北师版数学九年级上册同步训练《6.2 反比例函数的图象与性质》

北师版数学九年级上册同步训练《6.2 反比例函数的图象与性质》
一、单选题
1．（2020·宜昌）已知电压U、电流I、电阻R三者之间的关系式为： （或者 ），实际生活中，由于给定已知量不同，因此会有不同的可能图象，图象不可能是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2021·仙桃）下列说法正确的是（　　）
A．函数 的图象是过原点的射线
B．直线 经过第一 二 三象限
C．函数 ，y随x增大而增大
D．函数 ，y随x增大而减小
3．（2021·嘉兴）已知三个点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）在反比例函数y＝ 的图象上，其中x1＜x2＜0＜x3，下列结论中正确的是（　　）
A．y2＜y1＜0＜y3 B．y1＜y2＜0＜y3
C．y3＜0＜y2＜y1 D．y3＜0＜y1＜y2
4．（2020·大庆）已知正比例函数 和反比例函数 ，在同一直角坐标系下的图象如图所示，其中符合 的是（　　）
A．①② B．①④ C．②③ D．③④
5．（2020·滨州）如图，点A在双曲线 上，点B在双曲线 上，且AB//x轴，点C、D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则它的面积为（　　）
A．4 B．6 C．8 D．12
6．（2020·赤峰）如图，点B在反比例函数 （ ）的图象上，点C在反比例函数 （ ）的图象上，且 轴， ，垂足为点C，交y轴于点A，则 的面积为 （　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．（2020·黑龙江）如图，A，B是双曲线 上的两个点，过点A作AC⊥x轴，交OB于点D，垂足为C，若△ODC的面积为1，D为OB的中点，则k的值为（　　）
A． B．2 C．4 D．8
8．（2020·德州）函数 和 在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
9．（2020·张家界）如图所示，过y轴正半轴上的任意一点P，作x轴的平行线，分别与反比例函数 和 的图象交于点A和点B，若点C是x轴上任意一点，连接 ，则 的面积为（　　）
A．6 B．7 C．8 D．14
10．（2021·广州）在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的点A在函数 的图象上，点C在函数 的图象上，若点B的横坐标为 ，则点A的坐标为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2021·铜仁）如图，矩形 的顶点 在反比例函数 的图象上，矩形 的面积为3，则 　 　；
12．（2021·株洲）点 、 是反比例函数 图象上的两点，满足：当 时，均有 ，则 的取值范围是　 　.
13．（2020·凉山州）如图，矩形OABC的面积为3，对角线OB与双曲线 相交于点D，且 ，则k的值为　 　．
14．（2020·鄂尔多斯）如图，平面直角坐标系中，菱形ABCD在第一象限内，边BC与x轴平行，A，B两点的纵坐标分别为6，4，反比例函数y＝ （x＞0）的图象经过A，B两点，若菱形ABCD的面积为2 ，则k的值为　 　．
15．（2020·鄂州）如图，点A是双曲线 上一动点，连接 ，作 ，且使 ，当点A在双曲线 上运动时，点B在双曲线 上移动，则k的值为　 　.
16．（2020·达县）如图，点A、B在反比函数 的图象上，A、B的纵坐标分别是3和6，连接 、 ，则 的面积是　 　．
三、解答题
17．（2019·盘锦）如图，四边形ABCD是矩形，点A在第四象限y1＝﹣ 的图象上，点B在第一象限y2＝ 的图象上，AB交x轴于点E，点C与点D在y轴上，AD＝ ，S矩形OCBE＝ S矩形ODAE.
（1）求点B的坐标.
（2）若点P在x轴上，S△BPE＝3，求直线BP的解析式.
18．（2021·重庆）探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程.以下是我们研究函数 性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题.
x … 0 1 2 3 4 5 …
y … 6 5 4 a 2 1 b 7 …
（1）写出函数关系式中m及表格中a，b的值： 　 　， 　 　， 　 　；
（2）根据表格中的数据在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象，并根据图象写出该函数的一条性质： ；
（3）已知函数 的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式 的解集.
19．（2021·乐山）如图，直线l分别交x轴，y轴于A、B两点，交反比例函数 的图象于P、Q两点.若 ，且 的面积为4
（1）求k的值；
（2）当点P的横坐标为 时，求 的面积.
20．（2020·聊城）如图，已知反比例函数 的图象与直线 相交于点 ， ．
（1）求出直线 的表达式；
（2）在x轴上有一点 使得 的面积为18，求出点P的坐标．
21．（2020·广州）如图，平面直角坐标系 中， 的边 在 轴上，对角线 ， 交于点 ，函数 的图象经过点 和点 ．
（1）求 的值和点 的坐标；
（2）求 的周长．
22．（2020·广元）如图所示，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于 ．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）在x轴上存在一点C，使 为等腰三角形，求此时点C的坐标；
（3）根据图象直接写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】正比例函数的图象和性质；反比例函数的图象
【解析】【解答】解：当U一定时，电压U、电流I、电阻R三者之间的关系式为I＝，I与R成反比例函数关系，但R不能小于0，所以图象A不可能，B可能；
当I一定时，电压U、电流I、电阻R三者之间的关系式为：U＝IR，U和I成正比例函数关系，所以C、D均有可能.
故答案为：A.
【分析】分不同的已知量分别讨论后即可确定符合题意的选项．
2．【答案】C
【知识点】反比例函数的性质；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】A、函数 的图象是过原点的直线，则此项说法错误，不符题意；
B、直线 经过第一 二 四象限，则此项说法错误，不符题意；
C、函数 ， 随 增大而增大，则此项说法正确，符合题意；
D、函数 ， 随 增大而增大，则此项说法错误，不符题意；
故答案为：C.
【分析】函数y=2x的图象是过原点的直线，据此判断A；根据一次函数经过的象限与系数的关系判断B；根据反比例函数的性质判断C；根据一次函数的性质判断D.
3．【答案】A
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵k=2>0，∴y随x的增大而减小，
当x>0时，图象在第一象限，y>0，
∴ y2＜y1＜0 ，
当x<0时，图象在第三象限，y<0，
y3 >0，
∴ y2＜y1＜0＜y3 ，
故答案为：A.
【分析】反比例函数 y＝ ，当k>0时，图象经过一三象限，y随x的增大而减小，当x>0时，图象在第一象限，y>0，当x<0时，图象在第三象限，y<0，根据性质即可比较出大小.
4．【答案】B
【知识点】正比例函数的图象和性质；反比例函数的图象
【解析】【解答】解： 观察图像①可得 ，所以 ，①符合题意；
观察图像②可得 ，所以 ，②不符合题意；
观察图像③可得 ，所以 ，③不符合题意；
观察图像④可得 ，所以 ，④符合题意；
综上，其中符合 的是①④，
故答案为：B．
【分析】根据正比例函数和反比例函数的图象逐一判断即可．
5．【答案】C
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；矩形的性质
【解析】【解答】过点A作AE⊥y轴于点E，
∵点A在双曲线 上，
∴四边形AEOD的面积为4，
∵点B在双曲线 上，且AB//x轴，
∴四边形BEOC的面积为12，
∴矩形ABCD的面积为12-4=8，
故答案为：C．
【分析】过点A作AE⊥y轴于点E，利用反比例函数系数k的几何意义，分别得到四边形AEOD的面积为4，四边形BEOC的面积为12，即可得到矩形ABCD的面积．
6．【答案】B
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；矩形的性质
【解析】【解答】作BD⊥BC交y轴于D，
∵ 轴， ，
∴四边形ACBD是矩形，
∴S矩形ACBD=6+2=8，
∴ 的面积为4．
故答案为：B．
【分析】作BD⊥BC交y轴于D，可证四边形ACBD是矩形，根据反比例函数k的几何意义求出矩形ACBD的面积，进而由矩形的性质可求 的面积．
7．【答案】D
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，过点B作 轴，设 ，则 ，
∵ 轴， 轴，
∴ ，
∴ ，
∵D为OB的中点，
∴ ，
∴ ，
即 ，解得 ，
∴k的值为8，
故答案为：D．
【分析】过点B作 轴，易得 ，得到 ，即可求解k的值．
8．【答案】D
【知识点】一次函数的图象；反比例函数的图象；反比例函数的性质；一次函数的性质
【解析】【解答】∵反比例函数 和一次函数
∴当 时，函数 在第一、三象限，一次函数 经过一、二、四象限，A、B不符合题意，选项D符合题意；
当 时，函数 在第二、四象限，一次函数 经过一、二、三象限，C不符合题意，
故答案为：D．
【分析】根据题目中的函数解析式，利用分类讨论的方法可以判断各个选项中的函数图象是否正确，从而可以解答本题．
9．【答案】B
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：∵AB∥x轴，且△ABC与△ABO共底边AB，
∴△ABC的面积等于△ABO的面积，
连接OA、OB，如下图所示：
则
．
故答案为：B．
【分析】根据两平行直线之间共底三角形的面积相等可知，当C点位于O点是，△ABC的面积与△ABO的面积相等，由此即可求解．
10．【答案】A
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：过C点作CE⊥x轴，过A点作AF⊥x轴，
∵点A在函数 的图象上，点C在函数 的图象上，
∴ ， ，
∵CE⊥x轴，
∴ ， ，
∵在矩形OABC中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
设点A坐标为 ，则点B坐标为 ，
连接AC、BO交于点P，则P为AC、BO的中点，
∴ ，
解得： ， （不合题意，舍去），
∴点A坐标为 ，
故答案为：A．
【分析】先证明 ，再求出 ， ，最后求点的坐标即可。
11．【答案】3
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】由题可知，S矩形ABOC=|k|=3，
又∵反比例图象过第一象限，
∴k＞0，
∴k=3，
故答案为3.
【分析】根据反比例函数系数k的几何意义，可得S矩形ABOC=|k|=3，再根据反比例图象过第一象限即可求出k值.
12．【答案】k<0
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：因为当 时， ，
说明A、B两点同时位于第一或第四象限，
∵当 时，均有 ，
∴在该图象上，y随x的增大而增大，
∴A、B两点同时位于第四象限，
所以k<0，
故答案为：k<0.
【分析】由点A、B的横坐标易知A、B两点同时位于第一或第四象限，结合已知根据反比例函数的性质可知k<0.
13．【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；矩形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】过D作DM⊥OA于M，DN⊥OC于N，
设D的坐标是（x，y），
则DM＝y，DN＝x，
∵OB：OD＝5：3，四边形OABC是矩形，
∴∠BAO＝90°，
∵DM⊥OA，
∴DM∥BA，
∴△ODM∽△OBA，
∴ ，
∴DM＝ AB，
同理DN＝ BC，
∵四边形OABC的面积为3，
∴AB×BC＝3，
∴DM×DN＝xy＝ AB× BC＝ ×3＝ ，
即k＝xy＝ ．
故答案为： ．
【分析】过D作DM⊥OA于M，DN⊥OC于N，设D的坐标是（x，y），根据矩形的性质和平行线分线段成比例定理求出DM＝ AB，DN＝ BC，代入矩形的面积即可求出答案．
14．【答案】12
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；菱形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：过点A作x轴的垂线，交CB的延长线于点E，
∵BC∥x轴，
∴AE⊥BC，
∵A，B两点在反比例函数y＝ （x＞0）的图象，且纵坐标分别为6，4，
∴A（ ，6），B（ ，4），
∴AE＝2，BE＝ ﹣ ＝ ，
∵菱形ABCD的面积为2 ，
∴BC×AE＝2 ，即BC＝ ，
∴AB＝BC＝ ，
在Rt△AEB中，BE＝ ＝ ＝1，
∴ k＝1，
∴k＝12，
故答案为：12．
【分析】过点A作x轴的垂线，交CB的延长线于点E，根据A，B两点的纵坐标分别为6，4，可得出横坐标，即可表示AE，BE的长，根据菱形的面积为2 ，求得AE的长，在Rt△AEB中，计算BE的长，列方程即可得出k的值．
15．【答案】﹣9
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：如图作AC⊥x轴于点C，作BD⊥x轴于点D.
∵
∴ =
∵点A是双曲线 上
∴S△OAC=
∵∠AOB=90°，
∴∠AOC+∠BOD=90°，
又∵直角△AOC中，∠AOC+∠CAO=90°，
∴∠BOD=∠OAC，
又∵∠ACO=∠BDO=90°，
∴△OAC∽△BOD，
∴ =
∴
∴ =9
∵函数图象位于第四象限
∴ｋ＝﹣9
故答案为：﹣9
【分析】首先根据反比例函数的比例系数k的几何意义求得△AOC的面积，然后证明△OAC∽△BOD，根据相似三角形的面积的性质求得△BOD的面积，依据反比例函数的比例系数k的几何意义即可求解.
16．【答案】9
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】如图，
设BD⊥y轴于点D，AC⊥y轴于点C，AC与OB的交点为点E，
∵A、B的纵坐标分别是3和6，
代入函数关系式可得横坐标分别为4，2；
∴A（4，3），B（2，6）；
∴AC=4，BD=2，CD=3
由反比例函数的几何意义可得S△BOD=S△AOC，
∴S四边形EBDC=S△AOE，
∴S△AOB=S四边形ABDC= ，
故答案为：9．
【分析】设BD⊥y轴于点D，AC⊥y轴于点C，AC与OB的交点为点E，证得S四边形EBDC=S△AOE即可得S△AOB=S四边形ABDC，根据梯形的面积公式求解即可．
17．【答案】（1）解：∵S矩形OCBE＝ S矩形ODAE，点B在第一象限y2＝ 的图象上，
∵点A在第四象限y1＝﹣ 的图象上，
∴S矩形ODEA＝2
∴S矩形OCBE＝ ×2＝3，
∴k＝3，
∴y2＝ ，
∵OE＝AD＝ ，
∴B的横坐标为 ，
代入y2＝ 得，y＝ ＝2，
∴B（ ，2）
（2）解：设P（a，0），
∵S△BPE＝ PE BE＝ ，
解得a＝﹣ 或 ，
∴点P（﹣ ，0）或（ ，0），
设直线BP的解析式为y＝mx+n（m≠0），
①若直线过（ ，2），（﹣ ，0），
则 ，解得 ，
∴直线BP的解析式为y＝ x+1；
②若直线过（ ，2），（ ，0），
则 ，解得 ，
∴直线BP的解析式为y＝﹣ x+3；
综上，直线BP的解析式是y＝ x+1或y＝﹣ x+3.
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；矩形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）根据反比例函数k的几何意义得出 S矩形ODEA＝2 ，进而根据 S矩形OCBE＝ S矩形ODAE 得出 S矩形OCBE＝ 3，再根据反比例函数k的几何意义得出反比例函数y2中的比例系数k的值，求出反比例函数y2的解析式，根据点的坐标与图形的性质及反比例函数图象上的点的坐标特点求出点B的坐标；
（2） 设P（a，0） ，根据三角形的面积计算方法，由 S△BPE＝ PE BE＝ ， 建立方程，求解得出a的值，从而求出点P的坐标，进而利用待定系数法分两种情况即可求出直线BP的解析式.
18．【答案】（1）；3；4
（2）解：通过列表-描点-连线的方法作图，如图所示，
根据图像可知：当 时，y随x的增大而减小，当 时，y随x的增大而增大； 故答案为：当 时，y随x的增大而减小，当 时，y随x的增大而增大.
（3）解：要求不等式 的解集，
实际上求出函数 的图象位于函数 图象上方的自变量的范围，
∴由图象可知，当 或 时，满图条件，
故答案为： 或 .
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：（1）由表格可知，点 在该函数图象上，
∴将点 代入函数解析式可得： ，
解得： ，
∴原函数的解析式为： ；
当 时， ；
当 时， ；
故答案为： ；3；4；
【分析】（1）利用表中点的坐标，可求出m的值，即可得到函数解析式；再求出当x=1和x=4时的函数值，可求出a，b的值.
（2）利用描点法画出该函数的图象，利用函数图象写出该函数的一条性质即可.
（3）观察函数 的图象位于函数 图象上方，利用交点坐标，可得到x的取值范围.
19．【答案】（1）解：过P作 垂直于x轴，垂足为E，
∴ ，
∴ .
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ， .
∴ ， ，即 .
（2）解：由（1）知 ，∴ .
∵ ，∴ ，∴ ， .
设直线 的解析式为 ，
将点 、 代入 ，得 .
解得 .
∴直线 的解析式为 .
联立方程组 ，解得 ， ，
∴ .
∴ .
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数与一次函数的交点问题；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）过点P作PE⊥x轴于点E，由PE∥BO，可证得△ABO∽△APE，利用相似三角形的对应边成比例，可求出△APE和△PED的面积，利用反比例函数的几何意义，可求出k的值.
（2）利用函数解析式求出点P的坐标，由AB=2PB，可求出△PBO的面积，即可得到点B的坐标；再利用待定系数法求出直线PB的函数解析式，将此函数解析式与反比例函数联立方程组，求出点Q的坐标，然后利用三角形的面积公式求出△POQ的面积.
20．【答案】（1）解：∵ 在 的图象上，
∴ ， ，
又点 在 的图象上， ，即 ．
将点 ， 的坐标代入 ，得 ，
解得 ．
∴直线的表达式为 ．
（2）解：设直线 与 轴的交点为E，
当 时，解得 ．即 ．
分别过点A，B作x轴的垂线 ， ，垂足分别为C，D．
．
又 ，即 ，∴ ．
当点 在原点右侧时， ，
当点 在原点左侧时， ．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数的图象；反比例函数的性质
【解析】【分析】（1）通过点A的坐标确定反比例函数的解析式，再求得B的坐标，利用待定系数法将A，B的坐标代入，即可得到一次函数的解析式；（2）直线 与 轴的交点为 ，过点 ， 作 轴的垂线 ， ，垂足分别为 ， ，得到 ，即 ，分情况讨论即可解决．
21．【答案】（1）将点A（3，4）代入 中，得k= ，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴MA=MC，
作AD⊥x轴于点D，ME⊥x轴于点E，
∴ME∥AD，
∴△MEC∽△ADC，
∴ ，
∴ME=2，
将y=2代入 中，得x=6，
∴点M的坐标为（6，2）；
（2）∵A（3，4），
∴OD=3，AD=4，
∴ ，
∵A（3，4），M（6，2），
∴DE=6-3=3，
∴CD=2DE=6，
∴OC=3+6=9，
∴ 的周长=2(OA+OC)=28.
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）将点A（3，4）代入 中求出k的值，作AD⊥x轴于点D，ME⊥x轴于点E，证明△MEC∽△ADC，得到 ，求出ME=2，代入 即可求出点M的坐标；（2）根据勾股定理求出OA=5，根据点A、M的坐标求出DE，即可得到OC的长度，由此求出答案.
22．【答案】（1）解：把A（3，4）代入 ，
∴m＝12，
∴反比例函数是 ；
把B（n，-1）代入 得n＝ 12．
把A（3，4）、B（-12， 1）分别代入y＝kx＋b中：
得 ，
解得 ，
∴一次函数的解析式为 ；
（2）解：∵A（3，4），△AOC为等腰三角形，OA= ，
分三种情况：
①当OA=OC时，OC=5，
此时点C的坐标为 ， ；
②当AO=AC时，∵A（3，4），点C和点O关于过A点且垂直于x轴的直线对称，
此时点C的坐标为 ；
③当CA=CO时，点C在线段OA的垂直平分线上，
过A作AD⊥x轴，垂足为D，
由题意可得：OD=3，AD=4，AO=5，设OC=x，则AC=x，
在△ACD中，
，
解得：x= ，
此时点C的坐标为 ；
综上：点C的坐标为： ， ， ， ；
（3）解：由图得：
当一次函数图象在反比例函数图象上方时，
-123，
即使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围是：-123.
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数与一次函数的交点问题；等腰三角形的性质；数学思想
【解析】【分析】（1）因为反比例函数过A、B两点，所以可求其解析式和n的值，从而知B点坐标，进而求一次函数解析式；（2）分三种情况：OA=OC，AO=AC，CA=CO，分别求解即可；（3）根据图像得出一次函数图象在反比例函数图象上方时x的取值范围即可.
1 / 1北师版数学九年级上册同步训练《6.2 反比例函数的图象与性质》
一、单选题
1．（2020·宜昌）已知电压U、电流I、电阻R三者之间的关系式为： （或者 ），实际生活中，由于给定已知量不同，因此会有不同的可能图象，图象不可能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】正比例函数的图象和性质；反比例函数的图象
【解析】【解答】解：当U一定时，电压U、电流I、电阻R三者之间的关系式为I＝，I与R成反比例函数关系，但R不能小于0，所以图象A不可能，B可能；
当I一定时，电压U、电流I、电阻R三者之间的关系式为：U＝IR，U和I成正比例函数关系，所以C、D均有可能.
故答案为：A.
【分析】分不同的已知量分别讨论后即可确定符合题意的选项．
2．（2021·仙桃）下列说法正确的是（　　）
A．函数 的图象是过原点的射线
B．直线 经过第一 二 三象限
C．函数 ，y随x增大而增大
D．函数 ，y随x增大而减小
【答案】C
【知识点】反比例函数的性质；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】A、函数 的图象是过原点的直线，则此项说法错误，不符题意；
B、直线 经过第一 二 四象限，则此项说法错误，不符题意；
C、函数 ， 随 增大而增大，则此项说法正确，符合题意；
D、函数 ， 随 增大而增大，则此项说法错误，不符题意；
故答案为：C.
【分析】函数y=2x的图象是过原点的直线，据此判断A；根据一次函数经过的象限与系数的关系判断B；根据反比例函数的性质判断C；根据一次函数的性质判断D.
3．（2021·嘉兴）已知三个点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）在反比例函数y＝ 的图象上，其中x1＜x2＜0＜x3，下列结论中正确的是（　　）
A．y2＜y1＜0＜y3 B．y1＜y2＜0＜y3
C．y3＜0＜y2＜y1 D．y3＜0＜y1＜y2
【答案】A
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵k=2>0，∴y随x的增大而减小，
当x>0时，图象在第一象限，y>0，
∴ y2＜y1＜0 ，
当x<0时，图象在第三象限，y<0，
y3 >0，
∴ y2＜y1＜0＜y3 ，
故答案为：A.
【分析】反比例函数 y＝ ，当k>0时，图象经过一三象限，y随x的增大而减小，当x>0时，图象在第一象限，y>0，当x<0时，图象在第三象限，y<0，根据性质即可比较出大小.
4．（2020·大庆）已知正比例函数 和反比例函数 ，在同一直角坐标系下的图象如图所示，其中符合 的是（　　）
A．①② B．①④ C．②③ D．③④
【答案】B
【知识点】正比例函数的图象和性质；反比例函数的图象
【解析】【解答】解： 观察图像①可得 ，所以 ，①符合题意；
观察图像②可得 ，所以 ，②不符合题意；
观察图像③可得 ，所以 ，③不符合题意；
观察图像④可得 ，所以 ，④符合题意；
综上，其中符合 的是①④，
故答案为：B．
【分析】根据正比例函数和反比例函数的图象逐一判断即可．
5．（2020·滨州）如图，点A在双曲线 上，点B在双曲线 上，且AB//x轴，点C、D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则它的面积为（　　）
A．4 B．6 C．8 D．12
【答案】C
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；矩形的性质
【解析】【解答】过点A作AE⊥y轴于点E，
∵点A在双曲线 上，
∴四边形AEOD的面积为4，
∵点B在双曲线 上，且AB//x轴，
∴四边形BEOC的面积为12，
∴矩形ABCD的面积为12-4=8，
故答案为：C．
【分析】过点A作AE⊥y轴于点E，利用反比例函数系数k的几何意义，分别得到四边形AEOD的面积为4，四边形BEOC的面积为12，即可得到矩形ABCD的面积．
6．（2020·赤峰）如图，点B在反比例函数 （ ）的图象上，点C在反比例函数 （ ）的图象上，且 轴， ，垂足为点C，交y轴于点A，则 的面积为 （　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；矩形的性质
【解析】【解答】作BD⊥BC交y轴于D，
∵ 轴， ，
∴四边形ACBD是矩形，
∴S矩形ACBD=6+2=8，
∴ 的面积为4．
故答案为：B．
【分析】作BD⊥BC交y轴于D，可证四边形ACBD是矩形，根据反比例函数k的几何意义求出矩形ACBD的面积，进而由矩形的性质可求 的面积．
7．（2020·黑龙江）如图，A，B是双曲线 上的两个点，过点A作AC⊥x轴，交OB于点D，垂足为C，若△ODC的面积为1，D为OB的中点，则k的值为（　　）
A． B．2 C．4 D．8
【答案】D
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，过点B作 轴，设 ，则 ，
∵ 轴， 轴，
∴ ，
∴ ，
∵D为OB的中点，
∴ ，
∴ ，
即 ，解得 ，
∴k的值为8，
故答案为：D．
【分析】过点B作 轴，易得 ，得到 ，即可求解k的值．
8．（2020·德州）函数 和 在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】一次函数的图象；反比例函数的图象；反比例函数的性质；一次函数的性质
【解析】【解答】∵反比例函数 和一次函数
∴当 时，函数 在第一、三象限，一次函数 经过一、二、四象限，A、B不符合题意，选项D符合题意；
当 时，函数 在第二、四象限，一次函数 经过一、二、三象限，C不符合题意，
故答案为：D．
【分析】根据题目中的函数解析式，利用分类讨论的方法可以判断各个选项中的函数图象是否正确，从而可以解答本题．
9．（2020·张家界）如图所示，过y轴正半轴上的任意一点P，作x轴的平行线，分别与反比例函数 和 的图象交于点A和点B，若点C是x轴上任意一点，连接 ，则 的面积为（　　）
A．6 B．7 C．8 D．14
【答案】B
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：∵AB∥x轴，且△ABC与△ABO共底边AB，
∴△ABC的面积等于△ABO的面积，
连接OA、OB，如下图所示：
则
．
故答案为：B．
【分析】根据两平行直线之间共底三角形的面积相等可知，当C点位于O点是，△ABC的面积与△ABO的面积相等，由此即可求解．
10．（2021·广州）在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的点A在函数 的图象上，点C在函数 的图象上，若点B的横坐标为 ，则点A的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：过C点作CE⊥x轴，过A点作AF⊥x轴，
∵点A在函数 的图象上，点C在函数 的图象上，
∴ ， ，
∵CE⊥x轴，
∴ ， ，
∵在矩形OABC中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
设点A坐标为 ，则点B坐标为 ，
连接AC、BO交于点P，则P为AC、BO的中点，
∴ ，
解得： ， （不合题意，舍去），
∴点A坐标为 ，
故答案为：A．
【分析】先证明 ，再求出 ， ，最后求点的坐标即可。
二、填空题
11．（2021·铜仁）如图，矩形 的顶点 在反比例函数 的图象上，矩形 的面积为3，则 　 　；
【答案】3
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】由题可知，S矩形ABOC=|k|=3，
又∵反比例图象过第一象限，
∴k＞0，
∴k=3，
故答案为3.
【分析】根据反比例函数系数k的几何意义，可得S矩形ABOC=|k|=3，再根据反比例图象过第一象限即可求出k值.
12．（2021·株洲）点 、 是反比例函数 图象上的两点，满足：当 时，均有 ，则 的取值范围是　 　.
【答案】k<0
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：因为当 时， ，
说明A、B两点同时位于第一或第四象限，
∵当 时，均有 ，
∴在该图象上，y随x的增大而增大，
∴A、B两点同时位于第四象限，
所以k<0，
故答案为：k<0.
【分析】由点A、B的横坐标易知A、B两点同时位于第一或第四象限，结合已知根据反比例函数的性质可知k<0.
13．（2020·凉山州）如图，矩形OABC的面积为3，对角线OB与双曲线 相交于点D，且 ，则k的值为　 　．
【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；矩形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】过D作DM⊥OA于M，DN⊥OC于N，
设D的坐标是（x，y），
则DM＝y，DN＝x，
∵OB：OD＝5：3，四边形OABC是矩形，
∴∠BAO＝90°，
∵DM⊥OA，
∴DM∥BA，
∴△ODM∽△OBA，
∴ ，
∴DM＝ AB，
同理DN＝ BC，
∵四边形OABC的面积为3，
∴AB×BC＝3，
∴DM×DN＝xy＝ AB× BC＝ ×3＝ ，
即k＝xy＝ ．
故答案为： ．
【分析】过D作DM⊥OA于M，DN⊥OC于N，设D的坐标是（x，y），根据矩形的性质和平行线分线段成比例定理求出DM＝ AB，DN＝ BC，代入矩形的面积即可求出答案．
14．（2020·鄂尔多斯）如图，平面直角坐标系中，菱形ABCD在第一象限内，边BC与x轴平行，A，B两点的纵坐标分别为6，4，反比例函数y＝ （x＞0）的图象经过A，B两点，若菱形ABCD的面积为2 ，则k的值为　 　．
【答案】12
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；菱形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：过点A作x轴的垂线，交CB的延长线于点E，
∵BC∥x轴，
∴AE⊥BC，
∵A，B两点在反比例函数y＝ （x＞0）的图象，且纵坐标分别为6，4，
∴A（ ，6），B（ ，4），
∴AE＝2，BE＝ ﹣ ＝ ，
∵菱形ABCD的面积为2 ，
∴BC×AE＝2 ，即BC＝ ，
∴AB＝BC＝ ，
在Rt△AEB中，BE＝ ＝ ＝1，
∴ k＝1，
∴k＝12，
故答案为：12．
【分析】过点A作x轴的垂线，交CB的延长线于点E，根据A，B两点的纵坐标分别为6，4，可得出横坐标，即可表示AE，BE的长，根据菱形的面积为2 ，求得AE的长，在Rt△AEB中，计算BE的长，列方程即可得出k的值．
15．（2020·鄂州）如图，点A是双曲线 上一动点，连接 ，作 ，且使 ，当点A在双曲线 上运动时，点B在双曲线 上移动，则k的值为　 　.
【答案】﹣9
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：如图作AC⊥x轴于点C，作BD⊥x轴于点D.
∵
∴ =
∵点A是双曲线 上
∴S△OAC=
∵∠AOB=90°，
∴∠AOC+∠BOD=90°，
又∵直角△AOC中，∠AOC+∠CAO=90°，
∴∠BOD=∠OAC，
又∵∠ACO=∠BDO=90°，
∴△OAC∽△BOD，
∴ =
∴
∴ =9
∵函数图象位于第四象限
∴ｋ＝﹣9
故答案为：﹣9
【分析】首先根据反比例函数的比例系数k的几何意义求得△AOC的面积，然后证明△OAC∽△BOD，根据相似三角形的面积的性质求得△BOD的面积，依据反比例函数的比例系数k的几何意义即可求解.
16．（2020·达县）如图，点A、B在反比函数 的图象上，A、B的纵坐标分别是3和6，连接 、 ，则 的面积是　 　．
【答案】9
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】如图，
设BD⊥y轴于点D，AC⊥y轴于点C，AC与OB的交点为点E，
∵A、B的纵坐标分别是3和6，
代入函数关系式可得横坐标分别为4，2；
∴A（4，3），B（2，6）；
∴AC=4，BD=2，CD=3
由反比例函数的几何意义可得S△BOD=S△AOC，
∴S四边形EBDC=S△AOE，
∴S△AOB=S四边形ABDC= ，
故答案为：9．
【分析】设BD⊥y轴于点D，AC⊥y轴于点C，AC与OB的交点为点E，证得S四边形EBDC=S△AOE即可得S△AOB=S四边形ABDC，根据梯形的面积公式求解即可．
三、解答题
17．（2019·盘锦）如图，四边形ABCD是矩形，点A在第四象限y1＝﹣ 的图象上，点B在第一象限y2＝ 的图象上，AB交x轴于点E，点C与点D在y轴上，AD＝ ，S矩形OCBE＝ S矩形ODAE.
（1）求点B的坐标.
（2）若点P在x轴上，S△BPE＝3，求直线BP的解析式.
【答案】（1）解：∵S矩形OCBE＝ S矩形ODAE，点B在第一象限y2＝ 的图象上，
∵点A在第四象限y1＝﹣ 的图象上，
∴S矩形ODEA＝2
∴S矩形OCBE＝ ×2＝3，
∴k＝3，
∴y2＝ ，
∵OE＝AD＝ ，
∴B的横坐标为 ，
代入y2＝ 得，y＝ ＝2，
∴B（ ，2）
（2）解：设P（a，0），
∵S△BPE＝ PE BE＝ ，
解得a＝﹣ 或 ，
∴点P（﹣ ，0）或（ ，0），
设直线BP的解析式为y＝mx+n（m≠0），
①若直线过（ ，2），（﹣ ，0），
则 ，解得 ，
∴直线BP的解析式为y＝ x+1；
②若直线过（ ，2），（ ，0），
则 ，解得 ，
∴直线BP的解析式为y＝﹣ x+3；
综上，直线BP的解析式是y＝ x+1或y＝﹣ x+3.
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；矩形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）根据反比例函数k的几何意义得出 S矩形ODEA＝2 ，进而根据 S矩形OCBE＝ S矩形ODAE 得出 S矩形OCBE＝ 3，再根据反比例函数k的几何意义得出反比例函数y2中的比例系数k的值，求出反比例函数y2的解析式，根据点的坐标与图形的性质及反比例函数图象上的点的坐标特点求出点B的坐标；
（2） 设P（a，0） ，根据三角形的面积计算方法，由 S△BPE＝ PE BE＝ ， 建立方程，求解得出a的值，从而求出点P的坐标，进而利用待定系数法分两种情况即可求出直线BP的解析式.
18．（2021·重庆）探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程.以下是我们研究函数 性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题.
x … 0 1 2 3 4 5 …
y … 6 5 4 a 2 1 b 7 …
（1）写出函数关系式中m及表格中a，b的值： 　 　， 　 　， 　 　；
（2）根据表格中的数据在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象，并根据图象写出该函数的一条性质： ；
（3）已知函数 的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式 的解集.
【答案】（1）；3；4
（2）解：通过列表-描点-连线的方法作图，如图所示，
根据图像可知：当 时，y随x的增大而减小，当 时，y随x的增大而增大； 故答案为：当 时，y随x的增大而减小，当 时，y随x的增大而增大.
（3）解：要求不等式 的解集，
实际上求出函数 的图象位于函数 图象上方的自变量的范围，
∴由图象可知，当 或 时，满图条件，
故答案为： 或 .
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：（1）由表格可知，点 在该函数图象上，
∴将点 代入函数解析式可得： ，
解得： ，
∴原函数的解析式为： ；
当 时， ；
当 时， ；
故答案为： ；3；4；
【分析】（1）利用表中点的坐标，可求出m的值，即可得到函数解析式；再求出当x=1和x=4时的函数值，可求出a，b的值.
（2）利用描点法画出该函数的图象，利用函数图象写出该函数的一条性质即可.
（3）观察函数 的图象位于函数 图象上方，利用交点坐标，可得到x的取值范围.
19．（2021·乐山）如图，直线l分别交x轴，y轴于A、B两点，交反比例函数 的图象于P、Q两点.若 ，且 的面积为4
（1）求k的值；
（2）当点P的横坐标为 时，求 的面积.
【答案】（1）解：过P作 垂直于x轴，垂足为E，
∴ ，
∴ .
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ， .
∴ ， ，即 .
（2）解：由（1）知 ，∴ .
∵ ，∴ ，∴ ， .
设直线 的解析式为 ，
将点 、 代入 ，得 .
解得 .
∴直线 的解析式为 .
联立方程组 ，解得 ， ，
∴ .
∴ .
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数与一次函数的交点问题；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）过点P作PE⊥x轴于点E，由PE∥BO，可证得△ABO∽△APE，利用相似三角形的对应边成比例，可求出△APE和△PED的面积，利用反比例函数的几何意义，可求出k的值.
（2）利用函数解析式求出点P的坐标，由AB=2PB，可求出△PBO的面积，即可得到点B的坐标；再利用待定系数法求出直线PB的函数解析式，将此函数解析式与反比例函数联立方程组，求出点Q的坐标，然后利用三角形的面积公式求出△POQ的面积.
20．（2020·聊城）如图，已知反比例函数 的图象与直线 相交于点 ， ．
（1）求出直线 的表达式；
（2）在x轴上有一点 使得 的面积为18，求出点P的坐标．
【答案】（1）解：∵ 在 的图象上，
∴ ， ，
又点 在 的图象上， ，即 ．
将点 ， 的坐标代入 ，得 ，
解得 ．
∴直线的表达式为 ．
（2）解：设直线 与 轴的交点为E，
当 时，解得 ．即 ．
分别过点A，B作x轴的垂线 ， ，垂足分别为C，D．
．
又 ，即 ，∴ ．
当点 在原点右侧时， ，
当点 在原点左侧时， ．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数的图象；反比例函数的性质
【解析】【分析】（1）通过点A的坐标确定反比例函数的解析式，再求得B的坐标，利用待定系数法将A，B的坐标代入，即可得到一次函数的解析式；（2）直线 与 轴的交点为 ，过点 ， 作 轴的垂线 ， ，垂足分别为 ， ，得到 ，即 ，分情况讨论即可解决．
21．（2020·广州）如图，平面直角坐标系 中， 的边 在 轴上，对角线 ， 交于点 ，函数 的图象经过点 和点 ．
（1）求 的值和点 的坐标；
（2）求 的周长．
【答案】（1）将点A（3，4）代入 中，得k= ，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴MA=MC，
作AD⊥x轴于点D，ME⊥x轴于点E，
∴ME∥AD，
∴△MEC∽△ADC，
∴ ，
∴ME=2，
将y=2代入 中，得x=6，
∴点M的坐标为（6，2）；
（2）∵A（3，4），
∴OD=3，AD=4，
∴ ，
∵A（3，4），M（6，2），
∴DE=6-3=3，
∴CD=2DE=6，
∴OC=3+6=9，
∴ 的周长=2(OA+OC)=28.
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）将点A（3，4）代入 中求出k的值，作AD⊥x轴于点D，ME⊥x轴于点E，证明△MEC∽△ADC，得到 ，求出ME=2，代入 即可求出点M的坐标；（2）根据勾股定理求出OA=5，根据点A、M的坐标求出DE，即可得到OC的长度，由此求出答案.
22．（2020·广元）如图所示，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于 ．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）在x轴上存在一点C，使 为等腰三角形，求此时点C的坐标；
（3）根据图象直接写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围．
【答案】（1）解：把A（3，4）代入 ，
∴m＝12，
∴反比例函数是 ；
把B（n，-1）代入 得n＝ 12．
把A（3，4）、B（-12， 1）分别代入y＝kx＋b中：
得 ，
解得 ，
∴一次函数的解析式为 ；
（2）解：∵A（3，4），△AOC为等腰三角形，OA= ，
分三种情况：
①当OA=OC时，OC=5，
此时点C的坐标为 ， ；
②当AO=AC时，∵A（3，4），点C和点O关于过A点且垂直于x轴的直线对称，
此时点C的坐标为 ；
③当CA=CO时，点C在线段OA的垂直平分线上，
过A作AD⊥x轴，垂足为D，
由题意可得：OD=3，AD=4，AO=5，设OC=x，则AC=x，
在△ACD中，
，
解得：x= ，
此时点C的坐标为 ；
综上：点C的坐标为： ， ， ， ；
（3）解：由图得：
当一次函数图象在反比例函数图象上方时，
-123，
即使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围是：-123.
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数与一次函数的交点问题；等腰三角形的性质；数学思想
【解析】【分析】（1）因为反比例函数过A、B两点，所以可求其解析式和n的值，从而知B点坐标，进而求一次函数解析式；（2）分三种情况：OA=OC，AO=AC，CA=CO，分别求解即可；（3）根据图像得出一次函数图象在反比例函数图象上方时x的取值范围即可.
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