重庆市2021-2022学年高二上学期9月月度质量检测数学试题（Word版含答案）

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重庆市2021-2022学年（上）9月月度质量检测
高二数学
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。
第I卷（选择题）
一、单项选择题（本大题共8小题，共40.0分）
已知集合，，若，则a的值可能是???
A.
B.
0
C.
D.
1
若满足，则的取值范围是???
A.
B.
C.
D.
已知函数，则???
A.
16
B.
C.
D.
已知两曲线和都经过点，且在点P处有公切线，则当时，的最小值为???
A.
B.
C.
D.
0
已知锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的周长取得最大值时的面积为?
?
A.
B.
C.
D.
4
双曲线，已知O是坐标原点，A是双曲线C的斜率为正的渐近线与直线的交点，F是双曲线C的右焦点，D是线段OF的中点，若B是圆上的一点，则的面积的最小值为?
?
A.
B.
C.
2
D.
若复数z满足，则在复平面内对应的点位于???
A.
第一象限
B.
第二象限
C.
第三象限
D.
第四象限
将边长为1的正方形ABCD沿对角线BD翻折，使得二面角的平面角的大小为，若点E，F分别是线段AC和BD上的动点，则的取值范围为???
A.
B.
C.
D.
二、多项选择题（本大题共4小题，共20.0分）
旅游是人们为寻求精神上的愉快感受而进行的非定居性旅行和游览过程中所发生的一切关系和现象的总和．随着经济生活水平的不断提高，旅游已经成为人们生活的一部分．某地旅游部门从2020年到该地旅游的游客中随机抽取部分游客进行调查，得到各年龄段游客的人数和旅游方式如图所示，则下列结论不正确的有
A.
估计选择自助游的游客中中年人的人数少于青年人人数的一半
B.
估计游客中选择自助游的青年人的人数占总游客人数的
C.
估计选择自助游的游客中老年人和中年人的人数之和比选择青年人多
D.
估计2020年到该地旅游的游客选择自助游的比率为
下列命题是真命题的有．
A.
直线l的方向向量为，直线m的方向向量为，则l与m垂直
B.
直线l的方向向量为，平面的法向量为，则
C.
平面，的法向量分别为，，则
D.
平面经过三点，，，向量是平面的法向量，则
椭圆的左、右焦点分别为，，O为坐标原点，则???
A.
过点的直线与椭圆C交于A，B两点，则的周长为4
B.
椭圆C上存在点P，使得
C.
椭圆C的离心率为
D.
P为椭圆C上一点，Q为圆上一点，则点P，Q的最大距离为3
椭圆的左、右焦点分别为，，O为坐标原点，则???
A.
过点的直线与椭圆C交于A，B两点，则的周长为4
B.
椭圆C上存在点P，使得
C.
椭圆C的离心率为
D.
P为椭圆C上一点，Q为圆上一点，则点P，Q的最大距离为3
第II卷（非选择题）
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
已知双曲线的右焦点为F，以F为圆心，长为半径的圆交双曲线C的右支于P，Q两点为坐标原点，若的一个内角为，则双曲线C的离心率为??????????．
已知点和圆，若过点P作圆C的切线有两条，则实数m的取值范围是___________．
如图，在四棱柱中，底面ABCD和侧面都是矩形，E是CD的中点，，若平面与平面所成的锐二面角的大小为，则线段的长度为??????????．
已知红箱内有3个红球、2个白球，白箱内有2个红球、3个白球，所有小球大小、形状完全相同．第一次从红箱内取出一球后再放回去，第二次从与第一次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后再放回去，依次类推，第次从与第n次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后再放回去．则第4次取出的球是红球的概率为_________．
四、解答题（本大题共6小题，共72.0分）
已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且。
求角B的大小
若a，b，c依次成等比数列，求的值。
已知z是复数，且和都是实数，其中i是虚数单位．
求复数z和；
若复数在复平面内对应的点位于第三象限，求实数m的取值范围．
数字人民币是由央行发行的法定数字货币，它由指定运营机构参与运营并向公众兑换，与纸钞和硬币等价截至2021年6月30日，数字人民币试点场景已超132万个，覆盖生活缴费餐饮服务交通出行购物消费政务服务等领域为了进一步了解普通大众对数字人民币的感知以及接受情况，某机构进行了次问卷调查，部分结果如下：
学历
小学及以下
初中
高中
大学专科
大学本科
硕士研究生及以上
不了解数字人民币
35
35
80
55
64
6
了解数字人民币
40
60
150
110
140
25
如果将高中及高中以下的学历称为“低学历”，大学专科及以上学历称为“高学历”，根据所给数据，完成下面的列联表；
学历
了解情况
低学历
高学历
合计
不了解数字人民币
了解数字人民币
合计
若从低学历的被调查者中，按对数字人民币的了解程度用分层抽样的方法抽取8人，然后从这8人中抽取2人进行进一步调查，求被选中的2人中至少有1人对数字人民币不了解的概率；
根据列联表，判断是否有的把握认为“是否了解数字人民币”与“学历高低”有关？
附：
k
九章算术中，将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”，如图所示，四面体PABC中，平面ABC，，D是棱AB的中点．
证明：并判断四面体PACD是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角只需写出结论；若不是，说明理由．
Ⅱ若四面体PABC是鳖臑，且，求二面角的余弦值．
已知圆．
若直线l过点且被圆C截得的弦长为，求直线l的方程；
若直线l过点与圆C相交于P，Q两点，求的面积的最大值，
作斜率为的直线l与抛物线交于两点如图所示，点在抛物线C上且在直线l上方．
Ⅰ求C的方程并证明．直线PA和PB的倾斜角互补．
Ⅱ若直线PA的倾斜角为，求的面积的最大值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查子集等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
解不等式求出集合A，再根据依次验证条件即可得到答案．
【解答】
解：由题意得集合，
所以当时，，不满足；
当时，不满足集合的互异性；
当时，，因为，不满足，
当时，，满足；
故选D．??
2.【答案】A
【解析】
【分析】
本题主要考查了不等式的性质：同向不等式的可加性的应用，属于基础题．
根据不等式的性质，求得，且，即可求解．
【解答】
解：由，可得，
又由，可得，
因为，可得，
所以，即的取值范围是．
故选：A．
??
3.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了函数的求值问题，主要考查的是分段函数的求解，解题的关键是确定选用哪一段解析式求解，属于基础题．
根据自变量的值判断使用哪一段解析式求解，然后利用对数和指数的运算性质求解即可．
【解答】
解：因为函数
则，
所以．
故选C．??
4.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查导数的几何意义，对数的运算，考查运算转化能力，属于中档题．
由题意可得，即，设，，然后对其进行求导，求出，，再进行后面的求解即可得．
【解答】
解：由题意，即
设，，
因为，，
所以，，
又因为两曲线在点P处有公切线，
所以，所以，
所以当且仅当时等号成立
故选：D??
5.【答案】A
【解析】
【分析】本题考查解三角形与三角恒等变换的综合应用，主要涉及正弦定理、正弦的两角差公式和辅助角公式，还运用了边化角的思想，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
利用正弦定理将中的边化为角，可得，再由正弦定理得，，结合正弦的两角差公式和辅助角公式可将的周长化简为，然后根据正弦函数的图象与性质以及即可得解．
解：由正弦定理知，，
，，
，，
为锐角三角形，，．
，
，，
的周长为
，
当，即为等边三角形时，的周长取得最大值，
此时的面积．
故选：A．??
6.【答案】A
【解析】
【分析】
本题主要考查了双曲线和直线的应用问题，属于中档题．
根据是双曲线C的斜率为正的渐近线与直线的交点得到点A的坐标，再根据D是线段OF的中点，得到D点的坐标继而可以得到直线AD的方程，又由于点B是圆上的点，点B到直线AD距离的最小值也就是圆心O到直线AD的距离d减去半径即可以得到问题的解．
【解答】
根据题意点A的坐标是，点D是线段OF的中点，则直线AD的方程为，点B是圆上的一点，点B到直线AD距离的最小值也就是圆心O到直线AD的距离d减去半径，即，
????则，故选A．??
7.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，进一步求出的坐标得答案．
【解答】
解：由，得，
，
则在复平面内对应的点的坐标为，位于第三象限．
故选：C．??
8.【答案】B
【解析】
【分析】
本题主要考查了平面向量的数量积公式，二面角，属于中档题．
先找到二面角的平面角，做辅助角，建立平面直角坐标系，写出坐标，利用数量积公式求解即可．
【解答】
解：由题意可知，，，AO、平面AOC，
所以平面AOC，
所以即为二面角的平面角，
所以，
所以是等边三角形，
作，则P为OC中点，当E不与点C重合时作，
因为平面AOC，平面AOC，
所以，
易得，BD、OC是平面BCD内相交直线，
则平面BCD，
所以，
如图建立平面直角坐标系，
设，，
，，
，
则，因为，
所以
当E与点C重合时，，
综上，
故选B．??
9.【答案】ACD
【解析】【解析】
本题考查统计图表，考查数据处理能力，属于中档题．
设2020年到该地旅游的游客总人数为a，由题意可知游客中老年人，中年人，青年人的人数分别为，，，其中选择自助游的老年人、中年人、青年人的人数分别为，，再逐项分析即可．
【解答】
解：设2020年到该地旅游的游客总人数为a，
由题意可知游客中老年人，中年人，青年人的人数分别为，，，
其中选择自助游的老年人、中年人、青年人的人数分别为，，．
因为，所以A错误；
2020年到该地旅游的游客选择自助游的青年人的人数与总游客人数的比值为，则B正确；
因为，所以C错误；
2020年到该地旅游的游客选择自助游的比率为，则D错误．
故选ACD．
10.【答案】AD
【解析】
【分析】
本题考查利用平面的法向量、直线的方向向量判断线线关系、线面关系、面面关系，属于中档题．
A.根据直线l、m的方向向量与垂直，即可判断A；根据直线l的方向向量与平面的法向量垂直，即可判断B；根据平面、的法向量与不共线，即可判断C；求出向量与的坐标表示，再利用平面的法向量，列出方程组求出的值．
【解答】
解：对于A，，，
，
，
直线l与m垂直，A正确；
对于B，，，
，
，
或，B错误；
对于C，，，
不共线，所以与不平行，故C错误；
对于D，点0，，1，，2，，
，向量是平面的法向量，
，即，则，D正确．
故选AD．
??
11.【答案】BD
【解析】【解析】
本题考查了考查椭圆相关命题真假的判定，椭圆的概念及标准方程和椭圆的性质及几何意义，有关椭圆和圆的最值问题，属中档题．
根据椭圆的定义，可判断A；根据数量积运算，以及椭圆的性质，可判断B；根据离心率的定义，可判断出C；根据点与圆位置关系，以及椭圆的性质，可判断D．
【解答】
解：对于选项A，因为分别为椭圆的左右焦点，
过点的直线与椭圆C交于A，B两点，
由椭圆定义可得：，
因此的周长为，故A错误；
对于选项B，设点为椭圆上任意一点，
则点P坐标满足，且，
又，，
所以，，
因此，
由，可得：，故B正确；
对于选项C，因为，，所以，即，
所以离心率为，故C错误；
对于选项D，设点为椭圆上任意一点，
由题意可得：点到圆的圆心的距离为：
，
因为，所以，故D正确．
故选BD．
12.【答案】BD
【解析】
【分析】
本题考查了考查椭圆相关命题真假的判定，椭圆的概念及标准方程和椭圆的性质及几何意义，有关椭圆和圆的最值问题，属中档题．
根据椭圆的定义，可判断A；根据数量积运算，以及椭圆的性质，可判断B；根据离心率的定义，可判断出C；根据点与圆位置关系，以及椭圆的性质，可判断D．
【解答】
解：对于选项A，因为分别为椭圆的左右焦点，
过点的直线与椭圆C交于A，B两点，
由椭圆定义可得：，
因此的周长为，故A错误；
对于选项B，设点为椭圆上任意一点，
则点P坐标满足，且，
又，，
所以，，
因此，
由，可得：，故B正确；
对于选项C，因为，，所以，即，
所以离心率为，故C错；
对于选项D，设点为椭圆上任意一点，
由题意可得：点到圆的圆心的距离为：
，
因为，所以，故D正确．
故选BD．
??
13.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查双曲线的离心率的求解，由圆与双曲线的对称性得为等边三角形，
由，得，，根据P点在双曲线上，可得，整理即可得双曲线C的离心率，属于综合题．
【解答】
解：由题意如图，
由圆与双曲线的对称性得为等边三角形，
由，得，，
由P点在双曲线上得，
又，整理得
即，
解得，不合题意舍去，
．
故答案为．??
14.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查圆的切线问题和点与圆的位置关系，属于一般题．
由圆的方程得或，再利用P在圆C的外部得，从而求出m的范围．
【解答】
解：根据题意，圆，
必有，
解可得：或；
过点P作圆C的切线有两条，则P在圆C的外部，则有，
即，
综合可得：m的取值范围为；
故答案为：．??
15.【答案】1
【解析】
【分析】
本题考查空间中直线与直线的位置关系，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用空间向量求解二面角的平面角，是中档题．
由已知底面ABCD和侧面是矩形，可得，，由线面垂直的判定可得平面，进一步得到；结合，可得平面设G为AB的中点，以E为原点，EG，EC，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量与平面的一个法向量，由平面与平面所成的锐二面角的大小为列式求得a值，则线段的长度可求．
【解答】
解底面ABCD和侧面是矩形，，，
又，平面，
平面，；
又，且，
平面ABCD．
取AB中点为G，连接EG，
设G为AB的中点，以E为原点，EG，EC，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则0，，1，，1，，0，．
设，则0，，2，．
设平面的一个法向量为y，，
1，，0，，
由，
令，得；
设平面的一个法向量为，
0，，1，，
由，
令，得．
由平面与平面所成的锐二面角的大小为，
得，解得．
．
故答案为1．??
16.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查古典概型的概率，属于基础题．
依次写出第四次取出红球的事件，然后求出每个事件的概率，最后求出所有满足题意的事件的概率．
【解答】
解：第一次在红箱里拿红球，则第二次在红箱里拿红球，第三次在红箱里拿红球，第四次在红箱里拿红球；
概率为：；
第一次在红箱里拿红球，则第二次在红箱里拿白球，第三次在白箱里拿红球，第四次在红箱里拿红球；
概率为：；
第一次在红箱里拿红球，则第二次在红箱里拿红球，第三次在红箱里拿白球，第四次在白箱里拿红球；
概率为：；
第一次在红箱里拿红球，则第二次在红箱里拿白球，第三次在红箱里拿白球，第四次在白箱里拿红球；
概率为：；
第一次在红箱里拿白球，则第二次在白箱里拿白球，第三次在白箱里拿红球，第四次在红箱里拿红球；
概率为：；
第一次在红箱里拿白球，则第二次在白箱里拿白球，第三次在白箱里拿白球，第四次在白箱里拿红球；
概率为：；
第一次在红箱里拿白球，则第二次在白箱里拿红球，第三次在红箱里拿白球，第四次在白箱里拿红球；
概率为：；
第一次在红箱里拿白球，则第二次在白箱里拿红球，第三次在红箱里拿红球，第四次在红箱里拿红球；
概率为：；
则第4次取出的球是红球的概率为：．
故答案为：．??
17.【答案】解：由正弦定理得，
又中，，故，
即，于是，
化简得，故角B的大小为．
由a，b，c依次成等比数列得，由正弦定理得，
故．
【解析】可利用正弦定理边化角，进而求出角B的值；
利用等比中项得到方程，然后利用正弦定理和角的转化得出所要求解的结果．
本题考查正弦定理和数列综合应用问题，同时考查学生在三角形中角的转化问题，属于中档题．
18.【答案】解：设，则，
为实数，，即．
为实数，
，则；
所以，
由得，
依题意得，解得．
实数m的取值范围是．
【解析】本题考查了复数的基本概念以及复数的模、几何意义，属于中档题．
设，由已知列关于a，b的方程组求解；
把中求得的z代入，整理后由实部与虚部均小于0联立不等式组求解．
19.【答案】解：列联表如下：
低学历
高学历
合计
不了解数字人民币
150
125
275
了解数字人民币
250
275
525
合计
400
400
800
从低学历被调查者中按对数字人民币的了解程度用分层抽样的方法抽取8人，抽取的8人中，不了解数字人民币的有人，了解数字人民币的有人，
从这8人中抽取2人进行进一步调查，被选中的2人中至少有1人对数字人民币不了解的概率
根据列联表得
．
故没有的把握认为“是否了解数字人民币”与“学历高低”有关．
【解析】本题考查独立性检验，考查简单概率的求法，分层抽样，关键是掌握古典概型，独立性检验的公式，对题意的理解和把握，是基础题．
直接根据题意，利用题中表格求出相应的数据填入的列联表；
利用分层抽样可得不了解数字人民币的有3人，了解数字人民币的有5人，利用古典概型即可得到所求概率．
由独立性检验公式计算可得，判断可得没有的把握认为“是否了解数字人民币”与“学历高低”有关．
20.【答案】解：Ⅰ因为平面ABC，平面ABC，所以，
因为，D是AB的中点，所以，
又因为，PA、平面PAB，
所以平面PAB，
因为平面PAB，
所以．
四面体PACD是鳖臑，四个面的直角分别为，，，．
Ⅱ若四面体PABC是鳖臑，则为等腰直角三角形，，且．
如图所示，以A为坐标原点，以，的方向分别为x，z轴的正方向，建立空间直角坐标系．
由条件可得0，，0，，，0，，，
所以0，，，
设平面PBC的法向量为y，，
所以
取，则，所以0，，
由图像可知，二面角为锐角，设二面角为，
由Ⅰ可知平面PAB的法向量为，
，
所以二面角的余弦值为??
【解析】本题主要考查线面垂直的判定与性质以及利用空间向量求面面的夹角?，考查计算能力，属于中档题．
Ⅰ由已知条件求得平面PAB，故得，可知四面体PACD是一个鳖臑，并得每个面的直角
Ⅱ以A为坐标原点，以，的方向分别为x，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，由空间向量法可得二面角的余弦值．
21.【答案】解：圆C的圆心坐标为，半径，
直线l被圆C截得的弦长为，
圆心C到直线l的距离．
当直线l的斜率不存在时，
直线l的方程：，显然满足；
当直线l的斜率存在时，
设直线l的方程：，即，
由圆心C到直线l的距离得：，解得，
故直线l的方程：；
综上所述，直线l的方程为或．
直线与圆相交于P、Q两点，
的斜率一定存在且不为0，
设直线l方程：，即，
则圆心C到直线l的距离为，
又的面积
，
当时，S取最大值2，
由，得或，
【解析】本题考查圆的方程的综合应用，考查直线与圆的位置关系，涉及二次函数的最值，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．
求出圆C的圆心坐标为，半径，推出圆心C到直线l的距离，当直线l的斜率不存在时，直线l的方程：，判断是否满足题意；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程：，利用点到直线的距离公式求解即可．
设直线l方程：，利用点到直线的距离公式以及三角形面积公式，通过二次函数的最值求解即可．
22.【答案】解：Ⅰ因为点在抛物线C上，
所以，解得，因此抛物线C的方程为．
设直线l的方程为．
因为直线l与抛物线C交于两点，且点在直线l的上方，
所以设，，且，即．
由得，
而由得，
因此，，，
因此
，
即，
所以直线PA和直线PB的倾斜角互补．
Ⅱ因为直线PA的倾斜角为，所以．
又因为由Ⅰ知：，所以，
因此由Ⅰ知：，
即，
所以，解得，
又因为，
而点P到直线l的距离为，
所以的面积，
设，
则，
时，，单调递增；时，，单调递减；
故时，取得最大值为，
所以的面积的最大值为．
【解析】本题考查了直线的倾斜角与斜率，抛物线的概念及标准方程，直线与抛物线的位置关系，直线与圆锥曲线相交的弦长，点到直线的距离公式和圆锥曲线中的面积问题，考查了学生的运算能力，属于较难题．
Ⅰ利用抛物线方程，结合题目条件得抛物线C的方程，设直线l的方程为和设，，把直线l的方程代入抛物线C的方程，利用题目条件得，和，再利用过两点直线的斜率，计算得结论；
Ⅱ利用Ⅰ的结论，结合直线与圆锥曲线相交的弦长和点到直线的距离得的面积，构造函数转化为利用导数求函数的最值问题解决．