学科教师辅导讲义
员姓名
辅导科目:奥数
科教
课主
周期工程问题
授课类型
T同步课堂
P实战演练
s归纳总结
解工作
作时间及工作效
②能够从
找
作
及工作效率
理解三者之间的关系,并用三者关系解题
授课日期及时段
e
同步课堂
梳玨
熟练掌握工程问题的基本数量关系与一般解法
题
独做,几人合作或轮流做,分析时一定要学会分段处
根据题
际情况能够正确进行单位“1”的统一和转换
的常见解题方法以及工程问题算术方法在其他类型题目中的应用
典例分
考点
期性工程问题
例
件工程,甲单独做要6
乙单独做要10
如果接
序交
每次
时,那么需要多长时间完成
解析
时完成整个工程
成整个工程
交替
成整个工程的
4
各干3小时后完成整个工程
4
完成整个工程
花小时即20分钟即可完成.所以需要7小时20分钟来完成整个工程
例
程,乙单独做要17天完成.如果第一天甲做
天乙做,这样交替轮流
恰好用整天数
成:如果第
做,第二天甲做,这样交替轮流做,那么比上次轮流的做法多用半天」
独做
解析
果是偶数天完成,那么乙、甲轮流做必然也是偶数天完成,且等
轮流做的
数,与题意不符;所以甲、乙轮流做是奇数天完成,最后一天是甲做的.那么乙、甲轮流做比甲、乙轮流
多用半天,这半天是甲做的.如果设甲、乙工作效率分别为V和V2,那
单
独做要
的工作效率是
倍,所以甲单独做需要
天
例3、蓄水池有一条进水管和一条排水管.要灌满一池水
排光一池水,单开排水
3小时.现在池内有半池水,如果按进水,排水,进水,排水……的顺序轮流各开
问:多
水
好扫
(精确到分钟)
析】法
时排
时进水多
明排水开
时后(实际
进
小时,已经过去6小时了),水池还剩一池子水
水池里的水为一池子水
这些水排
所以共需要6
小时54分
时排水比
水多
说明8小时以后,水池的水全部
多排了一池子水的
排一池子需
时,排
水
要
所以实际需要
54分
考点
题
例
两管同时开,5小时灌满;乙、丙两管同时开
灌满.现在先开
还需甲、丙两管同时开2小时才能灌满.乙单独开
以灌满
解析
效率之和都知
根据“现在先开
两管同时开
满”,我们可以把乙管
时分成
和甲同时开
和丙
开,第三个2小时乙管单独开.这样就变成
丙同时开
乙单独
灌满一池水
以计算
独灌水的
所以
作效率为
(6-2-2)
所以整池
管单独灌水,需要
例
水池,每分钟流入4立方米水.如果打开
龙
时半就把水池水放空,如果打开8个水
时半就把水池水放空.现在打开13个水龙头,问要多少时间才能把水放空
解析】先计算1个水龙头每分钟放出水量.2小时
小时半多60
多流入水4×60=240(立方米)
时间都用分钟作单
水龙头每分钟放水量是240
(立方米)
放出的水量是
90,其中90分钟内流入水量是
90,因此原来水池中存有水
4
方
龙头每分钟可以放出水8
除去每分钟流入4,其余将放
存的水
存的5400,需要
(分钟).所以打开13个龙头,放空水池要54
分钟
的
两部分
有水与新流入的水,就需要分开考虑,解本题的关键是先求
原存有
的水.这在题目中却是隐含着的
考
例法及工资分配问题
例1、有一项工程,有三个工程队来争夺施工权利,已知甲乙丙三个工程队都是工作时间长短来付
两队合
全部完
要支付18000元
天可以
共需要
丙两队合作,12天可以完成,共需要支付15000,如果该工程只需要一个工程队承建
个队伍单独施工,那么最快的比最
天.需要支付速度最快的队伍学科教师辅导讲义
课时数:
奥数
科教
周期工程问题
授课类
同步课堂
实战演练
S归纳总结
①了解工作
作时间及工作效率的意
教
找出工作
作时间及工作效率
之间的关系,并用三者关系解题
授课日期及时段
(Textbook-B
知识梳理
熟练掌握工程问题的基本数量关系与一般解法
程问题
现单独做,几人合作或轮流做,分析时一定要学会分段处
根据
的统一和转换
3)工程问题中的常见解题方法以及工程问题算术方法在其他类型题目中的应用
典例分析
考点
题
例
单独做要6小时,乙单独做要
顺序交替工作,每次
那么需要多长
成
例
程,乙单独做要17天完成.如果第一天甲做,第二天乙做,这样交替轮流做,那么
整天数
完成;如果
做,第二天甲做,这样交替轮流做,那
轮流的做法多用半天
独做
需要几天
例3、蓄水池有一条进水管和一条排水管.要灌满一池水
进水管
排光一池水,单开排
现在池内有半池
果按进水,排水,进水,排水.…的顺序轮流各开1小时
多长时间后
的水刚好
精确到分钟
例
两管同时开
灌满
丙两管同时开,4小时灌满.现在先开乙管
两管同时开
例
蓄水池,每分钟流入4立方米水如果打开5个水龙头,2小时半就把水池水放空,如果打开8个水
龙头
就把水池水放空现在打开13个水龙头
多
能把水放空
考点
例法及工资分配门
例1、有
有三个工程队来争夺施工权利,已知甲乙丙三个工程队都是工作时间长短来付费的
两队合作,10天可以全部完工,共需要
丙两阝
天
共需要支付
要支付15000
程只需要一个工程队承建,如果
队伍单独施工,那么最快的比最慢
天.需要支付速度最快的队伍
例2、一项工程
天做了后,乙加入进来
乙一起又做
这时丙也加入进
起做
知乙、丙的工作效率的比为3
丙工作的天数之比为
题中情形下做完整
程需多少天
P
Practice-Oriented)
独完成需12小时,乙单独完成
时
做1小时
独做1小时
独做1小
如此交替下去
成该工程共
2、规定两人轮流做
要求第一个人先做
第二个人接着做
然后再由第
时,然
时,如此反复,做完为
流做同样的工程只需要9.6
那乙单独做这个工程需
3、畜
丙两条进水管和
两条排水管,要灌满一池
管需
开丙管需要5
要排光一池水,单开乙管需要4小时,单开丁管需要6小
内有
按
丙
的顺序轮流扌
水开始溢出水
4、某水池可以
两个水管注水,单开
时注满,单开乙管
小时注满,若要
乙两管同时打开的时间尽
要同时开放
水管往里注水.若
丙
水
满;若只
开乙、丙两管,乙管注入27吨水时,水箱才满.又知,乙管每分钟注水量是甲管每分钟注水量的2倍
水箱最多可容纳多少吨水
乙两个工程队修路,最终按
分配8400元工资.按两队原计划的工作效率
际上从第5天开始,甲队的工作效率提高了Ⅰ倍,这样甲队最终可比原计划多获得960元.那么两队原计划完
成修路任务要多少天
某
种型号的卡
方.已知
载
为10:7:6,速度比为
送土方的路程之比为15:14:14,三种车的辆数之比为10
丙两种车全部投入运输,但
种车只有
到10天后,另一半甲种车才投
5天完成任
种车完成
作量与总工作量之比是多(
小升初
（
择校
）
几何重点考查内容
)
三角形
2、燕尾模型
二：四边形
1、
一半模型
结论：阴影部分的面积均为所在平行四边形面积的一半。
模块一-三角形中几何模型
(★★★)
已知三角形DEF的面积为18，AD∶BD＝2∶3，AE∶CE＝1∶2，BF∶CF＝3∶2，则三角形ABC的面积为？
(★★★)
如图，已知三角形ABC面积为1，延长AB至D，使BD＝AB；延长BC至E，使CE＝2BC；延长CA至F，使AF＝3AC，求三角形DEF的面积。
(★★★★)
如图将四边形ABCD四条边AB、CB、CD、AD分别延长两倍至点E、F、G、H，若四边形ABCD的面积为5cm2
，则四边形EFGH的面积是多少？
(★★★)
图中三角形ABC的面积是180平方厘米，D是BC的中点，AD的长是AE长的3倍，EF的长是BF长的3倍。那么三角形AEF的面积是多少平方厘米
(★★★★)
如图，大长方形由面积是12平方厘米、24平方厘米、36平方厘米、48平方厘米的四个小长方形组合而成。求阴影部分的面积。
【在线测试题】
1．★★★★设如果三角形DEF的面积为19平方厘米，那么三角形ABC的面积是多少平方厘米？
A．46.7
B．45.3
C．45.6
D．46.5
2．★★★如下图，将三角形ABC的BA边延长1倍到D，CB的边延长2倍到E，AC边延长1倍到F。如果三角形ABC的面积等于1，那么三角形DEF的面积是多少？
A．10
B．8
C．9
D．11
3．★★★★★如图，把四边形ABCD的各边都延长3倍，得到一个新四边形EFGH，如果ABCD的面积是6，则EFGH的面积是(
)?
A．130
B．145
C．160
D．150
4．★★★★如图，
D是BC的中点，AD的长是AE长的3倍，EF的长是BF长的3倍．三角形AEF的面积是18平方厘米，三角形ABC的面积是(
)平方厘米？
A．144
B．168
C．72
D．100
5．★★图中的、、分别是正方形三条边的三等分点，如果正方形的边长是，那么阴影部分的面积是(
)
A．50
B．48
C．56
D．45
6．★★★如图，，，，，。三角形FGS的面积是(
)。
A．
B．
C．
D．
模块二-四边形中几何模型
(★★★)
如图，长方形ABCD中，BE∶EC＝2∶3，DF∶FC＝1∶2，三角形DFG的面积为2平方厘米，求长方形ABCD的面积。
(★★★)
在下图的正方形ABCD中，E是BC边的中点，
AE与BD相交于F点，三角形BEF的面积为1平方厘米，那么正方形ABCD面积是多少平方厘米。
(★★★)
如图，在梯形ABCD中，AD∶BE＝4∶3，BE∶EC＝2∶3，且△BOE的面积比△AOD的面积小10平方厘米。梯形ABCD的面积是多少平方厘米？
(★★★)
在三角形ABC中，三角形AEO的面积是1，三角形ABO的面积是2，三角形BOD的面积是3，则四边形DCEO的面积是多少？
(★★★★)
如图，E在AC上，D在BC上，且AE∶EC＝2∶3，BD∶DC＝1∶2，AD与BE交于点F。四边形DFEC的面积等于22cm2，则三角形ABC的面积是______。
(★★★★★)
如图在△ABC中，，求的值。
【在线测试题】
1．已知长方形的面积是16，三角形的面积是3，三角形的面积是4，那么三角形的面积是___________。
A．2.5
B．4.5
C．6.5
D．8.5
2．如图，正方形ABCD面积为1，M是AD边上的中点，求图中阴影部分的面积。
A．
B．
C．
D．
3．如图：在边长为1的正方形ABCD中，BE＝2EC，DF＝2FC；求四边形ABGD的面积。
A．
B．
C．
D．
4．如图所示，在中，，，与相交于点，若的面积为，则的面积等于
。
A．2
B．2.4
C．3
D．3.6
5．如图所示，三角形BDF、三角形CEF、三角形BCF的面积分别是2、3、4，问四边形ADFE的面积是多少？
A．
B．
C．
D．
6．如图，三角形ABC中，AF∶FB＝BD∶DC＝CE∶AE＝3∶2，且三角形GHI的面积是1，求三角形ABC的面积。
A．18
B．17
C．20
D．19
参考答案(
发车间隔、接送和扶梯问题
)
(
知识框架
)
发车间隔
间隔发车问题，只靠空间理想象解稍显困难，证明过程对快速解题没有帮助，但是一旦掌握了3个基本方法，一般问题都可以迎刃而解。
在班车里——即柳卡问题
不用基本公式解决，快速的解法是直接画时间——距离图，再画上密密麻麻的交叉线，按要求数交点个数即可完成。如果不画图，单凭想象似乎对于像我这样的一般人儿来说不容易。
在班车外——联立3个基本公式好使
（1）汽车间距=（汽车速度+行人速度）×相遇事件时间间隔
（2）汽车间距=（汽车速度-行人速度）×追及事件时间间隔
（3）汽车间距=汽车速度×汽车发车时间间隔
综上总结发车问题可以总结为如下技巧
（1）、一般间隔发车问题。用3个公式迅速作答；
（2）、求到达目的地后相遇和追及的公共汽车的辆数。
标准方法是：画图——尽可能多的列3个好使公式——结合s全程＝v×t-结合植树问题数数。
当出现多次相遇和追及问题——柳卡
接送问题
校车问题——行走过程描述
队伍多，校车少，校车来回接送，队伍不断步行和坐车，最终同时到达目的地，即到达目的地的最短时间，不要求证明。
常见接送问题类型
根据校车速度（来回不同）、班级速度（不同班不同速）、班数是否变化分类为四种常见题型：
（1）车速不变-班速不变-班数2个（最常见）
（2）车速不变-班速不变-班数多个
（3）车速不变-班速变-班数2个
（4）车速变-班速不变-班数2个
标准解法：
画图＋列3个式子
1、总时间=一个队伍坐车的时间+这个队伍步行的时间；
2、班车走的总路程；
3、一个队伍步行的时间=班车同时出发后回来接它的时间。
扶梯问题
1、当人顺着扶梯的运动方向走台阶时，相当与流水行船中的“顺水行驶”，这里的水速就是扶梯自身的台阶运行速度。有：人的速度+扶梯速度=人在扶梯上的实际速度
扶梯静止可见台阶总数=时间×人速+时间×扶梯速=人走的台阶数+扶梯自动运行的台阶数
2、当人沿着扶梯逆行时，有：人的速度-扶梯速度=人在扶梯上的实际速度
扶梯静止可见台阶总数=时间×人速-时间×扶梯速=人走的台阶数-扶梯自动运行的台阶数。
(
重难点
)
能够熟练运用柳卡解题方法解多次相遇和追及问题；熟练应用三个公式解间隔问题
对扶梯问题中顺(逆)扶梯速度、扶梯速度、人的速度的理解。
准确画出接送问题的过程图——标准：每个量在相同时间所走的路程要分清
运用行程中的比例关系进行解题
(
例题精讲
)
发车间隔
俩兄弟要将两车西瓜运到城里去卖，但由人来拉太累，雇拖拉机太贵，所以租了头毛驴，两兄弟计划先由哥哥拉车，弟弟赶毛驴拉另一辆车，然后在中途弟弟让毛驴返回去帮哥哥拉车，自个儿拉着车行走完最后一段路，已知兄弟俩人的拉车速度相同，毛驴拉车或行走的速度为人拉车的速度的3倍，那么弟弟应该在哪儿将毛驴赶回去？
甲、乙两站从上午6时开始每隔8分同时相向发出一辆公共汽车，汽车单程运行需45分。有一名乘客乘坐6点16分从甲站开出的汽车，途中他能遇到几辆从乙站开往甲站的公共汽车？
某人沿着电车道旁的便道以每小时千米的速度步行，每分钟有一辆电车迎面开过，每12分钟有一辆电车从后面追过，如果电车按相等的时间间隔以同一速度不停地往返运行．问：电车的速度是多少？电车之间的时间间隔是多少？
小明放学后，沿某路公共汽车路线以不变速度步行回家，该路公共汽车也以不变速度不停地运行。
每隔30分钟就有辆公共汽车从后面超过他，每隔20分钟就遇到迎面开来的一辆公共汽车。
问：该路公共汽车每隔多少分钟发一次车？
在一条马路上，小明骑车与小光同向而行，小明骑车速度是小光速度的3倍，每隔10分有一辆公共汽车超过小光，每隔20分有一辆公共汽车超过小明。已知公共汽车从始发站每次间隔同样的时间发一辆车，问：相邻两车间隔几分？
从电车总站每隔一定时间开出一辆电车。甲与乙两人在一条街上沿着同一方向步行。甲每分钟步行82米，每隔10分钟遇上一辆迎面开来的电车；乙每分钟步行60米，每隔10分15秒遇上迎面开来的一辆电车。那么电车总站每隔多少分钟开出一辆电车？
某人乘坐观光游船沿顺流方向从A港到B港。发现每隔40分钟就有一艘货船从后面追上游船，每隔20分钟就会有一艘货船迎面开过，已知A、B两港间货船的发船间隔时间相同，且船在净水中的速度相同，均是水速的7倍，那么货船发出的时间间隔是__________分钟。
小明放学后，沿某路公共汽车路线以不变速度步行回家，该路公共汽车也以不变速度不停地运行。每隔分钟就有辆公共汽车从后面超过他，每隔分钟就遇到迎面开来的一辆公共汽车。问：该路公共汽车每隔多少分钟发一次车？公共汽车的速度是小明步行速度的几倍？
甲城的车站总是以20分钟的时间间隔向乙城发车，甲乙两城之间既有平路又有上坡和下坡，车辆（包括自行车）上坡和下坡的速度分别是平路上的80%和120%，有一名学生从乙城骑车去甲城，已知该学生平路上的骑车速度是汽车在平路上速度的四分之一，那么这位学生骑车的学生在平路、上坡、下坡时每隔多少分钟遇到一辆汽车？
甲、乙两地是电车始发站，每隔一定时间两地同时各发出一辆电车，小张和小王分别骑车从甲、乙两地出发，相向而行．每辆电车都隔6分钟遇到迎面开来的一辆电车；小张每隔8分钟遇到迎面开来的一辆电车；小王每隔9分钟遇到迎面开来的一辆电车．已知电车行驶全程是45分钟，那么小张与小王在途中相遇时他们已行走了
分钟．
接送问题
某校和某工厂之间有一条公路，该校下午2时派车去该厂接某劳模来做报告，往返需用1小时．这位劳模在下午1时便离厂步行向学校走来，途中遇到接他的汽车，便立刻上车驶向学校，在下午2时40分到达．问：汽车速度是劳模步行速度的几倍？
张工程师每天早上点准时被司机从家接到厂里。一天，张工程师早上点就出了门，开始步行去厂里，在路上遇到了接他的汽车，于是，他就上车行完了剩下的路程，到厂时提前分钟。这天，张工程师还是早上点出门，但分钟后他发现有东西没有带，于是回家去取，再出门后在路上遇到了接他的汽车，那么这次他比平常要提前
分钟到厂。
A、B两个连队同时分别从两个营地出发前往一个目的地进行演习，A连有卡车可以装载正好一个连的人员，为了让两个连队的士兵同时尽快到达目的地，A连士兵坐车出发一定时间后下车让卡车回去接B连的士兵，两营的士兵恰好同时到达目的地，已知营地与目的地之间的距离为32千米，士兵行军速度为8千米/小时，卡车行驶速度为40千米每小时，求两营士兵到达目的地一共要多少时间？
甲班与乙班学生同时从学校出发去公园，两班的步行速度相等都是千米/小时，学校有一辆汽车，它的速度是每小时千米，这辆汽车恰好能坐一个班的学生．为了使两班学生在最短时间内到达公园，设两地相距千米，那么各个班的步行距离是多少？
甲、乙、丙三个班的学生一起去郊外活动，他们租了一辆大巴，但大巴只够一个班的学生坐，于是他们计划先让甲班的学生步行，乙丙两班的学生步行，甲班学生搭乘大巴一段路后，下车步行，然后大巴车回头去接乙班学生，并追赶上步行的甲班学生，再回头载上丙班学生后一直驶到终点，此时甲、乙两班也恰好赶到终点，已知学生步行的速度为5千米/小时，大巴车的行驶速度为55千米/小时，出发地到终点之间的距离为8千米，求这些学生到达终点一共所花的时间.
海淀区劳动技术学校有名学生到离学校千米的郊区参加采摘活动，学校只有一辆限乘人的中型面包车．为了让全体学生尽快地到达目的地．决定采取步行与乘车相结合的办法．已知学生步行的速度是每小时千米，汽车行驶的速度是每小时千米．请你设计一个方案，使全体学生都能到达目的地的最短时间是多少小时?
甲班与乙班学生同时从学校出发去公园，甲班步行的速度是每小时4千米，乙班步行的速度是每小时3千米。学校有一辆汽车，它的速度是每小时48千米，这辆汽车恰好能坐一个班的学生。为了使两班学生在最短时间内到达公园，那么甲班学生与乙班学生需要步行的距离之比是多少千米？
甲、乙两班同学到42千米外的少年宫参加活动，但只有一辆汽车，且一次只能坐一个班的同学，已知学生步行速度相同为千米／小时，汽车载人速度是千米／小时，空车速度是千米/小时．如果要使两班同学同时到达，且到达时间最短，那么这个最短时间是多少？
有两个班的小学生要到少年宫参加活动，但只有一辆车接送，第一班的学生坐车从学校出发的同时，第二班学生开始步行；车到途中某处，让第一班学生下车步行，车立刻返回接第二班学生上车并直接开往少年宫，学生步行速度为每小时4公里，载学生时车速每小时40公里，空车时车速为每小时50公里．问：要使两班学生同时到达少年宫，第一班学生要步行全程的几分之几？
（2008年台湾小学数学竞赛选拔赛决赛）甲、乙二人由地同时出发朝向地前进，、两地之距离为千米．甲步行之速度为每小时千米，乙步行之速度为每小时千米．现有一辆自行车，甲骑车速度为每小时千米，乙骑车的速度为每小时千米．出发时由甲先骑车，乙步行，为了要使两人都尽快抵达目的地，骑自行车在前面的人可以将自行车留置在途中供后面的人继续骑．请问他们从出发到最后一人抵达目的地最少需要多少小时？
(第八届全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛)、两地相距120千米，已知人的步行速度是每小时5千米，摩托车的行驶速度是每小时50千米，摩托车后座可带一人．问：有三人并配备一辆摩托车从地到地最少需要多少小时？(保留—位小数)
两辆同一型号的汽车从同一地点同时出发，沿同一方向同速直线前进，每车最多能带20桶汽油（连同油箱内的油）。每桶汽油可以使一辆汽车前进60千米，两车都必须返回出发地点，两辆车均可借对方的油，为了使一辆车尽可能地远离出发点，那么这辆车最远可达到离出发点多少千米远的地方？
扶梯问题
小明站着不动乘电动扶梯上楼需秒，如果在乘电动扶梯的同时小明继续向上走需12秒，那么电动扶梯不动时，小明徒步沿扶梯上楼需多少秒？
如果在乘电动扶梯的同时小明继续向上走需12秒到达楼上，如果在乘电动扶梯的同时小明逆着向下走需秒到达楼下（千万别模仿！），那么电动扶梯不动时，小明徒步沿扶梯上楼需多少秒？
在地铁车站中，从站台到地面有一架向上的自动扶梯．小强乘坐扶梯时，如果每秒向上迈一级台阶，那么他走过级台阶后到达地面；如果每秒向上迈两级台阶，那么走过级台阶到达地面．从站台到地面有
级台阶．
小丁在捷运站搭一座电扶梯下楼．如果他向下走阶，则需时秒即可由电扶梯顶到达底部；如果他向下走阶，则需时秒即可由电扶梯顶到达底部．请问这座电扶梯有几阶？
在商场里，小明从正在向上移动的自动楼梯顶部下级台阶到达底部，然后从底部上级台阶回到顶部．自动楼梯从底部到顶部的台阶数是不变的，假设小明单位时间内下的台阶数是他上的台阶数的倍．则该自动楼梯从底到顶的台阶数为
．
自动扶梯以均匀的速度由下往上行驶着，两位性急的孩子要从扶梯上楼，已知男孩每分走级，女孩每分走级，结果男孩用了分到达楼上，女孩用了分到达楼上．问该扶梯露在外面的部分共有多少级？
小淘气乘正在下降的自动扶梯下楼，如果他一级一级的走下去，从扶梯的上端走到下端需要走级．如果小淘气沿原自动扶梯从下端走到上端(很危险哦，不要效仿!)，需要用下楼时倍的速度走级才能走到上端．请问这个自动扶梯在静止不动时有多少级?
甲在商场中乘自动扶梯从一层到二层，并在顺扶梯运行方向向上走，同时乙站在速度相等的并排扶梯从二层到一层．当甲乙处于同一高度时，甲反身向下走，结果他走了60级到达一层．如果他到了顶端再从“上行扶梯”返回，则要往下走80级．那么，自动扶梯不动时甲从下到上要走多少级？
(
课堂检测
)
1、小明骑自行车到朋友家聚会，一路上他注意到每隔12分钟就有一辆公交车从后边追上小乐，小明骑着骑着突然车胎爆了，小明只好以原来骑车三分之一的速度推着车往回走，这时他发现公交车以每隔4分钟一辆的频率迎面开过来，公交车站发车的间隔时间到底为多少？
2、有5位探险家计划横穿沙漠．他们每人驾驶一辆吉普车，每辆车最多能携带可供一辆车行驶312千米的汽油．显然，5个人不可能共同穿越500千米以上的沙漠．于是，他们计划在保证其余车完全返回出发点的前提下，让一辆车穿越沙漠，当然实现这一计划需要几辆车相互借用汽油．问：穿越沙漠的那辆车最多能穿越多宽的沙漠？
3、
商场的自动扶梯以匀速由下往上行驶，两个孩子在行驶的扶梯上上下走动，女孩由下往上走，男孩由上往下走，结果女孩走了40级到达楼上，男孩走了80级到达楼下．如果男孩单位时间内走的扶梯级数是女孩的3倍，则当该扶梯静止时，可看到的扶梯梯级有多少级？
4、小红放学后沿着公共汽车的线路以4千米/时的速度往家走，一边走一边数来往的公共汽车．到家时迎面来的公共汽车数了11辆，后面追过的公共汽车数了9辆．如果公共汽车按相等的时间间隔发车，那么公共汽车的平均速度是多少？
5、一条公路上，有一个骑车人和一个步行人，骑车人速度是步行人速度的3倍，每隔6分钟有一辆公共汽车超过步行人，每隔10分钟有一辆公共汽车超过骑车人，如果公共汽车始发站发车的时间间隔保持不变，那么间隔几分钟发一辆公共汽车？
6、小志与小刚两个孩在电梯上的行走速度分别为每秒个台阶和每秒个台阶，电梯运行后，他俩沿电梯运行方向的相同方向从一楼走上二楼，分别用时秒和秒，那么如果小志攀登静止的电梯需要用时多少秒？
7、李经理的司机每天早上7点30分到达李经理家接他去公司。有一天李经理7点从家里出发去公司，路上遇到从公司按时来接他的车，再乘车去公司，结果比平常早到5分钟。则李经理乘车的速度是步行速度的
倍。（假设车速、步行速度保持不变，汽车掉头与上下车时间忽略不计）
8、甲、乙两班学生到离校24千米的飞机场参观，但只有一辆汽车，一次只能乘坐一个班的学生．为了尽快到达飞机场，两个班商定，由甲班先坐车，乙班先步行，同时出发，甲班学生在途中某地下车后步行去飞机场，汽车则从某地立即返回接在途中步行的乙班学生．如果甲、乙两班学生步行速度相同，汽车速度是他们步行速度的7倍，那么汽车应在距飞机场多少千米处返回接乙班学生，才能使两班同时到达飞机场?
9、(年“迎春杯”六年级初赛)、两地相距千米．有一支游行队伍从出发，向匀速前进；当游行队伍队尾离开时，甲、乙两人分别从、两地同时出发．乙向步行；甲骑车先追向队头，追上队头后又立即骑向队尾，到达队尾后再立即追向队头，追上队头后又立即骑向队尾……当甲第次追上队头时恰与乙相遇在距地千米处；当甲第次追上队头时，甲恰好第一次到达地，那么此时乙距地还有__________千米．
10、、两人同时自甲地出发去乙地，、步行的速度分别为米/分、米/分，两人骑车的速度都是米/分，先骑车到途中某地下车把车放下，立即步行前进；走到车处，立即骑车前进，当超过一段路程后，把车放下，立即步行前进，两人如此继续交替用车，最后两人同时到达乙地，那么从甲地到乙地的平均速度是
米/分．
11、设有甲、乙、丙三人，他们步行的速度相同，骑车的速度也相同，骑车的速度是步行速度的倍．现甲从地去地，乙、丙从地去地，双方同时出发．出发时，甲、乙为步行，丙骑车．途中，当甲、丙相遇时，丙将车给甲骑，自己改为步行，三人仍按各自原有方向继续前进；当甲、乙相遇时，甲将车给乙骑，自己重又步行，三人仍按各自原有方向继续前进．问：三人之中谁最先达到自己的目的地？谁最后到达目的地？
12、甲、乙两班学生到离校39千米的博物馆参观，但只有一辆汽车，一次只能乘坐一个班的学生．为了尽快到达博物馆，两个班商定，由甲班先坐车，乙班先步行，同时出发，甲班学生在途中某地下车后步行去博物馆，汽车则从某地立即返回去接在途中步行的乙班学生．如果甲、乙两班学生步行速度相同，汽车速度是他们步行速度的10倍，那么汽车应在距博物馆多少千米处返回接乙班学生，才能使两班同时到达博物馆？序号：
初中数学备课组
教师：张小燕
年级：
日期
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上课时间
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学生：
主课题：排列组合问题常见解题方法
教学目的：掌握排列组合的几种解题方法
【知识梳理】排列问题题型分类：1.信号问题2.数字问题3.坐法问题4.照相问题5.排队问题组合问题题型分类：1.几何计数问题2.加乘算式问题
3.比赛问题
4.选法问题
常用解题方法和技巧：1.优先排列法2.总体淘汰法3.合理分类和准确分步4.相邻问题用捆绑法5.不相邻问题用插空法6.顺序问题用“除法”7.分排问题用直接法8.试验法9.探索法10.消序法12.住店法对应法13.去头去尾法14.树形图法15.类推法16.几何计数法17.标数法18.对称法分类相加，分步组合，有序排列，无序组合一、基础知识：加法原理：做一件事情，完成它有N类办法，在第一类办法中有M1中不同的方法，在第二类办法中有M2中不同的方法，……，在第N类办法中有Mn种不同的方法，那么完成这件事情共有M1+M2+……+Mn种不同的方法。
乘法原理：完成某项任务，可分为k个步骤，完成第一步有n1种不同的方法，完成第二步有n2种不同的方法，……完成第ｋ步有ｎｋ种不同的方法，那么完成此项任务共有ｎ１×ｎ２×……×ｎｋ种不同的方法。两个原理的区别做一件事，完成它若有n类办法，是分类问题，每一类中的方法都是独立的，故用加法原理。每一类中的每一种方法都可以独立完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同(即分类不重)；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类(即分类不漏)做一件事，需要分n个步骤，步与步之间是连续的，只有将分成的若干个互相联系的步骤，依次相继完成，这件事才算完成，因此用乘法原理．任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这n步才能完成此任务；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此事的方法也不同
这样完成一件事的分“类”和“步”是有本质区别的，因此也将两个原理区分开来．二、排列及组合基本公式排列及计算公式
：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号
Pmn表示.Pmn
=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)=
(规定0!=1).
组合及计算公式
：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号Cmn表示.Cmn
=
Pmn
/m!=
一般当遇到m比较大时（常常是m>0.5n时），可用Cmn
=
Cn-mn
来简化计算。规定：Cnn
=1,
C0n=1.n的阶乘(n!)——n个不同元素的全排列Pnn=n!=n×(n-1)×(n-2)…3×2×1【解题方法汇总】方法一：捆绑法“相邻问题”——捆绑法，即在解决对于某几个元素要求相邻的问题时，先将其“捆绑”后整体考虑，也就是将相邻元素视作“一个”大元素进行排序，然后再考虑大元素内部各元素间排列顺序的解题策略。例1．若有A、B、C、D、E五个人排队，要求A和B两个人必须站在相邻位置，则有多少排队方法？例2．有8本不同的书，其中数学书3本，外语书2本，其它学科书3本。若将这些书排成一列放在书架上，让数学书排在一起，外语书也恰好排在一起的排法共有多少种？【提示】：运用捆绑法解决排列组合问题时，一定要注意“捆绑”起来的大元素内部的顺序问题。解题过程是“先捆绑，再排列”。方法二：插空法“不邻问题”——插空法，即在解决对于某几个元素要求不相邻的问题时，先将其它元素排好，再将指定的不相邻的元素插入已排好元素的间隙或两端位置，从而将问题解决的策略。例3．若有A、B、C、D、E五个人排队，要求A和B两个人必须不站在一起，则有多少排队方法？在一张节目单中原有6个节目，若保持这些节目相对顺序不变，再添加进去3个节目，则所有不同的添加方法共有多少种？例5．一条马路上有编号为1、2、……、9的九盏路灯，为了节约用电，可以把其中的三盏关掉，但不能同时关掉相邻的两盏或三盏，则所有不同的关灯方法有多少种？【提示】：运用插空法解决排列组合问题时，一定要注意插空位置包括先排好元素“中间空位”和“两端空位”。解题过程是“先排列，再插空”。【变式练习】一张节目表上原有3个节目，如果保持这3个节目的相对顺序不变，再添加进去2个新节目，有多少种安排方法？A．20
B．12
C．6
D．4方法三：插板法插板法——用于解决“相同元素”分组问题，且要求每组均“非空”，即要求每组至少一个元素;若对于
“可空”问题，即每组可以是零个元素。 ②所要分的元素必须分完，决不允许有剩余; ③参与分元素的每组至少分到1个，决不允许出现分不到元素的组。 例2.有8个相同的球放到三个不同的盒子里，共有(
)种不同方法.
A.35
B.28
C.21
D.45【解析】这道题很多同学错选C，错误的原因是直接套用上面所讲的“插板法”，而忽略了“插板法”的适用条件。例2和例1的最大区别是：例1的每组元素都要求“非空”，而例2则无此要求，即可以出现空盒子。其实此题还是用“插板法”，只是要做一些小变化，详解如下： 【同步变式训练】.???????1、从甲地到乙地有2种走法，从乙地到丙地有4种走法，从甲地不经过乙地到丙地有3种走法，则从甲地到丙地的不同的走法共有???????
种．2.2、甲、乙、丙3个班各有三好学生3，5，2名，现准备推选两名来自不同班的三好学生去参加校三好学生代表大会，共有???????
种不同的推选方法．3.3、从甲、乙、丙三名同学中选出两名参加某天的一项活动，其中一名同学参加上午的活动，一名同学参加下午的活动．有???????
种不同的选法．4.4、从a、b、c、d这4个字母中，每次取出3个按顺序排成一列，共有???????
种不同的排法．5.5、若从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，则选派的方案有???????
种．6.6、有a，b，c，d，e共5个火车站，都有往返车，问车站间共需要准备???????
种火车票．7.7、
某年全国足球甲级联赛有14个队参加，每队都要与其余各队在主、客场分别比赛一场，共进行?????
场比赛．8.
8、由数字1、2、3、4、5、6可以组成???????
个没有重复数字的正整数．9.9、用0到9这10个数字可以组成???????
个没有重复数字的三位数．10（1）有5本不同的书，从中选出3本送给3位同学每人1本，共有
???????种不同的选法；
（2）有5种不同的书，要买3本送给3名同学每人1本，共有???????
种不同的选法．计划展出10幅不同的画，其中1幅水彩画、4幅油画、5幅国画，排成一行陈列，要求同一品种的画必须连在一起，那么不同的陈列方式有??
种．将18个人排成一排，不同的排法有???????
少种；将18个人排成两排，每排9人，不同的排法有???????
种；（3）将18个人排成三排，每排6人，不同的排法有???????
种．1311、5名学生和1名老师照相，老师不能站排头，也不能站排尾，共有???
种不同的站法．1512、4名学生和3名老师排成一排照相，老师不能排两端，且老师必须要排在一起的不同排法有???
?种．1613、停车场有7个停车位，现在有4辆车要停放，若要使3个空位连在一起，则停放的方法有??
种．1714、在7名运动员中选出4名组成接力队参加4×100米比赛，那么甲、乙都不跑中间两棒的安排方有?
种．
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2021-09-26
