第三章 圆锥曲线的方程(能力提升卷,解析版)

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名称 第三章 圆锥曲线的方程(能力提升卷,解析版)
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文件大小 2.5MB
资源类型 试卷
版本资源 人教A版(2019)
科目 数学
更新时间 2021-09-27 09:12:51

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文档简介

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圆锥曲线的方程
能力提升卷
一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.(2021·全国高二课时练习)已知是双曲线的左焦点,点,是双曲线右支上的动点,则的最小值为(

A.9
B.5
C.8
D.4
【答案】A
【解析】设右焦点为,则,依题意,有,
,(当在线段上时,取等号).
故的最小值为9.故选:A.
2.(2021·全国高二课时练习)已知有相同焦点,的椭圆和双曲线,是它们的一个交点,则的形状是(

A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.以上均有可能
【答案】B
【解析】根据椭圆与双曲线的焦点都在轴上,不妨设在第一象限,是左焦点,是右焦点,
则由椭圆与双曲线的定义有:,
可得,,即,
因为两者有公共焦点,设半焦距为,则,,
所以,所以,
所以,即,是直角三角形.故选:B.
3.(2021·全国高二课时练习)动点到点及点的距离之差为,则当和时,点的轨迹分别是(

A.双曲线和一条直线
B.双曲线和一条射线
C.双曲线的一支和一条射线
D.双曲线的一支和一条直线
【答案】C
【解析】由题意,知,当时,
,此时点的轨迹是双曲线的一支;
当时,,
点的轨迹为以为端点沿轴向右的一条射线.故选:C.
4.(2021·贵州高三月考(文))已知双曲线C:(a>0,b>0)的左右焦点分别为F1,F2,直线x-c=0与双曲线C的一个交点为点P,与双曲线C的一条渐近线交于点Q,O为坐标原点,若,则双曲线C的离心率为(

A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】因为,
所以,所以,所以,
得,故.故选:B.
5.(2021·全国高二课时练习)抛物线上任意两点,处的切线交于点,称为“阿基米德三角形”,当线段经过抛物线的焦点时,具有以下特征:
①点必在抛物线的准线上;②.
若经过抛物线的焦点的一条弦为,“阿基米德三角形”为,且点的纵坐标为4,则直线的方程为(

A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】设抛物线的焦点为,由题意可知,抛物线的焦点坐标为,准线方程为,因为为“阿基米德三角形”,且线段经过抛物线的焦点,所以点必在抛物线的准线上,所以点,
直线的斜率为.又因为,
所以直线的斜率为,所以直线的方程为,即,
故选:A.
6.(2021·全国高二课时练习)如图所示,过抛物线的焦点的直线交抛物线于,两点,交其准线于点,若,且,则的值为(

A.1
B.2
C.
D.3
【答案】B
【解析】
过作准线的垂线,垂足为,则,
由,得直线的倾斜角为45°.
设,由,得,
.又,,.故选B.
7.(2021·全国高二课时练习)若抛物线上一点到准线及对称轴的距离分别为10和6,则点的横坐标和的值分别为(

A.9,2
B.1,18
C.9,2或1,18
D.9,18或1,2
【答案】C
【解析】因为点到对称轴的距离为6,所以不妨设.
因为点到准线的距离为10,
所以,解得或,故选:C.
8.(2021·全国高二课时练习)已知抛物线的焦点到其准线的距离为2,过点的直线与抛物线交于,两点,则的最小值为(

A.
B.
C.
D.9
【答案】B
【解析】因为抛物线的焦点到其准线的距离为2,
所以,抛物线的方程为.设直线的方程为,
将此方程代入,整理得.
设,,则,
所以,
当且仅当,即时等号成立.故选:B.
二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多个选项是符合题目要求的,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
9.(2021·全国高二课时练习)(多选)已知,分别是双曲线的左、右焦点,点在双曲线上,且,则下列结论正确的是(

A.若,则双曲线离心率的取值范围为
B.若,则双曲线离心率的取值范围为
C.若,则双曲线离心率的取值范围为
D.若,则双曲线离心率的取值范围为
【答案】BC
【解析】由题意,,分别是双曲线的左、右焦点,点在双曲线上,且,
若,可得,
根据双曲线的定义可得,则,解得;
若,可得,
根据双曲线的定义可得,则,解得.
故选:BC.
10.(2021·全国高二课时练习)(多选)已知双曲线,则(

A.双曲线的焦距为
B.双曲线的虚轴长是实轴长的倍
C.双曲线与双曲线的渐近线相同
D.双曲线的顶点坐标为
【答案】BC
【解析】因为,,
所以,,焦距为,所以A错误;因为,所以B正确;双曲线与双曲线的渐近线方程均为,所以C正确;
令,得,所以双曲线的顶点坐标为,所以D错误.故选:BC.
11.(2021·全国高二课时练习)(多选)将一个椭圆绕其对称中心旋转90°,若所得椭圆的两顶点恰好是旋转前椭圆的两焦点,则称该椭圆为“对偶椭圆”.下列椭圆的方程中,是“对偶椭圆”的方程的是(

A.
B.
C.
D.
【答案】AC
【解析】由题意,得当时,该椭圆为“对偶椭圆”.由得,
选项A中,;选项B中,,,;
选项C中,;选项D中,,,.
故选:AC.
12.(2021·全国高二课时练习)(多选)已知方程表示曲线,则(

A.当时,曲线一定是椭圆
B.当或时,曲线一定是双曲线
C.若曲线是焦点在轴上的椭圆,则
D.若曲线是焦点在轴上的双曲线,则
【答案】BD
【解析】对于A,当时,曲线是圆,故A错误;
对于B,当时,曲线是焦点在轴上的双曲线,
当时,曲线是焦点在轴上的双曲线,故B正确;
对于C,若曲线是焦点在轴上的椭圆,则,解得,故C错误;
对于D,若曲线是焦点在轴上的双曲线,则,解得,故D正确.故选BD.
三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上)
13.(2021·全国高三专题练习)已知,则的最值为_________.
【答案】最大值为,最小值为.
【解析】满足题设的点的轨迹是定点,的距离之和为定长20的椭圆,此椭圆的中心在、长半轴a满足,即.线段长为,即,所以椭圆的短半轴长.又椭圆长轴所在直线方程为.如图可知,使得椭圆与直线有公共点的m的取值范围是原点到直线的距离不超过.
即,解得.
椭圆上任意一点均满足.
由,得的最大值为,最小值为.故答案为:最大值为,最小值为.
14.(2021·全国高二课时练习)若分别过椭圆的左、右焦点,,所作的两条互相垂直的直线,的交点在椭圆上,则此椭圆的离心率的取值范围是______.
【答案】
【解析】设两直线的交点为,,,坐标原点为O,
由椭圆的定义,可得,,
∴,
由均值不等式可得,,
即,当且仅当时,等号成立,
从而,又,∴.故答案为:.
15.(2021·全国高二课时练习)已知以坐标原点为中心的椭圆,一个焦点为,给出下列四个条件:①半短轴长为2;②半长轴长为;③离心率为;④一个顶点坐标为.选择一个条件可求得椭圆方程为的有_______(填序号).
【答案】①②③
【解析】只需保证,,即可,
且椭圆的顶点坐标为,,离心率为,
故①②③可求得椭圆方程为.
故答案为:①②③
16.(2021·全国高二课时练习)与双曲线有公共焦点,且过点的双曲线的标准方程为______.
【答案】
【解析】设双曲线的标准方程为,
双曲线过点,,解得或-14(舍去),
双曲线的标准方程为.
故答案为:
四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(2021·全国高三专题练习)如图所示,已知椭圆,,分别是它的左、右顶点,O是坐标原点,P是椭圆上不同于,的一点,延长到Q,使,直线与交于点M,当点P在椭圆上移动时,求点M的轨迹方程.
【解析】设M,P,Q的坐标分别为,,.
由,得:,.
直线的方程为:;直线的方程为:.
将直线和的方程整理,得,解得,
代入,整理得:
M的轨迹方程为.
18.(2021·全国高三专题练习)设椭圆的中心在坐标原点.长轴在z轴上,离心率,已知点到这个椭圆上的点的最远距离是,求椭圆方程,并求椭圆上到点O的距离为的点的坐标.
【解析】∵,∴,∴.
∵,∴,,
∴设椭圆方程为①
又∵到椭圆上的最远距离为,
则可构造圆.

此圆必与椭圆相切,如图所示,由①②整理得.
∵椭圆与圆相切,
∴,③
∴,则.
则所求椭圆方程为.

把代入方程③可得,把代入④得.
∴椭圆上到点P的距离等于的点的坐标为,.
19.(2021·全国高二课时练习)已知是以,为焦点的双曲线上的一点,且,.
(1)求双曲线的离心率;
(2)过点作直线分别与双曲线两渐近线相交于,两点,若(为坐标原点),,求双曲线的标准方程.
【解析】(1)不妨设点在第一象限
,,
,.
,,

(2)由(1),知双曲线的方程为,则渐近线的方程为.
不妨设,,,,.
,.
点在双曲线上,,化简,得,

,双曲线的标准方程为.
20.(2021·河南高三月考(文))已知椭圆:过点,且离心率.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)设的左、右焦点分别为,,过点作直线与椭圆交于,两点,,求的面积.
【解析】(Ⅰ)将代入椭圆方程可得,即①
因为离心率,即,②
由①②解得,,
故椭圆的标准方程为.
(Ⅱ)由题意可得,,设直线的方程为.
将直线的方程代入中,得,
设,,则,.
所以,,
所以

由,解得,
所以,,
因此.
21.(2021·贵州高三月考(文))已知椭圆C:的离心率为,直线l经过椭圆C的右焦点F与上顶点,原点O到直线l的距离为.
(1)求椭圆C的方程;
(2)斜率不为0的直线n过点F,与椭圆C交于M,N两点,若椭圆C上一点P满足,求直线n的斜率.
【解析】(1)由题意可得椭圆C的右焦点与上顶点,
所以直线为,即,
因为椭圆C的离心率为,原点O到直线的距离为,
所以且,解得,,
所以椭圆C的方程为.
(2)因为直线n的斜率不为0,所以可设直线n的方程为.
设点,联立方程得

则.
因为,所以,
将点P的坐标代入椭圆方程得,
即,
解得,
故直线n的斜率为.
22.(2021·广西高三开学考试(理))已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点M为抛物线C上一点,|MF|=8,且∠OFM=(O为坐标原点).
(1)求抛物线C的方程;
(2)过点F的直线l与抛物线C交于A,B两点,求△AOB面积的最小值.
【解析】(1)抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点,准线方程为:,过点M作准线的垂线,垂足为N,过点M作x轴的垂线,垂足为D,如图,
依题意得:,即,解得,
抛物线C的方程为;
(2)焦点F(2,0),由题意知直线l不垂直于y轴,设直线l方程为,
由消去x得,设,
则有,,,而坐标原点到直线l的距离,
因此,,当且仅当时取“=”,
所以△AOB面积的最小值为8.
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精品试卷·第
2

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