吉林省白山市抚松县第一重点高中2021-2022学年高二上学期第一次月考数学试题（Word版，含答案）

抚松县第一中学2021-2022学年上学期高二年级第一次月考
数学试题
一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．若直线经过两点A（2，﹣m），B（﹣m，2m﹣1）且倾斜角为135°，则m的值为（　　）
A．2
B．
C．1
D．
2．已知向量＝（1，x2，2），＝（0，1，2），＝（1，0，0），若，，共面，则x等于（　　）
A．﹣1
B．1
C．1或﹣1
D．1或0
3．若方程x2+y2﹣4x+2y＝a表示圆，则实数a的取值范围为（　　）
A．（﹣∞，﹣5）
B．（﹣5，+∞）
C．（﹣∞，0）
D．（0，+∞）
4．已知m，n满足m+n＝1，则点（1，1）到直线mx﹣y+2n＝0的距离的最大值为（　　）
A．0
B．1
C．
D．
5．已知点A（﹣2，1），B（0，﹣3），则以线段AB为直径的圆的方程为（　　）
A．（x﹣1）2+（y﹣1）2＝5
B．（x+1）2+（y+1）2＝5
C．（x﹣1）2+（y﹣1）2＝20
D．（x+1）2+（y+1）2＝20
6．已知空间直角坐标系O﹣xyz中的点A（2，﹣1，﹣3）关于xOy平面的对称点为B，则|AB|的值为（　　）
A．
B．4
C．6
D．2
7．已知两直线l1：（3+a）x+4y＝5﹣4a与l2：2x+（5+a）y＝9平行，则a等于（　　）
A．﹣7
B．﹣1
C．﹣7或﹣1
D．7或﹣1
8．已知向量＝（1，2，0），＝（0，2，1），，的夹角为θ，则sinθ＝（　　）
A．
B．
C．
D．
9．唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河“，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题：即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为x2+y2≤5，若将军从点A（4，0）出发，河岸线所在直线方程为x+y＝8，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短路程为（　　）
A．
B．
C．
D．
10．过正方形ABCD的顶点A作线段PA⊥平面ABCD，若AB＝PA，则平面ABP与平面CDP所成的锐二面角的余弦值为（　　）
A．
B．
C．
D．
11．在平面直角坐标系中，四点坐标分别为A（2，0），B（3，2﹣），C（1，2+），D（4，a），若它们都在同一个圆周上，则a的值为（　　）
A．0
B．1
C．
D．2
12．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P在线段C1D1上，若直线B1P与平面BC1D1所成的角为θ，则tanθ的取值范围是（　　）
A．
B．
C．
D．
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分。）
13．已知直线l的方向向量为＝（1，，﹣1），若点P（﹣1，1，﹣1）为直线l外一点，A（4，1，﹣2）为直线l上一点，则P到直线l上的距离为　
　．
14．已知A（1，0），B（﹣1，2），直线l：2x﹣ay﹣a＝0上存在点P，满足|PA|+|PB|＝2，则实数a的取值范围是
　
　．
15．若圆C与x轴和y轴均相切，且过点（1，2），则圆C的半径长为　
　．
16．瑞士著名数学家欧拉在1765年证明了定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．已知平面直角坐标系中△ABC各顶点的坐标分别为A（0，0），B（8，0），C（0，6），则其“欧拉线”的方程为
　
　．（结果写成直线的一般式方程）
三、解答题：（本大题共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．（10分）已知＝（λ+1，1，2λ），＝（6，2m﹣1，2）．
（1）若∥，分别求λ与m的值；
（2）若||＝，且与＝（2，﹣2λ，﹣λ）垂直，求．
18．（12分）求满足下列条件的直线方程（结果写成直线的一般式方程）；
（1）过点（﹣1，3），且与直线x﹣2y+3＝0平行的直线方程；
（2）过点（3，4），且与直线3x﹣y+2＝0垂直的直线方程；
（3）过点（1，2），且在两坐标轴上截距相等的直线方程．
19．（12分）已知直线l1：2x+y+3＝0，l2：x﹣2y＝0．
（1）求直线l1关于x轴对称的直线l3的方程，并求l2与l3的交点P；
（2）求过点P且与原点O（0，0）距离等于2的直线m的方程．
20．（12分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为BB1的中点．
（1）求证：BC1∥平面AD1E；
（2）求直线AA1与平面AD1E所成角的正弦值；
（3）求点C到平面AD1E的距离．
21．（12分）已知曲线C：（1+a）x2+（1+a）y2﹣4x+8ay＝0，a∈R．
（1）当a取何值时，方程表示圆？
（2）求证：不论a为何值，曲线C必过两定点．
（3）当曲线C表示圆时，求圆面积最小时a的值．
22．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，PD＝DC，F，G分别是PB，AD的中点．
（1）求证：GF⊥平面PCB；
（2）求平面PAB与平面PCB夹角的余弦值；
（3）在AP上是否存在一点M，使得DM与PC所成角为60°？若存在，求出M点坐标，若不存在，请说明理由．
2021-2022年上学期高二年级第一次月考
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1.
B
2.C
3.B
4.C
5.B
6.C
7.A
8.A
9.B
10.C
11.D
12.D
4.解：解：将n＝1﹣m代入直线方程，可得（x﹣2）m﹣y+2＝0，
∴直线mx﹣y+2n＝0必过定点（2，2），
故点（1，1）到直线mx﹣y+2n＝0的距离的最大值为．
故选：C．
7.解：∵直线l1的斜率一定存在，且两直线平行，
∴直线l2的斜率也一定存在，即a≠﹣5，∴，
解得：a＝﹣1或﹣7，当a＝﹣1时，两直线重合，
∴a＝﹣7，故选：A．
9.解：设点A关于直线x+y＝8的对称点B（a，b），设军营所在区域的圆心为O，根据题意，|BO|﹣为最短距离，
AB的中点为（，），直线AB的斜率为1，
由，解得a＝8，b＝4，
所以|BO|﹣＝﹣＝3．故选：B．
10.解：设AP＝AB＝1，
以点A为坐标原点，AB，AD，AP分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系如图所示，则P（0，0，1），D（0，1，0），C（1，1，0），
所以，
设平面PCD的法向量为，
则，令y＝1，则z＝1，故，
又平面ABP的一个法向量为，
所以＝，
则平面ABP与平面CDP所成的锐二面角的余弦值为．故选：C．
11.解：设要求的圆的标准方程为（x﹣m）2+（y﹣n）2＝r2，
把A（2，0），B（3，2﹣），C（1，2+）代入可得，，
求得，可得圆的方程为
（x﹣2）2+（y﹣2）2＝4．
再把点D（4，a）代入，求得a＝2，故选：D．
12.解：如图所示，以A1为原点建立空间直角坐标系，不妨设AA1＝2，
则D1（2，0，0），C1（2，2，0），B1（0，2，0），B（0，2，2），C（2，2，2），设P（2，t，0），t∈[0，2]，
在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，因为C1D1⊥平面C1CBB1，所以C1D1⊥B1C，
又B1C∩BC1≠?，所以B1C⊥平面D1C1B，即是平面D1C1B
的法向量，
，则
，
因为，所以．
故选：D．
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.
14.[﹣，2]．
15.1或5
16.
①③
13.解：∵P（﹣1，1，﹣1），A（4，1，﹣2），
∴＝（5，0，﹣1），又＝（1，，﹣1），
∴cos＜，＞＝＝，∴sin＜，＞＝，
又∵||＝，∴点P（﹣1，1，﹣1）到直线l的距离为：
||sin＜，＞＝×＝，故答案为：．
14.解：因为|AB|＝＝2，且|PA|+|PB|＝2，
所以点P的轨迹为线段AB，
将点A，B的坐标分别代入直线l的方程，可得a＝2，a＝﹣，
由直线l的方程可化为：2x﹣a（y+1）＝0，所以直线l过定点C（0，﹣1），
画出图形，如图所示：
因为直线AC的斜率为kAC＝1，直线BC的斜率为kBC＝＝﹣3，
所以直线l的斜率为k＝，令，解得﹣≤a≤2，
所以a的取值范围是[﹣，2]．故答案为：[﹣，2]．
15.解：根据题意，若圆C与x轴和y轴均相切，则圆心C在直线y＝x或y＝﹣x上，
当圆心C在y＝x上时，设圆心C的坐标为（a，a），此时圆的方程为（x﹣a）2+（y﹣a）2＝a2，
将（1，2）代入可得：（1﹣a）2+（2﹣a）2＝a2，即a2﹣4a+5＝0，解可得a＝1或5，
此时圆的半径为1或5，
当圆心C在y＝﹣x上时，设圆心C的坐标为（a，﹣a），此时圆的方程为（x﹣a）2+（y+a）2＝a2，
将（1，2）代入可得：（1﹣a）2+（2+a）2＝a2，即a2+2a+5＝0，解可得a＝1或5，此时圆的半径为1或5，故答案为：1或5．
16.解：由题设知，△ABC是直角三角形，则其垂心为直角顶点A（0，0），
其外心为斜边BC的中点M（4，3），故其重心在OM直线上，
故其“欧拉线”的方程，即直线AM的方程，为y＝x，即3x﹣4y＝0，
故答案为：3x﹣4y＝0．
三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.（本小题10分）
解：（1）由，得（λ+1，1，2λ）＝k（6，2m﹣1，2），
所以，...........2分
解得λ＝，m＝3；............4分
（2）||＝，且，
所以?＝0，即2（λ+1）﹣2λ﹣2λ2＝0，化简得λ2＝1，
解得λ＝±1；........................................................................6分
λ＝1时，＝（2，1，2），||＝＝3，不满足题意；....8分
λ＝﹣1时，＝（0，1，﹣2），||＝＝，满足题意；
所以．......................................................................10分
18.（本小题12分）
解：（1）设与直线x﹣2y+3＝0平行的直线方程为x﹣2y+c＝0；
由于所求直线过点（﹣1，3），带入可得c＝7，.....................2分
∴所求的直线方程为x﹣2y+7＝0；.......................................4分
（2）设与直线3x﹣y+2＝0垂直的直线方程为x+3y+n＝0；
由于所求直线过点（3，4），带入可得n＝﹣15，...................6分
∴所求的直线方程为x+3y﹣15＝0；.........................................8分
（3）由截距相等，可得直线方程为x+y＝m，
由于所求直线过点（1，2），带入可得m＝3，
∴所求的直线方程为x+y﹣3＝0；............................................10分
当直线过原点时也是截距相等，此时直线方程为：2x﹣y＝0．
综上所求的直线方程为x+y﹣3＝0或2x﹣y＝0......................12分
19.（本小题12分）
解：（1）由题意，直线l3与直线l1的倾斜角互补，
从而它们的斜率互为相反数，且l1与l3必过x轴上相同点，
∴直线l3的方程为2x﹣y+3＝0，.............................................2分
由解得∴P（﹣2，﹣1）．.............................4分
（2）当直线m的斜率存在时，设直线m的方程为y+1＝k（x+2），
即kx﹣y+2k﹣1＝0，
∴原点O（0，0）到直线m距离为，解得........6分
∴直线m方程为3x+4y+10＝0，.................................................8分
当直线m的斜率不存在时，直线x＝﹣2满足题意，..............10分
综上直线m的方程为3x+4y+10＝0或x＝﹣2．.......................12分
20.（本小题12分）
【解答】（1）证明：∵AB∥C1D1，且AB＝C1D1，∴四边形ABC1D1为平行四边形，∴BC1∥AD1，....................................................................2分
∵BC1?平面AD1E，AD1?平面AD1E，
∴BC1∥平面AD1E．......................................................................4分
（2）解：以A为原点，AD、AB、AA1所在的直线分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设正方体的棱长为2，则A（0，0，0），
A1（0，0，2），D1（2，0，2），E（0，2，1），
∴＝（0，0，2），＝（2，0，2），
＝（0，2，1），.....................................6分
设平面AD1E的法向量为＝（x，y，z），则，
令z＝2，则x＝﹣2，y＝﹣1，∴＝（﹣2，﹣1，2），.............8分
设直线AA1与平面AD1E所成角为θ，
则sinθ＝|cos＜，＞|＝||＝||＝，
故直线AA1与平面AD1E所成角的正弦值为．.........................10分
（3）解：∵C（2，2，0），∴＝（2，2，0），
由（2）知，平面AD1E所的法向量为＝（﹣2，﹣1，2），...11分
∴点C到平面AD1E的距离d＝||＝||＝2．.................12分
21.（本小题12分）
解：（1）当a＝﹣1时，方程为x+2y＝0表示一条直线．
当a≠﹣1时，（1+a）x2+（1+a）y2﹣4x+8ay＝0，
整理得，由于，..........2分
所以a≠﹣1时方程表示圆．......................................................4分
（2）方程可变形为：x2+y2﹣4x+a（x2+y2+8y）＝0，.............5分
无论a取任何值，上式都成立，
所以，解得或．
∴曲线C过定点A（0，0），B（）．...........................7分
即无论a为何值，曲线C必过两定点.......................................8分
（3）由（2）曲线C过定点A和B，在这些圆中，以AB为直径的圆的面积最∵以AB为直径的圆的方程为：．........10分
所以：，解得a＝...............................................12分
22.（本小题12分）
【解答】（1）证明：以D为原点，DA、DC、DP分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则G（1，0，0），P（0，0，2），A
（2，0，0），
B（2，2，0），C（0，2，0），F（1，1，1），
∴＝（0，1，1），＝（2，2，﹣2），
＝（0，2，﹣2），....................................2分
设平面PCB的法向量为＝（x，y，z），则，即，
令y＝1，则x＝0，z＝1，∴＝（0，1，1），
∴∥，故GF⊥平面PCB．.........................................................4分
（2）解：由（1）知，平面PCB的法向量为＝（0，1，1），＝（2，0，﹣2），同（1）可求得平面PAB的法向量＝（1，0，1），.........6分
∴cos＜，＞＝＝＝，.....................................7分
∵平面与平面的夹角的取值范围为[0，]，
∴平面PAB与平面PCB夹角的余弦值为．................................8分
（3）解：设＝λ，则M（2﹣2λ，0，2λ），∴＝（2﹣2λ，0，2λ），
∵DM与PC所成角为60°，＝（0，2，﹣2），....................9分
∴cos60°＝|cos＜，＞|＝||
＝||，............................................................10分
解得λ＝，故在AP上存在一点M，使得DM与PC所成角为60°，
点M的坐标为（1，0，1）．.........................................................12分
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