第三章 圆锥曲线的方程（基础自测卷，解析版）

中小学教育资源及组卷应用平台
圆锥曲线的方程
基础自测卷
1．（2021·山师大附中高二月考）设，分别是双曲线的左、右焦点，过点，且与轴垂直的直线与双曲线交于，两点，若的面积为，则双曲线的离心率为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】设，，则，
又，则，即．
所以=
又的面积为，所以，即，
故双曲线的离心率为．故选:D．
2．（2021·银川三沙源上游学校高二期末（理））已知抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】抛物线的焦点坐标为，
所以椭圆中，，．故选：C．
3．（2021·银川三沙源上游学校高二期末（理））命题
“”是命题曲线表示双曲线的（
）
A．充分不必要条件
B．充要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】曲线表示双曲线，则，解得，
因此是的充分不必要条件．故选：A．
4．（2021·南昌市实验中学高三月考（理））抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】抛物线的焦点为，双曲线的渐近线方程为，
故焦点到渐近线的距离为，故选：D.
5．（2021·全国高二课时练习）如图所示，椭圆的离心率，左焦点为，，，分别为左顶点、上顶点和下顶点，直线与交于点，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】，，．
由题图可知，，
，，
．故选：A．
6．（2021·全国高二课时练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，且，，则椭圆的离心率等于（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由题设知是直角三角形，
，，，
，．
又由椭圆的定义，得，，
故．故选：B．
7．（2021·全国高二课时练习）设是椭圆的离心率，且，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】当时，，由条件知，解得；
当时，，由条件知，解得，综上知C正确．
故选：C．
8．（2021·全国高二课时练习）已知椭圆的焦点在轴上，长轴长是短轴长的两倍，则（
）
A．2
B．2
C．
D．4
【答案】C
【解析】将椭圆化为标准形式为
，
因为椭圆的焦点在轴上，长轴长是短轴长的两倍，
所以，解得，故选：C．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对得5分，有选错得0分，部分选对得3分．
9．（2021·全国高三月考）一个体积为的正方体形状的箱子，在箱子的顶部的中心，安装一个射灯（看成点光源），射灯照光的边际是圆锥面，设圆锥面与箱子的一个侧面的交线为曲线（双曲线的一部分），若曲线的顶点为侧面的中心，曲线与正方体侧棱的交点到箱子底部的距离为，则（
）
A．该曲线的离心率为
B．该曲线的虚轴长为
C．点光源到曲线焦点的距离为
D．两渐近线的夹角为
【答案】ABD
【解析】由题意可知，射灯（看成点光源）照射时，射灯照光的边际形成两个共顶点的全等圆锥面，圆锥的顶点即为射灯，正方体的侧面与圆锥面的交线就是双曲线的一支，
以棱所在的直线为轴，以过点光源且与侧面垂直的直线为轴，过曲线的顶点且垂直的直线为轴，坐标原点为的中点，建立空间直角坐标系，
如图，在平面直角坐标系中，设曲线的方程为，
由题意，，且曲线经过正方体侧棱上的一个交点，所以，则，所以，所以，故AB正确；
在空间直角坐标系中，双曲线的焦点坐标为，
点光源的坐标为，所以点光源到线焦点的距离为，故C错误；
在平面直角坐标系中，渐近线方程为，所以两渐近线的夹角为，故D正确．
故选：ABD.
10．（2021·山东高三二模）已知双曲线的左?右顶点分别为，，点是上的任意一点，则（
）
A．双曲线的离心率为
B．焦点到渐近线的距离为3
C．点到两条渐近线的距离之积为
D．当与?不重合时，直线，的斜率之积为3
【解析】对于A，，，故A错误；
对于B，双曲线的右焦点到渐近线的距离为，故B正确；
对于C，设，满足，即，则点到两条渐近线的距离之积为，故C正确；
对于D，设，由C得，，，故D正确；故选：BCD
11．（2021·辽宁高三月考）已知，是双曲线上关于原点对称的两点，点是双曲线的右支上位于第一象限的动点，记，的斜率分别为，，且满足，则下列说法正确的是（
）
A．双曲线的离心率为
B．双曲线的渐近线方程为
C．若的最小值为，则双曲线方程为
D．存在点，使得
【答案】BC
【解析】设，则，，所以，即，
又，所以，
又，所以，
对于
A：因为，所以，所以，故A不正确；
对于B：因为，所以，所以双曲线的渐近线方程为，故B正确；
对于C：因为，又或，
所以当时，，所以，所以双曲线方程为，故C正确；
对于D：（当且仅当时取等号），所以不存在点，使得，故D不正确，
故选：BC.
12．（2020·全国高二课时练习）(多选)如图所示，“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行．若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，下列式子正确的是（
）
A．
B．
C．
<
D．
【答案】BD
【解析】观察图形可知，即A不正确；，即B正确；
由，
知，，即，从而,即：
,即D正确，C不正确．故选：BD
三．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．
13．（2021·山东淄博市·高三二模）已知，分别是双曲线的左右焦点，是双曲线的半焦距，点是圆上一点，线段交双曲线的右支于点，且有，，则双曲线的离心率是______．
【答案】
【解析】如下图所示：
因为，，所以，，
又，所以，又，所以
，
即，化简得，所以，
故答案为：．
14．（2021·全国高二课时练习）已知椭圆C：
1的右焦点为F，直线l经过椭圆右焦点F，交椭圆C于P、Q两点（点P在第二象限），若点Q关于x轴对称点为Q′，且满足PQ⊥FQ′，求直线l的方程是_____.
【答案】x+y﹣1＝0
【解析】椭圆C：1的右焦点为F（1，0），
直线l经过椭圆右焦点F，交椭圆C于P、Q两点（点P在第二象限），
若点Q关于x轴对称点为Q′，且满足PQ⊥FQ′，
可知直线l的斜率为﹣1，所以直线l的方程是：y＝﹣（x﹣1），
即x+y﹣1＝0.
故答案为：x+y﹣1＝0.
15．（2020·全国高二课时练习）已知椭圆的上、下顶点分别为B1，B2，F1，F2为椭圆的左、右焦点，且离心率为，则四边形B1F1B2F2的面积为____．
【答案】2
【解析】椭圆的焦点在x轴上，由椭圆方程可得，
又，所以，
所以四边形的面积为：．
故答案为：2．
16．（2021·北京房山区·高三一模）抛物线的焦点为，则点的坐标为___________，若抛物线上一点到轴的距离为，则___________.
【答案】
【解析】由抛物线的方程可知：，所以点的坐标为；
因为该抛物线的准线方程为，所以，
故答案为：；4
四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（2021·全国高二课时练习）如图，若是双曲线的两个焦点.
（1）若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离；
（2）若P是双曲线左支上的点，且，试求的面积.
【解析】（1）是双曲线的两个焦点，则，
点M到它的一个焦点的距离等于16，设点到另一个焦点的距离为，
则由双曲线定义可知，，解得或，
即点到另一个焦点的距离为或；
（2）P是双曲线左支上的点，则，
则，而，
所以，
即，
所以为直角三角形，，
所以.
18．（2021·全国高三月考（文））已知焦点为的抛物线经过圆的圆心，点是抛物线与圆在第一象限的一个公共点，且.
（1）分别求与的值；
（2）点与点关于原点对称，点，是异于点的抛物线上的两点，且，，三点共线，直线，分别与轴交于点，，问：是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，试说明理由.
【解析】（1）由已知得抛物线过点，
所以，所以.
即抛物线的方程为.
设点，则，
所以，
于是得，即，
将点的坐标代入圆的方程，
得，所以.
（2）设点，，由已知得，
由题意直线斜率存在且不为，
设直线的方程为，
由得，
由，得，即，
因为，异于原点，
所以，
则，.
因为点，在抛物线上，
所以，，
则，.
因为轴，
所以
，
所以的值为定值.
19．（2021·全国高二课时练面直角坐标系xOy中，求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程：
（1）求长轴长为4，焦距为2的椭圆的标准方程；
（2）求以A（﹣3，0）为一个焦点，实轴长为的双曲线的标准方程.
【解析】（1）根据题意，椭圆的长轴长为4，焦距为2，即2a＝4，2c＝2，
则a＝2，c＝1，则b；
若椭圆的焦点在x轴上，则其标准方程为，
若椭圆的焦点在y轴上，则其标准方程为1，
故椭圆的标准方程为或；
（2）因为双曲线以A（﹣3，0）为一个焦点，实轴长为，
则其焦点在x轴上，且c＝3，，即，
则，则双曲线的标准方程为.
20．（2021·山东高三二模）已知椭圆的左，右焦点分别为，，过的直线与椭圆交于，两点，圆是的内切圆．当直线的倾斜角为时，直线与椭圆交于点．
（1）求椭圆的方程；
（2）求圆周长的最大值．
【解析】（1）设椭圆的半焦距为，则，
当直线的倾斜角为时，直线的方程为，
又直线与椭圆交于点，，
将点代入椭圆方程得：
解得或（舍），
椭圆的方程为
（2）设圆的半径为，
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，，
当直线的斜率存在时，设为，直线的方程为，
设，
由得
，
又
综上，
当时，圆的周长取得最大值．
21．（2021·湖北高三二模）过双曲线左焦点的动直线与的左支交于，两点，设的右焦点为.
（1）若三角形可以是边长为4的正三角形，求此时的标准方程；
（2）若存在直线，使得，求离心率的取值范围.
【解析】（1）依题意得：
，，.∴，
，，
此时的方程为；
（2）设的方程为，与联立，得
设，，则，，由
，，
∴，
又∵，∴
∴
又、在左支且过，
∴，
∴
综上所述．
22．（2021·黑龙江高三三模（理））已知抛物线的焦点为，过点且垂直于轴的直线与交于，两点，(点为坐标原点)的面积为.
（1）求抛物线的方程；
（2）设不经过原点的直线与抛物线交于?两点，设直线?的倾斜角分别为和，证明：当时，直线恒过定点.
【解析】（1）因为焦点，
所以点，的坐标分别为，.
所以，
故.故抛物线的方程为.
（2）由题设，，
易知直线的斜率存在，记为，
则设直线，与联立得，
得，，
则，
，
，
.
又知，，
，
，
解得，
所以直线，恒过定点.
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
HYPERLINK
"http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
"
21世纪教育网(www.21cnjy.com)