福建省仙游县智华高级中学2020-2021学年高一下学期期末考试数学试题（Word版含答案）

智华高级中学2020-2021学年高一下学期期末考试
数学试卷
考试时间：120分钟
试卷总分：150分
第Ⅰ卷（选择题、填空题）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.
1.
已知复数满足（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点所在的象限为（
）
A.
第一象限
B.
第二象限
C.
第三象限
D.
第四象限
2.
已知向量，，则（
）
A.
4
B.
5
C.
6
D.
7
3.
某学校采购了10000只口罩，其中蓝色、粉色、白色的比例为，若采用分层抽样的方法，取出500只分发给高一年级学生使用，则抽到白色口罩的只数为（
）
A.
300
B.
250
C.
200
D.
100
4.
设，是两个不同平面，，是两条不同直线，下列命题中正确的是（
）
A.
如果，，，那么
B.
如果，，，那么
C.
如果，，，那么
D.
如果，与所成的角和与所成的角相等，那么
5.
中，，，，则的面积等于（
）
A.
B.
C.
或
D.
或
6.
甲、乙两人练习射击，命中目标的概率分别为和，甲、乙两人各射击一次，有下列说法：①目标恰好被命中一次的概率为；②目标恰好被命中两次的概率为；③目标被命中的概率为；④目标被命中的概率为.以上说法正确的序号依次是（
）
A.
②③
B.
①②③
C.
②④
D.
①③
7.
在正三棱锥中，、分别是棱、的中点，且，若侧棱，则正三棱锥外接球的体积是（
）
A.
B.
C.
D.
8.
已知为在平面内的一点，，，若点在线段上运动，则的最小值为（
）
A.
B.
-12
C.
D.
-4
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，至少有2个选项符合题目要求，不选或含有错误选项的得0分，只选出部分正确选项的得2分，正确选项全部选出的得5分.
9.
下图是我国2011—2020年载货汽车产量及增长趋势统计图，针对这10年的数据，下列说法正确的是（
）
A.
与2019年相比较，2020年我国载货汽车产量同比增速不到
B.
这10年中，载货汽车的同比增速有增有减
C.
这10年我国载货汽车产量的极差超过150万辆
D.
这10年我国载货汽车产量的中位数不超过340万辆
10.
设为复数，则下列命题中正确的是（
）
A.
B.
C.
若，则的最小值为0
D.
若，则
11.
下列四个正方体图形中，、为正方体的两个顶点，、、分别为其所在棱的中点，能得出平面的图形是（
）
A.
B.
C.
D.
12.
正方体为棱长为2，动点，分别在棱，上，过点，，的平面截该正方体所得的截面记为，设，，其中，下列命题正确的是（
）
A.
当时，为矩形，其面积最大为4；
B.
当时，的面积为；
C.
当，时，设与棱的交点为，则；
D.
当时，以为顶点，为底面的棱锥的体积为定值.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在答题卡的横线上.
13.
某校为了普及“一带一路”知识，举行了一次知识竞赛，满分10分，有10名同学代表班级参加比赛，已知学生得分均为整数，比赛结束后统计这10名同学得分情况如折线图所示，则这10名同学成绩的极差为___________，中位数是___________.
14.
已知直角三角形的两直角边长分别为和，则以斜边为轴旋转一周所得几何体的体积为__________.
15.
某汽车站每天均有3辆开往某景点的分为上、中、下等级的客车，某天吴先生准备在该汽车站乘车前往该景点，但他不知道客车的车况，也不知道发车顺序，为了尽可能乘上上等车，他采取如下策略：先放过第一辆，如果第二辆比第一辆好，则上第二辆，否则上第三辆，那么他乘上上等车的概率为__________.
16.
已知，向量满足，当向量，夹角最大时，__________.
第Ⅱ卷（解答题）
四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.请在答题卡各自题目的答题区域内作答.
17.
如图，在三棱柱中，侧棱底面，，为的中点，.
（1）求证：平面；
（2）过点作于点，求证：直线平面.
18.
如图，在中，为边上的一点，，，，且与的夹角为.
（Ⅰ），求，的值；
（Ⅱ）的值.
19.
在中，角，，的对边分别是，，，的面积为.现有以下三个条件：①；②；③.请从以上三个条件中选择一个填到下面问题中的横线上，并求解.
已知向量，，函数.在中，，且____________，求的取值范围.
20.
将一颗质地均匀的骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，事件：“两数之和为8”，事件：“两数之和是3的倍数”.
（Ⅰ）写出该试验的样本空间，并求事件发生的概率；
（Ⅱ）求事件发生的概率；
（Ⅲ）事件与事件至少有一个发生的概率.
21.
统计某公司1000名推销员的月销售额（单位：千元）得到如下频率分布直方图.
（1）同一组数据用该区间的中间值作代表，求这1000名推销员的月销售额的平均数与方差；
（2）请根据这组数据提出使的推销员能够完成销售指标的建议；
（3）现有两种奖励机制：
方案一：设，销售额落在左侧，每人每月奖励0.4千元；销售额落在内，每人每月奖励0.6千元；销售额落在右侧，每人每月奖励0.8千元.
方案二：每人每月奖励其月销售额的.
用统计的频率进行估算，选择哪一种方案公司需提供更多的奖励金？（参考数据：）
记：（其中为对应的频率）.
22.
如图，四边形是圆柱的轴截面，点为底面圆周上异于，的点.
（1）求证：平面；
（2）若圆柱的侧面积为，体积为，点为线段上靠近点的三等分点，设，是否存在角使得直线与平面所成角的正弦值最大？若存在，求出相应的正弦值，并求出；若不存在，说明理由.
参考答案
一、选择题：（1-8小题单选，9-12小题多选）
1-5：DBDCD
6-8：CAB
9.
ABC
10.
ACD
11.
AD
12.
BCD
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在答题卡的横线上.
13.
7；6
14.
15.
16.
四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.请在答题卡各自题目的答题区域内作答.
17.（1）证明：连接，设，连接，
∵是平行四边形，∴点是的中点，
∵是的中点，∴是的中位线，
∴，
又平面，平面，
∴平面.
（2）∵平面，平面，∴，
又，，
∴直线平面.
解法2：
∵平面，平面，∴平面平面，
又平面平面，，平面，
∴直线平面.
18.（1）如下图，过点作，分别交，点，，
因为，所以，
所以，，
又四边形为平行四边形，所以，
又因为，不共线，所以，.
（2）由（1）知
.
19.
解：.
又.
选择①：，由正弦定理可得：
，故可得，又，
故可得，又，故.
（选择②：，由正弦定理得：
，由余弦定理得，有，故.
选择③：，由面积公式以及余弦定理可得：
，解得，又，故可.
故不论选择哪个条件，都有.）
又.则.
故
，
又，故，
故，故.
20.
解：（Ⅰ）将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，
，共有36个样本点，
它们是等可能的，故这是个古典概型.
，共5个样本点，
∴事件发生的概率为.
（Ⅱ），
共12个样本点.
∴事件发生的概率.
（Ⅲ）事件与事件至少有一个发生，即事件，
，共17个样本点，
∴事件与事件至少有一个发生的概率为.
解法二：因为、不可能同时发生，即、互斥，
所以.
21.（1）由频率分布直方图可得，这1000名推销员的月销售额的平均数为
（万元）.
方差为
.
（2）∵，
∴设月销售额为，则，
则，解得，
故根据这组数据可知：将销售指标定为21千元时，才能够使的推销员完成销售指标.
（3）方案一：由（1）可得，，∴，
则当时，，
当时，，
当时，，
1000名推销员的奖励金共计（千元），
方案二：1000名推销员的奖励金（千元），
因为，
所以选择方案一，公司需提供更多的奖励金.
22.
解：（1）证明：因为是圆的直径，点是圆周上一点，
所以，即，
又在圆柱中，母线底面，底面，所以，
又，平面，平面，
所以平面.
（2）设圆柱底面半径为，母线为，则，解得，
在中，过作交于点.
由（1）知平面，因为平面，所以，
又，
所以平面.
若与不重合，即为直线与平面所成的角.
若与重合，直线与平面所成的角为，
设，，
则在中，，
在中，，.
于是
.
当且仅当，即，时，等号成立.
故时，直线与平面所成的角的正弦值最大，最大值为1.