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第01讲
认识一元二次方程
【基础训练】
一、单选题
1．若方程是关于x的一元二次方程，则下列结论正确的是（
）
A．
B．
C．且
D．
【答案】D
【分析】
根据一元二次方程的定义列式求出m的值，即可进行选择．
【详解】
解：∵(m-1)x2+x+=0是关于x的一元二次方程，
∴m-1≠0，
解得m≠1，
故选：D．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．21·世纪
教育网
2．下列方程是关于x的一元二次方程的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】
根据一元二次方程的定义可知，A选
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)项未知数个数不是一个，不符合题意；B选项是分式方程，不是整式方程，不符合题意；C选项经过去括号移项后，含未知数项的最高次数是1，不符合题意；D选项只含有一个未知数，并且含未知数项的最高次数是2，是一元二次方程，符合题意．
3．已知a，b，c满足，则关于x的一元二次方程的解的情况为（
）
A．
B．
C．方程的解与a，b的取值有关
D．方程的解与a，b，c的取值有关
【答案】A
【详解】
∵，∴①，②，②-①得，∴，分别代入原方程中，得，解得．
4．方程化成一般形式后，它的一次项系数是（
）
A．
B．4
C．
D．1
【答案】C
【详解】
∵方程化成一般形式是，∴一次项系数是．
5．若关于x的一元二次方程的一个根是，则m的值是（
）
A．1
B．2
C．
D．
【答案】B
【详解】
把代入得，解得．
6．已知关于的方程的一个根是-1，则的值是（
）
A．-2
B．-1
C．1
D．2
【答案】D
【分析】
把代入方程得，然后解关于的方程．
【详解】
解：把代入方程，得：，
解得：．
故选：D．
【点睛】
本题考查一元二次方程的解，熟知方程的解即为能使方程两边相等的未知数的值是解题关键．
7．若关于的方程有一个根是1，则等于（
）
A．
B．
C．3
D．1
【答案】C
【分析】
根据一元二次方程的解的定义，把x=1代入方程得到关于a的一元一次方程，然后解此一元一次方程即可．
【详解】
解：把x=1代入方程x2-2x+a=0得1-2+a=0，
解得a=1．
故选：C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
8．若关于x的一元二次方程（a+2）x2﹣3ax+a﹣2＝0的常数项为0，则a的值为（ ）
A．0
B．﹣2
C．2
D．3
【答案】C
【分析】
根据题意列出方程即可求出a的值．
【详解】
解：由题意可知：a﹣2＝0，
∴a＝2，
∵a+2≠0，
∴a的值为2，
故选：C．
【点睛】
本题考查一元二次方程的定义、一元二次方程的一般形式，理解基本定义是解题关键．
9．下列是一元二次方程的是（ ）
A．﹣5x+2＝1
B．2x2﹣y+1＝0
C．x2+2x＝0
D．x2﹣＝0
【答案】C
【分析】
根据一元二次方程的定义逐一判断即可．
【详解】
A、含有一个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
B、含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
C、是一元二次方程，故此选项符合题意；
D、含有分式，不是一元二次方程，故此选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了一元二次方程定义，关键是
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)掌握判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”，“一个未知数，“未知数的最高次数是2”，“二次项的系数不等于0”，“整式方程”．
10．下列方程是一元二次方程的是（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
利用一元二次方程定义进行解答即可．
【详解】
解：A、是一元二次方程，故此
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)选项符合题意；
B、含有2个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
C、是分式方程，故此选项不符合题意；
D、不是等式，故此选项不符合题意；
故选：A．21·cn·jy·com
【点睛】
此题主要考查了一元二次方程定义，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)关键是掌握判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
11．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．y+x2﹣1＝0
B．x2+3＝0
C．x﹣3y+5＝0
D．2x﹣6＝
【答案】B
【分析】
根据一元二次方程的定义解答，一元二
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)次方程必须满足四个条件：(1)未知数的最高次数是2；(2)二次项系数不为0；(3)是整式方程；(4)含有一个未知数，由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件为正确答案．www.21-cn-jy.com
【详解】
A、是二元二次方程，故A错误；
B、是一元二次方程，故B正确；
C、是二元一次方程，故C错误；
D、是分式方程，故D错误；
故选：B．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的定义，正确把握一元二次方程的定义是解题的关键．
12．下列方程中，一元二次方程共有（
）
①；②；③；④；
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】B
【分析】
含有一个未知数，且未知数的最高次数是
这样的整式方程是一元二次方程，根据定义逐一判断即可得到答案．【来源：21·世纪·教育·网】
【详解】
解：是一元二次方程，
是二元二次方程，
是分式方程，
是一元二次方程，
所以一元二次方程有两个，
故选：
【点睛】
本题考查的是一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
13．一元二次方程的二次项系数是（
）
A．2
B．1
C．
D．0
【答案】A
【分析】
根据一元二次方程的定义可直接进行排除选项．
【详解】
解：由一元二次方程可知二次项系数是2；
故选A．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
14．下列方程中，一元二次方程是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
依题意，依据一元二次方程的定义及一般形式：，即可；
【详解】
由题知：A、，对照一元二次方程一般形式，缺少的条件，故不正确；
B、，对照一元二次方程的一般形式，未知数个数为2个，故不正确；
C、，对照一元二次方程的一般形式，完全满足条件，故正确；
D、，对照一元二次方程的一般形式，未知数位于分母上，故不正确；
故选：C；
【点睛】
本题考查一元二次方程定义及一般形式，关键在熟练一元二次方程的形式和性质；
15．一元二次方程4x2﹣3x﹣1＝0的二次项系数a、一次项系数b和常数c分别是
（ ）
A．a＝4，b＝3，c＝﹣1
B．a＝4，b＝1，c＝3
C．a＝4，b＝﹣3，c＝﹣1
D．a＝4，b＝﹣3，c＝1
【答案】C
【分析】
一元二次方程的一般形式是：
(a，b，c是常数且a≠0)．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项，据此作答．21世纪教育网版权所有
【详解】
解：一元二次方程4x2﹣3x﹣1＝0的二次项系数a、一次项系数b和常数c分别是：a＝4，b＝﹣3，c＝﹣1，
故选：C．
【点睛】
此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式为（a≠0）．
16．一元二次方程x2﹣x+1＝2（3x﹣2）的一般形式是（ ）
A．x2﹣7x+5＝0
B．x2+5x﹣3＝0
C．x2﹣7x﹣5＝0
D．x2+5x+5＝0
【答案】A
【分析】
根据去括号、移项、合并同类项，可得答案．
【详解】
解：去括号，得：x2﹣x+1＝6x﹣4，
移项、合并同类项，得：x2﹣7x+5＝0，
故选：A．
【点睛】
此题考查了一元二次方程的一般形式．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)此题比较简单，解题需细心，注意一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）．
17．将方程x2﹣8x＝10化成一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为1，常数项为（ ）
A．﹣8
B．8
C．10
D．﹣10
【答案】D
【分析】
通过移项将右边常数项变号后移到左边即可．
【详解】
解：方程整理得：x2﹣8x﹣10＝0，其中二次项系数为1，常数项为﹣10．
故选：D．
【点睛】
本题考查了学生的一元二次方程一般形
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)式的理解与应用，要求学生能牢记一元二次方程一般形式下的二次项、一次项、常数项的特征，每一项均包含前面的符号，其中常数项不含未知数，根据特点即可得到准确答案．【来源：21cnj
y.co
m】
18．下列方程中，属于一元二次方程的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
利用一元二次方程定义进行解答即可．
【详解】
解：A、含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不合题意；
B、整理后，不含二次项，不是一元二次方程，故此选项不合题意；
C、它是一元二次方程，故此选项符合题意；
D、未知数次数为3，不是一元二次方程，故此选项不合题意；
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程定义，关键
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)是掌握判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
19．已知x＝2是一元二次方程x2﹣mx+2＝0的一个解，则m的值是（ ）
A．﹣3
B．3
C．0
D．0或3
【答案】B
【分析】
直接把x＝2代入已知方程即可得到关于m的方程，再解此方程即可．
【详解】
解：把x＝2代入方程，得，
解得：m＝3，
故选：B．
【点睛】
本题考查一元二次方程的解，掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值就是一元二次方程的解是解答本题的关键．
20．已知是关于的一元二次方程的解，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
将代入方程求解．
【详解】
解：∵是关于的一元二次方程的解
∴，即
故选：C．
【点睛】
本题考查一元二次方程的解，理解概念，正确代入计算是解题关键．
21．下列方程中，属于一元二次方程的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
利用一元二次方程的定义判断即可．
【详解】
解：A.
是二元一次方程，故此选项不符合题意；
B.
是一元一次方程，故此选项不符合题意；
C.
是一元二次方程，故此选项符合题意；
D.
中含有分式，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】
此题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键．
22．将一元二次方程化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别是（ ）
A．2，﹣1
B．2，0
C．2，3
D．2，﹣3
【答案】D
【分析】
由题意，将一元二次方程化为一般形式，其中为二次项系数，一次项系数；常数项，即可；
【详解】
依题：将一元二次方程化为一般式为：；
对照一元二次方程的一般式的各项系数可得：二项式系数：2；一次项系数：-3；
故选：D
【点睛】
本题考查一元二次方程的一般式及各项系数及常数项，关键在熟练的将一元二次方程转换为一般式；
23．关于x的一元二次方程（a﹣2）x2+x﹣a2+4＝0的一个根为0，则a的值是（ ）
A．2或﹣2
B．2
C．﹣2
D．1
【答案】C
【分析】
根据一元二次方程的解定义把x＝0代入一元二次方程得﹣a2+4＝0，解得a＝±2，然后根据一元二次方程的定义确定满足条件的a的值．2-1-c-n-j-y
【详解】
解：把x＝0代入方程得﹣a2+4＝0，
解得a＝2或a＝﹣2，
而a﹣2≠0，
所以a的值为﹣2．
故选：C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的
定义以及一元二次方程的根，掌握以上定义的解题的关键．
24．下列方程中，是一元二次方程的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
利用一元二次方程定义进行解答即可．
【详解】
解：A.
，当a≠0时，原方程是一元二次方程；故此选项不符合题意
B.
，含有两个未知数，原方程不是一元二次方程，故此选项不符合题意
C.
，含有分式，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
D.
，是一元二次方程，故此选项符合题意
故选：D
【点睛】
此题主要考查了一元二次方程定义，关键是掌握
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
25．已知一元二次方程的常数项为4，则二次项系数和一次项系数分别为（
）
A．3，－2
B．－3，2
C．3，2
D．－3，－2
【答案】A
【分析】
直接利用一元二次方程中各项系数的确定方法分析得出答案．
【详解】
解：一元二次方程3x2=-4+2x化为一般形式可得：3x2-2x+4=0，
∴二次项系数、一次项系数分别为：3，-2．
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了一元二次方程
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)的一般形式，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0），其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．
26．关于x的方程ax2﹣2x+1＝0是一元二次方程，则（ ）
A．a＞0
B．a＜0
C．a≠0
D．a≤1
【答案】C
【分析】
根据一元二次方程的概念列不等式求解．
【详解】
∵关于x的方程ax2﹣2x+1＝0是一元二次方程，
∴a≠0，
故选：C．
【点睛】
本题考查一元二次方程的定义，掌握一元二次方程二次项系数不能等于零是解题关键．
27．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（ ）
A．x+＝1
B．x（x+3）＝5
C．x3+2x＝0
D．2x2+xy﹣3＝0
【答案】B
【分析】
根据一元二次方程的定义逐个判断即可．
【详解】
A．是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B．对方程进行整理得：x2+3x﹣5＝0，是一元二次方程，故本选项符合题意；
C．是一元三次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
D．是二元二次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的定
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)义，要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的形式，则这个方程就是一元二次方程．
28．下列方程为一元二次方程的是（ ）
A．x2﹣3＝x（x+4）
B．x2﹣＝3
C．x2﹣10x＝﹣5
D．4x+6xy＝33
【答案】C
【分析】
按照一元二次方程的定义判断，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
【详解】
解：A、方程化简得：4x+3＝0，是一元一次方程，不符合题意；
B、x2﹣＝3为分式方程，不符合题意；
C、x2﹣10x＝﹣5是一元二次方程，符合题意；
D、4x+6xy＝5是二元二次方程，不符合题意．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查的是一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
29．若mx2+3=2x（x﹣2）是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（ ）
A．m≠0
B．m＝0
C．m≠2
D．m＝2
【答案】C
【分析】
原方程整理后，根据二次项的系数不等于零是一元二次方程，可得答案．
【详解】
解：∵mx2+3=2x(x﹣2)，
∴，
∵mx2+3=2x(x﹣2)是关于x的一元二次方程，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．21cnjy.com
30．下列方程是一元二次方程的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
利用一元二次方程定义进行解答即可．
【详解】
解：A、是一元二次方程，故此选项符合题意；
B、当a=0，b≠0时，是一元一次方程，故此选项不合题意；
C、含有2个未知数，不是一元二次方程，故此选项不合题意；
D、含有分式，不是一元二次方程，故此选项不合题意；
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了一元二次方程定义，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)关键是掌握一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2．
31．下列一元二次方程中，二次项系数比常数项大2的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】
【解答】A．的二次项系数为1，常数项为，故此选项不符合题意；B．的二次项系数为1，常数项为，故此选项符合题意；C．的二次项系数为1，常数项为，故此选项不符合题意；D．的二次项系数为，常数项为，故此选项不符合题意．2·1·c·n·j·y
32．若方程是一元二次方程，则m的值为（
）
A．0
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】
根据题意，得且，解得．
33．把一元二次方程化为一般形式，正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】
原方程去括号移项后，得，合并同类项，得．
34．如果关于x的一元二次方程的一个解是，则的值为（
）
A．2018
B．2019
C．2020
D．2021
【答案】D
【详解】
把代入方程，得，∴，∴．
35．下列方程中是关于x的一元二次方程的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】
根据一元二次方程的定义，A．整理后得到，故此选项不符合题意；B．是分式方程，故此选项不符合题意；C．符合一元二次方程的定义，故此选项符合题意；D．化简整理后得到，故此选项不符合题意．www-2-1-cnjy-com
36．若关于x的方程是一元二次方程，则a的值不能为（
）
A．2
B．
C．0
D．3
【答案】A
【详解】
移项，得，∴a的值不能为2．
37．设方程x2+x﹣1=0的一个正实数根为a，2a3+a2﹣3a的值是（ ）
A．1
B．﹣1
C．2
D．﹣3
【答案】B
【分析】
根据一元二次方程解的定义得到a2=-a+1，再用a表示a3，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】
解：方程x2+x-1=0的一个正实数根为a，
∴a2+a-1=0，
∴a2=-a+1，
∴a3=-a2+a=-(-a+1)+a=2a-1，
∴2a3+a2-3a=2×(2a-1)-a+1-3a=4a-2-a+1-3a=-1．
故选：B．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
38．方程化为一般形式后，的值分别是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
先通过移项把方程化成一般形式，再找二次项系数?一次项系数和常数项即可．
【详解】
解：由原方程移项，得
，
所以．
故选：C．
【点睛】
本题考查一元二次方程的一般形式，确定二次项系数，一次项系数，常数项，解题关键是利用移项化一元二次方程一般式．21
cnjy
com
39．若x＝1是方程x2+ax﹣2＝0的一个根，则a的值为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】B
【分析】
把x＝1代入方程x2+ax﹣2＝0得到关于a的一次方程，然后解一次方程即可．
【详解】
解：把x＝1代入方程x2+ax﹣2＝0得1+a﹣2＝0，解得a＝1．
故选：B．
【点睛】
本题考查一元二次方程的解，理解方程的解是使得等式左右两边成立的未知数的值是解题关键．
40．若关于x的一元二次方程(a+1)x2+x+|a|-1=0的一个根是0，则实数a的值为（
）
A．a=1
B．a=-1
C．a=±1
D．a=0
【答案】A
【分析】
把x＝0代入已知方程，得到关于a的方程，通过解新方程求得a的值．注意二次项系数不等于零．
【详解】
解：依题意得：|a|?1＝0且a+1≠0，
解得a＝1．
故选A．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的解，掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解是解题的关键．【版权所有：21教育】
二、填空题
41．若关于x的方程有一个根是1，则_______．
【答案】
【分析】
把
代入方程求得的值．
【详解】
把代入方程，得：
解得
．
故答案为．
【点睛】
本题考查了方程的解的概念，将已知解代入原方程，即可求得原方程中字母的值，理解方程的解是解题的关键．
42．方程中的两根分别为a，b，则代数式的值为________．
【答案】-5
【详解】
∵方程中的两根分别为a，b，∴，∴，∴．
43．若关于x的一元二次方程的二次项系数是，则a的值为________．
【答案】-2
【详解】
将化为一般形式得，∴该一元二次方程的二次项系数为．由题意得，解得．
44．已知关于x的方程的一个根是2，则__________．
【答案】1
【分析】
根据一元二次方程解的定义，将，代入原方程，然后解出的值即可．
【详解】
解：由题意得：，
将，代入方程得：
，
解得：．
故答案为：1．
【点睛】
此题考查了一元二次方程解的定义，解题的关键是：将，代入原方程，然后解出的值即可．
45．已知是方程的根，则代数式的值是______．
【答案】12
【分析】
先根据一元二次方程的根的定义可得，从而可得，再将其作为整体代入求值即可得．
【详解】
解：由题意得：，即，
则，
，
，
故答案为：12．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的根、代数式求值，掌握理解一元二次方程的根的定义是解题关键．
三、解答题
46．先化简，后计算：，其中是一元二次方程的实数根．
【答案】；-1
【分析】
一般思路：先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再求出a的值代入进行计算即可，本题也可以利用整体代入进行求解．21教育名师原创作品
【详解】
解：原式=，
∵是一元二次方程的实数根，
∴，
∴，
∴原式
【点睛】
本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
47．若关于x的方程是一元二次方程，求不等式的解集．
【答案】
【详解】
解：∵关于x的方程是一元二次方程，
∴且，
解得．
当时，，解得．
48．关于x的一元二次方程．
（1）若方程的一个根为1，求m的值；
（2）求证：方程总有两个不相等的实数根．
【答案】（1）m=1；（2）见解析．
【分析】
（1）代入x=1求出m值即可；
（2）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△＞0，由此可证出此方程总有两个不相等的实数根．
【详解】
解：（1）把x=1代入原方程得1+m+m-3=0??解得：m=1
（2）证明：△=m2-4（m-3）=（m-2）2+8
∵（m-2）2≥0
∴（m-2）2+8＞0，即△＞0，
∴不论m取何实数，此方程都有两个不相等的实数根．
【点睛】
本题考查了根的判别式以及一元二次方程的解，解题的关键是代入x=1求出m值，并牢记当△＞0时，方程有两个不相等的实数根．21
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49．已知：x2+3x+1＝0．
求（1）x+；
（2）x2+．
【答案】（1）-3；（2）7
【分析】
（1）由x≠0，利用方程两边都除以x，恒等变形即可；
（2）利用配方法x2+＝（x+）2﹣2整体代入求之即可．
【详解】
解：（1）∵x2+3x+1＝0，
而x≠0，
∴x+3+＝0，
∴x+＝﹣3；
（2）x2+＝（x+）2﹣2＝（﹣3）2﹣2＝7．
【点睛】
本题考查方程的巧变形，和配方问题，掌握方程变形的方法，会利用配方法进行公式的转化是解题关键．
50．若m是一元二次方程的一个根，求代数式的值．
【答案】5．
【分析】
先根据一元二次方程的根的定义可得，从而可得，再将其作为整体代入求值即可得．
【详解】
是一元二次方程的一个根，
，即，
，
，
．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的根的定义、代数式求值，掌握理解一元二次方程的根的定义是解题关键．
51．一元二次方程有一个解为0，试求的值．
【答案】1
【分析】
据方程根的意义，把x=0代入方程得到关于m的方程，求出m的值再代入到2m-1中，问题可解．
【详解】
解：∵一元二次方程有一个根为0，
∴，
∴m=±1，
∵m+1≠0，
∴m=1，
∴2m-1=2-1=1．
【点睛】
此题考查一元二次方程的概念和方程根的概念．其易错点是对于一般形式的一元二次方程，要注意．
52．已知关于的一元二次方程．若方程有一个根的平方等于9，求的值．
【答案】1或-5
【分析】
根据题意，该方程的根可能是或，分类讨论，把x的值代入原方程求出m的值．
【详解】
解：∵方程有一个根的平方等于9，
∴这个根可能是或，
当，则，解得，
当，则，解得，
综上：m的值是1或-5．
【点睛】
本题考查一元二次方程的根，解题的关键是掌握一元二次方程的根的定义．
53．已知是方程的一个根，求代数式的值．
【答案】
【分析】
利用方程的根的含义可得再把化为，从而可得答案．
【详解】
解：是方程的一个根，
【点睛】
本题考查的是一元二次方程的根的含义，以及利用整体求代数式的值，掌握以上整式是解题的关键．
54．当m取何值时，方程是一元二次方程．
【答案】m=-1
【分析】
根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数,且未知数的最高次数是2的整式方程，列出方程求解即可.
【详解】
解：由题意可得：且m-1≠0，
解得：m=-1，
∴当m=-1时，方程是一元二次方程.
【点睛】
本题考查了一元二次方程的概念．只有
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2＋bx＋c＝0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
55．（6分）先化简再求值：，其中x是方程的根．
【答案】
【详解】
解：原式……………………………2分
……………………………………4分
………………6分
【点评】：本题考查了分式的化简求值，熟练掌握整式的因式分解、分式的混合运算顺序和运算法则是解题的关键．【出处：21教育名师】
56．先化简，再求值：，其中是方程的根．
【答案】，2
【详解】
解：原式（通分并把除法化为乘法）
（因式分解，合并同类项）
．（约分化为最简形式）
∵，∴，
∴原式．
预估难度
★★☆☆☆
57．已知．
（1）化简P；
（2）若a为方程x2-x-2=0的解，求P的值．
【答案】（1）P=a2-3a；（2）P=6．
【分析】
（1）先通分计算括号里面，再将除法转变为乘法，因式分解后约分化简P；
（2）根据一元二次方程的解的定义得到a2-3a=6，再整体代入即可求解．
【详解】
解：（1）
=a2-3a；
（2）∵a为方程x2-x-2=0的解，
∴a2-a-2=0，
整理得：a2-3a=6，
∴P的值是6．
【点睛】
此题主要考查了一元二次方程的解
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)、分式的化简求值，关键是掌握在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简，化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
58．已知x是一元二次方程的实数根，求代数式的值；
【答案】1
【分析】
先对括号内的运算进行计算，再把除法转化为乘法，进行乘法运算，其中注意正确的对分子、分母因式分解，最后把变形为，整体代入化简计算即可．
【详解】
解：原式=，
∵，
∴，
∴原式=，
【点睛】
本题考查了分式的混合运算，分式的化简，多项式的因式分解等知识点，关键在于正确的对分式进行化简，整体代入思想的应用．
59．关于的方程是一元二次方程，求的值．
【答案】
【分析】
要使关于x的方程是一元二次方程，则项的指数且系数，即可确定m的值，
【详解】
解：关于的方程是一元二次方程，
依题意有，
∴
∴当时方程是一元二次方程．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
60．先化简，再求值：3（2m+1）+2（m﹣1）2，其中m是方程x2+x﹣4＝0的根．
【答案】2m2+2m+5，13
【分析】
直接去括号进而合并同类项，再利用一元二次方程的解进而利用整体代入法得出答案．
【详解】
解：3（2m+1）+2（m﹣1）2
＝6m+3+2（m2﹣2m+1）
＝2m2+2m+5，
∵m是方程x2+x﹣4＝0的根，
∴m2+m﹣4＝0，
故m2+m＝4，
∴2m2+2m+5＝2（m2+m）+5
＝2×4+5
＝13．
【点睛】
此题考查的是整式的化简和一元二次方程的解的定义，掌握完全平方公式、合并同类项法则和一元二次方程的解的定义是解决此题的关键．
61．先化简再求值，（3a﹣2）2﹣3a（2a﹣1）+5，其中a是方程x2﹣3x+1＝0的解．
【答案】3a2﹣9a+9，6
【分析】
根据完全平方公式以及整式的混合运算法则，先化简，再代入求值，即可得到答案．
【详解】
原式＝9a2﹣12a+4﹣6a2+3a+5
＝3a2﹣9a+9，
把x＝a代入方程得：a2﹣3a+1＝0，即a2﹣3a＝﹣1，
∴原式＝3a2﹣9a+9＝3（a2﹣3a）+9=﹣3+9＝6．
【点睛】
本题主要考查整式的化简求值，掌握完全平方公式与整式的混合运算法则，是解题的关键．
62．请你先认真阅读下列材料，再参照例子解答问题：
已知，求x+y的值．
解：设t＝x+y，则原方程变形为，即t2+t﹣2＝0
∴得t1＝﹣2，t2＝1∴x+y＝﹣2或x+y＝1
已知，求x2+y2的值．
【答案】x2+y2＝5
【分析】
根据举例的解题方法进行解答即可．
【详解】
设t＝x2+y2＞0
∴（t﹣4）（t+2）＝7
t2﹣2t﹣15＝0，
解得：t1＝5，t2＝﹣3（舍去）
∴x2+y2＝5．
【点睛】
本题考查一元二次方程和整体法解方程，解题的关键是读懂题意，掌握解题方法.
63．解关于x的方程．
【答案】；；没有实数根
【分析】
首先将二次项系数进行讨论，其为0时是一元一次方程；其不为0时，先求出判别式，再分情况讨论，△＞0，△=0，△＜0时，分别求解.
【详解】
当即时，∴
当时即时，
①若即目时，
②即时，
③即时，方程没有实数根．
【点睛】
此题主要考查方程的求解，注意分情况讨论二次项系数和判别式.
64．已知关于x的方程的一个根是，求m的值.
【答案】m=-1.
【分析】
将x=-1代入原方程即可求解.
【详解】
将x=-1代入原方程
得，
即3+3m=0，
解得m=-1
【点睛】
此题主要考查一元二次方程的解，解题的关键是熟知方程的解的含义.
65．如果方程是关于的一元二次方程，试确定的值，并指出二次项系数、一次项系数及常数项．
【答案】，二次项系数为2，一次项系数为3，常数项为11.
【分析】
根据一元二次方程的定义可得且，即可求得m；再根据一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．即可得到答案.21教育网
【详解】
根据一元二次方程的定义可得且，则，将m代入可得，则二次项系数为2，一次项系数为3，常数项为11.
【点睛】
本题考查一元二次方程的定义，解题的关键是掌握一元二次方程的定义.
66．先把下列方程化为一般形式，再求出、、的值．
（1）；
（2）.
【答案】（1），，;（2），，.
【分析】
一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件.
（1）先将化为，根据一元二次方程的一般形式进行分析，即可解答；
（2）先将化为，根据一元二次方程的一般形式进行分析，即可解答.
【详解】
（1）原方程可化为，
即，∴，，.
（2）原方程可化为，
即，∴，，.
【点睛】
本题考查一元二次方程的一般形式，解题的关键是掌握一元二次方程的一般形式.
67．若关于的方程是一元二次方程，求不等式的解集．
【答案】．
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的定义得到，且，故可求出m的值，代入不等式即可求解.
【详解】
∵关于的方程是一元二次方程，
∴，且，
∴，且，
∴．
∴不等式可化为，
解得．
【点睛】
此题主要考查一元二次方程的定义，解题的关键是熟知一元二次方程的特点.
68．要剪一块面积为的长方形铁片，使它的长比宽多5cm，这块铁片应该怎样剪？设长为，则宽为，列方程为，即．请根据所列方程回答以下问题：
（1）可能小于5吗？可能等于10吗？说说你的理由．
（2）完成下表：
10
11
12
13
14
15
16
17
…
（3）你知道铁片的长是多少吗？
【答案】（1）不可能小于5，理由见解析；（2）见解析；（3）铁片的长是15cm．
【解析】
【分析】
（1）因为x-5＞0，则x＞5，即x不可能小于5；将x=10代入求值即可判断．
（2）分别将x值代入求值即可.
（3）由填表结果即可判定.
【详解】
解：（1）不可能小于5．
理由：若，则，不合题意．
不可能等于10．
理由：若，则，不合题意．
（2）填表如下：
10
11
12
13
14
15
16
17
…
0
26
54
…
（3）由（2）可得铁片的长是15cm．
【点睛】
此题主要考查了一元二次方程的应用，注意该长方形的长（x）、宽（x+5）都是正数．
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精品试卷·第
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页
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第01讲
认识一元二次方程
【基础训练】
一、单选题
1．若方程是关于x的一元二次方程，则下列结论正确的是（
）
A．
B．
C．且
D．
2．下列方程是关于x的一元二次方程的是（
）
A．
B．
C．
D．
3．已知a，b，c满足，则关于x的一元二次方程的解的情况为（
）
A．
B．
C．方程的解与a，b的取值有关
D．方程的解与a，b，c的取值有关
4．方程化成一般形式后，它的一次项系数是（
）
A．
B．4
C．
D．1
5．若关于x的一元二次方程的一个根是，则m的值是（
）
A．1
B．2
C．
D．
6．已知关于的方程的一个根是-1，则的值是（
）
A．-2
B．-1
C．1
D．2
7．若关于的方程有一个根是1，则等于（
）
A．
B．
C．3
D．1
8．若关于x的一元二次方程（a+2）x2﹣3ax+a﹣2＝0的常数项为0，则a的值为（ ）
A．0
B．﹣2
C．2
D．3
9．下列是一元二次方程的是（ ）
A．﹣5x+2＝1
B．2x2﹣y+1＝0
C．x2+2x＝0
D．x2﹣＝0
10．下列方程是一元二次方程的是（
）．
A．
B．
C．
D．
11．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．y+x2﹣1＝0
B．x2+3＝0
C．x﹣3y+5＝0
D．2x﹣6＝
12．下列方程中，一元二次方程共有（
）
①；②；③；④；
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
13．一元二次方程的二次项系数是（
）
A．2
B．1
C．
D．0
14．下列方程中，一元二次方程是（
）
A．
B．
C．
D．
15．一元二次方程4x2﹣3x﹣1＝0的二次项系数a、一次项系数b和常数c分别是
（ ）
A．a＝4，b＝3，c＝﹣1
B．a＝4，b＝1，c＝3
C．a＝4，b＝﹣3，c＝﹣1
D．a＝4，b＝﹣3，c＝1
16．一元二次方程x2﹣x+1＝2（3x﹣2）的一般形式是（ ）
A．x2﹣7x+5＝0
B．x2+5x﹣3＝0
C．x2﹣7x﹣5＝0
D．x2+5x+5＝0
17．将方程x2﹣8x＝10化成一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为1，常数项为（ ）
A．﹣8
B．8
C．10
D．﹣10
18．下列方程中，属于一元二次方程的是（
）
A．
B．
C．
D．
19．已知x＝2是一元二次方程x2﹣mx+2＝0的一个解，则m的值是（ ）
A．﹣3
B．3
C．0
D．0或3
20．已知是关于的一元二次方程的解，则（
）
A．
B．
C．
D．
21．下列方程中，属于一元二次方程的是（
）
A．
B．
C．
D．
22．将一元二次方程化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别是（ ）
A．2，﹣1
B．2，0
C．2，3
D．2，﹣3
23．关于x的一元二次方程（a﹣2）x2+x﹣a2+4＝0的一个根为0，则a的值是（ ）
A．2或﹣2
B．2
C．﹣2
D．1
24．下列方程中，是一元二次方程的是（
）
A．
B．
C．
D．
25．已知一元二次方程的常数项为4，则二次项系数和一次项系数分别为（
）
A．3，－2
B．－3，2
C．3，2
D．－3，－2
26．关于x的方程ax2﹣2x+1＝0是一元二次方程，则（ ）
A．a＞0
B．a＜0
C．a≠0
D．a≤1
27．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（ ）
A．x+＝1
B．x（x+3）＝5
C．x3+2x＝0
D．2x2+xy﹣3＝0
28．下列方程为一元二次方程的是（ ）
A．x2﹣3＝x（x+4）
B．x2﹣＝3
C．x2﹣10x＝﹣5
D．4x+6xy＝33
29．若mx2+3=2x（x﹣2）是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（ ）
A．m≠0
B．m＝0
C．m≠2
D．m＝2
30．下列方程是一元二次方程的是（
）
A．
B．
C．
D．
31．下列一元二次方程中，二次项系数比常数项大2的是（
）
A．
B．
C．
D．
32．若方程是一元二次方程，则m的值为（
）
A．0
B．
C．
D．
33．把一元二次方程化为一般形式，正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
34．如果关于x的一元二次方程的一个解是，则的值为（
）
A．2018
B．2019
C．2020
D．2021
35．下列方程中是关于x的一元二次方程的是（
）
A．
B．
C．
D．
36．若关于x的方程是一元二次方程，则a的值不能为（
）
A．2
B．
C．0
D．3
37．设方程x2+x﹣1=0的一个正实数根为a，2a3+a2﹣3a的值是（ ）
A．1
B．﹣1
C．2
D．﹣3
38．方程化为一般形式后，的值分别是（
）
A．
B．
C．
D．
39．若x＝1是方程x2+ax﹣2＝0的一个根，则a的值为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
40．若关于x的一元二次方程(a+1)x2+x+|a|-1=0的一个根是0，则实数a的值为（
）
A．a=1
B．a=-1
C．a=±1
D．a=0
二、填空题
41．若关于x的方程有一个根是1，则_______．
42．方程中的两根分别为a，b，则代数式的值为________．
43．若关于x的一元二次方程的二次项系数是，则a的值为________．
44．已知关于x的方程的一个根是2，则__________．
45．已知是方程的根，则代数式的值是______．
三、解答题
46．先化简，后计算：，其中是一元二次方程的实数根．
47．若关于x的方程是一元二次方程，求不等式的解集．
48．关于x的一元二次方程．
（1）若方程的一个根为1，求m的值；
（2）求证：方程总有两个不相等的实数根．
49．已知：x2+3x+1＝0．
求（1）x+；
（2）x2+．
50．若m是一元二次方程的一个根，求代数式的值．
51．一元二次方程有一个解为0，试求的值．
52．已知关于的一元二次方程．若方程有一个根的平方等于9，求的值．
53．已知是方程的一个根，求代数式的值．
54．当m取何值时，方程是一元二次方程．
55．（6分）先化简再求值：，其中x是方程的根．
56．先化简，再求值：，其中是方程的根．
57．已知．
（1）化简P；
（2）若a为方程x2-x-2=0的解，求P的值．
58．已知x是一元二次方程的实数根，求代数式的值；
59．关于的方程是一元二次方程，求的值．
60．先化简，再求值：3（2m+1）+2（m﹣1）2，其中m是方程x2+x﹣4＝0的根．
61．先化简再求值，（3a﹣2）2﹣3a（2a﹣1）+5，其中a是方程x2﹣3x+1＝0的解．
62．请你先认真阅读下列材料，再参照例子解答问题：
已知，求x+y的值．
解：设t＝x+y，则原方程变形为，即t2+t﹣2＝0
∴得t1＝﹣2，t2＝1∴x+y＝﹣2或x+y＝1
已知，求x2+y2的值．
63．解关于x的方程．
64．已知关于x的方程的一个根是，求m的值.
65．如果方程是关于的一元二次方程，试确定的值，并指出二次项系数、一次项系数及常数项．
66．先把下列方程化为一般形式，再求出、、的值．
（1）；
（2）.
67．若关于的方程是一元二次方程，求不等式的解集．
68．要剪一块面积为片，使它的长比宽多5cm，这块铁片应该怎样剪？设长为，则宽为，列方程为，即．请根据所列方程回答以下问题：
（1）可能小于5吗？可能等于10吗？说说你的理由．
（2）完成下表：
10
11
12
13
14
15
16
17
…
（3）你知道铁片的长是多少吗？
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