甘肃省兰州市第27高中2022届高三上学期8月月考数学（理）试题（Word版含答案）

兰州二十七中2021—2022学年度高三第一次月考
数学（理）试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
1．已知集合，，则（
）
A．
B．
C．
D．
2．已知复，则复数的共轭复数（
）
A．
B．
C．
D．
3.
已知命题﹔命题﹐，则下列命题中为真命题的是（
）
A.
B.
C.
D.
4.
函数的最小正周期和最大值分别是（
）
A.
和
B.
和2
C.
和
D.
和2
5.(
)
A．
B．
C．
D．
6．青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（
）（）
A.
0.6
B.
0.8
C.
1.2
D.
1.5
7.在中，为边上的中线，为的中点，则(
)
A．
B．
C．
D．
8.6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有(
)
A．120种
B．90种
C．60种
D．30种
9．若直线与曲线有公共点，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
10.
某一简单几何体的三视图如图，则该几何体的外接球的表面积为（
）
A．
B．
C．
D．
11.设抛物线的焦点为,点在上,,若以为直径的圆过点,则的方程为（　　）
A．或
B．或
C．或
D．或
12.已知函数有唯一零点，则=(
)
A．
B．
C．1
D．
二填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分
13.曲线在点处的切线方程为____________．
14．焦点在轴上的双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的离心率为______．
15．已知的展开式中的系数为5，则＝______
16.设是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为
三、解答题：
17.（10分）已知等差数列的前项和为，等比数列的前项和为，.
（1）若，求的通项公式；
（2）若，求.
18.
已知的内角，，的对边分别为，，，．
（1）求角；
（2）若，，求的面积.
19．（12分）如图，已知三棱柱，平面平面ABC,，
（1）证明：；
（2）求直线EF与平面所成角的余弦值
20.（12分）某超市为预估2021年十一期间游客购买土特产的情况，对2020年十二期间的90位游客购买情况进行统计，得到如下人数分布表.
购买金额（元）
人数
10
15
20
15
20
10
（1）根据以上数据完成列联表，并判断是否有的把握认为购买金额是否少于60元与性别有关.
不少于60元
少于60元
合计
男
40
女
18
合计
（2）为吸引游客，该超市推出一种优惠方案，购买金额不少于60元可抽奖3次，每次中奖概率为（每次抽奖互不影响，且的值等于人数分布表中购买金额不少于60元的频率），中奖1次减5元，中奖2次减10元，中奖3次减15元.若游客甲计划购买80元的土特产，请列出实际付款数（元）的分布列并求其数学期望.
附：参考公式和数据：，.
附表：
2.072
2.706
3.841
6.635
7.879
0.150
0.100
0.050
0.010
0.005
21．（12分）已知椭圆的左，右焦点分别为，，
离心率为，且．
（1）求椭圆的方程；
（2）设椭圆的下顶点为，过右焦点作与直线关于轴对称的直线，且直线与椭圆分别交于点，，为坐标原点，求的面积．
22.（12分）)已知函数f(x)＝xln
x，g(x)＝－x2＋ax－2(e为自然对数的底数，a∈R)．
(1)判断曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与曲线y＝g(x)的公共点个数；
(2)当时，若函数y＝f(x)－g(x)有两个零点，求a的取值范围．
理科数学参考答案
一、选择题：
1．
C
2．B
3．A
4、
C
5、A
6．B
7.A
8.C
9．D
10.C
11.
B
12.D
二、填空题
13、
14..
15
－1
16.
三、解答题：
17.(10分)
18.(12分)解：（1）由应用正弦定理得，，
即
，
整理得，，
于是，
又，所以，．
（2），，由余弦定理，得
即，则．
于是．
19．(12分)解
方法一：
（1）连接A1E，因为A1A=A1C，E是AC的中点，所以A1E⊥AC．
又平面A1ACC1⊥平面ABC，A1E平面A1ACC1，
平面A1ACC1∩平面ABC=AC，所以，A1E⊥平面ABC，则A1E⊥BC．
又因为A1F∥AB，∠ABC=90°，故BC⊥A1F．所以BC⊥平面A1EF．因此EF⊥BC．
（2）取BC中点G，连接EG，GF，则EGFA1是平行四边形．
由于A1E⊥平面ABC，故A1E⊥EG，所以平行四边形EGFA1为矩形．
由（1）得BC⊥平面EGFA1，则平面A1BC⊥平面EGFA1，
所以EF在平面A1BC上的射影在直线A1G上．
连接A1G交EF于O，则∠EOG是直线EF与平面A1BC所成的角（或其补角）．
不妨设AC=4，则在Rt△A1EG中，A1E=2，EG=.
由于O为A1G的中点，故，
所以．
因此，直线EF与平面A1BC所成角的余弦值是．
方法二：
（1）连接A1E，因为A1A=A1C，E是AC的中点，所以A1E⊥AC.
又平面A1ACC1⊥平面ABC，A1E平面A1ACC1，
平面A1ACC1∩平面ABC=AC，所以，A1E⊥平面ABC．
如图，以点E为原点，分别以射线EC，EA1为y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系E–xyz．
不妨设AC=4，则A1（0，0，2），B（，1，0），，，C(0，2，0)．
因此，，．
由得．
（2）设直线EF与平面A1BC所成角为θ．
由（1）可得．
设平面A1BC的法向量为n，
由，得，
取n，故，
因此，直线EF与平面A1BC所成的角的余弦值为．
20.(12分)【解析】（1）列联表如下：
不少于60元
少于60元
合计
男
12
40
52
女
18
20
38
合计
30
60
90
，
因此有的把握认为购买金额是否少于60元与性别有关.
（2）可能取值为65，70，75，80，且.
，，
，，
所以的分布列为
65
70
75
80
.
21．（12分）解（1）由题得，，解得，所以，
所以椭圆的方程为．
（2）由题可知，直线与直线关于轴对称，所以．
由（1）知，椭圆的方程为，
所以，，所以，从而，
所以直线的方程为，即．
联立方程，解得或．
设，，不妨取，，
所以当，；当，，
所以，．．
设原点到直线的距离为，则，
所以．
22.（12分）解　(1)f′(x)＝ln
x＋1，所以切线斜率k＝f′(1)＝1.
又f(1)＝0，∴曲线在点(1,0)处的切线方程为y＝x－1.
由?x2＋(1－a)x＋1＝0.
由Δ＝(1－a)2－4＝a2－2a－3＝(a＋1)(a－3)可知：
当Δ＞0时，即a＜－1或a＞3时，有两个公共点；
当Δ＝0时，即a＝－1或a＝3时，有一个公共点；
当Δ＜0时，即－1＜a＜3时，没有公共点．
(2)y＝f(x)－g(x)＝x2－ax＋2＋xln
x，
由y＝0，得a＝x＋＋ln
x.
令h(x)＝x＋＋ln
x，则h′(x)＝.
当x∈时，由h′(x)＝0，得x＝1.
所以，h(x)在上单调递减，在[1，e]上单调递增，
因此，hmin(x)＝h(1)＝3.
由h＝＋2e－1，h(e)＝e＋＋1比较可知h＞h(e)，所以，结合函数图象可得，当3＜a≤e＋＋1时，函数y＝f(x)－g(x)有两个零点．