北师版数学九年级上册《第四章 图形的相似》单元检测B卷
一、单选题
1．（2021·贵港）下列命题是真命题的是（ ）
A．同旁内角相等，两直线平行
B．对角线相等的四边形是矩形
C．对角线互相垂直的四边形是菱形
D．两角分别相等的两个三角形相似
2．（2021·孝义模拟）如图所示是利用图形的位似绘制的一幅“小鱼”图案，其中O为位似中心，且OA=2OD，若图案中鱼身（△ABC）的面积为S，则鱼尾（△DEF）的面积为（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·瑶海模拟）如图①，在矩形 中， 、 交于点 ，点 在边 上运动， 于点 ， 于点 ，设 ， ．且 与 满足一次函数关系，其图象如图②所示，其中 ，以下判断中，错误的是（ ）
A． 中斜边 上的高为6
B．无论点 在 上何处， 与 的和始终保持不变
C．当 时， 垂直平分
D．若 ，则矩形 的面积为60
4．（2021·合肥模拟）如图， 中， ， ，点 在 的延长线上，且 连接 并延长，过 作 于点 ，若 ，则 的面积为（ ）
A．1 B．2 C． D．
5．（2020九下·宝山期中）如图，在 中，如果点 是边 的中点，且 ，那么下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2021·重庆模拟）如图，在平面直角坐标系中， 的顶点坐标分别是 ，以点 为位似中心，在点 异侧作 ，使得 与 成位似图形，且位似比为 ，则线段 的长为（ ）
A． B． C． D．
7．（2021·哈尔滨模拟）如图， ， ， 分别交 于点G，H，则下列结论中错误的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2021·元阳模拟）如图，点E是正方形 的边 上的一点，且 ，延长 交 的延长线于点F，则 和四边形 的面积比为（ ）
A． B． C． D．
9．（2021·南皮模拟）如图， 中， ， 是中线， 是 上一点，作射线 ，交 于点 ，若 ，则 （ ）
A．2 B．2.5 C．3 D．3.5
10．（2021·自贡）如图，在正方形ABCD中，AB＝6，M是AD边上的一点，AM：MD＝1：2.将△BMA沿BM对折至△BMN，连接DN，则DN的长是（ ）
A． B． C．3 D．
11．（2020·牡丹江）如图，在矩形 中， ， ，点E在 边上， ，垂足为F．若 ，则线段 的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
12．（2020·南县）如图，在矩形 中，E是 上的一点， 是等边三角形， 交 于点F，则下列结论不成立的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．（2021·南充）如图，在 中，D为BC上一点， ，则 的值为 .
14．（2021·遂宁）如图，正方形ABCD中，点E是CD边上一点，连结BE，以BE为对角线作正方形BGEF，边EF与正方形ABCD的对角线BD相交于点H，连结AF，有以下五个结论：① ；② ；③ ；④ ；⑤若 ，则 ，你认为其中正确是 （填写序号）
15．（2021·东营）如图，正方形纸片ABCD的边长为12，点F是AD上一点，将 沿CF折叠，点D落在点G处，连接DG并延长交AB于点E．若 ，则GE的长为 ．
16．（2021·上海）如图，已知 ，则 ．
17．（2021·泸县）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E是BC的中点，点F在CD上，且CF=3DF，AE，BF相交于点G，则△AGF的面积是 .
18．（2020·柳州）如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝10，点E在CD上，将△BCE沿BE折叠，点C恰好落在边AD上的点F处，点G在AF上，将△ABG沿BG折叠，点A恰好落在线段BF上的H处，有下列结论：①∠EBG＝45°；②2S△BFG＝5S△FGH；③△DEF∽△ABG；④4CE＝5ED.其中正确的是 .（填写所有正确结论的序号）
三、解答题
19．（2021九上·玄武期末）如图，四边形 是平行四边形，E是 延长线上的一点，连接 交 于点F.求证： .
20．（2021九上·渭南期末）如图，在锐角 中， ， ，将 绕点B按逆时针方向旋转，得到 连接 ， 若 的面积为4，求 的面积.
21．（2020·南县）定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形，根据以上定义，解决下列问题：
（1）如图1，正方形 中，E是 上的点，将 绕B点旋转，使 与 重合，此时点E的对应点F在 的延长线上，则四边形 为“直等补”四边形，为什么？
（2）如图2，已知四边形 是“直等补”四边形， ， ， ，点 到直线 的距离为 ．
①求 的长．
②若M、N分别是 、 边上的动点，求 周长的最小值．
22．（2021·广州）如图，在菱形ABCD中， ， ，点E为边AB上一个动点，延长BA到点F，使 ，且CF、DE相交于点G
（1）当点E运动到AB中点时，证明：四边形DFEC是平行四边形；
（2）当 时，求AE的长；
（3）当点E从点A开始向右运动到点B时，求点G运动路径的长度．
23．（2020·营口）如图，在矩形ABCD中，AD＝kAB（k＞0），点E是线段CB延长线上的一个动点，连接AE，过点A作AF⊥AE交射线DC于点F.
（1）如图1，若k＝1，则AF与AE之间的数量关系是 ；
（2）如图2，若k≠1，试判断AF与AE之间的数量关系，写出结论并证明；（用含k的式子表示）
（3）若AD＝2AB＝4，连接BD交AF于点G，连接EG，当CF＝1时，求EG的长.
24．（2020·宿迁）如图
（1）（感知）如图①，在四边形ABCD中，∠C=∠D=90°，点E在边CD上，∠AEB=90°，求证： = .
（2）（探究）如图②，在四边形ABCD中，∠C=∠ADC=90°，点E在边CD上，点F在边AD的延长线上，∠FEG=∠AEB=90°，且 = ，连接BG交CD于点H.求证：BH=GH.
（3）（拓展）如图③，点E在四边形ABCD内，∠AEB+∠DEC=180°，且 = ，过E作EF交AD于点F，若∠EFA=∠AEB，延长FE交BC于点G.求证：BG=CG.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】平行线的判定；菱形的判定；矩形的判定；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：A、同旁内角互补，两直线平行，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
B、对角线相等的平行四边形是矩形，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
D、两角分别相等的两个三角形相似，正确，是真命题，符合题意，
故答案为：D.
【分析】根据平行线的判定、矩形的判定、菱形的判定、相似三角形的判定，逐一进行判断即可.
2．【答案】C
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC与△DEF是位似三角形，OA=2OD，
∴△ABC与△DEF的相似比为2：1，
∵△ABC的面积为S，
∴△DEF的面积为 ，
故答案为：C．
【分析】先求出△ABC与△DEF的相似比为2：1，再根据△ABC的面积为S，求解即可。
3．【答案】D
【知识点】一次函数的图象；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：A.由图②可得，x＋y＝6，所以当x＝0时，y＝6，即PN的最大值为6，所以Rt△ABD中斜边BD上的高AE为6，故A不符合题意．
B.由图②可得，x＋y＝6，所以无论点P在AD上何处，PM与PN的和始终为6，故B不符合题意．
C.当x＝3时，y＝3，此时PN＝PM，
∵∠OAD=∠ODA，∠AMP=∠DNP=90°，
∴△APM≌△DPN，
∴点P为AD的中点，
∴等腰三角形AOD中，OP垂直平分AD，故C不符合题意．
D.若AD＝10，则直角三角形ADE中，DE＝ ，
∵∠ABE+∠BAE=∠BAE+∠DAE，
∴∠ABE=∠DAE，
又∵∠AEB=∠AED，
∴ ，
∴ ，即： ，解得：BE= ，
∴矩形ABCD的面积＝2× ×（ ＋8）×6＝75，故D符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据函数图象，勾股定理和相似三角形的判定与性质对每个选项一一判断求解即可。
4．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：取AB的中点F，连接CF，
∵∠ACB=90°，∠CBA=30°，
∴∠CAB=60°，FC=FA= AB，
∴△AFC是等边三角形，
∴∠FAC=∠FCA=60°，AC=FC=FA，
∵BA=2AD，
∴AC=AD=FA，
∴△DFC是直角三角形，且∠DCF=90°，∠D=30°，
∵BE⊥DC，
∴FC∥BE，
∴△DCF △DEB，
∴ ，
∵BE=3，
∴FC=2，
∴DC= ，
∴ 的面积为 ．
故答案为：C．
【分析】先求出△AFC是等边三角形，再求出△DCF △DEB，最后利用锐角三角函数和三角形的面积公式计算求解即可。
5．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：在 ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，AB＝CD，
∵AD∥BC，∠A＝∠AEC，
∴AB＝CE，
∴CE＝CD，故A不符合题意；
∵点E是边AD的中点，
∴AD＝BC＝2AE＝2DE，
∵AD∥BC，
∴△BFC∽△DFE，
∴
∴BF＝2DF，故B不符合题意；
∵AB＝CE，
∴FC＝2EF，
∴CE＝3EF，
∴AB＝CE＝3EF，故C符合题意；
∵ ，△BFC∽△DFE，
∴S△BFC＝4S△DEF，
∴S△DFC＝2S△DEF，
∴S△BCD＝S△BFC+S△DFC＝6S△DEF，
∴S四边形ABFE＝5S△DEF，故D不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据平行四边形的性质和 点 是边 的中点，且 ， 对每个选项一一判断求解即可。
6．【答案】A
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵ ，
∴根据两点距离公式可得 ，
∵ 与 成位似图形，且位似比为 ，
∴ ；
故答案为：A.
【分析】根据题意易得 ，然后根据两点距离公式可得 ，进而问题可求解.
7．【答案】D
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，
∴ ，
∴A选项正确，不符合题目要求；
∵AE∥DF，
∴∠CGE=∠CHD。∠CEG=∠D，
∴△CEG∽△CDH，
∴ ，
∴ ，
∵AB∥CD，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴B选项正确，不符合题目要求；
∵AB∥CD，AE∥DF，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∴AF=DE，
∵AE∥DF，
∴ ，
∴ ；
∴C选项正确，不符合题目要求；
∵AE∥DF，
∴△BFH∽△BAG，
∴ ，
∵AB FA
∴
∴D选项错误，符合题目要求．
故答案为：D．
【分析】根据平行线爱你分线段成比例定理得出比例式，再根据需要变形，结合相似三角形对应边成比例即可判断各个选项。
8．【答案】C
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AD∥BC，AB∥DC且AD＝BC=AB=CD，
∴△ADE∽△FCE，
∴
∴
∵AB∥DC，
∴△CFE∽△BFA，
∴
∴
∴
故答案选：C
【分析】根据正方形的性质，证明得到△ADE∽△BFA，继而由相似三角形的性质证明得到△CFE∽△BFA，由相似三角形的性质，求出面积的比。
9．【答案】C
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：如图，作 ，交 于点 ，
∴
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴
∵ 是 边上的中线，
∴
∴ ，
∴ ，
∵
∴
∴
∴ ，
则 ．
故答案为：C．
【分析】作 ，交 于点 ，如图，则，则 ， ，，，则，即可选出选项。
10．【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，延长MN与CD交于点E，连接BE，过点N作 ，
∵ ，M是AD边上的一点， ，
∴ ， ，
∵将 沿BM对折至 ，四边形ABCD是正方形，
∴ ， ，
∴ (HL)，
∴ ，
∴ ，
在 中，设 ，则 ，
根据勾股定理可得 ，解得 ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：D.
【分析】延长MN与CD交于点E，连接BE，过点N作 NF⊥CD，利用已知条件求出AM，DM的长；利用折叠的性质可证得AB=AN=BC，利用HL可证得△BEN≌△BEC，利用全等三角形的性质可得到NE=CE，由此可表示出EM的长；设DE=x，表示出ME的长，利用勾股定理建立关于x的方程，解方程求出x的值，可得到DE，NE和ME的长；再证明△MDE∽△NFE，利用相似三角形的性质可求出NF，EF的长，由此可求出DF的长；然后利用勾股定理求出DN的长.
11．【答案】B
【知识点】勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴AB=CD=3，BC=AD=10，AD∥BC，
∴∠AEB=∠DAF，
∴△AFD∽△EBA，
∴ ，
∵DF=6，
∴AF= ，
∴ ，
∴AE=5，
∴EF=AF-AE=8-5=3.
故答案为：B.
【分析】证明△AFD∽△EBA，得到 ，求出AF，即可求出AE，从而可得EF.
12．【答案】B
【知识点】等边三角形的性质；矩形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：在矩形ABCD中， 是等边三角形，
∴∠DAB=90°，∠EAB=60°，
∴∠DAE=90°-60°=30°，
故A说法不符合题意；
若∠BAC=45°，则AB=BC，
又∵AB=BE，
∴BE=BC，
在△BEC中，BE为斜边，BE＞BC，
故B说法符合题意；
设EC的长为x，
易得∠ECB=30°，
∴BE=2EC=2x，BC= ，
AB=BE=2x，
∵DC∥AB，
∴∠ECA=∠CAB，
又∵∠EFC=∠BFA，
∴△ECF∽△BAF，
∴ ，
故C说法不符合题意；
AD=BC= ，
∴ ，
故D说法不符合题意．
故答案为：B
【分析】根据等边三角形和矩形角度的特点即可得出A说法符合题意；假设∠BAC=45°，可得到AB=BC，又AB=BE，所以BE=BC，不成立，所以B说法不符合题意；设EC的长为x，BE=2EC=2x，BC= ，证得△ECF∽△BAF，根据相似三角形的性质可得，C说法符合题意；AD=BC= ，AB=BE=2x，可得D说法正确．
13．【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵∠B=∠B，
∴△ABD∽△CBA，
∴ .
故答案为： .
【分析】利用已知条件可证得AB，CB，BD，AB四条线段成比例，利用有两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似，可求出AD与AC的比值.
14．【答案】①②③④
【知识点】勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：①∵四边形BGEF和四边形ABCD均为正方形，BD，BE是对角线，
∴∠ABD＝∠FBE＝45°，
又∵∠ABF＝45° ∠DBF，∠DBE＝45° ∠DBF，
∴ ，
∴选项①正确；
②∵四边形BGEF和四边形ABCD均为正方形，
∴AD＝AB，BF＝BE，
∴BD＝ AB，BE= BF，
∴
又∵ ，
∴ ，
∴选项②正确；
④∵四边形BGEF和四边形ABCD均为正方形，BD，BE是对角线，
∴∠BEH＝∠BDE＝45°，
又∵∠EBH＝∠DBE，
∴△EBH∽△DBE，
∴ ，即BE2＝BH BD，
又∵BE＝ BG，
∴ ，
∴选项④确；
③由②知： ，
又∵四边形ABCD为正方形，BD为对角线，
∴∠BAF＝∠BDE＝45°，
∴AF在正方形另外一条对角线上，
∴AF⊥BD，
∴③正确，
⑤∵ ，
∴设CE=x，DE=3x，则BC=CD=4x，
∴BE= ，
∵BE2＝BH BD，
∴ ，
∴DH=BD-BH= ，
∴ ，
故⑤错误，
综上所述：①②③④正确，
故答案是：①②③④.
【分析】利用正方形的性质可证得∠ABD＝∠FBE＝45°，由此可知的∠ABF=∠DBE，可对①作出判断；再证明BD，AB，BE，BF对应成比例，利用有两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似可证得△ABF∽△DBE，可对②作出判断；利用正方形的性质可对AF⊥BD，可对③作出判断；利用正方形的性质可证得∠BEH＝∠BDE＝45°，可推出△EBH∽△DBE，利用相似三角形的对应边成比例，可对④作出判断；设CE=x，DE=3x，则BC=CD=4x，利用勾股定理表示出BE，BD的长；再求出BH，DH的长，然后可求出BH，DH的比值，可对⑤作出判断，综上所述可得到正确结论的序号.
15．【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，
四边形ABCD是正方形
因为折叠， ，设垂足为H
，
故答案为 ．
【分析】由"ASA"可证出，可得，由锐角三角函数可求DO的长，即可求解。
16．【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：作AE⊥BC，CF⊥BD
∵
∴△ABD和△BCD等高，高均为AE
∴
∵AD∥BC
∴△AOD∽△COB
∴
∵△BOC和△DOC等高，高均为CF
∴
∴
故答案为：
【分析】作AE⊥BC，CF⊥BD，可得，利用平行线可证△AOD∽△COB
可得 ，从而求出，继而得出结论.
17．【答案】
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：延长AG交DC延长线于M，过G作GH⊥CD，交AB于N，如图，
∵点E为BC中点，
∴BE=CE，
在△ABE和△MCE中，
，
∴△ABE≌△MCE（ASA），
∴AB=MC=4，
∵CF=3DF，CF+DF=4，
∴DF=1，CF=3，FM=FC+CM=3+4=7，
∵AB∥MF，
∴∠ABG=∠MFG，∠AGB=∠MGF，
∴△ABG∽△MFG，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
S△AFG=S△AFB-S△AGB= ，
故答案为 .
【分析】 延长AG交DC延长线于M，过G作GH⊥CD，交AB于N，利用线段中点的定义可证得BE=CE，利用ASAS证明△ABE≌△MCE，利用全等三角形的性质可求出MC的长，由此可求出MF的长；再证明△ABG∽△MFG，利用相似三角形的性质可证得对应边成比例，即可求出GN，GH的长；然后利用三角形的面积公式，根据S△AFG=S△AFB-S△AGB，代入计算，可求出△AGF的面积.
18．【答案】①②④
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：①由折叠的性质可知：∠CBE＝∠FBE，∠ABG＝∠FBG，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，
∴∠EBG＝∠GBH+∠EBF＝ ∠CBF+ ∠ABF＝ ∠ABC＝45°.
故①正确；②由折叠的性质可知：BF＝BC＝10，BH＝AB＝6，
∴HF＝BF﹣BH＝4，
∴ ＝ ＝ ＝ ，
∴2S△BFG＝5S△FGH；
故②正确；③∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠D＝90°，
在Rt△ABF中，AF＝ ＝8，
设GF＝x，即HG＝AG＝8﹣x，
在Rt△HGF中，HG2+HF2＝GF2，
即（8﹣x）2+42＝x2，解得x＝5，
∴AG＝3，
∴FD＝2；
同理可得ED＝ ，
∴ ＝ ＝2，
＝ ＝ ，
∴ ≠ ，
∴△ABG与△DEF不相似，
故③错误；④∵CD＝AB＝6，ED＝ ，
∴CE＝CD﹣ED＝ ，
∴ ＝ ，
∴4CE＝5ED.
故④正确.
综上所述，正确的结论的序号为①②④，
故答案为：①②④.
【分析】①根据折叠、矩形的性质进行推理即可；②根据等高三角形的面积比等于底边的比计算分析即可；③由矩形的性质、勾股定理及相似三角形的判定定理计算分析即可；④由矩形的性质可得CD的长，根据CE＝CD﹣ED求得CE的值，则可求得答案.
19．【答案】证明：∵四边形 是平行四边形
∴ ，
∴
在 和 中
∵ ，
∴ .
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定
【解析】【分析】根据平行四边形的性质得出，，利用平行线的性质得出，根据两角对应相等可证.
20．【答案】解：由旋转的性质，可得： ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ .
∵ .
∵ .
【知识点】相似三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【分析】根据题意结合旋转的性质证明 ，进而利用面积比是相似比的平方比即可求出 的面积.
21．【答案】（1）解：如图1由旋转的性质得：∠F=∠BEC，∠ABF=∠CBE，BF=BE
∵∠BEC+∠BED=180°，∠CBE+∠ABE=90°，
∴∠F+∠BED=180°，
∠ABF+∠ABE=90°即∠FBE=90°，
故满足“直等补”四边形的定义，
∴四边形 为“直等补”四边形；
（2）解：①∵四边形 是“直等补”四边形，AB=BC，
∴∠A+∠BCD=180°，∠ABC=∠D=90°，
如图2，将△ABE绕点B顺时针旋转90°得到△CBF，
则∠F=∠AEB=90°，∠BCF+∠BCD=180°，BF=BE
∴D、C、F共线，
∴四边形EBFD是正方形，
∴BE=FD，
设BE=x，则CF=x-1，
在Rt△BFC中，BC=5，
由勾股定理得： ，即 ，
解得：x=4或x=﹣3(舍去)，
∴BE=4
②如图3，延长CD到P，使DP=CD=1，延长CB到T，使TB=BC=5，
则NP=NC，MT=MC，
∴△MNC的周长=MC+MN+NC=MT+MN+NP≥PT
当T、M、N、P共线时，△MNC的周长取得最小值PT，
过P作PH⊥BC，交BC延长线于H，
∵∠F=∠PHC=90°，∠BCF=∠PCH，
∴△BCF∽△PCH，
∴ ，
即 ，
解得： ，
在Rt△PHT中，TH= ，
，
∴ 周长的最小值为 ．
【知识点】勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定与性质；旋转的性质；定义新运算
【解析】【分析】（1）由旋转性质证得∠F+∠BED=∠BEC+∠BED=180°，∠FBE=∠ABF+∠ABE=∠CBE+∠ABE=90°，BF=BE，进而可证得四边形 为“直等补”四边形；（2）如图2，将△ABE绕点B顺时针旋转90°得到△CBF，可证得四边形EBFD是正方形，则有BE=FD，设BE=x，则FC=x-1，由勾股定理列方程解之即可；（3）如图3，延长CD到P，使DP=CD=1，延长CB到T，使TB=BC=5，则NP=NC，MT=MC，由△MNC的周长=MC+MN+NC=MT+MN+NP≥PT知，当T、M、N、P共线时，△MNC的周长取得最小值PT，过P作PH⊥BC交BC延长线于H，易证△BFC∽△PHC，求得CH、PH，进而求得TH，在Rt△PHT中，由勾股定理求得PT，即可求得周长的最小值．
22．【答案】（1）证明：∵E为AB中点，
∴ ．
∴ ．
∵四边形ABCD是菱形，
∴CD∥AB， ．
∴ ．
∴四边形DFEC是平行四边形；
（2）解：如图，过点C作CH⊥AB交FB的延长线于点H，
∵四边形ABCD是菱形， ，
∴AD∥BC， ．
∴ ．
∴ ．
∴ ．
则由勾股定理得 ．
∵CD∥AB，
∴△CDG∽△FEG．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
设 ，则 ．
∴ ， ．
在Rt△CFH中，由勾股定理得： ，
∴ ．
解得 ， （不合题意，舍去）．
∴AE的长为
（3）解：如图，连接AG并延长交CD于点M，连接BD交AM于点N，并连接BM，
∵四边形ABCD是菱形， ，
∴ ， ．
∴△ABD为等边三角形．
同理可证：△BCD为等边三角形．
∴ ．
∵CD∥AB，
∴ ， ．
∴ ， ．
∴
∵ ，
∴ ．
∴ ．
则由勾股定理得： ，
．
当点E从A出发运动到点B时，点G始终在直线AM上运动，运动轨迹为线段，
当点E与A重合时，点G与点A重合，
当点E与B重合时，点G为BD与AM 的交点N，
∴点G运动路径的长度为线段AN的长，
∵CD∥AB，
∴ ．
∴ ．
∴点G运动路径的长度为
【知识点】平行四边形的判定；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）先求出EF=AB，再求出CD//AB，CD=AB，最后利用平行四边形的判定方法证明求解即可；
（2）先求出BH=1，再证明 △CDG∽△FEG ，最后利用相似三角形的性质和勾股定理计算求解即可；
（3）先求出BD=AB=BC，再利用相似三角形的性质和勾股定理求解即可。
23．【答案】（1）AF＝AE
（2）解：AF＝kAE.
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠ABC＝∠ADF＝90°，
∴∠FAD+∠FAB＝90°，
∵AF⊥AE，
∴∠EAF＝90°，
∴∠EAB+∠FAB＝90°，
∴∠EAB＝∠FAD，
∵∠ABE+∠ABC＝180°，
∴∠ABE＝180°﹣∠ABC＝180°﹣90°＝90°，
∴∠ABE＝∠ADF.
∴△ABE∽△ADF，
∴ ，
∵AD＝kAB，
∴ ，
∴ ，
∴AF＝kAE.
（3）解：①如图1，当点F在DA上时，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∵AD＝2AB＝4，
∴AB＝2，
∴CD＝2，
∵CF＝1，
∴DF＝CD﹣CF＝2﹣1＝1.
在Rt△ADF中，∠ADF＝90°，
∴AF＝ ，
∵DF∥AB，
∴∠GDF＝∠GBA，∠GFD＝∠GAB，
∴△GDF∽△GBA，
∴
∵AF＝GF+AG，
∴AG＝
∵△ABE∽△ADF，
∴ ，
∴AE＝ ＝
在Rt△EAG中，∠EAG＝90°，
∴EG＝ ，
②如图2，当点F在DC的延长线上时，DF＝CD+CF＝2+1＝3，
在Rt△ADF中，∠ADF＝90°，
∴AF＝ .
∵DF∥AB，
∵∠GAB＝∠GFD，∠GBA＝∠GDF，
∴△AGB∽△FGD，
∴ ，
∵GF+AG＝AF＝5，
∴AG＝2，
∵△ABE∽△ADF，
∴ ，
∴ ，
在Rt△EAG中，∠EAG＝90°，
∴EG＝ .
综上所述，EG的长为 或 .
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：（1）AE＝AF.
∵AD＝AB，四边形ABCD矩形，
∴四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝90°，
∵AF⊥AE，
∴∠EAF＝90°，
∴∠EAB＝∠FAD，
∴△EAB≌△FAD（AAS），
∴AF＝AE；
故答案为：AF＝AE.
【分析】（1）证明△EAB≌△FAD（AAS），由全等三角形的性质得出AF＝AE；
（2）证明△ABE∽△ADF，由相似三角形的性质得出 ，则可得出结论；
（3）①如图1，当点F在DA上时，证得△GDF∽△GBA，得出 ，求出AG＝ .由△ABE∽△ADF可得出 ，求出AE＝ .则可得出答案；②如图2，当点F在DC的延长线上时，同理可求出EG的长.
24．【答案】（1）证明：∵∠C=∠D=∠AEB=90°，
∴∠BEC+∠AED=∠AED+∠EAD=90°，
∴∠BEC=∠EAD，
∴Rt△AED∽Rt△EBC，
∴ ；
（2）证明：如图1，过点G作GM⊥CD于点M，
同（1）的理由可知： ，
∵ ， ，
∴ ，
∴CB=GM，
在△BCH和△GMH中，
，
∴△BCH≌△GMH（AAS），
∴BH=GH；
（3）证明：如图2，在EG上取点M，使∠BME=∠AFE，
过点C作CN∥BM，交EG的延长线于点N，则∠N=∠BMG，
∵∠EAF+∠AFE+∠AEF=∠AEF+∠AEB+∠BEM=180°，∠EFA=∠AEB，
∴∠EAF=∠BEM，
∴△AEF∽△EBM，
∴ ，
∵∠AEB+∠DEC=180°，∠EFA+∠DFE=180°，
而∠EFA=∠AEB，
∴∠CED=∠EFD，
∵∠BMG+∠BME=180°，
∴∠N=∠EFD，
∵∠EFD+∠EDF+∠FED=∠FED+∠DEC+∠CEN=180°，
∴∠EDF=∠CEN，
∴△DEF∽△ECN，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴BM=CN，
在△BGM和△CGN中，
，
∴△BGM≌△CGN（AAS），
∴BG=CG.
【知识点】三角形全等及其性质；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）证得∠BEC=∠EAD，证明Rt△AED∽Rt△EBC，由相似三角形的性质得出 ，则可得出结论；
（2）过点G作GM⊥CD于点M，由（1）可知 ，证得BC=GM，证明△BCH≌△GMH，可得出结论；
（3）在EG上取点M，使∠BME=∠AFE，过点C作CN∥BM，交EG的延长线于点N，则∠N=∠BMG，证明△AEF∽△EBM，由相似三角形的性质得出 ，证明△DEF∽△ECN，则 ，得出 ，则BM=CN，证明△BGM≌△CGN（AAS），由全等三角形的性质可得出结论.
1 / 1北师版数学九年级上册《第四章 图形的相似》单元检测B卷
一、单选题
1．（2021·贵港）下列命题是真命题的是（ ）
A．同旁内角相等，两直线平行
B．对角线相等的四边形是矩形
C．对角线互相垂直的四边形是菱形
D．两角分别相等的两个三角形相似
【答案】D
【知识点】平行线的判定；菱形的判定；矩形的判定；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：A、同旁内角互补，两直线平行，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
B、对角线相等的平行四边形是矩形，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
D、两角分别相等的两个三角形相似，正确，是真命题，符合题意，
故答案为：D.
【分析】根据平行线的判定、矩形的判定、菱形的判定、相似三角形的判定，逐一进行判断即可.
2．（2021·孝义模拟）如图所示是利用图形的位似绘制的一幅“小鱼”图案，其中O为位似中心，且OA=2OD，若图案中鱼身（△ABC）的面积为S，则鱼尾（△DEF）的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC与△DEF是位似三角形，OA=2OD，
∴△ABC与△DEF的相似比为2：1，
∵△ABC的面积为S，
∴△DEF的面积为 ，
故答案为：C．
【分析】先求出△ABC与△DEF的相似比为2：1，再根据△ABC的面积为S，求解即可。
3．（2021·瑶海模拟）如图①，在矩形 中， 、 交于点 ，点 在边 上运动， 于点 ， 于点 ，设 ， ．且 与 满足一次函数关系，其图象如图②所示，其中 ，以下判断中，错误的是（ ）
A． 中斜边 上的高为6
B．无论点 在 上何处， 与 的和始终保持不变
C．当 时， 垂直平分
D．若 ，则矩形 的面积为60
【答案】D
【知识点】一次函数的图象；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：A.由图②可得，x＋y＝6，所以当x＝0时，y＝6，即PN的最大值为6，所以Rt△ABD中斜边BD上的高AE为6，故A不符合题意．
B.由图②可得，x＋y＝6，所以无论点P在AD上何处，PM与PN的和始终为6，故B不符合题意．
C.当x＝3时，y＝3，此时PN＝PM，
∵∠OAD=∠ODA，∠AMP=∠DNP=90°，
∴△APM≌△DPN，
∴点P为AD的中点，
∴等腰三角形AOD中，OP垂直平分AD，故C不符合题意．
D.若AD＝10，则直角三角形ADE中，DE＝ ，
∵∠ABE+∠BAE=∠BAE+∠DAE，
∴∠ABE=∠DAE，
又∵∠AEB=∠AED，
∴ ，
∴ ，即： ，解得：BE= ，
∴矩形ABCD的面积＝2× ×（ ＋8）×6＝75，故D符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据函数图象，勾股定理和相似三角形的判定与性质对每个选项一一判断求解即可。
4．（2021·合肥模拟）如图， 中， ， ，点 在 的延长线上，且 连接 并延长，过 作 于点 ，若 ，则 的面积为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：取AB的中点F，连接CF，
∵∠ACB=90°，∠CBA=30°，
∴∠CAB=60°，FC=FA= AB，
∴△AFC是等边三角形，
∴∠FAC=∠FCA=60°，AC=FC=FA，
∵BA=2AD，
∴AC=AD=FA，
∴△DFC是直角三角形，且∠DCF=90°，∠D=30°，
∵BE⊥DC，
∴FC∥BE，
∴△DCF △DEB，
∴ ，
∵BE=3，
∴FC=2，
∴DC= ，
∴ 的面积为 ．
故答案为：C．
【分析】先求出△AFC是等边三角形，再求出△DCF △DEB，最后利用锐角三角函数和三角形的面积公式计算求解即可。
5．（2020九下·宝山期中）如图，在 中，如果点 是边 的中点，且 ，那么下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：在 ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，AB＝CD，
∵AD∥BC，∠A＝∠AEC，
∴AB＝CE，
∴CE＝CD，故A不符合题意；
∵点E是边AD的中点，
∴AD＝BC＝2AE＝2DE，
∵AD∥BC，
∴△BFC∽△DFE，
∴
∴BF＝2DF，故B不符合题意；
∵AB＝CE，
∴FC＝2EF，
∴CE＝3EF，
∴AB＝CE＝3EF，故C符合题意；
∵ ，△BFC∽△DFE，
∴S△BFC＝4S△DEF，
∴S△DFC＝2S△DEF，
∴S△BCD＝S△BFC+S△DFC＝6S△DEF，
∴S四边形ABFE＝5S△DEF，故D不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据平行四边形的性质和 点 是边 的中点，且 ， 对每个选项一一判断求解即可。
6．（2021·重庆模拟）如图，在平面直角坐标系中， 的顶点坐标分别是 ，以点 为位似中心，在点 异侧作 ，使得 与 成位似图形，且位似比为 ，则线段 的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵ ，
∴根据两点距离公式可得 ，
∵ 与 成位似图形，且位似比为 ，
∴ ；
故答案为：A.
【分析】根据题意易得 ，然后根据两点距离公式可得 ，进而问题可求解.
7．（2021·哈尔滨模拟）如图， ， ， 分别交 于点G，H，则下列结论中错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，
∴ ，
∴A选项正确，不符合题目要求；
∵AE∥DF，
∴∠CGE=∠CHD。∠CEG=∠D，
∴△CEG∽△CDH，
∴ ，
∴ ，
∵AB∥CD，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴B选项正确，不符合题目要求；
∵AB∥CD，AE∥DF，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∴AF=DE，
∵AE∥DF，
∴ ，
∴ ；
∴C选项正确，不符合题目要求；
∵AE∥DF，
∴△BFH∽△BAG，
∴ ，
∵AB FA
∴
∴D选项错误，符合题目要求．
故答案为：D．
【分析】根据平行线爱你分线段成比例定理得出比例式，再根据需要变形，结合相似三角形对应边成比例即可判断各个选项。
8．（2021·元阳模拟）如图，点E是正方形 的边 上的一点，且 ，延长 交 的延长线于点F，则 和四边形 的面积比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AD∥BC，AB∥DC且AD＝BC=AB=CD，
∴△ADE∽△FCE，
∴
∴
∵AB∥DC，
∴△CFE∽△BFA，
∴
∴
∴
故答案选：C
【分析】根据正方形的性质，证明得到△ADE∽△BFA，继而由相似三角形的性质证明得到△CFE∽△BFA，由相似三角形的性质，求出面积的比。
9．（2021·南皮模拟）如图， 中， ， 是中线， 是 上一点，作射线 ，交 于点 ，若 ，则 （ ）
A．2 B．2.5 C．3 D．3.5
【答案】C
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：如图，作 ，交 于点 ，
∴
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴
∵ 是 边上的中线，
∴
∴ ，
∴ ，
∵
∴
∴
∴ ，
则 ．
故答案为：C．
【分析】作 ，交 于点 ，如图，则，则 ， ，，，则，即可选出选项。
10．（2021·自贡）如图，在正方形ABCD中，AB＝6，M是AD边上的一点，AM：MD＝1：2.将△BMA沿BM对折至△BMN，连接DN，则DN的长是（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，延长MN与CD交于点E，连接BE，过点N作 ，
∵ ，M是AD边上的一点， ，
∴ ， ，
∵将 沿BM对折至 ，四边形ABCD是正方形，
∴ ， ，
∴ (HL)，
∴ ，
∴ ，
在 中，设 ，则 ，
根据勾股定理可得 ，解得 ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：D.
【分析】延长MN与CD交于点E，连接BE，过点N作 NF⊥CD，利用已知条件求出AM，DM的长；利用折叠的性质可证得AB=AN=BC，利用HL可证得△BEN≌△BEC，利用全等三角形的性质可得到NE=CE，由此可表示出EM的长；设DE=x，表示出ME的长，利用勾股定理建立关于x的方程，解方程求出x的值，可得到DE，NE和ME的长；再证明△MDE∽△NFE，利用相似三角形的性质可求出NF，EF的长，由此可求出DF的长；然后利用勾股定理求出DN的长.
11．（2020·牡丹江）如图，在矩形 中， ， ，点E在 边上， ，垂足为F．若 ，则线段 的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【知识点】勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴AB=CD=3，BC=AD=10，AD∥BC，
∴∠AEB=∠DAF，
∴△AFD∽△EBA，
∴ ，
∵DF=6，
∴AF= ，
∴ ，
∴AE=5，
∴EF=AF-AE=8-5=3.
故答案为：B.
【分析】证明△AFD∽△EBA，得到 ，求出AF，即可求出AE，从而可得EF.
12．（2020·南县）如图，在矩形 中，E是 上的一点， 是等边三角形， 交 于点F，则下列结论不成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】等边三角形的性质；矩形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：在矩形ABCD中， 是等边三角形，
∴∠DAB=90°，∠EAB=60°，
∴∠DAE=90°-60°=30°，
故A说法不符合题意；
若∠BAC=45°，则AB=BC，
又∵AB=BE，
∴BE=BC，
在△BEC中，BE为斜边，BE＞BC，
故B说法符合题意；
设EC的长为x，
易得∠ECB=30°，
∴BE=2EC=2x，BC= ，
AB=BE=2x，
∵DC∥AB，
∴∠ECA=∠CAB，
又∵∠EFC=∠BFA，
∴△ECF∽△BAF，
∴ ，
故C说法不符合题意；
AD=BC= ，
∴ ，
故D说法不符合题意．
故答案为：B
【分析】根据等边三角形和矩形角度的特点即可得出A说法符合题意；假设∠BAC=45°，可得到AB=BC，又AB=BE，所以BE=BC，不成立，所以B说法不符合题意；设EC的长为x，BE=2EC=2x，BC= ，证得△ECF∽△BAF，根据相似三角形的性质可得，C说法符合题意；AD=BC= ，AB=BE=2x，可得D说法正确．
二、填空题
13．（2021·南充）如图，在 中，D为BC上一点， ，则 的值为 .
【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵∠B=∠B，
∴△ABD∽△CBA，
∴ .
故答案为： .
【分析】利用已知条件可证得AB，CB，BD，AB四条线段成比例，利用有两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似，可求出AD与AC的比值.
14．（2021·遂宁）如图，正方形ABCD中，点E是CD边上一点，连结BE，以BE为对角线作正方形BGEF，边EF与正方形ABCD的对角线BD相交于点H，连结AF，有以下五个结论：① ；② ；③ ；④ ；⑤若 ，则 ，你认为其中正确是 （填写序号）
【答案】①②③④
【知识点】勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：①∵四边形BGEF和四边形ABCD均为正方形，BD，BE是对角线，
∴∠ABD＝∠FBE＝45°，
又∵∠ABF＝45° ∠DBF，∠DBE＝45° ∠DBF，
∴ ，
∴选项①正确；
②∵四边形BGEF和四边形ABCD均为正方形，
∴AD＝AB，BF＝BE，
∴BD＝ AB，BE= BF，
∴
又∵ ，
∴ ，
∴选项②正确；
④∵四边形BGEF和四边形ABCD均为正方形，BD，BE是对角线，
∴∠BEH＝∠BDE＝45°，
又∵∠EBH＝∠DBE，
∴△EBH∽△DBE，
∴ ，即BE2＝BH BD，
又∵BE＝ BG，
∴ ，
∴选项④确；
③由②知： ，
又∵四边形ABCD为正方形，BD为对角线，
∴∠BAF＝∠BDE＝45°，
∴AF在正方形另外一条对角线上，
∴AF⊥BD，
∴③正确，
⑤∵ ，
∴设CE=x，DE=3x，则BC=CD=4x，
∴BE= ，
∵BE2＝BH BD，
∴ ，
∴DH=BD-BH= ，
∴ ，
故⑤错误，
综上所述：①②③④正确，
故答案是：①②③④.
【分析】利用正方形的性质可证得∠ABD＝∠FBE＝45°，由此可知的∠ABF=∠DBE，可对①作出判断；再证明BD，AB，BE，BF对应成比例，利用有两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似可证得△ABF∽△DBE，可对②作出判断；利用正方形的性质可对AF⊥BD，可对③作出判断；利用正方形的性质可证得∠BEH＝∠BDE＝45°，可推出△EBH∽△DBE，利用相似三角形的对应边成比例，可对④作出判断；设CE=x，DE=3x，则BC=CD=4x，利用勾股定理表示出BE，BD的长；再求出BH，DH的长，然后可求出BH，DH的比值，可对⑤作出判断，综上所述可得到正确结论的序号.
15．（2021·东营）如图，正方形纸片ABCD的边长为12，点F是AD上一点，将 沿CF折叠，点D落在点G处，连接DG并延长交AB于点E．若 ，则GE的长为 ．
【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，
四边形ABCD是正方形
因为折叠， ，设垂足为H
，
故答案为 ．
【分析】由"ASA"可证出，可得，由锐角三角函数可求DO的长，即可求解。
16．（2021·上海）如图，已知 ，则 ．
【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：作AE⊥BC，CF⊥BD
∵
∴△ABD和△BCD等高，高均为AE
∴
∵AD∥BC
∴△AOD∽△COB
∴
∵△BOC和△DOC等高，高均为CF
∴
∴
故答案为：
【分析】作AE⊥BC，CF⊥BD，可得，利用平行线可证△AOD∽△COB
可得 ，从而求出，继而得出结论.
17．（2021·泸县）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E是BC的中点，点F在CD上，且CF=3DF，AE，BF相交于点G，则△AGF的面积是 .
【答案】
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：延长AG交DC延长线于M，过G作GH⊥CD，交AB于N，如图，
∵点E为BC中点，
∴BE=CE，
在△ABE和△MCE中，
，
∴△ABE≌△MCE（ASA），
∴AB=MC=4，
∵CF=3DF，CF+DF=4，
∴DF=1，CF=3，FM=FC+CM=3+4=7，
∵AB∥MF，
∴∠ABG=∠MFG，∠AGB=∠MGF，
∴△ABG∽△MFG，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
S△AFG=S△AFB-S△AGB= ，
故答案为 .
【分析】 延长AG交DC延长线于M，过G作GH⊥CD，交AB于N，利用线段中点的定义可证得BE=CE，利用ASAS证明△ABE≌△MCE，利用全等三角形的性质可求出MC的长，由此可求出MF的长；再证明△ABG∽△MFG，利用相似三角形的性质可证得对应边成比例，即可求出GN，GH的长；然后利用三角形的面积公式，根据S△AFG=S△AFB-S△AGB，代入计算，可求出△AGF的面积.
18．（2020·柳州）如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝10，点E在CD上，将△BCE沿BE折叠，点C恰好落在边AD上的点F处，点G在AF上，将△ABG沿BG折叠，点A恰好落在线段BF上的H处，有下列结论：①∠EBG＝45°；②2S△BFG＝5S△FGH；③△DEF∽△ABG；④4CE＝5ED.其中正确的是 .（填写所有正确结论的序号）
【答案】①②④
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：①由折叠的性质可知：∠CBE＝∠FBE，∠ABG＝∠FBG，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，
∴∠EBG＝∠GBH+∠EBF＝ ∠CBF+ ∠ABF＝ ∠ABC＝45°.
故①正确；②由折叠的性质可知：BF＝BC＝10，BH＝AB＝6，
∴HF＝BF﹣BH＝4，
∴ ＝ ＝ ＝ ，
∴2S△BFG＝5S△FGH；
故②正确；③∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠D＝90°，
在Rt△ABF中，AF＝ ＝8，
设GF＝x，即HG＝AG＝8﹣x，
在Rt△HGF中，HG2+HF2＝GF2，
即（8﹣x）2+42＝x2，解得x＝5，
∴AG＝3，
∴FD＝2；
同理可得ED＝ ，
∴ ＝ ＝2，
＝ ＝ ，
∴ ≠ ，
∴△ABG与△DEF不相似，
故③错误；④∵CD＝AB＝6，ED＝ ，
∴CE＝CD﹣ED＝ ，
∴ ＝ ，
∴4CE＝5ED.
故④正确.
综上所述，正确的结论的序号为①②④，
故答案为：①②④.
【分析】①根据折叠、矩形的性质进行推理即可；②根据等高三角形的面积比等于底边的比计算分析即可；③由矩形的性质、勾股定理及相似三角形的判定定理计算分析即可；④由矩形的性质可得CD的长，根据CE＝CD﹣ED求得CE的值，则可求得答案.
三、解答题
19．（2021九上·玄武期末）如图，四边形 是平行四边形，E是 延长线上的一点，连接 交 于点F.求证： .
【答案】证明：∵四边形 是平行四边形
∴ ，
∴
在 和 中
∵ ，
∴ .
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定
【解析】【分析】根据平行四边形的性质得出，，利用平行线的性质得出，根据两角对应相等可证.
20．（2021九上·渭南期末）如图，在锐角 中， ， ，将 绕点B按逆时针方向旋转，得到 连接 ， 若 的面积为4，求 的面积.
【答案】解：由旋转的性质，可得： ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ .
∵ .
∵ .
【知识点】相似三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【分析】根据题意结合旋转的性质证明 ，进而利用面积比是相似比的平方比即可求出 的面积.
21．（2020·南县）定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形，根据以上定义，解决下列问题：
（1）如图1，正方形 中，E是 上的点，将 绕B点旋转，使 与 重合，此时点E的对应点F在 的延长线上，则四边形 为“直等补”四边形，为什么？
（2）如图2，已知四边形 是“直等补”四边形， ， ， ，点 到直线 的距离为 ．
①求 的长．
②若M、N分别是 、 边上的动点，求 周长的最小值．
【答案】（1）解：如图1由旋转的性质得：∠F=∠BEC，∠ABF=∠CBE，BF=BE
∵∠BEC+∠BED=180°，∠CBE+∠ABE=90°，
∴∠F+∠BED=180°，
∠ABF+∠ABE=90°即∠FBE=90°，
故满足“直等补”四边形的定义，
∴四边形 为“直等补”四边形；
（2）解：①∵四边形 是“直等补”四边形，AB=BC，
∴∠A+∠BCD=180°，∠ABC=∠D=90°，
如图2，将△ABE绕点B顺时针旋转90°得到△CBF，
则∠F=∠AEB=90°，∠BCF+∠BCD=180°，BF=BE
∴D、C、F共线，
∴四边形EBFD是正方形，
∴BE=FD，
设BE=x，则CF=x-1，
在Rt△BFC中，BC=5，
由勾股定理得： ，即 ，
解得：x=4或x=﹣3(舍去)，
∴BE=4
②如图3，延长CD到P，使DP=CD=1，延长CB到T，使TB=BC=5，
则NP=NC，MT=MC，
∴△MNC的周长=MC+MN+NC=MT+MN+NP≥PT
当T、M、N、P共线时，△MNC的周长取得最小值PT，
过P作PH⊥BC，交BC延长线于H，
∵∠F=∠PHC=90°，∠BCF=∠PCH，
∴△BCF∽△PCH，
∴ ，
即 ，
解得： ，
在Rt△PHT中，TH= ，
，
∴ 周长的最小值为 ．
【知识点】勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定与性质；旋转的性质；定义新运算
【解析】【分析】（1）由旋转性质证得∠F+∠BED=∠BEC+∠BED=180°，∠FBE=∠ABF+∠ABE=∠CBE+∠ABE=90°，BF=BE，进而可证得四边形 为“直等补”四边形；（2）如图2，将△ABE绕点B顺时针旋转90°得到△CBF，可证得四边形EBFD是正方形，则有BE=FD，设BE=x，则FC=x-1，由勾股定理列方程解之即可；（3）如图3，延长CD到P，使DP=CD=1，延长CB到T，使TB=BC=5，则NP=NC，MT=MC，由△MNC的周长=MC+MN+NC=MT+MN+NP≥PT知，当T、M、N、P共线时，△MNC的周长取得最小值PT，过P作PH⊥BC交BC延长线于H，易证△BFC∽△PHC，求得CH、PH，进而求得TH，在Rt△PHT中，由勾股定理求得PT，即可求得周长的最小值．
22．（2021·广州）如图，在菱形ABCD中， ， ，点E为边AB上一个动点，延长BA到点F，使 ，且CF、DE相交于点G
（1）当点E运动到AB中点时，证明：四边形DFEC是平行四边形；
（2）当 时，求AE的长；
（3）当点E从点A开始向右运动到点B时，求点G运动路径的长度．
【答案】（1）证明：∵E为AB中点，
∴ ．
∴ ．
∵四边形ABCD是菱形，
∴CD∥AB， ．
∴ ．
∴四边形DFEC是平行四边形；
（2）解：如图，过点C作CH⊥AB交FB的延长线于点H，
∵四边形ABCD是菱形， ，
∴AD∥BC， ．
∴ ．
∴ ．
∴ ．
则由勾股定理得 ．
∵CD∥AB，
∴△CDG∽△FEG．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
设 ，则 ．
∴ ， ．
在Rt△CFH中，由勾股定理得： ，
∴ ．
解得 ， （不合题意，舍去）．
∴AE的长为
（3）解：如图，连接AG并延长交CD于点M，连接BD交AM于点N，并连接BM，
∵四边形ABCD是菱形， ，
∴ ， ．
∴△ABD为等边三角形．
同理可证：△BCD为等边三角形．
∴ ．
∵CD∥AB，
∴ ， ．
∴ ， ．
∴
∵ ，
∴ ．
∴ ．
则由勾股定理得： ，
．
当点E从A出发运动到点B时，点G始终在直线AM上运动，运动轨迹为线段，
当点E与A重合时，点G与点A重合，
当点E与B重合时，点G为BD与AM 的交点N，
∴点G运动路径的长度为线段AN的长，
∵CD∥AB，
∴ ．
∴ ．
∴点G运动路径的长度为
【知识点】平行四边形的判定；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）先求出EF=AB，再求出CD//AB，CD=AB，最后利用平行四边形的判定方法证明求解即可；
（2）先求出BH=1，再证明 △CDG∽△FEG ，最后利用相似三角形的性质和勾股定理计算求解即可；
（3）先求出BD=AB=BC，再利用相似三角形的性质和勾股定理求解即可。
23．（2020·营口）如图，在矩形ABCD中，AD＝kAB（k＞0），点E是线段CB延长线上的一个动点，连接AE，过点A作AF⊥AE交射线DC于点F.
（1）如图1，若k＝1，则AF与AE之间的数量关系是 ；
（2）如图2，若k≠1，试判断AF与AE之间的数量关系，写出结论并证明；（用含k的式子表示）
（3）若AD＝2AB＝4，连接BD交AF于点G，连接EG，当CF＝1时，求EG的长.
【答案】（1）AF＝AE
（2）解：AF＝kAE.
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠ABC＝∠ADF＝90°，
∴∠FAD+∠FAB＝90°，
∵AF⊥AE，
∴∠EAF＝90°，
∴∠EAB+∠FAB＝90°，
∴∠EAB＝∠FAD，
∵∠ABE+∠ABC＝180°，
∴∠ABE＝180°﹣∠ABC＝180°﹣90°＝90°，
∴∠ABE＝∠ADF.
∴△ABE∽△ADF，
∴ ，
∵AD＝kAB，
∴ ，
∴ ，
∴AF＝kAE.
（3）解：①如图1，当点F在DA上时，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∵AD＝2AB＝4，
∴AB＝2，
∴CD＝2，
∵CF＝1，
∴DF＝CD﹣CF＝2﹣1＝1.
在Rt△ADF中，∠ADF＝90°，
∴AF＝ ，
∵DF∥AB，
∴∠GDF＝∠GBA，∠GFD＝∠GAB，
∴△GDF∽△GBA，
∴
∵AF＝GF+AG，
∴AG＝
∵△ABE∽△ADF，
∴ ，
∴AE＝ ＝
在Rt△EAG中，∠EAG＝90°，
∴EG＝ ，
②如图2，当点F在DC的延长线上时，DF＝CD+CF＝2+1＝3，
在Rt△ADF中，∠ADF＝90°，
∴AF＝ .
∵DF∥AB，
∵∠GAB＝∠GFD，∠GBA＝∠GDF，
∴△AGB∽△FGD，
∴ ，
∵GF+AG＝AF＝5，
∴AG＝2，
∵△ABE∽△ADF，
∴ ，
∴ ，
在Rt△EAG中，∠EAG＝90°，
∴EG＝ .
综上所述，EG的长为 或 .
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：（1）AE＝AF.
∵AD＝AB，四边形ABCD矩形，
∴四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝90°，
∵AF⊥AE，
∴∠EAF＝90°，
∴∠EAB＝∠FAD，
∴△EAB≌△FAD（AAS），
∴AF＝AE；
故答案为：AF＝AE.
【分析】（1）证明△EAB≌△FAD（AAS），由全等三角形的性质得出AF＝AE；
（2）证明△ABE∽△ADF，由相似三角形的性质得出 ，则可得出结论；
（3）①如图1，当点F在DA上时，证得△GDF∽△GBA，得出 ，求出AG＝ .由△ABE∽△ADF可得出 ，求出AE＝ .则可得出答案；②如图2，当点F在DC的延长线上时，同理可求出EG的长.
24．（2020·宿迁）如图
（1）（感知）如图①，在四边形ABCD中，∠C=∠D=90°，点E在边CD上，∠AEB=90°，求证： = .
（2）（探究）如图②，在四边形ABCD中，∠C=∠ADC=90°，点E在边CD上，点F在边AD的延长线上，∠FEG=∠AEB=90°，且 = ，连接BG交CD于点H.求证：BH=GH.
（3）（拓展）如图③，点E在四边形ABCD内，∠AEB+∠DEC=180°，且 = ，过E作EF交AD于点F，若∠EFA=∠AEB，延长FE交BC于点G.求证：BG=CG.
【答案】（1）证明：∵∠C=∠D=∠AEB=90°，
∴∠BEC+∠AED=∠AED+∠EAD=90°，
∴∠BEC=∠EAD，
∴Rt△AED∽Rt△EBC，
∴ ；
（2）证明：如图1，过点G作GM⊥CD于点M，
同（1）的理由可知： ，
∵ ， ，
∴ ，
∴CB=GM，
在△BCH和△GMH中，
，
∴△BCH≌△GMH（AAS），
∴BH=GH；
（3）证明：如图2，在EG上取点M，使∠BME=∠AFE，
过点C作CN∥BM，交EG的延长线于点N，则∠N=∠BMG，
∵∠EAF+∠AFE+∠AEF=∠AEF+∠AEB+∠BEM=180°，∠EFA=∠AEB，
∴∠EAF=∠BEM，
∴△AEF∽△EBM，
∴ ，
∵∠AEB+∠DEC=180°，∠EFA+∠DFE=180°，
而∠EFA=∠AEB，
∴∠CED=∠EFD，
∵∠BMG+∠BME=180°，
∴∠N=∠EFD，
∵∠EFD+∠EDF+∠FED=∠FED+∠DEC+∠CEN=180°，
∴∠EDF=∠CEN，
∴△DEF∽△ECN，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴BM=CN，
在△BGM和△CGN中，
，
∴△BGM≌△CGN（AAS），
∴BG=CG.
【知识点】三角形全等及其性质；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）证得∠BEC=∠EAD，证明Rt△AED∽Rt△EBC，由相似三角形的性质得出 ，则可得出结论；
（2）过点G作GM⊥CD于点M，由（1）可知 ，证得BC=GM，证明△BCH≌△GMH，可得出结论；
（3）在EG上取点M，使∠BME=∠AFE，过点C作CN∥BM，交EG的延长线于点N，则∠N=∠BMG，证明△AEF∽△EBM，由相似三角形的性质得出 ，证明△DEF∽△ECN，则 ，得出 ，则BM=CN，证明△BGM≌△CGN（AAS），由全等三角形的性质可得出结论.
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