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第01讲
反比例函数
【提升训练】
一、单选题
1．若函数的图象经过点A（－1，2），则的值为（ ）
A．1
B．－1
C．2
D．－2
【答案】D
【分析】
把已知点的坐标代入计算即可．
【详解】
∵函数的图象经过点A（－1，2），
∴，
∴k=
-2；
故选D．
【点睛】
本题考查了反比例函数与点的关系，根据图像过点，点的坐标满足函数的解析式求解是解题的关键．
2．如图，直线与双曲线（k＜0，x＜0）交于点A，将直线向上平移2个单位长度后，与y轴交于点C，与双曲线交于点B，若OA=2BC，则k的值为（
）【来源：21·世纪·教育·网】
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．－7
C．
D．
【答案】A
【分析】
过点A作AD⊥x轴于D，过B作BE⊥y轴于E，根据一次函数的平移性质可求出平移后的函数解析式，设A(2a，a)，a＜0，则B（a，a+2），根据反比例函数中k=xy为定值求解即可．
【详解】
解：∵将直线向上平移2个单位长度后，与y轴交于点C，
∴平移后的直线表达式为，
过点A作AD⊥x轴于D，过B作BE⊥y轴于E，则∠ADO=∠BEC=90°，
∵OA∥BC，BE∥y轴，
∴∠AOD=∠CBE，
∴△ADO∽△CEB，
∴，
设A(2a，a)，a＜0，则B（a，a+2），
∵点A、B在双曲线（k＜0，x＜0）上，
∴2a×=
a×（a+2），
解得：a=
，a=0（舍去），
∴A（，），
∴k=
×=，
故选：A．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
本题考查了反比例函数与一
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)次函数的交点问题、一次函数的图象平移性质、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程、平行线的性质等知识，熟练掌握各知识了联系与运用，根据题意作出辅助线，巧妙设出点A、B的坐标，再根据k=xy列出关于a的方程是解答的关键．【出处：21教育名师】
3．下式中表示是的反比例函数的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
根据反比例函数的概念：形如y=（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数．其中x是自变量，y是函数进行分析即可．
【详解】
解：A、是一次函数，错误；
B、是二次函数，错误；
C、中，y是x2的反比例函数，错误；
D、表示y是x的反比例函数，故此选项正确．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了反比例函数定义，关键是掌握反比例函数的形式．
4．如图，点P在反比例函数y＝的图象上，PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，且△APB的面积为2，则k等于（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．－4
B．－2
C．2
D．4
【答案】A
【分析】
根据反比函数定义去思考求解即可.
【详解】
设点P的坐标为(x，y)，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，
∴PA=y，PB=-x，
∵△APB的面积为2，
∴，
∴-xy=4，
即xy=-4,
∵点P在反比例函数y＝的图象上，
∴k=xy=-4,
故选A.
【点睛】
本题考查了根据反比例函数图像一点，向
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)坐标轴引垂线构成三角形面积求k，熟练运用点与函数的关系，坐标与线段之间的关系，三角形面积的定义是解题的关键.
5．下列函数中，是的反比例函数的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
根据反比例函数的定义，可得答案．
【详解】
解：A、是反比例函数，故A符合题意；
B、是正比例函数，故B不符合题意；
C、是正比例函数，故B不符合题意；
D、不符合反比例函数的定义，故D不符合题意；
故选：A．
【点睛】
本题考查了反比例函数，形如y=（k是不等于零的常数）是反比例函数．
6．若点在双曲线上，则代数式的值为（
）
A．－12
B．－7
C．－5
D．5
【答案】C
【分析】
把A点坐标代入反比例函数解析式即可求出的值．
【详解】
解：把代入得，
=3，
，
故选：C．
【点睛】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标的特征，解题关键是把点的坐标代入解析式，然后整体代入求值．
7．下列函数中，是的反比例函数的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
根据反比例函数的定义逐一判断即可得答案．
【详解】
A.是反比例函数，故该选项符合题意，
B.是正比例函数，故该选项不符合题意，
C.是正比例函数，故该选项不符合题意，
D.中，y是x2的反比例函数，故该选项不符合题意，
故选：A．
【点睛】
本题考查了反比例函数的定义，形如y=（k是不等于零的常数）是反比例函数．
8．下列各点中，在反比例函数图象上的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
利用反比例函数图象上点的坐标特征进行判断．
【详解】
解：∵-2×（-6）=12，-2×6=-12，3×4=12，-4×（-3）=12，
∴点（-2，6）在反比例函数图象上．
故选：B．
【点睛】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数（k为常数，k≠0）的图象是双曲线；图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．
9．下列函数中，是反比例函数的是（ ）
A．y＝2x+1
B．y＝0.75x
C．x：y＝8
D．xy＝﹣1
【答案】D
【分析】
根据反比例函数的定义即可得．
【详解】
A、函数是一次函数，此项不符题意；
B、函数是正比例函数，此项不符题意；
C、函数可变形为，是正比例函数，此项不符题意；
D、函数可变形为，是反比例函数，此项符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查了反比例函数，熟记定义是解题关键．
10．下列式子中表示y是x的反比例函数的是(
)
A．
B．y=
C．y=
D．y=
【答案】D
【分析】
根据反比例函数的定义逐项分析即可．
【详解】
A.
，y是x的一次函数，故不符合题意；
B.
y=，y是x的正比例函数，故不符合题意；
C.
，y是x?的反比例函数，故不符合题意；
D.
y=，y是x的反比例函数，符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查了反比例函数的定义，一般地，形如（k为常数，k≠0）的函数叫做反比例函数．
11．下列关系式中，y是x的反比例函数的是（ ）
A．y＝4x
B．＝3
C．y＝﹣
D．y＝x2﹣1
【答案】C
【分析】
根据反比例函数的定义逐一判断即可．
【详解】
A、y＝4x是正比例函数；
B、＝3，可以化为y＝3x，是正比例函数；
C、y＝﹣是反比例函数；
D、y＝x2﹣1是二次函数；
故选：C．
【点睛】
本题考查反比例函数的定义，掌握反比例函数的定义是解题的关键．
12．在下列函数表达式中，表示y是x的反比例函数是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
根据反比例函数的定义对每个选项一一判断即可．
【详解】
是正比例函数，故A选项错误；
不是反比例函数，故B选项错误；
是反比例函数，故C选项正确；
是一次函数，故D选项错误．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查反比例函数的定义，熟记反比例函数的定义是解题关键．
13．已知函数，当函数值为3时，自变量x的值为（ ）
A．﹣2
B．﹣
C．﹣2或﹣
D．﹣2或﹣
【答案】A
【分析】
根据分段函数的解析式分别计算，即可得出结论．
【详解】
解：若x＜2，当y=3时，﹣x+1=3，
解得：x=﹣2；
若x≥2，当y=3时，﹣=3，
解得：x=﹣，不合题意舍去；
∴x=﹣2，
故选：A．
【点睛】
本题考查了反比例函数的性质、一次函数的图象上点的坐标特征；根据分段函数进行分段求解是解题的关键．
14．若反比例函数y＝的图象经过点（3，1），则它的图象也一定经过的点是（ ）
A．（﹣3，1）
B．（3，﹣1）
C．（1，﹣3）
D．（﹣1，﹣3）
【答案】D
【分析】
由反比例函数y=的图象经过点（3，1），可求反比例函数解析式，把点代入解析式即可求解．
【详解】
∵反比例函数y＝的图象经过点（3，1），
∴y＝，
把点一一代入，发现只有（﹣1，﹣3）符合．
故选D．
【点睛】
本题运用了待定系数法求反比例函数解析式的知识点，然后判断点是否在反比例函数的图象上．
15．下列函数是y关于x的反比例函数的是（ ）
A．y＝
B．y＝
C．y＝﹣
D．y＝﹣
【答案】C
【分析】
直接利用反比例函数的定义分别判断得出答案．
【详解】
解：A、y＝是y与x+1成反比例，故此选项不合题意；
B、y＝，是y与x2成反比例，不符合反比例函数的定义，故此选项不合题意；
C、y＝﹣，符合反比例函数的定义，故此选项符合题意；
D、y＝﹣是正比例函数，故此选项不合题意．
故选：C．
【点睛】
本题考查了反比例函数的定义，正确把握定义是解题的关键．
16．若函数是反比例函数，则m的值为（
）
A．m＝－2
B．m＝1
C．m＝2或m＝1
D．m＝－2或m＝－1
【答案】A
【解析】
根据反比例函数定义可知解得
∴m＝－2．故选A．
17．若函数y=（3﹣k）是反比例函数，那么k的值是（ ）
A．0
B．3
C．0或3
D．不能确定
【答案】A
【分析】
直接利用反比例函数的定义分析得出答案．
【详解】
解：∵函数y=（3﹣k）是反比例函数，
∴k2﹣3k﹣1=﹣1，3﹣k≠0，
解得：k1=0，k2=3，（不合题意舍去）
那么k的值是：0．
故选：A．
【点睛】
本题考查了反比例函数的定义，正确把握定义是解题的关键．
18．若反比例函数的图象经过点，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
将点代入反比例函数解析式得到，再由a≠0即可得到k的取值范围．
【详解】
解：将点代入反比例函数中得：
，
∴，
又∵反比例函数的图象与坐标轴无交点，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】
本题考查了反比例函数图象上点的特征，解题的关键是将点代入反比例函数解析式，并能判定a≠0．
19．下列命题错误的是（ ）
A．四边形是多边形
B．斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等
C．3a3b的系数是3
D．点A（1，a），B（2，b）均在反比例函数y＝﹣上，则a＞b
【答案】D
【分析】
根据多边形的概念、直角三角形的判定定理、单项式的概念、反比例函数的性质判断即可．
【详解】
解：A、四边形是多边形，本选项说法正确，不符合题意；
B、斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，本选项说法正确，不符合题意；
C、3a3b的系数是3，本选项说法正确，不符合题意；
D、反比例函数y＝﹣中，k＝﹣3＜0，
∴在每个象限，y随x的增大而增大，
∵1＜2，
∴a＜b，本选项说法错误，符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．【版权所有：21教育】
20．一个各面分别标有数字1、2、3、4、5、6的骰子，连续投掷二次，分别出现数字、，得到一个点，则既在直线上，又在双曲线上的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
首先根据题意列出表格，然后根据表格求得所有等可能的情况与点P既在直线y=-x+6上，又在双曲线上的情况，再利用概率公式求解，即可求得答案．
【详解】
列表得：
(1,6)
(2,6)
(3,6)
(4,6)
(5,6)
(6,6)
(1,5)
(2,5)
(3,5)
(4,5)
(5,5)
(6,5)
(1,4)
(2,4)
(3,4)
(4,4)
(5,4)
(6,4)
(1,3)
(2,3)
(3,3)
(4,3)
(5,3)
(6,3)
(1,2)
(2,2)
(3,2)
(4,2)
(5,2)
(6,2)
(1,1)
(2,1)
(3,1)
(4,1)
(5,1)
(6,1)
∵共36种等可能的结果，点P既在直线y=?x+6上，又在双曲线上的有：(2，4)，(4，2)，
∴点P既在直线y=?x+6上，又在双曲线上的概率为：．
故选C．
【点睛】
本题主要考查随机事件的概率，反比例函数图象上的点的坐标特征以及一次函数图象上点的坐标特征，掌握列表法求随机事件的概率，是解题的关键．21教育名师原创作品
21．点关于轴的对称点在反比例函数的图象上，则实数的值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
先根据y轴对称的点的坐标特征确定在反比例函数的点的坐标为（3，-1），然后代入即可求出K的值.
【详解】
点关于轴的对称点的坐标为（3，-1）
将（3，-1）代入得：k=
=-3
故选C.
【点睛】
本题主要考查反比例函数，确定出关于轴的对称点的坐标是解题关键.
22．在平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的任意一点P(x，y)，我们把的P'(，)称为点P的“倒影点”．直线y=﹣2x+1上有两点A、B，它们的倒影点A'、B'均在反比例函数y的图象上，若AB，则k的值为( )
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．5
D．10
【答案】A
【分析】
设点A（a，-2a+1），B（b，-2b+1）（a＜b），则A'(，)，B'(，)，由AB可得出b=a+1，再根据反比例函数图象上点的坐标特征即可得出关于k、a、b的方程组，解之即可得出k值．
【详解】
设点A(a，﹣2a+1)，B(b，﹣2b+1)(a＜b)，则A'(，)，B'(，)．
∵AB(b﹣a)，
∴b﹣a=1，即b=a+1．
∵点A'，B'均在反比例函数y的图象上，
∴k??，
解得：k．
故选：A．
【点睛】
此题考查反比例函数图象上点的坐标特征、
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)一次函数图象上点的坐标特征以及两点间的距离公式，根据反比例函数图象上点的坐标特征列出关于k、a、b的方程组是解题的关键．
23．下列关系式中，是反比例函数的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据反比例函数、一次函数、二次函数的定义可得答案．
【详解】
解：y=2x-1是一次函数，故A错误；
是反比例函数，故B正确；
y=x2是二次函数，故C错误；
是一次函数，故D错误；
故选：B．
【点睛】
此题考查反比例函数、一次函数、二次函数的定义，解题关键在于理解和掌握反比例函数、一次函数、二次函数的意义．
24．下列函数是关于的反比例函数的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
根据反比例函数的定义进行判断．
【详解】
A．，是一次函数，此选项错误；
B．，是反比例函数，此选项正确；
C．，是二次函数，此选项错误；
D．，是y关于（x+1）的反比例函数，此选项错误．
故选：B
【点睛】
本题考查了反比例函数的定义，解题的关键是掌握反比例函数的定义．
25．点在反比例函数的图象上，下列各点也在此函数图象上的是(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
先把点（2，4）代入反比例函数y=，求出k的值，再根据k=xy为定值对各选项进行逐一检验即可．
【详解】
解：∵点（2，4）在反比例函数y=的图象上，
∴k=2×4=8．
A、∵4×（-2）=-8≠8，∴此点不在函数图象上；
B、∵（-1）×8=-8≠8，∴此点不在函数图象上；
C、∵（-2）×4=-8≠8，此点不在函数图象上；
D、∵4×2=8，此点在函数图象上．
故选：D．www.21-cn-jy.com
【点睛】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特点，掌握反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键．
26．下列函数中，y是x反比例函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．y＝πx
【答案】B
【解析】
【分析】
根据反比例函数的定义进行判断，反比例函数的一般形式是y=（k≠0）．
【详解】
解：A、y＝该函数属于正比例函数，故本选项不合题意；
B、y＝﹣该函数属于反比例函数，故本选项正确；
C、y＝x，该函数属于正比例函数，故本选项不合题意；
D、y＝πx函数属于正比例函数，故本选项不合题意；
故选：B．
【点睛】
本题考查了反比例函数的定义．判断一个函数是否是反比例函数，首先看看两个变量是否具有反比例关系，然后根据反比例函数的意义去判断，其形式为y=（k为常数，k≠0）或y=kx-1（k为常数，k≠0）．
27．下列函数中，是反比例函数的是
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
【分析】
反比例函数的定义：一般地，形如的函数叫做反比例函数,根据反比例函数的定义判定即可.
【详解】
A、B、D、不符合反比例函数的定义，错误；
C、是反比例函数，正确；
故选：C．
【点睛】
本题考查了反比例函数的定义.判断一个函数是否是反比例函数，首先看看两个变量是否具有反比例关系，再根据反比例函数的定义去判断.
28．在反比例函数y＝的每一条曲线上，y都随着x的增大而减小，则k的值可以是（
）
A．－1
B．1
C．2
D．3
【答案】A
【分析】
利用反比例函数的增减性，y随x的增大而减小，则求解不等式1-k>0即可．
【详解】
∵反比例函数y=1?kx图象的每一条曲线上，y随x的增大而减小，
∴1?k>0，
解得k<1.
故选A.
【点睛】
此题考查反比例函数的性质，解题关键在于根据其性质求出k的值.
29．已知反比例函数的图象位于第二、四象限，则的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
本题考查反比例函数的图象和性质，由k+3＜0即可解得答案．
【详解】
反比例函数的图象位于第二、四象限，
得到k+3＜0，
解得
故选C.
【点睛】
此题考查反比例函数的性质，解题关键在于掌握其性质.
30．若函数?＝（m+1）x|m|﹣2是反比例函数，则?＝（ ）
A．±1
B．±3
C．﹣1
D．1
【答案】D
【解析】
【分析】
根据反比例函数的定义列方程求解即可得到结论．
【详解】
∵函数?=（m+1）x|m|﹣2是反比例函数，∴|m|﹣2=﹣1，解得：m=±1．
∵m+1≠0，∴m≠－1，∴m=1．
故选D．
【点睛】
本题考查了反比例函数的定义，正确列出方程是解题的关键．
二、填空题
31．在平面直角坐标系中，点在双曲线上．若，则点在第________象限．
【答案】二
【分析】
由点A（a，b）在双曲线上，可得ab=-1，由可得到点的坐标，进而得出答案．
【详解】
解：∵点在双曲线上，
∴ab=-1，
∵
∴
∴点A在第二象限．
故答案为：二．
【点睛】
考查反比例函数图象上的点坐标的特征，求出是解答此题的关键．
32．已知反比例函数y＝的图象经过点(1，2)，则k的值为_____．
【答案】3
【分析】
列等式k-1=1×2=2，计算即可．
【详解】
∵反比例函数y＝的图象经过点(1，2)，
∴2=，
∴k-1=1×2=2，
∴k=3，
故答案为：3．
【点睛】
本题考查了反比例函数图像与点的关系，熟记图像过点，点的坐标满足函数的解析式是解题的关键．
33．若双曲线经过点，则___________．
【答案】4
【分析】
直接把点代入双曲线求出
a
的值即可.
【详解】
把代入得：，
∴．
故答案为：4．
【点睛】
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．2-1-c-n-j-y
34．在平面直角坐标系中，点在双曲线上，点关于轴的对称点在双曲线上，则的值为______．
【答案】0
【分析】
由点M(m，n)（m＞0，n＜0）在双曲线上，可得k1=mn，由点M与点N关于y轴对称，可得到点N的坐标，进而表示出k2，然后得出答案．
【详解】
解：∵点M(m，n)（m＞0，n＜0）在双曲线上，
∴k1=mn，
又∵点M与点N关于y轴对称，
∴N(-m，n)，
∵点N在双曲线上，
∴k2=-mn，
∴k1+k2=mn+（-mn）=0，
故答案为：0．
【点睛】
本题考查反比例函数图象上的点坐标的特征，关于y轴对称的点的坐标的特征以及互为相反数的和为0的性质．
35．已知点分别在反比例函数的图象上，若点与点关于轴对称，则的值为______．
【答案】1
【分析】
根据题意，设出点C和点D的坐标，再根据点C与点D关于x轴对称，即可求得p的值
【详解】
解：∵点分别在反比例函数的图象上，
∴设点C的坐标为，点D的坐标为，
∵点与点关于轴对称，
∴
∴p=1
故答案为：1
【点睛】
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、关于x轴、y轴对称的点的坐标特点，解答本题的关键是明确题意，利用函数的思想解答．
三、解答题
36．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b(k≠0)与反比例函数(m≠0)的图象交于点A(3，1)，且过点B(0，-2)．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
(1)求反比例函数和一次函数的表达式．
(2)如果点P是x轴上位于直线AB右侧的一点，且ΔABP的面积是3，求点P的坐标．
【答案】（1），y=x-2；（2）点P的坐标为(4，0).
【分析】
(1)利用待定系数法，确定二函数的解析式即可；
(2)运用图形分割法，利用点P的坐标表示三角形的面积，求解即可.
【详解】
（1）∵反比例函数（m≠0）的图象过点A(3，1)，
∴，
∴
m=3，
∴反比例函数的表达式为．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵一次函数y=kx+b的图象过点A(3，1)和B(0，-2)，
∴解得
∴一次函数的表达式y=x-2．
(2)如图，设一次函数y=x-2的图象与x轴的交点为C，
令y=0，则x-2=0，x=2，
∴点C的坐标为(2，0)．
∵
∴
∴PC=2
∵点P是x轴上位于直线AB右侧的一点，
∴点P的坐标为(4，0)．
【点睛】
本题考查了待定系数法确定函数的解析式，交
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)点的意义，用点的坐标表示三角形的面积，熟练使用待定系数法，灵活运用图形的分割法表示三角形的面积是解题的关键.
37．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点A（4，），点B在轴的负半轴上，AB交轴于点C，C为线段AB的中点．
（1）求的值和点C的坐标；
（2）若点D为线段AB上的一个动点，过点D作DE∥轴，交反比例函数图象于点E，交轴于点F．求当△ODE面积为6时，点E的坐标．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】（1），C（2，0）；（2）点E的坐标为（2，6）．
【分析】
（1）根据待定系数法即可求得m的值，根据A点的坐标即可求得C的坐标；
（2）根据待定系数法求得直线AB的解析式，设出D、E的坐标，然后根据三角形面积公式得到一元二次方程，解方程即可求解．
【详解】
（1）∵反比例函数的图象经过点A（4，）点，
∴，即，
过点A作轴的垂线，垂足为G，
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则有∠AGC=∠BOC=90°，OG=4，
∵点C是AB的中点，
∴AC=BC，
又∵∠ACG=∠BCO，
∴△ACG≌△BCO，
∴OC=CG=2，
∴C（2，0）；
（2）由（1）知△ACG≌△BCO，
∴OB=AG=3，
∴B（0，-3），
设直线BA的解析式为，
∵A（4，），B（0，-3），
∴，
解得，
∴直线AB的解析式为，
令点E（，），则点D为（，），
∴，
整理，得，
∴，(舍去)
所以，点E的坐标为（2，6）．
【点睛】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k的几何意义，一元二次方程的应用，根据三角形面积得到一元二次方程是解题的关键．
38．在平面直角坐标系中，直线与反比例函数在第一象限内的图象交于点．
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（1）求m、b的值；
（2）点B在反比例函数的图象上，且点B的横坐标为1．若在直线l上存在一点P（点P不与点A重合），使得，结合图象直接写出点P的横坐标的取值范围．
【答案】（1），；（2）且
【分析】
（1）把代入到反比例函数关系式中求出m，得到点坐标，把点坐标代入到中求出b的值即可；
（2）以为圆心，以的长为半径画弧，与l交于点P1，P2，求出P1，P2的横坐标即可，注意：点P不与点A重合．
【详解】
解：（1）∵经过点
∴
∴，
∵经过点
∴，；
（2）且
解：∵点B在反比例函数的图象上，且点B的横坐标为1，
∴，
∴点B的坐标为：，
由（1）知：，
∴，
以为圆心，以的长为半径画弧，与l交于点P1，P2，
设，由题意可知：
，
当时，即
解得：，
即：的横坐标为1，的横坐标为7，
∵满足的是，
∴，
∵点P不与点A重合，
∴，
综上所述：P的横坐标的取值范围：且．
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【点睛】
本题主要考查了反比例函数与一次函数的图像与性质，解决本题的关键就是利用两点间距离公式求出相等的时候的临界值，然后进步确定的取值范围．
39．已知函数解析式为y=(m-2)
（1）若函数为正比例函数，试说明函数y随x增大而减小
（2）若函数为二次函数，写出函数解析式，并写出开口方向
（3）若函数为反比例函数，写出函数解析式，并说明函数在第几象限
【答案】（1）详见解析；（2）y=-4x2，开口向下；（3）y=-x-1或y=-3x-1，函数在二四象限
【分析】
（1）根据正比例函数的定义求出m，再确定m-2的正负，即可确定增减性；
（2）根据二次函数的定义求出m，再确定m-2的值，即可确定函数解析式和开口方向；
（3）由题意可得-2=-1，求出m即可确定函数解析式和图像所在象限．
【详解】
解：(1)若为正比例函数则
-2=1，m=±，
∴m-2＜0，函数y随x增大而减小；
(2)
若函数为二次函数，-2=2且m-2≠0，
∴m=-2，函数解析式为y=-4x2，开口向下
（3）若函数为反比例函数，-2=-1，
m=±1，
m-2＜0，
解析式为y=-x-1或y=-3x-1，函数在二四象限
【点睛】
本题考查了正比例、二次函数、反比例函数的定义，理解各种函数的定义及其内涵是解答本题的关键．
40．如图所示，在平面直角坐标系中，等边三角形OAB的一条边OB在x轴的正半轴上，点A在双曲线y＝（k≠0）上，其中点B为（2，0）．
（1）求k的值及点A的坐标
（2）△OAB沿直线OA平移，当点B恰好在双曲线上时，求平移后点A的对应点A’的坐标．
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【答案】（1）A（1，）；k＝；（2）点A′的坐标为（，）或（﹣，﹣）．
【分析】
（1）解直角三角形即可求得A点的坐标，根据反比例函数系数k的几何意义，即可求得k；
（2）求得直线OA的解析式，然后求得BB′解析式，联立方程解方程即可求得B′的坐标，进而求得A′的坐标．
【详解】
（1）过A点作AC⊥OB于C，
∵△OAB是等边三角形，点B为（2，0），
∴OA＝AB＝OB＝2，
∴OC＝1，AC＝，
∴A（1，），
∴k＝1×＝，
（2）∵A（1，），
∴直线OA为y＝x
∵△OAB沿直线OA平移，
∴BB′∥OA，设直线BB′解析式为y＝x+b，
把B（2，0）代入得，0＝2+b，
∴b＝﹣2，
∴直线BB′解析式为y＝x﹣2，
解方程组得或，
∴平移后的点A′的坐标为（，）或（﹣，﹣）．
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【点睛】
本题考查了反比例函数的性质，图形的平移问题，如何求一次函数和反比例函数的交点．
41．已知y=y1+y2，y1与x+1成正比例，y2与x+1成反比例，当x=0时，y=﹣5；当x=2时，y=﹣7．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）当x=5时，求y的值．
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）设y1=a（x+1）（a≠0），y2=
（b≠0），得到y=a（x+1）+
，把（0，-5），（2，-7）代入得到方程组，求出方程组的解即可；
（2）把x=5代入解析式求出即可．
【详解】
（1）∵y1与x+1成正比例，y2与x+1成反比例，
设y1=a(x+1)(a≠0)，y2=
(b≠0)．
∵y=y1+y2，∴y=a(x+1)+
，
把(0，﹣5)，(2，﹣7)代入得：，
解得：，∴y=﹣2(x+1)﹣，
答：y与x的函数关系式是y=﹣2(x+1)﹣．
（2）当x=5时，y=﹣2(x+1)﹣=﹣2×(5+1)﹣=﹣12
，
答：当x=5时，y的值是﹣12．
【点睛】
本题主要考查对解二元一次方程组，用待定系数法求函数的解析式，求代数式的值等知识点的理解和掌握，能正确求出函数的解析式是解此题的关键．
42．已知与成正比例，与成反比例，当时，；当时，.
（1）求关于的函数解析式；
（2）当时，求的值．
【答案】（1）；（2）的值为．
【分析】
（1）根据题意分别设出，代入y=y1-y2，表示出y与x的解析式，将已知两对值代入求出a与b的值，确定出解析式；
（2）将x=-2代入计算即可求出值．
【详解】
解：（1）设，
由题意：，
把分别代入，
得
解得
所以关于的函数解析式为；
（2）当时，．
【点睛】
此题考查了待定系数法求反比例函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
43．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴、轴分别交于点、，过点作轴，垂足为.若，.
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（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）当时，求x的取值范围。
【答案】（1），；（2）-4＜x＜0或x﹥2
【分析】
（1）利用三角函数求得AM的长，则C的坐标即可求得，利用待定系数法求得反比例函数解析式，然后利用待定系数法求得一次函数的解析式；
（2）求出两个函数的两个交点坐标，结合函数图象即可求解.
【详解】
（1）
C(
n
,3
)
CM=3
在Rt△AMC中，tan,
又
n=2
即
C（2，3）
将（2，3）代入中，得
反比例函数的解析式为：
把A（-2，0），C（2，3）代入
解得：
一次函数的解析式为：
（2）设两个函数图像的交点为点C（2，3），点D.
∵
∴
∴
C(2,3)
，
D(-4,
)
由图像知，当﹥0（即﹥）时，
x的取值范围-4＜x＜0或x﹥2.
【点睛】
本题考查了用待定系数法求出一次函数、反
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)比例函数的解析式，一次函数与反比例函数的交点问题的应用，第（1）问的解题关键是求出点C的坐标，第（2）问的解题关键是求出两个交点的坐标，并学会观察图象.
44．已知，是的反比例函数，是的正比例函数，当时，；当时，.
（1）求与的函数关系式；
（2）当时，求的值.
【答案】（1）；（2）18.
【分析】
（1）首先根据正比例与反比例函数的定义分别设出函数解析式，用待定系数法求出y与x的函数关系式，然后再代入求值．21·世纪
教育网
（2）将，代入解析式即可.
【详解】
（1）设，，则
解得
故.
（2）当时，
【点睛】
此题考查正比例函数的定义，反比例函数的定义，解题关键在于利用待定系数法求解.
45．如图，平面直角坐标系中，点，函数（）的图象经过平行四边形的顶点和边的中点.
（1）求的值；
（2）若的面积等于6.求的值；
（3）若为函数（）的图象上一个动点，过点作直线轴于点，直线与轴上方的平行四边形的一边交于点，设点的横坐标为，当时，求的值.
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【答案】（1）；（2）；（3）或.
【分析】
（1）根据平行四边形的性质确定出B的坐标从而确定出D的坐标，而点A，D在反比例函数图象上，建立方程求出m，21教育网
（2）根据三角形OAD的面积是平行四边形OABC面积的一半，确定出n即可；
（3）根据题意可得情况讨论①点在上，②当点在上，求出两种情况下点M,N,P的坐标，即可求出MP，NP的长度结合，求解即可.
【详解】
解：（1）∵点，平行四边形的顶点
∴
∴
∵函数（）的图象经过平行四边形的顶点和边的中点
∴，
∴
（2）∵点是平行四边形中点
∴
∵
∴
由（1）知，
∴
（3）①如图1，点在上，
由（1）知，
∴
即
直线的解析式为，
设点的横坐标为
∴
∵过点作直线轴于点
∴，
∴，
∵
∴
∴或（舍）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
②如图2，
当点在上时，
由（1）知，
∴
由题意知，，，
∵
∴
∴
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【点睛】
此题考查反比例函数综合题，解题关键在于分情况讨论点N的位置.
46．如图，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数的图象交于第一象限C，D两点，坐标轴交于A、B两点，连结OC，OD（O是坐标原点）．2·1·c·n·j·y
（1）利用图中条件，求反比例函数的解析式和m的值；
（2）双曲线上是否存在一点P，使得△POC和△POD的面积相等？若存在，给出证明并求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
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【答案】（1）y=
，m=1；（2）P（2，2）或P（﹣2，﹣2），理由见解析.
【分析】
（1）把C（1，4）代入y=求出k=4，把（4，m）代入y=求出m即可，把C（1，4），D（4，1）代入y=ax+b得出解析式，求得出一次函数的解析式；（2）双曲线上存在点P，使得S△POC=S△POD，这个点就是∠COD的平分线与双曲线的y=交点，易证△POC≌△POD，则S△POC=S△POD．
【详解】
（1）把C（1，4）代入y=，得k=4，
把（4，m）代入y=
，得m=1；
∴反比例函数的解析式为y=
，m=1；
把C（1，4），D（4，1）代入y=ax+b得出，
解得，
∴一次函数的解析式为y=﹣x+5；
（2）双曲线上存在点P（2，2），使得S△POC=S△POD，理由如下：
∵C点坐标为：（1，4），D点坐标为：（4，1），
∴OD=OC=，
∴当点P在∠COD的平分线上时，∠COP=∠POD，又OP=OP，
∴△POC≌△POD，∴S△POC=S△POD．
∵C点坐标为：（1，4），D点坐标为：（4，1），
可得∠COB=∠DOA，
又∵这个点是∠COD的平分线与双曲线的y=交点，
∴∠BOP=∠POA，
∴P点横纵坐标坐标相等，
即xy=4，x2=4，∴x=±2，
∵x＞0，
∴x=2，y=2，
故P点坐标为（2，2），使得△POC和△POD的面积相等．
利用点CD关于直线y=x对称，P（2，2）或P（﹣2，﹣2）．
【点睛】
此题主要考查反比例函数与几何综合，解题的关键是熟知反比例函数的图像与性质.
47．如图，已知A(－4，n)，B(2，－4)是一次函数y＝kx＋b和反比例函数y＝的图象的两个交点．
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(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)观察图象，直接写出方程kx＋b－＝0的解；
(3)观察图象，直接写出不等式kx＋b－<0的解集；
(4)求△AOB的面积．
【答案】（1）反比例函数的解析式为y=-
，一次函数的解析式为y=-x-2；（2）方程kx+b-=0的解是x1=-4，x2=2；（3）-4＜x＜0或x＞2．（4）6.www-2-1-cnjy-com
【分析】
（1）把B
（2，-4）代入反比例函数y=得出m的值，再把A（-4，n）代入一次函数的解析式y=kx+b，运用待定系数法分别求其解析式；（2）经过观察可发现所求方程的解应为所给函数的两个交点的横坐标；（3）观察函数图象得到当-4＜x＜0或x＞2时，一次函数的图象在反比例函数图象下方，即使kx+b-＜0；（4）设直线AB与y轴交于点C，把三角形AOB的面积看成是三角形AOC和三角形OCB的面积之和进行计算．
【详解】
解：（1）∵B（2，-4）在y=上，
∴m=-8．
∴反比例函数的解析式为y=-．
∵点A（-4，n）在y=-上，
∴n=2．
∴A（-4，2）．
∵y=kx+b经过A（-4，2），B（2，-4），
∴
解得：
∴一次函数的解析式为y=-x-2．
（2）∵A（-4，n），B（2，-4）是一次函数y=kx+b的图象和反比例函数y=的图象的两个交点，
∴方程kx+b-=0的解是x1=-4，x2=2．
（3）不等式kx+b-＜0的解集为-4＜x＜0或x＞2．
设一次函数y=-x-2的图象与y轴交于C点，
（4）当x=0时，y=-2，
∴点C（0，-2）．
∴OC=2，
∴S△AOB=S△ACO+S△BCO=×2×4+×2×2=6．21世纪教育网版权所有
【点睛】
本题考查反比例函数与一次函数的交点问题：反比
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)例函数与一次函数的交点坐标满足两函数的解析式．也考查了观察函数图象的能力以及用待定系数法确定一次函数的解析式．21·cn·jy·com
48．如图，已知一次函数y1＝kx＋b与反比例函数y2
＝图象在第一、第三象限分别交于A（3，4），B（a，－2）两点，直线AB与y轴，x轴分别交于C，D两点.
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）比较线段AD、BC大小，并说明理由.
【答案】（1）y1=+2，y2=；（2）AD=BC，理由见解析
【分析】
（1）把A（3,4）代入y2=，即可求出m，从而算出B点坐标，即可求出一次函数的解析式；（2）通过一次函数解析式，分别算出与x轴，y轴的交点坐标，根据距离公式比较线段AD、BC大小即可.
【详解】
（1）将A（3，4）代人y2=，可得m=12，∴y2=，
将B（a，-2）代人y2=中，可得a=－6，∴B（-6，-2），
将A（3，4），B（－6，－2）分别代人y1=kx+b中，可得
解得k=，b=2，∴y1=+2，y2=；
（2）AD=BC，理由为：
∵C，D是y=+2与y轴，x轴的交点，
令x=0时，y=2，令y=0时，x=-3，
∴C（0，2），D（－3，0），
∴根据两点之间距离公式得：AD=2，BC=2，则AD=BC.
【点睛】
此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用了待定系数法与数形结合的数学思想，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
49．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴、y轴分别交于B、A两点，与反比例函数的图象交于点C，连接CO，过C作CD⊥x轴于D，已知tan∠ABO＝，OB＝4，OD＝2．
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（1）求直线AB和反比例函数的解析式；
（2）在x轴上有一点E，使△CDE与△COB的面积相等，求点E的坐标．
【答案】（1）；（2）（－6，0）或（2，0）
【分析】
（1）根据解直角三角形求得点A
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)、点B以及点C的坐标，利用A、B两点的坐标求得一次函数解析式，利用点C的坐标求得反比例函数解析式；
（2）根据△CDE与△COB的面积相等，求得DE的长，即可得出点E的坐标．
【详解】
解：（1）∵OB=4，OD=2
∴DB=2+4=6
∵CD⊥x轴，
tan∠ABO＝
∴OA=2，CD=3
∴A（0，2），B（4，0），C（－2，3）
设直线AB解析式为y=kx+b，则
解得
∴直线AB解析式为
设反比例函数解析式为，
得m=－2×3=－6
∴反比例函数解析式为
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（2）∵△CDE与△COB的面积相等
∴
∴DE=OB=4
∴点E的坐标为（－6，0）或（2，0）
【点睛】
本题主要考查了反比例函数与一次函数
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)的交点问题，需要掌握根据待定系数法求两个函数解析式的方法．解答此类试题时注意：求一次函数解析式需要图象上两个点的坐标，而求反比例函数解析式需要图象上一个点的坐标即可．
50．如图，在直角坐标系中，△OBA和△DOC的边OA、OC都在x轴的正半轴上，点B的坐标为（6，8），∠BAO∠OCD90°，OD5，CD3．反比例函数的图象经过点D，交AB边于点E．
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（1）求k的值；（2）求BE的长．
【答案】（1）k=12；（2）E（6，2），BE=6.
【分析】
（1）由相似可求得点D在坐标，把点D的坐标代入反比例函数解析式即可求得比例系数的值；
（2）把A的横坐标代入反比例函数解析式，能求得AE长，BE=AB-AE．
【详解】
（1）∵△OBA∽△DOC，
∴
∵B(6,8),∠BAO=90°，
∴.
在Rt△COD中，OD=5，
∴OC=4，DC=3.
∴D(4,3).
∵点D在函数y=kx的图象上，
∴.
∴k=12
（2）∵E是
(x>0)图象与AB的交点，
∴AE=.
∴BE=8?2=6.
【点睛】
此题考查反比例函数，解题关键在于利用相似三角形、掌握反比例函数的基本定义及性质.
51．在平面直角坐标系xOy中，反比例数y＝的图象过点A（6，1）．
（1）求反比例数的表达式；
（2）过点A的直线与反比例数y＝图象的另一个交点为B，与y轴交点交于点P．
①若点P为原点，直接写出点B的坐标；
②若PA＝2PB，求点P的坐标．
【答案】（1）y＝；（2）①B点的坐标为（﹣6，﹣1）；②P的坐标为（0，﹣1）．
【分析】
（1）由点A的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出m值，从而得出反比例函数表达式；
（2）①根据中心对称的性质即可求得；
②作AC⊥y轴于C，BD⊥y轴于D，通过证得△APC∽△BPD，得出2，求得B的横坐标坐标，代入解析式求得坐标，然后根据待定系数法求得直线AB的解析式，令x=0，即可求得P的坐标．
【详解】
（1）把（6，1）代入反比例函数解析式，得1，∴m=6；
（2）①由于直线过原点，该函数为正比例函数．
∵正比例函数和反比例函数图象都是关于原点中心对称的，∴两图象的交点关于原点成中心对称，∴点B、点A关于原点成中心对称．
∵A点的坐标为（6，1），∴B点的坐标为（﹣6，﹣1）．
②作AC⊥y轴于C，BD⊥y轴于D．
∵AC∥BD，∴△APC∽△BPD，∴．
∵AP=2PB，∴AC=2BD．
∵AC=6，∴BD=3，∴B的横坐标为﹣3，把x=﹣3代入y得y=﹣2，∴B（﹣3，﹣2），设直线AB的解析式为y=kx+b，把A（6，1），B（﹣3，﹣2）代入得，解得：，∴直线AB的解析式为yx﹣1，令x=0，则y=﹣1，∴P的坐标为（0，﹣1）．
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【点睛】
本题考查了反比例函数与一次函数的交点及待定系数法求函数解析式，待定系数法求函数解析式是本题的关键．
52．如图，反比例函数过点，直线与轴交于点，过点作轴的垂线交反比例函数图象于点.
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（1）求的值与点的坐标；
（2）在平面内有点，使得以，，，四点为顶点的四边形为平行四边形，试写出符合条件的所有点的坐标.
【答案】（1）k＝24，B（8，3）；（2）D点的坐标为（4，9），（4，3），（12，?3）.
【分析】
（1）将A的坐标代入即可求出k的值，点B的横坐标为6，代入求出点B的坐标，
（2）分情况讨论，分别求出相应的点D的坐标即可．
【详解】
解：（1）把A（4，6）代入得：k＝24，
当x＝8时，y＝24÷8＝3，
∴点
B（8，3）；
（2）由题意得：A（4，6），B（8，3）、C（8，0），BC＝3，
①过A作BC的平行线，在这条平行线上截取AD1＝BC，AD2＝BC，
此时D1（4，9），D2（4，3）；
②过点C作AB的平行线与过B作AC的平行线相交于D3，
过点A作AM⊥BC，垂足为M，过D3作D3N⊥BC，垂足为N，
∵ABCD3是平行四边形，
∴AC＝BD3，∠ACM＝∠D3BN，
∴△ACM≌△D3BN，
∴D3N＝AM＝4，CM＝BN＝6，
∴D3的横坐标为12，CN＝3，
∴D3（12，?3），
∴符合条件的所有D点的坐标为（4，9），（4，3），（12，?3）．
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【点睛】
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、平行四边形的性质和判定，分类讨论各种不同的情况下的结果是解决问题的关键．21
cnjy
com
53．如图，一次函数的图象与反比例函数（k为常数，且）的图象都经过点.
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（1）求点A的坐标及反比例函数的表达式；
（2）结合图象直接比较，当时，和的大小.
【答案】（1）；（2）见解析.
【解析】
【分析】
（1）把y=3代入y=2x+
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)1即可求得A的横坐标，则A的坐标即可求得，利用待定系数法求得反比例函数的解析式；
（2）根据函数图象及图象的位置即可确定x的范围．
【详解】
解：（1）把代入，得，
.
..
把代入，得，
，
反比例函数的表达式为
（2）当时，：
当时，；当时，.
【点睛】
本题主要考查了待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式．这里体现了数形结合的思想．
54．如图，直线y＝k1x＋b与双曲线相交于A（1，2），B（m，－1）两点．
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（1）求直线和双曲线的表达式；
（2）求直线AB与x轴的交点C的坐标及ΔAOB的面积；
（3）观察图像，请直接写出使不等式k1x＋b＞成立的x的取值范围．
【答案】（1）双曲线的解析式为y=；直线的解析式为：y=x+1．（2）1.5；（3）x＞1或-2＜x＜0．
【分析】
（1）先把A点坐标代入求出k2=2，得到双曲线的解析式为y=，再把B（m，-1）代入y=确定B点坐标，然后利用待定系数法确定一次函数的解析式；
（2）在直线解析式中令y=0，可求出x的值，从而求出点C的坐标，再根据三角形面积公式求出ΔAOB的面积即可；
（3）观察函数图象得到当x＞1或-2＜x＜0时，一次函数图象都在反比例函数图象上方，即k1x+b＞．
【详解】
（1）∵双曲线经过点A（1，2），
∴k2=2，
∴双曲线的解析式为y=；
∵点B（m，-1）在双曲线y=上，
∴m=-2，
∴B点坐标为（-2，-1），
把点A（1，2），B（-2，-1）代入y=k1x+b
得，
，解得，
∴直线的解析式为：y=x+1．
（2）在y=x+1中，令y=0，则x=-1，
∴C（-1，0）
∴S△AOB==1.5.
(3)由图可知x＞1或-2＜x＜0．
【点睛】
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式．也考查了待定系数法求函数解析式以及观察函数图象的能力．
55．如图①，反比例函数和的图象分别是和.射线OM交于点，射线ON交于点B，，连接AB交y轴于点P，轴.
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（1）求k的值；
（2）如图②，将绕点O旋转，射线OM始终在第一象限，且交于点C，射线ON在第二象限，且交于点D，连接CD交y轴于点Q，在旋转的过程中，的值是否发生变化？若不变化，求出的值；若变化，请说明理由.
（3）在（2）的旋转过程中，当点Q为CD的中点时，问是不是直线CD与的另一个交点？请说明理由.
【答案】（1）；（2）的值不变，；（3）点是直线CD与的另一个交点，见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据自变量的值与函数值的对应关系，可得A点坐标，根据相似三角形的判定与性质，可BP的长，根据待定系数法，可得k值；
（2）根据自变量与函数值的对应关系，可得C点坐标，D点坐标，根据相似三角形的判定与性质，可得，可得m、n的值，根据相似三角形对应变得比相等，可得OD：OC的值，根据正切函数值是定值，可得角是一定的；
（3）根据梯形的中位线，可得m＝，可得C、D的坐标，根据待定系数法，可得CD的解析式，根据两函数解析式，可得方程组，根据解方程组，可得图象的交点坐标．
【详解】
（1）将代入，得，
∴点A的坐标为，
∵轴，
∴，
∴，.
易证，
∴，即.
∵点B在第二象限，
∴点B的坐标为.
将代入，得.
（2）的值不变,
由（1）可知，的函数表达式为.
如图，过点C作轴于点E，过点D作轴于点F.
设，，则，，
∴，，
易证，
∴.
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∴.
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（3）点是直线CD与的另一个交点。理由如下：
当点Q为CD的中点时，，
∴，
∵，
∴，
∴，.
设直线CD的表达式为，则，解得.
∴直线CD的表达式为.
把分别代入和，可得y都等于。
∴点是直线CD与的另一个交点。
【点睛】
考查了反比例函数综合题，（1）利用了相似三
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)角形的判定与性质，待定系数法求函数解析式，（2）利用相似三角形的性质得出m、n得出m、n的关系，得出∠OCD的正切值，（3）利用梯形的中位线，得出m的值，再利用自变量与函数值的对定关系，得出点C、D的坐标，利用待定系数法得出直线CD的函数解析式，利用解方程组，得出交点坐标．【来源：21cnj
y.co
m】
56．如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于，两点，一次函数图象与y轴交于点C，与x轴交于点D.
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（1）求一次函数的表达式；
（2）观察图象，写出时自变量x的取值范围；
（3）连接OA，在第三象限的反比例函数图象上是否存在一点P，使得？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）一次函数的表达式为；（2）或；（3）存在，.
【解析】
【分析】
（1）先求得A、B的坐标，然后根据待定系数法即可求得；
（2）根据图象即可求得；
（3）构建方程即可解决问题；21
cnjy
com
【详解】
（1）∵反比例函数的图象与一次函数的图象交于点A，B，点A，B的横坐标分别为1，-2，
∴，.
把A，B的坐标代入，得，解得.
∴一次函数的表达式为.
（2）由题中图象可得，时自变量x的取值范围是或.
（3）存在
设点，由题意可得点，
∵，∴，解得.
∴
【点睛】
反比例函数的综合题，其中涉及到运用待定系数法求函数的解析式，函数与不等式的关系，三角形的面积的求法，学会构建方程解决问题.
57．已知：如图，在平面直角坐标系中，直线分别与、轴交于点，，与反比例函数的图象分别交于点、，轴于点，，，.
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（1）求直线的解析式；
（2）求该反比例函数的解析式；
（3）连接，，求的面积.
【答案】（1）；（2）；（3）8.
【解析】
【分析】
（1）根据条件可得到A、B两点的坐标，然后利用待定系数法即可求出直线AB的解析式；
（2）利用平行线分线段成比例定理求出EO的长，得到C点的横坐标，代入直线AB的解析式确定C点坐标，然后利用待定系数法求反比例函数解析式；
（3）先解方程组，得D点坐标，然后利用S△OCD=S△OAC+S△OAD进行计算．
【详解】
（1）∵OB=4，OA=2，∴A点坐标为（0，2），B点坐标为（4，0）．
设直线AB的解析式为y=kx+
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)b，把A（0，2）、B（4，0）代入，得：，解得：，∴直线AB的解析式为yx+2；
（2）∵OA∥CE，∴EO：OB=CA：AB=1：2，∴EOOB=2，∴C点的横坐标为﹣2．
把x=﹣2代入yx+2，得：y（﹣2）+2=3，∴C点坐标为（﹣2，3）．
设反比例函数解析式为y，把C（﹣2，3）代入，得：m=﹣2×3=﹣6，∴反比例函数解析式为y；
（3）解方程组，得或，则D（6，﹣1）．
S△OCD=S△OAC+S△OAD2×22×6=8．
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【点睛】
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了待定系数法求函数的解析式，平行线分线段成比例定理以及三角形的面积．
58．如图所示：已知直线y＝x与双曲线y=（k＞0）交于A、B两点，且点A的横坐标为4
.
（1）求k的值
（2）求反比例函数的解析式
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【答案】（1）k=8；（2）y=.
【解析】
【分析】
（1）将x=4代入y＝求得A点纵坐标，然后将A点坐标代入反比例函数解析式求解即可；
（2）由（1）中k的值即可得到反比例函数的解析式.
【详解】
解：（1）将x=4代入y＝x得，y=2，
将（4，2）代入y=得，2=，
解得k=8；
（2）∵k=8，
∴反比例函数的解析式为：y=.
故答案为：（1）k=8；（2）y=.
【点睛】
本题主要考查一次函数与反比例函数，解此题的关键在于熟练掌握利用待定系数法确定函数关系式.
59．如下图，在平面直角坐标系中，直线：+n与y轴交于点A
与反比例函数的图象交于B
(-2,-2)，直线过B点与x轴交于点C，OA:OC=
4:3.
（1）求m的值以及直线的函数表达式；
（2）连接AC，求△ABC的面积.
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【答案】（1）m=4，；（2）13
【解析】
【分析】
(1)
直线：y=3x+n与反比例函数y=
的图象交于B
(-2,-2),将B
(-2,-2)代入解析式得出m、n的值,从而得出直线的解析式，由于直线与y轴交于点A，得出A的坐标，OA:OC=
4:3.得出C点坐标.直线经过B、C，由此可以求得直线的解析式.
(2)将转化为S△AOB、、之和进行计算.
【详解】
解：
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（1）∵y=过B（-2，-2）,
∴m=4.
∵y=3x+n过B（-2，-2）．
∴n=4.
∴.
∵与y轴交于A点，
∴A（0，4）．AO=4
,
∵OA:OC=4:3,
∴CO=3
即C（3，0）.
设BC的解析式为，且过C（3，0），B（-2，-2）,
∴解得：,
∴l2的解析式为
y=
.
（2）连接AC，BO.
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∴=S△AOB++
=++=13.
【点睛】
本题考查了反比例函数与一次
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)函数的综合问题，反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式，将所求面积转化为其它图形的面积之和是解决本题的关键.
60．如图，已如平行四边形中，点为坐标顶点，点，函数的图象经过点．
（1）求的值及直线的函数表达式：
（2）求四边形的周长．
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【答案】（1）k=2，直线OB解析式为；（2）四边形的周长为．
【解析】
【分析】
(1)根据函数的图象经过点，可以求得的值，再根据平行四边形的性质即可求得点的坐标，从而可以求得直线的函数解析式；
(2)根据题目中各点的坐标，可以求得平行四边形各边的长，从而可以求得平行四边形的周长．
【详解】
(1)依题意有：点在反比例函数的图象上，
∴，
∵，
∴，
又轴，
∴，
设直线的函数表达式为，
∴，
∴，
∴直线的函数表达式为；
(2)作于点，
∵，
∴，
在平行四边形中，
，，
∴四边形的周长为：，
即四边形的周长为．
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【点睛】
本题考查待定系数法求反比例
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)函数解析式和一次函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征、平行四边形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
61．如图，已知一次函数y＝﹣2x+8的图象与坐标轴交于A，B两点，并与反比例函数的图象相切于点C．
（1）切点C的坐标是
；
（2）若点M为线段BC的中点，将一次函数y＝﹣2x+8的图象向左平移m（m＞0）个单位后，点C和点M平移后的对应点同时落在另一个反比例函数的图象上时，求k的值．
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【答案】（1）（2，4）；（2）k＝4.
【解析】
【分析】
（1）将一次函数解析式与反比例函数解
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)析式组成方程组，求解即可；
（2）先求出点M坐标，再求出点C和点M平移后的对应点的坐标，列出方程可求m和k的值．
【详解】
（1）∵一次函数y＝﹣2x+8的图象与反比例函数的图象相切于点C
∴﹣2x+8＝
∴x＝2，
∴点C坐标为（2，4）
故答案为：（2，4）；
（2）∵一次函数y＝﹣2x+8的图象与坐标轴交于A，B两点，
∴点B（4，0）
∵点M为线段BC的中点，
∴点M（3，2）
∴点C和点M平移后的对应点坐标分别为（2﹣m，4），（3﹣m，2）
∴k＝4（2﹣m）＝2（3﹣m）
∴m＝1.
∴k＝4.
【点睛】
本题是反比例函数与一次函数的综合题，一次函数的性质和反比例函数的性质，由点的坐标在函数图象上列等式可解决问题．21cnjy.com
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精品试卷·第
2
页
（共
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第01讲
反比例函数
【提升训练】
一、单选题
1．若函数的图象经过点A（－1，2），则的值为（ ）
A．1
B．－1
C．2
D．－2
2．如图，直线与双曲线（k＜0，x＜0）交于点A，将直线向上平移2个单位长度后，与y轴交于点C，与双曲线交于点B，若OA=2BC，则k的值为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．－7
C．
D．
3．下式中表示是的反比例函数的是（
）
A．
B．
C．
D．
4．如图，点P在反比例函数y＝的图象上，PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，且△APB的面积为2，则k等于（
）2-1-c-n-j-y
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A．－4
B．－2
C．2
D．4
5．下列函数中，是的反比例函数的是（
）
A．
B．
C．
D．
6．若点在双曲线上，则代数式的值为（
）
A．－12
B．－7
C．－5
D．5
7．下列函数中，是的反比例函数的是（
）
A．
B．
C．
D．
8．下列各点中，在反比例函数图象上的是（
）
A．
B．
C．
D．
9．下列函数中，是反比例函数的是（ ）
A．y＝2x+1
B．y＝0.75x
C．x：y＝8
D．xy＝﹣1
10．下列式子中表示y是x的反比例函数的是(
)
A．
B．y=
C．y=
D．y=
11．下列关系式中，y是x的反比例函数的是（ ）
A．y＝4x
B．＝3
C．y＝﹣
D．y＝x2﹣1
12．在下列函数表达式中，表示y是x的反比例函数是（
）
A．
B．
C．
D．
13．已知函数，当函数值为3时，自变量x的值为（ ）
A．﹣2
B．﹣
C．﹣2或﹣
D．﹣2或﹣
14．若反比例函数y＝的图象经过点（3，1），则它的图象也一定经过的点是（ ）
A．（﹣3，1）
B．（3，﹣1）
C．（1，﹣3）
D．（﹣1，﹣3）
15．下列函数是y关于x的反比例函数的是（ ）
A．y＝
B．y＝
C．y＝﹣
D．y＝﹣
16．若函数是反比例函数，则m的值为（
）
A．m＝－2
B．m＝1
C．m＝2或m＝1
D．m＝－2或m＝－1
17．若函数y=（3﹣k）是反比例函数，那么k的值是（ ）
A．0
B．3
C．0或3
D．不能确定
18．若反比例函数的图象经过点，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
19．下列命题错误的是（ ）
A．四边形是多边形
B．斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等
C．3a3b的系数是3
D．点A（1，a），B（2，b）均在反比例函数y＝﹣上，则a＞b
20．一个各面分别标有数字1、2、3、4、5、6的骰子，连续投掷二次，分别出现数字、，得到一个点，则既在直线上，又在双曲线上的概率为（
）www.21-cn-jy.com
A．
B．
C．
D．
21．点关于轴的对称点在反比例函数的图象上，则实数的值为（
）
A．
B．
C．
D．
22．在平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的任意一点P(x，y)，我们把的P'(，)称为点P的“倒影点”．直线y=﹣2x+1上有两点A、B，它们的倒影点A'、B'均在反比例函数y的图象上，若AB，则k的值为( )【来源：21·世纪·教育·网】
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．5
D．10
23．下列关系式中，是反比例函数的是（
）
A．
B．
C．
D．
24．下列函数是关于的反比例函数的是（
）
A．
B．
C．
D．
25．点在反比例函数的图象上，下列各点也在此函数图象上的是(
)
A．
B．
C．
D．
26．下列函数中，y是x反比例函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．y＝πx
27．下列函数中，是反比例函数的是
A．
B．
C．
D．
28．在反比例函数y＝的每一条曲线上，y都随着x的增大而减小，则k的值可以是（
）
A．－1
B．1
C．2
D．3
29．已知反比例函数的图象位于第二、四象限，则的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
30．若函数?＝（m+1）x|m|﹣2是反比例函数，则?＝（ ）
A．±1
B．±3
C．﹣1
D．1
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
二、填空题
31．在平面直角坐标系中，点在双曲线上．若，则点在第________象限．
32．已知反比例函数y＝的图象经过点(1，2)，则k的值为_____．
33．若双曲线经过点，则___________．
34．在平面直角坐标系中，点在双曲线上，点关于轴的对称点在双曲线上，则的值为______．21·世纪
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35．已知点分别在反比例函数的图象上，若点与点关于轴对称，则的值为______．
三、解答题
36．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b(k≠0)与反比例函数(m≠0)的图象交于点A(3，1)，且过点B(0，-2)．www-2-1-cnjy-com
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(1)求反比例函数和一次函数的表达式．
(2)如果点P是x轴上位于直线AB右侧的一点，且ΔABP的面积是3，求点P的坐标．
37．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点A（4，），点B在轴的负半轴上，AB交轴于点C，C为线段AB的中点．21世纪教育网版权所有
（1）求的值和点C的坐标；
（2）若点D为线段AB上的一个动点，过点D作DE∥轴，交反比例函数图象于点E，交轴于点F．求当△ODE面积为6时，点E的坐标．21
cnjy
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38．在平面直角坐标系中，直线与反比例函数在第一象限内的图象交于点．
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（1）求m、b的值；
（2）点B在反比例函数的图象上，且点B的横坐标为1．若在直线l上存在一点P（点P不与点A重合），使得，结合图象直接写出点P的横坐标的取值范围．21教育网
39．已知函数解析式为y=(m-2)
（1）若函数为正比例函数，试说明函数y随x增大而减小
（2）若函数为二次函数，写出函数解析式，并写出开口方向
（3）若函数为反比例函数，写出函数解析式，并说明函数在第几象限
40．如图所示，在平面直角坐标系中，等边三角形OAB的一条边OB在x轴的正半轴上，点A在双曲线y＝（k≠0）上，其中点B为（2，0）．【来源：21cnj
y.co
m】
（1）求k的值及点A的坐标
（2）△OAB沿直线OA平移，当点B恰好在双曲线上时，求平移后点A的对应点A’的坐标．
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41．已知y=y1+y2，y1与x+1成正比例，y2与x+1成反比例，当x=0时，y=﹣5；当x=2时，y=﹣7．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）当x=5时，求y的值．
42．已知与成正比例，与成反比例，当时，；当时，.
（1）求关于的函数解析式；
（2）当时，求的值．
43．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴、轴分别交于点、，过点作轴，垂足为.若，.
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（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）当时，求x的取值范围。
44．已知，是的反比例函数，是的正比例函数，当时，；当时，.
（1）求与的函数关系式；
（2）当时，求的值.
45．如图，平面直角坐标系中，点，函数（）的图象经过平行四边形的顶点和边的中点.
（1）求的值；
（2）若的面积等于6.求的值；
（3）若为函数（）的图象上一个动点，过点作直线轴于点，直线与轴上方的平行四边形的一边交于点，设点的横坐标为，当时，求的值.
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46．如图，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数的图象交于第一象限C，D两点，坐标轴交于A、B两点，连结OC，OD（O是坐标原点）．【版权所有：21教育】
（1）利用图中条件，求反比例函数的解析式和m的值；
（2）双曲线上是否存在一点P，使得△POC和△POD的面积相等？若存在，给出证明并求出点P的坐标；若不存在，说明理由．21教育名师原创作品
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47．如图，已知A(－4，n)，B(2，－4)是一次函数y＝kx＋b和反比例函数y＝的图象的两个交点．
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(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)观察图象，直接写出方程kx＋b－＝0的解；
(3)观察图象，直接写出不等式kx＋b－<0的解集；
(4)求△AOB的面积．
48．如图，已知一次函数y1＝kx＋b与反比例函数y2
＝图象在第一、第三象限分别交于A（3，4），B（a，－2）两点，直线AB与y轴，x轴分别交于C，D两点.
【出处：21教育名师】
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（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）比较线段AD、BC大小，并说明理由.
49．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴、y轴分别交于B、A两点，与反比例函数的图象交于点C，连接CO，过C作CD⊥x轴于D，已知tan∠ABO＝，OB＝4，OD＝2．21
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（1）求直线AB和反比例函数的解析式；
（2）在x轴上有一点E，使△CDE与△COB的面积相等，求点E的坐标．
50．如图，在直角坐标系中，△OBA和△DOC的边OA、OC都在x轴的正半轴上，点B的坐标为（6，8），∠BAO∠OCD90°，OD5，CD3．反比例函数的图象经过点D，交AB边于点E．
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（1）求k的值；（2）求BE的长．
51．在平面直角坐标系xOy中，反比例数y＝的图象过点A（6，1）．
（1）求反比例数的表达式；
（2）过点A的直线与反比例数y＝图象的另一个交点为B，与y轴交点交于点P．
①若点P为原点，直接写出点B的坐标；
②若PA＝2PB，求点P的坐标．
52．如图，反比例函数过点，直线与轴交于点，过点作轴的垂线交反比例函数图象于点.
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（1）求的值与点的坐标；
（2）在平面内有点，使得以，，，四点为顶点的四边形为平行四边形，试写出符合条件的所有点的坐标.21·cn·jy·com
53．如图，一次函数的图象与反比例函数（k为常数，且）的图象都经过点.
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（1）求点A的坐标及反比例函数的表达式；
（2）结合图象直接比较，当时，和的大小.
54．如图，直线y＝k1x＋b与双曲线相交于A（1，2），B（m，－1）两点．
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（1）求直线和双曲线的表达式；
（2）求直线AB与x轴的交点C的坐标及ΔAOB的面积；
（3）观察图像，请直接写出使不等式k1x＋b＞成立的x的取值范围．
55．如图①，反比例函数和的图象分别是和.射线OM交于点，射线ON交于点B，，连接AB交y轴于点P，轴.21cnjy.com
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（1）求k的值；
（2）如图②，将绕点O旋转，射线OM始终在第一象限，且交于点C，射线ON在第二象限，且交于点D，连接CD交y轴于点Q，在旋转的过程中，的值是否发生变化？若不变化，求出的值；若变化，请说明理由.2·1·c·n·j·y
（3）在（2）的旋转过程中，当点Q为CD的中点时，问是不是直线CD与的另一个交点？请说明理由.
56．如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于，两点，一次函数图象与y轴交于点C，与x轴交于点D.
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（1）求一次函数的表达式；
（2）观察图象，写出时自变量x的取值范围；
（3）连接OA，在第三象限的反比例函数图象上是否存在一点P，使得？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
57．已知：如图，在平面直角坐标系
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)中，直线分别与、轴交于点，，与反比例函数的图象分别交于点、，轴于点，，，.
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（1）求直线的解析式；
（2）求该反比例函数的解析式；
（3）连接，，求的面积.
58．如图所示：已知直线y＝x与双曲线y=（k＞0）交于A、B两点，且点A的横坐标为4
.
（1）求k的值
（2）求反比例函数的解析式
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59．如下图，在平面直角坐标系中，直线：+n与y轴交于点A
与反比例函数的图象交于B
(-2,-2)，直线过B点与x轴交于点C，OA:OC=
4:3.
（1）求m的值以及直线的函数表达式；
（2）连接AC，求△ABC的面积.
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60．如图，已如平行四边形中，点为坐标顶点，点，函数的图象经过点．
（1）求的值及直线的函数表达式：
（2）求四边形的周长．
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61．如图，已知一次函数y＝﹣2x+8的图象与坐标轴交于A，B两点，并与反比例函数的图象相切于点C．
（1）切点C的坐标是
；
（2）若点M为线段BC的中点，将一次函数y＝﹣2x+8的图象向左平移m（m＞0）个单位后，点C和点M平移后的对应点同时落在另一个反比例函数的图象上时，求k的值．
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精品试卷·第
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