第一章 空间向量与立体几何（能力提升卷，解析版）

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空间向量与立体几何
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2021·山东济南历城二中高三模拟）如图，在四棱锥中，底面，四边形为正方形，且，为的重心，则与底面所成的角满足（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，所以，．易知平面的一个法向量为，则，所以，．故选：B
2．（2021·全国高二课时练习）正方体中，直线与平面所成角的正弦值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．
设正方体的棱长为1，则，，，，，
∴，，，，
∴，，∴，．
又，∴平面，
∴是平面的一个法向量，
∵，
∴直线与平面所成角的正弦值为．故选：C
3．（2021·全国高二课时练习）如图所示，在三棱柱中，底面，，，点，分别是棱，的中点，则直线与所成的角是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】如图所示，建立空间直角坐标系．由于，不妨取，则，，，，∴，，∴，又，∴，即直线与所成的角为.
故选：C．
4．（2021·全国高二课时练习）已知为坐标原点，向量，，，点在直线上运动，则当取得最小值时，点的坐标为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】∵点在直线上运动，∴存在实数使得，
∴，，
∴
，
当时，上式取得最小值，此时．
故选：C.
5．（2021·全国高二课时练习）已知向量，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】∵与的夹角为锐角，∴，且与的夹角不为0，
当时，，∴．
当与的夹角为0时，存在，使，∴，此方程组无解，
综上，实数的取值范围是.故选：A．
6．（2021·宝山区·上海交大附中高三开学考试）对平面中的任意平行四边形，可以用向量方法证明：，若将上述结论类比到空间的平行六面体，则得到的结论是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】在平行六面体中，
，同理，
，，
所以，
同理，
，
所以
即故选：D．
7．（2021·全国高二课时练习）已知，，则的最大值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】利用作图法，构造正方体，设正方体的棱长为1，如图所示.
则，，且点在线段上移动.
当在位置时，最小，即最大，
则为最大值.故选：D
8．（2021·全国高二课时练习）如图，在正方体中，为的中点，点在底面上运动并且使，那么点的轨迹是（
）
A．一段圆弧
B．一段椭圆弧
C．一段双曲线弧
D．一段抛物线弧
【答案】C
【解析】由题意可知，点的轨迹是一个正圆锥面和一个平面的交线，这个正圆锥面的中心轴即为直线，顶点为，顶角的一半即为.
如图，以点为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，
设正方体的棱长为1，则，，，
即，，.
∵.
设与底面所成的角为，
则，
∴，
∴该正圆锥面和底面的交线是一段双曲线弧.故选：C.
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)
9．（2021·沈阳市第八十三中学高二月考）已知三棱锥，，分别是，的中点，为线段上一点，且，设，，，则下列等式成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【解析】因为为的中点，所以，故选项A正确；
，故选项B正确；
，故选项C错误；
，故选项D正确.
故选：ABD.
10．（2021·全国高二单元测试）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，底面，则（
）
A．
B．与平面所成角为
C．异面直线与所成角的余弦值为
D．平面与平面所成二面角的平面角为锐角时的余弦值为
【答案】AD
【解析】对于A，由，及余弦定理得，从而，故.由底面，可得.又，所以平面，故.故A正确.
对于B，因为底面，所以就是与平面所成的角，又，所以.故B错误.
对于C，显然是异面直线与所成的角，易得.故C错误.
对于D，以D为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系.
设，则，，，，所以，，.
设平面的一个法向量为，
则，即，
取，则，，
此时.
设平面的一个法向量为，
则，即，
取，则，，此时，所以，
所以平面与平面所成二面角的平面角为锐角时的余弦值为.故D正确.
故选：AD.
11．（2021·全国高二课时练习）（多选）给出下列命题，其中是真命题的是（
）
A．若可以构成空间的一组基，向量与共线，，则也可以构成空间的一组基
B．已知向量，则，与任何向量都不能构成空间的一组基
C．已知，，，是空间中的四点，若，，不能构成空间的一组基，则，，，四点共面
D．已知是空间的一组基，若，则不是空间的一组基
【答案】ABC
【解析】对B，根据基向量的概念，知空间中任何三个不共面的向量都可作为空间的一组基，故B是真命题．
对C，由，，不能构成空间的一组基，知，，共面，又，，有公共点，所以，，，四点共面，故C是真命题．
对A，假设向量与，共面，则存在实数，，使得，又向量与共线，，∴存在实数，使得，∵，∴，从而，∴与，共面，与条件矛盾，∴向量与，不共面，即A是真命题．
对D，假设是空间的一组基，则不存在满足，所以不存在满足，是空间的一组基，不存在满足，假设成立，
D是假命题．故选：ABC．
12．（2021·河北张家口·高二期末）如图，在正方体中，点E是线段上的动点，则下列判断正确的是（　　）
A．当点E与点重合时，
B．当点E与线段的中点重合时，与异面
C．无论点E在线段的什么位置，都有
D．若异面直线与所成的角为θ，则的最大值为
【答案】ACD
【解析】当点E与点重合时，，∵，∴∴A正确；
当点E与线段的中点重合时，是的中点，与都在平面内，与相交，∴B错误.
建立如图所示的直角坐标系，设正方体棱长为1，则，，.设，则，，∵，∴，∴C正确.
∵，异面直线与，所成的角为，则.当时，有最大值，此时点是线段的中点，∴D正确.
故选：ACD
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．（2021·沈阳市第八十三中学高二月考）在正四面体中，，分别为棱，的中点，则异面直线与所成角的余弦值为___________.
【答案】
【解析】为棱的中点，设
又
为棱的中点
又的两两夹角都为，并设
又
异面直线与所成角的余弦值为
故答案为：
14．（2021·全国高二课时练习）如图所示，已知四棱锥中，底面是菱形，且平面，，点为的中点，则二面角的平面角的正切值为______．
【答案】
【解析】如图所示，设与交于点，连接．
因为底面是菱形，所以，O为AC的中点，
又点为的中点，所以，
因为平面，所以平面，
以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系．
设，则，所以，，，，，，，
易知为平面的一个法向量．
设平面的法向量为，
则，
令，可得平面的一个法向量为，
所以，，所以．
由题图知二面角的平面角为锐角，
故二面角的平面角的正切值为．故答案为：．
15．（2021·全国高三专题练习）如图，四边形和均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点在线段上，，分别为，的中点．设异面直线与所成的角为，则的最大值为______．
【答案】
【解析】建立空间直角坐标系如图所示，
设，则，，
设
则,,
∴，
．
令，则，∵，∴．
当时，
,
．
当时，有最大值，的最大值为．
当时，．
故答案为：．
16．（2021·辽宁抚顺一中高二开学考试）正方体棱长为2，N是棱AD的中点，M是棱的中点，则直线BM与之间的距离为__________.
【答案】
【解析】如图，以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系．
则(2，2，，，2，，，0，，，2，．
，，,
设为直线BM与的公垂线的方向向量，
所以,
所以直线BM与之间的距离为.故答案为：
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2021·沈阳市第八十三中学高二月考）如图所示，在三棱锥中，平面，，，，，分别是，，，的中点，，与交于点，与交于点，连接.
（1）求证：；
（2）求平面与平面的夹角的余弦值.
【解析】（1）因为，，，分别是，，，的中点，
所以，.
所以.
又平面，平面，
所以平面.
又平面，平面平面，
所以.又，
所以.
（2）在中，，，
所以.
又平面，所以，，两两垂直.
以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴?轴?轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
设，
则，，，，，.
所以，，
，.
设平面的一个法向量为，
由，，
得取，得.
设平面的一个法向量为，
由，，
得取，得.
设平面与平面的夹角为，
则.
18．（2021·福建省厦门第六中学高二开学考试）已知：如图，在四棱锥中，四边形为正方形，面，且，为中点.
（1）证明：平面；
（2）证明：平面平面；
（3）求二面角的正弦值.
【解析】（1）证明：连接交于点，连接，则为的中点，
因为为的中点，，
平面，平面，因此，平面；
（2）证明：平面，平面，，
在正方形中，，且，所以，平面.
又平面，所以，平面平面.
（3）解：平面，且，
如图，以为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系.
，所以，、、、、、.
易知平面的一个法向量为，
设平面的一个法向量为，，，
则，即，令，则，，解得.
，则，
因此，二面角的正弦值为.
19．（2021·山西太原五中高三月考（理））如图，在五面体中，底面四边形为正方形，平面平面.
（1）求证：；
（2）若，，，，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.
【解析】证明：（1）在正方形中，，
平面，平面，
平面，
又平面，且平面，
.
（2）四边形为正方形，
，平面,
平面，
平面，
，
又，以D为坐标原点，分别以，，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则，，，
可知为平面的一个法向量，
设平面的一个法向量为，
，则，令，，
设平面与平面所成的锐二面角为，
则，
故平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.
20．（2021·黑龙江哈尔滨三中高二月考（理））如图，已知多面体中，，，均垂直于平面.，，，.
（1）证明：平面；
（2）求二面角的正弦值.
【解析】（1）取的中点，的中点，连接，.
因为，，
所以.
又因为，，均垂直于平面，所以垂直平面，
以为原点，分别为轴建系，如图所示：
则，，，，，
，，.
设平面的法向量，
则，令，得，
所以，即证平面；
（2）因为平面的法向量为，
则.
设二面角的平面角为，且为锐角，所以，
则.
21．（2021·全国高二课时练习）如图，在长方体中，，，为的中点．
（1）证明：；
（2）求点到平面的距离；
（3）求二面角的平面角的余弦值．
【解析】（1）如图，以为原点，分别以，，的方向为，，轴的正方向建立空间直角坐标系，
则，，，，
所以，．
因为，
所以．
（2）由（1），得，，
所以，，．
设平面的一个法向量为，
则，即，令，则，，
所以，
则点到平面的距离．
（3）因为，所以．
由（1）可知，且，
所以平面，即是平面的一个法向量．
由（2）得是平面的一个法向量，
所以．
又二面角的平面角是锐角，
所以二面角的平面角的余弦值为．
22．（2020·河北正定中学高三月考）如图，是以为直径的圆上异于，的点，平面平面，，，，分别是，的中点，记平面与平面的交线为直线．
（Ⅰ）求证：直线平面；
（Ⅱ）直线上是否存在点，使直线分别与平面、直线所成的角互余？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【解析】（Ⅰ）证明：，分别是，的中点，
，又平面，面，
面，又面，面面，
，又，面面，面面，
面，则面．
（Ⅱ）以为坐标原点，为轴，为轴，过垂直于面的直线为轴，建立空间直角坐标系，,0,，,4,，,0,，，，
∴，，
设,,，面的法向量为，则，取，得，且，
，，
依题意，得，即．
直线上存在点，使直线分别与平面、直线所成的角互余，．
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