第二章 直线和圆的方程（基础自测卷，解析版）
文档属性
| 名称 | 第二章 直线和圆的方程（基础自测卷，解析版） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.6MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-09-27 09:06:41 | ||
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文档简介
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直线和圆的方程
基础自测卷
一、单选题
1．（2021·黑龙江哈尔滨三中高二月考）已知的直角顶点在圆上，若点，，则的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为点为的直角顶点，且点，，
所以点在以为直径的圆上（去掉两点）.
又因为在圆上，
所以圆与圆有交点，因为，
所以，解得.故选：D
2．（2021·黑龙江哈尔滨三中高二月考）设直线与圆交于、两点，若线段的中点为，则圆上的点到直线的距离的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】圆的圆心为，由垂径定理可知，
直线的斜率为，所以，直线的斜率为，
故直线的方程为，即，
圆的圆心为，半径为，
圆心到直线的距离为，
因此，圆上的点到直线的距离的最小值为.
故选：A.
3．（2021·全国高一课时练习）点到直线的距离为（
）
A．1
B．2
C．
D．
【答案】C
【解析】将直线化成一般形式为，故点到直线的距离．故选C．
4．（2021·全国高一课时练习）已知直线和直线，则当与间的距离最短时，t的值为（
）
A．1
B．
C．
D．2
【答案】B
【解析】∵直线即为直线，∴直线直线．
∴与间的距离，当且仅当时取等号．
∴当与间的距离最短时，t的值为．故答案选：B
5．（2021·黑龙江哈尔滨三中高二月考）已知点为圆上动点，为坐标原点，则向量在向量方向上投影的最大值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】如图所示，向量所在直线为OA（A为向量的终点），则，则设与直线OA垂直且与圆相切的直线为，所以圆心到直线的距离，
根据图形可知，当时投影最大，设此时与直线OA交于B，
易得，直线OA：，联立：，解得：，
所以，则向量在向量方向上投影的最大值为.故选：B.
6．（2021·黑龙江哈尔滨三中高二月考）已知圆与圆关于直线对称，则圆的方程为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】设圆心关于直线直线的对称点的坐标为，则线段C1C2的中点为，且.
于是，易知圆的半径长度不变，所以圆的方程为.故选：D.
7．（2021·黑龙江哈尔滨三中高二月考）若，则直线的倾斜角的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为，则，
所以，直线的斜率为，
因此，直线的倾斜角的取值范围是.故选：B.
8．（2021·全国高二课时练习）设A，是轴上的两点，点的横坐标为2，且，若直线的方程为，则直线的方程是（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】易知,,
∵，∴点在线段的垂直平分线，
即直线上，∴,,
∴直线的斜率，
∴直线的方程为，∴．故选：A.
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)
9．（2021·北京四中高二二月考）过点A(1,2)的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程可能为( )
A．x－y＋1＝0
B．x＋y－3＝0
C．2x－y＝0
D．x－y－1＝0
【答案】AC
【解析】当直线过原点时，可得斜率为＝2，故直线方程为y＝2x，即2x－y＝0；当直线不过原点时，设直线方程为＋＝1，代入点(1,2)，可得－＝1，解得a＝－1，直线方程为x－y＋1＝0，故所求直线方程为2x－y＝0或x－y＋1＝0.故选A、C.
10．（2021·海南高二月考）直线x－y＋m＝0与圆x2＋y2－2x－1＝0有两个不同的交点的充分不必要条件可以是( )
A．0＜m＜1
B．m＜1
C．－2＜m＜1
D．－3＜m＜1
【答案】AC
【解析】圆x2＋y2－2x－1＝0的圆心为(1,0)，半径为.因为直线x－y＋m＝0与圆x2＋y2－2x－1＝0有两个不同的交点，所以直线与圆相交，因此圆心到直线的距离d＝＜，所以|1＋m|＜2，解得－3＜m＜1，求其充分条件，即求其子集，故由选项易得A、C符合．故选A、C.
11．（2021山东淄博试验中学高二月考）已知圆C：(x－3)2＋(y－3)2＝72，若直线l：x＋y－m＝0垂直于圆C的一条直径，且经过这条直径的一个三等分点，则直线l的方程是( )
A．x＋y－2＝0
B．x＋y－4＝0
C．x＋y－8＝0
D．x＋y－10＝0
【答案】AD
【解析】根据题意，圆C：(x－3)2＋(y－3)2＝72，其圆心C(3,3)，半径r＝6，若直线l：x＋y－m＝0垂直于圆C的一条直径，且经过这条直径的一个三等分点，则圆心到直线的距离为2，则有d＝＝2，变形可得|6－m|＝4，解得m＝2或10，即l的方程为x＋y－2＝0或x＋y－10＝0.
12．（2021山东济南外国语高二月考）已知直线l1：x－y－1＝0，动直线l2：(k＋1)x＋ky＋k＝0(k∈R)，则下列结论正确的是( )
A．存在k，使得l2的倾斜角为90°
B．对任意的k，l1与l2都有公共点
C．对任意的k，l1与l2都不重合
D．对任意的k，l1与l2都不垂直
【答案】ABD
【解析】对于动直线l2：(k＋1)x＋ky＋k＝0(k∈R)，当k＝0时，斜率不存在，倾斜角为90°，故A正确；由方程组可得(2k＋1)x＝0，对任意的k，此方程有解，可得l1与l2有交点，故B正确；因为当k＝－时，＝＝成立，此时l1与l2重合，故C错误；由于直线l1：x－y－1＝0的斜率为1，动直线l2的斜率为＝－1－≠－1，故对任意的k，l1与l2都不垂直，故D正确．
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．（2021·上海市向明中学高二月考）若过点P(1－a,1＋a)与点Q(3,2a)的直线的倾斜角是钝角，则实数a的取值范围是________．
【答案】
(－2,1)
【解析】k＝＝<0，得－214．（2021·寿县第一中学高二）若两平行直线3x－2y－1＝0,6x＋ay＋c＝0之间的距离为，则的值为________．
【答案】－1或1
【解析】由题意，得＝≠，所以a＝－4，c≠－2.所以直线6x＋ay＋c＝0的方程可化为3x－2y＋＝0.由两平行线间的距离公式，得＝，即＝2，解得c＝2或－6，所以＝－1或1.
15．（2021·南昌市铁路第一中学高二期中）若圆O：x2＋y2＝5与圆O1：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长为________．
【答案】4
【解析】连接OO1，记AB与OO1的交点为C，如图所示，在
Rt△OO1A中，|OA|＝，|O1A|＝2，∴|OO1|＝5，∴|AC|＝＝2，∴|AB|＝4.
16．（2021·黑龙江大庆实验中学高二月考）已知直线l：mx－y＝1，若直线l与直线x＋m(m－1)y＝2垂直，则m的值为________；动直线l：mx－y＝1被圆C：x2－2x＋y2－8＝0截得的最短弦长为________．
【答案】0或2 2
【解析】因为直线mx－y＝1与直线x＋m(m－1)y＝2垂直，所以m×1＋(－1)×m(m－1)＝0.解得m＝0或m＝2.
动直线l：mx－y＝1过定点(0，－1)，圆C：x2－2x＋y2－8＝0化为(x－1)2＋y2＝9，圆心(1,0)到直线mx－y－1＝0的距离的最大值为＝，所以动直线l被圆C截得的最短弦长为2＝2.
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)
（2021·安徽六安一中高二月考）已知直线l经过点P(－2,1)，且与直线x＋y＝0垂直．
(1)求直线l的方程；
(2)若直线m与直线l平行且点P到直线m的距离为，求直线m的方程．
【解析】(1)由题意得直线l的斜率为1，
故直线l的方程为y－1＝x＋2，即x－y＋3＝0.
(2)由直线m与直线l平行，
可设直线m的方程为x－y＋c＝0，
由点到直线的距离公式得＝，
即|c－3|＝2，解得c＝1或c＝5.
故直线m的方程为x－y＋1＝0或x－y＋5＝0.
18．(本小题满分12分)
（2021·内蒙古集宁一中高二期末）已知从圆外一点P(4,6)作圆O：x2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B.
(1)求以OP为直径的圆的方程；
(2)求直线AB的方程．
【解析】(1)∵所求圆的圆心为线段OP的中点(2,3)，
半径为|OP|＝
＝，
∴以OP为直径的圆的方程为(x－2)2＋(y－3)2＝13.
(2)∵PA，PB是圆O：x2＋y2＝1的两条切线，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴A，B两点都在以OP为直径的圆上．
由得直线AB的方程为4x＋6y－1＝0.
19．(本小题满分12分)
（2021·南城县第二中学高二开学考试）如图，已知点A(2,3)，B(4,1)，△ABC是以AB为底边的等腰三角形，点C在直线l：x－2y＋2＝0上．
(1)求AB边上的高CE所在直线的方程；
(2)求△ABC的面积．
【解析】(1)由题意可知，E为AB的中点，
∴E(3,2)，且kCE＝－＝1，
∴CE所在直线方程为：y－2＝x－3，即x－y－1＝0.
(2)由得C(4,3)，∴|AC|＝|BC|＝2，AC⊥BC，
∴S△ABC＝|AC|·|BC|＝2.
20．(本小题满分12分)
（2021·上海交大附中高二期中）已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N两点．
(1)求k的取值范围；
(2)若·＝12，其中O为坐标原点，求|MN|.
【解析】(1)由题设可知直线l的方程为y＝kx＋1.
因为直线l与圆C交于两点，
所以＜1.
解得＜k＜.
所以k的取值范围为.
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)．
将y＝kx＋1代入方程(x－2)2＋(y－3)2＝1，
整理得(1＋k2)x2－4(1＋k)x＋7＝0.
所以x1＋x2＝，x1x2＝.
·＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝＋8.
由题设可得＋8＝12，解得k＝1，
所以直线l的方程为y＝x＋1.
故圆心C在直线l上，所以|MN|＝2.
21．(本小题满分12分)
（2021·黑龙江哈九中高二期中）在直角坐标系xOy中，曲线y＝x2＋mx－2与x轴交于A，B两点，点C的坐标为(0,1)，当m变化时，解答下列问题：
(1)能否出现AC⊥BC的情况？说明理由；
(2)证明过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．
【解析】(1)不能出现AC⊥BC的情况，理由如下：
设A(x1,0)，B(x2,0)，则x1，x2满足x2＋mx－2＝0，
所以x1x2＝－2.
又C的坐标为(0,1)，
故AC的斜率与BC的斜率之积为·＝－，
所以不能出现AC⊥BC的情况．
(2)证明：由(1)知BC的中点坐标为，
可得BC的中垂线方程为y－＝x2.
由(1)可得x1＋x2＝－m，
所以AB的中垂线方程为x＝－.
联立可得
所以过A，B，C三点的圆的圆心坐标为，半径r＝.
故圆在y轴上截得的弦长为2＝3，即过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．
22．(本小题满分12分)
（2021·贵州贵阳一中高二月考）已知圆M：x2＋(y－4)2＝4，P是直线l：x－2y＝0上的动点，过点P作圆M的切线PA，切点为A.
(1)当切线PA的长度为2时，求点P的坐标．
(2)若△PAM的外接圆为圆N，试问：当点P运动时，圆N是否过定点？若过定点，求出所有的定点的坐标；若不过定点，请说明理由．
【解析】(1)由题可知圆M的圆心为M(0,4)，半径r＝2.
设P(2b，b)，因为PA是圆M的一条切线，所以∠MAP＝90°.
在Rt△MAP中，|MP|2＝|AM|2＋|AP|2，故|MP|＝＝4.
又|MP|＝
＝
，所以
＝4，解得b＝0或.
所以点P的坐标为(0,0)或
(2)设点P的坐标为(2b，b)．
因为∠MAP＝90°，所以△PAM的外接圆圆N是以MP为直径的圆，
且MP的中点坐标为，
所以圆N的方程为(x－b)2＋＝，
即(2x＋y－4)b－(x2＋y2－4y)＝0.
由解得或
所以圆N过定点(0,4)和.
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直线和圆的方程
基础自测卷
一、单选题
1．（2021·黑龙江哈尔滨三中高二月考）已知的直角顶点在圆上，若点，，则的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为点为的直角顶点，且点，，
所以点在以为直径的圆上（去掉两点）.
又因为在圆上，
所以圆与圆有交点，因为，
所以，解得.故选：D
2．（2021·黑龙江哈尔滨三中高二月考）设直线与圆交于、两点，若线段的中点为，则圆上的点到直线的距离的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】圆的圆心为，由垂径定理可知，
直线的斜率为，所以，直线的斜率为，
故直线的方程为，即，
圆的圆心为，半径为，
圆心到直线的距离为，
因此，圆上的点到直线的距离的最小值为.
故选：A.
3．（2021·全国高一课时练习）点到直线的距离为（
）
A．1
B．2
C．
D．
【答案】C
【解析】将直线化成一般形式为，故点到直线的距离．故选C．
4．（2021·全国高一课时练习）已知直线和直线，则当与间的距离最短时，t的值为（
）
A．1
B．
C．
D．2
【答案】B
【解析】∵直线即为直线，∴直线直线．
∴与间的距离，当且仅当时取等号．
∴当与间的距离最短时，t的值为．故答案选：B
5．（2021·黑龙江哈尔滨三中高二月考）已知点为圆上动点，为坐标原点，则向量在向量方向上投影的最大值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】如图所示，向量所在直线为OA（A为向量的终点），则，则设与直线OA垂直且与圆相切的直线为，所以圆心到直线的距离，
根据图形可知，当时投影最大，设此时与直线OA交于B，
易得，直线OA：，联立：，解得：，
所以，则向量在向量方向上投影的最大值为.故选：B.
6．（2021·黑龙江哈尔滨三中高二月考）已知圆与圆关于直线对称，则圆的方程为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】设圆心关于直线直线的对称点的坐标为，则线段C1C2的中点为，且.
于是，易知圆的半径长度不变，所以圆的方程为.故选：D.
7．（2021·黑龙江哈尔滨三中高二月考）若，则直线的倾斜角的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为，则，
所以，直线的斜率为，
因此，直线的倾斜角的取值范围是.故选：B.
8．（2021·全国高二课时练习）设A，是轴上的两点，点的横坐标为2，且，若直线的方程为，则直线的方程是（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】易知,,
∵，∴点在线段的垂直平分线，
即直线上，∴,,
∴直线的斜率，
∴直线的方程为，∴．故选：A.
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)
9．（2021·北京四中高二二月考）过点A(1,2)的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程可能为( )
A．x－y＋1＝0
B．x＋y－3＝0
C．2x－y＝0
D．x－y－1＝0
【答案】AC
【解析】当直线过原点时，可得斜率为＝2，故直线方程为y＝2x，即2x－y＝0；当直线不过原点时，设直线方程为＋＝1，代入点(1,2)，可得－＝1，解得a＝－1，直线方程为x－y＋1＝0，故所求直线方程为2x－y＝0或x－y＋1＝0.故选A、C.
10．（2021·海南高二月考）直线x－y＋m＝0与圆x2＋y2－2x－1＝0有两个不同的交点的充分不必要条件可以是( )
A．0＜m＜1
B．m＜1
C．－2＜m＜1
D．－3＜m＜1
【答案】AC
【解析】圆x2＋y2－2x－1＝0的圆心为(1,0)，半径为.因为直线x－y＋m＝0与圆x2＋y2－2x－1＝0有两个不同的交点，所以直线与圆相交，因此圆心到直线的距离d＝＜，所以|1＋m|＜2，解得－3＜m＜1，求其充分条件，即求其子集，故由选项易得A、C符合．故选A、C.
11．（2021山东淄博试验中学高二月考）已知圆C：(x－3)2＋(y－3)2＝72，若直线l：x＋y－m＝0垂直于圆C的一条直径，且经过这条直径的一个三等分点，则直线l的方程是( )
A．x＋y－2＝0
B．x＋y－4＝0
C．x＋y－8＝0
D．x＋y－10＝0
【答案】AD
【解析】根据题意，圆C：(x－3)2＋(y－3)2＝72，其圆心C(3,3)，半径r＝6，若直线l：x＋y－m＝0垂直于圆C的一条直径，且经过这条直径的一个三等分点，则圆心到直线的距离为2，则有d＝＝2，变形可得|6－m|＝4，解得m＝2或10，即l的方程为x＋y－2＝0或x＋y－10＝0.
12．（2021山东济南外国语高二月考）已知直线l1：x－y－1＝0，动直线l2：(k＋1)x＋ky＋k＝0(k∈R)，则下列结论正确的是( )
A．存在k，使得l2的倾斜角为90°
B．对任意的k，l1与l2都有公共点
C．对任意的k，l1与l2都不重合
D．对任意的k，l1与l2都不垂直
【答案】ABD
【解析】对于动直线l2：(k＋1)x＋ky＋k＝0(k∈R)，当k＝0时，斜率不存在，倾斜角为90°，故A正确；由方程组可得(2k＋1)x＝0，对任意的k，此方程有解，可得l1与l2有交点，故B正确；因为当k＝－时，＝＝成立，此时l1与l2重合，故C错误；由于直线l1：x－y－1＝0的斜率为1，动直线l2的斜率为＝－1－≠－1，故对任意的k，l1与l2都不垂直，故D正确．
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．（2021·上海市向明中学高二月考）若过点P(1－a,1＋a)与点Q(3,2a)的直线的倾斜角是钝角，则实数a的取值范围是________．
【答案】
(－2,1)
【解析】k＝＝<0，得－2
【答案】－1或1
【解析】由题意，得＝≠，所以a＝－4，c≠－2.所以直线6x＋ay＋c＝0的方程可化为3x－2y＋＝0.由两平行线间的距离公式，得＝，即＝2，解得c＝2或－6，所以＝－1或1.
15．（2021·南昌市铁路第一中学高二期中）若圆O：x2＋y2＝5与圆O1：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长为________．
【答案】4
【解析】连接OO1，记AB与OO1的交点为C，如图所示，在
Rt△OO1A中，|OA|＝，|O1A|＝2，∴|OO1|＝5，∴|AC|＝＝2，∴|AB|＝4.
16．（2021·黑龙江大庆实验中学高二月考）已知直线l：mx－y＝1，若直线l与直线x＋m(m－1)y＝2垂直，则m的值为________；动直线l：mx－y＝1被圆C：x2－2x＋y2－8＝0截得的最短弦长为________．
【答案】0或2 2
【解析】因为直线mx－y＝1与直线x＋m(m－1)y＝2垂直，所以m×1＋(－1)×m(m－1)＝0.解得m＝0或m＝2.
动直线l：mx－y＝1过定点(0，－1)，圆C：x2－2x＋y2－8＝0化为(x－1)2＋y2＝9，圆心(1,0)到直线mx－y－1＝0的距离的最大值为＝，所以动直线l被圆C截得的最短弦长为2＝2.
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)
（2021·安徽六安一中高二月考）已知直线l经过点P(－2,1)，且与直线x＋y＝0垂直．
(1)求直线l的方程；
(2)若直线m与直线l平行且点P到直线m的距离为，求直线m的方程．
【解析】(1)由题意得直线l的斜率为1，
故直线l的方程为y－1＝x＋2，即x－y＋3＝0.
(2)由直线m与直线l平行，
可设直线m的方程为x－y＋c＝0，
由点到直线的距离公式得＝，
即|c－3|＝2，解得c＝1或c＝5.
故直线m的方程为x－y＋1＝0或x－y＋5＝0.
18．(本小题满分12分)
（2021·内蒙古集宁一中高二期末）已知从圆外一点P(4,6)作圆O：x2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B.
(1)求以OP为直径的圆的方程；
(2)求直线AB的方程．
【解析】(1)∵所求圆的圆心为线段OP的中点(2,3)，
半径为|OP|＝
＝，
∴以OP为直径的圆的方程为(x－2)2＋(y－3)2＝13.
(2)∵PA，PB是圆O：x2＋y2＝1的两条切线，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴A，B两点都在以OP为直径的圆上．
由得直线AB的方程为4x＋6y－1＝0.
19．(本小题满分12分)
（2021·南城县第二中学高二开学考试）如图，已知点A(2,3)，B(4,1)，△ABC是以AB为底边的等腰三角形，点C在直线l：x－2y＋2＝0上．
(1)求AB边上的高CE所在直线的方程；
(2)求△ABC的面积．
【解析】(1)由题意可知，E为AB的中点，
∴E(3,2)，且kCE＝－＝1，
∴CE所在直线方程为：y－2＝x－3，即x－y－1＝0.
(2)由得C(4,3)，∴|AC|＝|BC|＝2，AC⊥BC，
∴S△ABC＝|AC|·|BC|＝2.
20．(本小题满分12分)
（2021·上海交大附中高二期中）已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N两点．
(1)求k的取值范围；
(2)若·＝12，其中O为坐标原点，求|MN|.
【解析】(1)由题设可知直线l的方程为y＝kx＋1.
因为直线l与圆C交于两点，
所以＜1.
解得＜k＜.
所以k的取值范围为.
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)．
将y＝kx＋1代入方程(x－2)2＋(y－3)2＝1，
整理得(1＋k2)x2－4(1＋k)x＋7＝0.
所以x1＋x2＝，x1x2＝.
·＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝＋8.
由题设可得＋8＝12，解得k＝1，
所以直线l的方程为y＝x＋1.
故圆心C在直线l上，所以|MN|＝2.
21．(本小题满分12分)
（2021·黑龙江哈九中高二期中）在直角坐标系xOy中，曲线y＝x2＋mx－2与x轴交于A，B两点，点C的坐标为(0,1)，当m变化时，解答下列问题：
(1)能否出现AC⊥BC的情况？说明理由；
(2)证明过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．
【解析】(1)不能出现AC⊥BC的情况，理由如下：
设A(x1,0)，B(x2,0)，则x1，x2满足x2＋mx－2＝0，
所以x1x2＝－2.
又C的坐标为(0,1)，
故AC的斜率与BC的斜率之积为·＝－，
所以不能出现AC⊥BC的情况．
(2)证明：由(1)知BC的中点坐标为，
可得BC的中垂线方程为y－＝x2.
由(1)可得x1＋x2＝－m，
所以AB的中垂线方程为x＝－.
联立可得
所以过A，B，C三点的圆的圆心坐标为，半径r＝.
故圆在y轴上截得的弦长为2＝3，即过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．
22．(本小题满分12分)
（2021·贵州贵阳一中高二月考）已知圆M：x2＋(y－4)2＝4，P是直线l：x－2y＝0上的动点，过点P作圆M的切线PA，切点为A.
(1)当切线PA的长度为2时，求点P的坐标．
(2)若△PAM的外接圆为圆N，试问：当点P运动时，圆N是否过定点？若过定点，求出所有的定点的坐标；若不过定点，请说明理由．
【解析】(1)由题可知圆M的圆心为M(0,4)，半径r＝2.
设P(2b，b)，因为PA是圆M的一条切线，所以∠MAP＝90°.
在Rt△MAP中，|MP|2＝|AM|2＋|AP|2，故|MP|＝＝4.
又|MP|＝
＝
，所以
＝4，解得b＝0或.
所以点P的坐标为(0,0)或
(2)设点P的坐标为(2b，b)．
因为∠MAP＝90°，所以△PAM的外接圆圆N是以MP为直径的圆，
且MP的中点坐标为，
所以圆N的方程为(x－b)2＋＝，
即(2x＋y－4)b－(x2＋y2－4y)＝0.
由解得或
所以圆N过定点(0,4)和.
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精品试卷·第
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