第01讲 菱形的性质与判定(考点讲解)（含答案）

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第01讲
菱形的性质与判定
【教学要求】
1．经历从现实生活中抽象出图形的过程，了解菱形的概念及其与平行四边形的关系．
2．体会菱形的轴对称性，经历利用折纸等活动探索菱形性质的过程，发展合情推理能力．
【知识结构】
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【考点总结】
一、菱形：有一组邻边相等的平行四边形
菱形性质：
1．
两条对角线互相垂直平分；
2．
四条边都相等；
3．
每条对角线平分一组对角；
4．
菱形是一个中心对称图形，也是一个轴对称图形。
二、菱形的判定定理
1、有一组邻边相等的平行四边形是菱形（定义）
2、对角线互相垂直的平行四边形是菱形．（根据对角线）
3、四条边都相等的四边形是菱形．（根据四条边）
4、每条对角线平分一组对角的四边形是菱形．（对角线和角的关系）
判定定理1
对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
判定定理2
四条边都相等的四边形是菱形
【例题讲解】
【类型】一、菱形的性质
例1、如图，菱形ABCD的周长为24cm，对角线AC、BD相交于O点，E是AD的中点，连接OE，则线段OE的长等于【
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A.3cm
B.4cm
C.2.5cm
D.2cm
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【解析】A.
∵菱形ABCD的周长为24cm，∴边长AB=24÷4=6cm.
∵对角线AC、BD相交于O点，∴BO=DO.
又∵E是AD的中点，∴OE是△ABD的中位线.∴OE=AB=×6=3（cm）.故选A.
【总结与反思】此题运用了菱形的定义与性质：四边相等、对角线相互平分.
【训练】如图，在菱形ABCD中，点E是AB上的一点，连接DE交AC于点O，连接BO，且∠AED=50°，则∠CBO=　
　度．www.21-cn-jy.com
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【答案】50；
解：在菱形ABCD中，
AB∥CD，∴∠CDO=∠AED=50°，
CD=CB，∠BCO=∠DCO，
∴在△BCO和△DCO中，
，
∴△BCO≌△DCO（SAS），
∴∠CBO=∠CDO=50°．
【训练】菱形ABCD中，∠A∶∠B＝1∶5，若周长为8，则此菱形的高等于(
)．
A.
B.4
C.1
D.2
【答案】C；
提示：由题意，∠A＝30°，边长为2，菱形的高等于×2＝1.
【类型】二、菱形的轴对称性（最值问题）和面积
例2、如图，已知菱形ABC
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)D中，∠ABC=60°，AB=8，过线段BD上的一个动点P（不与B、D?重合）分别向直线AB、AD作垂线，垂足分别为E、F．2·1·c·n·j·y
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（1）BD的长是______
（2）连接PC，当PE+PF+PC取得最小值时，此时PB的长是______．【来源：21·世纪·教育·网】
【解析】
；．
（1）连接AC，交BD与点O，
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，
∴△ABC为等边三角形，AC=AB=8，
根据菱形性质得：AO=CO=AC=4，OB=OD，AC⊥BD，
根据勾股定理得：BD=2OB=2×=8；
（2）延长FP交BC于点M，则FM⊥BC．
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∵PM=PE，
∴PE+PF=PF+PM=FM，
又∵S菱形ABCD=AC?BD=BC?FM，
∴×8×8=8?FM，即FM=4，
∴要使PE+PF+PC取最小值，只要PC取最小值．
当CP⊥BD，即点P与点O重合时，PE+PF+PC的值最小．
此时PB=BO=DO=BD=4．
故答案为：8；4．
【总结与反思】
此题是对菱形定义和性质的灵活运用，通过菱形性质求出了最值.
【类型】三、菱形的判定
例3、如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件能够判定四边形ABCD为菱形的是（
）21·世纪
教育网
A、AB=BC
B、AC=BC
C、∠B=60°
D、∠ACB=60°
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．
【解析】A
首先根据平移的性质得出AB平行且等于CD，得出四边形ABCD为平行四边形，根据邻边相等的平行四边形是菱形可得添加条件AB=BC即可即可．www-2-1-cnjy-com
试题解析：∵将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，
∴AB平行且等于CD，
∴四边形ABCD为平行四边形，
当AB=BC时，平行四边形ACED是菱形．
故选A．
【总结与反思】先证明四边形是平行四边形，再由邻边相等证明四边形是菱形..
例4、如图所示，在△ABC中，CD是∠ACB的平分线，DE∥AC，DF∥BC，四边形DECF是菱形吗?试说明理由．2-1-c-n-j-y
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【思路点拨】由菱形的定义去判定图形，由DE∥AC，DF∥BC知四边形DECF是平行四边形，再由∠1＝∠2＝∠3得到邻边相等即可．21
cnjy
com
解：四边形DECF是菱形，理由如下：
∵
DE∥AC，DF∥BC
∴
四边形DECF是平行四边形．
∵
CD平分∠ACB，∴
∠1＝∠2
∵
DF∥BC，
∴
∠2＝∠3，
∴
∠1＝∠3．
∴
CF＝DF，
∴
四边形DECF是菱形．
【总结升华】在用菱形的定义判定一个四边形是菱形时，首先判定这个四边形是平行四边形，再由一对邻边相等来判定它是菱形．21cnjy.com
【训练】如图所示，AD是△ABC的角平分线，EF垂直平分AD，分别交AB于E，交AC于F，则四边形AEDF是菱形吗?请说明理由．【来源：21cnj
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解：四边形AEDF是菱形，理由如下：
∵
EF垂直平分AD，
∴
△AOF与△DOF关于直线EF成轴对称．
∴
∠ODF＝∠OAF，
又∵
AD平分∠BAC，即∠OAF＝∠OAE，
∴
∠ODF＝∠OAE．∴
AE∥DF，
同理可得：DE∥AF．
∴
四边形AEDF是平行四边形，∴
EO＝OF
又∵AEDF的对角线AD、EF互相垂直平分．
∴AEDF是菱形．
例5、如图所示，在△ABC中，∠BAC＝90
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)°，AD⊥BC于点D，CE平分∠ACD，交AD于点G，交AB于点E，EF⊥BC于点F．
求证：四边形AEFG是菱形．【出处：21教育名师】
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【思路点拨】由角平分线性质易知AE＝EF，欲证四边形AEFG是菱形，只要再证四边形AEFG是平行四边形或AG＝GF＝AE即可．【版权所有：21教育】
证明：方法一：∵
CE平分∠ACB，∠BAC＝90°，EF⊥BC，
∴
AE＝EF，∠1＋∠3＝90°，∠4＋∠2＝90°．
∵
∠1＝∠2，
∴
∠3＝∠4．
∵
EF⊥BC，AD⊥BC，∴
EF∥AD．
∴
∠4＝∠5．∴
∠3＝∠5．
∴
AE＝AG．∴
EFAG．
∴
四边形AEFG是平行四边形．
又∵
AE＝AG，
∴
四边形AEFG是菱形．
方法二：∵
CE平分∠ACB，∠BAC＝90°，EF⊥BC，
∴
AE＝EF，∠1＋∠3＝90°，∠4＋∠2＝90°．
∴
∠3＝∠4．
∵
EF⊥BC，AD⊥BC，∴
EF∥AD．
∴
∠4＝∠5．∴
∠3＝∠5．
∴
AE＝AG．
在△AEG和△FEG中，AE＝EF，∠3＝∠4，EG＝EG，
∴
△AEG≌△FEG．
∴
AG＝FG．
∴
AE＝EF＝FG＝AG．
∴
四边形AEFG是菱形．
【总结升华】判定一个四边形是菱形，关键是把已知条件转化成判定方法所需要的条件．
【训练】如图所示，在ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，过A点作AG∥DB交CB的延长线于点G．21教育网
(1)求证：DE∥BF；
(2)若∠G＝90°，求证四边形DEBF是菱形．
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证明：(1)ABCD中，AB∥CD，AB＝CD
∵
E、F分别为AB、CD的中点
∴
DF＝DC，BE＝AB
∴
DF∥BE．DF＝BE
∴
四边形DEBF为平行四边形
∴
DE∥BF
(2)证明：∵
AG∥BD
∴
∠G＝∠DBC＝90°
∴
△DBC为直角三角形
又∵
F为边CD的中点．
∴
BF＝DC＝DF
又∵
四边形DEBF为平行四边形
∴
四边形DEBF是菱形
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