(共27张PPT)
29.1
投影(2）
人教版
九年级下册
回顾知识
1.
说一说什么是投影、投影线、投影面？
投影面
投影
投影线
一般地，用光线照射物体，在某个平面（地面、墙壁等）上得到的影子叫做物体的投影.
照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面.
回顾知识
2.
什么是平行投影和中心投影？它们有什么区别和联系？
区别
联系
示意图
光线
物体与投影面平行时的投影
平行投影
中心投影
平行的投影线
全等
从一点发出的投影线
放大
(位似变换)
都是物体在光线的照射下，在某个平面内形成的影子.(投影)
新知导入
下图是一块三角形纸板在光线照射下形成投影，其中图①与图②③的投影线有什么区别？图②③的投影线与投影面的位置关系又有什么区别？
图①
图②
图③
投影线集中于一点
投影线互相平行，
且斜着照射投影面
投影线互相平行，
投影线垂直照射投影面
新知讲解
投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影.
投影
平行投影
中心投影
正投影
斜投影
活动探究
1.
如图，把一根直的细铁丝
(记为线段AB)
放在三个不同位置.
(1)
铁丝平行于投影面；
(2)
铁丝倾斜于投影面；
(3)
铁丝垂直于投影面
(铁丝不一定要与投影面有交点).
三种情形下铁丝的正投影各是什么形状？
A
B
A
B
A
B
P
A1
B1
A2
B2
A3(B3)
线段
线段
点
活动探究
通过观察，我们可以发现：
当线段AB平行于投影面P时，它的正投影是线段A1B1，线段AB
与它的投影的大小关系为AB
A1B1；
(2)
当线段AB倾斜于投影面P时，它的正投影是线段A2B2，线段AB与它的投影的大小关系为AB
A2B2;
(3)
当线段AB垂直于投影面P时，它的正投影是一个
．
=
>
点A3(B3)
平行长不变
倾斜长缩短
垂直成一点
口诀记忆
活动探究
2.如图，把一块正方形硬纸板P（例如正方形ABCD）放在三个不同位置：
（1）纸板平行于投影面；
（2）纸板倾斜于投影面；
（3）纸板垂直于投影面.
三种情形下纸板的正投影各是什么形状？
正方形
长方形
一条线段
通过观察、测量可知：
(1)
当纸板P平行于投影面P时，P的正投影与P的
；
(2)
当纸板P倾斜于投影面P时，P的正投影与P的
；
(3)
当纸板P垂直于投影面P时，P的正投影成为
．
形状、大小一样
形状、大小不完全一样
一条线段
活动探究
平行形不变
倾斜形改变
垂直成一线
口诀记忆
新知讲解
当物体的某个面平行于投影面时，这个面的正投影与这个面的形状、大小完全相同．
物体
物体平行于投影面
物体倾斜于投影面
物体垂直于投影面
线段
面
不同位置
形状、大小不变
（全等）
大小变化
点
形状、大小不变
（全等）
形状、大小均变化
线
例题讲解
【例1】木棒长为1.2m，则它的正投影的长一定(
)
A．大于1.2m
B．小于1.2m
C．等于1.2m
D．小于或等于1.2m
【分析】正投影的长度与木棒的摆放角度有关，当线段平行于投影面时的正投影与原线段相等，当线段不平行于投影面时的正投影小于原线段．故选D．
D
例题讲解
【例2】如图所示，左面水杯的杯口与投影面平行，投影线的方向如箭头所示，它的正投影图是( )
【分析】当投影面垂直于入射光线时，球体的投影是圆形，否则为椭圆形.故选D．
D
例题讲解
【例3】画出如图摆放的正方体在投影面上的正投影.
（1）正方体的一个面ABCD平行于投影面；
A
B
C
D
A′
B′
C′
D′
【分析】当正方体在如图的位置时，正方体的一个面ABCD及其相对的另一面与投影面平行，这两个面的正投影是与正方体的一个面的形状、大小完全相同的正方形A′B′C′D′.正方形A′B′C′D′的四条边分别是正方体其余四个面的投影，因此，此时正方体的正投影是一个正方形．
解：正方体的正投影为正方形A′B′C′D′，它与正方体的一个面是全等关系.
例题讲解
【例3】画出如图摆放的正方体在投影面上的正投影.
（2）正方体的一个面ABCD倾斜于投影面，底面ADEF垂直于投影面，并且对角线AE垂直于投影面P.
B
C
D
E
F
G
F′
A′
D′
C′
B′
G′
A
H
【分析】当正方体在如图的位置时，它的面ABCD和面ABGF倾斜于投影面，它们的投影分别是矩形A′B′C′D′和A′B′G′F′；
正方体其余两个侧面的投影也分别是上述矩形；
上、下底面的投影分别是线段D′F′和C′G′.
因此，正方体的投影是矩形D′F′G′C′，其中线段A′B′把矩形一分为二.
解：正方体的正投影为矩形D′F′G′C′，这个矩形的长等于正方体的底面对角线长，矩形的宽等于正方体的棱长.矩形上、下两边中点连线A′B′是正方体的侧棱AB及它所对的另一条侧棱EH的投影.
新知讲解
物体正投影的形状、大小与它相对于投影面的位置有关.
例题讲解
【例4】画出下列立体图形投影线从上方射向下方的正投影．
【分析】第一个图投影线从上方射向下方的正投影是长方形；
第二个图投影线从上方射向下方的正投影是长方形；
第三个图投影线从上方射向下方的正投影是圆且有圆心．
解：如图所示：
例题讲解
【例5】一个长8cm的木棒AB，已知AB平行于投影面α，投影线垂直于α.
(1)
求影子A1B1的长度
(如图①)；
图①
解：A1B1=AB=8cm.
图②
例题讲解
【例5】一个长8cm的木棒AB，已知AB平行于投影面α，投影线垂直于α.
(2)
若将木棒绕其端点A逆时针旋转30°，求旋转后木棒的影长A2B2
(如图②)．
解：作AE⊥BB2于E，则四边形AA2B2E是矩形，
∴A2B2＝AE，△ABE是直角三角形．
∵AB＝8cm，∠BAE＝30°，
∴BE＝4cm，AE＝＝4cm，
∴A2B2＝4cm.
E
课堂练习
1.一根笔直的小木棒（记为线段AB），它的正投影为线段CD，则下列各式中一定成立的是（
）
A、AB=CD
B、AB≤CD
C、AB＞CD
D、AB≥CD
D
课堂练习
2.小华拿一矩形木框在阳光下玩，矩形木框在地面上形成投影不可能是（
）
A
3.如图，箭头表示投影线的方向，则图中圆柱体的正投影是（
）
A、圆
B、圆柱
C、梯形
D、矩形
D
课堂练习
4.如图，长方体的一个底面ABCD在投影面P上，M，N分别是侧棱BF，CG的中点，矩形EFGH与矩形EMNH的投影都是矩形ABCD，设它们的面积分别是S1，S2，S，则S1，S2，S的关系是
（用“＝、＞或＜”连起来）.
课堂练习
S1＝S＜S2
29.1
投影（2）
课堂总结
正投影
正投影的概念及性质
几何体的正投影
平面图形的正投影
板书设计
29.1
投影（2）
正投影
正投影的概念及性质
几何体的正投影
平面图形的正投影
作业布置
教材92、93页习题29.1第3、4、5题。
https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php中小学教育资源及组卷应用平台
29.1
投影（2）
教学设计
课题
29.1
投影（2）
单元
第二十九章
学科
数学
年级
九年级
学习
目标
了解正投影的概念。
经历实践探索，掌握线段、平面图形的正投影规律。
掌握几种基本几何体的正投影。
能根据正投影的性质画出简单平面图形的正投影，并进行相关计算。
让学生学会关注生活中有关投影的数学问题，在活动中培养学生的动手实践能力，发展学生的空间想象能力，提高学生的数学的应用意识。
重点
线段、平面图形的正投影规律。
难点
根据正投影的性质画简单平面图形的正投影。
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
回顾知识+
导入新知
1.说一说什么是投影、投影线、投影面？
一般地，用光线照射物体，在某个平面（地面、墙壁等）上得到的影子叫做物体的投影.照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面.
2.什么是平行投影和中心投影？它们有什么区别和联系？
【导入知识】下图是三角形纸板在光线照射下形成投影，其中图①与图②③的投影线有什么区别？图②③的投影线与投影面的位置关系又有什么区别？
今天我们就一起继续来学习关于不同类型投影的相关知识吧！
积极思考，回答问题。
教师出示问题，师生一起回顾投影的内容，起到以旧引新，建立新旧知识间的联的作用。
从学生已有的知识中引入正投影的相关概念，能够引起学生的兴趣，提高学习的热情。
活动探究+
讲授新知
讲授新课+
例题讲解
例题讲解
教师讲授知识：
投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影.
【活动探究】1.如图，把一根直的细铁丝
(记为线段AB)
放在三个不同位置.
(1)
铁丝平行于投影面；(2)铁丝倾斜于投影面；
(3)铁丝垂直于投影面(铁丝不一定要与投影面有交点).三种情形下铁丝的正投影各是什么形状？
通过观察，我们可以发现：
(1)当线段AB平行于投影面P时，正投影是线段A1B1，线段AB与它的投影的大小关系为AB
=
A1B1；
(2)当线段AB倾斜于投影面P时，正投影是线段A2B2，线段AB与它投影的大小关系为AB
>
A2B2;
(3)
当线段AB垂直于投影面P时，它的正投影是一个
点A3(B3)
．
口诀：平行长不变、倾斜长缩短、垂直成一点
2.如图，把一块正方形硬纸板P（例如正方形ABCD）放在三个不同的位置：
（1）纸板平行于投影面；
（2）纸板倾斜于投影面；
（3）纸板垂直于投影面.
三种情形下纸板的正投影各是什么形状？
通过观察、测量可知：
(1)
当纸板P平行于投影面P时，P的正投影与P的
形状、大小一样
；
(2)
当纸板P倾斜于投影面P时，P的正投影与P的
形状、大小不完全一样
；
(3)
当纸板P垂直于投影面P时，P的正投影成为
一条线段
．
口诀：平行形不变、倾斜形改变、垂直成一线
当物体的某个面平行于投影面时，这个面的正投影与这个面的形状、大小完全相同．
【例1】木棒长为1.2m，则它正投影长一定(
D
)
A．大于1.2m
B．小于1.2m
C．等于1.2m
D．小于或等于1.2m
【分析】正投影长度与木棒的摆放角度有关，当线段平行于投影面时正投影与原线段相等，当线段不平行于投影面时的正投影小于原线段．故选D．
【例2】如图所示，左面水杯杯口与投影面平行，投影线的方向如箭头所示，它的正投影图是(D)
【分析】当投影面垂直于入射光线时，球体的投影是圆形，否则为椭圆形.故选D．
【例3】画出如图摆放正方体在投影面上的正投影.（1）正方体的一个面ABCD平行于投影面；
【分析】当正方体在如图的位置时，正方体的一个面ABCD及其相对的另一面与投影面平行，这两个面的正投影是与正方体的一个面的形状、大小完全相同的正方形A′B′C′D′.正方形A′B′C′D′四条边分别是正方体其余四个面的投影，因此，此时正方体的正投影是一个正方形．
解：正方体的正投影为正方形A′B′C′D′，它与正方体的一个面是全等关系.
（2）正方体一个面ABCD倾斜于投影面，上底面ADEF垂直于投影面P，且对角线AE垂直于投影面.
【分析】当正方体在如图的位置时，它的面ABCD和面ABGF倾斜于投影面，它们的投影分别是矩形A′B′C′D′和A′B′G′F′；正方体其余两个侧面的投影也分别在上述矩形；上、下底面的投影分别是线段D′F′和C′G′.因此，正方体的投影是矩形D′F′G′C′，其中线段A′B′把矩形一分为二.
解：正方体的正投影为矩形D′F′G′C′，这个矩形的长等于正方体的底面对角线长，矩形的宽等于正方体的棱长.矩形上、下两边中点连线A′B′是正方体的侧棱AB及它所对的另一条侧棱EH的投影.
教师归纳讲解：物体正投影的形状、大小与它相对于投影面的位置有关.
【例4】画出下列立体图形投影线从上方射向下方的正投影．
【分析】第一个图投影线从上方射向下方的正投影是长方形；第二个图投影线从上方射向下方的正投影是长方形；第三个图投影线从上方射向下方的正投影是圆且有圆心．
解：如图所示：
【例5】一个长8cm的木棒AB，已知AB平行于投影面α，投影线垂直于α.
(1)
求影子A1B1的长度
(如图①)；
(2)
若将木棒绕其端点A逆时针旋转30°，求旋转后木棒的影长A2B2
(如图②)．
解：（1）A1B1=AB=8cm.
（2）作AE⊥BB2于E，则四边形AA2B2E是矩形，
∴A2B2＝AE，△ABE是直角三角形．
∵AB＝8cm，∠BAE＝30°，
∴BE＝4cm，AE＝＝4cm，
∴A2B2＝4cm.
教师出示问题，师生共同探究掌握线段、平面图形的正投影规律。
师出示例题，学生先独立思考，自己检测自己对知识点的掌握程度。
教师出示例3，学生先思考问题，然后再学习画简单立体图形的正投影。
师出示例题，学生先独立思考，自己检测自己对知识点的掌握程度。
通过活动探究、观察图片等活动，使学生掌握线段、平面图形的正投影规律，加强主动学习数学的兴趣，体现数学的应用价值。
通过例题讲解的形式，让学生进一步掌握线段、平面图形的正投影规律。
通过例3的讲解，让学生掌握画几何体的正投影。
通过例题讲解的形式，对知识点进一步进行讲解，让学生能够更进一步的掌握和熟悉本节课的重难点。
课题练习
1.一根笔直的小木棒（记为线段AB），正投影为线段CD，则下列各式中一定成立的是（
D
）
A、AB=CD
B、AB≤CD
C、AB＞CD
D、AB≥CD
2.小华拿一矩形木框在阳光下玩，矩形木框在地面上形成投影不可能是（
A
）
3.如图，箭头表示投影线的方向，则图中圆柱体的正投影是（
D
）
A、圆
B、圆柱
C、梯形
D、矩形
4.如图，长方体一个底面ABCD在投影面P上，M，N分别是侧棱BF，CG的中点，矩形EFGH与矩形EMNH的投影都是矩形ABCD，设它们的面积分别是S1，S2，S，则S1，S2，S的关系是
S1＝S＜S2
（用“＝、＞或＜”连起来）.
学生观察并回答教师规范解答，教师出示练习题组，学生尝试练习师巡视，个别指导。
通过课题练习检验学生对知识的掌握情况，及时发现问题及时解决，也让学生在练习中进一步掌握本节课的知识内容。
课堂小结
本节课学习了什么内容呢？
与教师一起回顾本节的内容。
引导学生进行展示交流，对本节课内容进行归纳总结。
板书
29.1
投影（2）
作业布置
教材92、93页习题29.1第3、4、5题。
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精品试卷·第
2
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