第五章 一元函数的导数及其应用（基础自测卷，解析版）

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一元函数的导数及其应用
基础自测卷
一、单项选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
一、单选题
1．（2021·贵州遵义市·遵义一中高三月考（文））已知函数在处取得极值，则函数的极小值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为，该函数的定义域为，所以，，
由已知条件可得，解得，
所以，，则，
列表如下：
增
极大值
减
极小值
增
所以，函数的极小值为.
故选：B.
2．（2021·贵阳修文北大新世纪贵阳实验学校高三月考（文））曲线在处的切线方程为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为，所以，所以．又，
所以曲线在处的切线方程为．
故答案为：D
3．（2021·贵州高三月考（文））函数f（x）=x3-3x2+8x-的极大值点为（
）
A．1
B．2
C．4
D．
【答案】B
【解析】因为，
令，解得：或；令，解得：.
所以在上单调递增，在上单调递减，故的极大值点为2.
故选：B.
4．（2021·河南高三月考（理））设，，，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为，
所以，即.
设，则.
由，得；由，得.
所以在上单调递减，在上单调递增.
因为，，
所以对任意的，都有，则，即，
故，即.综上，.
故选：A
5．（2021·江北·重庆十八中高二月考）已知两曲线和都经过点，且在点处有公切线，则当时，的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由题意即
设，，
因为，，
所以，，
又因为两曲线在点P处有公切线，所以，所以，
所以(当且仅当时等号成立)
故选：D
6．（2021·河南高三月考（文））已知函数（，）存在极大值和极小值，且极大值与极小值互为相反数，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
设是方程的两个实数根，根据题意可知
，不妨设
则，且
，即
化简得：
将代入化简计算得
，
，选项B正确，选项ACD错误
故选：B.
7．（2021·广东）已知是可导的函数，且，对于恒成立，则下列不等关系正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】令，则，
，，，在上单调递减，
，，即，，
，.故选：A.
8．（2021·全国高二课时练习）已知函数的导函数为，且对任意的恒成立，则（
）
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】D
【解析】依题意，令，则，
于是得函数在上单调递减，则有，，
即，，
所以，.故选：D
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对得5分，有选错得0分，部分选对得3分．
9．（2021·江苏徐州市·高三月考）已知函数，其中是自然对数的底数，下列说法中，正确的是（
）
A．在是增函数
B．是奇函数
C．在上有两个极值点
D．设，则满足的正整数的最小值是
【答案】ABD
【解析】对于A选项，当时，，，
，所以，函数在是增函数，A选项正确；
对于B选项，令，该函数的定义域为，
，
，
则，
所以，函数为奇函数，B选项正确；
对于C选项，当时，，且，
所以，函数在内无极值点；
，
①当时，，，则，
则，，此时，，
所以，函数在上单调递减，
，，
所以，函数在上只有一个极值点；
②当时，，，
所以，，，则，
所以，，则，
所以，函数在上没有极值点.
综上所述，函数在上只有一个极值点，C选项错误；
对于D选项，.
当时，，，不成立；
当时，，
当时，，，
，，，则，
所以，，
所以，满足的正整数的最小值是，D选项正确.故选：ABD.
10．（2021·全国高三专题练习）已知函数，其中正确的结论是（
）
A．当时，函数有最大值
B．对于任意的，函数一定存在最小值
C．对于任意的，函数在上单调递增
D．对于任意的，都有函数
【答案】BC
【解析】对于A选项，当时，函数为增函数，所以，函数无最大值，A选项错误；
对于B选项，对任意的，，则，
所以，函数为上的增函数，
作出函数与的图象如下图所示：
由图象可知，函数与在上有且只有一个交点，且交点横坐标为，
当时，，此时函数单调递减；
当时，，此时函数单调递增.
所以，对于任意的，函数一定存在最小值，B选项正确；
对于C选项，对于任意的且，，此时函数在上单调递增，C选项正确；
对于D选项，取，则，则，D选项错误.
故选：BC.
11．（2021·江苏苏州市·星海实验中学高二月考）设函数，给定下列命题，其中正确的是（
）
A．若方程有两个不同的实数根，则；
B．若方程恰好只有一个实数根，则；
C．若，总有恒成立，则；
D．若函数有两个极值点，则实数.
【解析】因为，
所以的定义域为，
则，
令，解得，
可知在上单调递减，在上单调递增，
所以，
当时，，又（1），
从而要使得方程有两个不同的实根，即与的图象有两个不同的交点，
所以，故选项A正确；
因为不是方程的根，
当时，，
方程有且只有一个实数根，等价于与只有一个交点，
，又且，
令，即，有，知在和单调递减，在上单调递增，
是一条渐近线，极小值为．
由大致图象可知或，故选项B错误；
当时，恒成立等价于恒成立，
即函数在上为增函数，
即恒成立，即在上恒成立，
令，则，
令得，解得，
从而在上单调递增，在上单调递减，
则（1），
所以，故选项C错误；
函数有两个极值点，等价于有两个不同的正根，
即方程有两个不同的正根，由选项C可知，，
即，故选项D正确．故选：AD
12．（2020·泰州市第二中学高一月考）游客从杭州城站到西湖之滨，最先看到的是公园濒湖一带的护栏，南北绵延约1公里，柱与柱之间是一条条轻匀悬链，映照湖上的水光山色.德国数学家莱布尼兹把这种架在等高两柱间?自然下垂有均匀密度的曲线称为悬链线.如果建立适当的平面直角坐标系，那么悬链线可以表示为函数，其中，则下列关于悬链线函数的性质判断中，正确的有（
）
A．为偶函数
B．为奇函数
C．的最小值为
D．的单调增区间为
【答案】ACD
【解析】函数的定义域为,定义域关于原点对称
且
为偶函数,故A选项正确，B选项错误；
当且仅当
时,即取等号，故C选项正确；
当时，
在上单调递增,故D选项正确.
故选：
ACD
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．
13．（2021·甘肃兰州一中高二月考（理））若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围是___________.
【答案】(0，)
【解析】因为函数有两个不同的极值点，
所以在有2个不同的零点，
所以方程在上有两个不同的实根，
所以，解得，故答案为：(0，)
14．（2021·甘肃兰州一中高二月考（文））已知函数，则________．
【答案】0；
【解析】由题意，函数，可得，
令，可得，解得.故答案为：0
15．（2021·江西高三其他模拟（文））对于定义域为的函数，若满足（1）；（2）当，且时，都有；（3）当，且时，都有，则称为“偏对称函数”.现给出四个函数：①；②；③；④则“偏对称函数”有___________个.
【答案】1
【解析】由（2）可知当时，，当时，，
在上单调递减，在上单调递增，
，在上不单调，故不满足条件（2），
不是“偏对称函数”；
又，在上单调递减，不满足条件（2），
不是“偏对称函数”；
对于，作出图象如图：
根据图象，满足②；且当，且时，都有，故其不满足（3）；
不是“偏对称函数”；
，显然满足.，
当
时，，，
当
时，，，
则当
时，都有，符合条件（2），
因为，
函数
在上单调递减，在
上单调递增，
由
的单调性知，当时，，
，
令，，
，
当且仅当即
时，“
“成立，
在，
上是减函数，
，即，
符合条件（3），故
是“偏对称函数”.故答案为：1
16．（2020·全国高三专题练习（文））已知函数和分别为R上的奇函数和偶函数，且满足，则：（1）___________；（2）当时，恒成立，则a的取值范围为___________.
【答案】
【解析】由①，可得，又函数和分别为R上的奇函数和偶函数，则②，由①②可得；
令，则，当且仅当，即时取等号.
当时，，故在上单调递增，所以时，，即恒成立.
当时，方程有正根，设为，若，则，函数在该区间为减函数，所以时，，即，与题设矛盾.
故满足条件的a的取值范围是.
故答案为：；.
四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（2021·甘肃兰州一中高二月考（文））已知函数f(x)＝．
（1）求函数f(x)在x=1处的切线方程；
（2）求证：．
【解析】（1）的定义域为，的导数．
由（1）可得，则切点坐标为，
所求切线方程为．
（2）证明：．
即证．设，则，
由，得．
当时，；当时，．
在上单调递增，在上单调递减，（1）．
，即不等式成立，则原不等式成立．
18．（2021·甘肃兰州一中高二月考（文））已知函数f(x)＝x+alnx+1．
（1）求函数f(x)的单调区间和极值；
（2）若f(x)在[1，e]上的最小值为－a+1，求实数a的值．
【解析】（1）函数f(x)的定义域为
当时，＞0恒成立，f(x)在上单调递增，无极值；
当a＜0时，令＞0，解得x＞－a，令＜0，解得x＜－a，
所以f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为，
此时f(x)有极小值，无极大值；
（2），x∈[1，e]，由＝0得x＝－a，
①若a≥－1，则x＋a≥0，即在[1，e]上恒成立，此时f(x)在[1，e]上为增函数，∴f(x)min＝f（1）＝－a+1，即2＝－a+1，则a＝－1，符合条件．
②若a≤－e，则x＋a≤0，即≤0在[1，e]上恒成立，此时f(x)在[1，e]上为减函数，∴f(x)min＝f(e)＝－a+1，即e＋a＋1＝－a+1，则a＝，不符合条件．
③若－e当1当－a0，∴f(x)在(－a，e)上为增函数，
∴f(x)min＝f(－a)＝﹣a+1，即－a+aln(－a)＋1＝﹣a+1，
则a＝0或a＝－1，均不符合条件．综上所述，a＝－1．
19．（2021·四川省内江市第六中学高三月考（理））已知三次函数.
（1）若函数在区间上具有单调性，求a的取值范围；
（2）当时，若，求的取值范围.
【解析】由可得：
（1）由已知可得当时，令得.
与在区间上的情况如下：
x
0
2
0
0
增
极大值
减
极小值
增
因为在上具有单调性，所以.
当时，与在区间上的情况如下：
x
0
2
0
0
减
极小值
增
极大值
减
因为在上具有单调性，所以，即.
综上所述，a的取值范围是.
（2）先证明：.由（1）知，当时，的递增区间是，递减区间是.因为，不妨设，则.
若，则.所以.
若，因为，所以，当且仅当时取等号.
综上所述，.
再证明：的取值范围是.
假设存在常数，使得对任意.
取，且则
，与矛盾.
所以的取值范围是.
20．（2021·江西高三其他模拟（理））已知函数，
（1）若直线与曲线相切，求的值．
（2）当时，求证：当时，恒成立．
【解析】（1）设直线与相切于点，
则，解得：，，；．
（2）要证对恒成立；
只需证：对恒成立；
即证:对恒成立；
两边同时加，即证,对恒成立；
即证:,对恒成立；
设，则，∴是增函数
只需证:，即对恒成立；
设，则，
∴在单减，在单增，
∴，所以当时，成立．
∴当时，当时，恒成立.
21．（2010·浙江温州市·高二期中（理））已知函数存在极值点.
(1)求的取值范围；
(2)过曲线外的点作曲线的切线，所作切线恰有两条，切点分别为.
(ⅰ)证明：；
(ⅱ)请问的面积是否为定值？若是，求此定值；若不是求出面积的取值范围.
【解析】(
1
)函数的导数为，若函数存在极值点,
则有解，即，，
当时，
,此时函数单调递增，无极值，.
(2)
(
i
)过点作曲线的切线，设切点，
则切线方程为，
将代入得，
即，
由条件知切线恰有两条，
方程恰有两根，
令，
则，
则函数有两个极值点与,
于是或，
当时，成立.
当时，，此时，
经过与条件在曲线外不符合，.
(ⅱ)当时，，
等价为，解得或，
此时，即，
，即，
则的方程为，即，
则，
点到直线的距离，
的面积为为定值.
22．（2021·全国高三月考（理））已知函数，．
（1）若在定义域内是减函数，求的最小值；
（2）若有两个极值点分别是，，证明：．
【解析】（1）定义域为，，
在定义域内是减函数，在上恒成立，
即，，
令，则，令，解得：，
当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减，
，，解得：，
的最小值为.
（2）由（1）知：若有两个极值点，则；
令，则，
令，解得：，
当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减，
不妨设，则；
令，
则，
在上单调递增，，
，即，
又，，
，，
又，在上单调递增，
，即.
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