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第01讲
菱形的性质与判定
【提升训练】
一、单选题
1．如图，菱形ABCD中，，点P从点B出发，沿折线方向移动，移动到点D停止．在形状的变化过程中，依次出现的特殊三角形是（
）
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A．直角三角形→等边三角形→等腰三角形→直角三角形
B．直角三角形→等腰三角形→直角三角形→等边三角形
C．直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰三角形
D．等腰三角形→等边三角形→直角三角形→等腰三角形
2．如图，在菱形中，，连接、，则的值为（
）
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A．
B．
C．
D．
3．如图，要想证明是菱形，下列条件中不能添加的是（
）
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A．
B．
C．
D．
4．如图，已知点是菱形的对角线延长线上一点，过点分别作、延长线的垂线，垂足分别为点、．若，，则的值为（
）21cnjy.com
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A．
B．
C．2
D．
5．如图，四边形ABCD是菱形，，线段BE与CD交于点G，连接BD、AE、DE、CE，其中AE与CD交于点H，下列命题为假命题的是（ ）【出处：21教育名师】
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A．若BE平分，则
B．若BG是的中线，则
C．若，且，则
D．若，且，则
6．如图，菱形边长为4，，是上一动点（不与、重合），是上一动点，，则面积的最小值为（ ）21教育名师原创作品
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A．
B．
C．
D．
7．如图，点是边长为1的菱形对角线上的一个动点，、分别是、边上的中点，则的最小值是（ ）www.21-cn-jy.com
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A．6
B．
C．1
D．
8．如图，在菱形中，，点，将对角线三等分，且，连接，，，．若是菱形的边上的点，则满足的点的个数为（ ）
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A．2
B．4
C．6
D．8
9．如图，已知中，，，，、、分别是三边、、上的点，则的最小值为（ ）
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A．
B．
C．
D．
10．如图，四边形是菱形，、分别是、两边上的点不能保证和一定全等的条件是（
）
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A．
B．
C．
D．
11．数学兴趣小组同学从“中国结”的图案（
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)图1）中发现，用相同的菱形放置，可得到更多的菱形．如图2，用2个相同的菱形放置，得到3个菱形．下面说法正确的是（
）【版权所有：21教育】
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A．用3个相同的菱形放置，最多能得到6个菱形
B．用4个相同的菱形放置，最多能得到15个菱形
C．用5个相同的菱形放置，最多能得到27个菱形
D．用6个相同的菱形放置，最多能得到41个菱形
12．如图，四边形为菱形，若为边的垂直平分线，用的度数为（
）
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A．20°
B．25°
C．30°
D．40°
13．如图，在菱形ABC
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)D中，E、F分别是AB、CD上的点，且AE＝CF，EF与AC相交于点O，连接BO．若∠DAC＝36°，则∠OBC的度数为（
）21
cnjy
com
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A．36°
B．54°
C．64°
D．72°
14．如图，在矩形片中，边，，将矩形片沿折叠，使点A与点C重合，折叠后得到的图形是图中阴影部分．给出下列结论：①四边形是菱形；②的长是1.5；③的长为；④图中阴影部分的面积为5.5，其中正确的结论有（
）
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A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
15．如图，中，，，，平行四边形内放着两个菱形，菱形和菱形，它们的重叠部分是平行四边形．已知三个阴影平行四边形的周长相等，那么平行四边形的面积为（
）
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A．
B．
C．
D．
16．如图，菱形OABC的一边OA在x
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)轴上，将菱形OABC绕原点O逆时针旋转105°至OA1B1C1的位置，若OA＝2，∠C＝120°，则点B1的坐标为（ ）
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A．（﹣3，）
B．（3，）
C．（﹣，）
D．（，﹣）
17．如图，在平行四边形中，，是的中点，作于点，连接、，则下列结论错误的是（
）www-2-1-cnjy-com
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A．
B．
C．
D．
18．如图，点是矩形的中心，，，过点作两条互相垂直的直线，分别交、于点、点，交、于点、点，当时，长为（ ）
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A．3
B．
C．
D．
19．数学老师用四根长度相等的木条首尾顺次相接制成一个图1所示的菱形教具，此时测得，对角线长为，改变教具的形状成为图2所示的正方形，则正方形的边长为（
）
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A．
B．
C．
D．
20．如图，在中，分别是边上的中线，于点O，点F是的中点，若，则的长是（
）
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A．7
B．5
C．4
D．3
21．如图，菱形的对角线，相交于O点，E，F分别是，的中点，连接．若，则菱形的边长为（
）
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A．10
B．8
C．6
D．5
22．在学习菱形时，几名同学对同一问题，给出了如下几种解题思路，其中正确的是（
）
已知：如图，四边形ABCD是菱形，E、F是直线AC上两点，AF=CE．
求证；四边形FBED是菱形．
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甲：利用全等，证明四边形FBED四条边相等，进而说明该四边形是菱形；
乙：连接BD，利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形，判定四边形FBED是菱形；
丙：该题目错误，根据已知条件不能够证明该四边形是菱形．
A．甲、乙对，丙错
B．乙、丙对，甲错
C．三个人都对
D．甲、丙对，乙错
23．如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为菱形，需要添加的条件是（
）
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A．AB＝CD
B．AD＝BC
C．AC＝BD
D．AB＝BC
24．如图，菱形的边长为10，对角线＝16，点分别是边的中点，连接并延长与的延长线相交于点，则长为（
）
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A．13
B．10
C．12
D．5
【答案】C
25．如图，四边形为菱形，A，B两点的坐标分别是，点C，D在坐标轴上，则菱形的周长等于（
）
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A．
B．
C．
D．
26．如图，菱形的对角线、相交于点，过点作于点，连接，若，．则菱形的面积为（
）21教育网
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A．12
B．10
C．6
D．24
27．如图，已知在菱形中，，以点为圆心，取大于的长为半径，分别作弧相交于两点，作直线交边于点（作图痕迹如图所示），连结，若，则下列结论错误的是（
）
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A．
B．
C．菱形的面积为
D．
28．四边形中，，点P，Q是对角线BD上不同的两点，若四边形是菱形，则下列说法中不正确的是
（
）
A．
B．
C．
D．
29．如图，在菱形中，分别是边的中点，P是对角线上一动点，已知菱形边长为5，对角线长为6，则周长的最小值是（
）
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A．11
B．10
C．9
D．8
30．如图1，点从菱形的顶点出发，沿以的速度匀速运动到点，图2是点运动时，的面积随时间变化的关系图象，则的值为（
）
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A．5
B．
C．
D．
31．如图，在菱形中，标出了四条线段的长度，其中有一个长度是标错的，这个长度是（
）
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A．2
B．3
C．4
D．5
32．已知，如图，在菱形ABCD中．根据以下作图过程及所作图形，判断下列结论中错误的是（ ）
（1）分别以C，D为圆心，大于CD长为半径作弧，两弧分别交于点E，F；
（2）作直线EF，且直线EF恰好经过点A，且与边CD交于点M；
（3）连接BM．
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A．∠ABC＝60°
B．如果AB＝2，那么BM＝4
C．BC＝2CM
D．S△ADMS△ABM
33．如图，菱形的对角线的长分别为2和5，是对角线上任一点（点不与点，重合），且交于，交于，则阴影部分的面积是（
）2·1·c·n·j·y
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A．10
B．7.5
C．5
D．2.5
34．如图1，四边形是菱形，对角线相交于点O，P，Q两点同时从点O出发，以1厘米/秒的速度在菱形的对角线及边上运动．P，Q的运动路线：点P为，点Q为．设运动的时间为x秒，P，Q间的距离为y厘米，y与x的函数关系的图象大致如图2所示，则菱形的面积为（
）【来源：21·世纪·教育·网】
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A．
B．
C．
D．
35．如图，菱形ABCD的面积为24，对角线AG与BD交于点O，E是BC边的中点，于点F，于点G，则四边形EFOG的面积为（
）2-1-c-n-j-y
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A．3
B．5
C．6
D．8
36．如图，在菱形中，按如下步骤作图：①分别以点和点为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点；②作直线，且恰好经过点，与交于点，连接，若，则的长为（
）
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A．
B．
C．4
D．
37．下列四边形中，对角线互相垂直平分的是（ ）
A．平行四边形
B．菱形
C．矩形
D．梯形
38．如图，菱形的边长为，对角线，交于点，，则菱形的面积为（
）
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A．
B．
C．2
D．4
39．如图，将矩形ABCD沿对角线AC剪开，再把△ACD沿CA方向平移得到△A1C1D1，连结AD1，BC1．若∠ACB＝30°，AB＝1，CC1＝x，△ACD与△A1C1D1重叠部分的面积为s，则下列结论：①△A1AD1≌△CC1B②当x＝1时，四边形ABC1D1是菱形
③当x＝2时，△BDD1为等边三角形
④s＝（x﹣2）2（0＜x＜2），其中正确的有（ ）
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A．1
个
B．2
个
C．3
个
D．4
个
40．如图，在平面直角坐标系
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)中，四边形OABC是菱形，∠AOC＝120°，点B的坐标为（6，0），点D是边BC的中点，现将菱形OABC绕点O顺时针旋转，每秒旋转60°，则第2021秒时，点D的坐标为（ ）
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A．（，）
B．（﹣，﹣）
C．（，﹣）
D．（﹣，）
二、填空题
41．如图，菱形的边长为，，将该菱形沿AC方向平移得到四边形，交CD于点E，则点E到AC的距离为____________．
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42．如图，四边形为菱形，，延长到，在内作射线，使得，过点作，垂足为，若，则对角线的长为______．（结果保留根号）
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43．如图，菱形ABCD中，，边长为3，P是对角线BD上的一个动点，则的最小值是______．
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44．在菱形中，，是线段上一动点（不与点、重合），当是等腰三角形时，的度数为________．
45．如图，四边形是菱形，对角线，相交于点，，，点是上一点，连接，若，则的长为______．
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三、解答题
46．如图，在菱形中，，是对角线上的两点，且．
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（1）求证：≌；
（2）证明四边形是菱形．
47．如图，在菱形中，连接．
（1）求证：是等边三角形；
（2）若BD＝2，则请直接写出菱形的面积为
．
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48．如图，在中，．
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（1）作点关于的对称点；（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）在（1）所作的图中，连接，．求证：四边形是菱形．
49．如图，在的正方形网格中，网格线的交点称为格点，在格点上，每一个小正方形的边长为1．
（1）以为边画菱形，使菱形的其余两个顶点都在格点上（画出一个即可）．
（2）计算你所画菱形的面积．
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50．如图，在矩形纸片中，E、F分别在边、边上，将矩形纸片沿EF折叠，使点C与点A重合，点D落在点处，连接，请直接写出四边形的形状，并说明理由．
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51．如图，矩形ABCD的对角线交于点O，点E是矩形外的一点，其中//，//．
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（1）求证：四边形AEBO是菱形；
（2）连接CE交BD于点F，连接AF，若，，求AF的长．
52．如图，在菱形中，对角线相交于点O，，点M从点A出发沿方向以的速度匀速运动，至点D时停止运动，连接并延长交于点N，设点M的运动时间为．21·cn·jy·com
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（1）求证：；
（2）当四边形的面积为时，求t的值；
（3）求当t为何值时，的外心在它的边上．
53．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的的网格中，给出了格点（顶点为网格线的交点）．
（1）作出关于直线l对称的；
（2）以为一边，作一个菱形，且D、F也为格点．
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54．尺规作图如下：如图，在中，①作平分交于；②作线段的垂直平分线分别交于点、交于点；③连接、；
（1）在所作图的步骤中①得到角平分线的依据是______．
A． B． C． D．
（2）试判断四边形的形状，并说明理由．
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55．如图，在中．请用尺规作图法，求作一个以为内角的菱形，使顶点E、F、G分别在、、边上．
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56．如图，在矩形中，为对角线的中点，过点作直线分别与矩形的边，交于，两点，且，连接，．求证：四边形为菱形．
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57．如图，的对角线、相交于点，过点作，分别交、于点、，连接、．
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（1）若，求的长；
（2）判断四边形的形状，并说明理由．
58．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O的直线EF与BA、DC的延长线分别交于点E、F．21世纪教育网版权所有
（1）求证：AE＝CF；
（2）请再添加一个条件，使四边形BFDE是菱形，并说明理由．
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59．如图，平行四边形ABCD，BE⊥AD于E，交AC于M，DF⊥BC于F，交AC于N，连结DM、BN．
（1）求证：△ABM≌△CDN；
（2）当□ABCD是菱形时，判断四边形MBND的形状，并说明理由．
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60．四边形为菱形，为对角线，在对角线上任取一点，连接，把线段绕点顺时针旋转得到线段，使得，点的对应点为点，连接．
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（1）如图1，求证：；
（2）如图2，若，在不添加任何辅助线的前提下，请直接写出五对线段，使每对线段的和等于（和除外）．21·世纪
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61．如图，在平行四边形ABCD中，EF垂直平分对角线AC，分别与边AD，BC交于点F，E．
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（1）求证：四边形AECF为菱形；
（2）若AD＝3，CD＝，且∠D＝45°，求菱形AECF的周长．
62．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使EF＝DE，连接CF，BF．21
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（1）求证：四边形CFBD是菱形；
（2）连接AE，若CF＝，DF＝2，求AE的长．
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63．如图，四边形ABDC、四边形CDEF都是平行四边形，连接AF、BE．
（1）求证：四边形ABEF是平行四边形；
（2）若AB＝AF，对角线AE＝8，BF＝6，求四边形ABEF的面积．
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64．如图，已知菱形中，分别以、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别相交于、两点，直线交于点，交对角线于点，连接、．【来源：21cnj
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（1）求证：；
（2）若，求的度数．
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65．如图，AE∥BF，AC平分∠BAE，且交BF于点C．
（1）作∠ABF的平分线交AE于点D（尺规作图，保留痕迹，不写作法）；
（2）根据（1）中作图，连接CD，求证：四边形ABCD是菱形．
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66．如图是由边长为1的小菱形构成的网格，每个小菱形的顶点称为格点．点A，B均在格点上
（1）在图1中画出AB的中点O；（保留辅助线，辅助线用虚线）
（2）在图2中画一个Rt△ABC，使点C在格点上．（不写作法，保留作图痕迹）
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67．如图，在四边形中，，对角线的垂直平分线与边分别相交于点M、N．
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（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，菱形的面积为120，求菱形的周长．
68．如图，请用尺规作图法，在矩形ABCD的边BC和AD上分别找一点E、F使得四边新AECF为菱形．（保留作图痕迹，不写作法）
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69．问题：如图，在中，，，，的平分线AE，BF分别与直线CD交于点E，F，求EF的长．
答案：．
探究：（1）把“问题”中的条件“”去掉，其余条件不变．
①当点E与点F重合时，求AB的长；
②当点E与点C重合时，求EF的长．
（2）把“问题”中的条件“，”去掉，其余条件不变，当点C，D，E，F相邻两点间的距离相等时，求的值．
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70．综合与实践
问题情境
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在综合与实践课上，老师出示了这样一个问题，如图①，点P是的中点，分别以、为底边在的同侧作等腰和等腰，且，连接、交于点O．求证：．
解决问题
（1）请你解决老师提出的问题；
合作交流
创新小组受老师提出问题的启发继续进行深入探究．将图①中的绕着点P按顺时针方向旋到如图②所示的位置，连接，创新小组发现；
（2）请你证明创新小组发现的结论；
（3）如图③，将图①中的绕着点P按顺时针方向旋转至停止旋转．在不增加字母的情况下．请你选择已标注字母的四个点为顶点的四边形是特殊四边形，请你写出该四边形的名称，并说明理由．
71．综合与实践
问题背景
在综合实践课上，同学们以“
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)图形的平移与旋转”为主题开展数学活动，如图（1)，先将一张等边三角形纸片ABC对折后剪开，得到两个互相重合的△ABD和△EFD，点E与点A重合，点B与点F重合，然后将△EFD绕点D顺时针旋转，使点F落在边AB上，如图（2），连接EC．
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操作发现
（1）判断四边形BFEC的形状，并说明理由；
实践探究
（2）聪聪提出疑问：若等边三角形的
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)边长为8，将图（2）中的△EFD沿射线BC的方向平移a个单位长度，得到△E′F′D′，连接BF′，CE′，若四边形BF′E′C为菱形，如图（3），则a的值为多少？请你帮聪聪解决这个问题，求出a的值；
（3）如果将（2）中聪聪所提问题的平
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)移方向改为：沿射线CB的方向平移a个单位长度，其余条件都不变，则是否还存在四边形BF′E′C为菱形？若存在，直接写出平移距离a的值，若不存在，请说明理由；
（4）老师提出问题：请参照聪聪
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)的思路，若等边三角形的边长为8，将图（2）中的△EFD在平面内进行一次平移，得到△E"F"D"，请在图（4）中画出平移后构造出的新图形，标明字母，说明平移及构图方法，写出你发现的一个结论，不必证明．
72．已知是等边三角形，点D是射线上的一个动点（点D不与点B，C重合）．是以为边的等边三角形，过点E作的平行线，分别交射线、于点，连接．
（1）如图①，当点D在线段上时，求证：．
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（2）如图②，当点D在旳延长线时，探究四边形是怎样特殊的四边形并说明理由．
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（3）在（2）的情况下，当点D运动到什么位置时，四边形是菱形？并说明理由．
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精品试卷·第
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菱形的性质与判定
【提升训练】
一、单选题
1．如图，菱形ABCD中，，点P从点B出发，沿折线方向移动，移动到点D停止．在形状的变化过程中，依次出现的特殊三角形是（
）
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A．直角三角形→等边三角形→等腰三角形→直角三角形
B．直角三角形→等腰三角形→直角三角形→等边三角形
C．直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰三角形
D．等腰三角形→等边三角形→直角三角形→等腰三角形
【答案】C
【分析】
是特殊三角形，取决于点P的某些特殊位置，按其移动方向，逐一判断即可．
【详解】
解：连接AC，BD，如图所示．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=DA，∠D=∠B．
∵∠B=60°，
∴∠D=∠B=60°．
∴和都是等边三角形．
点P在移动过程中，依次共有四个特殊位置：
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（1）当点P移动到BC边的中点时，记作．
∵是等边三角形，是
BC的中点，
∴．
∴．
∴是直角三角形．
（2）当点P与点C重合时，记作．
此时，是等边三角形；
（3）当点P移动到CD边的中点时，记为．
∵和都是等边三角形，
∴．
∴是直角三角形．
（4）当点P与点D重合时，记作．
∵，
∴是等腰三角形．
综上，形状的变化过程中，依次出现的特殊三角形是：
直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰三角形．
故选：C
【点睛】
本题考查了菱形的性质、直角三角形的判定、等腰三角形的判定、等边三角形的性质与判定等知识点，熟知特殊三角形的判定方法是解题的关键．21世纪教育网版权所有
2．如图，在菱形中，，连接、，则的值为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
设AC与BD的交点为O，由题意易得，，进而可得△ABC是等边三角形，，然后问题可求解．
【详解】
解：设AC与BD的交点为O，如图所示：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵四边形是菱形，
∴，，
∵，
∴△ABC是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
故选D．
【点睛】
本题主要考查菱形的性质、含30°角的直角三角形的性质及勾股定理，熟练掌握菱形的性质、含30°角的直角三角形的性质及勾股定理是解题的关键．21
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3．如图，要想证明是菱形，下列条件中不能添加的是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】
略
4．如图，已知点是菱形的对角线延长线上一点，过点分别作、延长线的垂线，垂足分别为点、．若，，则的值为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．2
D．
【答案】B
【分析】
根据菱形的基性质，得到∠PAE=30°，,利用勾股理求出AC=，则AP=
+PC，PE=AP=+PC
，由∠PCF=∠DCA=30°，得到PF=PC
，最后算出结果．
【详解】
解：∵四边形ABCD是菱形且∠ABC=120°，AB=2，
∴AB=BC=CD=DA=2，∠BAD=60°，AC⊥BD，
∴∠CAE=30?，
∵AC⊥BD，∠CAE=30°，AD=2，
∴AC=，
∴AP=+PC，
在直角△AEP中，
∵∠PAE=30°，AP=+PC，
∴PE=AP=+PC，
在直角△PFC中，
∵∠PCF=30°，
∴PF=PC，
∴=+PC-PC=，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了菱形的基本性质、勾股定理的应用以及在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，关键会在直角三角形中应用30°．
5．如图，四边形ABCD是菱形，，线段BE与CD交于点G，连接BD、AE、DE、CE，其中AE与CD交于点H，下列命题为假命题的是（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．若BE平分，则
B．若BG是的中线，则
C．若，且，则
D．若，且，则
【答案】B
【详解】
∵四边形ABCD是菱形，，∴及均为等边三角形，∴，若BE平分，则．又∵，∴，故选项A是真命题；若BG是的中线，可知点E到AD与BC的距离不相等，故，故选项B是假命题；∵，∵，∴A、D、E在以B为圆心，以BD长为半径的圆上，∴，故选项C是真命题；∵，∴，∵，∴为等腰直角三角形，∴是等腰直角三角形，设，则，∴，∴，故选项D是真命题．
6．如图，菱形边长为4，，是上一动点（不与、重合），是上一动点，，则面积的最小值为（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】
如解图，连接．∵菱形的边长为4，，∴和均为等边三角形，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，，∴，∴是等边三角形，∴当时，的面积最小，此时，面积的最小值为．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
第4题解图
7．如图，点是边长为1的菱形对角线上的一个动点，、分别是、边上的中点，则的最小值是（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．6
B．
C．1
D．
【答案】C
【详解】
如解图，作点关于的对称点，连接，，则，∴，∴当、、三点共线时，最小，最小值为的长．∵四边形是菱形，是的中点，∴是的中点，∵是的中点，∴，，∴四边形是平行四边形，∴，即的最小值为1．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
第6题解图
8．如图，在菱形中，，点，将对角线三等分，且，连接，，，．若是菱形的边上的点，则满足的点的个数为（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．2
B．4
C．6
D．8
【答案】D
【详解】
如解图，不妨假设点在线段上，作点关于的对称点，连接交于点，连接，此时的值最小．∵四边形是菱形，，点、将三等分，，∴，，∵点为点关于的对称点，∴，，∴为等边三角形，∴，∴，∴，∴，∴的最小值为，当点由运动到时，的值由最大值6减小到再增加到4，∵，，∴线段上存在两个点，满足，∴根据对称性可知：菱形的边上的存在8个点满足条件．
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第4题解图
9．如图，已知中，，，，、、分别是三边、、上的点，则的最小值为（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】
如解图，作点关于、的对称点、，连接，，，由对称的性质得，，，可知当固定时，的最小值就是线段的长．作关于、的对称线段、，连接，可以发现、是一个菱形对边上的关于中心对称的对称点．
的最短距离就是菱形对边的距离，也就是菱形的高．∵，，，∴，，．设菱形的高为，则，解得，故的最小值为．
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第14题解图
10．如图，四边形是菱形，、分别是、两边上的点不能保证和一定全等的条件是（
）
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A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
根据菱形的性质可得AB＝AD，∠B＝∠D，再根据所添加条件，与这个两个条件是否能最终得到全等三角形的判定条件，进而得出结论．
【详解】
解：A．∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，∠B＝∠D，
∵，
∴∠BAM＝∠DAN，
∴△ABM≌△ADN（AAS），
故选项A不符合题意；
B..∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，∠B＝∠D，
∵，
∴∠AND=∠AMB，
∴△ABM≌△ADN（AAS），
故选项B不符合题意；
C..∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，∠B＝∠D，BC=CD，
∵，
∴BM=DN，
∴△ABM≌△ADN（SAS），
故选项C不符合题意；
D.∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，∠B＝∠D，
又∵，
∴△ABM，△AND不一定全等，
故选项D符合题意．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的判定，关键是熟记全等三角形的判定定理．
11．数学兴趣小组同学从“
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)中国结”的图案（图1）中发现，用相同的菱形放置，可得到更多的菱形．如图2，用2个相同的菱形放置，得到3个菱形．下面说法正确的是（
）【来源：21·世纪·教育·网】
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A．用3个相同的菱形放置，最多能得到6个菱形
B．用4个相同的菱形放置，最多能得到15个菱形
C．用5个相同的菱形放置，最多能得到27个菱形
D．用6个相同的菱形放置，最多能得到41个菱形
【答案】B
【分析】
根据平移和大菱形的位置得出菱形的个数进行判定即可
【详解】
解：用2个相同的菱形放置，最多能得到3个菱形，
用3个相同的菱形放置，最多能得到8个菱形，
用4个相同的菱形放置，最
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)多能得到15个菱形，
用5个相同的菱形放置，最多能得到22个菱形，
用6个相同的菱形放置，最多能得到29个菱形，
故选：B．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
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【点睛】
本题考查了生活中的平移现象，菱形的判定，正确的识别图形是解题的关键．
12．如图，四边形为菱形，若为边的垂直平分线，用的度数为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．20°
B．25°
C．30°
D．40°
【答案】C
【分析】
连接AC，证明△ABC为等边三角形，得到∠ABC=60°，根据菱形性质即可求解．
【详解】
解：连接AC，
∵四边形为菱形，
∴AB=BC，
∵为边的垂直平分线，
∴BC=AC，
∴AB=BC=AC，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠ABC=60°，
∵四边形为菱形，
∴∠ADB=．
故选：C
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
本题考查了菱形的性质，线段垂直平分线的性质，等边三角形的性质，证明△ABC为等边三角形是解题关键．
13．如图，在菱形ABCD中，E、F分别是
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)AB、CD上的点，且AE＝CF，EF与AC相交于点O，连接BO．若∠DAC＝36°，则∠OBC的度数为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．36°
B．54°
C．64°
D．72°
【答案】B
【分析】
利用菱形的性质，∠DAC＝∠ACB，△AOE≌△COF，从而为等腰三角形三线合一性质的运用创造条件．
【详解】
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝AD＝CD，AB∥CD，AD∥BC，
∴∠EAO＝∠FCO，∠DAC＝∠ACB＝36°，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴AO＝CO，
又∵AB＝BC，
∴BO⊥AC，
∴∠OBC＝90°﹣∠ACB＝54°，
故选：B．
【点睛】
本题考查了菱形的性质，三角形全等的
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)判定和性质，等腰三角形三线合一，直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握菱形的性质，准确判断三角形的全等，活用等腰三角形，直角三角形的性质是解题的关键．
14．如图，在矩形片中，边，，将矩形片沿折叠，使点A与点C重合，折叠后得到的图形是图中阴影部分．给出下列结论：①四边形是菱形；②的长是1.5；③的长为；④图中阴影部分的面积为5.5，其中正确的结论有（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】D
【分析】
根据矩形、折叠性质即可得出CF=C
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)E
=
AE
=AF，则证明结论①正确；设DF=x，故DF=
BE
=x，在Rt△ADF中，利用勾股定理即可求解结论②正确；过点F作FH⊥AB于点H，利用矩形判定与性质并结合勾股定理求得EF的长，则可推出结论③正确；由DF=BE可知阴影部分的面积为矩形ABCD面积的一半与△CGF面积的和，利用面积公式即可求得结果，证明结论④正确．
【详解】
解：∵四边形是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠AEF=∠CFE，
由折叠性质可知：AE=CE，AF=CF，∠AEF=∠CEF，
∴∠CFE
=∠CEF，
∴CF=CE，
∴CF=CE
=
AE
=AF，
∴四边形是菱形；故①正确；
∵四边形是菱形，
∴CF
=AE，
∵四边形是矩形，，，
∴AB
=CD=4，∠D=90°，
∴AB-CF
=CD-AE，
即DF=BE，
设DF=x，则CF
=
AF=4-x，
在Rt△ADF中，
DF2+AD2=
AF2，
即x2+22=（4-x）2
解得x=1.5，
即的长是1.5；故②正确；
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
过点F作FH⊥AB于点H，
∴四边形是矩形，
∴FH=AD=2，AH=DF=1.5，
∵AE=AB-BE=2.5，
∴HE=AE-AH=1，
由勾股定理得；故③正确；
∵DF=BE，AD=GC=2，DF=GF=，
∴S阴影部分=S四边形BCFE+S△CGF，
=S矩形ABCD+S△CGF，
=AB?AD+CG?GF，
=×4×2+×2×，
=4+
=；故④正确．
故选：D．
【点睛】
本题考查了四边形的综合问题，熟练掌握菱形的判定与性质、矩形的判定与性质及折叠的性质等知识是解题的关键．
15．如图，中，，，，平行四边形内放着两个菱形，菱形和菱形，它们的重叠部分是平行四边形．已知三个阴影平行四边形的周长相等，那么平行四边形的面积为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
结合题意由平移的性质可得的周长=的周长=的周长=，过点I作IP⊥EF，然后结合菱形性质和含30°直角三角形的性质求得IP，从而求解．
【详解】
解：由题意的周长为
又∵三个阴影平行四边形的周长相等，
∴由平移的性质可得：的周长=的周长=的周长=
∴
∴
又∵，，且四边形和四边形是菱形，
∴，，，
过点I作IP⊥EF
∴在Rt△IJP中，，
∴平行四边形的面积为
故选：D．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
本题考查菱形的性质，平移的性质及含30°直角三角形的性质，掌握相关性质定理正确推理计算是解题关键．
16．如图，菱形OABC的一边O
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)A在x轴上，将菱形OABC绕原点O逆时针旋转105°至OA1B1C1的位置，若OA＝2，∠C＝120°，则点B1的坐标为（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．（﹣3，）
B．（3，）
C．（﹣，）
D．（，﹣）
【答案】C
【分析】
连接AC与OB相交于点E，过点B1作B1F⊥x轴，垂足为F，由四边形OABC为菱形，∠AOC＝60°，OC＝OA＝AC＝2，在Rt△OAE中
OE＝，可求∠B1OF＝45°，在Rt△B1OF中，OB1＝OB＝2，可求OF＝B1F＝，由点B1在第二象限，可求点B1的坐标为（﹣，）．
【详解】
连接AC与OB相交于点E，过点B1作B1F⊥x轴，垂足为F，
∵四边形OABC为菱形，∠OCB＝120°，OA＝OC，
∠AOC＝60°，OC＝OA＝AC＝2，
∵AC⊥OB，
∴在Rt△OAE中，OA＝2，AE＝AC＝1，
∴OE＝，
∴OB＝2，
又∵∠AOB＝∠AOC＝30°，∠BOB1＝105°，
∴∠B1OF＝180°﹣∠AOB﹣∠BOB1＝180°﹣30°﹣105°＝45°，
在Rt△B1OF中，OB1＝OB＝2，OF＝B1F，
∴OF2+B1F2＝OB12，
可得OF＝B1F＝，
∵点B1在第二象限，
∴点B1的坐标为（﹣，）．
故选：C．
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【点睛】
本题考查了菱形的性质，旋转的性质以及直角
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)三角形的性质,等腰直角三角形判定与性质,勾股定理等知识．此题综合性较强，难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用．
17．如图，在平行四边形中，，是的中点，作于点，连接、，则下列结论错误的是（
）
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A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
延长交的延长线于，取的中点连接．想办法证明，，四边形是菱形即可解决问题．
【详解】
解：如图延长交的延长线于，取的中点，连接．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵，
∴，
∵是的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，故A正确，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，故B正确，
∵，
∴
，故C正确，
∵，，，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，故D错误，
故选：D．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质和判定、
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)菱形的判定和性质、直角三角形斜边中线的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
18．如图，点是矩形的中心，，，过点作两条互相垂直的直线，分别交、于点、点，交、于点、点，当时，长为（ ）
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A．3
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
由“ASA”可证△BOE≌△DOF
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，可得EO=FO，BE=DF=2，可证四边形EHFG是菱形，可得EG=GF，由勾股定理可列关于AG的方程，即可求解．
【详解】
解：如图，连接BD，EG，GF，HF，EH，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵点O是矩形ABCD的中心，
∴AB=CD=6，∠A=90°，BO=DO，AB∥CD，
∴∠ABD=∠CDB，
在△BOE和△DOF中，
，
∴△BOE≌△DOF（ASA），
∴EO=FO，BE=DF=2，
同理可证GO=HO，
∴四边形GFHE是平行四边形，
∵EF⊥GH，
∴四边形EHFG是菱形，
∴EG=GF，
∵EG2=AE2+AG2，GF2=GD2+DF2，
∴(6-2)2+AG2=(8-AG)2+4，
∴AG=，
故选：D．
【点睛】
本题考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，利用勾股定理列出关于AG的方程是本题的关键．21·cn·jy·com
19．数学老师用四根长度相等的木条首尾顺次相接制成一个图1所示的菱形教具，此时测得，对角线长为，改变教具的形状成为图2所示的正方形，则正方形的边长为（
）
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A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
现根据菱形的性质得出AD=DC，再由ADC是等边三角形即可计算得出结果
【详解】
解：连接AC
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
图1中，四边形ABCD是菱形
∴AD=DC
∵∠D=60°
∴ADC是等边三角形
∴AD=DC=AC=16cm
∵图2为图1改变形状得到
∴正方形的边长为16cm
故选：C
【点睛】
本题考查菱形的性质、平行四边形具有不稳定性，灵活理解题意是关键
20．如图，在中，分别是边上的中线，于点O，点F是的中点，若，则的长是（
）
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A．7
B．5
C．4
D．3
【答案】B
【分析】
如图（见解析），取的中点，连接，先利用勾股定理可得，再根据三角形中位线定理可得，，然后根据菱形的判定与性质即可得．
【详解】
解：如图，取的中点，连接，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
，
，
分别是边上的中线，
是的中位线，
，
同理可得：，
，
四边形是平行四边形，
又，
平行四边形是菱形，
，
故选：B．
【点睛】
本题考查了三角形中位线定理、菱形的判定与性质等知识点，通过作辅助线，利用到三角形中位线定理是解题关键．
21．如图，菱形的对角线，相交于O点，E，F分别是，的中点，连接．若，则菱形的边长为（
）
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A．10
B．8
C．6
D．5
【答案】D
【分析】
由菱形的性质得出AB=BC=CD=AD，AC⊥BD，OA=AC，OB=BD=4，证出EF是△ABC的中位线，由三角形中位线定理得出AC=2EF=6，得出OA=3，由勾股定理求出AB，即可求出菱形的周长．
【详解】
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD，AC⊥BD，OA=AC，OB=BD=4，
∴∠AOB=90°，
∵E、F分别是AB、BC边上的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴AC=2EF=6，
∴OA=3，
∴AB==5，
故选：D．
【点睛】
本题考查了菱形的性质、三角形中位线定理、勾股定理；熟练掌握菱形的性质，由三角形中位线定理得出AC，由勾股定理求出AB是解决问题的关键．
22．在学习菱形时，几名同学对同一问题，给出了如下几种解题思路，其中正确的是（
）
已知：如图，四边形ABCD是菱形，E、F是直线AC上两点，AF=CE．
求证；四边形FBED是菱形．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
甲：利用全等，证明四边形FBED四条边相等，进而说明该四边形是菱形；
乙：连接BD，利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形，判定四边形FBED是菱形；
丙：该题目错误，根据已知条件不能够证明该四边形是菱形．
A．甲、乙对，丙错
B．乙、丙对，甲错
C．三个人都对
D．甲、丙对，乙错
【答案】A
【分析】
先利用菱形的性质证明可得再同理可得
从而判断甲正确；连接BD交AC于O，
利用四边形ABCD是菱形，
可得AC⊥BD，AO=CO，BO=DO，
再证明OF=OE，即可判断乙正确，从而可得丙判断错误．
【详解】
解：
菱形
同理可得：
∴四边形FBED是菱形．故甲正确；
连接BD交AC于O，
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∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO=CO，BO=DO，
∵AF=CE，
∴OF=OE，
∴四边形FBED是菱形．故乙正确；
由甲，乙正确，可得丙的说法不正确；
故选：
【点睛】
本题考查的是菱形的判定与性质，掌握菱形的判定方法是解题的关键．
23．如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为菱形，需要添加的条件是（
）
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A．AB＝CD
B．AD＝BC
C．AC＝BD
D．AB＝BC
【答案】D
【分析】
由已知条件得出四边形ABCD是平行四边形，再由一组邻边相等，即可得出四边形ABCD是菱形．
【详解】
∵四边形ABCD的对角线互相平分，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB＝BC，
∴平行四边形ABCD是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）；
故选：D．
【点睛】
本题考查了平行四边形、菱形的知识；解题的关键是熟练掌握菱形的性质，从而完成求解．
24．如图，菱形的边长为10，对角线＝16，点分别是边的中点，连接并延长与的延长线相交于点，则长为（
）
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A．13
B．10
C．12
D．5
【答案】C
【分析】
连接对角线BD，交AC于点O，证四边形BDEG是平行四边形，得EG=BD，利用勾股定理求出OD的长，BD=2OD，即可求出EG．
【详解】
解：连接BD，交AC于点O，如图：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵菱形ABCD的边长为10，点E、F分别是边CD、BC的中点，
∴AB∥CD，AB=BC=CD=DA=10，EF∥BD，
∵AC、BD是菱形的对角线，AC=16，
∴AC⊥BD，AO=CO=8，OB=OD，
又∵AB∥CD，EF∥BD，
∴DE∥BG，BD∥EG，
∴四边形BDEG是平行四边形，
∴BD=EG，
在△COD中，∵OC⊥OD，CD=10，CO=8，
∴OB=OD=，
∴BD=2OD=12，
∴EG=BD=12；
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了菱形的性质，平行四边形的判定与性质及勾股定理等知识；熟练掌握菱形、平行四边形的性质和勾股定理是解题的关键．
25．如图，四边形为菱形，A，B两点的坐标分别是，点C，D在坐标轴上，则菱形的周长等于（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
先由勾股定理求出AB的长，再由菱形的性质即可得出答案．
【详解】
解：∵A，B两点的坐标分别是，
∴OA=3，OB=，
∴AB=，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC=CD=AD=AB=2，
∴菱形的周长=4AB=8，
故选：A．
【点睛】
此题考查菱形的性质、坐标与图形性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质和勾股定理是解题的关键．
26．如图，菱形的对角线、相交于点，过点作于点，连接，若，．则菱形的面积为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．12
B．10
C．6
D．24
【答案】A
【分析】
由Rt△BHD中，点O是BD的中点
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，OH=2，则，BD=4，由菱形对角线的性质可得AC=6，应用菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，即可得出答案．
【详解】
解：∵四边形是菱形，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴菱形的面积．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了菱形的性质和面积及直角三角形的性质，合理利用菱形的性质及直角三角形的性质进行计算是是解决本题的关键．
27．如图，已知在菱形中，，以点为圆心，取大于的长为半径，分别作弧相交于两点，作直线交边于点（作图痕迹如图所示），连结，若，则下列结论错误的是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．菱形的面积为
D．
【答案】C
【分析】
由作法知，MN是线段AB的垂直平分线，根据菱形的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理可作出判断．
【详解】
由作法知，MN是线段AB的垂直平分线
∴BE=AE=2
故选项B正确
∵BE=AE，∠A=30゜
∴∠EBA=∠A=30゜
∵四边形ABCD是菱形
∴AB=AD
∴∠ABD=∠ADB=(180゜?∠A)=75゜
∴∠DBE=∠ABD?∠EBA=45゜
故选项A正确
设MN交AB于点F，如图
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵MN⊥AB，∠A=30゜
∴EF=AE=1
由勾股定理得：
∴AD=AB=2AF=
∴ED=AD?AE==?2
故选项D正确
如图，过点D作DG⊥AB于点G
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
在Rt△ADG中，∠A=30゜，则
∴
从而选项C错误
故选：C．
【点睛】
本题考查了线段垂直平分线的作法、菱形的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理等知识点，关键是判断题中的作图是作线段AB的垂直平分线．
28．四边形中，，点P，Q是对角线BD上不同的两点，若四边形是菱形，则下列说法中不正确的是
（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
连接AC，由平行线的性质和菱形的性质易证，即可证明四边形ABCD是平行四边形．再由，即证明平行四边形ABCD是菱形．根据其性质逐项判断即可．
【详解】
如图，连接AC，
∵，
∴，．
∵四边形APCQ是菱形，
∴，
∴，
∴，
∴．
∴AD=BC，，故A正确，不符合题意．
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵，
∴平行四边形ABCD是菱形．
∴，，故B、C正确，不符合题意．
∵当AP=BP时，，
∴D选项不一定成立，故该选项符合题意．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
故选D．
【点睛】
本题考查平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质以及平行线的性质．作出辅助线是解答本题的关键．
29．如图，在菱形中，分别是边的中点，P是对角线上一动点，已知菱形边长为5，对角线长为6，则周长的最小值是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．11
B．10
C．9
D．8
【答案】C
【分析】
作点M关于BD的对称点，连接交BD于点．根据轴对称、菱形的性质可知点为AD的中点．再根据题意即可证明经过点O，即点O与点重合．即当点为P点时，最小为长，即此时的周长最小．根据勾股定理可求出，再利用中位线的性质即可求出长，最后由，求出即为的周长最小值．
【详解】
如图，作点M关于BD的对称点，连接交BD于点．
根据对称的性质和菱形的性质可知点为AD的中点．
又∵点N为BC中点，
∴经过点O，即点O与点重合．
∵，
∴根据两点直线线段最短可知，当点为P点时，最小为长，即此时的周长最小．
∵AC=6，
∴
．
在中，，
∴．
∵点M，N分别为DC，BC的中点，
∴．
∵点，N分别为AD，BC的中点，
∴，
又∵，
∴四边形为平行四边形．
∴，
∴，即的周长最小值为9．
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故选：C．
【点睛】
本题考查菱形的性质，轴对称变换，三角形中位线的性质以及勾股定理．作出辅助线并理解当点为P点时，的周长最小是解答本题的关键．【出处：21教育名师】
30．如图1，点从菱形的顶点出发，沿以的速度匀速运动到点，图2是点运动时，的面积随时间变化的关系图象，则的值为（
）
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A．5
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
过点作，根据图象的三角形的面积可得菱形的边长为5，再利用菱形的性质和勾股定理列方程可求．
【详解】
解：过点作，
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∵菱形中，，
∴当点在边上运动时，的值不变，
，即菱形的边长是，
，即．
当点在上运动时，逐渐减小，
，
．
在中，，
，解得．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查菱形的性质和勾股定理，掌握菱形的性质及勾股定理是关键．
31．如图，在菱形中，标出了四条线段的长度，其中有一个长度是标错的，这个长度是（
）
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A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】A
【分析】
根据菱形对角线互相垂直平分可判断OA=2错误．
【详解】
解：∵四边形是菱形，
∴∠DOC=90°，AB=CD=5，
∵，
∴3、4、5没标错，
∵OA=OC=3，
∴2标错了，
故选：A．
【点睛】
本题考查了菱形的性质和勾股定理，解题关键是熟练掌握菱形的性质进行计算和判断．
32．已知，如图，在菱形ABCD中．根据以下作图过程及所作图形，判断下列结论中错误的是（ ）
（1）分别以C，D为圆心，大于CD长为半径作弧，两弧分别交于点E，F；
（2）作直线EF，且直线EF恰好经过点A，且与边CD交于点M；
（3）连接BM．
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A．∠ABC＝60°
B．如果AB＝2，那么BM＝4
C．BC＝2CM
D．S△ADMS△ABM
【答案】B
【分析】
利用基本作图得到EF垂直平分CD，则AD＝AC，CM＝DM，∠AMD＝90°，再根据菱形的性质得到AB＝BC＝AD，则可判断△ABC为等边三角形，从而可对A选项进行判断；当AB＝2，则CM＝DM＝1，在计算出AM，利用勾股定理计算出BM，则可对B选项进行判断；利用BC＝CD＝2CM可对C选项进行判断；利用AB∥CD，AB＝2DM和三角形面积公式可对D选项进行判断．2·1·c·n·j·y
【详解】
解：由作法得EF垂直平分CD，
∴AD＝AC，CM＝DM，∠AMD＝90°，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB＝BC＝AD，
∴AB＝BC＝AC，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠ABC＝60°，所以A选项的结论正确；
当AB＝2，则CM＝DM＝1，
∵∠D＝60°，
∴AM，
在RABM中，BM，所以B选项的结论错误；
∴BC＝CD＝2CM，所以C选项的距离正确；
∵AB//CD，AB＝2DM，
∴S△ADMS△ABM，所以D选项的结论正确．
故选：B．
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【点评】
本题考查了作图﹣基本作图：熟
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了线段垂直平分线的性质和菱形的性质．21教育名师原创作品
33．如图，菱形的对角线的长分别为2和5，是对角线上任一点（点不与点，重合），且交于，交于，则阴影部分的面积是（
）
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A．10
B．7.5
C．5
D．2.5
【答案】D
【分析】
根据题意可得阴影部分的面积等于△ABC的面积，因为△ABC的面积是菱形面积的一半，根据已知可求得菱形的面积则不难求得阴影部分的面积．
【详解】
设AP与EF相交于O点．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵四边形ABCD为菱形，
∴BC//AD，AB//CD．
∵PE//BC，PF//CD，
∴PE//AF，PF//AE．
∴四边形AEFP是平行四边形．
∴S△POF=S△AOE．
即阴影部分的面积等于△ABC的面积．
∵△ABC的面积等于菱形ABCD的面积的一半，
菱形ABCD的面积=AC?BD=5，
∴图中阴影部分的面积为×5=2.5．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了菱形的面积的计算方法，根据菱形是中心对称图形，得到阴影部分的面积等于菱形面积的一半是解题的关键．
34．如图1，四边形是菱形，对角线相交于点O，P，Q两点同时从点O出发，以1厘米/秒的速度在菱形的对角线及边上运动．P，Q的运动路线：点P为，点Q为．设运动的时间为x秒，P，Q间的距离为y厘米，y与x的函数关系的图象大致如图2所示，则菱形的面积为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
根据图像可以知道整个过程分为三个过程：第一两
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)者在AC上运动；第二P在AD，Q在CB；第三两者在DB运动．在根据运动速度和各个过程的运动路程进行求解即可．
【详解】
解：根据图像可以知道整个过程分为三个过程：第一两者在AC上运动
由图像可知，此过程运动时间为2s，运动完成P、Q两点相距cm
∴cm
由菱形性质得：c
m，⊥
同理第三个过程运动完成时P、Q两点相距2cm
∴cm
∴cm
故选A．
【点睛】
本题主要考查了菱形的性质，解题的关键在于能够熟练掌握菱形的相关性质．
35．如图，菱形ABCD的面积为24，对角线AG与BD交于点O，E是BC边的中点，于点F，于点G，则四边形EFOG的面积为（
）
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A．3
B．5
C．6
D．8
【答案】A
【分析】
由菱形的性质得出，，，，证出四边形是矩形，，，得出、都是的中位线，则，，由矩形面积即可得出答案．
【详解】
解：四边形是菱形，
，，，
于，于，
四边形是矩形，，，
点是线段的中点，
、都是的中位线，
，，
矩形的面积；
又∵菱形ABCD的面积为=，
∴
∴矩形的面积=．
故选：A．
【点睛】
本题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质、三角形中位线定理等知识；熟练掌握菱形的性质和矩形的性质是解题的关键．
36．如图，在菱形中，按如下步骤作图：①分别以点和点为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点；②作直线，且恰好经过点，与交于点，连接，若，则的长为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．4
D．
【答案】A
【分析】
根据作图，知AE是线段CD的垂直平分线，由DE=AD，得∠DAE=30°，∠D=60°，∠BAE=90°，根据勾股定理，得到AE=，在直角三角形BAE中，根据勾股定理，得到BE=．
【详解】
根据作图，知AE是线段CD的垂直平分线，
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∵四边形ABCD是菱形，
∴DE=AD，∴∠DAE=30°，∠D=60°，∠BAE=90°，
在直角三角形ADE中，根据勾股定理，得AE==，
在直角三角形BAE中，根据勾股定理，得BE==．
故选A．
【点睛】
本题考查了菱形的性质，勾股定理，30°角所对直角边是斜边一半的逆用，线段的垂直平分线，熟练掌握菱形的性质，直角三角形的性质是解题的关键．21·世纪
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37．下列四边形中，对角线互相垂直平分的是（ ）
A．平行四边形
B．菱形
C．矩形
D．梯形
【答案】B
【分析】
根据平行四边形、菱形、矩形、梯形的对角线的性质解答．
【详解】
解：对角线互相垂直平分的四边形是菱形，
故选：B．
【点睛】
此题考查平行四边形、菱形、矩形、梯形的对角线的性质，熟记各图形的性质是正确解题的关键．
38．如图，菱形的边长为，对角线，交于点，，则菱形的面积为（
）
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A．
B．
C．2
D．4
【答案】D
【分析】
根据菱形的对角线互相垂直且互相平分，可得出对角线AC的长度，依据勾股定理即可得到另一条对角线的的长度，进而根据公式可得出菱形的面积．
【详解】
解：∵对角线AC，BD交于点O，OA＝1，
∴AC＝2OA＝2，
∵菱形的边长为，
∴AB＝，
∴，
∴BD＝2BO＝4，
∴S菱形ABCD＝BD?AC＝×4×2＝4．
故选：D．
【点睛】
本题考查了菱形面积的计算，掌握菱形的面积等于两条对角线长乘积的一半是解题的关键．
39．如图，将矩形ABCD沿对角线AC剪开，再把△ACD沿CA方向平移得到△A1C1D1，连结AD1，BC1．若∠ACB＝30°，AB＝1，CC1＝x，△ACD与△A1C1D1重叠部分的面积为s，则下列结论：①△A1AD1≌△CC1B②当x＝1时，四边形ABC1D1是菱形
③当x＝2时，△BDD1为等边三角形
④s＝（x﹣2）2（0＜x＜2），其中正确的有（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．1
个
B．2
个
C．3
个
D．4
个
【答案】C
【分析】
根据平移前后两图形全等得到∠DAC=∠
,根据平移的性质得到C1C=A1A，根据矩形的性质得到A1D=BC，再根据SAS证明两三角形全等．①正确；根据30°的直角三角形的性质可得△ABC1是等边三角形，再由平移的性质得出四边形ABC1D1是菱形．②正确；根据当x＝2时，点C1与点A重合，根据平移的性质,CC1=DD1=2,矩形的对角线相等，BD=AC，证明BD＝DD1，∠BDD1＝60°得出△BDD1为等边三角形．③正确；利用含30°的直角三角的性质得出AC1，再根据三角形的面积公式计算即可判定④错误；
【详解】
解：∵AC＝A1C1，
∴AA1＝CC1
∵BC＝D1A1，∠AA1D1＝∠BCC1，
∴△A1AD1≌△CC1B，故①正确，
在Rt△ABC中，∵∠ACB＝30°，AB＝1，
∴AC＝A1C1＝2，
当x＝1时，AC1＝CC1＝1，
∴AC1＝AB，
∵∠BAC＝60°，
∴△ABC1是等边三角形，
同法可证：△AD1C1是等边三角形，
∴AB＝BC1＝AC1＝AD1＝C1D1，
∴四边形ABC1D1是菱形，故②正确，
当x＝2时，BD＝AC＝2，DD1＝2，∠BDD1＝60°，
∴△BDD1是等边三角形，故③正确，
当0＜x＜2时，S＝
?
（2﹣x）?
（2﹣x）＝
（2﹣x）2，故④错误．
故选：C．
【点睛】
本题考查矩形的性质、等边三角形的判定和性质、菱形的判定、平移变换等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
40．如图，在平面直角坐标系中，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)四边形OABC是菱形，∠AOC＝120°，点B的坐标为（6，0），点D是边BC的中点，现将菱形OABC绕点O顺时针旋转，每秒旋转60°，则第2021秒时，点D的坐标为（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．（，）
B．（﹣，﹣）
C．（，﹣）
D．（﹣，）
【答案】A
【分析】
根据菱形OABC绕点O顺时针旋转，每秒
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)旋转60°可得当菱形OABC绕点O旋转6秒后与自身重合，所以可得菱形OABC绕点O顺时针旋转第2021秒时，原图顺时针旋转了300°，从而得到旋转后点D?的位置，根据菱形的边长可求出点B?，C?的坐标，因为点D?是边B?C?的中点，根据中点坐标公式得到点D?的坐标．
【详解】
解：∵菱形OABC绕点O顺时针旋转，每秒旋转60°，
而（秒），
∴当菱形OABC绕点O旋转6秒后与自身重合，
∵2021÷6=336……5，
又∵60°×5=300°，
∴第2021秒时，原图顺时针旋转了300°，如图所示，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵菱形的边长为6，
∴OB?=
B?C?=OC?=6，
∴B?(3,)，C?(6,0)，
∵点D?是边B?C?的中点，
∴D?，
即D?．
故选A．
【点睛】
本题考查了坐标与图形变换——旋转，菱形的性
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)质，中点坐标公式，点的坐标特征等知识．关键是求出菱形OABC绕点O顺时针旋转第2021秒时的位置．
二、填空题
41．如图，菱形的边长为，，将该菱形沿AC方向平移得到四边形，交CD于点E，则点E到AC的距离为____________．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】2
【分析】
首先根据菱形对角线的性质得出AC的长，然后利用菱形对角线平分对角和平移的性质得出等腰
，过顶点作垂线段EF，利用三线合一得出CF的长，再利用直角三角形30°所对的直角边等于斜边一半和勾股定理列出方程，即可求解．
【详解】
∵∠BAD=60°，
∴连接对角线AC,BD，则AC⊥BD，且AC平分∠BAD,
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∴在Rt△ADO中，
利用勾股定理得
又∵AC=2AO,
∴AC=
，
由题可知
=，
∴A’C=;
由平移可知
=∠DAC=30°,而∠DAC=∠DCA,
∴=∠DCA，即==30°，
∴
是等腰三角形；
过点E作EF⊥AC，垂足为F，如图所示：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
则由等腰三角形三线合一可得：A’F=FC=,
在Rt△ECF中，
,设EF=x，则EC=2x，
由勾股定理得：
，解得x=2，
故填：2．
【点睛】
本题考查菱形的性质，等腰三角形三线合一，直
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)角三角形中30°所对的直角边等于斜边一半和勾股定理；菱形对角线互相垂直且平分，一条对角线平分一组对角，熟知概念定理是解题的关键．
42．如图，四边形为菱形，，延长到，在内作射线，使得，过点作，垂足为，若，则对角线的长为______．（结果保留根号）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】
【分析】
先由菱形的性质得出，求得，再根据直角三角形两锐角互余得
,连接AC交BD于点O，根据菱形的性质得，，根据AAS证明可得，从而可求出．
【详解】
解：连接AC，如图，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB//CD，，BD=2DO
∴
∵
∴
∵
∴
∵四边形ABCD是菱形，
∴
∴
在和中，
∴≌
∴
∴
故答案为：．
【点睛】
此题主要考查了菱形的性质以及全等三角形的判定与性质，连接AC并证明≌是解答此题的关键．
43．如图，菱形ABCD中，，边长为3，P是对角线BD上的一个动点，则的最小值是______．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】
【分析】
求两条线段之和的最小值问题，通常转化为两点之间的距离，在平面中，两点间的距离最短．
【详解】
解：如图所示：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
过点作交于点，过点作交于点，
四边形是菱形，，
∴∠ABP=30°，
，
，
由垂线段最短可知，的最小值为的长，
，
即的最小值是：，
故答案是：．
【点睛】
本题考查了动点中的最短路径问题，解题的关键是：通过等量代换，转化为两点之间的距离．
44．在菱形中，，是线段上一动点（不与点、重合），当是等腰三角形时，的度数为________．
【答案】或
【详解】
【解答】∵在菱形中，，∴，，∴，∵是等腰三角形，点不与点、重合，∴或.①当时，∴，∴；②当时，∴，∴.综上所述，当是等腰三角形时，或.
45．如图，四边形是菱形，对角线，相交于点，，，点是上一点，连接，若，则的长为______．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】
【分析】
根据菱形的对角线互相垂直平
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)分求出OA，OD，AC⊥BD，再利用勾股定理列式求出AD，然后根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，求解即可．
【详解】
解：∵菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，
∴OD＝BD＝×6＝3，OC＝AC＝×8＝4，AC⊥BD，
由勾股定理得，CD＝，
∵OE＝AE，
∴∠DAC＝∠EOA，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝CD，
∴∠DCA＝∠DAC，
∴∠EOA＝∠DCA，
∴OECD，
∵AO＝OC，
∴OE是△ADC的中位线，
∴OE＝CD＝×5＝，
故答案是：．
【点睛】
本题考查了菱形的性质，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，勾股定理，推出OE是△ADC的中位线，是解题的关键．
三、解答题
46．如图，在菱形中，，是对角线上的两点，且．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）求证：≌；
（2）证明四边形是菱形．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】
(1)利用SAS证明即可；
(2)从对角线的角度加以证明即可.
【详解】
（1）证明：∵四边形为菱形，
∴，且，
又∵，
∴≌．
（2）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
证明：连接交于点，
∵四边形为菱形，
∴，且为，中点，
又∵，
∴
∴与互相垂直且平分，
故四边形是菱形．
【点睛】
本题考查了菱形的判定和性质，三角形的全等判定和性质，熟练掌握三角形全等判定的基本原理,菱形判定基本方法和性质是解题的关键．
47．如图，在菱形中，连接．
（1）求证：是等边三角形；
（2）若BD＝2，则请直接写出菱形的面积为
．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】
（1）根据由菱形的性质得，则，可以证明出：，根据等边三角形的判定定理可得结论；
（2）由菱形的性质和等边三角形的性质即可求解．
【详解】
解：证明（1）四边形是菱形，
，
，
，
，
是等边三角形；
（2）由（1）得：是等边三角形，
菱形的面积的面积，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，解题的关键是：熟练掌握菱形的性质和等边三角形的判定与性质．21教育网
48．如图，在中，．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）作点关于的对称点；（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）在（1）所作的图中，连接，．求证：四边形是菱形．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）作BD的垂直平分线，再截取DC=DA即可；
（2）根据对称证四边相等即可．
【详解】
（1）解：如图所示，点即为所求．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（2）证明：∵，
∴．
∵点是点关于的对称点，
∴，．
∴．
∴四边形是菱形．
【点睛】
本题考查了尺规作图和菱形的证明，解题关键是熟练运用尺规作图方法和菱形的判定定理进行作图与证明．
49．如图，在的正方形网格中，网格线的交点称为格点，在格点上，每一个小正方形的边长为1．
（1）以为边画菱形，使菱形的其余两个顶点都在格点上（画出一个即可）．
（2）计算你所画菱形的面积．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】（1）答案不唯一，见解析；（2）6或8或10（答案不唯一）
【分析】
（1）根据菱形的定义并结合格点的特征进行作图；
（2）利用菱形面积公式求解．
【详解】
解：（1）根据题意，菱形ABCD即为所求
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（2）图1中AC=2，BD=6
∴图1中菱形面积．
图2中，AC=，BD=
∴图2中菱形面积．
图3中，
∴图3菱形面积．
【点睛】
本题考查菱形的性质，掌握菱形的概念准确作图是关键．
50．如图，在矩形纸片中，E、F分别在边、边上，将矩形纸片沿EF折叠，使点C与点A重合，点D落在点处，连接，请直接写出四边形的形状，并说明理由．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】菱形，见解析
【详解】
解：四边形是菱形．
理由如下：由折叠可知，，，
，
，
，
，
，
∴四边形是菱形．
51．如图，矩形ABCD的对角线交于点O，点E是矩形外的一点，其中//，//．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）求证：四边形AEBO是菱形；
（2）连接CE交BD于点F，连接AF，若，，求AF的长．
【答案】（1）见解析；（2）．
【详解】
（1）证明：∵，
，
∴四边形AEBO是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴，
∴，
∴四边形AEBO是菱形；
（2）解：∵四边形AEBO是菱形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四边形ABCD是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴.
52．如图，在菱形中，对角线相交于点O，，点M从点A出发沿方向以的速度匀速运动，至点D时停止运动，连接并延长交于点N，设点M的运动时间为．【来源：21cnj
y.co
m】
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）求证：；
（2）当四边形的面积为时，求t的值；
（3）求当t为何值时，的外心在它的边上．
【答案】（1）见解析；（2）4；（3）2或8
【详解】
（1）证明：∵四边形为菱形，
∴，
∴．
又∵，
∴，
∴；
（2）解：如解图①，分别过点A、O作的垂线，垂足分别为点E、F，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)例题解图①
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴．
∵，
∴，
即，解得；
（3）解：∵的外心在它的边上，
∴为直角三角形，分以下两种情况讨论：
①如解图②，当时，
的外心在上，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)例题解图②
∵，
∴，
由（2）可知，∴，
∴；
②当时，
的外心在上，
∵四边形为菱形，
∴，∴，
∴此时点M运动到点D处，∴；
综上所述，当t为或时，
的外心在它的边上．
53．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的的网格中，给出了格点（顶点为网格线的交点）．
（1）作出关于直线l对称的；
（2）以为一边，作一个菱形，且D、F也为格点．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【详解】
解：（1）如解图，
即为所求；
（2）如解图，菱形即为所求（答案不唯一）．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
第17题解图
54．尺规作图如下：如图，在中，①作平分交于；②作线段的垂直平分线分别交于点、交于点；③连接、；
（1）在所作图的步骤中①得到角平分线的依据是______．
A． B． C． D．
（2）试判断四边形的形状，并说明理由．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】（1）D；（2）菱形，见解析
【分析】
（1）根据角平分线的作法可得AM＝AN，MO＝NO，则可利用三角形全等判定得出结论；
（2）根据由线段垂直平分线性质可得EA＝
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)ED，FA＝FD，则可推出∠EAD＝∠EDA，∠FAD＝∠FDA．再由角平分线得∠EAD＝∠FAD．则可由角的等量关系证得AE//FD，ED//AF．再结合EA＝ED即可证明结论．
【详解】
解：（1）如图：连接ON、OM
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
由角平分线的作法可知：AM＝AN，
MO＝NO，
∵AO＝AO．
∴△AMO≌△ANO（SSS）．
∴∠OAM＝∠OAN．
∴平分．
故选：D．
（2）四边形AEDF是菱形，理由是：
∵EF垂直平分AD，
∴AE＝DE，FA＝FD．
∴∠EAD＝∠EDA，∠FAD＝∠FDA．
∵AD平分∠BAC，
∴∠EAD＝∠FAD．
∴∠EAD＝∠FDA，∠FAD＝∠EDA．
∴AE//FD，ED//AF．
∴四边形AEDF是平行四边形．
又∵EA＝ED，
∴平行四边形AEDF是菱形．
【点睛】
本题考查了基本作图、线段垂直平分线性质及菱形的判定等知识，熟练掌握线段垂直平分线性质及菱形的判定是解题的关键．
55．如图，在中．请用尺规作图法，求作一个以为内角的菱形，使顶点E、F、G分别在、、边上．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】作图见解析
【分析】
作∠ABC的平分线交AC于F，再作BF的垂直平分线交AB于G，交BC于E，则四边形BEFG满足条件．
【详解】
解：如图，四边形为所作．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)．
【点睛】
本题考查了作图-复杂作图：复杂作
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了菱形的判定．
56．如图，在矩形中，为对角线的中点，过点作直线分别与矩形的边，交于，两点，且，连接，．求证：四边形为菱形．
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【答案】见解析
【分析】
先证明，得出四边形为平行四边形，再根据对角线垂直的平行四边形是菱形证明即可．
【详解】
证明：∵在矩形中，为对角线的中点
∴，
∴
在和中
∴
∴
又∵
∴四边形为平行四边形
又∵
∴平行四边形为菱形．
【点睛】
本题考查全等三角形的证明及性质、菱形的判定，熟练掌握菱形的判定是关键．
57．如图，的对角线、相交于点，过点作，分别交、于点、，连接、．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）若，求的长；
（2）判断四边形的形状，并说明理由．
【答案】（1）4；（2）菱形，理由见解析
【分析】
（1）根据平行四边形的性质得，，再证明，进而即可得到答案；
（2）先证明四边形是平行四边形，再证明平行四边形是菱形．
【详解】
（1）∵四边形为平行四边形，
∴，，
∵，
∴，．
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）四边形是菱形，理由如下：
∵的对角线、相交于点，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∵
∴平行四边形是菱形．
【点睛】
本题主要考查平行四边形的性质以及菱形的判定定理，熟练掌握平行四边形的性质以及菱形的判定定理是解题的关键．
58．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O的直线EF与BA、DC的延长线分别交于点E、F．
（1）求证：AE＝CF；
（2）请再添加一个条件，使四边形BFDE是菱形，并说明理由．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】（1）见解析；（2）EF⊥BD或EB＝ED，见解析
【分析】
（1）根据平行四边形的性质和全等三角形的证明方法证明，则可得到AE＝CF；
（2）连接BF，DE，由，得到OE=
OF，又AO=CO，所以四边形AECF是平行四边形，则根据EF⊥BD可得四边形BFDE是菱形．
【详解】
证明：（1）∵四边形是平行四边形
∴OA＝OC，BE∥DF
∴∠E＝∠F
在△AOE和△COF中
∴
∴AE＝CF
（2）当EF⊥BD时，四边形BFDE是菱形，理由如下：
如图：连结BF，DE
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵四边形是平行四边形
∴OB＝OD
∵
∴
∴四边形是平行四边形
∵EF⊥BD，
∴四边形是菱形
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的性质与判定、平行四边形的性质，菱形的判定等知识点，熟悉相关性质，能全等三角形的性质解决问题是解题的关键．
59．如图，平行四边形ABCD，BE⊥AD于E，交AC于M，DF⊥BC于F，交AC于N，连结DM、BN．
（1）求证：△ABM≌△CDN；
（2）当□ABCD是菱形时，判断四边形MBND的形状，并说明理由．
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【答案】（1）见解析；（2）菱形，理由见解析．
【分析】
（1）分别证明AB=CD，∠BAC=∠DCA，∠ABM=∠CDN，即可证明△ABM≌△CDN；
（2）证明BE∥DF，结合（1）结论证明四边形MBND是平行四边形，连接BD，证明MN⊥BD，问题得证．
【详解】
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，∠DAB=∠DCB
∴∠BAC=∠DCA，
∵BE⊥AD，DF⊥BC，
∴∠DAB+∠ABM=90°，∠DCB+∠CDN=90°，
又∵∠DAB=∠DCB，
∴∠ABM=∠CDN，
∴△ABM≌△CDN；
（2）四边形MBND是菱形，
理由：∵BE⊥AD，DF⊥BC，
∴∠AEB=90°，∠DFB=90°，
∵AD∥BC，
∴∠EBC=∠AEB=90°，
∴∠EBC=∠DFB=90°，
∴BE∥DF，
由（1）知△ABM≌△CDN，
∴BM=DN，
∴四边形MBND是平行四边形，
连结BD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，即MN⊥BD，
∴四边形MBND是菱形．
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【点睛】
本题考查平行四边形的性质，菱形的性质与判定，熟知相关定理并灵活应用是解题关键．
60．四边形为菱形，为对角线，在对角线上任取一点，连接，把线段绕点顺时针旋转得到线段，使得，点的对应点为点，连接．
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（1）如图1，求证：；
（2）如图2，若，在不添加任何辅助线的前提下，请直接写出五对线段，使每对线段的和等于（和除外）．www.21-cn-jy.com
【答案】（1）见解析；（2）；；；；
【分析】
（1）证明，可得结论．
（2）证明，结合全等三角形的性质，可得结论．
【详解】
解：（1）证明：四边形为菱形，
，
把线段绕点顺时针旋转得到线段，
，
，
，
在与中，
，
，
．
（2），
，，
，
，
，
，
，
，
，
．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
本题考查菱形的性质，旋转变换，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．2-1-c-n-j-y
61．如图，在平行四边形ABCD中，EF垂直平分对角线AC，分别与边AD，BC交于点F，E．
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（1）求证：四边形AECF为菱形；
（2）若AD＝3，CD＝，且∠D＝45°，求菱形AECF的周长．
【答案】（1）见解析；（2）5
【分析】
（1）根据线段垂直平分线的性质得出，，根据全等三角形的判定推出，根据全等三角形的性质得出，求出，根据菱形的判定得出即可；
（2）根据勾股定理得出，进而解答即可．
【详解】
解：（1）证明：对角线的垂直平分线分别与、、交于点、、，
，，，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，，
，
四边形为菱形；
（2）过作于，
则，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
四边形是菱形，
，
设，
则，
在中，由勾股定理得：，
，
，
，
菱形的周长．
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【点睛】
本题考查了菱形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．【版权所有：21教育】
62．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使EF＝DE，连接CF，BF．
（1）求证：四边形CFBD是菱形；
（2）连接AE，若CF＝，DF＝2，求AE的长．
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【答案】（1）见解析；（2）
【分析】
（1）证明四边形CFBD是平行四边形，再证明∠1＝90°，即可判定四边形CFBD是菱形．
（2）根据菱形的性质求得EF＝1，再由勾股定理求得CE＝3，由三角形的中位线定理可得AC＝2，再由勾股定理即可求得．
【详解】
（1）证明：∵E是边BC的中点，
∴BE＝EC，
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∵
DE＝EF，BE＝EC，
∴四边形CFBD是平行四边形，
∵D是AB边中点，E是BC中点，
∴DE∥AC，
∴∠1＝∠ACB＝90°，
∴四边形CFBD是菱形．
（2）∵四边形CFBD是菱形，
∴∠CEF＝90°．
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∵DF＝2，
∴EF＝1，
∵，
∴由勾股定理得，CE＝3，
∵D，E分别是边AB，BC的中点，DE＝1，
∴AC＝2，
∵∠ACB＝90°，
由勾股定理得．
【点睛】
本题考查了菱形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练运用相关知识是解决问题的关键．
63．如图，四边形ABDC、四边形CDEF都是平行四边形，连接AF、BE．
（1）求证：四边形ABEF是平行四边形；
（2）若AB＝AF，对角线AE＝8，BF＝6，求四边形ABEF的面积．
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【答案】（1）见解析；（2）24
【分析】
（1）根据四边形ABDC、四边形CDE
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)F都是平行四边形，可得AB∥CD，EF∥CD，且AB＝CD，EF＝CD，可得EF∥AB，且EF＝AB即可；21cnjy.com
（2）由AB＝AF，可得平行四边形ABEF是菱形，根据菱形面积公式即可求出四边形ABEF的面积．
【详解】
（1）证明：∵四边形ABDC、四边形CDEF都是平行四边形，
∴AB∥CD，EF∥CD，且AB＝CD，EF＝CD，
∴EF∥AB，且EF＝AB，
∴四边形ABEF是平行四边形；
（2）解：∵AB＝AF，四边形ABEF是平行四边形；
∴平行四边形ABEF是菱形，
AE＝8，BF＝6，
∴菱形ABEF的面积为：．
【点睛】
本题考查平行四边形的判定与性质，菱形的判定与面积，掌握平行四边形的判定与性质，菱形的判定与面积是解题关键．
64．如图，已知菱形中，分别以、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别相交于、两点，直线交于点，交对角线于点，连接、．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
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【答案】（1）见解析；（2）18°．
【分析】
（1）根据作图可知直线是线段的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可得CE=DE，根据菱形的性质，利用SAS可证明≌，可得BE=DE，即可得结论；
（2）根据菱形及等腰三角形的性质可得=54°，根据可得，根据角的和差关系即可得答案．
【详解】
（1）由作图可知直线是线段的垂直平分线，
∴
∵四边形是菱形
∴，
∵
∴≌
∴
∴
（2）∵四边形是菱形
∴
∴，
∴
∵
∴
∴．
【点睛】
本题考查菱形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质及线段垂直平分线的性质，熟练掌握相关判定定理及性质是解题关键．
65．如图，AE∥BF，AC平分∠BAE，且交BF于点C．
（1）作∠ABF的平分线交AE于点D（尺规作图，保留痕迹，不写作法）；
（2）根据（1）中作图，连接CD，求证：四边形ABCD是菱形．
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【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析．
【分析】
（1）根据角平分线的作法作出∠ABF的平分线BD即可；
（2）根据AEBF，AC平分∠BAE，得到∠ACB=∠BAC，即有AB=BC；同理可得AD=BC，根据ADBC，得到四边形ABCD是平行四边形，再根据AB=BC，可得四边形ABCD是菱形．
【详解】
解：（1）如图，射线BD即为所求．
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（2）证明：∵AEBF，
∴∠DAC=∠ACB．
∵AC平分∠BAE，
∴∠DAC=∠BAC，
∴∠ACB=∠BAC，
∴AB=BC．
同理可证，AB=AD，
∴AD=BC．
又∵ADBC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵AB=BC，
∴四边形ABCD是菱形．
【点睛】
本题主要考查了角平分线的作法以及菱形的判定和平行线的性质性质，熟练掌握相关判定与性质是解题关键．
66．如图是由边长为1的小菱形构成的网格，每个小菱形的顶点称为格点．点A，B均在格点上
（1）在图1中画出AB的中点O；（保留辅助线，辅助线用虚线）
（2）在图2中画一个Rt△ABC，使点C在格点上．（不写作法，保留作图痕迹）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）连接CD，与AB交于点O即可；
（2）取格点E，连接AE，取AE的中点C，连接BC，则△ACB即为所求作．
【详解】
解：（1）如图，点O即为所作；
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（2）如图，△ABC即为所作，
AB=BE，点C为AE中点，
∴BC⊥AE，
∴∠ACB=90°．
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【点睛】
本题考查作图-应用与设计，等腰三角形的性质，菱形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
67．如图，在四边形中，，对角线的垂直平分线与边分别相交于点M、N．
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（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，菱形的面积为120，求菱形的周长．
【答案】（1）见解析；（2）52
【分析】
（1）证△MOD≌△NOB（AAS），得出OM=ON，由OB=OD，证出四边形BNDM是平行四边形，进而得出结论；
（2）根据菱形的面积和BD求出MN，再由菱形的性质得出BM=BN=DM=DN，OB=BD=12，OM=MN=5，由勾股定理得BM=13，即可得出答案．
【详解】
解：（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠DMO=∠BNO，
∵MN是对角线BD的垂直平分线，
∴OB=OD，MN⊥BD，
在△MOD和△NOB中，
，
∴△MOD≌△NOB（AAS），
∴OM=ON，
∵OB=OD，
∴四边形BNDM是平行四边形，
∵MN⊥BD，
∴四边形BNDM是菱形；
（2）∵BD=24，菱形BNDM的面积为120，
∴MN=120×2÷24=10，
∴BM=BN=DM=DN，OB=BD=12，OM=MN=5，
在Rt△BOM中，由勾股定理得：BM==13，
∴菱形BNDM的周长=4BM=4×13=52．
【点睛】
本题考查了菱形的判定与性质、平
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握菱形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
68．如图，请用尺规作图法，在矩形ABCD的边BC和AD上分别找一点E、F使得四边新AECF为菱形．（保留作图痕迹，不写作法）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】见解析
【分析】
连接AC，作线段AC的垂直平分线分别交BC于点E，AD于点F，则四边形AECF即为所作菱形．
【详解】
解：如图，四边形AECF为所作．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
本题考查作图-作垂直平分线．掌握线段的垂直平分线的性质和菱形的性质是解答本题的关键．
69．问题：如图，在中，，，，的平分线AE，BF分别与直线CD交于点E，F，求EF的长．
答案：．
探究：（1）把“问题”中的条件“”去掉，其余条件不变．
①当点E与点F重合时，求AB的长；
②当点E与点C重合时，求EF的长．
（2）把“问题”中的条件“，”去掉，其余条件不变，当点C，D，E，F相邻两点间的距离相等时，求的值．
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【答案】（1）①10；②5；（2），，
【分析】
（1）①利用平行四边形的性质和角平分线的定义先分别求出，，即可完成求解；
②证明出即可完成求解；
（2）本小题由于E、F点的位置不确定，故应先分情况讨论，再根据每种情况，利用
，以及点
C，D，E，F相邻两点间的距离相等建立相等关系求解即可．
【详解】
（1）①如图1，四边形ABCD是平行四边形，
，
．
平分，
．
．
．
同理可得：．
点E与点F重合，
．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
②如图2，点E与点C重合，
同理可证，
∴?ABCD
是菱形，
，
点F与点D重合，
．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（2）情况1，如图3，
可得，
．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
情况2，如图4，
同理可得，，
又，
．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
情况3，如图5，
由上，同理可以得到，
又，
．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
综上：的值可以是，，．
【点睛】
本题属于探究型应用题，综合考查了平行四边
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)形的性质、角平分线的定义、菱形的判定与性质等内容，解决本题的关键是读懂题意，正确画出图形，建立相等关系求解等，本题综合性较强，要求学生有较强的分析能力，本题涉及到的思想方法有分类讨论和数形结合的思想等．
70．综合与实践
问题情境
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在综合与实践课上，老师出示了这样一个问题，如图①，点P是的中点，分别以、为底边在的同侧作等腰和等腰，且，连接、交于点O．求证：．
解决问题
（1）请你解决老师提出的问题；
合作交流
创新小组受老师提出问题的启发继续进行深入探究．将图①中的绕着点P按顺时针方向旋到如图②所示的位置，连接，创新小组发现；
（2）请你证明创新小组发现的结论；
（3）如图③，将图①中的绕着点P按顺时针方向旋转至停止旋转．在不增加字母的情况下．请你选择已标注字母的四个点为顶点的四边形是特殊四边形，请你写出该四边形的名称，并说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）四边形是菱形（答案不唯一），理由见解析
【详解】
（1）证明：，是等腰三角形，
是等腰三角形的顶角．
．
．
同理得，．
∵P是的中点，．
，
，
同理得，
．
；
（2）证明：，
又，，
如解图①，过点P分别作，．垂足分别是E，F，
，
．
平分．
即；
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图①
（3）解：四边形是菱形．（答案不唯一）
理由如下：如解图②，记与的交点为L，
，，，
，，
，
，
即，
，即，
，
，
，
∴四边形是平行四边形，
又，
∴平形四边形是菱形．
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图②
71．综合与实践
问题背景
在综合实践课上，同学们以“图形
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)的平移与旋转”为主题开展数学活动，如图（1)，先将一张等边三角形纸片ABC对折后剪开，得到两个互相重合的△ABD和△EFD，点E与点A重合，点B与点F重合，然后将△EFD绕点D顺时针旋转，使点F落在边AB上，如图（2），连接EC． 21
cnjy
com
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操作发现
（1）判断四边形BFEC的形状，并说明理由；
实践探究
（2）聪聪提出疑问：若等边三角形的边长为8
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，将图（2）中的△EFD沿射线BC的方向平移a个单位长度，得到△E′F′D′，连接BF′，CE′，若四边形BF′E′C为菱形，如图（3），则a的值为多少？请你帮聪聪解决这个问题，求出a的值；
（3）如果将（2）中聪聪所提
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)问题的平移方向改为：沿射线CB的方向平移a个单位长度，其余条件都不变，则是否还存在四边形BF′E′C为菱形？若存在，直接写出平移距离a的值，若不存在，请说明理由；
（4）老师提出问题：请参照聪聪的思路，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)若等边三角形的边长为8，将图（2）中的△EFD在平面内进行一次平移，得到△E"F"D"，请在图（4）中画出平移后构造出的新图形，标明字母，说明平移及构图方法，写出你发现的一个结论，不必证明．
【答案】（1）四边形BFEC为平行四边形，理由见解析；（2）a=2-2
（3）存在，a=2+2；（4）答案不唯一，合理即可给分．
【分析】
（1）由等边三角形的性质及旋转的性质
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)得△BFD为等边三角形，从而得EF∥BC且EF=BC，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可得结论；
（2）过点E′作E′G垂直BC交BC的延长线于点G，根据菱形的性质和解直角三角形分别求得E′G、D′G、CG的长度，从而可求得a的值；
（3）过点F′作F′G垂直BC交CB的延长线于点G，余下与（2）同；
（4）由于没有限制，只要合理即可．
【详解】
（1）四边形BFEC为平行四边形。
理由如下：∵△ABC为等边三角形
∴∠ABD=60°，AB=BC
由题意，知FD=BD
∴△BFD为等边三角形
∴∠FDB=60°
∵∠EFD=60°
∴EF∥BC
∵EF=AB=BC
∴四边形BEFC为平行四边形
（2）在Rt△ABD中，∠ABD=60°，BD=BC=4
∴AD=4
当△DEF沿射线BC方向平移时，过点E′作E′G垂直BC交BC的延长线于点G
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∵E′F′
∥BC，
∠F′E′D′=30°
∴∠E′D′
G=30°
在Rt△E′D′G
中，E′D′=4
∴E′G=2
∴D′G=6
∵四边形BF′E′C为菱形。
∴CE′=8
在Rt△E′CG中，由勾股定理得CG=2
∴DG=DC+CG=4+2
∴DD′=DG-D′G=2-2
∴a=2-2
（3）存在
当△DEF沿射线CB方向平移时，过点F′作F′G垂直BC交CB的延长线于点G，如图
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∵E′F′
∥BC，
∠F′E′D′=30°
∴∠E′D′
C=30°
∵∠F′D′E′=90°
∴∠F′D′G=60°，
∴∠D′F′
G=30°
在Rt△F′D′G
中，F′D′=FD=4
∴D′G=2
∴F′G=2
若四边形BF′E′C为菱形，则BF′=8
在Rt△F′BG中，由勾股定理得BG=2
∴DG=BD+BG=4+2
∴DD′=DG-D′G=2+2
∴a=2+2
（4）将△EFD沿FA方向平移4个单位长
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)度，得到△E"F"D"，则D"是AC的中点，所以DF=FA，且四边形AFD
D"是平行四边形，从而四边形AFD
D"是菱形．www-2-1-cnjy-com
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【点睛】
本题是几何变换的综合题，主
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)要考查了平移和旋转变换、等边三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、菱形的性质与判定等知识，用好平移和旋转两种变换是解决本题的关键．
72．已知是等边三角形，点D是射线上的一个动点（点D不与点B，C重合）．是以为边的等边三角形，过点E作的平行线，分别交射线、于点，连接．
（1）如图①，当点D在线段上时，求证：．
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（2）如图②，当点D在旳延长线时，探究四边形是怎样特殊的四边形并说明理由．
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（3）在（2）的情况下，当点D运动到什么位置时，四边形是菱形？并说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）平行四边形，见解析；（3）当D点运动到时，为菱形，证明见解析．
【分析】
（1）由正三角形的性质得AB=AC，AD=AE，再由∠BAC=∠DAE=60°可得∠EAB=∠DAC，最后据SAS证得；
（2）先得△AFG为正三角形，再由（1）得△
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)AFE≌AGD得到∠AGD=60°、FE=DG；再据∠F+∠FGA+∠AGD=60°+60°+60°=180°得到FB∥GD，得四边形FBDG为平行四边形；据平行四边形对边相等得FB=DG，从而得到△FBE为正三角形；由△FBE为正三角形得到∠FEB=60°，得到∠FEB=∠FGA，最后得到BE∥CG，从而证得四边形BCGE为平行四边形；
（3）先证△ABE≌△ACD，得到BE=CD；由菱形的定义得只需BC=BE可得平行四边形为菱形，从而得到当BC=CD时，四边形为菱形．
【详解】
（1）证明：如图①
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∵△ABC为正三角形
∴AB=AC，∠BAC=60°
∵△ADE为正三角形
∴AD=AE，∠EAD=60°
∴∠BAC=∠EAD
∴∠EAB=∠DAC
∴．
（2）如图②所示，
∵△ABC为正三角形
∴∠ABC=∠BAC=60°
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∵FG∥BC
∴∠AFE=∠ABC=60°
∴是等边三角形，
∴∠FGA=60°
又△AED为正三角形，同理（1）证明可得，
．
∴，FE=DG，
∴
∴FB∥GD
∴四边形BFGD为平行四边形
∴FB=GD
∴FB=FE
∴△FBE为正三角形
∴∠FEB=60°
∴∠FEB=∠FGA
∴BE∥GC
∴四边形是平行四边形．
（3）如图②
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∵△ABC是正三角形
∴AB=AC，∠BAC=60°
∵△AED是正三角形
∴AE=AD，∠EAD=60°
∴∠BAC=∠EAD
∴△ABE≌△ACD
∴CD=BE
由（2）知四边形BCGE为平行四边形
所以要使四边形为菱形，只需使
∴需使，即当D点运动到时，有四边形为菱形．
【点睛】
此题综合考查平行四边形、三角形全等、等边三角形的性质和判定及菱形的判定等知识，熟悉相关图形的性质和判定是关键．
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