2.3用公式法求解一元二次方程同步练习题 2021-2022学年九年级数学北师大版上册（Word版含答案）

2021-2022学年北师大版九年级数学上册《2.3用公式法求解一元二次方程》
同步练习题（附答案）
1．关于x的一元二次方程x2+2x﹣m＝0有两个实数根，则m满足的条件是（　　）
A．m≥﹣1
B．m≤﹣1
C．m＞﹣1
D．m＜﹣1
2．已知等腰三角形的三边长分别为a、b、4，且a、b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根，则m的值是（　　）
A．34
B．30
C．30或34
D．30或36
3．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+kb+1＝0有两个不相等的实数根，则一次函数y＝kx+b的大致图象可能是（　　）
A．
B．
C．
D．
4．已知关于x的一元二次方程mx2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（　　）
A．m＜﹣1
B．m＞1
C．m＜1且m≠0
D．m＞﹣1且m≠0
5．关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+k＝0的根的情况是（　　）
A．有两不相等实数根
B．有两相等实数根
C．无实数根
D．不能确定
6．已知关于x的一元二次方程3x2+4x﹣5＝0，下列说法正确的是（　　）
A．方程有两个相等的实数根
B．方程有两个不相等的实数根
C．没有实数根
D．无法确定
7．若关于x的方程x2+mx+1＝0有两个不相等的实数根，则m的值可以是（　　）
A．0
B．﹣1
C．2
D．﹣3
8．下列一元二次方程没有实数根的是（　　）
A．x2+2x+1＝0
B．x2+x+2＝0
C．x2﹣1＝0
D．x2﹣2x﹣1＝0
9．若一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0无实数根，则一次函数y＝（m+1）x+m﹣1的图象不经过第（　　）象限．
A．四
B．三
C．二
D．一
10．若关于x的方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，则实数m的值等于　
　．
11．一元二次方程3x2﹣2x+1＝0的根的判别式△　
　0．（填“＞”，“＝”或“＜”）
12．若关于x的方程（a+1）x2+（2a﹣3）x+a﹣2＝0有两个不相等的实根，且关于x的方程的解为整数，则满足条件的所有整数a的和是　
　．
13．关于x的方程mx2+x﹣m+1＝0，有以下三个结论：①当m＝0时，方程只有一个实数解；②当m≠0时，方程有两个不等的实数解；③无论m取何值，方程都有一个负数解，其中正确的是　
　（填序号）．
14．在△ABC中BC＝2，AB＝2，AC＝b，且关于x的方程x2﹣4x+b＝0有两个相等的实数根，则AC边上的中线长为　
　．
15．若m＞n＞0，m2+n2＝4mn，则的值等于　
　．
17．已知关于x的方程mx2﹣（m+2）x+2＝0．
（1）证明：不论m为何值时，方程总有实数根；
（2）m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．
18．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由．
19．解方程：x2﹣5x+3＝0．
20．已知关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2mx+m+3＝0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）当m取满足条件的最大整数时，求方程的根．
21．解方程：3x2﹣2x﹣2＝0．
22．解方程：x2+1＝3x．
23．已知关于x的一元二次方程mx2+mx+m﹣1＝0有两个相等的实数根．
（1）求m的值；
（2）解原方程．
参考答案
1．解：根据题意得Δ＝22﹣4（﹣m）≥0，
解得m≥﹣1．
故选：A．
2．解：当a＝4时，b＜8，
∵a、b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根，
∴4+b＝12，
∴b＝8不符合；
当b＝4时，a＜8，
∵a、b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根，
∴4+a＝12，
∴a＝8不符合；
当a＝b时，
∵a、b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根，
∴12＝2a＝2b，
∴a＝b＝6，
∴m+2＝36，
∴m＝34；
故选：A．
3．解：∵x2﹣2x+kb+1＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝4﹣4（kb+1）＞0，
解得kb＜0，
A．k＞0，b＞0，即kb＞0，故A不正确；
B．k＞0，b＜0，即kb＜0，故B正确；
C．k＜0，b＜0，即kb＞0，故C不正确；
D．k＜0，b＝0，即kb＝0，故D不正确；
故选：B．
4．解：∵关于x的一元二次方程mx2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，
∴m≠0且Δ＞0，即22﹣4?m?（﹣1）＞0，解得m＞﹣1，
∴m的取值范围为m＞﹣1且m≠0．
∴当m＞﹣1且m≠0时，关于x的一元二次方程mx2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根．
故选：D．
5．解：Δ＝（k+3）2﹣4×k＝k2+2k+9＝（k+1）2+8，
∵（k+1）2≥0，
∴（k+1）2+8＞0，即Δ＞0，
所以方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
6．解：∵Δ＝42﹣4×3×（﹣5）＝76＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
7．解：∵a＝1，b＝m，c＝1，
∴Δ＝b2﹣4ac＝m2﹣4×1×1＝m2﹣4，
∵关于x的方程x2+mx+1＝0有两个不相等的实数根，
∴m2﹣4＞0，
解得：m＞2或m＜﹣2，
则m的值可以是：﹣3，
故选：D．
8．解：A、Δ＝22﹣4×1×1＝0，方程有两个相等实数根，此选项错误；
B、Δ＝12﹣4×1×2＝﹣7＜0，方程没有实数根，此选项正确；
C、Δ＝0﹣4×1×（﹣1）＝4＞0，方程有两个不等的实数根，此选项错误；
D、Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）＝8＞0，方程有两个不等的实数根，此选项错误；
故选：B．
9．解：∵一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0无实数根，
∴Δ＜0，
∴Δ＝4﹣4（﹣m）＝4+4m＜0，
∴m＜﹣1，
∴m+1＜1﹣1，即m+1＜0，
m﹣1＜﹣1﹣1，即m﹣1＜﹣2，
∴一次函数y＝（m+1）x+m﹣1的图象不经过第一象限，
故选：D．
10．解：根据题意得Δ＝（﹣2）2﹣4m＝0，
解得m＝1．
故答案为1．
11．解：Δ＝（﹣2）2﹣4×3＝﹣8＜0．
故答案为＜．
12．解：∵关于x的方程（a+1）x2+（2a﹣3）x+a﹣2＝0有两个不相等的实根，
∴a+1≠0且Δ＝（2a﹣3）2﹣4（a+1）×（a﹣2）＞0，
解得a＜且a≠﹣1．
把关于x的方程去分母得ax﹣1﹣x＝3，
解得x＝（a≠﹣3），
∵x≠﹣1，
∴≠﹣1，解得a≠﹣3，
∵x＝（a≠﹣3）为整数，
∴a﹣1＝±1，±2，±4，
∴a＝0，2，﹣1，3，5，﹣3，
而a＜且a≠﹣1且a≠﹣3，
∴a的值为0，2，
∴满足条件的所有整数a的和是2．
故答案是：2．
13．解：当m＝0时，x＝﹣1，方程只有一个解，①正确；
当m≠0时，方程mx2+x﹣m+1＝0是一元二次方程，Δ＝1﹣4m（1﹣m）＝1﹣4m+4m2＝（2m﹣1）2≥0，方程有两个实数解，②错误；
把mx2+x﹣m+1＝0分解为（x+1）（mx﹣m+1）＝0，
当x＝﹣1时，m﹣1﹣m+1＝0，即x＝﹣1是方程mx2+x﹣m+1＝0的根，③正确；
故答案为：①③．
14．解：∵关于x的方程x2﹣4x+b＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝16﹣4b＝0，
∴AC＝b＝4，
∵BC＝2，AB＝2，
∴BC2+AB2＝AC2，
∴△ABC是直角三角形，AC是斜边，
∴AC边上的中线长＝AC＝2；
故答案为：2．
15．解：∵m＞n＞0，m2+n2＝4mn，
∴（m+n）2＝6mn，（m﹣n）2＝2mn，
∴m+n＝，m﹣n＝，
∴＝＝＝2；
故答案是：2．
17．（1）证明：当m≠0时，Δ＝（m+2）2﹣8m
＝m2﹣4m+4
＝（m﹣2）2，
∵不论m为何值时，（m﹣2）2≥0，
∴△≥0，
∴方程有实数根，
当m＝0时，方程﹣2x+2＝0，有实数根；
（2）解：解方程得，x＝，
x1＝，x2＝1，
∵方程有两个不相等的正整数根，
∴m＝1或2，m＝2不合题意，
∴m＝1．
18．解：（1）△ABC是等腰三角形．理由如下：
∵x＝﹣1是方程的根，
∴（a+c）×（﹣1）2﹣2b+（a﹣c）＝0，
∴a+c﹣2b+a﹣c＝0，
∴a﹣b＝0，
∴a＝b，
∴△ABC是等腰三角形；
（2）△ABC是直角三角形．理由如下：
∵方程有两个相等的实数根，
∴Δ＝（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）＝0，
∴4b2﹣4a2+4c2＝0，
∴a2＝b2+c2，
∴△ABC是直角三角形．
19．解：这里a＝1，b＝﹣5，c＝3，
∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×1×3＝13＞0
∵△＝25﹣12＝13，
∴x＝，
则x1＝，x2＝．
20．解：（1）根据题意得m﹣2≠0且Δ＝4m2﹣4（m﹣2）（m+3）＞0，
解得m＜6且m≠2；
（2）m满足条件的最大整数为5，则原方程化为3x2+10x+8＝0，
∴（3x+4）（x+2）＝0，
∴x1＝﹣，x2＝﹣2．
21．解：＝
即，
∴原方程的解为，
22．解：由原方程，得
x2﹣3x+1＝0．
∴x＝＝，
∴x1＝，x2＝．
23．解：（1）∵关于x的一元二次方程mx2+mx+m﹣1＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝m2﹣4×m×（m﹣1）＝0，且m≠0，
解得m＝2；
（2）由（1）知，m＝2，则该方程为：x2+2x+1＝0，
即（x+1）2＝0，
解得x1＝x2＝﹣1．