第二章 直线和圆的方程（能力提升卷，解析版）

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直线和圆的方程
一、单选题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2021·黑龙江哈尔滨三中高二月考）若直线与曲线有公共点，则实数的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】曲线为半圆，即，
当直线与半圆相切时，，
当直线过点时，，
实数的取值范围为，故选：A
2．（2021·全国高二课时练习）已知两平行直线，分别过点，，它们分别绕，旋转，但始终保持平行，则，之间的距离的取值范围是（
）.
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】当直线，与直线垂直时，它们之间的距离达到最大，
此时，
当两直线重合时其距离为0.所以．故选：C.
3．（2021·全国高二课时练习）已知，两点到直线的距离相等，则实数的值为（
）.
A．
B．或3
C．
D．或1
【答案】B
【解析】（1），两点位于直线同一侧，即直线平行于直线，所以，即，
（2），两点位于直线的两侧，所以，解得，综上实数的值为，故选：B.
4．（2021·全国高二课时练习）已知直线的斜率为，倾斜角为，若，则的取值范围为（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】直线倾斜角为45°时，斜率为1，
直线倾斜角为135°时，斜率为，
因为在上是增函数，在上是增函数，
所以当时，的取值范围是.故选：B
5．（2021·全国高二课时练习）已知点的坐标为，在坐标轴上有一点，若，则点的坐标为（
）．
A．或
B．或
C．
D．
【答案】B
【解析】设或，∴或，
即或，解得或，∴点的坐标为或.故选：B.
6．（2021·全国高二课时练习）下列关于倾斜角的说法中正确的是（
）．
A．任意一条直线有唯一的倾斜角
B．一直线的倾斜角可以为
C．若直线的倾斜角为0，则该直线与轴重合
D．若直的倾斜角为，则
【答案】A
【解析】任意一条直线都有唯一的倾斜角，选项A正确；
直线倾斜角的取值范围是，所以直线的倾斜角不可以为，故选项B错误；
若直线的倾斜角为0，则该直线与轴重合或平行，故选项C错误；
因为直线的倾斜角的取值范围是，所以，故选项D错误.故选：A．
7．（2021·全国高二单元测试）已知直线与直线垂直，且与圆相切，切点位于第一象限，则直线的方程是（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题意，设直线的方程为．
圆心到直线的距离为，
得或（舍去），故直线的方程为．故选：A
8．（2021·全国高二课时练习）已知直线的方程是，直线的方程是，则下列各图中，正确的是（
）．
A．
B．C．
D．
【答案】A
【解析】由直线的方程是，
直线的方程是，
可得，．
对于A，中的，，中的，，A正确；
对于B，中的，，中的，，矛盾，B错误；
对于C，中的，，中的，，矛盾，C错误；
对于D，中的，，中的，，矛盾，D错误．故选：A．
二、多选题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分)
9．（2021·全国高二课时练习）（多选）若直线与轴交于点，其倾斜角为，直线绕点顺时针旋转后得到直线，则直线的倾斜角可能为（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【解析】因为直线的倾斜角的取值范围为，
所以当时，直线的倾斜角为，
当时，直线的倾斜角为．故选：BC．
10．（2021·全国高二课时练习）（多选）满足下列条件的直线与，其中的是（
）．
A．的斜率为2，过点，
B．经过点，，平行于轴，且不经过点
C．经过点，，经过点，
D．的方向向量为，的倾斜角为
【答案】BC
【解析】对于A，由题意得，所以与平行或重合，故A错；
对于B，由题意得，因平行于轴，且不经过点，所以，故B正确；
对于C，由题意得，，，所以，故C正确；
对于D，直线的斜率为，直线的斜率为，
所以与不平行，故D错．故选：BC．
11．（2021·全国高二课时练习）已知点是圆内一点，直线是以为中点的弦所在的直线，直线的方程为，则（
）
A．
B．
C．与圆相交
D．与圆相离
【答案】AD
【解析】点在圆内，.
圆心到直线的距离，直线与圆相离.
又直线的方程为，即，
.故选：AD.
12．（2022·全国高三专题练习）已知圆，若直线垂直于圆的一条直径，且经过这条直径的一个三等分点，则直线的方程是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【解析】由题意知，圆心到直线的距离为，
即，解得或，
因此，所求直线方程为或.故选：AD.
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中横线上)
13．（2021·黑龙江哈尔滨三中高二月考）函数的最小值为____________．
【答案】
【解析】，
表示点到点和的距离之和.
当点为线段与轴的交点时，取得最小值.
.故答案为：
14．（2021·富川瑶族自治县高级中学高一期中（理））直线被圆截得的弦长为，则直线的倾斜角为________．
【答案】
【解析】直线被圆截得的弦长为，
所以，圆心到直线的距离，
即，解得．
设直线的倾斜角为，则，则．
因此，直线的倾斜角为．故答案为：．
15．（2021·全国高一课时练习）一条光线沿直线入射到直线后反射，则反射光线所在直线的方程为__________．
【答案】
【解析】由解得记为点．
在直线上取一点，
设点P关于直线的对称点为，则解得
所以，于是反射光线所在直线就是所在直线，
其方程为，整理得，
故答案为：.
16．（2021·山西高三月考（文））已知直线x－y＋8＝0和圆x2＋y2＝25相交于A，B两点，则|AB|＝__________.
【答案】6
【解析】圆心到直线的距离为，圆半径为，
所以．故答案为：6．
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2021·全国高三专题练习）求证：对任意实数，动圆恒过两定点.
【解析】证明：圆系方程可化为.
设.
∵对（）恒成立，
∴，解得或.
因此，圆系过定点和.
18．（2021·全国高二课时练习）已知直线的一个方向向量为，直线的倾斜角为直线的倾斜角的2倍．求当直线分别满足下列条件时直线的点斜式方程：
（1）过点；
（2）与轴的交点为．
【解析】（1）∵直线的一个方向向量为，
∴直线的斜率为，则倾斜角为30°，
∴直线的倾斜角为60°，∴直线的斜率为．
∵直线过点，
∴直线的点斜式方程为．
（2）由（1）知直线的斜率为，
∵直线与轴的交点为，
∴直线的点斜式方程为．
19．（2021·全国高一课时练习）设直线l的方程为，根据下列条件分别确定m的值：
（1）直线l在x轴上的截距为；
（2）直线l的倾斜角为．
【解析】（1）由题意得，解得且
解得，所以．
故当时，直线在轴上的截距为．
（2）由题意得，解得且，
解得，所以．
故当时，直线的倾斜角为．
20．（2021·全国高一课时练习）两条互相平行的直线分别过点和，并且各自绕着A，B旋转，但始终保持平行，如果这两条平行直线间的距离为d，求：
（1）d的变化范围；
（2）当d取最大值时，两条直线的方程.
【解析】（1）①当两条直线的斜率都不存在时，两条直线分别为和，则它们之间的距离为9.
②当两条直线的斜率都存在时设这两条直线的方程为，即，
∴两直线间的距离，即.
易知，，当时，，经检验，符合题意，
当时，∵，∴，∴且.
综合①②可知，d的变化范围为.
（2）由（1）知，当d取得最大值时，，将代入（
）式，即，解得，
故所求的两条直线的方程分别为.
21．（2021·全国高二课时练习）知圆，点是直线上的动点．
（1）若从点到圆的切线长为，求点的坐标以及两条切线所夹的劣弧长；
（2）若点，，直线，与圆的另一交点分别为，，求证：直线经过定点．
【解析】（1）依题意，设．
设两切点分别为，，则，．
由题意可知，
即，解得，
所以点的坐标为．
在中，可求得，所以，
所以所求两条切线所夹的劣弧长为．
（2）设，，．
依题意，可得直线的方程为，
由，得．
因为直线经过点，，
所以，是上述方程的两个根，
则，即，
代入直线方程，得'．
同理，可得直线的方程为．
由，得．
因为直线经过点，，
所以2，是上述方程的两个根，
则，即，
代入直线方程，得．
若，则，此时，
显然，在直线上，所以直线经过定点．
若，则，，
由，
，可知，
所以，，三点共线，即直线经过定点．
综上所述，直线经过定点．
22．（2021·全国高三专题练习）已知经过点，，且圆心在直线上.又直线l：与相交于P，Q两点.
（1）求的方程；
（2）过点作直线与l垂直，且直线与交于M，N两点，求四边形面积的最大值.
【解析】（1）由题设知的圆心既在的中垂线上，又在直线上，易得圆心为原点，半径为2.∴：.
（2）设四边形的面积为S，当直线l的斜率时，
则的斜率不存在，此时；
当直线l的斜率时，设：.
联立，得.所以有.
同理可得.
，
因为，所以.
当且仅当时等号成立，所以S的最大值为7.
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精品试卷·第
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