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第01讲
菱形的性质与判定
【基础训练】
一、单选题
1．下列各命题是真命题的是（
）
A．矩形的对称轴是两条对角线所在的直线
B．平行四边形一定是中心对称图形
C．有一个内角为的平行四边形是菱形
D．三角形的外角等于它的两个内角之和
2．如图，菱形中，，则的度数为（
）
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A．
B．
C．
D．
3．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别是6和8，则这个菱形的面积是（ ）
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A．20
B．24
C．40
D．48
4．菱形的边长是，一条对角线的长为，则另一条对角线的长为（
）
A．
B．
C．
D．
5．若菱形的较长对角线为24cm，面积为120cm2，则它的周长为（
）
A．50cm
B．51cm
C．52cm
D．56cm
6．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC⊥BD，则下列条件能判定四边形ABCD为菱形的是（
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教育网
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A．AB＝CD
B．OA＝OC，OB＝OD
C．AC=BD
D．，AD＝BC
7．在菱形ABCD中，若AB＝2，则菱形的周长为(
)
A．4
B．6
C．8
D．10
8．如图，在菱形中，过顶点作交对角线于点，已知，则的大小为（
）．
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A．20°
B．25°
C．65°
D．75°
9．若菱形的两条对角线长分别为8和6，则这个菱形的面积是（
）
A．96
B．48
C．24
D．12
10．如图，在平面直角坐标系中，菱形的边长为6，它的一边在轴上，且的中点是坐标原点，点在轴正半轴上，则点的坐标为（
）【版权所有：21教育】
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A．
B．
C．
D．
11．如图，四边形为菱形，、两点的坐标分别是，，点、在坐标轴上，则菱形的周长等于（
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A．2
B．4
C．8
D．16
12．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD=6，AC=8，直线OE⊥AB交CD于F，则EF的长为（
）.
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A．4
B．4.8
C．5
D．6
13．下列条件中，不能判定一个四边形是菱形的是（
）．
A．一组邻边相等的平行四边形
B．一条对角线平分一组对角的四边形
C．四条边都相等的四边形
D．对角线互相垂直平分的四边形
14．已知某菱形的周长为，高为，则该菱形的面积为（
）
A．
B．
C．
D．
15．如图，已知菱形，，则角度是（
）
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A．
B．
C．
D．
16．如图，在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝6，过点D作DE⊥BA，交BA的延长线于点E，则线段DE的长为（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．4
D．
17．菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（
）
A．对角线互相垂直
B．对角线相等
C．对角线互相平分
D．对角相等
18．如图，在菱形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O，E为BC的中点，则下列式子中，一定成立的是（??
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A．AC=2OE
B．BC=2OE
C．AD=OE
D．OB=OE
19．如图，?ABCD的对角线AC、BD相交于点O，那么下列条件中，能判断?ABCD是菱形的为（
）
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A．AO＝CO
B．AO＝BO
C．∠AOB＝∠BOC
D．∠BAD＝∠ABC
20．如图，菱形中，，则（
）
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A．
B．
C．
D．
21．如图，四边形是菱形，点E，F分别在边上，添加以下条件不能判定的是（
）
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A．
B．
C．
D．
22．如图，在中，M，N是上两点，，连接，，，，添加一个条件，使四边形是菱形，这个条件是（
）21
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com
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A．
B．
C．
D．
23．将一张三角形纸片按如图步骤①至④折叠两次得图⑤，然后剪出图⑤中的阴影部分，则阴影部分展开铺平后的图形是（
）
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A．等腰三角形
B．直角三角形
C．矩形
D．菱形
24．如图，将三角尺ABC沿边BC所在直线平移后得到△DCE，连接AD，下列结论正确的是（ ）
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A．AD＝AB
B．四边形ABCD是平行四边形
C．AD＝2AC
D．四边形ABCD是菱形
25．如图，菱形ABCD中，E，F分别是AD，BD的中点，若，则菱形ABCD的周长为（
）
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A．8
B．16
C．24
D．32
26．如图，平行四边形的周长是，对角线于点，若，则的长等于（
）
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A．
B．
C．
D．
27．下列命题中，是真命题的是（
）
A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．两边及其中一边的对角分别相等的两个三角形全等
C．两条直线被三条直线所截，内错角相等
D．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
28．如图，菱形中，，则（
）
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A．130°
B．125°
C．120°
D．150°
29．如图，在中，，将沿折叠，使点落在边上的点处，并且，则的长是（
）
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A．
B．
C．
D．
30．以等腰梯形四边中点为顶点的四边形是（
）
A．平行四边形
B．菱形
C．矩形
D．正方形
31．如图1，点F从边长为5的菱形ABCD的顶点A出发，沿折线A-D-B以1cm/s的速度匀速运动到点B，点F运动时，△FBC的面积与时间之间的函数关系如图2所示，则的值为（
）
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A．8
B．9
C．
D．
32．如图，在菱形中，，，作交的延长线于点，则线段的长为（
）
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A．
B．
C．4
D．
33．如图，菱形的对角线，，则菱形的周长等于（
）
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A．14
B．20
C．24
D．28
34．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴的正半轴上．若点的坐标是，则点的坐标为（
）【来源：21·世纪·教育·网】
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A．
B．
C．
D．
35．如图，已知菱形AB
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)CD中，∠A=60°，过AD中点E作EF⊥BD，交对角线BD于点M，交BC的延长线于点F．连接DF，若CF＝2，BD＝4，则DF的长是（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．4
B．4
C．2
D．5
36．下列说法中正确的是（
）
A．对角线互相垂直的四边形是菱形
B．五边形的内角和为720°
C．一条对角线平分一组对角的四边形是菱形
D．三角形的外角和为360°
37．如图，在菱形ABCD中，E是对角线AC上的一点，过点E作FHAD，GIAB，点F，G，H，I分别在AB，BC，CD，DA上．若AC＝a，∠B＝60°，则图中阴影部分的周长为（ ）
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A．
B．4a
C．
D．6a
38．下列说法中不正确的是（ ）
A．平行四边形的对角相等
B．菱形的邻边相等
C．平行四边形的对角线互相平分
D．菱形的对角线互相垂直且相等
39．如图过菱形对角线的交点的任意一条直线，把菱形分成两个梯形，这两个梯形全等的理由是（
）
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A．因为菱形是轴对称图形
B．因为菱形是中心对称图形
C．因为菱形既是轴对称图形又是中心对称图形
D．因为菱形对角线相等且互相平分
40．下列命题中，是真命题的是（
）
A．若菱形ABCD的对角线的长分别为6，8，则该菱形的边长为10
B．若菱形ABCD的一个内角为60°，且其中一条对角线长为3，则该菱形的边长为3
C．若☉O经过菱形OABC的顶点A，B，C，则该菱形的一个内角为60°
D．若菱形ABCD的对角线相等，则∠ABC=60°或120°
二、填空题
41．如图，在菱形中，于点E，，，则菱形的周长是________．
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42．如图，菱形的对角线、相交于点O，，垂足为E，，，则的长为______．
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43．菱形中，对角线，则菱形的高等于___________．
44．在菱形ABCD中，若对角线AC=8，BD=5，
则菱形ABCD的面积为_____．
45．如图，已知在菱形中，对角线、相交于点O，已知AC=8，BD=4，则菱形的边长为________．
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三、解答题
46．如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，且AO＝CO，点E在BD上，满足∠EAO＝∠DCO．
（1）求证：四边形AECD是平行四边形；
（2）若AB＝BC，CD＝5，AC＝8，求四边形AECD的面积．
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47．如图，四边形是菱形，点、分别在边、的延长线上，且．连接、．
求证：．
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48．如图，在平行四边形中，，相交于点，点，在上，且．连接，．
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（1）求证：；
（2）若，连接，，判断四边形的形状，并说明理由．
49．如图，在菱形中，点，别是，上点，．
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（1）尺规作图：作的角平分线交边于点；（不写作法，用2B铅笔作图并保留痕迹）
（2）在（1）作图中，若，求证：．
50．如图，四边形ABCD是菱形，E是BD上一点，AE的延长线交CD于点F．求证：∠AFD=∠ECB．
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51．已知，如图，四边形ABCD的
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)对角线AC⊥BD于点E，点F为四边形ABCD外一点，且∠FCA＝90°，BC平分∠DBF，∠CBF＝∠DCB．求证：四边形DBFC是菱形．21cnjy.com
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52．如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段AB的端点均在小正方形的顶点上，请按要求画出图形，使得它们的顶点均在小正方形的顶点上；21
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com
（1）在图中画一个以AB为边的菱形ABCD，使得菱形ABCD的面积为24；
（2）画一个以点B为直角顶点的等腰直角三角形ABE；
（3）连接CE，请直接写出线段CE的长．
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53．如图，已知菱形，点和点分别在边、上，且，连接，．求证：．
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54．如图，AEBF，AC平分∠BAD，且交BF于点C，BD平分∠ABC，且与AE交于点D，连接CD．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AC＝6，BD＝8，AM⊥BC于M，求AM的长．
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55．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，点F是AC上一点，连接BF、DF．
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（1）证明：△ABF≌△ADF；
（2）若AB//CD，试证明四边形ABCD是菱形．
56．尺规作图：如图，已知线段a，线段b及其中点．
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求作：菱形ABCD，使其两条对角线的长分别等于线段a，b的长．
作法：①作直线m，在m上任意截取线段；
②作线段AC的垂直平分线EF交线段AC于点O；
③以点O为圆心，线段b的长的一半为半径画圆，交直线EF于点B，D；
④分别连接AB，BC，CD，DA；
则四边形ABCD就是所求作的葵形．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：，
四边形ABCD是_______________．
，
四边形ABCD是菱形（____________________________）（填推理的依据）．21·cn·jy·com
57．如图，点E，F分别在菱形ABCD的边BC，CD上，且∠BAE＝∠DAF．求证：AE＝AF．
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58．已知：为锐角三角形，．
求作：菱形．
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作法：如图，
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①以点A为圆心，适当长为半径作弧，交于点M，交于点N；
②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点E，作射线与交于点O；
③以点O为圆心，以长为半径作弧，与射线交于点D，连接，；四边形就是所求作的菱形．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：∵平分，
∴________．
∵，
∴四边形是平行四边形．
∵，
∴四边形是菱形（_______）（填推理的依据）．
59．如图，四边形ABCD中，ABDC，AC平分∠BAD，CEDA交AB于点E．求证：四边形ADCE是菱形．www.21-cn-jy.com
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60．（1）解不等式：．
（2）如图，已知四边形为菱形，延长到点E，使得，过点E作，交的延长线于点F，求证：．
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61．如图，在菱形ABCD中，点E是边AD上一点，延长AB至点F，使BF＝AE，连接BE、CF．求证：BE＝CF．2·1·c·n·j·y
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62．如图1，在中，，求作菱形，使点在边上，点、在边上，点在上．
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小明的作法：①如图2，在边上取一点，过点作交于点．
②以点为圆心，长为半径画弧，交于点．
③在上截取，连接，则四边形为所求作的菱形．
证明：小明所作的四边形是菱形
63．如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，点E，F在上，且．
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（1）求证：；
（2）不添加辅助线，请你补充一个条件，使得四边形是菱形；并给予证明．
64．如图，在菱形ABCD中，E为对角线BD上一点，且AE＝DE，连接CE．
（1）求证：CE＝DE．
（2）当BE＝2，CE＝1时，求菱形的边长．
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65．如图，在菱形ABCD中，过点D分别作DE⊥AB于点E，作DF⊥BC于点F．求证：AE＝CF．
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66．如图，菱形中，，点E，F分别在和上，，求证：．
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67．如图，是菱形的对角线．
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（1）请用直尺和圆规作的垂直平分线，垂足为点，交于点；（不要求写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，连接，若，求的度数．
68．如图，菱形的对角线与相交于，是中点，连接并延长到，使．求证：四边形是矩形．21世纪教育网版权所有
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69．如图，菱形的对角线、相交于点O，过点D作且，连接交于点F，连接、．
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(1)求证：；
(2)若菱形的边长为2，，求的长．
70．如图，菱形中，分别延长，至点，，使，，连接，，，．求证：四边形是矩形．2-1-c-n-j-y
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71．在RtABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．【来源：21cnj
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（1）证明四边形ADCF是菱形；
（2）若AC＝4，AB＝5，求菱形ADCF的面积．
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72．如图，在?ABCD中，∠ABC＝60°，BC＝2AB，点E、F分别是BC、DA的中点．
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（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）若AB＝2，求BD的长．
73．如图，在Rt△ABC中，∠A
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)CB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D在AB边上一点．过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD、BE．21教育网
（1）求证：CE＝AD；
（2）当点D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由．
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74．如图，在每个小正方形的边长为1的方格纸中有线段AB和CD，点A、B、C、D均在小正方形的顶点上．
【出处：21教育名师】
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（1）在方格纸中画出菱形ABEF，点E、F均在小正方形的顶点上，且菱形的面积为20；
（2）在方格纸中画出CD为斜边的等腰直角△CGD，点G在正方形的顶点上；
（3）在（1）（2）条件下，连接EG，请直接写出EG的长．
75．如图，四边形ABCD是平行四边形，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，且BE＝DF．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若点E是BC的中点，求∠C的度数．
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精品试卷·第
2
页
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第01讲
菱形的性质与判定
【基础训练】
一、单选题
1．下列各命题是真命题的是（
）
A．矩形的对称轴是两条对角线所在的直线
B．平行四边形一定是中心对称图形
C．有一个内角为的平行四边形是菱形
D．三角形的外角等于它的两个内角之和
【答案】B
【分析】
根据矩形的性质、轴对称图形和中心对称图形的概念、三角形的外角性质判断即可．
【详解】
解：A、矩形的对称轴是任意一边的垂直平分线，两条对角线所在的直线不一定是矩形的对称轴，本选项是假命题；
B、平行四边形一定是中心对称图形，本选项是真命题；
C、有一个内角为60°的平行四边形不一定是菱形，本选项是假命题；
D、三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，本选项是假命题；
故选：B．
【点睛】
本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
2．如图，菱形中，，则的度数为（
）
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A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
由菱形得到AB=AD，进而得到∠ADB=∠ABD，再由三角形内角和定理即可求解．
【详解】
解：∵四边形ABCD为菱形，∴AD=AB，
∴∠ADB=∠ABD=(180°-∠A)÷2=(180°-50°)÷2=65°，
故选：A．
【点睛】
本题考查了菱形的性质，菱形的邻边相等，属于基础题，熟练掌握菱形的性质是解决本题的关键．
3．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别是6和8，则这个菱形的面积是（ ）
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A．20
B．24
C．40
D．48
【答案】B
【分析】
根据菱形的对角线的长度即可直接计算菱形ABCD的面积．
【详解】
解：∵菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别是6和8，
∴菱形ABCD的面积＝BD×AC＝×8×6＝24．
故选：B．
【点睛】
本题考查了菱形对角线互相垂直平分的性质，理解菱形面积等于对角线乘积的一半是解题的关键．
4．菱形的边长是，一条对角线的长为，则另一条对角线的长为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
根据菱形性质得出OB＝OD＝3cm，OA＝OC，AC⊥BD，由勾股定理求出OA，即可得出答案．
【详解】
如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝5cm，OB＝OD＝BD＝3cm，AC⊥BD，
∴∠AOB＝90°，
由勾股定理得：OA＝＝4cm，
∴AC＝2OA＝8cm，
故选：C．
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【点睛】
本题考查了菱形的性质和勾股定理，熟练掌握菱形的对角线互相垂直平分是解题的关键．
5．若菱形的较长对角线为24cm，面积为120cm2，则它的周长为（
）
A．50cm
B．51cm
C．52cm
D．56cm
【答案】C
【分析】
由菱形的面积公式求出另一条对角线的长，再根据勾股定理求出边长，周长即可求出．
【详解】
解：设另一对角线为x，则×24x=120，
解得x=10cm，
∴菱形边长==13cm，
∴周长为13×4=52cm．
故选：C．
【点睛】
本题考查菱形的面积等于对角线乘积的一半和勾股定理，需要熟练掌握．
6．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC⊥BD，则下列条件能判定四边形ABCD为菱形的是（
）
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A．AB＝CD
B．OA＝OC，OB＝OD
C．AC=BD
D．，AD＝BC
【答案】B
【分析】
由题知AC⊥BD，所以只要所给选项能使四边形ABCD为平行四边形即可．
【详解】
A、只有AB＝CD不能判定四边形ABCD为平行四边形；
B、据对角线互相平分的四边形是平行四
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)边形，由OA＝OC，OB＝OD可判定四边形ABCD为平行四边形，再由AC⊥BD可得四边形ABCD为菱形；
C、只有AC=BD不能判定四边形ABCD为平行四边形；
D、，AD＝BC不能判定四边形ABCD为平行四边形；
故只有B选项的条件可判定四边形ABCD为菱形．
故选：B．
【点睛】
此题考查菱形的判定，菱形的基本判
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)定方法有三个：一、一组邻边相等的平行四边形是菱形；二、对角线互相垂直的平行四边形是菱形；三、四条边相等的四边形是菱形
．其中第一、二两种判定方法都需要先判定四边形是平行四边形．
7．在菱形ABCD中，若AB＝2，则菱形的周长为(
)
A．4
B．6
C．8
D．10
【答案】C
【分析】
根据菱形的四边相等，即可求出其周长．
【详解】
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD=2，
∴菱形的周长=2×4=8，
故选：C．
【点睛】
本题考查菱形的性质、周长等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的性质．
8．如图，在菱形中，过顶点作交对角线于点，已知，则的大小为（
）．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．20°
B．25°
C．65°
D．75°
【答案】C
【分析】
根据菱形的性质和三角形的内角和解答即可．
【详解】
解：在菱形中，∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案选C．
【点睛】
本题主要考查了菱形的性质，解题的关键是根据菱形的邻角互补进行解答．
9．若菱形的两条对角线长分别为8和6，则这个菱形的面积是（
）
A．96
B．48
C．24
D．12
【答案】C
【分析】
根据菱形的面积等于对角线乘积的一半计算即可．
【详解】
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴S＝×6×8＝24．
故选：C．
【点睛】
本题考查了菱形的面积的计算．易错易混点：学生在求菱形面积时，易把对角线乘积当成菱形的面积，或是错误判断对角线的长而误选．21教育名师原创作品
10．如图，在平面直角坐标系中，菱形的边长为6，它的一边在轴上，且的中点是坐标原点，点在轴正半轴上，则点的坐标为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
由菱形的性质可得AB=AD=CD=6，AB∥CD，由勾股定理可求DO的长，即可求点C坐标．
【详解】
解：∵四边形ABCD是菱形
∴AB=AD=CD=6，AB∥CD
∵AB的中点是坐标原点，
∴AO=BO=3，
∴DO=
=3
，
∴点C坐标（6，3）．
故选D．
【点睛】
本题考查菱形的性质，坐标与图形的性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键．
11．如图，四边形为菱形，、两点的坐标分别是，，点、在坐标轴上，则菱形的周长等于（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．2
B．4
C．8
D．16
【答案】C
【分析】
由，，求解
再利用菱形的性质求解从而可得菱形的周长．
【详解】
解：
四边形为菱形，，，
由＞，
菱形的周长为
故选C．
【点睛】
本题考查的是菱形的性质，掌握菱形的性质是解题的关键．
12．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD=6，AC=8，直线OE⊥AB交CD于F，则EF的长为（
）.
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．4
B．4.8
C．5
D．6
【答案】B
【分析】
由在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD=6，AC=8，可求得菱形的面积与边长，继而求得答案．
【详解】
解：∵在菱形ABCD中，BD=6，AC=8，
∴OB=BD=3，OA=AC=4，AC⊥BD，
∴AB==5，
∵S菱形ABCD=AC?BD=AB?EF，
∴EF===4.8．
故选B．
13．下列条件中，不能判定一个四边形是菱形的是（
）．
A．一组邻边相等的平行四边形
B．一条对角线平分一组对角的四边形
C．四条边都相等的四边形
D．对角线互相垂直平分的四边形
【答案】B
【分析】
由菱形的判定性质，即可得到答案．
【详解】
选项A、C、D均为菱形的判定定理，故正确；
选项B，一条对角线平分一组对角，和菱形每一条对角线平分一组对角的性质相悖
∴选项B错误
故选：B．
【点睛】
本题考察了菱形判定定理的知识；求解的关键是熟练并准确掌握菱形判定定理，即可完成求解．
14．已知某菱形的周长为，高为，则该菱形的面积为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
先利用菱形的性质求出菱形的边长为2，再利用菱形的面积=底
高即可
【详解】
解：菱形的边长：
．
菱形的面积：．
【点睛】
本题主要是考题菱形的性质与面积，易出现求面积时不懂的把菱形当作平行四边的面积来求．
15．如图，已知菱形，，则角度是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
根据菱形的对边平行，得到，进而得出，再根据菱形对角线平分一组对角，得出角度.
【详解】
解：∵∴，
又∵菱形对角线平分一组对角，∴.
故选：B.
【点睛】
本题考查菱形的性质，熟练掌握菱形的性质：对边平行，对角线平分一组对角，是解题的关键.
16．如图，在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝6，过点D作DE⊥BA，交BA的延长线于点E，则线段DE的长为（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．4
D．
【答案】D
【分析】
利用菱形的面积等于两对角线之积的一半，求解菱形的面积，再利用等面积法求菱形的高即可．
【详解】
解：记AC与BD的交点为，
菱形,
菱形的面积
菱形的面积
故选D．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
本题考查的是菱形的性质，菱形的面积公式，勾股定理．理解菱形的对角线互相垂直平分和学会用等面积法是解题关键．
17．菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（
）
A．对角线互相垂直
B．对角线相等
C．对角线互相平分
D．对角相等
【答案】A
【分析】
根据菱形的性质和平行四边形的性质逐一判断即可．
【详解】
解：A.菱形的对角线互相垂直，而平行四边形的对角线不一定垂直，故本选项符合题意；
B.菱形和平行四边形的对角线都不一定相等，故本选项不符合题意；
C.菱形和平行四边形的对角线都互相平分，故本选项不符合题意；
D.菱形和平行四边形的对角都相等，故本选项不符合题意．
故选A．
【点睛】
此题考查的是菱形的性质和平行四边形的性质，掌握菱形的性质和平行四边形的性质是解决此题的关键．
18．如图，在菱形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O，E为BC的中点，则下列式子中，一定成立的是（??
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．AC=2OE
B．BC=2OE
C．AD=OE
D．OB=OE
【答案】B
【分析】
由菱形的性质可得菱形的四条边相等，利用中位线的性质可得答案．
【详解】
解：
菱形ABCD，
为的中点，
为的中位线，
故选B．
【点睛】
本题考查的是菱形的性质，三角形的中位线的性质，掌握以上知识是解题的关键．
19．如图，?ABCD的对角线AC、BD相交于点O，那么下列条件中，能判断?ABCD是菱形的为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．AO＝CO
B．AO＝BO
C．∠AOB＝∠BOC
D．∠BAD＝∠ABC
【答案】C
【分析】
在平行四边形基础上，菱形的判定方法有：①一组邻边相等的平行四边形是菱形；②对角线互相垂直的平行四边形是菱形．据此逐个选项分析即可．21
cnjy
com
【详解】
A、由平行四边形的性质可知，对角线互相平分，则此项不符题意
B、由中可推得，可以证明为矩形，但不能判定为菱形，则此项不符题意
C、当时，因为，所以，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可知是菱形，则此项符合题意
D、由平行四边形的性质可知，，故当时，可推出，从而可判定为矩形，则此项不符题意
故选：C．
【点睛】
本题考查了菱形的判定，掌握菱形的判定方法是解题关键．
20．如图，菱形中，，则（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
直接利用菱形的性质得出，，进而结合平行四边形的性质得出答案．
【详解】
解：四边形是菱形，
，，
，
，
．
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了菱形的性质，正确得出的度数是解题关键．
21．如图，四边形是菱形，点E，F分别在边上，添加以下条件不能判定的是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
根据三角形全等判定定理SAS可判定A，三角形全等判定定理AAS可判定B，三角形全等判定定理可判定C，三角形全等判定定理AAS可判定D即可．【版权所有：21教育】
【详解】
解:
∵四边形是菱形，
∴AB=AD,∠B=∠D,
A.
添加可以，
在△ABE和△ADF中，
，
∴(SAS)，
故选项A可以；
B.添加
可以，
在△ABE和△ADF中
，
∴(AAS)；
故选项B可以；
C.
添加不可以，条件是边边角故不能判定；
故选项C不可以；
D.
添加可以，
在△ABE和△ADF中
，
∴(SAS)．
故选项D可以；
故选择C．
【点睛】
本题考查添加条件判定三角形全等，菱形性质，掌握三角形全等判定定理，菱形性质是解题关键．
22．如图，在中，M，N是上两点，，连接，，，，添加一个条件，使四边形是菱形，这个条件是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
由平行四边形的性质可知：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)OA=OC，OB=OD，再证明OM=ON即可证明四边形AMCN是平行四边形，由对角线互相垂直的平行四边形可得到菱形．
【详解】
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵对角线BD上的两点M、N满足BM=DN，
∴OB-BM=OD-DN，即OM=ON，
∴四边形AMCN是平行四边形，
A选项、∵，则OM=ON=OA=OC，即AC=MN，
∴平行四边形AMCN是矩形，不符合题意；
B选项、，不能判断平行四边形AMCN是菱形，不符合题意；
C选项、∵BD⊥AC，
∴MN⊥AC，
∴四边形AMCN是菱形；
D选项、∵，
∴，
∴AM∥CN，不能判断平行四边形AMCN是菱形，不符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题考查了菱形的判定，平行四边形的判定与性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
23．将一张三角形纸片按如图步骤①至④折叠两次得图⑤，然后剪出图⑤中的阴影部分，则阴影部分展开铺平后的图形是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．矩形
D．菱形
【答案】D
【分析】
此题是有关剪纸的问题，此类问题应亲自动手折一折，剪一剪．
【详解】
解：由题可知，AD平分,折叠后与重合，故全等，所以EO=OF;
又作了AD的垂直平分线，即EO垂直平分AD，所以AO=DO，且EO⊥AD；
由平行四边形的判定：对角线互相平分的四边形为平行四边形，所以AEDF为平行四边形；
又AD⊥EF，所以平行四边形AEDF为菱形．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
故选：
【点睛】
本题主要考察学生对于立体图形与平面
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)展开图形之间的转换能力，与课程标准中“能以实物的形状想象出几何图形，有几何图形想象出实物的图形”的要求相一致，充分体现了实践操作性原则．
24．如图，将三角尺ABC沿边BC所在直线平移后得到△DCE，连接AD，下列结论正确的是（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．AD＝AB
B．四边形ABCD是平行四边形
C．AD＝2AC
D．四边形ABCD是菱形
【答案】B
【分析】
由平移的性质，结合图形，对选项进行一一分析，即可选择正确答案．
【详解】
∵将三角尺ABC沿边BC所在直线平移后得到△DCE，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴选项B正确．
∵在Rt△ABC中，斜边AB大于直角边BC，
∴AB>AD，
∴四边形ABCD不是菱形，
即选项A、D均错误．
∵∠ABC=30゜，∠ACB=90゜，
∴AB=2AC，
由勾股定理得：，
∴，
故选项C错误．
故选：B．
【点睛】
本题考查了菱形的判定、平移的
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)性质、平行四边形的判定与性质、30度角的直角三角形性质、勾股定理等知识，熟练掌握这些性质与判定是解决本题的关键．21·cn·jy·com
25．如图，菱形ABCD中，E，F分别是AD，BD的中点，若，则菱形ABCD的周长为（
）
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A．8
B．16
C．24
D．32
【答案】D
【分析】
根据中位线的性质求出的长度，再由菱形四条边相等的性质运算周长即可．
【详解】
∵E，F分别是AD，BD的中点
∴为的中位线
∴
又∵是菱形
∴
∴
故答案选：D.
【点睛】
本题主要考查了中位线的性质，菱形的性质，熟悉掌握中位线的比值关系是解题的关键．
26．如图，平行四边形的周长是，对角线于点，若，则的长等于（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
先证明平行四边形是菱形，再由菱形的性质解得，，中，利用余弦定义解得的长，即可求得的长．
【详解】
解:
平行四边形中，
平行四边形是菱形，
平行四边形的周长是，
中，
，
故选：D．
【点睛】
本题考查菱形的判定与性质、含30°角的直角三角形、余弦等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
27．下列命题中，是真命题的是（
）
A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．两边及其中一边的对角分别相等的两个三角形全等
C．两条直线被三条直线所截，内错角相等
D．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
【答案】D
【分析】
根据平行四边形的判定、全等三角形的判定方法、平行线的性质、菱形的判定分别判断即可．
【详解】
解：A、一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，故为假命题；
B、两边及其中一边的对角分别相等满足SSA，则两个三角形不一定全等，故为假命题；
C、两条平行线被三条直线所截，内错角相等，故为假命题；
D、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故为真命题；
故选：D．
【点睛】
本题考查的是命题的真假判断，掌握三角形全等的判定方法，垂径定理，平行四边形的判定，平行线的性质是解题的关键．
28．如图，菱形中，，则（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．130°
B．125°
C．120°
D．150°
【答案】D
【分析】
根据BA=BC，得到∠BCA=15°，∠B=150°，利用菱形的对角相等求解即可．
【详解】
∵四边形ABCD是菱形，
∴BA=BC，∠B=∠D，
∴∠BCA=∠1，
∵，
∴∠BCA=15°，
∴∠B=180°-∠BCA-∠1=150°，
∴∠D=150°；
故选：D．
【点睛】
本题考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
29．如图，在中，，将沿折叠，使点落在边上的点处，并且，则的长是（
）
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A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
先判定四边形是菱形，再根据菱形的性质计算．
【详解】
解：设，
根据C′D∥BC，
∴∠C′DE=∠DEC=∠DEC′，
∴EC′=DC′，
∵EC=EC′，
∴C′D=EC，
可得四边形是菱形；
即中，
，
，
；
故可得；
解得．
故选：A．
【点睛】
本题通过折叠变换考查学生的逻辑思维能力，解决此类问题，应结合题意，最好实际操作图形的折叠，易于找到图形间的关系．21cnjy.com
30．以等腰梯形四边中点为顶点的四边形是（
）
A．平行四边形
B．菱形
C．矩形
D．正方形
【答案】B
【分析】
根据题意作图，利用等腰梯形对角线相等，以及平行四边形及特殊的平行四边形的判定定理即可得出答案.
【详解】
解：依题作图如下：
如图：E、F、G、H为等腰梯形ABCD四边的中点，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
E、F为BC、CD的中点，
EF为△BCD的中位线，
,且
；
同理可得：,且
；
,且
；
,且
；
ABCD为等腰梯形，
BD=AC，
EF=EH=HG=GF,
四边形EHGF为菱形.
故选：B.
【点睛】
本题考查中点四边形的判定，首先应该熟悉原来
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)四边形的形状以及性质，再利用中位线定理，得出中点四边形四条边之间的位置和数量关系，最后根据平行四边形以及特殊平行四边形的判定定理判断中点四边形的形状，此类题型最好画图辅助.21
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com
31．如图1，点F从边长为5的菱形ABCD的顶点A出发，沿折线A-D-B以1cm/s的速度匀速运动到点B，点F运动时，△FBC的面积与时间之间的函数关系如图2所示，则的值为（
）
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A．8
B．9
C．
D．
【答案】C
【分析】
过点D作DH⊥BC，利用函数图象可得到，可求出的长度，再利用勾股定理求出的长，即可求出的运动路程，从而求得的值．
【详解】
∵菱形的边长为5，过点D作DH⊥BC，如图：
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∴
当x=5时，y=7.5，
∴DH=3，
∴，
∴
RtBDH中，可得，
∴AD+DB=
故选：C
【点睛】
本题主要考查了函数的几何应用，其中涉及到的知识点有菱形的性质，勾股定理，函数图象的性质等知识点，从函数图像中分析出关键信息是解题的关键．21世纪教育网版权所有
32．如图，在菱形中，，，作交的延长线于点，则线段的长为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．4
D．
【答案】B
【分析】
如图（见解析），先根据菱形的性质可得，再利用勾股定理可得，从而可得，然后利用三角形的面积公式即可得．21·世纪
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【详解】
如图，设与的交点为点，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
四边形是菱形，，
，
，
在中，，
，
，
，即，
解得，
故选：B．
【点睛】
本题考查了菱形的性质、勾股定理等知识点，熟练掌握菱形的性质是解题关键．
33．如图，菱形的对角线，，则菱形的周长等于（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．14
B．20
C．24
D．28
【答案】B
【分析】
设菱形的对角线相交于点，根据菱形的性质及勾股定理解得AB的长即可解题．
【详解】
设菱形的对角线相交于点，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
，
且
菱形的周长为：，
故选：B．
【点睛】
本题考查菱形的性质、勾股定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
34．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴的正半轴上．若点的坐标是，则点的坐标为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
先求出OA的长，根据菱形的特点得到，故可求出B点坐标．
【详解】
解：点的坐标是，
，
四边形为菱形，
，
则点的坐标为．
故选：．
【点睛】
此题主要考查菱形的性质，解题的关键是熟知勾股定理与直角坐标系的特点．
35．如图，已知菱形ABCD中，∠
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)A=60°，过AD中点E作EF⊥BD，交对角线BD于点M，交BC的延长线于点F．连接DF，若CF＝2，BD＝4，则DF的长是（ ）
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A．4
B．4
C．2
D．5
【答案】C
【分析】
连接AC交BD于O点，求出EF的长，再求出EM、DM的长，在Rt△DMF中利用勾股定理即可求解．
【详解】
如图，连接AC交BD于O点，
∴AC⊥BD
∵∠BAD=60°，
∴△ABD是等边三角形
∴AD=BD＝4，
∵E点是AD中点
∴AE=CF=2
又AECF
∴四边形AEFC是平行四边形
∴
∵E点是AD中点，∠ADM=60°，EF⊥BD
故∠DEM=30°
∴DM=DE=1，EM=
∵AD=4，OD=2
∴AO=
∴AC=4=EF
∴MF=EF-EM=3
在Rt△DMF中DF=
故选C．
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【点睛】
此题主要考查菱形内的线段求解，解题的关键是熟知菱形的性质、等边三角形的性质及勾股定理的运用．
36．下列说法中正确的是（
）
A．对角线互相垂直的四边形是菱形
B．五边形的内角和为720°
C．一条对角线平分一组对角的四边形是菱形
D．三角形的外角和为360°
【答案】D
【分析】
根据菱形的判定方法，五边形的内角和及三角形外角和的求法分析判断即可．
【详解】
A、对角线互相垂直平分的平行四边形是菱形，故本选项说法错误；
B、五边形的内角和为，故本选项说法错误；
C、一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形，故本选项说法错误；
D、三角形的外角和为360°，故本选项说法正确；
故选：D．
【点睛】
本题考查菱形的判定方法、五边形的内角和及三角形外角和的求法，解题的关键是熟练掌握上述所学知识点．
37．如图，在菱形ABCD中，E是对角线AC上的一点，过点E作FHAD，GIAB，点F，G，H，I分别在AB，BC，CD，DA上．若AC＝a，∠B＝60°，则图中阴影部分的周长为（ ）
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A．
B．4a
C．
D．6a
【答案】B
【分析】
由
菱形ABCD，可得都为等边三角形，可得
如图，记阴影四边形的公共顶点为
由FHAD，GIAB，证明为等边三角形，都为等边三角形，从而可得阴影部分的周长为：2·1·c·n·j·y
【详解】
解：
菱形ABCD，
都为等边三角形，
如图，记阴影四边形的公共顶点为
FHAD，GIAB，
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为等边三角形，
同理：都为等边三角形，
阴影部分的周长为：
故选：
【点睛】
本题考查的是菱形的性质，等边三角形的判定，掌握以上知识是解题的关键．
38．下列说法中不正确的是（ ）
A．平行四边形的对角相等
B．菱形的邻边相等
C．平行四边形的对角线互相平分
D．菱形的对角线互相垂直且相等
【答案】D
【分析】
根据平行四边形与菱形的性质分别进行判断，即可得出结论．
【详解】
解：A、平行四边形的对角相等，此说法正确，故此选项不符合题意；
B、菱形的四条边都相等，故此选项说法正确，不符合题意；
C、平行四边形的对角线互相平分，此说法正确，故此选项不符合题意；
D、菱形的对角线互相垂直平分，故此选项说法错误，符合题意．
故选：D．
【点睛】
此题考查了平行四边形与菱形的性质，熟练掌握平行四边形与菱形的性质是解题的关键．
39．如图过菱形对角线的交点的任意一条直线，把菱形分成两个梯形，这两个梯形全等的理由是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．因为菱形是轴对称图形
B．因为菱形是中心对称图形
C．因为菱形既是轴对称图形又是中心对称图形
D．因为菱形对角线相等且互相平分
【答案】B
【分析】
根据菱形是中心对称图形可知过菱形对角线的交点的任意一条直线，把菱形分成两个梯形，这两个梯形全等．
【详解】
解：∵菱形是中心对称图形，
∴过菱形对角线的交点的任意一条直线分成两个梯形全等．
故选：B．
【点睛】
本题考查了菱形的性质，熟记性质以及中心对称图形的定义是解答本题的关键．
40．下列命题中，是真命题的是（
）
A．若菱形ABCD的对角线的长分别为6，8，则该菱形的边长为10
B．若菱形ABCD的一个内角为60°，且其中一条对角线长为3，则该菱形的边长为3
C．若☉O经过菱形OABC的顶点A，B，C，则该菱形的一个内角为60°
D．若菱形ABCD的对角线相等，则∠ABC=60°或120°
【答案】C
【分析】
逐一进行判断即可．
【详解】
A.
若菱形ABCD的对角线的长分别为6，8，根据勾股定理可知菱形的边长为5，故该选项错误；
B.
若菱形ABCD的一个内角为60°，且其中较长的对角线长为3，则该菱形的边长不为3，故该选项错误；
C.
若☉O经过菱形OABC的顶点A，B，C，则都是等边三角形，所以该菱形的一个内角为60°，故该选项正确；
D.
若菱形ABCD的对角线相等，菱形ABCD是正方形，则∠ABC=90°，故该选项错误；
故选：C．
【点睛】
本题主要考查真命题，掌握菱形的有关性质是关键．
二、填空题
41．如图，在菱形中，于点E，，，则菱形的周长是________．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】8
【详解】
∵，，∴，∴菱形的周长为．
42．如图，菱形的对角线、相交于点O，，垂足为E，，，则的长为______．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】
【分析】
直接利用菱形的性质得出AO，DO的长，再利用勾股定理得出菱形的边长，进而利用等面积法得出答案．
【详解】
解：∵菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC=8，DB=6，
∴AO=4，DO=3，∠AOD=90°，
∴AD=5，
在
中，由等面积法得：
,
∴
故答案为：
．
【点睛】
本题考查了菱形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的高的求法（等面积法），熟记性质与定理是解题关键．
43．菱形中，对角线，则菱形的高等于___________．
【答案】
【分析】
过A作AE⊥BC，垂足为E，根据菱形的性质求出菱形边长，再利用菱形的面积公式得到方程，解之可得AE．
【详解】
解：如图，过A作AE⊥BC，垂足为E，即AE为菱形ABCD的高，
∵菱形ABCD中，AC=10，BD=24，
∴OB=BD=12，OA=AC=5，
在Rt△ABO中，AB=BC==13，
∵S菱形ABCD=，
∴，
解得：AE=，
故答案为：．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
本题考查了菱形的性质和勾股定理的应用，能熟记菱形的性质是解此题的关键，注意：菱形的四条边都相等，菱形的对角线互相平分且垂直．www-2-1-cnjy-com
44．在菱形ABCD中，若对角线AC=8，BD=5，
则菱形ABCD的面积为_____．
【答案】20
【分析】
由菱形的面积公式可求解．
【详解】
解：菱形ABCD的面积=，
故答案为：20．
【点睛】
本题考查了菱形的性质，掌握菱形的面积公式是本题的关键．
45．如图，已知在菱形中，对角线、相交于点O，已知AC=8，BD=4，则菱形的边长为________．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】
【分析】
由菱形ABCD中对角线AC、BD相交于点O，若AC=8，BD=4，即可求得OA与OB的长，然后由勾股定理求得菱形的边长．
【详解】
解：∵四边形ABCD是菱形，且AC=8，BD=4，
∴OA=AC=4，OB=BD=2，AC⊥BD，
∴．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了菱形的性质以及勾股定理，解答本题的关键是掌握菱形的对角线互相垂直平分，题目比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．
三、解答题
46．如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，且AO＝CO，点E在BD上，满足∠EAO＝∠DCO．
（1）求证：四边形AECD是平行四边形；
（2）若AB＝BC，CD＝5，AC＝8，求四边形AECD的面积．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】（1）见解析；（2）24
【分析】
（1）根据题意可证明，得到OD＝OE，从而根据“对角线互相平分的四边形为平行四边形”证明即可；
（2）根据AB=BC，AO=CO，可证明
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)BD为AC
的中垂线，从而推出四边形AECD为菱形，然后根据条件求出DE的长度，即可利用菱形的面积公式求解即可．
【详解】
（1）证明：在△AOE
和△COD中，
∴．
∴OD＝OE．
又∵AO＝CO，
∴四边形AECD
是平行四边形．
（2）∵AB＝BC，AO＝CO，
∴BO为AC的垂直平分线，．
∴平行四边形
AECD是菱形．
∵AC＝8，
．
在
Rt△COD
中，CD＝5，
，
∴，
，
∴四边形
AECD
的面积为24．
【点睛】
本题考查平行四边形的判定，菱形的判定与面积计算，掌握基本的判定方法，熟练掌握菱形的面积计算公式是解题关键．
47．如图，四边形是菱形，点、分别在边、的延长线上，且．连接、．
求证：．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】见解析
【分析】
根据菱形的性质得到BC=CD，∠ADC=∠ABC，根据SAS证明△BEC≌△DFC，可得CE=CF．
【详解】
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴BC=CD，∠ADC=∠ABC，
∴∠CDF=∠CBE，
在△BEC和△DFC中，
，
∴△BEC≌△DFC（SAS），
∴CE=CF．
【点睛】
本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是根据菱形得到判定全等的条件．
48．如图，在平行四边形中，，相交于点，点，在上，且．连接，．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）求证：；
（2）若，连接，，判断四边形的形状，并说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）四边形是菱形，理由见解析．
【分析】
（1）根据SAS即可证明；
（2）四边形AECF是菱形，根据对角线垂直的平行四边形是菱形即可判断．
【详解】
（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
又，
，
，
又，
（SAS）；
（2）解：四边形是菱形
理由如下：
，，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是菱形．
【点睛】
本题主要考查平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、菱形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基础知识，属于中考常考题型．2-1-c-n-j-y
49．如图，在菱形中，点，别是，上点，．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）尺规作图：作的角平分线交边于点；（不写作法，用2B铅笔作图并保留痕迹）
（2）在（1）作图中，若，求证：．
【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【分析】
（1）利用尺规作出∠DAF的角平分线交CD于M即可．
（2）证明△BAE≌△DAM（ASA），可得结论．
【详解】
（1）解：如图，射线AM即为所求作．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（2）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠B=∠D，AB=AD，
∵∠DAF=2∠ABE，∠DAF=2∠DAM，
∴∠BAE=∠DAM，
在△BAE和△DAM中，
，
∴△BAE≌△DAM（ASA），
∴BE=DM，
∵BE=CF，
∴DM=CF．
【点睛】
本题考查了作图-复杂作图，菱形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，正确寻找全等三角形解决问题．【出处：21教育名师】
50．如图，四边形ABCD是菱形，E是BD上一点，AE的延长线交CD于点F．求证：∠AFD=∠ECB．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】见解析
【分析】
根据菱形的性质，推知△ABE≌△CBE（SAS），所以由全等三角形的对应角相等得到∠EAB=∠ECB，再由平行线的性质和等量代换证得结论．www.21-cn-jy.com
【详解】
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，∠ABE=∠CBE．
又∵EB=EB，
∴△ABE≌△CBE（SAS），
∴∠EAB=∠ECB．
∵AB∥DC，
∴∠AFD=∠EAB．
∴∠AFD=∠ECB．
【点睛】
本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，此题难度适中，重点把握菱形的邻边相等，对角线平分对角的性质．
51．已知，如图，四边形ABCD
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)的对角线AC⊥BD于点E，点F为四边形ABCD外一点，且∠FCA＝90°，BC平分∠DBF，∠CBF＝∠DCB．求证：四边形DBFC是菱形．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】见解析
【分析】
根据题意AC⊥BD，∠FCA＝90°，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)易证BD∥CF．再根据∠CBF＝∠DCB，即证明CD∥BF，即四边形DBFC是平行四边形．由角平分线的性质可知∠CBF＝∠CBD，即易证∠CBD＝∠DCB，说明CD＝BD，即证明四边形DBFC是菱形．
【详解】
证明：∵AC⊥BD，∠FCA＝90°，
∴∠AEB＝∠ACF，
∴BD∥CF．
∵∠CBF＝∠DCB．
∴CD∥BF，
∴四边形DBFC是平行四边形；
∵BC平分∠DBF，
∴∠CBF＝∠CBD，
∵∠CBF＝∠DCB，
∴∠CBD＝∠DCB，
∴CD＝BD，
∴四边形DBFC是菱形．
【点睛】
本题考查菱形的判定，平行线的判定和性质，平行四边形的判定，角平分线的性质．熟练利用各知识点证明是解答本题的关键．
52．如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段AB的端点均在小正方形的顶点上，请按要求画出图形，使得它们的顶点均在小正方形的顶点上；
（1）在图中画一个以AB为边的菱形ABCD，使得菱形ABCD的面积为24；
（2）画一个以点B为直角顶点的等腰直角三角形ABE；
（3）连接CE，请直接写出线段CE的长．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【分析】
（1）作对角线分别为6，8的菱形即可．
（2）根据等腰直角三角形的定义画出图形即可．
（3）利用勾股定理求解即可．
【详解】
解：（1）如图，菱形ABCD即为所求作．
（2）如图，△ABE即为所求作．
（3）．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
本题考查作图-应用与设计作图，菱形的性质，等腰直角三角形的性质以及勾股定理．熟练掌握基本知识是解答本题的关键．
53．如图，已知菱形，点和点分别在边、上，且，连接，．求证：．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】证明见解析．
【分析】
先根据菱形的性质可得，再根据三角形全等的判定定理与性质即可得证．
【详解】
证明：四边形是菱形，
，
在和中，，
，
．
【点睛】
本题考查了菱形的性质、三角形全等的判定定理与性质，正确找出两个全等三角形是解题关键．
54．如图，AEBF，AC平分∠BAD，且交BF于点C，BD平分∠ABC，且与AE交于点D，连接CD．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AC＝6，BD＝8，AM⊥BC于M，求AM的长．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】
（1）根据平行线的性质得出
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)∠ADB=∠DBC，∠DAC=∠BCA，根据角平分线定义得出∠DAC=∠BAC，∠ABD=∠DBC，求出∠BAC=∠ACB，∠ABD=∠ADB，根据等腰三角形的判定得出AB=BC=AD，根据菱形的判定得出四边形ABCD是菱形，即可得出答案；
（2）根据菱形的性质求出BC=AB=5，由菱形的面积等于对角线积的一半和底乘高即可求得结论．
【详解】
（1）证明：∵AE∥BF，
∴∠ADB＝∠DBC，∠DAC＝∠BCA，
∵AC、BD分别是∠BAD、∠ABC的平分线，
∴∠DAC＝∠BAC，∠ABD＝∠DBC，
∴∠BAC＝∠ACB，∠ABD＝∠ADB，
∴AB＝BC，AB＝AD，
∴AD＝BC，
∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AD＝AB，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝AC＝3，BO＝BD＝4，
∴AB＝＝＝5，
∴BC＝AB＝5，
∴BC?AM＝AC?BD，
即5AM＝×6×8，
∴AM＝．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质，等腰三角形
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)的判定，勾股定理，菱形的性质和判定，能通过角的平分线和平行线的性质及等腰三角形的判定证得AB=BC，AB=AD是解决问题的关键．
55．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，点F是AC上一点，连接BF、DF．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）证明：△ABF≌△ADF；
（2）若AB//CD，试证明四边形ABCD是菱形．
【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【分析】
（1）首先得出△ABC≌△ADC（SSS），进而利用全等三角形的性质得出∠BAC=∠DAC，再证明△ABF≌△ADF（SAS）；
（2）利用平行线的性质得出∠BAC=∠DCA，进而得出AB=DC，再利用平行四边形的判定方法得出答案．
【详解】
（1）证明：在△ABC和△ADC中，
∵，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠BAC=∠DAC，
在△ABF和△ADF中，
∵，
∴△ABF≌△ADF（SAS）；
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（2）解：∵AB∥CD，
∴∠BAC=∠DCA，
∵△ABF≌△ADF,
∴∠BAF=∠DAC，
∴∠DAC=∠DCA，
∴AD=DC，
∵AB=AD，
∴AB=DC，又AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB=AD，
∴平行四边形ABCD是菱形．
【点睛】
本题主要考查了菱形的判定以及全等三角形的判定与性质，得出△ABC≌△ADC是解题关键．
56．尺规作图：如图，已知线段a，线段b及其中点．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
求作：菱形ABCD，使其两条对角线的长分别等于线段a，b的长．
作法：①作直线m，在m上任意截取线段；
②作线段AC的垂直平分线EF交线段AC于点O；
③以点O为圆心，线段b的长的一半为半径画圆，交直线EF于点B，D；
④分别连接AB，BC，CD，DA；
则四边形ABCD就是所求作的葵形．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：，
四边形ABCD是_______________．
，
四边形ABCD是菱形（____________________________）（填推理的依据）．
【答案】（1）作图见解析；（2）平行四边形；对角线互相垂直的平行四边形为菱形
【分析】
（1）根据题干中提示的步骤，逐步作图即可；
（2）根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”进行证明即可．
【详解】
（1）按照步骤，作图如图所示：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（2）证明：，
四边形ABCD是平行四边形．
，
四边形ABCD是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）．
故答案为：平行四边形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
【点睛】
本题考查尺规作图-作菱形，以及理论证明，掌握基本作图的方法，以及菱形的判定定理是解题关键．
57．如图，点E，F分别在菱形ABCD的边BC，CD上，且∠BAE＝∠DAF．求证：AE＝AF．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】见解析
【分析】
根据菱形的性质可得∠B=∠D，AB=AD，再证明△ABE≌△ADF，即可得AE=AF．
【详解】
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠B=∠D，AB=AD，
在△ABE和△ADF中，
，
∴△ABE≌△ADF（ASA），
∴AE=AF．
【点睛】
本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握菱形的性质．
58．已知：为锐角三角形，．
求作：菱形．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
作法：如图，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
①以点A为圆心，适当长为半径作弧，交于点M，交于点N；
②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点E，作射线与交于点O；
③以点O为圆心，以长为半径作弧，与射线交于点D，连接，；四边形就是所求作的菱形．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：∵平分，
∴________．
∵，
∴四边形是平行四边形．
∵，
∴四边形是菱形（_______）（填推理的依据）．
【答案】（1）图见详解；（2）BO，一组邻边相等的平行四边形是菱形
【分析】
（1）根据题意可直接进行作图；
（2）由题意易得，进而可得四边形是平行四边形，然后根据菱形的判定定理可求解．
【详解】
（1）解：由题意可得如图所示：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∴四边形就是所求作的菱形；
（2）证明：∵平分，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）；
故答案为BO，一组邻边相等的平行四边形是菱形．
【点睛】
本题主要考查尺规作图、菱形的
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)判定、平行四边形的判定及等腰三角形的性质，熟练掌握尺规作图、菱形的判定、平行四边形的判定及等腰三角形的性质是解题的关键．21教育网
59．如图，四边形ABCD中，ABDC，AC平分∠BAD，CEDA交AB于点E．求证：四边形ADCE是菱形．【来源：21cnj
y.co
m】
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【答案】见解析
【分析】
先证明四边形是平行四边形，再根据邻边相等的平行四边形为菱形即可求解．
【详解】
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
又∵四边形是平行四边形，
∴四边形是菱形．
【点睛】
此题主要考查菱形的判定，解题的关键是熟知平行四边形与菱形的判定定理．
60．（1）解不等式：．
（2）如图，已知四边形为菱形，延长到点E，使得，过点E作，交的延长线于点F，求证：．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】（1），（2）见解析．
【分析】
（1）根据去分母、移项合并同类项，化系数为1的步骤计算即可；
（2）根据菱形以及平行线的性质证明即可；
【详解】
解（1）
解：
解得：；
（2）已知四边形为菱形，
，
，
，
，
．
【点睛】
本题考查了解一元一次不等式，菱形的性质，平行线的性质；掌握好解一元一次不等式的步骤，菱形的性质是本题的关键．
61．如图，在菱形ABCD中，点E是边AD上一点，延长AB至点F，使BF＝AE，连接BE、CF．求证：BE＝CF．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】证明见解析
【分析】
根据菱形的性质可得AB=BC，AD∥
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)BC，再根据两直线平行，同位角相等可得∠A=∠CBF，然后利用“边角边”证明△ABE和△BCF全等，根据全等三角形对应边相等证明即可．
【详解】
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，AB＝BC，
∴∠A＝∠CBF，
在△ABE和△BCF中，
，
∴△ABE≌△BCF（SAS），
∴BE＝CF．
【点睛】
本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并找出三角形全等的条件是解题的关键．
62．如图1，在中，，求作菱形，使点在边上，点、在边上，点在上．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
小明的作法：①如图2，在边上取一点，过点作交于点．
②以点为圆心，长为半径画弧，交于点．
③在上截取，连接，则四边形为所求作的菱形．
证明：小明所作的四边形是菱形
【答案】见解析
【分析】
根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可．
【详解】
证明：由作图可知：DE=DG，EF=DE，
∴DG=EF，
∵DG∥EF，
∴四边形DEFG是平行四边形，
∵DG=DE，
∴四边形DEFG是菱形．
【点睛】
本题考查了菱形的判定，作图-复杂作图等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的判定定理．
63．如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，点E，F在上，且．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）求证：；
（2）不添加辅助线，请你补充一个条件，使得四边形是菱形；并给予证明．
【答案】（1）见解析；（2）补充的条件是：，证明见解析．（答案不唯一）
【分析】
（1）由四边形是平行四边形，可得，再证明，从而可得答案；
（2）补充的条件是：．（答案不唯一）
由四边形是平行四边形，可得，，再证明，证明四边形是平行四边形，从而可得结论．
【详解】
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴．
∴．
又∵，
∴．
（2）补充的条件是：．（答案不唯一）
证明：∵四边形是平行四边形，
∴，．
∵，
∴．
∴四边形是平行四边形．
又∵，
∴四边形是菱形．
【点睛】
本题考查的是三角形全等的判定与性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定，掌握以上知识是解题的关键．
64．如图，在菱形ABCD中，E为对角线BD上一点，且AE＝DE，连接CE．
（1）求证：CE＝DE．
（2）当BE＝2，CE＝1时，求菱形的边长．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】（1）见解析
（2）
【分析】
（1）证△ABE≌△CBE（SAS），即可得出结论；
（2）连接AC交BD于H，先由菱形的性
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)质可得AH⊥BD，BH＝DH，AH＝CH，求出BH、EH的长，由勾股定理求出AH的长，再由勾股定理求出AB的长，即可得出结果．
【详解】
（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABE＝∠CBE，AB＝CB，
在△ABE和△CBE中，
，
∴△ABE≌△CBE，
∴AE＝CE，
∵AE＝DE，
∴CE＝DE；
（2）如图，连接AC交BD于H，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AH⊥BD，BH＝DH，AH＝CH，
∵CE＝DE＝AE＝1，
∴BD＝BE+DE＝2+1＝3，
∴BH＝BD＝，EH＝BE﹣BH＝2﹣＝，
在Rt△AHE中，由勾股定理得：AH＝＝＝，
在Rt△AHB中，由勾股定理得：AB＝＝＝，
∴菱形的边长为．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定和勾股定理是解题的关键．【来源：21·世纪·教育·网】
65．如图，在菱形ABCD中，过点D分别作DE⊥AB于点E，作DF⊥BC于点F．求证：AE＝CF．
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【答案】见解析
【分析】
先由菱形的性质得到，，再由证得，即可得出结论．
【详解】
解：证明：∵四边形是菱形，
，，
，，
，
在和中，
，
，
．
【点睛】
本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握菱形的性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键．
66．如图，菱形中，，点E，F分别在和上，，求证：．
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【答案】证明见解析．
【分析】
连接，证即可
【详解】
证明：连接，
∵四边形是菱形，
∴，平分．
∵，
∴是等边三角形，
∴，．
∴在与中，．
∴．
∴．
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【点睛】
本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解此题的关键．
67．如图，是菱形的对角线．
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（1）请用直尺和圆规作的垂直平分线，垂足为点，交于点；（不要求写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，连接，若，求的度数．
【答案】（1）见解析；（2）45°
【分析】
（1）利用基本作图作EF垂直平分AB；
（2）利用菱形的性质得AD∥BC，∠AB
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)D=∠CBD=75°，则∠ABC=150°，再利用平行线的性质得∠A=180°-∠ABC=180°-150°=30°，接着根据线段垂直平分线的性质得AF=BF，则∠A=∠FBA=30°，然后计算∠ABD-∠FBA即可．
【详解】
（1）如图，EF为所作；
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（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，∠ABD=∠CBD=75°，
∴∠ABC=150°，
∵AD∥BC，
∴∠A=180°-∠ABC=180°-150°=30°，
∵EF垂直平分AB，
∴AF=BF，
∴∠A=∠FBA=30°，
∴∠DBF=∠ABD-∠FBA=75°-30°=45°．
【点睛】
本题考查了作图-基本作图，线段的垂直平分线的性质，菱形的性质等知识，解题时注意：线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
68．如图，菱形的对角线与相交于，是中点，连接并延长到，使．求证：四边形是矩形．
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【答案】见解析
【分析】
先证明四边形是平行四边形，再根据即可证明四边形是矩形．
【详解】
证明：∵是中点，∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
四边形是菱形，
∴，
∴，
∴平行四边形是矩形．
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【点睛】
此题主要考查矩形的判定，解题的关键是熟知菱形的性质及矩形的判定定理．
69．如图，菱形的对角线、相交于点O，过点D作且，连接交于点F，连接、．
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(1)求证：；
(2)若菱形的边长为2，，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）．
【分析】
（1）根据菱形对角线互相平分的性质证得，再结合，证明四边形AOED是平行四边形，最后根据平行四边形对边相等及菱形四边相等的性质解题即可；
（2）由菱形的四边相等及，证明是等边三角形，根据菱形对角线互相垂直的性质，由勾股定理，分别计算AO、BO的长，根据平行四边形对角线互相平分的性质，解得OF的长，最后由勾股定理解得AF的长，即可解题．
【详解】
（1）菱形中，AO=OC，BO=OD，
四边形AOED是平行四边形
又
（2）
是等边三角形，AC=2，
四边形AOED是平行四边形
中，
【点睛】
本题考查平行四边形的判定与性质、菱形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
70．如图，菱形中，分别延长，至点，，使，，连接，，，．求证：四边形是矩形．
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【答案】见解析
【分析】
由对角线互相平分得出四边形DBEF是平行四边形，由菱形的性质得出CD＝CB，得出BF＝DE，即可得出结论．
【详解】
证明：∵CE＝CD，CF＝CB，
∴四边形DBEF是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CD＝CB．
∴CE＝CF，
∴BF＝DE，
∴四边形DBEF是矩形．
【点睛】
本题考查了矩形的判定方法、平行四边形的判定方法、菱形的性质，熟练掌握矩形的判定方法．由菱形的性质得出对角线相等是解决问题的关键．
71．在RtABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．
（1）证明四边形ADCF是菱形；
（2）若AC＝4，AB＝5，求菱形ADCF的面积．
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【答案】（1）见解析；（2）10
【分析】
（1）由题意易得∠AFE＝∠DBE，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)AE＝DE，BD＝CD，进而可证△AFE≌△DBE，然后可得四边形ADCF是平行四边形，最后根据菱形的判定可求证；
（2）连接DF，由题意可得四边形ABDF是平行四边形，进而可得DF＝AB＝5，然后根据菱形的面积计算公式求解即可．
【详解】
（1）证明：如图，∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DBE，
∵E是AD的中点，AD是BC边上的中线，
∴AE＝DE，BD＝CD，
在△AFE和△DBE中，
，
∴△AFE≌△DBE（AAS）；
∴AF＝DB．
∵DB＝DC，
∴AF＝CD，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，
∴AD＝DC＝BC，
∴四边形ADCF是菱形；
（2）解：连接DF，
∵AF∥BC，AF＝BD，
∴四边形ABDF是平行四边形，
∴DF＝AB＝5，
∵四边形ADCF是菱形，
∴S＝AC?DF＝10．
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【点睛】
本题主要考查平行四边形与菱形的性质与判定，熟练掌握平行四边形与菱形的性质与判定是解题的关键．
72．如图，在?ABCD中，∠ABC＝60°，BC＝2AB，点E、F分别是BC、DA的中点．
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（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）若AB＝2，求BD的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】
（1）先证四边形AECF是平行四边形，再证△ABE是等边三角形，得AE=BE=CE，即可得出结论；
（2）作BG⊥AD于G，则∠ABG=30°，由直角三角形的性质得AG=AB=1，BG=AG=，求出DG=AG+AD=5，由勾股定理求出BD即可．
【详解】
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC∥AD，BC=AD．
∵E，F分别是BC，AD的中点
∴BE=CE=BC，AF=AD，
∴CE=AF，CE∥AF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵BC=2AB，
∴AB=BE，
∵∠ABC=60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴AE=BE=CE，
∴平行四边形AECF是菱形；
（2）解：作BG⊥AD于G，如图所示：
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则∠ABG=90°-∠ABC=30°，
∴AG=AB=1，BG=AG=，
∵AD=BC=2AB=4，
∴DG=AG+AD=5，
∴BD===．
【点睛】
本题考查平行四边形的性质、菱形的判定和性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的判定和直角三角形的性质．
73．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)°，过点C的直线MN∥AB，D在AB边上一点．过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD、BE．
（1）求证：CE＝AD；
（2）当点D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由．
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【答案】（1）见解析；（2）四边形BECD是菱形，见解析
【分析】
（1）先求出四边形ADEC是平行四边形，根据平行四边形的性质推出即可；
（2）求出四边形BECD是平行四边形，求出CD＝BD，根据菱形的判定推出即可．
【详解】
（1）证明：∵DE⊥BC，
∴∠DFB＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠DFB，
∴AC∥DE，
∵MN∥AB，即CE∥AD，
∴四边形ADEC是平行四边形，
∴CE＝AD；
（2）解：四边形BECD是菱形，
理由是：∵D为AB中点，
∴AD＝BD，
∵CE＝AD，
∴BD＝CE，
∵BD∥CE，
∴四边形BECD是平行四边形，
∵∠ACB＝90°，D为AB中点，
∴CD＝BD，
∴四边形BECD是菱形．
【点睛】
本题主要考查平行四边形及菱形的性质与判定，熟练掌握平行四边形及菱形的性质与判定是解题的关键．
74．如图，在每个小正方形的边长为1的方格纸中有线段AB和CD，点A、B、C、D均在小正方形的顶点上．
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（1）在方格纸中画出菱形ABEF，点E、F均在小正方形的顶点上，且菱形的面积为20；
（2）在方格纸中画出CD为斜边的等腰直角△CGD，点G在正方形的顶点上；
（3）在（1）（2）条件下，连接EG，请直接写出EG的长．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【分析】
（1）根据题意及菱形的面积及性质可直接作图；
（2）根据勾股定理及等腰直角三角形的性质可作图；
（3）由（1）（2）所作图及勾股定理直接进行求解即可．
【详解】
解：（1）由菱形的面积为20，AB=5，则有以AB为底的菱形的高为4，如图所示；
（2）由勾股定理可得，则等腰直角三角形GCD的边长为，如图所示：
?
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（3）由图可得：GE=．
【点睛】
本题主要考查菱形、等腰直角三角形的性质及勾股定理，熟练掌握菱形、等腰直角三角形的性质及勾股定理是解题的关键．
75．如图，四边形ABCD是平行四边形，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，且BE＝DF．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若点E是BC的中点，求∠C的度数．
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【答案】（1）见解析；（2）120°
【分析】
（1）利用AAS证出△AEB≌△AFD，再根据全等三角形的性质证明AB＝AD，最后根据菱形的定义即可证出结论；
（2）连接AC，根据线段垂直平分线的性质得到AB＝AC，根据菱形的性质得到AB＝BC，根据等边三角形的性质得到∠B＝60°，于是得到结论．
【详解】
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D，
∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠AEB＝∠AFD＝90°
∵BE＝DF，
∴△AEB≌△AFD（AAS），
∴AB＝AD，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）解：连接AC，
∵点E是BC的中点，
∴BE＝CE，
∵AE⊥BC，
∴AB＝AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，
∴AB＝AC＝BC，
∴∠B＝60°，
∴∠BCD＝180°﹣60°＝120°．
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【点睛】
此题考查的是全等三角形的判定及
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)性质、菱形的判定及性质、垂直平分线的性质和等边三角形的判定及性质，掌握全等三角形的判定及性质、菱形的判定及性质、垂直平分线的性质和等边三角形的判定及性质是解题关键．
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