圆的一般方程

(共17张PPT)
回顾：圆的标准方程
(x-a)2+(x-b)2=r2
圆心（a, b） 半径为r
等式右边有括号，可不可以直接展开？
展开后我们能不能发现什么？？
(x-a)2+(x-b)2=r2 (a, b, r 为已知量)
展开可得：
x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0
这个类似于二元二次方程
X2+Y2+Dx+Ey+F=0的形式
这表明：任何圆的标准方程都可以化为X2+y2+Dx+Ey+F=0的形式
是不是所有X2+Y2+Dx+Ey+F=0形式的方程都可以表示一个圆？？
x2+y2+Dx+Ey+F=0
配方得：
(x-D/2)2+(y-E/2)2=(D2+E2-4F)/4
（1）当D2+E2-4F>0，方程表示
以（-D/2, -E/2）为圆心，以
为半径的圆。
(2)当D2+E2-4F＝0，方程表示一个点（-D/2, -E/2）。
(3)当D2＋E2－4F＜0时，方程无实数解，不表示任何图形。
因此，形如二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0， D2+E2-4F>0时，方程叫做圆的一般方程。
圆的一般方程突出了方程形式上的特点：
（1）x2和y2系数相同，都不为0；
（2）没有xy这样的二次项。
例1：下列方程各表示什么图形。
x2+y2=0;
x2+y2-2x+4y-4=0;
x2+y2+2ax-b2=0;
分析：我们可以利用配方法，解答这些类型的题，同样我们也可以利用圆的一般方程的判定式来解决。
(3) x2+y2+2ax-b2=0
D=2a, E=0, F=-b2,
所以，D2+E2-4F=4(a2+b2)
a=b=0时，4(a2+b2)=0，表示点
a≠0或b≠0时， 4(a2+b2) >0，表示圆。
例2：求过三点o(0,0),M(1,1),N(4,2)
的圆的方程，并求出这个圆的 半径和圆心坐标。
分析： (x-a)2+(x-b)2=r2 可直接求 出圆心、半径，但求解比较复杂。
解：设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0
依题意得： F=0;
D+E+F+2=0;
4D+2E+F+20=0;
解得：D=-8,E=6,F=0;
所以圆的一般方程为：
x2+y2-8x+6y=0
(x-4)2+(x+3)2=52
圆心为(4,-3)，半径为5
比较圆的一般方程求解这题和圆的标准方程求解这题。
(1) 求圆的方程有配方法和待定系数法；
(2) 正确选择圆的方程求解问题。
可以看出：
解：设点M(x,y)是曲线C的任意一点，也就是M属于集合
　　　　　　P
点M所适合的条件可以表示为:
将 式两边平方得：
化简得：
这就是所求的曲线方程。
M
OM
AM
2
1
＝　　　　　＝　　　　　　　
＝
( x ＋y )
2
2
2
(x －3 )＋y
2
2
1
①
x ＋ y
( x －3) ＋y
2
2
2
2
＝
1
4
①
x ＋ y
2
2
＋2x－3＝0
②
例3.已知一曲线是与两定点O(0,0)，A(3,0）距离的比为1／2
的点的轨迹，求此曲线的方程，并画出曲线.
分析：在求出曲线方程之前，很难确定曲线类型，所以应按照求曲线方程的一般步骤先将曲线方程求出.
小结：
圆的一般方程及其特点；
用配方法化圆的一般方程为标准
方程，求圆心和半径；
(3)用待定系数法求圆的方程。
回顾例题1
回顾例题2
课后练习