍去）.
②当点 在 点右边时，如图，
同理得 ， ，
同理可得 ，
可得 ， ，
，
，
（ 舍去）.
【知识点】正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）利用折叠的性质可证得BE⊥CF，利用正方形的性质可得到BC=CD，∠D=∠BCE，利用余角的性质可得到∠BEC=∠CGD；然后利用AAS可证得结论.
（2）利用全等三角形的性质可求出DG的长，利用折叠的性质可得到BC=BF，CE=EF=9；再证明∠HFG=∠HGF，利用等角对等边可证得HF=HG，结合已知条件可求出HD，HF的长；再利用勾股定理建立关于DE的方程，解方程求出DE的长.
（3）连结HE， 设DH=4m，HG=5m， ，①当点H在D点左边时，同理可证得HF=HG，可得到DG=9，利用折叠的性质及余角的性质可推出∠BEC=∠CGD，利用有两组对应角相等的两三角形相似，可证得△CDG∽△BCE，利用相似三角形的性质，可表示出CE的长，即可得到DE的长；然后利用勾股定理，可求出x的值，即可得到DE与EC的比值；②当点 在 点右边时，如图，同理可证得△CDG∽△BCE，利用相似三角形的性质，可表示出CE的长，即可得到DE的长；然后利用勾股定理，可求出x的值，即可得到DE与EC的比值.
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