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第01讲
成比例线段
【基础训练】
一、单选题
1．已知，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
根据比例的性质：内项之积等于外项之积，可得答案．
【详解】
解：A、由比例的性质得，与不一致，故A不符合题意；
B、由比例的性质得，与不一致，故B不符合题意；
C、由比例的性质得，与不一致，故C不符合题意；
D、由比例的性质得，与一致，故D符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查了比例的性质，解题的关键是：利用比例的性质解答．
2．生活中到处可见黄金分割的美．如图，在
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)设计人体雕像时，使雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近0.618，可以增加视觉美感．若图中b为2米，则a约为（
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A．1.12米
B．1.24米
C．1.42米
D．1.62米
【答案】B
【分析】
根据黄金分割的定义即可列出，即可选择．
【详解】
根据题意可知，且，
∴米．
故选B．
【点睛】
本题考查了黄金分割比的定义，根据题中所给信息即可求解，本题属于基础题．
3．若，则下列比例式成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
根据两内项之积等于两外项之积对各选项分析判断即可得解．
【详解】
解：A、由得，2x=3y，故本选项不符合题意；
B、由得，3x=2y，故本选项符合题意；
C、由得，2x=3y，故本选项不符合题意；
D、由得，xy=6，故本选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】
本题考查了比例的性质，主要利用了两内项之积等于两外项之积，熟记性质是解题的关键．
4．如果，那么的值是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
由比例的性质进行计算，即可得到答案．
【详解】
解：∵，
∴；
故选：D．
【点睛】
本题考查了比例的性质，解题的关键是掌握比例的性质进行计算．
5．已知，把这个等积式改成比例式后，错误的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
依据比例的基本性质：两外项之积等于两内项之积，即可判断．
【详解】
解：A、由可得ab=cd，故正确，不符合题意；
B、由可得ab=cd，故正确，不符合题意；
C、由可得bc=ad，故错误，符合题意；
D、由可得ab=cd，故正确，不符合题意；
故选C．
【点睛】
此题主要考查比例的性质，熟练掌握比例的基本性质是解题的关键．
6．如图，，直线a，b与分别相交于A，B，C和D，E，F．若，则的长为（
）
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A．10
B．
C．12
D．14
【答案】D
【分析】
根据平行线分线段成比例的基本事实，建立比值关系求解即可．
【详解】
解：∵，且
∴
∴
∴
故答案选：D
【点睛】
本题主要考查了平行线分线段成比例的基本事实，熟练掌握比值关系是解题的关键．
7．下列各组数中，能成比例的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
根据比例线段的定义对各选项进行判断．
【详解】
解：A、3×10=5×6，故A选项符合题意；
B、3×9≠6×8，故B选项不符合题意；
C、3×9≠6×7，故C选项不符合题意；
D、3×6≠4×5，故D选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】
本题考查了比例线段：对于四条线段
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如?
a：b=c：d（即ad=bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．
8．已知，则代数式的值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
根据条件，用b表示a，再代入求解，即可．
【详解】
∵，
∴，
∴==，
故选D．
【点睛】
本题主要考查比例的性质和分式的求值，根据条件，用b表示a是解题的关键．
9．已知，则的值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
根据比例设a＝2k，则b＝3k(k≠0)，然后代入比例式进行计算即可得解．
【详解】
解：∵，
∴设a＝2k，则b＝3k(k≠0)，
∴，
故选：A．
【点睛】
本题考查了比例的性质．利用“设k法”求解更简便．
10．下列四组线段中，不是成比例线段的是（
）
A．a=3，b=6，c=2，d=4
B．a=1，b=，c=，d=2
C．a=4，b=6，c=5，d=10
D．a=2，b=，c=2，d=
【答案】C
【分析】
根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案．
【详解】
解：A、3×4=6×2，是成比例线段，故本选项不符合题意；
B、，是成比例线段，故本选项不符合题意；
C、4×10≠6×5，不是成比例线段，故本选项符合题意；
D、，是成比例线段，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】
此题考查了比例线段，根据成比例线段的概念，注意在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等．同时注意单位要统一．www.21-cn-jy.com
11．以下列长度（同一单位）为长的四条线段中，成比例的是（
）
A．1，2，3，4
B．2，10，15，5
C．2，4，8，16
D．2，12，12，4
【答案】C
【分析】
根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案．
【详解】
解：A、1×4≠2×3，故四条线段不成比例；
B、2×15≠5×10，故四条线段不成比例；
C、2×16=4×8，故四条线段成比例；
D、2×12≠4×12，故四条线段不成比例．
故选：C．
【点睛】
此题考查了比例线段，理解成比例线段的概念，注意在线段两两相乘的时候，要让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等进行判断．21·cn·jy·com
12．下列各组线段的长度中，不是成比例线段的是（
）
A．，，，
B．，，，
C．，，，
D．，，，
【答案】C
【分析】
根据比例线段的定义分别计算即可得到正确答案
【详解】
A选项：，所以是成比例线段，不符合题意，故A错误；
B选项：，所以是成比例线段，不符合题意，故B错误；
C选项：，所以不是成比例线段，符合题意，故C正确；
D选项：，所以是成比例线段，不符合题意，故D错误．
故选C．
【点睛】
本题考查比例线段的定义，掌握定义并正确计算是解决此题的关键
13．已知，则下列结论一定成立的是（
）
A．，
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
根据比例的基本性质以及合比性质进行判断，即可得出结论．
【详解】
解：A．由，不能得到x＝3，y＝4，故本选项错误；
B．由，不能得到y﹣x＝1，故本选项错误；
C．由，可得4x＝3y；由，可得xy＝12，故本选项错误；
D．由，可得，即，故本选项正确．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了比例的性质．利用“两内项之积等于两外项之积”是解题的关键．
14．已知，且，下列等式成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
直接利用比例的性质以及等式的性质将各选项化简进而得出答案．
【详解】
解：A、∵，∴，故不成立，不合题意；
B、∵，∴，∴，故不成立，不合题意；
C、∵，∴，故成立，符合题意；
D、∵，∴，∴，故不成立，不合题意；
故选C．
【点睛】
此题主要考查了比例的性质，正确将原式变形是解题关键．
15．如图所示，若点C是的黄金分割点，，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
根据黄金分割点的定义，当AC是较长线段时，AC=AB，代入数据即可得出AC的长度．
【详解】
解：∵线段AB=2，点C是AB的黄金分割点，且AC＞BC，
∴AC=AB=×2=，
故选：C．
【点睛】
本题考查了黄金分割点的概念，熟记黄金分割的比值是解题的关键．
16．在一幅比例尺是1：5000000的地图上，量得上海到杭州的距离是3.4cm．那么上海到杭州的实际距离是（ ）2·1·c·n·j·y
A．17km
B．34km
C．170km
D．340km
【答案】C
【分析】
要求3.4厘米表示的实际距离是多少千米，根据“图上距离÷比例尺＝实际距离”，代入数值计算即可求解．
【详解】
解：（厘米），
17000000厘米＝170千米，
答：上海到杭州的实际距离是170千米，
故选：C．
【点睛】
本题考查比例尺—比例线段，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
17．已知，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
根据比例的性质，可得答案．
【详解】
解：由比例的性质，得
，
故选：B．
【点睛】
本题考查了比例的性质，利用等比性质是解题关键．
18．若，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
先将化简成含有的代数式，然后再代入数值求值．
【详解】
解：；
．
故选：C．
【点睛】
本题考查了比例的性质，解答此类问题时要先化简，然后再整体代入进行求值计算．
19．若，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
根据比例的性质用a表示出b，然后代入比例式进行计算即可得解．
【详解】
解：∵，
∴，
∴==，
故选：A．
【点睛】
本题考查了比例的性质，熟记性质用a表示出b是解题的关键．
20．已知，则下列各式中不正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
将已知条件变形后代入四个选项，验证是否正确即可．
【详解】
解：∵，
∴，
∴，
A、，故正确，不符合题意；
B、，故错误，符合题意；
C、，故正确，不符合题意；
D、，故正确，不符合题意；
故选B．
【点睛】
本题主要考查了比例的性质，解题时注意：内项之积等于外项之积．
21．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此．若小凡的身高满足此黄金分割比例，且肚脐至足底的长度为，则小凡的身高约为（
）www-2-1-cnjy-com
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
根据黄金分割比可得头顶至肚脐的长度为，然后问题可进行求解．
【详解】
解：由题意得：
头顶至肚脐的长度为，
∴，
∴小凡的身高约为；
故选C．
【点睛】
本题主要考查黄金分割比，熟练掌握黄金分割比是解题的关键．
22．太原市轨道交通2号线一期于2020年12月26日1200开通初期运营，从此山西驶入地铁时代全线23个站厅的设计，有机融合了“晋阳古八景”、“锦绣太原城”等文化元素，打造成一条亮丽的“地下艺术走廊”．在一幅比例尺为的设计图纸上，测得地铁线路全长约，则地铁线路的实际长度约为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
由比例尺的定义：图上距离与实际距离的比叫做比例尺建立等量关系，解这个一元一次方程就可以求出实际距离．21
cnjy
com
【详解】
解：设地铁线路的实际长度约为是x厘米，由题意，得
1：200000=11.8：x，
解得：x=2360000，
2360000厘米=23.6km．
故选：C．
【点睛】
本题考查了比例尺的意义的运用，比例线段，一元一次方程的解法，注意单位之间的换算．
23．已知C是AB的黄金分割点，若，则AC的长为（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
根据黄金比值求出较长线段BC，即可得出答案．
【详解】
解：点是线段的黄金分割点，且，
，
，
故选：B．
【点睛】
本题考查的是黄金分割，把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割．【来源：21cnj
y.co
m】
24．若9x＝5y，则＝（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
直接利用已知变形进而得出答案．
【详解】
解：∵9x＝5y，
∴．
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了比例的性质，正确将已知变形是解题关键．
25．若线段c满足，且线段a4
cm，b9
cm，则线段c（
）
A．6
cm
B．7
cm
C．8
cm
D．9
cm
【答案】A
【分析】
把a4cm，b9cm代入计算即可．
【详解】
解：把a4，b9代入，得
，
∴c2=36，
∴c=6cm（负值舍去），
故选A．
【点睛】
本题考查了比例的基本性质，如果a∶b=c∶d或，那么ad=bc，即比例的内项之积与外项之积相等；反之，如果ad=bc，那么a∶b=c∶d或（bd≠0）．【版权所有：21教育】
26．已知，则的值是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
根据题意可得，然后代入求解即可．
【详解】
解：∵，
∴，
∴；
故选D．
【点睛】
本题主要考查比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
27．若a：b＝2：3，则下列各式中正确的式子是（ ）
A．2a＝3b
B．3a＝2b
C．
D．
【答案】B
【分析】
根据比例的性质，对选项一一分析，选择正确答案．
【详解】
解：A、2a＝3b?a：b＝3：2，故选项不符合题意；
B、3a＝2b?a：b＝2：3，故选项符合题意；
C、?b：a＝2：3，故选项不符合题意；
D、?a：b＝4：3，故选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】
本题考查比例化积问题，掌握比例的性质是解题关键．
28．已知线段，点P是线段的黄金分割点（），则线段的长为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
根据黄金分割点的定义和AP＞BP得出AP=AB，代入数据即可得出AP的长度．
【详解】
解：由于P为线段AB＝2的黄金分割点，
且AP＞BP，
则AP＝×2＝﹣1．
故选：B．
【点睛】
本题考查了黄金分割．应该识记黄金分割的公式：较短的线段=原线段的，较长的线段=原线段的．
29．如图，已知点C是线段AB的黄金分割点（其中AC＞BC），则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．AB2＝AC2+BC2
D．BC2＝AC?BA
【答案】A
【分析】
根据黄金分割的定义得出，从而判断各选项．
【详解】
解：∵点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，
∴，
∴选项A符合题意，
，
∴选项D不符合题意；
∵，
∴选项B不符合题意；
∵，
∴选项C不符合题意；
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题关键．
30．已知线段a﹦4cm，线段b﹦7cm，则a﹕b的值是（
）．
A．1﹕4
B．1﹕7
C．4﹕7
D．7﹕4
【答案】C
【分析】
根据线段比定义求即可．
【详解】
解：∵线段a﹦4cm，线段b﹦7cm，
∴a﹕b=4cm：7cm=4：7．
故选择：C．
【点睛】
本题考查线段的比，掌握线段的比的方法是解题关键．
二、填空题
31．已知，则________
【答案】
【分析】
设，再将分别用的代数式表示，再代入约去即可求解．
【详解】
解：设，
则，
故，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了比例的性质，正确用同一字母表示各数是解决此类题的关键．
32．已知：，则＝___．
【答案】
【分析】
设，则a=2k，b=3k，代入分式即可求解．
【详解】
解：设，则a=2k，b=3k，
∴则．
故答案为：
【点睛】
本题考查了比例的性质，分式的化简求值，已知几个量的比值时，常用的解法是：设一个未知数，把题目中的几个量用所设的未知数表示出来，然后消元．21·世纪
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33．已知线段，，若线段c是线段a，b的比例中项，则线段c的长度等于______．
【答案】
【分析】
根据比例中项的定义，列出比例式即可得出中项，注意线段不能为负．
【详解】
解：根据比例中项的概念结合比例的基本性质，得比例中项的平方等于两条线段的乘积．
即c2=ab，则c2=4×8，
解得c=±，（线段是正数，负值舍去）．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了比例线段，理解比例中项的概念，这里注意线段不能是负数．
34．在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感按此比例，如果雕像的高为3m，那么它的下部应设计为多高？设它的下部设计高度为m，根据题意，可列方程为__________．21
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【答案】或
【分析】
设雕像的下部高为x
m，则上部长为（2-x）m，然后根据题意列出方程即可．
【详解】
解：设雕像的下部高为x
m，则上部长为（3-x）m，
由题意得：，
即，
故答案为：或．
【点睛】
本题考查了线段的比，解题的关键在于读懂题目信息并列出方程．
35．若，则的值是________．
【答案】
【分析】
根据比例的性质，可用x表示y，根据分式的性质，可得答案．
【详解】
解：由比例的性质，得y=3x．
，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了比例的性质，利用比例的性质得出y=3x是解题关键．
三、解答题
36．（1）已知，求的值．
（2）已知线段，求线段a，b的比例中项．
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）根据比例的基本性质求解即可；
（2）根据比例中项的定义得到结果，注意负值舍去．
【详解】
解：（1）∵，
∴，
∴，
∴；
（2）∵线段，
∴，
∴线段a，b的比例中项为（负值舍去）
．
【点睛】
本题主要考查比例线段，熟练掌握线段的比例中项的定义是解题的关键．
37．已知，且，求的值．
【答案】5
【分析】
设a=2k，b=3k，c=4k，代入a+3b-2c=15，即可求出k的值，进而得出a、b、c的值，再把它们的值代入所求式子计算即可．2-1-c-n-j-y
【详解】
解：由题意设a=2k，b=3k，c=4k，
∵a+3b-2c=15，
∴2k+9k-8k=15，
∴k=5，
∴a=10，b=15，c=20，
∴a+b-c
=10+15-20
=5．
【点睛】
本题考查了比例的性质的应用，利用“设k法”求解更简便．
38．（1）已知，求的值．
（2）已知，求的值．
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）由，设x=3k，y=2k，代入计算；
（2）将原式中的a和c用b表示，代入化简即可．
【详解】
解：（1）∵，设x=3k，y=2k，
∴；
（2）∵，
∴，
∴．
【点睛】
本题考查了比例的性质，解题的关键是正确地对已知条件变形．
39．如图所示，以长为2的定线段为边作正方形，取的中点P，连接，在的延长线上取点F，使，以为边作正方形，点M在上．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）求的长；
（2）点M是的黄金分割点吗？为什么？
【答案】（1）=，=；（2）是，理由见解析
【分析】
（1）要求的长，只需求得的长，又，，则，；
（2）根据（1）中的数据得：，根据黄金分割点的概念，则点是的黄金分割点．
【详解】
解：（1）在中，，，由勾股定理知，
，
．
故的长为，的长为；
（2）点是的黄金分割点．
由于，
点是的黄金分割点．
【点睛】
此题综合考查了正方形的性质、勾股定理和
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)黄金分割的概念．先求得线段AM，DM的长，然后求得线段AM和AD，DM和AM之间的比，根据黄金分割的概念进行判断．
40．已知，求下列式子的值：（1）（2）
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）由题意可知，，将代入式子中，进行合并同类项，再把分子分母同时约去b即可；
（2）我们同样将代入式子中，合并同类项，分子分母同时除以b即可．
【详解】
由题意得：，即．
（1）将代入：
原式
（2）将代入：
原式
【点睛】
本题主要考查了分式的基本性质，同时结合消元的思想，将两个未知数化为一个，再利用分式的基本性质进行化简．
41．已知线段a，用尺规作图法把它分成的两条线段，要求写出作法．
【答案】见详解
【分析】
如图，设线段AB=a，在线段AB上求作一
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)点C，使得AC∶CB=3∶4，作法如下：1、过点A画射线AM；2、以点A为圆心，以任意长AD为半径画弧，在射线AM上依次截取AF=3AD，FE=4AD；3、连接BE，再过点F作FC∥BE，交AB于点C．【来源：21·世纪·教育·网】
【详解】
解：如图，设线段AB=a，在线段AB上求作一点C，使得AC∶CB=3∶4，作法如下：
1、过点A画射线AM，
2、以点A为圆心，以任意长AD为半径画弧，在射线AM上依次截取AF=3AD，FE=4AD；
3、连接BE，以点E为圆心，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)AD长为半径画弧，交AM于一点H，EB于一点G，再以点F为圆心，AD长为半径画弧，交AM于点K，然后以点K为圆心，HG为半径画弧，交于一点，连接点F与这一点，交AB于点C，则FC∥BE；
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∴点C即为所求，即AC∶CB=3∶4．
【点睛】
本题主要考查比例线段，熟练掌握平行线所截线段成比例是解题的关键．
42．（1）已知三条线段a、b、c，其中，c是a、b的比例中项，求线段c的长度；
（2）已知，求的值．
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）由c是a、b的比例中项，根据比例中项的定义，列出比例式即可得出线段c的长，注意线段不能为负；
（2）设a=4k，b=7k，代入计算即可．
【详解】
解：（1）∵c是a、b的比例中项，
∴c2=ab=3×2，
解得：c=±（线段是正数，负值舍去）．
则c=；
（2）∵7a=4b，
∴设a=4k，b=7k，
∴==．
【点睛】
此题考查了比例线段和比例的性质，理解比例中项的概念，这里注意线段不能是负数．
43．已知，求的值．
【答案】．
【分析】
可以设，则，，，把这三个式子代入所要求的式子，进行化简，即可求出式子的值．
【详解】
设，
则，，，代入可得，
．
【点睛】
利用这个题目中的设法，把三个未知数的问题转化为一个未知数的问题，是解题的关键．
44．若，且，求的值．
【答案】28
【分析】
根据比例的性质，可设比值为k，用k表示出a、b、c，然后代入等式求出k，从而得到a、b、c，再代入代数式进行计算即可得解．
【详解】
解：设
，
∴．
∵，
∴，
解得．
∴
∴．
【点睛】
本题考查了比例的性质，掌握比例的性质并利用“设k法”表示出a、b、c进行求解是解题的关键．
45．如图，是五角星中线段的黄金分割点．
（1）写出一个与相等的线段比；
（2）若的长为，求的长．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）由黄金分割点的定义即可得出答案；
（2）设，则，由黄金分割的定义代入数值即可求出的长．
【详解】
解：（1）∵是五角星中线段的黄金分割点，
∴；
（2）设，则，
∵是五角星中线段的黄金分割点，
∴，
∴，
解得：，（不符合题意，舍去），
∴，
∴的长为：．
【点评】
本题考查了黄金分割点的定义，熟记黄金分割的定义是解题的关键．
46．如图，以矩形ABC
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)D的宽为边作正方形AEFD，若矩形EBCF的宽与长的比值等于矩形ABCD的宽与长的比值，则将矩形ABCD称为“黄金矩形”．若AD＝2，求BE的长．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】
【分析】
由正方形的性质得AE＝AD＝2，由“黄金矩形”的定义求出AB得长，即可得出BE的长．
【详解】
解：∵四边形AEFD是正方形，
∴AE＝AD＝2，
∵矩形ABCD为黄金矩形，
∴ADAB，
即2AB，
解得：AB1，
∴BE＝AB﹣AE1﹣21．
【点评】
本题考查的是黄金分割、矩形的性质，掌握黄金比值为是解题的关键．
47．已知线段a、b、c满足a：b：c＝3：2：6，且a+2b+c＝26．
（1）求a、b、c的值；
（2）若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值．
【答案】（1）a＝6，b＝4，c＝12；（2）x的值为．
【分析】
（1）设比值为k，然后用k表示出a、b、c，再代入等式求解得到k，然后求解即可；
（2）根据比例中项的定义列式求解即可．
【详解】
解：（1）∵a：b：c＝3：2：6，
∴设a＝3k，b＝2k，c＝6k，
又∵a+2b+c＝26，
∴3k+2×2k+6k＝26，解得k＝2，
∴a＝6，b＝4，c＝12；
（2）∵x是a、b的比例中项，
∴x2＝ab，
∴x2＝4×6，
，
∴或（舍去），
即x的值为．
【点睛】
本题考查比例与比例中项问题，掌握比例性质以及比例中项定义，如果a、b、c三个量成连比例即a:b=b:c，b叫做a和c的比例中项．
48．已知，且2x+y+3z≠0，求的值．
【答案】-
【分析】
根据已知条件得出x＝y，z＝y，再代入要求的式子进行计算即可得出答案．
【详解】
解：∵，
∴x＝y，z＝y，
∴＝．
【点睛】
本题主要考查比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
49．如图，，，，．求的长．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】6
【分析】
根据平行线截线段成比例进行计算．
【详解】
解：，
，即，
，
．
【点睛】
本题考查成比例线段，比较基础．
50．已知三条线段
满足
，且
．
（1）求
的值；
（2）若线段
是线段
和
的比例中项，求
的值．
【答案】（1）a=6，b=4，c=7；（2）d=
【分析】
（1）设，用含k的代数式分别表示出，再由a+b+c=17，建立关于k的方程，解方程求出k的值，从而可求出的值．21cnjy.com
（2）由已知线段??是线段??和??的比例中项，可得到d2=ab，代入计算求出d的值．
【详解】
（1）解：设
∴a=3k，b=2k，c+1=4k即c=4k-1
∵a+b+c=17
∴3k+2k+4k-1=17
解之：k=2
∴a=6，b=4，c=7．
（2）解：∵线段??是线段??和??的比例中项
∴d2=ab=6×4=24
解之：d=．
【点睛】
本题考查了比例的性质，比例线段，利用“设法”用表示出、、可以使计算更加简便．
51．小张在笔记本电脑上的百度地图中查询显示，南昌到吉安的实际距离约为，地图上的距离为．若地图上赣州到南昌的距离为，求赣州到南昌的实际距离【出处：21教育名师】
【答案】390
【分析】
根据南昌到吉安的实际距离和根据实际距离=图上距离÷比例尺列出算式，再进行计算即可．
【详解】
解：=21000000cm
比例尺=2.8：21000000=1：7500000
∴赣州到南昌的实际距离=÷（1：7500000）=39000000cm=390km
∴赣州到南昌的实际距离是390km．
【点睛】
此题考查了比例线段，掌握图上距离、实际距离和比例尺的关系是解题的关键，注意单位的换算．
52．已知，求
【答案】1
【分析】
根据比例的性质，可用x表示y，用x表示z，根据分式的性质，可得答案．
【详解】
解：由，得：
，，
∴．
【点睛】
本题考查了比例的性质，利用比例的性质得出，是解题关键．
53．如图，点是正方形的边边上的黄金分割点，且＞，表示为边长的正方形面积，表示以为长，为宽的矩形面积，表示正方形除去和剩余的面积，求：的值．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】．
【分析】
根据黄金分割的定义：把线段分成两条线段AC和（＞），且使是和的比例中项，叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点．其中，由定义可得：设
求解，从而可得答案．
【详解】
解：如图，设，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
点是正方形的边边上的黄金分割点，且＞，
＞
，
正方形,正方形
，
：：
：
．
【点睛】
本题考查了黄金分割、矩形的性质、正方形的性质，一元二次方程的解法，解决本题的关键是掌握黄金分割定义．21教育网
54．解答下列问题
（1）解方程：．
（2）已知且，求，，的值
【答案】（1）或；（2），，．
【分析】
（1）用分解因式法解方程即可；
（2）可用比例关系，分别用a表示b和c，然后代入式子计算．
【详解】
（1）
由十字相乘法可得，
，，
故的解为或．
（2）
，．
，
．
故，，
【点睛】
本题考查了解一元二次方程和比例基本性质，掌握解方程方法和比例基本性质是解题的关键．
55．已知；，且，求的值
【答案】9
【分析】
设比值为k，用k表示出a、b、c，然后代入等式求出k，从而得到a、b、c，再代入代数式进行计算即可得解．21教育名师原创作品
【详解】
解：设=k，
则a=5k，b=7k，c=8k，
∵a+b+c=20，
∴5k+7k+8k=20，
解得k=1，
∴a=5，b=7，c=8，
∴2a+b-c=2×5+7-8=9．
【点睛】
本题考查了比例的性质，利用“设k法”表示出a、b、c求解更简便．
56．已知＝，求的值．
【答案】-7
【分析】
根据等式的性质可得＝b，再根据分式的性质可得答案．
【详解】
解：由＝，得＝b．
∴
【点睛】
本题考查了比例的性质和分式性质，利用等式性质求得＝b是解题关键．
57．已知．
（1）______；
（2）如果，求的值．
【答案】（1）-1；（2）-4
【分析】
（1）设，用含k的式子分别表示出x、y、z，然后代入即可求出结论；
（2）设，用含k的式子分别表示出x、y、z，然后代入等式中即可求出结论．
【详解】
解：（1）设（k≠0）
∴x=2k，y=3k，z=4k
∴
故答案为：-1；
（2）设（k≠0）
∴x=2k，y=3k，z=4k
∵
∴
解得：k=-2
∴x=2×（-2）=-4
【点睛】
此题考查的是根据已知比例式，求其它比例式，掌握设参法化简比例式或解方程是解决此题的关键．
58．已知：，求证：b是a与c的比例中项．
【答案】详见解析
【分析】
根据比例中项的定义进行计算证明即可．
【详解】
证明：∵，
∴，
∴，
∴b是a与c的比例中项．
【点睛】
本题考查了比例中项及二次根式的计算，熟记比例中项的定义是解题的关键．
59．已知线段，，满足，且．
求，，的值；
若线段是线段，的比例中项，求．
【答案】（1），，；（2）
【分析】
设比值为，然后用表示出，，，再代入等式求解得到，然后求解即可；
根据比例中项的定义列式求解即可．
【详解】
解：设，
则，，，
所以，
解得，
所以，
，
．
∵
线段是线段，的比例中项，
∴
，
∴
线段．
【点睛】
此题考查的是比例的性质和比例中项，掌握比例的性质和比例中项的定义是解决此题的关键．
60．如图，在ABC中，若AB＝24，AE＝6，EC＝10，＝．
（1）求AD的长；
（2）试说明．
【答案】（1）9；（2）见解析
【分析】
（1）设AD＝x，则BD＝24－x，根据题意，列出比例方程即可求出结论；
（2）根据题意，分别求出和，即可得出结论．
【详解】
解：（1）设AD＝x，则BD＝24－x．
由＝，
得＝，解得x＝9．
经检验，x＝9是原方程的解，且符合题意，
∴AD＝9．
（2）由AB＝24，AD＝9，得BD＝15．
∵＝＝，＝＝，
∴＝．
【点睛】
此题考查的是比例线段，掌握比例线段的定义和比例的性质是解决此题的关键．
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精品试卷·第
2
页
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第01讲
成比例线段
【基础训练】
一、单选题
1．已知，则（
）
A．
B．
C．
D．
2．生活中到处可见黄金分割的美．如图，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近0.618，可以增加视觉美感．若图中b为2米，则a约为（
）21·cn·jy·com
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．1.12米
B．1.24米
C．1.42米
D．1.62米
3．若，则下列比例式成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
4．如果，那么的值是（
）
A．
B．
C．
D．
5．已知，把这个等积式改成比例式后，错误的是（
）
A．
B．
C．
D．
6．如图，，直线a，b与分别相交于A，B，C和D，E，F．若，则的长为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．10
B．
C．12
D．14
7．下列各组数中，能成比例的是（
）
A．
B．
C．
D．
8．已知，则代数式的值为（
）
A．
B．
C．
D．
9．已知，则的值是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．下列四组线段中，不是成比例线段的是（
）
A．a=3，b=6，c=2，d=4
B．a=1，b=，c=，d=2
C．a=4，b=6，c=5，d=10
D．a=2，b=，c=2，d=
11．以下列长度（同一单位）为长的四条线段中，成比例的是（
）
A．1，2，3，4
B．2，10，15，5
C．2，4，8，16
D．2，12，12，4
12．下列各组线段的长度中，不是成比例线段的是（
）
A．，，，
B．，，，
C．，，，
D．，，，
13．已知，则下列结论一定成立的是（
）
A．，
B．
C．
D．
14．已知，且，下列等式成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
15．如图所示，若点C是的黄金分割点，，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
16．在一幅比例尺是1：5000000的地图上，量得上海到杭州的距离是3.4cm．那么上海到杭州的实际距离是（ ）www.21-cn-jy.com
A．17km
B．34km
C．170km
D．340km
17．已知，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
18．若，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
19．若，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
20．已知，则下列各式中不正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
21．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此．若小凡的身高满足此黄金分割比例，且肚脐至足底的长度为，则小凡的身高约为（
）2·1·c·n·j·y
A．
B．
C．
D．
22．太原市轨道交通2号线一期于2020年12月26日1200开通初期运营，从此山西驶入地铁时代全线23个站厅的设计，有机融合了“晋阳古八景”、“锦绣太原城”等文化元素，打造成一条亮丽的“地下艺术走廊”．在一幅比例尺为的设计图纸上，测得地铁线路全长约，则地铁线路的实际长度约为（
）
A．
B．
C．
D．
23．已知C是AB的黄金分割点，若，则AC的长为（
）．
A．
B．
C．
D．
24．若9x＝5y，则＝（ ）
A．
B．
C．
D．
25．若线段c满足，且线段a4
cm，b9
cm，则线段c（
）
A．6
cm
B．7
cm
C．8
cm
D．9
cm
26．已知，则的值是（
）
A．
B．
C．
D．
27．若a：b＝2：3，则下列各式中正确的式子是（ ）
A．2a＝3b
B．3a＝2b
C．
D．
28．已知线段，点P是线段的黄金分割点（），则线段的长为（ ）
A．
B．
C．
D．
29．如图，已知点C是线段AB的黄金分割点（其中AC＞BC），则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．AB2＝AC2+BC2
D．BC2＝AC?BA
30．已知线段a﹦4cm，线段b﹦7cm，则a﹕b的值是（
）．
A．1﹕4
B．1﹕7
C．4﹕7
D．7﹕4
二、填空题
31．已知，则________
32．已知：，则＝___．
33．已知线段，，若线段c是线段a，b的比例中项，则线段c的长度等于______．
34．在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感按此比例，如果雕像的高为3m，那么它的下部应设计为多高？设它的下部设计高度为m，根据题意，可列方程为__________．21教育网
35．若，则的值是________．
三、解答题
36．（1）已知，求的值．
（2）已知线段，求线段a，b的比例中项．
37．已知，且，求的值．
38．（1）已知，求的值．
（2）已知，求的值．
39．如图所示，以长为2的定线段为边作正方形，取的中点P，连接，在的延长线上取点F，使，以为边作正方形，点M在上．21·世纪
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（1）求的长；
（2）点M是的黄金分割点吗？为什么？
40．已知，求下列式子的值：（1）（2）
41．已知线段a，用尺规作图法把它分成的两条线段，要求写出作法．
42．（1）已知三条线段a、b、c，其中，c是a、b的比例中项，求线段c的长度；
（2）已知，求的值．
43．已知，求的值．
44．若，且，求的值．
45．如图，是五角星中线段的黄金分割点．
（1）写出一个与相等的线段比；
（2）若的长为，求的长．
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46．如图，以矩形ABCD的宽为
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)边作正方形AEFD，若矩形EBCF的宽与长的比值等于矩形ABCD的宽与长的比值，则将矩形ABCD称为“黄金矩形”．若AD＝2，求BE的长．21世纪教育网版权所有
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47．已知线段a、b、c满足a：b：c＝3：2：6，且a+2b+c＝26．
（1）求a、b、c的值；
（2）若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值．
48．已知，且2x+y+3z≠0，求的值．
49．如图，，，，．求的长．
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50．已知三条线段
满足
，且
．
（1）求
的值；
（2）若线段
是线段
和
的比例中项，求
的值．
51．小张在笔记本电脑上的百度地图中查询显示，南昌到吉安的实际距离约为，地图上的距离为．若地图上赣州到南昌的距离为，求赣州到南昌的实际距离21cnjy.com
52．已知，求
53．如图，点是正方形的边边上的黄金分割点，且＞，表示为边长的正方形面积，表示以为长，为宽的矩形面积，表示正方形除去和剩余的面积，求：的值．【来源：21·世纪·教育·网】
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54．解答下列问题
（1）解方程：．
（2）已知且，求，，的值
55．已知；，且，求的值
56．已知＝，求的值．
57．已知．
（1）______；
（2）如果，求的值．
58．已知：，求证：b是a与c的比例中项．
59．已知线段，，满足，且．
求，，的值；
若线段是线段，的比例中项，求．
60．如图，在ABC中，若AB＝24，AE＝6，EC＝10，＝．
（1）求AD的长；
（2）试说明．
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