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第01讲
成比例线段
【提升训练】
一、单选题
1．若，且，则的值是（
）
A．2
B．4
C．6
D．8
【答案】B
【分析】
由题意可得a、b的值，从而得到2a-b的值．
【详解】
解：由题意可得a=0.75b，
代入a+b=14可得：1.75b=14，
∴b=8，
∴a=8×0.75=6，
∴2a-b=2×6-8=4，
故选B．
【点睛】
本题考查比例的性质与代数式求值的综合应用，熟练求解二元一次方程组是解题关键．
2．如果(其中，)，那么下列式子中不正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
设，则可以变形为．分别代入各个选项检验即可得到结论．
【详解】
解：设，则可以变形为．
A、，，该选项正确，故不符合题意；
B、，，该选项正确，故不符合题意；
C、，，该选项正确，故不符合题意；
D、，，该选项错误，故符合题意．
故选：D．
【点睛】
已知几个量的比值时，常用的解法是：设一个未知数，把题目中的几个量用所设的未知数表示出来，实现约分求值．
3．下列结论不一定成立的是（
）
A．如果，那么
B．如果，那么
C．如果，（），那么
D．如果，那么
【答案】D
【分析】
对于A、B选项，设，则，，分别代入验证左右两端是否相等即可；对于C、D选项，设，则，，
，分别代入计算，验证两边是否相等即可．
【详解】
解：A：设，
则，，
∴，，
∴，故A不符合题意；
B：利用A中的方法，同理可知也成立，故B不符合题意；
C：设，则，，
，
∴，
又∵，
∴，故C不符合题意；
D：设，则，，
，
∴，，，
∴，故D符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查比例的性质，熟练掌握等比、合比的性质是解题的关键．
4．已知，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
根据比的性质，可得a，b，c，代入代数式求值，可得答案．
【详解】
解：由a：b：c=2：4：5，
设a=2x，b=4x，c=5x．
∴==，
故选B．
【点睛】
本题考查了比例的性质，利用比的性质得出a=2x，b=4x，c=5x是解题的关键．
5．四巧板是一种类似七巧板的传统智力玩具，它是由一个长方形按如图1分割而成，这几个多边形的内角除了有直角外，还有角．小明发现可以将四巧板拼搭成如图2的字形和字形，那么字形图中高与宽的比值为（
）2-1-c-n-j-y
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
根据图1与图2的拼图结果先得出线段间的相等关系，求得h与l，此题即可得解．
【详解】
解：如图，图1由一个长方形分割而成，且图中只有角，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
则根据题意可知：a∥b，
∴a＝b，
由图2可知c＝2a，
∴l＝a＋b＝2a，h＝a＋2a，
．
故选：C．
【点睛】
此题考查了几何变换，解题的关键是弄清题意，能从图形中找出线段间关系．
6．若，则中的值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
根据设，，代入求解即可．
【详解】
解：∵
∴设，，代入得，
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解答此题的关键．
7．在比例尺是1﹕10000的贺州市城区地图上，向阳路的长度约为10cm，它的实际长度约为（
）．
A．1000m
B．1000cm
C．100m
D．100cm
【答案】A
【分析】
根据比例尺的定义可求得实际长度．
【详解】
解：根据题意可知，
所以，
解得，实际长度=100000cm=1000m，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查比例的性质，掌握比例尺=是解题的关键．
8．若，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．2
【答案】B
【分析】
根据比例的性值计算即可；
【详解】
∵，
∴；
故答案选B．
【点睛】
本题主要考查了比例的性质，准确计算是解题的关键．
9．若点为线段的黄金分割点，且，则下列各式中不正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
由黄金分割点的定义得AC=AB，AB：AC=AC：BC，则AB=AC，BC=AB-AC=AB，即可得出结论．【出处：21教育名师】
【详解】
解：∵点C为线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，
∴AC=AB，AB：AC=AC：BC，
∴AB=AC，BC=AB-AC=AB，
故选项A符合题意，选项B、C、D不符合题意；
故选：A．21
cnjy
com
【点睛】
本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．
10．古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G将一线段MN分为两线段MG、GN，使得其中较长的一段MG是全长MN与较短的一段GN的比例中项，即满足，后人把这个数称为“黄金分割数”，把点G称为线段MN的“黄金分割点”．如图，在△ABC中，已知AB＝AC＝3，BC＝4，若点D是边BC边上的一个“黄金分割点”，则△ADC的面积为（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
作AF⊥BC，根据等腰三角形ABC的性质求出AF的长，再根据黄金分割点的定义求出CD的长度，利用三角形面积公式即可解题．21·世纪
教育网
【详解】
解：过点A作AF⊥BC，
∵AB=AC，
∴BF=BC=2，
在Rt，AF=，
∵D是边的两个“黄金分割”点，
∴即，
解得CD=，
∴==，
故选：A．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
本题考查了“黄金分割比”的定义、等腰三角形的性质、勾股定理的应用以及三角形的面积公式，求出DC和AF的长是解题的关键．
11．点B是线段AC的黄金分割点，且ABBC．若AC=4，则BC的长为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
根据黄金分割的定义可得出较长的线段BC=AC，将AC=4代入即可得出BC的长度．
【详解】
解：∵点B是线段AC的黄金分割点，且AB＜BC，
∴BC=AC，
∵AC=4，
∴BC=．
故选：B．
【点睛】
本题考查了黄金分割的定义：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC=AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中AC=AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．
12．如图，乐器上的一根弦
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)AB＝80cm，两个端点A，B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则C，D之间的距离为（ ）
A．（40﹣40）cm
B．（80﹣40）cm
C．（120﹣40）cm
D．（80﹣160）cm
【答案】D
【分析】
根据黄金分割的概念和黄金比值求出AC＝BD＝4040，进而得出答案．
【详解】
解：∵点C是靠近点B的黄金分割点，点D是靠近点A的黄金分割点，
∴AC＝BD＝804040，
∴CD＝BD﹣（AB﹣BD）＝2BD﹣AB＝80160，
故选：D．
【点睛】
此题考查了黄金分割点的概念：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，它们的比值叫做黄金比．
13．若2x＝5y，则的值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
利用内项之积等于外项之积进行判断．
【详解】
解：∵2x＝5y，
∴．
故选：B．
【点睛】
本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质（内项之积等于外项之积，合比性质，分比性质，合分比性质，等比性质）．
14．某品牌汽车为了打造更
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)加精美的外观，特将汽车倒车镜设计为整个车身黄金分割点的位置（如图），若车头与倒车镜的水平距离为1.58米，则该车车身总长约为（
）米．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．4.14
B．2.56
C．6.70
D．3.82
【答案】A
【分析】
设整个车身长为AB，点C表示倒车镜位置，根据题意，确定BC的长，继而确定车身长，对照选项判断即可．
【详解】
如图，设整个车身长为AB，点C表示倒车镜位置，
根据题意，AC=1.58米,
∴BC=1.58÷0.618=2.56米，
故车长为1.58+2.56=4.14米，
故选:A．
【点睛】
本题考查了线段的黄金分割点，准确理解黄金分割点的意义并灵活计算是解题的关键．
15．若三条线段a、b、c的长满足，则将这三条线段首尾顺次相连（ ）
A．能围成锐角三角形
B．能围成直角三角形
C．能围成钝角三角形
D．不能围成三角形
【答案】D
【分析】
根据比例线段和三角形三边关系解答即可．
【详解】
解：∵三条线段a、b、c的长满足，
∴设，，则
∵
∴不能围成三角形，
故选：D．
【点睛】
此题考查了比例线段，关键是根据比例线段和三角形三边关系解答．
16．若，则的值是（
）
A．
B．
C．
D．4
【答案】C
【分析】
根据，则x＝2k，y＝7k，z＝5k，代入进行计算即可．
【详解】
解：（k≠0），
则x＝2k，y＝7k，z＝5k，
∴＝，
故选：C．
【点睛】
本题考查了比例的性质，解题的关键是掌握比例的性质进行解题．
17．若则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
根据比例的性质，两内项之积等于两外项之积进行计算即可求解．
【详解】
由比例的性质，由得．
故选C．
【点睛】
本题考查了比例的性质，利用比例的性质是解题关键．
18．已知点是线段的黄金分割点，，则的值为（
）
A．
B．
C．0.618
D．
【答案】B
【分析】
根据黄金分割比求出AP，PB计算即可；
【详解】
∵点是线段的黄金分割点，，
∴，
令，
∴，
，
∴；
故答案选B．
【点睛】
本题主要考查了黄金分割的知识点，准确计算是解题的关键．
19．已知点是线段的黄金分割点（），，那么的长约为（
）
A．0.618
B．1.382
C．1.236
D．0.764
【答案】C
【分析】
根据黄金分割点的定义，由题意知AP是较长线段；则AP=AB，代入数据即可．
【详解】
解：∵线段AB=2，点是线段的黄金分割点（），
∴AP=AB=≈1.236
故选：C
【点睛】
本题考查了黄金分割点的概念，熟记黄金分割的比值是解题的关键．
20．点B把线段AC分成两部分，如果＝k，那么k的值为（
）
A．
B．
C．＋1
D．－1
【答案】B
【分析】
设AC=1，由题意得AB=k，BC=，由AC=AB+
BC=1得到关于的一元二次方程，解方程即可．
【详解】
设AC=1，
∵=k，且，
∴AB=k，BC=，
∵AC=AB+
BC=1，
∴，即，
∵，，，
，
∴(负值舍去)，
∴，
故选：B．
【点睛】
本题考查了比例线段，公式法解一元二次方程，由比例线段得到一元二次方程是解题的关键．
21．若ad=bc，则下列不成立的是(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
根据比例和分式的基本性质，进行各种演变即可得到结论．
【详解】
A
由可以得到ad=bc，故本选项正确，不符合题意；
B、由可得：（a-c）b=（b-d）a，即ad=bc，故本选项正确，不符合题意；
C、由可得（a+b）d=（c+d）b，即ad=bc，故本选项正确，不符合题意；
D、由，可得（a+1）（d+1）=（b+1）（c+1），即ad+a+d=bc+c，不能得到ad=bc，故本选项错误，符合题意；www-2-1-cnjy-com
故选：D．
【点睛】
本题考查了比例线段，根据比例的性质能够灵活对一个比例式进行变形．
22．如图，线段，点是线段的黄金分割点(且)，点是线段的黄金分割点（），点是线段的黄金分割点依此类推，则线段的长度是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
根据把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，它们的比值叫做黄金比进行解答即可．
【详解】
解：根据黄金比的比值，，
则，
…
依此类推，则线段，
故选C．
【点睛】
本题考查的是黄金分割的知识，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键．
23．下列各组线段的长度成比例的是（
）
A．2cm，4cm，6cm，8cm
B．10cm，20cm，30cm，40cm
C．2.2cm，3.3cm，5cm，8cm
D．20cm，30cm，60cm，40cm
【答案】D
【分析】
根据如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段，对每一项进行分析即可．
【详解】
解：A、2×8≠4×6，故本选项错误；
B、10×40≠20×30，故选项错误；
C、2.2×8≠3.3×5，故选项错误；
D、20×60=30×40，故本选项正确．
故选：D．
【点睛】
此题考查了比例线段，用到的知识点是成比例线段的概念，注意在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等．
24．下列命题判断正确的有（
）
①如果线段是线段，，的第四比例项，那么；
②如果点是线段的中点，那么；
③如果点是线段的黄金分割点，且，那么是与的比例中项．
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
【答案】C
【分析】
根据比例中项和黄金分割的概念分析即可．
【详解】
①根据第四比例项的概念，可知说法正确；
②如果点C是线段AB的中点，，所以
，说法错误；
③如果点
C
是线段
AB
的黄金分割点，且
AC>BC
，那么AC是AB与BC的比例中项，说法正确．
故选：C．
【点睛】
本题考察比例中项、黄金分割知识，解题关键是掌握黄金分割的定义．
25．已知线段AB=2，P是线段AB的黄金分割点，AP>PB，那么线段AP的长度等于（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
根据黄金分割点的定义，知AP是较长线段；则AP＝AB，代入数据即可得出AP的长．
【详解】
解：∵线段AB的长为2，点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞PB；
∴AP＝2×＝
．
故选：B．
【点睛】
本题考查了黄金分割点的概念．解题的关键是掌握黄金分割的公式：较短的线段＝原线段的，较长的线段＝原线段的．21cnjy.com
26．若，则下列不正确是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
根据比例设x＝2k，y＝3k，然后对各选项分析判断利用排除法求解．
【详解】
解：∵，
∴设x＝2k，y＝3k，
A、，故本选项结论正确；
B、，故本选项结论正确；
C、，故本选项结论错误；
D、，故本选项结论正确．
故选：C．
【点睛】
本题考查了比例的性质，利用“设k法”表示出x、y求解是解题的关键．
27．已知C是线段AB的黄金分割点，AC＜BC，若AB=2，则AC等于（ ）
A．﹣1
B．
C．3﹣
D．
【答案】C
【分析】
根据黄金分割点的定义，知AC是较短线段，由黄金分割的公式：较长的线段=原线段的倍，计算即可．
【详解】
解：∵线段AB=2，点C是AB黄金分割点，AC＜BC，
∴BC=2×=
∴AC=AB-BC=2-(-1)=3-；
故选：C．
【点睛】
本题考查了黄金分割，应该识记黄金分割的公式：较短的线段=原线段的倍，较长的线段=原线段的倍．
28．著名画家达·芬奇用三个正方形和三个全等的直角三角形拼成如下图形证明了勾股定理，其中，，连结，得到4个全等的四边形，四边形，四边形，四边形．分别交，于点M，N，若，且，则的长为（
）2·1·c·n·j·y
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
过点C作CP⊥DE于点P，交AB于点K，设BC=a，AC=b，进而可得，则有，然后可得，则有，最后可得，则问题可求解．21世纪教育网版权所有
【详解】
解：过点C作CP⊥DE于点P，交AB于点K，如图所示：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵四边形，四边形，四边形，四边形都是全等的，
∴，
∵，，，
∴，
易得CM=NJ，
∵，
∴，
∵AB∥ED，
∴，
∵，
∴，
∴，
设BC=a，AC=b，则，
∴，
由等积法可得，
∴，
由勾股定理可得，
∴，
∴；
故选D．
【点睛】
本题主要考查正方形的性质、勾股定理及线段的比，熟练掌握正方形的性质、勾股定理及线段的比是解题的关键．21·cn·jy·com
29．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（，称为黄金分割比例），如图，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为，头顶至脖子下端的长度为，则其身高可能是（
）【来源：21cnj
y.co
m】
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
设某人身高为mcm，脖子下端至肚脐的长度为ncm，由腿长为105cm，可得，解得，根据得到，由此得到答案.
【详解】
解：设某人身高为mcm，脖子下端至肚脐的长度为ncm，则由腿长为105cm，可得，解得.
由头顶至脖子下端的长度为26cm，
可得，
解得.
由已知可得，
解得.
综上，此人身高m满足.
所以其身高可能为175cm.
故选：B
【点睛】
此题考查比例的性质，根据题意设定未知数后得到对应成比例的线段，由此解答问题是解答此题的关键.
30．如图，在正方形中，点是对角线的中点，是线段上的动点（不与点，重合），交于点，于点．则对于下列结论：①；②；③；④，其中错误结论的个数是（
）21
cnjy
com
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】B
【分析】
连接PD，证明△PBC≌△PDC得出∠PBC
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)=∠PDE，PB=PD，证出∠PDE=∠PED，得出PD=PE，因此PE=PB，①正确；由等腰三角形的性质得出DF=EF，②正确；
作PH⊥AD于点H，则得出，即，得出，③正确；证出PF∥AD，得出，由DF≠CE得出，④错误；即可得出结论．
【详解】
连接PD，如图1所示：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=DC，∠BCP=∠DCP，
在△PBC和△PDC中，，
∴△PBC≌△PDC（SAS）
∴∠PBC=∠PDE，PB=PD，
∵PB⊥PE，∠BCD=90°，
∴∠PBC+∠PEC=360°-∠BPE-∠BCE=180°
∵∠PEC+∠PED=180°，
∴∠PBC=∠PED，
∴∠PDE=∠PED，
∴PD=PE，
∴PE=PB，①正确；
∵PD=PE，PF⊥CD，
∴DF=EF，②正确；
作PH⊥AD于点H，如图2所示：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
则
∴，即，
∴，③正确；
∵PF⊥CD，AD⊥CD，
∴PF∥AD，
∴，
∵DF≠CE，
∴，④错误；
错误结论的个数有1个；
故答案为：B．
【点睛】
本题是四边形的综合题目，考查了全等三角形的性质和判定、正方形的性质、等腰三角形的判定与性质等知识；解题的关键是掌握本题的辅助线的作法．
二、填空题
31．大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”（黄金比为）．如图，P为的黄金分割点（），如果的长度为，那么较长线段的长度为_______．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】6.18
【分析】
根据黄金分割点的意义计算即可
【详解】
如图，∵P为的黄金分割点（），且=，
∴AP：AB=，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∴AP=0.618×10=6.18（cm），
故答案为：6．18．
【点睛】
本题考查了黄金分割点的基本定义，准确理解定义，根据定义列式计算是解题的关键．
32．若≠0，则＝__．
【答案】
【分析】
设＝k，可得a＝2k，b＝3k，c＝4k，再代入求值即可得到答案．
【详解】
设＝k，则a＝2k，b＝3k，c＝4k，
∴＝＝＝．
故答案为：
【点睛】
本题考查了比例的性质、代数式求值，熟练掌握比例的性质，巧妙设参是解题关键．
33．如图是著名画家达芬奇的名画《蒙娜丽莎》．画中的脸部被包在矩形内，点E是的黄金分割点，，若，则长为_________．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】
【分析】
直接根据黄金分割的定义求解．
【详解】
∵点E是的黄金分割点，，且，
∴BE==,
故答案为：．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
本题考查了黄金分割点，熟练掌握黄金分割点的数量关系式是解题的关键．
34．已知点C是线段的黄金分割点，且，则_______．
【答案】
【分析】
利用黄金分割点的概念进行解答即可．
【详解】
解：∵点C是线段AB的黄金分制点，且AC>BC
∴
∴BC=AB-AC=2-()=．
故填：．
【点睛】
本题主要考查了黄金分割点的定义，即：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项．www.21-cn-jy.com
35．“黄金分割”被视为最美丽的几何学比率
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，在建筑、艺术和日常生活中处处可见．如图，D、E是△ABC中边BC的两个“黄金分割”点，则△ADE与△ABC的面积之比是_____．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】﹣2
【分析】
过A作AH⊥BC于H，先由黄金分割点的定义得BE=CD=BC，然后表示出BD、DE的长，再由三角形面积公式求解即可．
【详解】
解：过A作AH⊥BC于H，如图所示：
∵D、E是边BC的两个“黄金分割”点，
∴BE＝CD＝BC，
∴BD＝BC﹣CD＝BC﹣BC＝BC，
∴DE＝BE﹣BD＝BC﹣BC＝(﹣2)AB，
∴△ADE与△ABC的面积之比＝＝＝＝﹣2，
故答案为：﹣2．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC=AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中AC=AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．
三、解答题
36．如图1所示，点C把线段分成与，若，则称线段被点C黄金分割（goldensection），点C叫做线段的黄金分割点，与的比叫做黄金比．
（1）根据上述定义求黄金比；
（2）在图2中，利用尺规按以下步骤作图，井保留作图痕迹．①作线段的垂直平分线，得线段的中点M；②过点B作垂线l；③以点B为圆心，以为半径作圆交l于N；④连接、，以N为圆心，以为半径作圆交于P；⑤以点A为圆心，以为半径作圆交于C．
（3）证明你按以上步骤作出的C点就是线段的黄金分割点．
【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析
【分析】
（1）设AB=a，AC=x，根据黄金分割的
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)概念列出比例式，得到一元二次方程，解方程得到答案．
（2）根据要求作出图形即可．
（3）设AB=a，根据题意表示出BN、NP，根据勾股定理求出AN，求出AC与AB的比值，根据黄金比值进行判断即可．
【详解】
解：（1）如图，设，，．
由，得．∴，
即，
解这个方程，得，（不合题意，舍去）．
所以，黄金比．
（2）（1）如图所示．
①作线段的垂直平分线，得线段的中点M；
②过点B作垂线l；
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
方法2：如图所示，用圆规过点B作垂线l．
③以点B为圆心，以为半径作圆交l于N；
④连接、，以N为圆心，以为半径作圆交于P；
⑤以点A为圆心，以为半径作圆交于C．
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（2）证明：设，由以上作法可知，，
在中，，
∴．
∴，所以点C是线段的黄金分割点．
【点睛】
本题考查了作图-复杂作图，黄金分割等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
37．有三张完全相同的不透明卡片，小明在其正面各写上一组线段的长度，并分别标注序号①，②，③，如图所示，然后将这三张卡片背面朝上洗匀．【版权所有：21教育】
（1）若从中随机抽取一张，则抽到一张成比例线段卡片的概率是
；
（2）若从中随机抽取一张，记下序号后放回，再随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到两张成比例线段卡片的概率．
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【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）先根据成比例线段的定义判断①③卡片中的线段成比例，然后根据概率公式求解；
（2）画树状图展示所有9种等可能的结果，找出恰好抽到两张成比例线段卡片的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】
解：（1）∵1：1＝2：2，1：2≠3：4，2：2＝3：3，
∴成比例线段的卡片为①③，
∴抽到一张成比例线段卡片的概率是；
故答案为：；
（2）画树状图为：
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共有9种等可能的结果，其中恰好抽到两张成比例线段卡片的结果数为4，
所以恰好抽到两张成比例线段卡片的概率P＝．
【点睛】
本题主要考查了概率的计算方法，掌握成比例线段的定义及利用列表或树状图法计算概率是解题的关键．
38．已知线段x、y满足求的值．
【答案】．
【分析】
利用比例性质化比例式化为整式，再移项两边同除以y2，化为，然后解一元二次方程，即可求解．
【详解】
解：，
．
∵，∴，∴．
∵x、y表示线段，
∴负值不符合题意，
∴．
【点睛】
本题考查比例的性质、解一元二次方程，利用整体换元的思想方法解方程是解答的关键，注意x、y的非负性．
39．已知，x：y：z＝2：3：4，求：
（1）的值；
（2）若x+y+z＝18，求x，y，z．
【答案】（1）；（2）x＝4，y＝6，z＝8．
【分析】
（1）根据比例设x=2k，y=3k，z=4
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)k，然后代入比例式进行计算即可得解．
（2）根据比例设x=2k，y=3k，z=4k，然后代入等式进行计算即可得到k的值，进而得出x，y，z的值．
【详解】
解：（1）设x＝2k，y＝3k，z＝4k，则
＝＝；
（2）设x＝2k，y＝3k，z＝4k，
∵x+y+z＝18，
∴2k+3k+4k＝18，
解得k＝2，
∴x＝4，y＝6，z＝8．
【点睛】
本题考查了比例的性质，利用“设k法”表示出x、y、z可以使运算更加简便．
40．已知，2x＝3y＝5z，求的值．
【答案】
【分析】
设，则，
，，代入代数式化简计算即可．
【详解】
解：设，
则，，
，
∴．
【点睛】
本题考察比例的基本性质，利用设k法是解题的关键．
41．已知，且，求的值
【答案】，，．
【分析】
根据比的性质，可得a，b，c用k表示，根据解方程，可得k的值，即可得答案．
【详解】
∵，，
∴设，，，
∴，整理得：，
解得：，
∴，，．
【点睛】
本题考查了比例的性质，利用比例的性质得出，，是解题关键．
42．如图，设线段AC＝1.
（1）过点C画CD⊥AC，使CDAC；连接AD，以点D为圆心，DC的长为半径画弧，交AD于点E；以点A为圆心，AE的长为半径画弧，交AC于点B．
（2）在所画图中，点B是线段AC的黄金分割点吗？为什么？
【答案】（1）作图见解析；（2）是，理由见解析
【分析】
（1）根据几何语言画出对应的几何图形；
（2）设AC＝1，则DE＝DC，利用勾股定理得到AD，所以AE，则AB，然后利用黄金分割的定义可判断点B是线段AC的黄金分割点．
【详解】
解：（1）如图，点B为所作；
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（2）点B是线段AC的黄金分割点．
理由如下：设AC＝1，则CD，
∴DE＝DC，
∵AD=，
∴AE＝AD﹣DE，
∴AB，
BC，
即，
∴点B是线段AC的黄金分割点．
【点评】
本题考查了黄金分割：把线段AB分成两
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．求出线段长是解决问题的关键
43．如图，用纸折出黄金分割点：裁一
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)张边长为2的正方形纸片ABCD，先折出BC的中点E，再折出线段AE，然后通过折叠使EB落在线段EA上，折出点B的新位置F，因而EF＝EB．类似的，在AB上折出点M使AM＝AF．则M是AB的黄金分割点吗？若是请你证明，若不是请说明理由．
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【答案】是，证明见解析
【分析】
设正方形ABCD的边长为2，根据勾股定理求出AE的长，再根据E为BC的中点和翻折不变性，求出AM的长，二者相比即可得到黄金比．
【详解】
解：M是AB的黄金分割点，理由如下：
∵正方形ABCD的边长为2，E为BC的中点，
∴BE＝1
∴AE，
∵EF＝BE＝1，
∴AF＝AE﹣EF1，
∴AM＝AF1，
∴AM：AB＝（1）：2，
∴点M是线段AB的黄金分割点．
【点评】
本题考查了黄金分割的应用，知道黄金比并能求出黄金比是解题的关键，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（）叫做黄金比．
44．（1）已知线段是线段、的比例中项，如果，，求的长度．
（2）已知，求的值．
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）根据线段比例中项的定义即可得；
（2）根据已知比例式、平方差公式、算术平方根求解即可得．
【详解】
（1）由题意得：，即，
将代入得：，
解得；
（2）由得：，
整理得：，即，
解得．
【点睛】
本题考查了比例线段、平方差公式、算术平方根等知识点，熟练掌握比例线段的定义是解题关键．
45．已知，且，求的值．
【答案】15．
【分析】
先根据比例式设，再根据求出k的值，从而可得的值，然后代入求值即可得．
【详解】
由题意设，
，
，
解得，
，
，
，
．
【点睛】
本题考查了比例的性质的应用、解一元一次方程、代数式求值，熟练掌握“设法”是解题关键．
46．若a：b=1：2，求（a+b）：a的值．
【答案】3
【分析】
直接利用已知条件得到b=2a，进而代入求出答案．
【详解】
解：∵a：b=1：2，
∴b=2a，
∴（a+b）：a=（a+2a）：a=3．
【点睛】
此题主要考查了比例的性质，正确将已知变形是解题关键．
47．已知，求的值．
【答案】-1
【分析】
设a=2k，b=3k，再代入比例式计算即可得解．
【详解】
解：∵，
∴设a=2k，b=3k，
∴===-1．
【点睛】
本题考查了比例的性质，利用“设k法”求解更简便．
48．已知，且．
（1）求的值．
（2）若，是方程的两根，求的值．
【答案】（1）3；（2）7
【分析】
（1）根据比例线段的性质得出，，，再代入要求的式子，然后进行解答即可；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系求得，，利用完全平方公式变形，再代入计算即可求解．
【详解】
（1），
∴，，，
∴；
（2）∵，
∴一元二次方程为，
∵，，，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根式，
∵，是方程的两根，
∴，，
∴．
【点睛】
本题考查了比例的性质，一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，完全平方公式，关键是熟知一元二次方程根与系数的关系：，【来源：21·世纪·教育·网】
49．已知a：b：c＝2：3：5，如果3a－b+c＝24，求a，b，c的值．
【答案】a＝6，b＝9，c＝15
【分析】
先设a=2k，b=3k，c=5k（k≠0），然后将其代入3a-b+c=24，即可求得a、b、c的值．
【详解】
设a=2k，b=3k，c=5k（k≠0），则
6k-3k+5k=24，
解得k=3．
则a=2k=6，
b=3k=9，
c=5k=15．21教育名师原创作品
【点睛】
本题考查了比例的性质，利用“设k法”求解更简便．
50．如图，在中，是的中点，是边延长线上的点，连结交于点．求证：．
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【答案】见解析
【分析】
过点作交于，根据平行线分线段成比例定理和中点的性质得到，，利用等量代换得到答案．
【详解】
证明：过点作交于，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∴，
∵是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】
本题考查的是平行线分线段成比例定理，正确作出辅助线、灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
51．已知a，b，c是△ABC的三边，满足，且．
（1）求a，b，c的值．
（2）若线段x是线段a、b的比例中项，求x．
【答案】（1），，；（2）
【分析】
根据，且，根据比例的性质可得a，b，c的值；
（2）根据比例中项的性质求解即可．
【详解】
解：（1）∵，且，
∴，
∴，，，
∴，，，
（2）∵线段x是线段a、b的比例中项，
∴，
∴，
【点睛】
本题考查了比例的性质和比例中项，熟悉相关性质是解题的关键．
52．若P在线段AB上，点Q在AB的延长线上，，且，求PQ的长．
【答案】24
【分析】
根据＝，分别求出BP，BQ的长，两者相加即可求出PQ的长.
【详解】
设AP＝3x，BP＝2x，
∵AB＝10，∴AB＝AP＋BP＝3x＋2x＝5x，即5x＝10，
∴x＝1，∴AP＝6，BP＝4.
∵＝，∴可设BQ＝y，则AQ＝AB＋BQ＝10＋y，
∴，
解得y＝20，
∴PQ＝PB＋BQ＝4＋20＝24.
【点睛】
本题考查了比例线段、两点间的距离等知识，运用好线段之间的比例关系是解答本题的关键．
53．（1）已知，求的值；
（2）已知点是线段的黄金分割点，且，，求的长度
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）先得出，再代值约分即得．
（2）根据黄金分割短线段与整条线段比值为即得．
【详解】
（1）∵
∴
∴
（2）∵点是线段的黄金分割点，且，
∴
∴
∴
【点睛】
本题考查分式求值、黄金分割，应用转化思想将不同字母转化为相同字母表示是约分求值的技巧，黄金分割长线段比全线段的比值为．21教育网
54．如果，试求k的值.
【答案】k的值为或-1.
【分析】
根据已知条件得a=（b+c
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)+d）k①，b=（a+c+d）k②，c=（a+b+d）k③，d=（a+b+c）k④，将①②③④相加，分a+b+c+d=0与不等于0两种情况讨论，所以k有两个解．
【详解】
由题意知：a＝（b＋c＋d）k，b＝（a＋c＋d）k，c＝（a＋b＋d）k，d＝（a＋b＋c）k，
故a＋b＋c＋d＝3（a＋b＋c＋d）k，当a＋b＋c＋d时，，
当a＋b＋c＋d＝0时，b＋c＋d＝－a，所以k＝－1，
故k的值为或-1.
【点睛】
本题考查了分式的混合运算，以及分式的基本性质，比较简单要熟练掌握．
55．如图，以长为2的线段AB为边作正
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)方形ABCD，取AB的中点P，连接PD，在BA的延长线上取点F，使PF＝PD，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上．
（1）求AM，DM的长；
（2）求证：AM2＝AD·DM；
（3）根据（2）的结论你能找出图中的一个黄金分割点吗？
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【答案】（1）－1，3－；（2）证明见解析；（3）图中的点M为线段AD的黄金分割点
【分析】
（1）由勾股定理求PD，根据AM=AF=PF-PA=PD-PA，DM=AD-AM求解；
（2）由（1）计算的数据进行证明；
（3）根据（2）的结论得：，根据黄金分割点的概念，则点M是AD的黄金分割点．
【详解】
解：（1）∵P为边AB的中点，
∴AP＝AB＝1，
∴PD＝＝＝，
∴PF＝PD＝，从而AF＝PF－AP＝－1，∴AM＝AF＝－1，
∴DM＝AD－AM＝3－．
（2）证明：∵AM2＝(－1)2＝6－2，
AD·DM＝2(3－)＝6－2，
∴AM2＝AD·DM．
（3）图中的点M为线段AD的黄金分割点．理由如下：
∵AM2=AD?DM，
∴，
∴点M是AD的黄金分割点．
【点睛】
此题综合考查了正方形的性质、勾股定理和黄金
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)分割的概念．先求得线段AM，DM的长，然后求得线段AM和AD，DM和AM之间的比，根据黄金分割的概念进行判断．
56．已知：如图
（1）如果，那么吗？为什么？
（2）如果，那么吗？为什么？
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】（1），见解析；（2），见解析
【分析】
（1）由已知可得＝，再根据比例的合比性质可得＝，进而可得结论；
（2）由已知可得＝，再根据比例的合比性质可得＝，从而可得结论．
【详解】
解：(1)＝．理由：
∵，
∴＝，
∴＝，即＝，
∴＝．
(2)
．理由：
∵，
∴＝，
∴＝，即＝，
∴．
【点睛】
本题考查了比例的性质，属于常考题型，熟练掌握比例的性质是关键．
57．材料一：北师大版数学教材九年级上册第四章，对“黄金分割比”的定义如下：
“如图，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果＝，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，＝叫做黄金比.”根据定义不难发现，在线段AB另有一点D把线段AB分成两条线段AD和BD，满足＝，所以点D也是线段AB的黄金分割点．
材料二：对于实数：a1＜a2＜a3＜a4，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)如果满足（a3﹣a1）2＝（a4﹣a3）（a4﹣a1），（a4﹣a2）2＝（a2﹣a1）（a4﹣a1）则称a3为a1，a4的黄金数，a2为a1，a4的白银数．
请根据以上材料，回答下列问题
（1）如图，若AB＝4，点C和点D是线段AB的黄金分割点，则AC＝ ，CD＝ ．
（2）实数0＜a＜b＜1，且b为0，1的黄金数，a为0，1的白银数，求b﹣a的值．
（3）实数k＜n＜m＜t，t＝2|k|，m，n分别为k，t的黄金数和白银数，求的值．
【答案】（1）2﹣2，4﹣8；（2）b﹣a＝﹣2；（3）的值是或
【分析】
（1）根据黄金分割的定义分别计算AC和BD的长，可得CD的长；
（2）根据黄金数和白银数的定义分别列式，得关于a和b的一元二次方程，解出代入b﹣a可得结论；
（3）对于t＝2|2k|分两种情况讨论
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)：对于m，n分别为k，t的黄金数和白银数，根据定义列两个等式，将t＝2k和t＝﹣2k代入分别解方程可得结论．
【详解】
解：（1）∵AB＝4，点C和点D是线段AB的黄金分割点，
∴AC＝BD＝AB＝×4＝2﹣2，
∴DC＝AC+BD﹣AB＝2（2﹣2）﹣4＝4﹣8；
故答案为：2﹣2，4﹣8；
（2）∵b为0，1的黄金数，且实数0＜b＜1，
∴（b﹣0）2＝（1﹣b）（1﹣0），
b2+b﹣1＝0，
b1＝＜0（舍），b2＝＞0，
∵a为0，1的白银数，且实数0＜a＜1，
∴（1﹣a）2＝（a﹣0）（1﹣0），
a2﹣3a+1＝0，
a1＝＞1（舍），a2＝＜1，
∴b﹣a＝﹣＝﹣2；
（3）∵m，n分别为k，t的黄金数和白银数，实数k＜n＜m＜t，
∴
分两种情况：
i）当k≥0时，t＝2k，
由①得：（m﹣k）2＝（2k﹣m）（2k﹣k），
m2﹣km﹣k2＝0，
m＝k；
由②得：（2k﹣n）2＝（n﹣k）（2k﹣k），
n2﹣5kn+5k2＝0，
n＝k，
∵k＜n＜m＜t，
∴m＝k，n＝k
∴＝＝＝；
ii）当k＜0时，t＝﹣2k，
由①得：（m﹣k）2＝（﹣2k﹣m）（﹣2k﹣k），
m2﹣5km﹣5k2＝0，
m＝k；
由②得：（﹣2k﹣n）2＝（n﹣k）（﹣2k﹣k），
n2+7kn+k2＝0，
n＝k＞0，
∵k＜n＜m＜t，
∴m＞0，
∴m＝k，n＝k，
∴
＝＝＝；
综上，的值是或．
【点睛】
本题考查了新定义的理解和掌握：黄金分割、黄金数，白银数，分类讨论的思想；把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中AC＝AB，并且线段AB的黄金分割点有两个，第三问与方程相结合解决问题．
58．在△ABC中，AB＝AC＝6，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，E为线段AD上的一点，AE：DE＝2：1，以AE为直角边在直线AD右侧构造等腰Rt△AEF，使∠EAF＝90°，连接CE，G为CE的中点．
（1）如图1，EF与AC交于点H，连接GH，求线段GH的长度．
（2）如图2，将△AEF绕点A逆时
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)针旋转，旋转角为α且45°＜α＜135°，H为线段EF的中点，连接DG，HG，猜想∠DGH的大小是否为定值，并证明你的结论；
（3）如图3，连接BG，将△AEF绕点A逆时针旋转，在旋转过程中，请直接写出BG长度的最大值．
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【答案】（1）；（2）是，证明见解析；（3）
【分析】
（1）如图1中，连接BE，CF．由AB＝AC＝6，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，可求
AD＝BD＝DC＝6，由△AEF是等腰直角三角形，
AE：DE＝2：1，可求AE＝4，DE＝2，可证△BAE≌△CAF（SAS），由中位线GH＝CF＝．
（2）理由：连接BE，CF，设CF交BE
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)于点O，BE交AC于J．由AB＝AC，AE＝AF，∠BAC＝∠EAF＝90°，可证△BAE≌△CAF（SAS），可得CF⊥BE，可证GH∥CF，DG∥BE，可得DG⊥GH，
（3）如图3中，取AC的中点J，连接BJ，JG．由题意AJ＝JC＝3，AB＝6，由勾股定理BJ＝＝3，由三边关系BG≤BJ+JG，BG≤3+2即可
【详解】
解：（1）如图1中，连接BE，CF．
∵AB＝AC＝6，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，
∴BC＝＝12，BD＝CD＝6，
∴AD＝BD＝DC＝6，
∴∠DAB=∠DAC=45°，
∵△AEF是等腰直角三角形，
∴AE＝AF
∵∠DAH＝45°，
∴∠FAH=90°-∠DAH＝45°，
∴EH＝HF，
∵AE：DE＝2：1，AE+DE=6，
∴AE＝4，DE＝2，
∴BE＝，
∵AB＝AC，AE＝AF，∠BAC＝∠EAF＝90°，
∴∠BAC-∠CAE=∠EAF-∠CAE,
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∴∠BAE＝∠CAF，
∴△BAE≌△CAF（SAS），
∴CF＝BE＝2，
∵EG＝CG，EH＝FH，
∴GH＝CF＝．
（2）结论：∠DGH＝90°是定值．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
理由：连接BE，CF，设CF交BE于点O，BE交AC于J．
∵AB＝AC，AE＝AF，∠BAC＝∠EAF＝90°，
∴∠BAC+∠CAE=∠EAF+∠CAE,
∴∠BAE＝∠CAF，
∴△BAE≌△CAF（SAS），
∴∠ABE＝∠ACF，
∵∠AJB＝∠CJO，
∴∠COJ＝∠BAJ＝90°，
∴CF⊥BE，
∵EH＝HF，EG＝GC，
∴GH∥CF，
∵CD＝DB，CG＝GE，
∴DG∥BE，
∴DG⊥GH，
∴∠DGH＝90°．
（3）如图3中，取AC的中点J，连接BJ，JG．
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由题意AJ＝JC＝3，AB＝6，
∵∠BAJ＝90°，
∴BJ＝＝3，
∵AJ＝JC，EG＝CG，
∴JG＝AE＝2，
∵BG≤BJ+JG，
∴BG≤3+2，
∴BG的最大值为3+2．
【点睛】
本题考查等腰直角三角形性质
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，图形旋转变换，线段比例，中位线性质，三角形全等判定与性质，勾股定理，三角形三边关系，掌握等腰直角三角形性质，图形旋转变换，线段比例，中位线性质，三角形全等判定与性质，勾股定理，三角形三边关系，利用辅助线准确构图是解题关键．
59．如图，点A坐标是(0，0
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?))，点C坐标是(2，2)，现有E、F两点分别从点D(0，2)和点B(2，0)向下和向右以每秒一个单位速度移动，Q为EF中点．设运动时间为t．
（1）在运动过程中始终与线段EC相等的线段是
；四边形CEAF面积＝
．
（2）当t＝1秒时，求线段CQ的长．
（3）过点B作BP平行于
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)CF交EC于点P．当t＝
时，线段AP最短，此时作直线EP与x轴交于点K，试证明，点K是线段AB的黄金分割点．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】（1）FC，4；（2）；（3）t＝（+1）s，见解析
【分析】
（1）连接CD、CB，则四边形ABCD是正方形，CD＝CB＝2，证△CDE≌△CBF（SAS），得EC＝FC，即可解决问题；
（2）先由全等三角形的性质得EC＝FC，∠D
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)CE＝∠BCF，再证△ECF是等腰直角三角形，当t＝1时，DE＝1，然后由勾股定理和直角三角形斜边上的中线性质求解即可；
（3）证∠BPC＝90°，则点P的轨迹在以BC为直径的圆弧上，设BC的中点为G，连接AG，当点P在AG上时，AP最短，此时，PG＝BG＝1，再求出E（0，1﹣），t＝（+1）s，然后由待定系数法求出CE的解析式，即可解决问题．
【详解】
解：（1）连接CD、CB，如图1所示：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵A（0，0）、C（2，2）、D（0，2）、B（2，0），
∴CD＝CB＝AB=AD=2，
∴四边形DABC是菱形
又
∴四边形ABCD是正方形，
∵E、F两点分别从点D和点B向下和向右以每秒一个单位速度移动，
∴DE＝BF，
∵∠CDE＝∠CBF＝90°，
∴△CDE≌△CBF（SAS），
∴EC＝FC，
S四边形CEAF＝S四边形CEAB+S△CBF＝S四边形CEAB+S△CDE＝S正方形ABCD＝CB?CD＝2×2＝4，
故答案为：FC，4；
（2）∵△CDE≌△CBF，
∴EC＝FC，∠DCE＝∠BCF，
∵∠DCE+∠ECB＝90°，
∴∠BCF+∠ECB＝90°，即∠ECF＝90°，
∴△ECF是等腰直角三角形，
当t＝1时，DE＝1，
在Rt△CDE中，由勾股定理得：CE＝＝＝，
∴EF＝CE＝×＝，
∵Q为EF中点，
∴CQ＝EF＝＝；
（3）∵BP∥CF，∠ECF＝90°，
∴∠BPC＝90°，
∴点P的轨迹在以BC为直径的圆弧上，
设BC的中点为G，连接AG，如图2所示：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
当点P在AG上时，AP最短，
此时，PG＝BG＝1，
在Rt△ABG中，由勾股定理得AG＝＝＝，
∴AP＝AG﹣PG＝﹣1，
∵BC∥DE，
∴∠AEP＝∠GCP，
∵GC＝GP，
∴∠GCP＝∠GPC，
∵∠GPC＝∠APE，
∴∠AEP＝∠APE，
∴AP＝AE＝﹣1，
∴E（0，1﹣），
∴DE＝2﹣（1﹣）＝+1，
∴t＝（+1）s，
故答案为：（+1）s；
设CE的解析式为：y＝kx+b（k≠0），
将C（2，2）、E（0，1﹣）代入解析式得：，
解得：，
∴CE的解析式为：y＝x+1﹣，
令y＝0，x＝3﹣，
∴K（3﹣，0），
∴BK＝2﹣（3﹣）＝﹣1，
∴＝，
∴点K是线段AB的黄金分割点．
【点睛】
本题是四边形综合题目，考查了正方
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、坐标与图形性质、等腰三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、点的轨迹、待定系数法求直线的解析式、勾股定理、黄金分割等知识；本题综合性强，有一定难度，熟练掌握正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质是解题的关键．
60．材料1：在设计人体雕塑时，存在一个分隔点，使雕塑的上部（腰以上）与下部（腰以下）之比，等于下部与全部（全身）之比，可以增加视觉美观，数学上把这个点叫“黄金分割点”．
为了研究这个点，我们在线段AB上取点C（如图1），点C把AB分成AC和CB两段，其中BC是较小的一段，现要使即可．为了简便起见，设AB=1，AC=x，则CB=1-x，代入，即，也即x2+x-1=0，解之得，．所以=，人们把这个数叫黄金分割数，点C叫“黄金分割点”．
材料2：由线段的黄金分割点联想到图形的“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成面积为S1和面积为S2的两部分（设S1＜S2），如果，那么称直线l为该图形的“黄金分割线”．
（1）如图2，点C是线段AB的黄金分割点（AC>CB），取线段AB的中点O，作点C关于点O的对称点，则；继续取线段AC的中点，作点关于点的对称点，试猜想点是否线段A的黄金分割点，若是，请证明，若不是，请说明理由；
（2）如图3，在平面直角坐标系中，
A（-，0），B（1，0），C（4-，2），求△ABC中经过点C的“黄金分割线”解析式．
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【答案】（1）
，点是线段A的黄金分割点，理由详见解析；（2）
【分析】
（1），根据中点及对称点的性质得到A=BC，再根据线段成比例证得点是否线段A的黄金分割点；
（2）过点C作CH⊥x轴于点H，分两种情况：①当＞时，②当＜时，分别证明点D是线段AB的黄金分割点，由此求出解析式.
【详解】
（1）
点是线段A的黄金分割点，理由如下：
∵OC=O，
∴AO
-
O=BO-OC，
∴A=BC，
∵=，
∴=，
∴点是AC的黄金分割点，
∴
，
同理可得
∴
∴是线段A的黄金分割点
（2）设直线CD是△ABC的黄金分割线，点D的坐标为（x,0），直线CD的解析式为：，
过点C作CH⊥x轴于点H，
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，，，
①当＞时，
∵直线CD是△ABC的黄金分割线，
∴，
∴，
∴点D是线段AB的黄金分割点，
∴=，，
解之得，x=2-
，
∵直线经过D（2-，0），C（4-，2），
∴，
解之得，，
∴；
②当＜时，
∵直线CD是△ABC的黄金分割线，
∴，
∴，
∴点D是线段AB的黄金分割点，
∴=，=，
解之得，，
∵直线经过C（4-，2），D（-1,0），
∴，
解之得，
，
∴.
【点睛】
此题考查线段的中点，对称点的性质，待定系数法求函数解析式，黄金分割的性质，解题中注意分类讨论的思想，避免漏解.
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精品试卷·第
2
页
（共
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第01讲
成比例线段
【提升训练】
一、单选题
1．若，且，则的值是（
）
A．2
B．4
C．6
D．8
2．如果(其中，)，那么下列式子中不正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
3．下列结论不一定成立的是（
）
A．如果，那么
B．如果，那么
C．如果，（），那么
D．如果，那么
4．已知，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
5．四巧板是一种类似七巧板的传统智力玩具，它是由一个长方形按如图1分割而成，这几个多边形的内角除了有直角外，还有角．小明发现可以将四巧板拼搭成如图2的字形和字形，那么字形图中高与宽的比值为（
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A．
B．
C．
D．
6．若，则中的值为（
）
A．
B．
C．
D．
7．在比例尺是1﹕10000的贺州市城区地图上，向阳路的长度约为10cm，它的实际长度约为（
）．
A．1000m
B．1000cm
C．100m
D．100cm
8．若，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．2
9．若点为线段的黄金分割点，且，则下列各式中不正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
10．古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G将一线段MN分为两线段MG、GN，使得其中较长的一段MG是全长MN与较短的一段GN的比例中项，即满足，后人把这个数称为“黄金分割数”，把点G称为线段MN的“黄金分割点”．如图，在△ABC中，已知AB＝AC＝3，BC＝4，若点D是边BC边上的一个“黄金分割点”，则△ADC的面积为（ ）www.21-cn-jy.com
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A．
B．
C．
D．
11．点B是线段AC的黄金分割点，且ABBC．若AC=4，则BC的长为（
）
A．
B．
C．
D．
12．如图，乐器上的一根弦A
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)B＝80cm，两个端点A，B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则C，D之间的距离为（ ）21·世纪
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A．（40﹣40）cm
B．（80﹣40）cm
C．（120﹣40）cm
D．（80﹣160）cm
13．若2x＝5y，则的值是（ ）
A．
B．
C．
D．
14．某品牌汽车为了打造更加精美的外观，特
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)将汽车倒车镜设计为整个车身黄金分割点的位置（如图），若车头与倒车镜的水平距离为1.58米，则该车车身总长约为（
）米．2-1-c-n-j-y
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A．4.14
B．2.56
C．6.70
D．3.82
15．若三条线段a、b、c的长满足，则将这三条线段首尾顺次相连（ ）
A．能围成锐角三角形
B．能围成直角三角形
C．能围成钝角三角形
D．不能围成三角形
16．若，则的值是（
）
A．
B．
C．
D．4
17．若则（
）
A．
B．
C．
D．
18．已知点是线段的黄金分割点，，则的值为（
）
A．
B．
C．0.618
D．
19．已知点是线段的黄金分割点（），，那么的长约为（
）
A．0.618
B．1.382
C．1.236
D．0.764
20．点B把线段AC分成两部分，如果＝k，那么k的值为（
）
A．
B．
C．＋1
D．－1
21．若ad=bc，则下列不成立的是(
)
A．
B．
C．
D．
22．如图，线段，点是线段的黄金分割点(且)，点是线段的黄金分割点（），点是线段的黄金分割点依此类推，则线段的长度是（
）
A．
B．
C．
D．
23．下列各组线段的长度成比例的是（
）
A．2cm，4cm，6cm，8cm
B．10cm，20cm，30cm，40cm
C．2.2cm，3.3cm，5cm，8cm
D．20cm，30cm，60cm，40cm
24．下列命题判断正确的有（
）
①如果线段是线段，，的第四比例项，那么；
②如果点是线段的中点，那么；
③如果点是线段的黄金分割点，且，那么是与的比例中项．
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
25．已知线段AB=2，P是线段AB的黄金分割点，AP>PB，那么线段AP的长度等于（
）
A．
B．
C．
D．
26．若，则下列不正确是（
）
A．
B．
C．
D．
27．已知C是线段AB的黄金分割点，AC＜BC，若AB=2，则AC等于（ ）
A．﹣1
B．
C．3﹣
D．
28．著名画家达·芬奇用三个正方形和三个全等的直角三角形拼成如下图形证明了勾股定理，其中，，连结，得到4个全等的四边形，四边形，四边形，四边形．分别交，于点M，N，若，且，则的长为（
）21cnjy.com
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A．
B．
C．
D．
29．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（，称为黄金分割比例），如图，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为，头顶至脖子下端的长度为，则其身高可能是（
）21
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com
A．
B．
C．
D．
30．如图，在正方形中，点是对角线的中点，是线段上的动点（不与点，重合），交于点，于点．则对于下列结论：①；②；③；④，其中错误结论的个数是（
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A．0
B．1
C．2
D．3
二、填空题
31．大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”（黄金比为）．如图，P为的黄金分割点（），如果的长度为，那么较长线段的长度为_______．
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32．若≠0，则＝__．
33．如图是著名画家达芬奇的名画《蒙娜丽莎》．画中的脸部被包在矩形内，点E是的黄金分割点，，若，则长为_________．【出处：21教育名师】
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34．已知点C是线段的黄金分割点，且，则_______．
35．“黄金分割”被视为最美
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)丽的几何学比率，在建筑、艺术和日常生活中处处可见．如图，D、E是△ABC中边BC的两个“黄金分割”点，则△ADE与△ABC的面积之比是_____．【版权所有：21教育】
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三、解答题
36．如图1所示，点C把线段分成与，若，则称线段被点C黄金分割（goldensection），点C叫做线段的黄金分割点，与的比叫做黄金比．
（1）根据上述定义求黄金比；
（2）在图2中，利用尺规按以下步骤作图，井保留作图痕迹．①作线段的垂直平分线，得线段的中点M；②过点B作垂线l；③以点B为圆心，以为半径作圆交l于N；④连接、，以N为圆心，以为半径作圆交于P；⑤以点A为圆心，以为半径作圆交于C．
（3）证明你按以上步骤作出的C点就是线段的黄金分割点．
37．有三张完全相同的不透明卡片，小明在其正面各写上一组线段的长度，并分别标注序号①，②，③，如图所示，然后将这三张卡片背面朝上洗匀．21教育名师原创作品
（1）若从中随机抽取一张，则抽到一张成比例线段卡片的概率是
；
（2）若从中随机抽取一张，记下序号后放回，再随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到两张成比例线段卡片的概率．21
cnjy
com
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38．已知线段x、y满足求的值．
39．已知，x：y：z＝2：3：4，求：
（1）的值；
（2）若x+y+z＝18，求x，y，z．
40．已知，2x＝3y＝5z，求的值．
41．已知，且，求的值
42．如图，设线段AC＝1.
（1）过点C画CD⊥AC，使CDAC；连接AD，以点D为圆心，DC的长为半径画弧，交AD于点E；以点A为圆心，AE的长为半径画弧，交AC于点B．
（2）在所画图中，点B是线段AC的黄金分割点吗？为什么？
43．如图，用纸折出黄金分割点
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)：裁一张边长为2的正方形纸片ABCD，先折出BC的中点E，再折出线段AE，然后通过折叠使EB落在线段EA上，折出点B的新位置F，因而EF＝EB．类似的，在AB上折出点M使AM＝AF．则M是AB的黄金分割点吗？若是请你证明，若不是请说明理由．【来源：21·世纪·教育·网】
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44．（1）已知线段是线段、的比例中项，如果，，求的长度．
（2）已知，求的值．
45．已知，且，求的值．
46．若a：b=1：2，求（a+b）：a的值．
47．已知，求的值．
48．已知，且．
（1）求的值．
（2）若，是方程的两根，求的值．
49．已知a：b：c＝2：3：5，如果3a－b+c＝24，求a，b，c的值．
50．如图，在中，是的中点，是边延长线上的点，连结交于点．求证：．
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51．已知a，b，c是△ABC的三边，满足，且．
（1）求a，b，c的值．
（2）若线段x是线段a、b的比例中项，求x．
52．若P在线段AB上，点Q在AB的延长线上，，且，求PQ的长．
53．（1）已知，求的值；
（2）已知点是线段的黄金分割点，且，，求的长度
54．如果，试求k的值.
55．如图，以长为2的线段AB为边作
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)正方形ABCD，取AB的中点P，连接PD，在BA的延长线上取点F，使PF＝PD，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上．21世纪教育网版权所有
（1）求AM，DM的长；
（2）求证：AM2＝AD·DM；
（3）根据（2）的结论你能找出图中的一个黄金分割点吗？
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56．已知：如图
（1）如果，那么吗？为什么？
（2）如果，那么吗？为什么？
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57．材料一：北师大版数学教材九年级上册第四章，对“黄金分割比”的定义如下：
“如图，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果＝，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，＝叫做黄金比.”根据定义不难发现，在线段AB另有一点D把线段AB分成两条线段AD和BD，满足＝，所以点D也是线段AB的黄金分割点．www-2-1-cnjy-com
材料二：对于实数：a1＜a2＜a3
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)＜a4，如果满足（a3﹣a1）2＝（a4﹣a3）（a4﹣a1），（a4﹣a2）2＝（a2﹣a1）（a4﹣a1）则称a3为a1，a4的黄金数，a2为a1，a4的白银数．
请根据以上材料，回答下列问题
（1）如图，若AB＝4，点C和点D是线段AB的黄金分割点，则AC＝ ，CD＝ ．
（2）实数0＜a＜b＜1，且b为0，1的黄金数，a为0，1的白银数，求b﹣a的值．
（3）实数k＜n＜m＜t，t＝2|k|，m，n分别为k，t的黄金数和白银数，求的值．
58．在△ABC中，AB＝AC＝6，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，E为线段AD上的一点，AE：DE＝2：1，以AE为直角边在直线AD右侧构造等腰Rt△AEF，使∠EAF＝90°，连接CE，G为CE的中点．
（1）如图1，EF与AC交于点H，连接GH，求线段GH的长度．
（2）如图2，将△AEF绕点A逆时针旋转，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)旋转角为α且45°＜α＜135°，H为线段EF的中点，连接DG，HG，猜想∠DGH的大小是否为定值，并证明你的结论；
（3）如图3，连接BG，将△AEF绕点A逆时针旋转，在旋转过程中，请直接写出BG长度的最大值．
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59．如图，点A坐标是(0，0)，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)点C坐标是(2，2)，现有E、F两点分别从点D(0，2)和点B(2，0)向下和向右以每秒一个单位速度移动，Q为EF中点．设运动时间为t．2·1·c·n·j·y
（1）在运动过程中始终与线段EC相等的线段是
；四边形CEAF面积＝
．
（2）当t＝1秒时，求线段CQ的长．
（3）过点B作BP平行于CF交EC于点
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)P．当t＝
时，线段AP最短，此时作直线EP与x轴交于点K，试证明，点K是线段AB的黄金分割点．【来源：21cnj
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m】
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60．材料1：在设计人体雕塑时，存在一个分隔点，使雕塑的上部（腰以上）与下部（腰以下）之比，等于下部与全部（全身）之比，可以增加视觉美观，数学上把这个点叫“黄金分割点”．
为了研究这个点，我们在线段AB上取点C（如图1），点C把AB分成AC和CB两段，其中BC是较小的一段，现要使即可．为了简便起见，设AB=1，AC=x，则CB=1-x，代入，即，也即x2+x-1=0，解之得，．所以=，人们把这个数叫黄金分割数，点C叫“黄金分割点”．
材料2：由线段的黄金分割点联想到图形的“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成面积为S1和面积为S2的两部分（设S1＜S2），如果，那么称直线l为该图形的“黄金分割线”．
（1）如图2，点C是线段AB的黄金分割点（AC>CB），取线段AB的中点O，作点C关于点O的对称点，则；继续取线段AC的中点，作点关于点的对称点，试猜想点是否线段A的黄金分割点，若是，请证明，若不是，请说明理由；
（2）如图3，在平面直角坐标系中，
A（-，0），B（1，0），C（4-，2），求△ABC中经过点C的“黄金分割线”解析式．
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