陕西省西安市长安区第一重点高中2020-2021学年高一上学期9月暑假学情检测数学试题（Word版含答案）

长安一中2020-2021学年高一9月暑假学情检测
数学试题
一、选择题：本题共14小题，每小题5分，共70分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，则=（
）
A.
B.
C.
D.
2.已知，且，则向量与的夹角为（
）
A．30°
B．60°
C．120°
D．150°
3.函数
f(x)＝3x－7＋ln
x的零点所在的大致区间为(　　)
A．
B．
C．
D．
4.已知，若的必要条件是，则a，b之间的关系是（
）
A．
B．
C．
D．
5.下列命题中错误的是（
）
A．若为假命题，则与均为假命题
B．命题“若，则”的逆命题是真命题
C．命题“若，则”的逆否命题是“若，则”
D．命题“，”的否定是“，”
6．点关于直线的对称点为（
）
A．
B．
C．
D．
7．若函数的值域为，则的单调递增区间为（
）
A．
B．
C．
D．
8.已知在三棱锥中，，，，平面平面，若三棱锥的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为（
）
A．
B．
C．
D．
9.
某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的长度为(　)　
A.
B．2
C．3
D．2
10．已知是偶函数，在上单调递减，，则的解集是（
）
A．
B．
C．
D．
11．将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（
）
A．在区间上单调递减
B．在区间上单调递增
C．在区间上单调递减
D．在区间上单调递增
12.已知为等差数列，++=105，=99，以表示的前项和，则使得达到最大值的是（
）
A.21
B.20
C.19
D.
18
13．已知函数的部分函数图像如图所示，点，则函数图像的一条对称轴方程为（
）
A．
B．
C．
D．
14.已知函数
，则函数
的图象与
轴的交点个数为(　　)
A．
个
B．
个
C．
个
D．
个
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分.
15．已知实数，满足，则的最大值为
.
16.已知在中，，，则周长的最大值为____________.
17.设直线l：(m－1)x＋(2m＋1)y＋3m＝0(m∈R)与圆(x－1)2＋y2＝8相交于A，B两点，C为圆心，且△ABC的面积等于4，则实数m＝________.
18.已知正项等比数列{an}满足：a7＝a6＋2a5，若存在两项am，an
,使得aman＝64a，则＋的最小值为____________
19．若函数是定义在上的偶函数，且，当时，，则当时，　
　．
20．如图，在正方体中，点是棱上的一个动点，平面交棱于点．下列命题正确的为_______________.
①存在点，使得//平面；
②对于任意的点，平面平面；
③存在点，使得平面；
④对于任意的点，四棱锥的体积均不变．
三、解答题：共50分.解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤.
21．（12分）为数列的前项和，已知，
（Ⅰ）求数列的通项公式：
（Ⅱ）设，求数列的前项和．
22．（12分）已知中，角的对边分别为．
（1）若依次成等差数列，且公差为2，求的值；
（2）若的外接圆面积为，求周长的最大值.
23.
（13分）如图，在三棱锥中，，，为的中点．
(1)证明：平面；
(2)（理科做）若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值
（文科做）若点在棱上，且，求点到平面的
距离．
24．（13分）已知直线l：4x＋3y＋10＝0，半径为2的圆C与l相切，圆心C在x轴上且在直线l的右上方．
(1)求圆C的方程；
(2)过点M(1，0)的直线与圆C交于A，B两点(A在x轴上方)，问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分∠ANB？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
长安一中2020级高一暑假学情检测数学试题答案
一、选择题：本题共14小题，每小题5分，共70分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
CDCAB
BCBCD
BBDA
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分.
15.
1
16.
17.
18.
2
19.
20.
①②④
三、解答题：共50分.解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤.
21．【解析】（Ⅰ）当时，，因为，所以=3，
当时，，即，因为，所以=2，
所以数列{}是首项为3，公差为2的等差数列，所以=；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，=，
所以数列{}前n项和为
=
=.
22.
【解析】（1）因为依次成等差数列，且公差为
，因为，由余弦定理得：
整理得：，解得：或又，则
（2）设，外接圆的半径为，则，解得：
由正弦定理可得：
可得：，，
的周长
又
当，即：时，取得最大值.
23.
(1)因为，为的中点，所以，且．
连结．因为，所以为等腰直角三角形，
且，．
由知．由，知平面．
（理）(2)如图，以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系．
由已知得，，，，，，取平面的法向量．
设，则．
设平面的法向量为．
由得，可取，
所以．由已知得．
所以．解得（舍去），．
所以．又，所以．
所以与平面所成角的正弦值为．
（文）(2)作⊥，垂足为．又由(1)可得⊥，所以⊥平面．
故的长为点到平面的距离．
由题设可知，，．所以，．所以点到平面的距离为．
24.
【解析】(1)设圆心C(a，0)，则＝2?a＝0或a＝－5(舍)．
所以圆C：x2＋y2＝4.
(2)当直线AB⊥x轴时，x轴平分∠ANB.
当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，N(t，0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得(k2＋1)x2－2k2x＋k2－4＝0.
所以x1＋x2＝，x1x2＝.
若x轴平分∠ANB，则kAN＝－kBN?＋＝0?＋＝0?2x1x2－(t＋1)(x1＋x2)＋2t＝0?－＋2t＝0?t＝4，
所以当点N为(4，0)时，能使得∠ANM＝∠BNM总成立．