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第01讲
用树状图或表格求概率
【提升训练】
一、单选题
1．如图，从一个大正方形中截去面积为和的两个小正方形，若随机向大正方形内投一粒米，则米粒落在图中阴影部分的概率为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
2．在运动会上,小亮、小莹、小刚和
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)小勇四位同学代表九年级（3）班参加4×100米接力比赛，小勇跑最后一棒，其他三人抽签排定序号，小亮和小刚进行接棒的概率是
A．
B．
C．
D．
3．广东省2021年的高考采用“”模式：“3”是指语文、数学、外语3科为必选科目，“1”是指在物理、历史2科中任选1科，“2”是指在化学、生物、思想政治、地理4科中任选2科．若小红在“1”中选择了历史，则她在“2”中选地理、生物的概率是（
）
A．
B．
C．
D．
4．一个不透明的纸箱里装有3个红球，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)1个黄球和1个蓝球，它们除颜色外完全相同．小明从纸箱里随机摸出2个球，则摸到1个红球和1个蓝球的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
5．从－3，0，1，2这四个数中任取一个数作为一元二次方程的系数的值，能使该方程有实数根的概率是（
）
A．
B．
C．
D．
6．如图，由4个直角边分别是1
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)和2的直角三角形拼成一个“弦图”地面，在该地面上任意抛一颗豆子（豆子大小不记），豆子恰好落在中间空白区域的概率是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
7．2020年9月8日第十一届全国少数民
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)族传统体育运动会在郑州奥体中心隆重开幕，某单位得到了两张开幕式的门票，为了弘扬劳动精神，决定从本单位的劳动模范小李、小张、小杨、小王四人中选取两人去参加开幕式，那么同时选中小李和小张的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
8．疫情期间进入学校都要
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)进入测温通道，体温正常才可进入学校，昌平某校有2个测温通道，分别记为A、B通道，学生可随机选取其中的一个通道测温进校园．某日早晨该校所有学生体温正常．小王和小李两同学该日早晨进校园时，选择同一通道测温进校园的概率是（
）
A．
B．
C．
D．
9．下列算式：①；②；③；④；⑤．运算结果正确的概率是（
）．
A．
B．
C．
D．
10．甲袋中装有2张相同的卡片，颜色分别为
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)红色和黄色；乙袋中装有3张相同的卡片，颜色分别为红色、黄色、绿色．从这两个口袋中各随机抽取1张卡片，取出的两张卡片中至少有一张是红色的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．
11．如图，是两个圆形转盘，同时旋转两个转盘，两个转盘的指针都不落在“1”区域的概率是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
12．从2020年5月1日起，北京正式施行
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)“垃圾分类”，如图是生活中的四个不同的垃圾分类投放桶．小明投放了两袋垃圾，不同类的概率是（ ）21教育网
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
13．、、、四个人玩扑克牌游戏，他们先取出两张红桃和两张黑桃共四张扑克牌，洗匀后背面朝上放在桌面上，每人抽取其中一张，拿到相同颜色扑克牌的两个人为游戏搭档，若、两人各抽取了一张扑克牌，则两人恰好成为游戏搭档的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
14．一个质地均匀的正四面体，四个面上分别写着数字将它投掷于桌面上，连续投掷两次，则两次与桌面接触的面上的数字之和为5的概率是（
）
A．
B．
C．
D．
15．从红，黄，蓝三顶不同颜色的帽子和黑，白两条不同颜色的围巾中，任取一顶帽子和一条围巾搭配，恰好取到红帽子和黑围巾的概率是（
）
A．
B．
C．
D．
16．春回大地万物生，“微故宫”微信公
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)众号设计了互动游戏，与大家携手走过有故宫猫陪伴的四季．游戏规则设计如下：每次在公众号对话框中回复（猫春图），就可以随机抽取7款“猫春图”壁纸中的一款，抽取次数不限，假定平台设置每次发送每款图案的机会相同，小春随机抽取了两次，她两次都抽到“东风纸鸢”的概率是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
17．盒子里有张形状、大小、质地完全相同的卡片，上面分别标有数字，，，从中随机抽出一张后不放回，再从中随机抽出一张，则两次抽出的卡片都是奇数的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
18．随机掷一枚质地均匀的硬币两次，两次正面都朝上的概率是（
）
A．
B．
C．
D．1
19．一个不透明的袋子中装有1个红球，2个绿球，除颜色外无其他差别，从中随机摸出一个球，然后放回摇匀，再随机摸出一个．给出下列结论：①第一次摸出的球是红球，第二次摸出的球一定是绿球；②第一次摸出的球是红球，第二次摸出的球不一定是绿球；③第一次摸出的球是红球的概率是；④两次摸出的球都是红球的概率是．其中正确的结论个数为（
）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
20．某中学有5名教师自愿献血，其中2人
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)A型血，2人B型血，1人O型血，现从他们当中随机挑选2人参与献血，抽到的两人血型不同的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
21．有5张看上去无差别的卡片，上面分别写着1，2，3，4，5，随机抽取3张，用抽到的三个数字作为边长，恰能构成三角形的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．
22．现有四张正面分别标有数字﹣2，0，1，3的不透明卡片（形状与材质相同），将它们正面朝下洗均匀，随机抽取一张记下数字后放回（设数字为a），再次正面朝下洗均匀，再随机抽取一张记下数字（设数字为b），则关于x的不等式组有解的概率是（
）
A．
B．
C．
D．
23．有一个转盘如图，让转盘自由转动两次，则指针两次都落在黄色区域的概率是（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
24．一个不透明的口袋中有四个完全相同的
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)小球，把它们分别标号为1、2、3、4．若一次性摸出两个，则一次性取出的两个小球标号的和不小于4的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．
25．三个不透明的口袋中各有三个相同
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)的乒乓球，将每个口袋中的三个乒乓球分别标号为1，2，3．从这三个口袋中分别摸出一个乒乓球，出现的数字正好是等腰三角形三边长的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．
26．李明参加的社区抗疫志愿
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)服务团队共有A、B、C、D四个服务项目，其中每个服务项目又分为第一小组和第二小组，则李明分到A项目的第一小组的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．
27．点P的坐标是(m，n)，从-5，-
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)3，0，4，7这五个数中任取一个数作为m的值，再从余下的四个数中任取一个数作为n的值，则点P(m，n)在平面直角坐标系中第四象限内的概率是（
）
A．
B．
C．
D．
28．有四根长度分别为、、、的木棒，从中任取三根，并将它们首尾相连，能组成三角形的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
29．从一副扑克中抽出三张牌，分别为梅花1，2，3，背面朝上搅匀后先抽取一张点数记为，放回搅匀再抽取一张点数记为，则点在直线上的概率是（
）
A．
B．
C．
D．
30．在一个口袋中有4个完全相同的
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)小球，它们的标号分别为1，2，3，4，从中随机摸出两个小球，则摸出的两个小球标号之和大于4的概率是（
）
A．
B．
C．
D．
31．先后随机抛掷一枚质地均匀的正方体骰子两次，第一次掷出的点数记为，第二次掷出的点数记为，则使关于的一元二次方程有实数解的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
32．若从1，2，3，4四个数中选取一个数，记为a，再从这四个数中选取一个数，记为c，则关于x的一元二次方程没有实数根的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
33．经过一T字型路口的行人，可能右拐，可能左拐．假设这两种可能性相同．有3人经过该路口，至少一人左拐的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
34．小张和小王相约去参加“抗疫情党员志愿者进社区服务”活动现在有A、B、C三个社区可供随机选择，他们两人恰好进入同一社区的概率是（
）
A．
B．
C．
D．
35．如图是一次数学活动课上
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)制作的两个转盘，甲转盘被平均分为三部分，上面分别写着9，8，5三个数字，乙转盘被平均分为四部分，上面分别写着1，6，9，8四个数字，同时转动两个转盘，停止转动后两个转盘上指针所指的数字恰好都能被3整除的概率是（ ）．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
36．不透明的袋子中有三个小球，上面分别写着数字“”，“”，“3”，除数字外三个小球无其他差别．从中随机摸出一个小球，记录其数字，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，记录其数字，那么两次记录的数字之和为4的概率是（
）
A．
B．
C．
D．
37．随机掷一枚质地均匀的硬币两次，落地后至多有一次正面朝下的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
38．在一个不透明的口袋中，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)装有若干个红球和6个黄球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球试验发现，摸到黄球的频率是0.3，则估计口袋中红球约有（
）
A．12个
B．14个
C．18个
D．20个
39．有一首《对子歌》中
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)唱到：天对地，雨对风，大陆对长空．现将“天，雨，大，空”四个字书写在材质、大小完全相同的卡片上，在暗箱搅匀后，随机抽取两张，恰为“天”、“空”二字的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
40．现有两道数学选择题，他们都是单选题，并且都含有A、B、C、D四个选项，瞎猜这两道题，这两道题恰好全部猜对的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
41．抛掷一枚质地均匀的正方体骰子（六个面上的点数分别是1、2、3、4、5、6）一次，则朝上的一面的点数是3的倍数的概率是______．
42．现将正面分别写有“道路自信”“理论
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)自信”“制度自信”和“文化自信”的四张卡片（注：这四张卡片除卡片正面的内容不同外，其余完全相同）背面朝上放在桌面上，洗匀后从中随机抽取两张卡片，则恰好抽到写有“文化自信”和“理论自信”的卡片的概率是___．
43．不透明的袋子中有2白3黑共5个除颜色外完全相同的小球，从中随机摸取2个小球都是白色球的概率为______．
44．郑小舟在数学课本“读一读”中了
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)解到一些中国古代的数学著作，如《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》，现在他计划从这四部书中随机选择两部书购买则选择到《九章算术》的概率是______．
45．一个不透明盒子里有3张形状大小质地完
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)全相同的卡片，上面分别标有数字1，2，3．从中随机抽出一张后不放回，再从盒中随机抽出一张，则两次抽出的卡片都是奇数的概率为______．
三、解答题
46．某市体育中考自选项目有乒乓球、篮球和羽毛球，每个考生任选一项作为自选考试项目．
（1）求考生小红和小强自选项目相同的概率．
（2）除自选项目之外，长跑和掷实心球为必考项目．小红和小强的体育中考各项成绩（百分制）的统计图表如下：
考生
自选项目
长跑
掷实心球
小红
95
90
95
小强
90
95
95
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
①补全条形统计图．
②如果体育中考按自选项目占50%、长跑占30%、掷实心球占20%计算成绩（百分制），分别计算小红和小强的体育中考成绩．21cnjy.com
47．某中学为了解本校九年级女生“一分钟仰卧起坐”项目的成绩情况，从九年级随机抽取部分女生进行该项目测试，并将测试的成绩（次）数据，绘制成频数分布表和扇形统计图．部分信息如下，根据提供的信息解答下列问题：
组号
分组
频数
①
3
②
15
③
④
10
⑤
2
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）______，在扇形统计图中第③小组对应的扇形的圆心角度数为______；
（2）若测试九年级女生“一分钟仰卧起坐”次
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)数不低于44次的成绩为优秀，本校九年级女生共有360人，请估算该校九年级女生“一分钟仰卧起坐”成绩为优秀的人数；21·世纪
教育网
（3）把在第①小组内的三个女生分别记为：、、，把在第⑤小组内的两个女生分别记为：、，从第①小组和第⑤小组总共5个女生中随机抽取2个女生进行“你对中考体育考试选项的看法”的问卷调查，求第①小组和第⑤小组都有1个女生被选中的概率．
48．3月8日，是为庆祝妇女在经济、政治和社
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)会等领域做出的重要贡献和取得的巨大成就而设立的国际妇女节，某班召开了一次以魅力女性为主题的班会活动，班主任制作了编号为A、B、C、D的4张卡片（如图，除编号和内容外，其余完全相同），并将它们背面朝上洗匀后放在桌面上．
（1）张华从中随机抽取一张，抽到的卡片编号为A的概率为
．
（2）若张华从4张卡片中随机抽取1张不放回，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)李明再从余下的3张卡片中随机抽取1张，然后根据抽取的卡片讲述卡片上女英雄的故事，请用列表法或树状图方法求张华、李明两个人中恰好有一人讲述“花木兰替父从军”的故事的概率．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
49．中华文化源远流长，文学方面，《西游记
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)》、《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》是我国古代长篇小说中的典型代表，被称为“四大古典名著”．某中学为了了解学生对四大古典名著的阅读情况，就“四大古典名著你读完了几部”的问题在全校学生中进行了抽样调查，根据调查结果绘制成如图尚不完整的统计图．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
请根据以上信息，解决下列问题：
（1）扇形统计图中“4部”所在扇形的圆心角为______度；
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）没有读过四大古典名著的两名学生准备从中各自随机选择一部来阅读，请用列表或画树状图的方法求他们]恰好选中同一名著的概率．
50．“此生无悔入华夏，来世再做中国人！”
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)自疫情暴发以来，我国科研团队经过不懈努力，成功地研发出了多种“新冠”疫苗，并在全国范围内免费接种．截止2021年5月18日16：20，全球接种“新冠”疫苗的比例为18.29%；中国累计接种4.2亿剂，占全国人口的29.32%．以下是某地甲、乙两家医院5月份某天各年龄段接种疫苗人数的频数分布表和接种总人数的扇形统计图：
甲医院
乙医院
年龄段
频数
频率
频数
频率
18－29周岁
900
0.15
400
0.1
30－39周岁
a
0.25
1000
0.25
40－49周岁
2100
b
c
0.225
50－59周岁
1200
0.2
1200
0.3
60周岁以上
300
0.05
500
0.125
（1）根据上面图表信息，回答下列问题：
①填空：_________，_________，_________；
②在甲、乙两医院当天接种疫苗的所有人员中，40－49周岁年龄段人数在扇形统计图中所占圆心角为_________；
（2）若A、B、C三人都于当天随机到这两家医院接种疫苗，求这三人在同一家医院接种的概率．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
51．即将举行的2022年杭州亚运会吉祥物“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
将三张正面分别印有以上3个吉祥物图案的卡片（卡片的形状、大小、质地都相同)背面朝上、洗匀．
(1)若从中任意抽取1张，抽得得卡片上的图案恰好为“莲莲”的概率是
．
(2)若先从中任意抽取1张，记录后放回，洗匀，再从中任意抽取1张，求两次抽取的卡片图案相同的概率．(请用树状图或列表的方法求解)
52．今年是建党100周年，回
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)望“雄关漫道真如铁”的过去，瞭望“乘风破浪会有时”的未来，党史学习教育是牢记初心使命、坚定理想信念、推进党的自我革命的必然要求．教育局党委对教育系统的教师党员个人学习形式开展了问卷调查（问卷调查表如图），并将调查结果绘制成如图的条形统计图和扇形统计图（均不完整）请根据统计图中提供的信息，解答下列问题：
“个人学习党史形式问卷调查”
党员同志你好！我市教育系统召开了党史学习教
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)育动员大会，请在表中选择一项你学习党史的形式（每人只能选择一种方式），在其空格内打“√”，非常感谢你的合作．
代码
形式
选择结果
A
阅读指定的党史学习用书并做讲座
B
记党史学习笔记
C
上党史学习网课并按时打卡
D
阅读“学习强国”APP上有关内容累计积分
E
整理有关网站学习资料并打印装订成册
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）本次参与调査的总人数是
人；扇形统计图中，扇形统计图D部分的圆心角是
度；
（2）若该市教育系统有6000名党员，如果对全市进行调査，请你估计选择学习形式C的人数为多少？
（3）教育局党委规定，选择学习形
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)式是A的党员要就规定书目中的两本内容进行讲座，并用随机抽取两本书的方式确定具体内容．工作人员将四本书分别编号为1，2，3，4，如图所示，将写有编号的卡片放在不透明的盒子中，王老师选择的学习形式是A，他从盒子中随机一次性抽出两张卡片，请用列表或画树状图的方法求他抽到两张卡片编号恰好是1和2的概率．【来源：21cnj
y.co
m】
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
53．已知一个布袋里装有3个红球、2个白球，这些球除颜色外其余都相同，把它们充分搅匀.
（1）“从中任意抽取1个球不是红球就是白球”是______事件，“从中任意抽取1个球是黑球”是____事件；（填：必然、随机、不可能）
（2）从中任意抽取1个球恰好是红球的概率是_____；
（3）甲、乙两名同学设计了一个游
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)戏，规则如下：从布袋中任取2个球，若两球同色，则甲获胜；若两球异色，则乙获胜.你认为这个游戏公平吗？请用列表法或画树状图法加以说明．
54．不透明的袋子中装有2个红球、1个白球，这些球除颜色外无其他差别．
（1）从袋子中随机摸出1个球，放回并摇匀，再随机摸出1个球．求两次摸出的球都是红球的概率．
（2）从袋子中随机摸出1个球，如果是红球，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)不放回再随机换出1个球；如果是白球，放回并摇匀，再随机摸出1个球．两次摸出的球都是白球的概率是________．
55．疫苗接种初期，为更好地响应国
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)家对符合条件的人群接种新冠疫苗的号召，某市教育部门随机抽取了该市部分七、八、九年级教师，了解教师的疫苗接种情况，得到如下统计表：
已接种
未接种
合计
七年级
30
10
40
八年级
35
15
九年级
40
60
合计
105
150
（1）表中，______，______，______；
（2）由表中数据可知，统计的教师中接种率最高的是______年级教师；（填“七”或“八”或“九”）
（3）若该市初中七、八、九年级一共约有8000名教师，根据抽样结果估计未接种的教师约有______人；
（4）为更好地响应号召，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)立德中学从最初接种的4名教师（其中七年级1名，八年级1名，九年级2名）中随机选取2名教师谈谈接种的感受，请用列表或画树状图的方法，求选中的两名教师恰好不在同一年级的概率．21
cnjy
com
56．袋子中装有2个红球，1个黄
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)球，它们除颜色外其余都相同．小丽和小红做摸球游戏，约定游戏规则是：小丽先从袋中任意摸出1个球记下颜色后放回，小红再从袋中摸出1个球记下颜色后放回，如果两人摸到的球的颜色相同，小丽赢，否则小红赢．这个游戏规则对双方公平吗？请说明理由．
57．某电脑公司现有A，B两种型号的甲品牌电脑和C、D、E三种型号的乙品牌电脑．树人中学要从甲、乙两种品牌的电脑中各选购一种型号的电脑．
（1）若各种选购方案被选中的可能性相同，请用列表法或树状图法求C型号电脑被选中的概率；
（2）现知树人中学购买甲乙两
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)种品牌电脑共30台（价格如图所示），恰好用了10万元人民币，其中乙品牌电脑为C型号电脑，请直接写出购买的C型号电脑有多少台．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
58．在中国共产党成立100周年之际，我
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)市某中学开展党史学习教育活动．为了了解学生学习情况，在七年级随机抽取部分学生进行测试，并依据成绩（百分制）绘制出以下两幅不完整的统计图.请根据图中信息回答下列问题：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）本次抽取调查的学生共有______人，扇形统计图中表示等级的扇形圆心角度数为_______．
（2）等级中有2名男生，2名女生.从中随机抽取2人参加学校组织的知识问答竞赛，请用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一男一女的概率．
59．某小区为了改善生态环境，促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为三类：厨余、可回收和其他，分别记为、、，并且设置了相应的垃圾箱，分别贴上“厨余垃圾”、“可回收物”和“其他垃圾”，分别记为，，．
（1）若将三类垃圾随机投入三类垃圾箱，请用画树状图或列表的方法求垃圾投放正确的概率；
（2）为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该小区三类垃圾箱中总共10吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）：
3
0.8
1.2
0.24
0.3
2.46
0.32
0.28
1.4
试估计“可回收垃圾”投放正确的概率．
（3）该小区所在城市每天大约产生500吨生活垃圾，根据以上信息，试估算其中“可回收垃圾”每天投放正确的有多少吨？【来源：21·世纪·教育·网】
60．防控新型冠状病毒肺炎疫情期间，某小区实行24小时封控管理后，根据疫情防控“志愿服务关爱行动”的相关要求，该市疫情防控指挥部发出通告，在全市范围内专项招募志愿者，主要在小区内为居民提供食品、药品代购、代送等服务．小明和小红报名参加了该项志愿者活动，指挥部将他们随机分配到三个不同的小区工作．
（1）求小明被分配到A小区的概率；
（2）求小明和小红被分到同一个小区的概率．（用画树状图法求概率）
61．阅读下列材料：
中国媒体最近在介绍中国的对外关系
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)时，频繁出现一个关键词——“高铁外交”．把东南亚和中亚国家等邻国作为推销高速铁路的对象，这已成为中国外交的一个重要课题．中国积极构建以本国为起点的高速铁路网，其目的在于促进煤炭和铁矿石等能源资源的进口，扩大对周边国家的影响．
2014年，我国高速铁路营运里程已
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)达1.6万千米；2015年，我国高速铁路营运里程已达1.9万千米；2016年，我国高速铁路营运里程已达2.2万千米；2017年，我国高速铁路营运里程已达2.5万千米；2018年，我国高速铁路营运里程已达3万千米；2019年，我国高速铁路营运里程达到了3.5万千米．
早在2017年底，我国高速铁路营运里程已稳居世界第一，分列世界第二至五名的国家为西班牙、德国、日本及法国．
——以上数据来自公开数据整理
（1）请你用折线统计图表示2014～2019年我国高速铁路营运里程的发展情况；
（2）预估2020年中国高速铁路运营里程为______万千米，你的预估理由是：______；
（3）谈一谈高铁给你的生活带来了哪些改变；
（4）寒假期间，家住太原的
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)小李和小王分别打算乘坐高铁去北京旅游，由于实际情况及到达北京后的安排，他们需要在上午8:00至9:00从太原出发，已知这一时间段内共有4趟列车出发，分别是：G606（08:02～10:54）、G630（08:24～11:22）、G92（08:33～11:00）、G684（08:41～11:41）（依次用A、B、C、D表示），求他们乘坐同一车次的概率．
62．垫球是排球队常规训练的重要项目
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)之一．下列图表中的数据是甲、乙、丙三人每人十次垫球测试的成绩．测试规则为每次连续接球10个，每垫球到位1个记1分．已知运动员丙测试成绩的平均数和众数都是7．
（1）求的值；
（2）已知三人成绩的方差分别为，若在他们三人中选择一位垫球成绩优秀且较为稳定的接球能手作为自由人，你认为选谁更合适？请说明理由；
（3）甲、乙、丙三人相互之间进行垫球
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)练习，每个人的球都等可能的传给其他两人，球最先从乙手中传出，用画树状图或列表法求球第二次回到乙手中的概率．
运动员丙测试成绩统计表
测试序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
成绩（分）
7
6
8
b
7
5
8
a
8
7
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
63．某学校初二和初三两个年
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)级各有600名同学，为了科普卫生防疫知识，学校组织了一次在线知识竞赛，小宇分别从初二、初三两个年级随机抽取了40名同学的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．【出处：21教育名师】
a．初二、初三年级学生知识竞赛成绩不完整的频数分布直方图如下（数据分成5组：A．
，B．
，C．
，D．
，E.
）：
初二、初三年级学生知识竞赛成绩条形统计图
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
b.初二年级学生知识竞赛成绩在这一组的数据如下：
80
80
81
83
83
84
84
85
86
87
88
89
89
c.初二、初三学生知识竞赛成绩的平均数、中位数、方差如下：
平均数
中位数
方差
初二年级
80.8
m
96.9
初三年级
80.6
86
153.3
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表格中________，补全上面的知识竞赛成绩条形统计图；
（2）甲同学看到上述的信息
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)后，说自己的成绩能在本年级排在前40%，乙同学看到甲同学的成绩后说：“很遗憾，你的成绩在我们年级进不了前50%”．请判断甲同学是________（填“初二”或“初三”）年级的学生，你判断的理由是______；www.21-cn-jy.com
（3）若成绩在85分及以上为优秀，在初二年级学生知识竞赛成绩在这一组中成绩为优秀的学生中任选2人，求选中的2名学生成绩相同的概率．
64．戏曲是中国传统文化的重要
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)组成部分，凝聚着中国传统文化的美学思想精髓．“戏曲进校园”活动帮助广大中学生亲近戏曲精粹，激发学生对传统戏曲艺术的兴趣．某校为了解学生对戏曲知识的了解程度，在七、八年级开展了一次戏曲知识测试，并将成绩进行收集、整理与分析，具体过程如下：
收集数据
从七、八年级中各随机抽取20名学生，在这次测试中他们的成绩如下：
七年级
30
60
50
40
70
80
90
85
65
50
40
70
70
60
75
85
70
30
60
75
八年级
40
65
75
55
80
95
75
65
75
85
70
55
35
85
45
70
75
80
60
65
整理数据
成绩x人数年级
七年级
6
10
4
八年级
5
10
5
分析数据
两组样本数据的平均数，中位数，众数如下表：
年级
平均数
中位数
众数
七年级
62.75
67.5
70
八年级
67.5
72.5
75
得出结论
（1）若该校七年级共有300名学生，估计七年级学生测试成绩为优秀（优秀成绩为）的人数为________名；2·1·c·n·j·y
（2）可以推断出________年级的成绩较好，理由为________________________；（至少从两个角度说明判断的合理性）21教育名师原创作品
（3）七年级学生成绩位于80≤x≤
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)100的四人中，两人来自七（1）班，其余两人分别来自七（2）、七（3）班，若从四人中随机选取两人参加即将举行的文艺汇演，请用列表法或画树状图法求所选取的两人均来自七（1）班的概率．
65．为全面落实健康中国
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)行动中规定的学生每天校内一小时、校外一小时体育活动时间，现以该校某班同学一周运动的时间情况为样本，对其运动时长进行调查统计，整理并绘制了如图所示的统计图（A表示“6小时及以下”，B表示“7－9小时”，C表示“10－12小时”，D表示“13－15小时”，E表示“16小时及以上”）．
（1）在扇形统计图中，“10－12小时”所对的圆心角度数为________°，并把条形统计图补充完整；
（2）统计结束后，班主任决定奖励一周运动时长前25%的同学，某同学的运动时长为11．5个小时，请问他可以获得奖励吗，并说明理由；
（3）近期学校将举办运动会，班主任
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)打算在一周运动时长为16小时及以上的同学中选取一名男生和一名女生参加比赛，已知运动时长为16小时及以上的学生中只有1名女生，请用列表或画树状图的方法求恰好选中一名男生和一名女生的概率．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
66．某校举办的“树德之声”演讲比赛结束后，王老师和李老师整理了所有参赛选手的比赛成绩（单位：分），并将成绩（记成绩为x）分为A．，B．，C．，D．四组，绘制成如图所示的频数分布直方图和扇形统计图：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）本次比赛参赛选手共有________人，扇形统计图中C组占参赛总人数的百分比为________；
（2）若某参赛选手的成绩为80分，该选手参赛前给自己定的目标为成绩位于中等偏上水平，试判断该选手是否达到参赛前所定的目标；
（3）成绩在D区域的选手中，男生比女生多一人，从中随机抽取两人，求恰好选中一名男生和一名女生的概率．
67．为弘扬中华民族传统文化，某校
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)举办了“最美诗文大赛”活动，从中随机抽取部分学生的比赛成绩，根据成绩（成绩都高于50分），绘制了如下的统计图表（不完整）：2-1-c-n-j-y
组别
分数
人数
第1组
16
第2组
a
第3组
20
第4组
b
第5组
6
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）此次随机抽取的学生人数是______，a=____，b=______；
（2）计算扇形统计图中“第5组”所在扇形圆心角的度数；
（3）已知成绩前4名是3名女生和1名男生，若从他们中任选2人参加市举办的诗文比赛，试求恰好选中一男一女的概率．21世纪教育网版权所有
68．央行推出数字货币，支付方式
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)即将变革，调查结果晶示，目前支付方式有：A微信、B支付宝、Ｃ现金、D其他，调查组对某超市一天内购买者的支付方式进行调查统计，根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图：
请你根据统计图提供的信息，解答下列问题：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）本次一共调查了多少名购买者？
（2）请补全条形统计图；
（3）在扇形统计图中，C种支付方式所对应的圆心角为______度；
（4）在一次购物中，小明利
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)小亮都想从“微信”、“支付宝”、“现金”三种付款方式中选一种方式进行付款，请用树状图或列表法求出两人恰好选择同一种付款方式的概率．
69．如图，程序员在数轴上设计了两个质点，它们分别位于和9的位置，现两点按照下述规则进行移动：
每次移动的规则：分别掷两次正方体骰子，观察向上面的点数：
①若两次向上面的点数均为偶数，则A点向右移动1个单位，B点向左移2个单位；
②若两次向上面的点数均为奇数，则A点向左移动2个单位，B点向左移动5个单位；
③若两次向上面的点数为一奇一偶，则A点向右移动5个单位，B点向右移2个单位．
（1）经过第一次移动，求B点移动到4的概率；
（2）从如图所示的位置开始，在完成的12次移
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)动中，发现正方体骰子向上面的点数均为偶数或奇数，设正方体骰子向上面的点数均为偶数的次数为a，若A点最终的位置对应的数为b，请用含a的代数式表示b，并求当A点落在原点时，求此时B点表示的数；21
cnjy
com
（3）从如图所示的位置开始，经过x次移动后，若，求x的值．
70．随着人们生活水平的提高，鲜
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)花进入很多家庭，某花店为了解市民对鲜花的喜爱情况，对部分市民开展了“你喜欢的鲜花”抽样调查（每人只选一项），根据收集的数据绘制了下列两幅不完整的统计表和统计图，根据要求回答下列问题：
鲜花品种
频数（人数）
百合
54
玫瑰
m
康乃馨
36
其他
n
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）本次共调查了________名市民；
（2）统计表中________，
________；
（3）“康乃馨”在扇形统计图中所对应的圆心角的度数为________；
（4）花店要从百合（记为A）、玫
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)瑰（记为B）、康乃馨（记为C）三种鲜花中随机抽取两种组成花束，请用列表或画树状图的方法求出恰好由“A”和“C”组成花束的概率．【版权所有：21教育】
71．某中学全校师生听取
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)了“禁毒”宣传报告后，对禁毒人员肃然起敬．学校德育处随后决定在全校1000名学生中开展“我为禁毒献爱心”的捐款活动．张老师在周五随机调查了部分学生随身携带零花钱的情况，并将收集的数据进行整理，绘制了如图所示的条形统计图．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）求这组数据的平均数和众数；
（2）经调查，当学生身上的零花钱多于15元时，都到出零花钱的20%，其余学生不参加捐款．请你估计周五这一天该校可能收到学生自愿捐款多少元？21·cn·jy·com
（3）捐款最多的两人将和另一个学校选出的
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)两人组成一个“禁毒”知识宣讲小组，若从4人中随机指定两人担任正、副组长，求这两人来自不同学校的概率．
72．我市于2021年5月22
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)－23日在遂宁观音湖举行了“龙舟赛”，吸引了全国各地选手参加．现对某校初中1000名学生就“比赛规则”的了解程度进行了抽样调查（参与调查的同学只能选择其中一项），并将调查结果绘制出以下两幅不完整的统计图表，请根据统计图表回答下列问题：
类别
频数
频率
不了解
10
m
了解很少
16
0.32
基本了解
b
很了解
4
n
合计
a
1
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）根据以上信息可知：a＝
，b＝
，m＝
，n＝
；
（2）补全条形统计图；
（3）估计该校1000名初中学生中“基本了解”的人数约有
人；
（4）“很了解”的4名学生是三男一女，现从
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)这4人中随机抽取两人去参加全市举办的“龙舟赛”知识竞赛，请用画树状图或列表的方法说明，抽到两名学生均为男生和抽到一男一女的概率是否相同．
73．放在平面直角坐标系中的正方形的边长为4，现做如下实验，抛掷一枚均匀的正四面体骰子（如图②，它有四个顶点，各顶点数分别是1?2?3?4）．每个顶点朝上的机会是相同的，连续抛掷两次，将骰子朝上的点数作为直角坐标系中点的坐标（第一次的点数为横坐标，第二次的点数为纵坐标）．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）求点落在正方形面上（含边界，下同）的概率；
（2）将正方形平移数个单位，使点落在正方形面上的概率为，请写出其中一种平移方式．
74．为实现城市生活垃圾减量化、
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)资源化、无害化的目标，某市开始实施生活垃圾分类处理，为提高学生的垃圾分类意识，某中学举办了一次以“垃圾分类，绿色环保”为主题的知识竞赛活动，根据学生的成绩划分为A，B，C，D四个等级，并绘制了不完整的两种统计图，根据图中提供的信息，回答下列问题：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）请将条形统计图补充完整；扇形统计图中，________，C等级对应的圆心角为________度；
（2）小明是四名获A等级的学生中
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)的一位，学校将从获A等级的学生中任意选取2人，参加区举办的知识竞赛，请用列表法或画树状图法求小明被选中参加区知识竞赛的概率．www-2-1-cnjy-com
76．某超市开展“五一”大酬宾，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)举行购物抽奖活动，奖项设置为面值不同的购物卡，分别是：一等奖120元，二等奖60元，三等奖10元，凡购买满200元及以上者，每200元可抽奖一次（不足200元一概不计入，每人当天购物最多可抽5次），每次抽奖过程如下：在一个不透明的袋子里装有三个小球，球面上分别标注数字“1”，“2”，“3”，它们除数字不同外没有任何区别．抽奖顾客先随机摸出一球，记下数字后，将小球放回袋中充分搅匀，再随机摸出一球，若两球标注的数字之和为6，则获一等奖，数字之和为5，则获二等奖，数字之和为4，则获三等奖，其余均不获奖．
（1）试利用树状图或列表法顾客每抽奖一次分别获得一等奖、二等奖、三等奖的概率；
（2）若此次超市大酬宾中，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)超市业绩调查部分随机抽查了100位顾客的消费金额并绘制成条形统计图如下（金额折算为200元的整数倍，其中扣除200元的整数倍后不足200元的部分全部去掉不计入）：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
①求上述样本数据中每位顾客消费金额的平均数；
②据“五一节”当天统计，共有2
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)500位顾客参与该超市的购物抽奖活动，已知该超市每销售100元，平均可获利20元，请根据上述样本数据分析，扣除兑现的购物卡金融外，估计这一天超市共盈利大约为多少元？
77．如图是某商场第二季度某品牌运动服装的S号，M号，L号，XL号，XXL号销售情况的扇形统计图和条形统计图．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
根据图中信息解答下列问题：
（1）求XL号，XXL号运动服装销量的百分比；
（2）补全条形统计图；
（3）按照M号，XL号运动服装的销量比，从M号、XL号运动服装中分别取出x件、y件，若再取2件XL号运动服装，将它们放在一起，现从这件运动服装中，随机取出1件，取得M号运动服装的概率为，求x，y的值．
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精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
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第01讲
用树状图或表格求概率
【提升训练】
一、单选题
1．如图，从一个大正方形中截去面积为和的两个小正方形，若随机向大正方形内投一粒米，则米粒落在图中阴影部分的概率为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
求出阴影部分的面积占大正方形的份数即可判断．
【详解】
解：∵两个小正方形的面积为和，
∴两个小正方形的边长为和，
∴大正方形的边长为，
∴大正方形的面积为，
∴阴影部分的面积为，
∴米粒落在图中阴影部分的概率为，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了几何概率，熟练掌握正方形边长与面积的关系是解题关键．
2．在运动会上,小亮、小莹、小刚和小勇四位
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)同学代表九年级（3）班参加4×100米接力比赛，小勇跑最后一棒，其他三人抽签排定序号，小亮和小刚进行接棒的概率是
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
设小亮、小莹、小刚分别为：乙、丙、丁，先画树状图展示所有6种等可能的结果数，再找出小亮和小刚进行接棒的结果数，然后根据概率公式求解?．
【详解】
设小亮、小莹、小刚分别为：乙、丙、丁，
画树状图为：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
共有6种等可能的结果数，其中乙、丁相邻的结果数为4，
∴小亮和小刚进行接棒的概率＝4÷6＝．
故选C．
【点睛】
本题考查了列表法与树状图法：通过列表法
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．
3．广东省2021年的高考采用“”模式：“3”是指语文、数学、外语3科为必选科目，“1”是指在物理、历史2科中任选1科，“2”是指在化学、生物、思想政治、地理4科中任选2科．若小红在“1”中选择了历史，则她在“2”中选地理、生物的概率是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【详解】
解：用树状图表示所有可能出现的结果如下：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
共有12种等可能的结果数，其中选中“地理”“生物”的有2种，
则P（地理、生物）＝2÷12＝．
故选A．
【点睛】
此题考查的是用列表法或树状
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
4．一个不透明的纸箱里装有3个
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)红球，1个黄球和1个蓝球，它们除颜色外完全相同．小明从纸箱里随机摸出2个球，则摸到1个红球和1个蓝球的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
画树状图，共有20种等可能的结果，摸到1个红球和1个蓝球的结果有6种，再由概率公式求解即可．
【详解】
解：画树状图如图：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
共有20种等可能的结果，摸到1个红球和1个蓝球的结果有6种，
∴摸到1个红球和1个蓝球的概率为，
故选：B．
【点睛】
本题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
5．从－3，0，1，2这四个数中任取一个数作为一元二次方程的系数的值，能使该方程有实数根的概率是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
根据一元二次方程根的判别式的意义得到△=32+4a≥0且，解得a≥且，然后根据概率公式求解．
【详解】
解：当△=32+4a≥0且时，一元二次方程有实数根，
所以a≥且，
从－3，0，1，2这4个数中任取一个数，满足条件的结果数有，
所以所得的一元二次方程中有实数根的概率是．
故选：．
【点睛】
正确理解列举法求概率的条件以及一元二次方程根的判定方法是解决问题的关键．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
6．如图，由4个直角边分
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)别是1和2的直角三角形拼成一个“弦图”地面，在该地面上任意抛一颗豆子（豆子大小不记），豆子恰好落在中间空白区域的概率是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
根据题意，计算得4个直角三角形总面积
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)；根据直角三角形和正方形的性质，通过证明中间空白区域是正方形，从而得空白区域的面积，再根据概率公式计算，即可得到答案.
【详解】
直角三角形面积为：
∴4个直角三角形总面积为：
∵由4个直角边分别是1和2的直角三角形拼成一个“弦图”地面
∴中间空白区域四边形的内角均为：，且边长为：
∴中间空白区域为正方形
∴正方形的面积为：
∴任意抛一颗豆子（豆子大小不记），豆子恰好落在中间空白区域的概率是：
故选：C．
【点睛】
本题考查了直角三角形、正方形、概率的知识；解题的关键是熟练掌握直角三角形、正方形、概率公式的性质，从而完成求解．
7．2020年9月8日第十一届全国少数民族传
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)统体育运动会在郑州奥体中心隆重开幕，某单位得到了两张开幕式的门票，为了弘扬劳动精神，决定从本单位的劳动模范小李、小张、小杨、小王四人中选取两人去参加开幕式，那么同时选中小李和小张的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
根据题意画出树状图得出所有等可能的结果数和同时选中小李和小张的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【详解】
根据题意画图如下：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
共有12种等可能的结果数，其中同时选中小李和小张的有2种，
∴同时选中小李和小张的概率为＝．
故选D．
【点睛】
本题考查了用列表法或画树状图法求概率，利用列表法（或树状图）得出所有等可能的结果数和同时选中小李和小张的情况数是解决问题的关键．
8．疫情期间进入学校都要进入
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)测温通道，体温正常才可进入学校，昌平某校有2个测温通道，分别记为A、B通道，学生可随机选取其中的一个通道测温进校园．某日早晨该校所有学生体温正常．小王和小李两同学该日早晨进校园时，选择同一通道测温进校园的概率是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
先列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再利用概率公式计算可得．
【详解】
解：列表格如下：
A
B
A
A，A
B，A
B
A，B
B，B
由表可知，共有4种等可能的结果，其中小王和小李从同一个测温通道通过的有2种可能，
所以小王和小李从同一个测温通道通过的概率为．
故选：C
【点睛】
本题考查的是用列表法或画树状图法
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
9．下列算式：①；②；③；④；⑤．运算结果正确的概率是（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
根据算术平方根、负整数指数幂、分式、二次根式、整式加法的性质，对各个选项分别计算，再结合简单概率计算的性质分析，即可得到答案．
【详解】
，故①错误；
，故②正确；
，故③错误；
∵
∴不符合二次根式的定义，故④错误；
，故⑤错误；
∴五个算式中，正确的共有一个
∴运算结果正确的概率是：
故选：A．
【点睛】
本题考查了算术平方根、负整数指数幂、分式、
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)二次根式、整式运算、概率的知识；解题的关键是熟练掌握了算术平方根、负整数指数幂、分式、二次根式、整式运算、概率的性质，从而完成求解．
10．甲袋中装有2张相同的卡片，颜
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)色分别为红色和黄色；乙袋中装有3张相同的卡片，颜色分别为红色、黄色、绿色．从这两个口袋中各随机抽取1张卡片，取出的两张卡片中至少有一张是红色的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
画树状图，共有6个等可能的结果，取出的两张卡片中至少有一张是红色的结果有4个，再由概率公式求解即可．
【详解】
解：画树状图如图：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
共有6个等可能的结果，取出的两张卡片中至少有一张是红色的结果有4个，
取出的两张卡片中至少有一张是红色的概率为，
故选：A．
【点睛】
本题考查了列表法与树状图法求概率，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
11．如图，是两个圆形转盘，同时旋转两个转盘，两个转盘的指针都不落在“1”区域的概率是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
画树状图，确定所有的等可能性，确定指定事件的等可能性，利用概率公式计算即可．
【详解】
画树状图如下：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)，
所有的等可能性有8种，两个转盘的指针都不落在“1”区域的等可能性有3种，
∴两个转盘的指针都不落在“1”区域的概率是，
故选C．
【点睛】
本题考查了画树状图计算概率，正确画出树状图是解题的关键．
12．从2020年5月1日起，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)北京正式施行“垃圾分类”，如图是生活中的四个不同的垃圾分类投放桶．小明投放了两袋垃圾，不同类的概率是（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
先利用树状图法列举出所有可能，再利用概率公式求出答案．
【详解】
解：四个不同的垃圾桶分别记为A，B，C，D表示，根据题意画图如下：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
由树状图知，小明投放的垃圾共有16种等可能结果，其中小明投放的两袋垃圾不同类的有12种结果，
所以小明投放的两袋垃圾不同类的概率为：；
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了树状图法求概率，正确利用列举出所有可能是解题关键．
13．、、、四个人玩扑克牌游戏，他们先取出两张红桃和两张黑桃共四张扑克牌，洗匀后背面朝上放在桌面上，每人抽取其中一张，拿到相同颜色扑克牌的两个人为游戏搭档，若、两人各抽取了一张扑克牌，则两人恰好成为游戏搭档的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
利用列举法即可列举出所有各种可能的情况，然后利用概率公式即可求解．
【详解】
解：根据题意画图如下：
共有12中情况，从4张牌中任意摸出2张牌花色相同颜色4种可能，
所以两人恰好成为游戏搭档的概率=．
故选：B
【点睛】
此题考查的是用列表法或树状
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．
14．一个质地均匀的正四面体，四个面上分别写着数字将它投掷于桌面上，连续投掷两次，则两次与桌面接触的面上的数字之和为5的概率是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
先求出基本事件总数n=4×4=16，再利用列举法求出数字之和为5包含的基本事件个数，由此能求出数字之和为5的的概率．
【详解】
解：在一个游戏中，有两枚大小相同、质地均匀的正四面体骰子，
每个面上分别写着数字1，2，3，4．同时投掷一次，记x为两个朝下的面上的数字之和，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
由表格可知，所有的可能有16种，
∴x=5包含的基本事件有（1，4），（4，1），（2，3），（3，2），共4个，
∴x=5的概率为．
故选：B．
【点睛】
本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．
15．从红，黄，蓝三顶不同颜色的帽子和黑，白两条不同颜色的围巾中，任取一顶帽子和一条围巾搭配，恰好取到红帽子和黑围巾的概率是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
画树状图求其概率即可
【详解】
画树状图如下：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
一共有6种等可能性，其中恰好取到红帽子和黑围巾的有一种等可能性，
∴恰好取到红帽子和黑围巾的概率是，
故选A．
【点睛】
本题考查了画树状图或列表法求概率，正确选择方法并规范解答是接退的关键．
16．春回大地万物生，“微故宫”微信公
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)众号设计了互动游戏，与大家携手走过有故宫猫陪伴的四季．游戏规则设计如下：每次在公众号对话框中回复（猫春图），就可以随机抽取7款“猫春图”壁纸中的一款，抽取次数不限，假定平台设置每次发送每款图案的机会相同，小春随机抽取了两次，她两次都抽到“东风纸鸢”的概率是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
先画树状图（或列表）求出所有等可能结果，她两次都抽到“东风纸鸢”的情况占几种结果，用这个结果数比以总结果数即得答．
【详解】
解：东风纸鸢用a表示，其他六张用1、2、3、4、5、6表示
画树状图得：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵每次发送每款图案的机会相同，小春随机抽取了两次，
共有49种等可能的结果，她两次都抽到“东风纸鸢”有1种情况，
∴她两次都抽到“东风纸鸢”的概率是：．
故选择：C．
【点睛】
此题考查用列表或画树状图的方法求随机事件概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比，要注意本题是摸出不放回的情况．
17．盒子里有张形状、大小、质地完全相同的卡片，上面分别标有数字，，，从中随机抽出一张后不放回，再从中随机抽出一张，则两次抽出的卡片都是奇数的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
画出树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算可得．
【详解】
解：画树状图如下：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
由树状图可知，共有6种等可能结果，其中两次抽出的卡片上的数字全为奇数的有2种结果，
所以两次抽出的卡片上的数字全为奇数的概率为，
故选：A．
【点睛】
本题考查了列表法和树状图法，利用列表法或树状图法展示某一随机事件中所有等可能出现的结果数n，再找出其中某一事件所出现的可能数m，然后根据概率的定义可计算出这个事件的概率．
18．随机掷一枚质地均匀的硬币两次，两次正面都朝上的概率是（
）
A．
B．
C．
D．1
【答案】A
【分析】
依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率即可解答．
【详解】
解：随机掷一枚质地均匀的普通硬币两次，出现的情况如下，共有4种等可能的结果，两次正面都朝上的情况有1种，概率是．
故答案为：．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
本题考查的是用列表法或画树状
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题关键是熟练运用列举法求出所有等可能的出现结果，会用概率公式计算．
19．一个不透明的袋子中装有1个红球，2个绿球，除颜色外无其他差别，从中随机摸出一个球，然后放回摇匀，再随机摸出一个．给出下列结论：①第一次摸出的球是红球，第二次摸出的球一定是绿球；②第一次摸出的球是红球，第二次摸出的球不一定是绿球；③第一次摸出的球是红球的概率是；④两次摸出的球都是红球的概率是．其中正确的结论个数为（
）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】C
【分析】
由随机事件的意义、概率公式、画树状图法分别分析求解即可．
【详解】
解：①第一次摸出的球是红球，第二次摸出的球不一定是绿球，①错误；
②第一次摸出的球是红球，第二次摸出的不一定是绿球，②正确；
③第一次摸出的球是红球的概率是，③正确；
④画树状图如图：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
共用9种等可能结果数，两次摸出的球都是红球的结果有1个，
∴两次摸出的球都是红球的概率是，④正确；
有3个正确结论，
故选：C．
【点睛】
此题考查了树状图法与列表法求概率和随机事件的意义，解题关键是明确相关定义，熟练运用列举法求概率．
20．某中学有5名教师自愿献血，其中
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)2人A型血，2人B型血，1人O型血，现从他们当中随机挑选2人参与献血，抽到的两人血型不同的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
根据题意列表得出所有等可能的结果，找出符合条件的情况数，再根据概率公式即可得出答案．
【详解】
解：列表如下：
O
A
A
B
B
O
-------
OA
OA
OB
OB
A
AO
---------
AA
AB
AB
A
AO
AA
-------
AB
AB
B
BO
BA
BA
--------
BB
B
BO
BA
BA
BB
--------
∵共有20种等可能的结果，其中抽到的两人血型不同的结果有16种，
∴抽到的两人血型不同的概率为．
故选：C．
【点睛】
本题考查了列表法求概率，解题关键是正确列出表格，准确求出概率．
21．有5张看上去无差别的卡片，上面分别写着1，2，3，4，5，随机抽取3张，用抽到的三个数字作为边长，恰能构成三角形的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
确定抽取三边长包含的基本事件，和三张卡片上的数字作为边长能构成三角形的基本事件，即可求出能构成三角形的概率．
【详解】
解：抽取三边长包含的基本事件为
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)：（1，2，3），（1，2，4），（1，2，5），（1，3，4），（1，3，5），（1，4，5），（2，3，4），（2，3，5），（2，4，5），（3，4，5）共10个；
设事件B＝“抽取三张卡片上的数字作为边长能构成三角形“
则事件B包含的基本事件有：（2，3，4），（2，4，5），（3，4，5）共3个，
故p（B）＝
，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了用列举法来求古典概率的问题，关键是列举要不重不漏，难度不大．
22．现有四张正面分别标有数字﹣2，0，1，3的不透明卡片（形状与材质相同），将它们正面朝下洗均匀，随机抽取一张记下数字后放回（设数字为a），再次正面朝下洗均匀，再随机抽取一张记下数字（设数字为b），则关于x的不等式组有解的概率是（
）2-1-c-n-j-y
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与关于x的不等式组有解的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】
解：画树状图如下：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
由树状图知，共有16种等可能结果，
∵关于x的不等式组有解，
∴ab＜0,
当a=
-2，b=1；a=
-2，b=3；a=
1，b=-2；a=
3，b=-2符合题意，
有4种结果，
∴关于x的不等式组有解的概率为=，
故选：B．
【点睛】
本题考查了不等式组有解集的条件，概率的计算，熟练画树状图，准确理解不等式组有解集的意义是解题的关键．
23．有一个转盘如图，让转盘自由转动两次，则指针两次都落在黄色区域的概率是（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
画树状图求解即可；
【详解】
解：将黄色区域平分成两部分，
画树状图得：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵共有9种等可能的结果，两次指针都落在黄色区域的只有4种情况，
∴两次指针都落在黄色区域的概率为：；
故选：B．
【点睛】
此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
24．一个不透明的口袋中有四个完全相
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)同的小球，把它们分别标号为1、2、3、4．若一次性摸出两个，则一次性取出的两个小球标号的和不小于4的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
根据题意列出相应的表格，得出所有等可能的情况数，找出两次取出的小球的标号的和等于4的情况数，即可求出所求的概率．
【详解】
解：列表得：
1
2
3
4
1
﹣﹣﹣
（2，1）
（3，1）
（4，1）
2
（1，2）
﹣﹣﹣
（3，2）
（4，2）
3
（1，3）
（2，3）
﹣﹣﹣
（4，3）
4
（1，4）
（2，4）
（3，4）
﹣﹣﹣
所有等可能的情况有12种，其中两次取出的小球的标号的和不小于4的情况数是10，
所以两次取出的小球标号的和等于4的概率为．
故选：D．
【点睛】
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
25．三个不透明的口袋中
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)各有三个相同的乒乓球，将每个口袋中的三个乒乓球分别标号为1，2，3．从这三个口袋中分别摸出一个乒乓球，出现的数字正好是等腰三角形三边长的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
首先根据题意画出树状图，然后由
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的乒乓球标号相同，并且三个标号符合三角形三边关系的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】
解：画树状图得：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵共有27种等可能的结果，两次摸出的乒乓球标号相同，并且三个标号符合三角形三边关系的有15种结果，∴出现的数字正好是等腰三角形三边长的概率是．
故选：B．
【点睛】
本题考查的是用列表法或画
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
26．李明参加的社区抗疫志愿服务团队共有A、
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)B、C、D四个服务项目，其中每个服务项目又分为第一小组和第二小组，则李明分到A项目的第一小组的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数和李明分到A项目的第一小组的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【详解】
解：根据题意画图如下：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
共有8种等可能的情况数，其中分到A项目的第一小组的有1种，
则李明分到A项目的第一小组的概率是．
故选：A．
【点睛】
本题考查了概率的知识．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
27．点P的坐标是(m，n
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?))，从-5，-3，0，4，7这五个数中任取一个数作为m的值，再从余下的四个数中任取一个数作为n的值，则点P(m，n)在平面直角坐标系中第四象限内的概率是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
先画树状图展示所有20种等可能的结果数，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)再根据第四象限点的坐标特征找出点P（m，n）在平面直角坐标系中第四象限内的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】
解：画树状图为:
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
共有20种等可能的结果，其中点P(m，n)在平面直角坐标系中第四象限内的结果数为4，所以点P(m，n)在平面直角坐标系中第四象限内的概率为，
故选B.
【点睛】
本题考查了点的坐标以及列
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．
28．有四根长度分别为、、、的木棒，从中任取三根，并将它们首尾相连，能组成三角形的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
求出任取三根木棒的所有情况，再求出能组成三角形的所有情况，利用概率公式直接计算即可．
【详解】
解：2cm、3cm、4cm、5cm的根木棒中，
共有以下4种组合：
2，3，4；
2，3，5；
2，4，5；
3，4，5；
其中共有以下方案可组成三角形：
①取2cm，3cm，4cm；由于4﹣2＜3＜4+2，能构成三角形；
②取2cm，4cm，5cm；由于5﹣2＜4＜5+2，能构成三角形；
③取3cm，4cm，5cm；由于5﹣3＜4＜5+3，能构成三角形；
所以有3种方案符合要求．
故能组成三角形的概率是P=
故答案选：C
【点睛】
本题考查了三角形的三边关系和概率公式，正确找到所有组成三角形的情况是解题的关键．
29．从一副扑克中抽出三张牌，分别为梅花1，2，3，背面朝上搅匀后先抽取一张点数记为，放回搅匀再抽取一张点数记为，则点在直线上的概率是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
首先列出表格即可求得所有等可能的结果与点(a，b)在直线
上的情况，然后利用概率公式求解即可；
【详解】
列表格为：
第一次
1
1
1
2
2
2
3
3
3
第二次
1
2
3
1
2
3
1
2
3
其中点(a，b)在直线
上的情况有：
第一次
2
3
第二次
1
2
由列表可知，一共有9种等可能的结果，其中点(a，b)在直线
上的情况有2种，
所以点(a，b)在直线
上的概率为
；
故选：C．
【点睛】
本题考查了用列表法或树状图法求概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
30．在一个口袋中有4个完全相同的小球，它
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)们的标号分别为1，2，3，4，从中随机摸出两个小球，则摸出的两个小球标号之和大于4的概率是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
首先根据题意列出表格，然后由表格中求得所有等可能的结果与两次摸出的小球的标号之和大于4的情况，再利用概率公式即可求得答案；
【详解】
两次摸出小球标号的组合如下：共12组
第一次
1
1
1
2
2
2
3
3
3
4
4
4
第二次
2
3
4
1
3
4
1
2
4
1
2
3
其中标号之和大于4的组合如下：共8组
第一次
1
2
2
3
3
4
4
4
第二次
4
3
4
2
4
1
2
3
∴其概率为：
，
故选：D．
【点睛】
本题考查了用列表法或树状图
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)法求概率，注意列表法或树状图法要不重复不遗漏的列出所有等可能的情况，所用到的知识点为：概率
=所求情况数与总情况数之比．
31．先后随机抛掷一枚质地均匀的正方体骰子两次，第一次掷出的点数记为，第二次掷出的点数记为，则使关于的一元二次方程有实数解的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
列表展示所有36种等可能的结果数，再根据判别
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)式的意义得到△≥0，从而得到使得一元二次方程ax2-6x+c=0有相等实数解的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】
解：列表得：
乘积
1
2
3
4
5
6
1
1
2
3
4
5
6
2
2
4
6
8
10
12
3
3
6
9
12
15
18
4
4
8
12
16
20
24
5
5
10
15
20
25
30
6
6
12
18
24
30
36
∴一共有36种等可能情况，
∵b=6，当b2-4ac≥0时，有实根，即36-4ac≥0有实根，
∴ac≤9，
∴方程有实数根的有17种情况，
∴方程有实数根的概率=，
故选：B．
【点睛】
本题考查列表法与树状图法求概率，一元二次方程实根的情况，是一个综合题，解题的关键是对于一元二次方程的解的情况的分析，解题时有一定难度．
32．若从1，2，3，4四个数中选取一个数，记为a，再从这四个数中选取一个数，记为c，则关于x的一元二次方程没有实数根的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
画出树状图，共有16种等可能的结果，其中使42-4ac＜0的有8种结果，再由概率公式求解即可．
【详解】
解：画树状图如图：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
由树形图可知：共有16种等可能的结果，其中使42-4ac＜0的有8种结果，
∴关于x的一元二次方程ax2+4x+c=0没有实数根的概率为，
故选：C．
【点睛】
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
33．经过一T字型路口的行人，可能右拐，可能左拐．假设这两种可能性相同．有3人经过该路口，至少一人左拐的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
用树状图列举出所有等可能的情况，去掉至少一人左拐的次数，利用概率计算公式求解．
【详解】
树状图如下：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
共有8种等可能的情况，其中至少一人左拐的有7种，
∴P（至少一人左拐）=，
故选：D．
【点睛】
此题考查用树状图求事件的概率，概率的计算公式，正确理解题意并列举所有可能的情况是解题的关键．
34．小张和小王相约去参加“抗疫情党员志愿者进社区服务”活动现在有A、B、C三个社区可供随机选择，他们两人恰好进入同一社区的概率是（
）21教育名师原创作品
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
画树状图展示所有9种等可能的结果数，找出两人恰好进入同一社区的结果数，然后根据概率公式求解即可．
【详解】
解：画树状图如图：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
共有9种等可能的结果数，其中两人恰好选择同一社区的结果为3种，
则两人恰好进入同一社区的概率=．
故选：B．
【点睛】
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
35．如图是一次数学活动课上制
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)作的两个转盘，甲转盘被平均分为三部分，上面分别写着9，8，5三个数字，乙转盘被平均分为四部分，上面分别写着1，6，9，8四个数字，同时转动两个转盘，停止转动后两个转盘上指针所指的数字恰好都能被3整除的概率是（ ）．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
结合题意，根据树状图的方法分析，即可得到答案．
【详解】
画树状图如下：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
根据题意，共有12种等可能的结果，停止转动后两个转盘上指针所指的数字恰好都能被3整除的结果有2种
∴同时转动两个转盘，停止转动后两个转盘上指针所指的数字恰好都能被3整除的概率为：=
故选：D．
【点睛】
本题考查了概率的知识；解题的关键是熟练掌握树状图的性质，从而完成求解．
36．不透明的袋子中有三个小球，上面分别写着数字“”，“”，“3”，除数字外三个小球无其他差别．从中随机摸出一个小球，记录其数字，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，记录其数字，那么两次记录的数字之和为4的概率是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
利用树状图列举出所有等可能的情况，确定两次记录的数字之和为4的次数，根据概率公式计算得出答案．
【详解】
列树状图如下：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
共有9种等可能的情况，其中两次记录的数字之和为4的有3种，
∴P（两次记录的数字之和为4）=，
故选：B．
【点睛】
此题考查树状图法求事件的概率，概率的计算公式，根据题意正确列举出事件发生的所有可能的情况是解题的关键．
37．随机掷一枚质地均匀的硬币两次，落地后至多有一次正面朝下的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
用列举法确定所有等可能的情况，根据落地后至多有一次正面朝下的次数，利用概率公式计算解答．
【详解】
随机掷一枚质地均匀的硬币两次，共
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)“正、反”，“反、正”，“正、正”，“反、反”，4种情况，落地后至多有一次正面朝下包括“正、反”，“反、正”，“正、正”，3种情况，
故至多有一次正面朝下的概率为．
故选：A．
【点睛】
此题考查了列举法求概率，解题的关键是找到所有的情况．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
38．在一个不透明的口袋中，装有
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)若干个红球和6个黄球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球试验发现，摸到黄球的频率是0.3，则估计口袋中红球约有（
）
A．12个
B．14个
C．18个
D．20个
【答案】B
【分析】
在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．
【详解】
解：设盒子中有红球x个，
由题意可得：=0.3，
解得：x=14，
经检验，x=14是分式方程的解．
估计口袋中红球约有14个．
故选：B
【点睛】
此题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据黄球的频率得到相应的等量关系．
39．有一首《对子歌》中
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)唱到：天对地，雨对风，大陆对长空．现将“天，雨，大，空”四个字书写在材质、大小完全相同的卡片上，在暗箱搅匀后，随机抽取两张，恰为“天”、“空”二字的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
首先画树状图得出所有等可能结果，然后从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解可得．
【详解】
解：画树状图如下：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
由树状图知，共有12种等可能结果，其中恰为“天”、“空”的有2种结果，
恰为“天”、“空”的概率为，
故选：D．
【点睛】
本题考查了用列表法或画树状图法求概率．列
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
40．现有两道数学选择题，他们都是单选题，并且都含有A、B、C、D四个选项，瞎猜这两道题，这两道题恰好全部猜对的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
根据题意画树状图或者列表找出所有可能出现的情况总数，以及两道题恰好全部猜对的数量即可求出.
【详解】
解：用列表法表示所有可能出现的结果情况如下：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
共有16种等可能出现的结果情况，其中两道题恰好全部猜对的只有1种，
所以，两道题恰好全部猜对的概率为，
故选：D．
【点睛】
本题考查画树状图法或列表法求事件发生的概率，根据题意正确画树状图或列表是解题的关键.
二、填空题
41．抛掷一枚质地均匀的正方体骰子（六个面上的点数分别是1、2、3、4、5、6）一次，则朝上的一面的点数是3的倍数的概率是______．
【答案】
【分析】
利用概率公式计算即可
【详解】
一共有6种等可能性,其中是3的倍数的可能性有3,6这2种,
所以朝上的一面的点数是3的倍数的概率是=,
故答案为:
【点睛】
本题考查了概率公式的应用,熟练掌握概率公式是解题的关键．
42．现将正面分别写有“道路自信”“理论自
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)信”“制度自信”和“文化自信”的四张卡片（注：这四张卡片除卡片正面的内容不同外，其余完全相同）背面朝上放在桌面上，洗匀后从中随机抽取两张卡片，则恰好抽到写有“文化自信”和“理论自信”的卡片的概率是___．
【答案】
【分析】
画树状图，列出所有可能抽到的卡片情况共有12种，其中恰好抽到写有“文化自信”和“理论自信”的卡片共有2种，然后利用概率公式求即可．
【详解】
解：画树状图，列出所有可能抽到的卡片情况共有12种，其中恰好抽到写有“文化自信”和“理论自信”的卡片共有2种，
∴恰好抽到写有“文化自信”和“理论自信”的卡片的概率是．
故答案为．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
本题考查画树状图或列表法求概率，掌握画树状图或列表法求概率方法是解题关键．
43．不透明的袋子中有2白3黑共5个除颜色外完全相同的小球，从中随机摸取2个小球都是白色球的概率为______．
【答案】
【分析】
画树状图，共有20种等可能的结果，从中随机摸取2个小球都是白色球的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【详解】
解：画树状图如图：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
共有20种等可能的结果，从中随机摸取2个小球都是白色球的结果有2种，
∴从中随机摸取2个小球都是白色球的概率为，
故答案为：．
【点睛】
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
44．郑小舟在数学课本“读一
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)读”中了解到一些中国古代的数学著作，如《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》，现在他计划从这四部书中随机选择两部书购买则选择到《九章算术》的概率是______．
【答案】
【分析】
此题需要两步完成，所以可采用树状图法或列表法求解.
【详解】
解：将四部书《周髀算经》，《九章算术》，《海岛算经》，《孙子算经》分别记为，，，，
用列表法列举出从4部书中选择2部所能产生的全部结果：
第1部第2部
由表中可以看出，共有12种等可能的结果，而选中《九章算术》的结果有6种，
所以选中《九章算术》的概率为．
故答案为：
【点睛】
此题考查的是用列表法或树状
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
45．一个不透明盒子里有
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)3张形状大小质地完全相同的卡片，上面分别标有数字1，2，3．从中随机抽出一张后不放回，再从盒中随机抽出一张，则两次抽出的卡片都是奇数的概率为______．
【答案】
【分析】
列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算可得．
【详解】
解：列表如下
1
2
3
1
（2，1）
（3，1）
2
（1，2）
（3，2）
3
（1，3）
（2，3）
由表可知，共有6种等可能结果，其中两次抽出的卡片都是奇数的有2种结果，
所以两次抽出的卡片上的数字之和为奇数的概率为，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了列表法和树状图法，利用列表法或树状图法展示某一随机事件中所有等可能出现的结果数n，再找出其中某一事件所出现的可能数m，然后根据概率的定义可计算出这个事件的概率．
三、解答题
46．某市体育中考自选项目有乒乓球、篮球和羽毛球，每个考生任选一项作为自选考试项目．
（1）求考生小红和小强自选项目相同的概率．
（2）除自选项目之外，长跑和掷实心球为必考项目．小红和小强的体育中考各项成绩（百分制）的统计图表如下：
考生
自选项目
长跑
掷实心球
小红
95
90
95
小强
90
95
95
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
①补全条形统计图．
②如果体育中考按自选项目占50%、长跑占30%、掷实心球占20%计算成绩（百分制），分别计算小红和小强的体育中考成绩．
【答案】（1）；（2）①条形统计图见解析；②小红和小强的成绩分别为93.5和92.5．
【分析】
（1）用列表法求概率即可；
（2）①根据统计表补全条形统计图；②用加权平均数分别计算出小红和小强的成绩即可．
【详解】
解：（1）根据题意小红和小强自选项目情况如下表所示：
乒乓球
篮球
羽毛球
乒乓球
乒乓球，乒乓球
篮球，乒乓球
羽毛球，乒乓球
篮球
乒乓球，篮球
篮球，篮球
羽毛球，篮球
羽毛球
乒乓球，羽毛球
篮球，羽毛球
羽毛球，羽毛球
由上表可知，小红和小强自选项目选择方式有9种情况，小红和小强自选项目相同的情况有
3种，故小红和小强自选项目相同的概率为；
（2）①补全条形统计图如图所示：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
②小红的体育中考成绩为：95×50%+90×30%+95×20%=93.5；
小强的体育中考成绩为：90×50%+95×30%+95×20%=92.5；
答：小红和小强的成绩分别为93.5和92.5．
【点睛】
本题主要考查了用列表法求概率、画条形统计图以及加权平均数等知识点，灵活应用相关知识成为解答本题的关键．
47．某中学为了解本校九年级女生“一分钟仰卧起坐”项目的成绩情况，从九年级随机抽取部分女生进行该项目测试，并将测试的成绩（次）数据，绘制成频数分布表和扇形统计图．部分信息如下，根据提供的信息解答下列问题：
组号
分组
频数
①
3
②
15
③
④
10
⑤
2
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）______，在扇形统计图中第③小组对应的扇形的圆心角度数为______；
（2）若测试九年级女生“一分
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)钟仰卧起坐”次数不低于44次的成绩为优秀，本校九年级女生共有360人，请估算该校九年级女生“一分钟仰卧起坐”成绩为优秀的人数；
（3）把在第①小组内的三个女生分别记为：、、，把在第⑤小组内的两个女生分别记为：、，从第①小组和第⑤小组总共5个女生中随机抽取2个女生进行“你对中考体育考试选项的看法”的问卷调查，求第①小组和第⑤小组都有1个女生被选中的概率．
【答案】（1）10，90°；（2）108人；（3）
【分析】
（1）由②的频数和所占百分比求出抽查人数，即可解决问题；
（2）由九年级女生共有人数乘以“一分钟仰卧起坐”成绩为优秀的人数所占的比例即可；
（3）画树状图，再由概率公式求解即可．
【详解】
解：（1）抽取的学生人数为：15÷37.5%=40（人），
∴m=40-3-15-10-2=10，
∴在扇形统计图中第③小组对应的扇形的圆心角度数为：360°×
=90°，
故答案为：10，90°；
（2）估算该校九年级女生“一分钟仰卧起坐”成绩为优秀的人数为：360×=108（人）；
（3）画树状图如图：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
共有20个等可能的结果，第①小组和第⑤小组都有1个女生被选中的结果有12个，
∴第①小组和第⑤小组都有1个女生被选中的概率为．
【点睛】
此题考查的是用列表法或树状
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)图法求概率与一次函数的性质．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．也考查了频数分布表和扇形统计图．
48．3月8日，是为庆祝妇女在经济、政治和社
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)会等领域做出的重要贡献和取得的巨大成就而设立的国际妇女节，某班召开了一次以魅力女性为主题的班会活动，班主任制作了编号为A、B、C、D的4张卡片（如图，除编号和内容外，其余完全相同），并将它们背面朝上洗匀后放在桌面上．
（1）张华从中随机抽取一张，抽到的卡片编号为A的概率为
．
（2）若张华从4张卡片中随机抽取1
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)张不放回，李明再从余下的3张卡片中随机抽取1张，然后根据抽取的卡片讲述卡片上女英雄的故事，请用列表法或树状图方法求张华、李明两个人中恰好有一人讲述“花木兰替父从军”的故事的概率．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】（1）；（2）树形图见解析，
【分析】
（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有12个等可能的结果，张华、李明两人中恰好有一人讲述“花木兰替父从军”的故事的有6个，再由概率公式求解即可．
【详解】
解：（1）张华从中随机抽取一张，抽到的卡片编号为A的概率为，
故答案为：；
（2）画树状图如图：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
共有12个等可能的结果，张华、李明两人中恰好有一人讲述“花木兰替父从军”的故事的结果有6个
∴张华、李明两人中恰好有一人讲述“花木兰替父从军”的故事的概率为．
【点睛】
本题主要考查的是用列表法或画树状图法求概率．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适用于两步完成是事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
49．中华文化源远流长，文学方面
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，《西游记》、《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》是我国古代长篇小说中的典型代表，被称为“四大古典名著”．某中学为了了解学生对四大古典名著的阅读情况，就“四大古典名著你读完了几部”的问题在全校学生中进行了抽样调查，根据调查结果绘制成如图尚不完整的统计图．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
请根据以上信息，解决下列问题：
（1）扇形统计图中“4部”所在扇形的圆心角为______度；
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）没有读过四大古典名著的两名学生准备从中各自随机选择一部来阅读，请用列表或画树状图的方法求他们]恰好选中同一名著的概率．
【答案】（1）72；（2）见解析；（3）
【分析】
（1）圆心角=某项所占的百分比；
（2）算出读2部的学生人数，补全统计图即可；
（3）将《西游记》、《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》分别用字母、、、表示，进行简化，画树状图可以得到一共有16种可能性，其中他们恰好选中同一名著的可能性有4种，即可得到概率．
【详解】
解：（1）本次调查的人数为：（人，
扇形统计图中“4部”所在扇形的圆心角为：，
（2）读2部的学生有：（人，
补全的条形统计图如下图所示；
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（3）《西游记》、《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》分别用字母、、、表示，
树状图如图所示：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
一共有16种可能性，其中他们恰好选中同一名著的可能性有4种，
故他们恰好选中同一名著的概率是
【点睛】
本题考查了圆心角的计算、条形统计图、树状图求概率等知识点．如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率．
50．“此生无悔入华夏，来
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)世再做中国人！”自疫情暴发以来，我国科研团队经过不懈努力，成功地研发出了多种“新冠”疫苗，并在全国范围内免费接种．截止2021年5月18日16：20，全球接种“新冠”疫苗的比例为18.29%；中国累计接种4.2亿剂，占全国人口的29.32%．以下是某地甲、乙两家医院5月份某天各年龄段接种疫苗人数的频数分布表和接种总人数的扇形统计图：
甲医院
乙医院
年龄段
频数
频率
频数
频率
18－29周岁
900
0.15
400
0.1
30－39周岁
a
0.25
1000
0.25
40－49周岁
2100
b
c
0.225
50－59周岁
1200
0.2
1200
0.3
60周岁以上
300
0.05
500
0.125
（1）根据上面图表信息，回答下列问题：
①填空：_________，_________，_________；
②在甲、乙两医院当天接种疫苗的所有人员中，40－49周岁年龄段人数在扇形统计图中所占圆心角为_________；
（2）若A、B、C三人都于当天随机到这两家医院接种疫苗，求这三人在同一家医院接种的概率．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】（1）①1500，0.35，6=900；②108°；（2）
【分析】
（1）①分别用甲、乙两医院18-29周岁的
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)年龄段的频数除以频率即可求出接种总人数，然后根据频数与频率的关系求出相应的值；②甲、乙两医院当天接种疫苗的所有人员中，40－49周岁年龄段人数与接种总人数的百分比乘以360°即可得到在扇形统计图中所占圆心角；
（2）画出树状图，得出所有等可能的结果数与三人在同一家医院接种的结果数，运用概率公式求解即可．
【详解】
解：（1）①900÷0.15=6000（人），400÷0.1=4000（人）
∴a=6000-900-2100-1200-300=1500
b=1-0.15-0.25-0.2-0.05=0.35
c=4000-400-1000-1200-500=900
故答案为：1500，0.35，6=900；
②360°
故答案为：108°；
（2）画树状图为：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∴所有等可能的结果共有8种情况，而同在一所医院接种的有2种结果数，
∴三人在同一家医院接种的概率．
【点睛】
此题考查了条形统计图，扇形统计图以
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)及概率的计算，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举．
51．即将举行的2022年杭州亚运会吉祥物“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
将三张正面分别印有以上3个吉祥物图案的卡片（卡片的形状、大小、质地都相同)背面朝上、洗匀．
(1)若从中任意抽取1张，抽得得卡片上的图案恰好为“莲莲”的概率是
．
(2)若先从中任意抽取1张，记录后放回，洗匀，再从中任意抽取1张，求两次抽取的卡片图案相同的概率．(请用树状图或列表的方法求解)
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）根据题意画出树状图得出所有等情况数，找出两次抽取的卡片图案相同的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【详解】
解：（1）∵有3张形状、大小、质地均相同的卡片，正面分别印有“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”，
∴从中随机抽取1张，抽得的卡片上的图案恰好为“莲莲”的概率为；
故答案为：；
（2）把“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”分别用字母A、B、C表示，画树状图如下：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
或列表为：
A
B
C
A
AA
AB
AC
B
BA
BB
BC
C
CA
CB
CC
由图(或表)可知：共有9种等可能的结果，其中抽到相同图案的有3种，
则两次抽取的卡片图案相同的概率是．
【点睛】
此题考查的是树状图法(或列表法)求概率．树
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．21·世纪
教育网
52．今年是建党100周年，回望“雄
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)关漫道真如铁”的过去，瞭望“乘风破浪会有时”的未来，党史学习教育是牢记初心使命、坚定理想信念、推进党的自我革命的必然要求．教育局党委对教育系统的教师党员个人学习形式开展了问卷调查（问卷调查表如图），并将调查结果绘制成如图的条形统计图和扇形统计图（均不完整）请根据统计图中提供的信息，解答下列问题：
“个人学习党史形式问卷调查”
党员同志你好！我市教育系统召开了党史学习教
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)育动员大会，请在表中选择一项你学习党史的形式（每人只能选择一种方式），在其空格内打“√”，非常感谢你的合作．
代码
形式
选择结果
A
阅读指定的党史学习用书并做讲座
B
记党史学习笔记
C
上党史学习网课并按时打卡
D
阅读“学习强国”APP上有关内容累计积分
E
整理有关网站学习资料并打印装订成册
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）本次参与调査的总人数是
人；扇形统计图中，扇形统计图D部分的圆心角是
度；
（2）若该市教育系统有6000名党员，如果对全市进行调査，请你估计选择学习形式C的人数为多少？
（3）教育局党委规定，选择
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)学习形式是A的党员要就规定书目中的两本内容进行讲座，并用随机抽取两本书的方式确定具体内容．工作人员将四本书分别编号为1，2，3，4，如图所示，将写有编号的卡片放在不透明的盒子中，王老师选择的学习形式是A，他从盒子中随机一次性抽出两张卡片，请用列表或画树状图的方法求他抽到两张卡片编号恰好是1和2的概率．21世纪教育网版权所有
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】（1）120
，54；（2）1500人；（3）．
【分析】
（1）用A类人数除以它所占的百分比即可得到调查的总人数，然后用360度乘以D类人数所占的百分比即可；
（2）用样本估计总体的思想求解，用6000乘以样本中C类人数所占的百分比即；
（3）根据题意列表表示出所有出现的等可能结果，然后根据概率的公式进行计算求解．
【详解】
解：（1）本次参与调查的总人数=24÷20%=120（人）；
扇形统计图D部分的圆心角是360°×=54°；
故答案为：120；54
（2），
6000×25%＝1500（人）．
答：选择学习形式C的人数约为1500人．
（3）列表如下：
1
2
3
4
1
——
（1，2）
（1，3）
（1，4）
2
（2，1）
——
（2，3）
（2，4）
3
（3，1）
（3，2）
——
（3，4）
4
（4，1）
（4，2）
（4，3）
——
由列表可以看出，总共有12种等可能结果，其中抽到两张卡片编号恰好是1和2的结果有2种，
∴P（抽到两张卡片编号恰好是1和2）．
【点睛】
本题考查的是条形统计图和扇形统
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)计图的综合运用以及列表法或树状图法求概率，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
53．已知一个布袋里装有3个红球、2个白球，这些球除颜色外其余都相同，把它们充分搅匀.
（1）“从中任意抽取1个球不是红球就是白球”是______事件，“从中任意抽取1个球是黑球”是____事件；（填：必然、随机、不可能）
（2）从中任意抽取1个球恰好是红球的概率是_____；
（3）甲、乙两名同学设计了一个游
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)戏，规则如下：从布袋中任取2个球，若两球同色，则甲获胜；若两球异色，则乙获胜.你认为这个游戏公平吗？请用列表法或画树状图法加以说明．
【答案】（1）必然，不可能；（2）；（3）这个游戏不公平．说明见解析．
【分析】
（1）根据“三类事件”的概念即可判别；
（2）利用概率的公式可求；
（3）列表，分别求出“两球同色”和“两球异色”的概率，然后进行比较即可判断游戏是否公平．
【详解】
（1）∵袋子中放有3个红球，2个白球，
∴当从袋子中随机抽取1个球时，抽取的结果不是红球，就是白球．
∴事件“从中任意抽取1个球，不是红球就是白球”是必然事件；
∵袋子中没有黑球，
∴事件“从中任意抽取1个球是黑球”是不可能事件．
故答案为：必然；不可能
（2）从中任意抽取1球，共有5种等可能的结果，其中是红球的有3种结果，
∴P（一红）=．
故答案为：
（3）列表如下：
红1
红2
红3
白1
白2
红1
×
红1红2
红1红3
红1白1
红1白2
红2
红2红1
×
红2红3
红2白1
红2白2
红3
红3红1
红3红2
×
红3白1
红3白2
白1
白1红1
白1红2
白1红3
×
白1白2
白2
白2红1
白2红2
白2红3
白2白1
×
由表格可知，共有20种等可能结果，，其中“两球同色”有8种结果，“两球异色”有12种结果．
∴P（两球同色）=，P（两球异色）=．
∴P（两球同色）P（两球异色）．
∴这个游戏不公平．
【点睛】
本题考查了三类事件的概念、列举法求概率、游戏的公平性等知识点，熟知列举法求概率是解题的关键．
54．不透明的袋子中装有2个红球、1个白球，这些球除颜色外无其他差别．
（1）从袋子中随机摸出1个球，放回并摇匀，再随机摸出1个球．求两次摸出的球都是红球的概率．
（2）从袋子中随机摸出1个球
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，如果是红球，不放回再随机换出1个球；如果是白球，放回并摇匀，再随机摸出1个球．两次摸出的球都是白球的概率是________．21
cnjy
com
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）根据题意画出树状图，然后由树状图得出所有等可能的结果数与两次摸出的球都是红球的结果数，再利用概率公式即可求得答案；
（2）方法同（1），注意第一次摸到白球要放回，其余颜色球不放回．
【详解】
解：（1）画树状图得，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∴共有9种等可能的结果数，两次摸出的球都是红球的结果数为4次，
∴两次摸出的球都是红球的概率为：；
（2）画树状图得，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∴共有7种等可能的结果数，两次摸出的球都是白球的结果数为1次，
∴两次摸出的球都是白球的概率为：；
故答案为：
【点睛】
此题考查了画树状图法求概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
55．疫苗接种初期，为更好地响应国家对
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)符合条件的人群接种新冠疫苗的号召，某市教育部门随机抽取了该市部分七、八、九年级教师，了解教师的疫苗接种情况，得到如下统计表：
已接种
未接种
合计
七年级
30
10
40
八年级
35
15
九年级
40
60
合计
105
150
（1）表中，______，______，______；
（2）由表中数据可知，统计的教师中接种率最高的是______年级教师；（填“七”或“八”或“九”）
（3）若该市初中七、八、九年级一共约有8000名教师，根据抽样结果估计未接种的教师约有______人；
（4）为更好地响应号召，立德中学
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)从最初接种的4名教师（其中七年级1名，八年级1名，九年级2名）中随机选取2名教师谈谈接种的感受，请用列表或画树状图的方法，求选中的两名教师恰好不在同一年级的概率．
【答案】（1），，；（2）七；（3）2400；（4）
【分析】
（1）根据八年级教师中已接种和未接种即可求得a，根据九年级已接种的及总人数可求得b，根据三个年级未接种的人数可求得总人数c；
（2）分别计算七、八、九年级教师中接种率即可求得结果；
（3）计算抽取的三个年级教师中未接种的百分比，把此百分比作为该市初中教师未接种的百分比，从而可求得该市未接种的教师的人数；
（4）七年级教师用A表示，八年级教师用表示，九年级教师用，表示,根据树状图或列表法，求得等可能的结果种数及恰好两位教师不在同一个年级的可能结果，即可求得概率．
【详解】
解：（1）；；
故答案为：50；20；45
（2）七年级教师的接种率为：
；
八年级教师的接种率为：
；
九年级教师的接种率为：
；
即七年级教师的接种率最高．
故答案为：七
（3）抽取的三个年级教师中未接种的百分比为：，（人）
故答案为：2400
（4）设七年级教师用表示，八年级教师用表示，九年级教师用，表示，根据题意：可画出树状图：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
或列表：
A
A
由上图（或上表）可知，共有12种等可能的结果，符合条件的结果有10种，故（两名教师不在同一年级）．21·cn·jy·com
说明：（4）问中用树状图法或列表法中一种即可．
【点睛】
本题考查了统计表，用样本估计总体，求简单事件的概率，是统计与概率知识的综合，关键是读懂统计表，从中获取有用的信息，用样本估计总体．【版权所有：21教育】
56．袋子中装有2个红球，1个黄球，它们
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)除颜色外其余都相同．小丽和小红做摸球游戏，约定游戏规则是：小丽先从袋中任意摸出1个球记下颜色后放回，小红再从袋中摸出1个球记下颜色后放回，如果两人摸到的球的颜色相同，小丽赢，否则小红赢．这个游戏规则对双方公平吗？请说明理由．
【答案】不公平，见解析
【分析】
先画出树状图，然后求出相应的概率，比较概率是否相等即可做出判断．
【详解】
解：这个游戏不公平，理由为：
根据题意，画出树状图如下：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
一共有9种等可能的结果，其中两人摸到的球的颜色相同的有5种结果，颜色不同的有4种结果，
∴P（小丽赢）=，P（小红赢）=，
∵≠，
∴这个游戏不公平．
【点睛】
本题考查游戏的公平性、画树状图或列表法求概率，解答的关键是得出相应的概率，概率相等游戏就公平，否则就不公平．【出处：21教育名师】
57．某电脑公司现有A，B两种型号的甲品牌电脑和C、D、E三种型号的乙品牌电脑．树人中学要从甲、乙两种品牌的电脑中各选购一种型号的电脑．
（1）若各种选购方案被选中的可能性相同，请用列表法或树状图法求C型号电脑被选中的概率；
（2）现知树人中学购买甲乙两种品牌
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)电脑共30台（价格如图所示），恰好用了10万元人民币，其中乙品牌电脑为C型号电脑，请直接写出购买的C型号电脑有多少台．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】（1）；（2）购买的C型号电脑有20台．
【分析】
（1）画出树状图，共有6种等可能的结果，其中C型号电脑被选中的结果有2种，再由概率公式求解即可；
（2）分别从选用方案AC、方案BC，由题意购买甲、乙两种品牌电脑共30台，恰好用了10万元人民币，列出方程组，解方程组，即可求得答案．
【详解】
解：（1）画树状图得：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
共有6种等可能的结果，其中C型号电脑被选中的结果有2种，
∴C型号电脑被选中的概率=2÷6＝；
（2）①选用方案AC时，
设购买C型号电脑x台，A型号电脑y台，
由题意得：，解得：（不合题意舍去）；
②选用方案BC时，
设购买C型号电脑a台，B型号电脑b台，
由题意得：，解得：
综上所述，购买的C型号电脑有20台．
【点睛】
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)以及二元一次方程组的应用．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
58．在中国共产党成立100周年之际，我市
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)某中学开展党史学习教育活动．为了了解学生学习情况，在七年级随机抽取部分学生进行测试，并依据成绩（百分制）绘制出以下两幅不完整的统计图.请根据图中信息回答下列问题：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）本次抽取调查的学生共有______人，扇形统计图中表示等级的扇形圆心角度数为_______．
（2）等级中有2名男生，2名女生.从中随机抽取2人参加学校组织的知识问答竞赛，请用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一男一女的概率．
【答案】（1）50，108°；（2）
【分析】
（1）用B等级的人数除以对应百分比，可得抽取的人数，再用C等级的人数所占比例乘以360°可得对应圆心角；
（2）画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出恰好抽到1个男生和1个女生的结果数，然后利用概率公式求解．
【详解】
解：（1）24÷48%=50人，
∴本次抽取调查的学生共有50人，
∵C等级的人数为15，
∴对应圆心角为=108°；
（2）画树状图如下：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
可知，所有等可能的结果有12?种，恰好抽到1名男生和1名女生的结果有8种，
∴恰好抽到一男一女的概率为=．
【点睛】
本题考查了条形统计图和扇形统计图综合，以及列表法或树状图法求概率，注意掌握条形统计图与扇形统计图各量的对应关系是解此题的关键．
59．某小区为了改善生态环境，促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为三类：厨余、可回收和其他，分别记为、、，并且设置了相应的垃圾箱，分别贴上“厨余垃圾”、“可回收物”和“其他垃圾”，分别记为，，．
（1）若将三类垃圾随机投入三类垃圾箱，请用画树状图或列表的方法求垃圾投放正确的概率；
（2）为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该小区三类垃圾箱中总共10吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）：
3
0.8
1.2
0.24
0.3
2.46
0.32
0.28
1.4
试估计“可回收垃圾”投放正确的概率．
（3）该小区所在城市每天大约产生500吨生活垃圾，根据以上信息，试估算其中“可回收垃圾”每天投放正确的有多少吨？
【答案】（1）；（2）；（3）15吨
【分析】
（1）画出树状图表示出所有可能的结果，并找出符合题意的结果，再利用概率公式计算即可．
（2）利用投放正确的“可回收垃圾”重量除以“可回收垃圾”总重量即可．
（3）先求出该小区所在城市每天大约产生生活垃圾中可回收垃圾的数量，再乘以“可回收垃圾”投放正确的概率即可．
【详解】
解：（1）树状图如图，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
由树状图可知垃圾投放共有9种等可能情况，其中正确的有3种为：，，，
故垃圾投放正确的概率为．
（2）“可回收垃圾”投放正确的概率为．
（3）（吨）．
【点睛】
本题考查利用列表或画树状图法求概率，简单的概率计算，由样本估计总体．正确的列出表格或画出树状图以及熟记概率公式是解答本题的关键．
60．防控新型冠状病毒肺炎疫情期间，某小区实行24小时封控管理后，根据疫情防控“志愿服务关爱行动”的相关要求，该市疫情防控指挥部发出通告，在全市范围内专项招募志愿者，主要在小区内为居民提供食品、药品代购、代送等服务．小明和小红报名参加了该项志愿者活动，指挥部将他们随机分配到三个不同的小区工作．
（1）求小明被分配到A小区的概率；
（2）求小明和小红被分到同一个小区的概率．（用画树状图法求概率）
【答案】（1）；（2）．
【详解】
解：（1）小明被分到每个小区的机会是均等的，
∴小明被分配到A小区的概率为．
（2）所有可能出现的情况如解图所示：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
共有9种等可能的结果，其中小明和小红被分到同一个小区的结果数有3种，
（小明和小红被分到同一个小区）．
61．阅读下列材料：
中国媒体最近在介绍中国的对外
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)关系时，频繁出现一个关键词——“高铁外交”．把东南亚和中亚国家等邻国作为推销高速铁路的对象，这已成为中国外交的一个重要课题．中国积极构建以本国为起点的高速铁路网，其目的在于促进煤炭和铁矿石等能源资源的进口，扩大对周边国家的影响．21教育网
2014年，我国高速铁路营
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)运里程已达1.6万千米；2015年，我国高速铁路营运里程已达1.9万千米；2016年，我国高速铁路营运里程已达2.2万千米；2017年，我国高速铁路营运里程已达2.5万千米；2018年，我国高速铁路营运里程已达3万千米；2019年，我国高速铁路营运里程达到了3.5万千米．
早在2017年底，我国高速铁路营运里程已稳居世界第一，分列世界第二至五名的国家为西班牙、德国、日本及法国．
——以上数据来自公开数据整理
（1）请你用折线统计图表示2014～2019年我国高速铁路营运里程的发展情况；
（2）预估2020年中国高速铁路运营里程为______万千米，你的预估理由是：______；
（3）谈一谈高铁给你的生活带来了哪些改变；
（4）寒假期间，家住太原的小
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)李和小王分别打算乘坐高铁去北京旅游，由于实际情况及到达北京后的安排，他们需要在上午8:00至9:00从太原出发，已知这一时间段内共有4趟列车出发，分别是：G606（08:02～10:54）、G630（08:24～11:22）、G92（08:33～11:00）、G684（08:41～11:41）（依次用A、B、C、D表示），求他们乘坐同一车次的概率．
【答案】（1）折线统计图见解析；（2）4，因为2017至2019年我国高速铁路运营里程平均每年增长0.5万千米；（答案不唯一，合理即可）；（3）①高铁让我的出行更加方便；②高铁带动了我所在地区的经济发展；（答案不唯一，合理即可）；（4）他们乘坐同一车次的概率为．
【详解】
（1）折线统计图如解图所示；
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
第1题解图
（2）4，因为2017至2019年我国高速铁路运营里程平均每年增长0.5万千米；（答案不唯一，合理即可）
（3）例：①高铁让我的出行更加方便；②高铁带动了我所在地区的经济发展；（答案不唯一，合理即可）
（4）列表如下：
小李小王
A
B
C
D
A
B
C
D
由表格可知共有16种等可能的情况，其中他们乘坐同一车次的情况有4种，
.
62．垫球是排球队常规训练
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)的重要项目之一．下列图表中的数据是甲、乙、丙三人每人十次垫球测试的成绩．测试规则为每次连续接球10个，每垫球到位1个记1分．已知运动员丙测试成绩的平均数和众数都是7．www-2-1-cnjy-com
（1）求的值；
（2）已知三人成绩的方差分别为，若在他们三人中选择一位垫球成绩优秀且较为稳定的接球能手作为自由人，你认为选谁更合适？请说明理由；
（3）甲、乙、丙三人相互之间进行垫球练习，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)每个人的球都等可能的传给其他两人，球最先从乙手中传出，用画树状图或列表法求球第二次回到乙手中的概率．
运动员丙测试成绩统计表
测试序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
成绩（分）
7
6
8
b
7
5
8
a
8
7
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】（1）；（2）选乙更合适，理由见解析；（3）．
【详解】
解：（1）由众数的意义可知，中至少有一个为7，且平均数是7，即，
；
（2）甲的平均数为：分，众数是6分，
乙的平均数为：分，众数为7分，
丙的平均数为：分，众数为7分，
从平均数上看，乙、丙的较高，从众数上看乙、丙较高，
且，
因此，综合考虑，选乙更合适；
（3）画树状图如解图所示：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
由树状图可知，共有4种等可能的情况，其中第二次回到乙手中的有2种，
（球第二次回到乙手中）．
63．某学校初二和初三两个年级各有600名同
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)学，为了科普卫生防疫知识，学校组织了一次在线知识竞赛，小宇分别从初二、初三两个年级随机抽取了40名同学的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
a．初二、初三年级学生知识竞赛成绩不完整的频数分布直方图如下（数据分成5组：A．
，B．
，C．
，D．
，E.
）：
初二、初三年级学生知识竞赛成绩条形统计图
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
b.初二年级学生知识竞赛成绩在这一组的数据如下：
80
80
81
83
83
84
84
85
86
87
88
89
89
c.初二、初三学生知识竞赛成绩的平均数、中位数、方差如下：
平均数
中位数
方差
初二年级
80.8
m
96.9
初三年级
80.6
86
153.3
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表格中________，补全上面的知识竞赛成绩条形统计图；
（2）甲同学看到上述的信息后，说自己的成绩能
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)在本年级排在前40%，乙同学看到甲同学的成绩后说：“很遗憾，你的成绩在我们年级进不了前50%”．请判断甲同学是________（填“初二”或“初三”）年级的学生，你判断的理由是______；
（3）若成绩在85分及以上为优秀，在初二年级学生知识竞赛成绩在这一组中成绩为优秀的学生中任选2人，求选中的2名学生成绩相同的概率．
【答案】（1）80.5，补全条形统计图见解析；（2）初二，初二年级学生成绩的中位数为80.5，初三年级学生成绩的中位数为86，若甲是初三年级学生，其成绩必定超过中位数86，又∵当甲的成绩高于86分时，与乙同学的话矛盾，∴甲同学是初二年级的学生；（3）P（选中的2名学生成绩相同）
．
【详解】
（1）80.5，补全条形统计图如解图；
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【解法提示】由题意知初二年级学生知识竞赛成绩的第20、21个数据为80、81，∴.
（2）初二，
理由：由表可知，初二年级学生成绩的中位数
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)为80.5，初三年级学生成绩的中位数为86，若甲是初三年级学生，其成绩必定超过中位数86，又∵当甲的成绩高于86分时，与乙同学的话矛盾，∴甲同学是初二年级的学生；
（3）列表如下：
85
86
87
88
89
89
85
（85，86）
（85，87）
（85，88）
（85，89）
（85，89）
86
（86，85）
（86，87）
（86，88）
（86，89）
（86，89）
87
（87，85）
（87，86）
（87，88）
（87，89）
（87，89）
88
（88，85）
（88，86）
（88，87）
（88，89）
（88，89）
89
（89，85）
（89，86）
（89，87）
（89，88）
（89，89）
89
（89，85）
（89，86）
（89，87）
（89，88）
（89，89）
由上表可知，共有30种等可能的结果，其中2名学生成绩相同有2种等可能的结果，∴P（选中的2名学生成绩相同）
.
64．戏曲是中国传统文化的重要
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)组成部分，凝聚着中国传统文化的美学思想精髓．“戏曲进校园”活动帮助广大中学生亲近戏曲精粹，激发学生对传统戏曲艺术的兴趣．某校为了解学生对戏曲知识的了解程度，在七、八年级开展了一次戏曲知识测试，并将成绩进行收集、整理与分析，具体过程如下：
收集数据
从七、八年级中各随机抽取20名学生，在这次测试中他们的成绩如下：
七年级
30
60
50
40
70
80
90
85
65
50
40
70
70
60
75
85
70
30
60
75
八年级
40
65
75
55
80
95
75
65
75
85
70
55
35
85
45
70
75
80
60
65
整理数据
成绩x人数年级
七年级
6
10
4
八年级
5
10
5
分析数据
两组样本数据的平均数，中位数，众数如下表：
年级
平均数
中位数
众数
七年级
62.75
67.5
70
八年级
67.5
72.5
75
得出结论
（1）若该校七年级共有300名学生，估计七年级学生测试成绩为优秀（优秀成绩为）的人数为________名；【来源：21cnj
y.co
m】
（2）可以推断出________年级的成绩较好，理由为________________________；（至少从两个角度说明判断的合理性）
（3）七年级学生成绩位于80≤
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)x≤100的四人中，两人来自七（1）班，其余两人分别来自七（2）、七（3）班，若从四人中随机选取两人参加即将举行的文艺汇演，请用列表法或画树状图法求所选取的两人均来自七（1）班的概率．
【答案】（1）60；
（2）八，八年级的平均分大于七年级，且中位数和众数大于七年级，故推断八年级的成绩较好；（答案不唯一，合理即可）；（3）P（两人均来自七（1）班）
．
【详解】
（1）60；
【解法提示】抽取的七年级20名学生中，成绩为优秀的有4名，所占百分比为，∴估计七年级学生测试成绩为优秀的人数为（名）．
（2）八，八年级的平均分大于七年级，且中位数和众数大于七年级，故推断八年级的成绩较好；（答案不唯一，合理即可）
（3）将七（1）班两人编号为A1，A2，其余两人编号为B，C，列表如下：
B
C
B
C
由列表可知共有12种等可能的结果，其中两人均来自七（1）班的结果有2种，
∴P（两人均来自七（1）班）
.
65．为全面落实健康中国行动中规定的学生每
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)天校内一小时、校外一小时体育活动时间，现以该校某班同学一周运动的时间情况为样本，对其运动时长进行调查统计，整理并绘制了如图所示的统计图（A表示“6小时及以下”，B表示“7－9小时”，C表示“10－12小时”，D表示“13－15小时”，E表示“16小时及以上”）．
（1）在扇形统计图中，“10－12小时”所对的圆心角度数为________°，并把条形统计图补充完整；
（2）统计结束后，班主任决定奖励一周运动时长前25%的同学，某同学的运动时长为11．5个小时，请问他可以获得奖励吗，并说明理由；【来源：21·世纪·教育·网】
（3）近期学校将举办运动
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)会，班主任打算在一周运动时长为16小时及以上的同学中选取一名男生和一名女生参加比赛，已知运动时长为16小时及以上的学生中只有1名女生，请用列表或画树状图的方法求恰好选中一名男生和一名女生的概率．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】（1）108，见解析；（2）不能，见解析；（3）树状图见解析，
【详解】
解：（1）108，补全条形统计图如解图①；
【解法提示】调查的总人数
（人），“10-12小时”所对的圆心角度数，E组的人数（人）．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
图①
（2）不能．
理由如下：因为名，由统计图可知运动时长在“13-15小时”和“16小时及以上”的范围共有名，而该同学的运动时长为11．5个小时，属于“10-12小时”范围，所以他不能获得奖励；
（3）由于16小时及以上的同学只有1名女生，则共有名男生，（女生用F表示，男生分别用G、M、N表示），画树状图如解图②，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
图②
由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中恰好选中一名男生和一名女生的结果有6种，
∴P（恰好选中一名男生和一名女生）．
66．某校举办的“树德之声”演讲比赛结束后，王老师和李老师整理了所有参赛选手的比赛成绩（单位：分），并将成绩（记成绩为x）分为A．，B．，C．，D．四组，绘制成如图所示的频数分布直方图和扇形统计图：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）本次比赛参赛选手共有________人，扇形统计图中C组占参赛总人数的百分比为________；
（2）若某参赛选手的成绩为80分，该选手参赛前给自己定的目标为成绩位于中等偏上水平，试判断该选手是否达到参赛前所定的目标；2·1·c·n·j·y
（3）成绩在D区域的选手中，男生比女生多一人，从中随机抽取两人，求恰好选中一名男生和一名女生的概率．
【答案】（1）36，25%；（2）未达到所定目标；（3）
【详解】
解：（1）36，25%；
【解法提示】本次比赛参赛选手总人数是（人），.
（2）由（1）得，本次参赛的选手共有36人，
故中位数为将这组数据按照从小到大的顺序排列后第18、19个数的平均数，
由题意可知，从小到大排第18、19个数均位于，
∴中位数大于80分，
∴该选手未达到所定目标；
（3）∵D区域的选手共有5人，其中男生比女生多一人，
∴男生有3人，女生有2人，
画树状图如解图：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
由树状图可知，共有20种等可能的结果，其中选中一名男生和一名女生的有12种结果，
∴P（恰好选中一名男生和一名女生）
.
67．为弘扬中华民族传统文化，某校举
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)办了“最美诗文大赛”活动，从中随机抽取部分学生的比赛成绩，根据成绩（成绩都高于50分），绘制了如下的统计图表（不完整）：
组别
分数
人数
第1组
16
第2组
a
第3组
20
第4组
b
第5组
6
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）此次随机抽取的学生人数是______，a=____，b=______；
（2）计算扇形统计图中“第5组”所在扇形圆心角的度数；
（3）已知成绩前4名是3名女生和1名男生，若从他们中任选2人参加市举办的诗文比赛，试求恰好选中一男一女的概率．
【答案】（1）80，24，14；（2）27°；（3）．
【详解】
解：（1）80，24，14；
【解法提示】抽取学生人数为
（人），第2组人数为（人），第4组人数为（人），∴，．
（2）
，
∴“第5组”所在扇形圆心角的度数为27°；
（3）画树状图如解图：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
第21题解图
由树状图知，共有12种等可能的情况，其中恰好选中一男一女的结果共有6种，∴P（恰好选中一男一女）
．
68．央行推出数字货币，支付方式即将变革
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，调查结果晶示，目前支付方式有：A微信、B支付宝、Ｃ现金、D其他，调查组对某超市一天内购买者的支付方式进行调查统计，根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图：
请你根据统计图提供的信息，解答下列问题：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）本次一共调查了多少名购买者？
（2）请补全条形统计图；
（3）在扇形统计图中，C种支付方式所对应的圆心角为______度；
（4）在一次购物中，小明
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)利小亮都想从“微信”、“支付宝”、“现金”三种付款方式中选一种方式进行付款，请用树状图或列表法求出两人恰好选择同一种付款方式的概率．
【答案】（1）200名；（2）作图见解析；（3）79.2；（4）．
【分析】
（1）根据C的人数和所占的百分比可以求得本次调查的购买者的人数；
（2）根据统计图中的数据可以求得选择A和D的人数，从而可以将条形统计图补充完整；
（3）用360°乘以C种支付方式所占的百分比即可得出在扇形统计图中C种支付方式所对应的圆心角的度数；
（4）根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出符合题意的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【详解】
解：（1）44÷22%=200（名）
答：本次一共调查了200名购买者．
（2）A种支付方式的有：200×30%=60人，
D种支付方式的有：200-56-44-60=40人
补全统计图如图所示：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（3）C种支付方式所对应的圆心角为360°×22%=79.2°
故答案为：79.2；
（4）由题意可得：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
一共产生了9种等可能的结果，
其中两人恰好选择同一种付款方式的结果有3种，
所以两人恰好选择同一种付款方式的概率为．
【点睛】
本题考查扇形统计图、条形统计图以及用列树状图法求概率，明确题意，灵活运用相关数据解题是关键．
69．如图，程序员在数轴上设计了两个质点，它们分别位于和9的位置，现两点按照下述规则进行移动：
每次移动的规则：分别掷两次正方体骰子，观察向上面的点数：
①若两次向上面的点数均为偶数，则A点向右移动1个单位，B点向左移2个单位；
②若两次向上面的点数均为奇数，则A点向左移动2个单位，B点向左移动5个单位；
③若两次向上面的点数为一奇一偶，则A点向右移动5个单位，B点向右移2个单位．
（1）经过第一次移动，求B点移动到4的概率；
（2）从如图所示的位置开始
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，在完成的12次移动中，发现正方体骰子向上面的点数均为偶数或奇数，设正方体骰子向上面的点数均为偶数的次数为a，若A点最终的位置对应的数为b，请用含a的代数式表示b，并求当A点落在原点时，求此时B点表示的数；
（3）从如图所示的位置开始，经过x次移动后，若，求x的值．
【答案】（1）；（2）-21；（3）或．
【详解】
解：（1）经过第一次移动，当两次向上面的点数均为奇数，B点向右移动5个单位，移动到4．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
由树状图可知共有4种等可能情总，其中B点移动到4只有一种情况．
（B点移动到4）；
（2），
由于，解得，
点表示的数为；
（3）由题意可得，每次移动后，的长度减小3，
或，
解得或．
70．随着人们生活水平的
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)提高，鲜花进入很多家庭，某花店为了解市民对鲜花的喜爱情况，对部分市民开展了“你喜欢的鲜花”抽样调查（每人只选一项），根据收集的数据绘制了下列两幅不完整的统计表和统计图，根据要求回答下列问题：
鲜花品种
频数（人数）
百合
54
玫瑰
m
康乃馨
36
其他
n
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）本次共调查了________名市民；
（2）统计表中________，
________；
（3）“康乃馨”在扇形统计图中所对应的圆心角的度数为________；
（4）花店要从百合（记为A）、玫瑰（记为
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)B）、康乃馨（记为C）三种鲜花中随机抽取两种组成花束，请用列表或画树状图的方法求出恰好由“A”和“C”组成花束的概率．
【答案】（1）180；（2）63，27；（3）72°；（4）
【详解】
解：（1）180；
【解法提示】（名）．
（2）63，27；
【解法提示】喜欢玫瑰的人数是
（名），喜欢其他鲜花的人数是（名）．
（3）72°；
【解法提示】“康乃馨”在扇形统计图中所对应的圆心角的度数为．
（4）画树状图如解图：
由树状图可知，共有6种等可能的结果，其中恰好由“A”和“C”组成花束的结果有2种，
∴P（恰好由“A”和“C”组成花束）．
71．某中学全校师生听取了“禁毒”宣传报
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)告后，对禁毒人员肃然起敬．学校德育处随后决定在全校1000名学生中开展“我为禁毒献爱心”的捐款活动．张老师在周五随机调查了部分学生随身携带零花钱的情况，并将收集的数据进行整理，绘制了如图所示的条形统计图．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）求这组数据的平均数和众数；
（2）经调查，当学生身上的零花钱多于15元时，都到出零花钱的20%，其余学生不参加捐款．请你估计周五这一天该校可能收到学生自愿捐款多少元？
（3）捐款最多的两人将和另一个
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)学校选出的两人组成一个“禁毒”知识宣讲小组，若从4人中随机指定两人担任正、副组长，求这两人来自不同学校的概率．
【答案】（1）平均数为20.5；众数为20；（2）3150元；（3）
【分析】
（1）根据众数和平均数的定义求解；
（2）由图可知零花钱多于15元的学生有12人，可算出12人的零花钱平均数再计算这12人的捐款额，即可计算1000人的捐款额；
（3）设捐款最多的两名学生分别为、，另一个学校的两名学生分别为、，列表后利用概率公式求解可得．
【详解】
解：（1）平均数：，
众数：根据图可知有6人零花钱是20，故众数为20
故答案为：20.5；20
（2）由图可知零花钱多于15元的学生有12人，则这12人的零花钱平均数为：
∴周五这一天该校收到捐款数约为：（元）．
（3）设捐款最多的两名学生分别为、，另一个学校的两名学
