第五章 一元函数的导数及其应用（能力提升卷，解析版）

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一元函数的导数及其应用
能力提升卷
一、单项选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2021·全国高二课时练习）设函数是的导数，经过探究发现，任意一个三次函数的图象都有对称中心，其中满足，已知函数，则（
）
A．2021
B．
C．2022
D．
【答案】B
【解析】由，可得，，令，得，又，所以对称中心为，所以，…，，.
所以．
故选：B.
2．（2021·山东莱州一中高三开学考试）已知直线分别与直线和曲线相交于点，，则线段长度的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】已知直线与直线，曲线分别交点，，
设，，则有，
变形可得，
又由，
设，，
则当时，，函数在为减函数，
当时，，函数在为增函数，
则有最小值，且，
则，即线段长度的最小值是.故选：A.
3．（2021·千阳县中学高三月考（理））若，则的最大值为（
）
A．
B．
C．e
D．2e
【答案】C
【解析】由题设，，
若，则，即在上单调递增，而，
∴，要使，只需恒成立，
令，则：当时，即递减；当时，即递增；
∴，故只需，即.故选：C
4．（2021·浙江高二开学考试）已知函数，其中，则下列说法一定成立的是（
）
A．在上单调递减
B．在上单调递减
C．在上单调递增
D．在上单调递增
【答案】D
【解析】∵
∴
∴
设，
∵
∴
，
∴
函数的图象为开口向上的抛物线，
函数的对称轴方程为，
又
，
∴
在上先递增再递减，A错，
当时，在上先递减后递增，B错，
当时，在上先递减后递增，C错，
当时，，，函数在上单调递增，D对，
故选：D.
5．（2020·重庆市合川实验中学高三月考（理））已知函数，若方程有3个不同的实根，则的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】，当或时，，时，，
所以在和上都递增，在上递减，
极大值，极小值，
当时，，时，，
所以当时，有三个不同的实根，
设3个不同的实根为，则，．
，
设，则，
时，，递减，时，，递增，
所以，又，，
所以的取值范围是，即为的取值范围．
故选：A．
6．（2021·天水市第一中学高三月考（文））已知定义在上的函数满足，且当时，，若方程有三个不同的实数根，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】∵当时，，
∴当时，，
综上，，
当时，，则在上单调递增，
当时，，则在上单调递减，
∵有三个不同的实数根，
∴的图像和直线有三个不同的交点，
作的大致图像如图所示，
当直线和的图像相切时，设切点为，
∴，可得，，代入，可得，
当过点时，，
由图知，实数的取值范围为.
故选：D.
7．（2021·武汉市光谷第二高级中学）已知函数，，若，，则的最小值为（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】，①
，
，②
，
由①
②得，
因为当时，，
所以在单调递增，，则，.
令，则，
令，解得，令，解得，
故在单调递减，在单调递增，.
故选：A.
8．（2021·新余市第一中学高二月考（文））已知函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】令，，，因此，函数在上单调递增，在上单调递减，
时，，且时，恒成立，
当时，在上单调递减，在上单调递增，
时，，在R上的图象如图，
当时，由得，即，由得，则有函数的零点为-2，0，
函数有三个零点，当且仅当和共有三个零点，即和共有三个零点，
当，即时，和各一个零点，共两个零点，
当，即时，有两个零点，有一个零点，共三个零点，
当，即时，有三个零点，有一个零点，共四个零点，
当，即时，有两个零点，有一个零点，共三个零点，
当，即时，和各有一个零点，共两个零点，
当，即时，无零点，要有三个零点，当且仅当有三个零点，必有，
所以实数的取值范围是.故选：B
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对得5分，有选错得0分，部分选对得3分．
9．（2021·山东高三二模）用符号表示不超过的最大整数，例如：，.设有3个不同的零点，，，则（
）
A．是的一个零点
B．
C．的取值范围是
D．若，则的范围是.
【答案】AD
【解析】由题意，令，则或，
显然是方程的解，也是方程的解，所以选项A正确；
因为有3个不同的零点，所以方程有2个不同的解，且两解都不等于，
易知，可得，
令，则直线与函数的图象有2个不同交点，
求导得，，
当时，，此时函数单调递增；
当时，，此时函数单调递减.
又当时，；当时，，当时，取得最大值.
可画出函数的图象，如下图所示，
根据图象可知，当时，直线与函数的图象没有交点；
当或时，直线与函数的图象只有1个交点；
当，即时，直线与函数的图象有2个不同交点.
又因为，且直线与函数的图象的2个不同交点的横坐标不等于，所以，即，
综上所述，当时，直线与函数的图象有2个不同交点，且两个交点的横坐标都不等于e
，此时有3个不同的零点，故C错误；
不妨设，是直线与函数的图象的2个不同交点，且，
则，，
根据的图象，当趋近与0时，趋近于1，趋近于无穷大，此时趋近于无穷大，故选项B错误；
对于选项D，由，，可得，，
因为，所以，则，
则，，
所以，即，
故选项D正确.故选：AD.
10．（2020·湖北高三期中）已知曲线与曲线有公共点，且在第一象限内的公共点处的切线相同(e是自然对数的底数)，则当m变化时，实数a取以下哪些值能满足以上要求（
）
A．1
B．e
C．
D．
【答案】AB
【解析】设公切点为，，则，
求导得，，，
由切线相同知，，即，
则，，
令，，
，在时，，单调递减，；
故函数的值域为，即只需均可满足条件.
易知，或时均满足，或时不满足；故选：AB.
11．（2021·全国高三其他模拟）已知函数，若时，有，是圆周率，为自然对数的底数，则下列结论正确的是（
）
A．的图象与轴有两个交点
B．
C．若，则
D．若，，，，，，则最大
【答案】BCD
【解析】的定义域为，且，当，即时，单调递增；当，即时，单调递减，所以的单调递增区间为，单调递减区间为.由于时，，且当时，，故只有一个零点，所以A选项不正确；
由于的单调性，可得，所以B选项正确；
由的单调区间，可画出函数的简图.由，，可知，.因为在上单调递减，可知，故有.因为在上单调递增，所以.综上，有，所以C选项正确；
因为，由指数函数单调性可知，，，；由幂函数单调性可知，，，，即有，，故这6个数的最大数在与之中，最小数在与之中.由及的单调性，有，即.由，可得，即，所以；同理可得.综上可得，6个数中最大数是，最小数是，所以D选项正确，
故选：BCD.
12．（2021·全国高三专题练习）定义在上的函数满足，且当时，.若，则实数的取值可能是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】AB
【解析】设
由得，即，是偶函数，
又，而时，，所以，
在递增，则其在上递减．
化为，即，
所以，解得．AB均满足．
故选：AB．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．
13．（2021·甘肃兰州一中高二月考（文））设函数，，则实数a＝______．
【答案】2；
【解析】，所以，解得，故答案为：.
14．（2021·江苏省苏州实验中学高二专题练习）已知函数在处取得最小值m，则___________.
【答案】
【解析】因为，且，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以在处取最小值，所以，
所以，故答案为：.
15．（2020·湖北高三期中）设函数(e是自然对数的底数)，若，使得，不等式恒成立，则实数m的取值范围是___________.
【答案】
【解析】，当时，，
由，得，
令，得，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以当时，，即
因为，使得，不等式恒成立，
①当时，，
因为，所以，
解得（舍去）或，
②当时，，
因为，所以，
解得（舍去）或，
综上所述，或
所以实数m的取值范围是，
故答案为：
16．（2021·湖南永州市·高三二模）定义方程的实数根叫做函数的“新驻点”.
（1）设，则在上的“新驻点”为___________；
（2）如果函数与的“新驻点”分别为?，那么和的大小关系是___________.
【答案】
【解析】（1），，
根据“新驻点”的定义得，即，可得，
，解得，所以，函数在上的“新驻点”为；
（2），则，根据“新驻点”的定义得，即.
，则，由“新驻点”的定义得，即，
构造函数，则函数在定义域上为增函数，
，，
，由零点存在定理可知，，
.故答案为：（1）；（2）.
四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（2021·甘肃兰州一中高二月考（文））已知函数在x＝1处取得极值．
（1）求实数a，b的值；
（2）判断函数f(x)的零点个数．
【解析】（1）＝x2+2ax－b．
因为且,
所以，
解得,经检验符合条件．
（2），
则
由＜0得f(x)单调递减区间为（－2，1）；
由＞0得f(x)单调递增区间为（－∞，－2）和（1，+∞）．
则f(x)的极小值为，极大值为，
又，
则函数f(x)有3个零点．
18．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈尔滨三中高二月考（文））已知函数，．
（1）当时，求证：；
（2）当时，讨论函数的单调性．
【解析】（1）当时，，该函数的定义域为，
，
当时，，此时函数单调递减；
当时，，此时函数单调递增.
所以，，因此，当时，求证：；
（2）当时，函数的定义域为，
.
①当时，即当时，则.
由可得，由可得.
此时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；
②当时，即当时，
由可得，由可得或.
此时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为、；
③当时，即当时，则对任意的恒成立，
此时，函数的单调递增区间为；
④当时，即当时，
由可得，由可得或.
此时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为、.
综上所述，当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；
当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为、；
当时，函数的单调递增区间为；
当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为、.
19．（2020·湖北高三期中）已知函数.
（1）求函数的单调递增区间；
（2）若关于x的方程在区间内恰有两个相异的实根，求实数a的取值范围.
【解析】（1）函数在定义域是.
因为，
令，又，得，
所以函数的单调递增区间是
（2）由，得
令
则
由，得，
由，得，
所以函数在内单调递减，在内单调递增，
由题可知方程在区间内恰有2个相异的实根，
则，即，
由
解得，
综上所述，实数a取值范围是.
20．（2021·辽宁高三二模（理））已知函数.
（Ⅰ）当时，求函数的单调区间
（Ⅱ）若在上有且仅有一个极小值点，求的取值范围.
【解析】（1）由题设，当，有，，
在上递增，
当，，递减，
当，，递增，
增区间是，减区间是
（2）当，，
①当时，由（1）知，在递增，无极值点，
②由（1）知：a
=
2时，f(x)在
x
>
0上单调增，无极值点，
③当时，令，则，
当时，，，即递减，，即；
当，，，即递增，
(下证引理：)：令，则，当，，递增；当，，递减.而，所以，证毕.
，又，
在上有唯一零点，
当，，有，即递减；当，，有，递增；
有唯一极小值点
综上所述，的取值范围是.
21．（2021·湖北高二期中）已知函数.
（1）讨论的极值情况；
（2）若时，，求证：.
【解析】（1）定义域为，求导得，
①当时，，为上增函数，无极值，
②当时，，得，
时，，为减函数；时，，为增函数，
所以时，有极小值，无极大值.
（2）①当时，，使，则，，
此时成立，
②当时，由（1）得时，有最小值，
，则，解得，
所以，
设，则，
因为为上减函数，且，，
则存在唯一实数，使，，
当时，，为增函数，
当时，，为减函数，
当时有最大值，
为上增函数，时，，则，
所以，
综上所述，.
22．（2021·湖北荆门市·高三月考）已知函数．
（1）求函数在的最大值；
（2）证明：函数在有两个极值点，并判断与的大小关系．
【解析】（1）
当时，，则，故在上单调递增，
又，所以在有唯一的零点t．
当时，；当时，．
故在上单调递减，在上单调递增，
且，，所以在的最大值为．
（2），
①当时，均单调递增，所以单调递增，
又，
所以在有唯一的零点，
此时当时，；时，，
所以是极小值点，不妨让．
②当时，，单调递增，所以；
故在上单调递增，没有极值点；
③当，．由（1）知，在上单调递减，在上单调递增，
且，故有唯一的零点，
则时，，即单调递减；时，，即单调递增，
又，
所以在有唯一的零点，
此时时，；时，，
所以是极大值点，即，
所以在有两个极值点，其中，，
且，由于，所以．
因为，，且在上单调递减，
所以，即．
（判断极值点的时候，也对．）
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