简单找次品的问题讲义
理解用天平找次品的最优方法
【典例讲解】
例题2用天平找次品，当只含一个次品时，已知次品比正品重或者轻，则所测物品数目与测试的次数关系为：2~3个物品，保证能找出次品需测（
）次；4~5个物品，保证能找出次品需要测（
）次
例题3有3袋食盐，其中2袋450克，另一袋不是450克，但是不知道是比450克轻还是重。用天平至少称几次才能保证找出质量不是450克的那一袋？
例题4、5瓶钙片中有1瓶是次品（轻一些），完成下面找次品的过程。
【课堂练习】
现有
80
粒重量、外形完全相同的珍珠和
1
粒外形相同、但重量较轻的假珍珠，怎样才能用一台天平尽快地将这粒假珍珠挑出来？
有
1000
箱外形完全相同的产品，其中
999
箱重量相同，有
1
箱次品重量较轻．现有一个称，怎样才能．尽快找出这箱次品？
妈妈买了
500
克毛线，其中有一卷不足
50
克，如果用天平称，至少要称几次才能保证找出那卷次品？
在
729
个小轴承中有一个次品，次品比合格轴承轻，其余重量相同，现在用一架无法码天平最少称几次就一定能称出这个次品？
有
10
盒零件，其中一盒是次品，次品那盒中的每个零件都比标准质量轻了
10
克．由于管理员粗心，记错了是哪一盒，一时难辨．你能用一架天平称一次，就把那盒次品零件找出来吗？
有
10
袋金币，其中只有一袋是假的，真金币每枚重
10
克，假金币每枚重
9
克，每袋各有金币
100
枚，则最少要用秤称多少次才能找出那袋假金币？
【课后练习】
用天平找次品时;所测物品数目与测试的次数有以下关系.(只含一个次品,已知次品比正
品重或轻.)
要辨别的物品数目
保证能找出次品需要测的次数
1
2
3
4
5
…
…
要保证6次能测出次品,待测物品可能是多少?
(2)从上表你能发现什么规律?为什么?
有12个苹果,其中11个一样重,另有一个质量轻一些,用天平至少称
次才能保证找出这个苹果.
有15盒饼干,其中的14盒质量相同,另有1盒少了几块,如果能用天平称,至少几次保证可
以找出这盒饼干?
有7盒同种规格的螺丝,其中一盒少了2个,用天平找出这盒来有哪些称法?请观察下表,然
后回答问题.
盒数
分成的份数
保证能找出次品需要称的次数
7
7
7
7
如果选择最快捷的方法,你选哪种?最多需要称几次就能找到最少的那盒螺丝呢?
(2)下面说法正确的选项是
.(把正确答案的序号填在括号里)
(1)第四种分法有可能称一次就能找到.
(2)第三种分法有可能称一次就能找到.
(3)第二种分法有可能称一次就能找到.
(3)下面说法正确的选项是
.(把正确答案的序号填在括号里)
(1)第二种分法最多称2次就能找到.
(2)第三种分法比第二种好.
(3)第四种分法不能一次找到.
小明有8个羽毛球,其中一个因质量过重是废品球,老师只提供天平给小明,要他通过称
重法找出废品球,请问小明最少称(
)次,可以找出废品球.
7次
2次
3次
4次
有一个天平,九个砝码,其中一个砝码比另八个要轻一些,问至少要称几次才能将轻的那
个找出来?
有十堆银币,每堆十枚。已知一枚真币的重量,也知道每个假币比真币重量多一克,而且你还知道这里有一堆全是假币,你可以用一架台式盘称来称克数。最少要称几次才能确定出假币?
一箱果汁有24瓶,其中23瓶质量相同,另有一瓶质量略轻.用天平至少称
次才能保证找出这瓶比较轻的果汁.
有27个零件，其中有一个零件是次品(次品轻一些).用天平称，至少称
次能保证找出次品零件.
①2
②3
③4
答案解析
答案
解:(1)根据题干分析可得:
,
所以需要称量6次的待测物品的数量是在
之间;
(2)由上述分析可得,需要称量n次,待测物品的数量就在
个3相乘的积与n个3相乘的积之间.
答案
3
解:
把12个苹果分成两组:6个1组,进行第一次称量,那么次品就在较轻的那一组中;
(2)由此再把较轻的6个苹果分成2组:3个为1组,进行第二次称量,那么次品在较轻的那一
组中;
再把较轻的3个苹果分成3组:1组1个还剩1个,如果左右相等,那么说明剩下的一个是
次品,如果左右不等,那么较轻的那个是次品,
答:如此经过3次即可找出质量较轻的那个苹果,
故答案为:3.
答案
解:
,其中任意两组放在天平上称,可找出有次品的一组,
再把5分成
,然后再把两个一组的放在天平上称,如平衡,则1个1组的是次品,需要
2次.
如不平衡,可再把2分成
,再放在天平上称,可找出次品,则需要3次.
所以至少3次保证可能找出这盒饼干.
答:至少3次保证可能找出这盒饼干.
答案
2
2
3
3
②
①
解:(1)我选择第一种,
第一次:把其中3个和3个,两份螺丝分别放在天平秤两端,若天平秤平衡,则少了2个的那盒即是未取的那盒,若不平衡;第二次:把在天平秤较高端的3个零件,任取2个,分别放在
天平秤两端,若天平秤平衡,则未取的那盒即为少2个的,若不平衡,天平秤较高端的那盒
即为少2个的,
第三种分法为5,1,1,若把两个1盒,分别放在天平秤两端,若天平秤不平衡,那么较高端的那盒螺丝即为少2个的那盒,
也就是说:第三种分法有可能称一次就能找到;
按照第二种方法:按照分成份数为2,2,3的分法可得:第一次:把其中2个和2个螺丝分别
放在天平秤两端,若天平秤平衡,则少了2个螺丝的那盒即在未取的3盒中(再按照下面方
法操作),若不平衡;第二次:把在天平秤较高端的2个零件,分别放在天平秤两端,天平秤较
高端的那盒即为少2个的;
故答案依次为:2,2,3,3,(2),(1).
答案
B
解:第一次:把8个羽毛球分成3个,3个,2个三份,从中取两份3个的,分别放在天平秤两端
称量(若天平秤平衡,把未取的两个羽毛球分别放在天平秤两端,较低端即为废品),若天
平秤不平衡;第二次:从较低端中任取2个,分别放在天平秤两端,较低端即为废品,若天平
秤平衡,未取的羽毛球即为废品球.
所以B选项是正确的.
答案
解:至少2次:第一次,一边3个,哪边轻就在哪边,一样重就是剩余的3个;
第二次,一边1个,哪边轻就是哪个,一样重就是剩余的那个;
答:至少称2次.
解析
把9个砝码平均分成3份,每份3个,第一次,一边3个,哪边轻就在哪边,一样重就是剩余的3
个;
第二次,一边1个,哪边轻就是哪个,一样重就是剩余的那个;进而得出结论.
该题考查了利用天平判断物体质量的技能,需要学生开动脑筋,借助一定的数学思维方
式进行解答.
答案
答：最少要称一次才能确定出假币。
解析
本题考查策略问题；
把十堆编号为
号，然后从
号堆中取
枚、号堆中取
枚、号堆中取
枚、、
号堆中取
枚：
8、解:第一次:把24瓶果汁平均分成三份,每份8瓶,任取两份,分别放在天平秤两端,若天平秤
平衡,则较轻的那瓶即在未取的8瓶中(按照下面的方法操作),若天平秤不平衡;第二次:
把天平秤较高端的8瓶,分成3瓶,3瓶,2瓶三份,把其中3瓶两份分别放在天平秤两端,若天
平秤平衡,占的较轻的即在未取的2瓶中(分别放在天平秤两端,较高端即为较轻的),若天
平秤不平衡;第三次:把天平秤较高的3瓶.任取2瓶,分别放在天平秤两端,若天平秤平衡,
未取的即为较轻的,若天平秤不平衡,较高的即为较轻的.
故答案为:三.
9、答案
解：
本题考查天平称量的分组和方案设计，本题首先将27个零件分成3组，每组9个，将9个零件放在天平
上，通过第一次称量找出最轻的一组，然后再将9个零件分成3组，通过第二次称量找出最轻的一组，剩
下3个零件再通过一次称量即可找出次品.
故答案为：
②
本题考查了天平称量问题的方案设计问题.
解析
本题属于选择题，在解题时注意天平称量问题的分组和称量方案的设计.期末专题：列举法解决问题策略重难点题型
1、填空。
（1）用0、1、2、3这四个数字可以组成（
）个不同的三位数。
（2）一列火车从上海开往南京，途中要经过6个站，铁路部门要为这列火车准备（
）种不同的火车票。
（3）有5个朋友聚会，见面时如果每个人和其余的4个人只握一次手，那么5个人共握手（
）次。
2、选择。
（1）邮递员每天需取7次信箱里的信。第一次取信是早晨7时，最后一次取信是晚上7时。如果每次取信的时间间隔相同，那么第4次取信的时间是（
）。
A．11时
B．13时
C．15时
（2）有1克、2克和5克的砝码各一个，选其中的一个或几个放在天平的一端，能在天平上直接称出（
）种不同质量的物体。
A．6
B．7
C．8
3、某信号兵用红、黄、蓝三面旗从上到下挂在旗杆上的三个位置表示信号。每次都挂三面，不同的顺序、不同的位置表示不同的信号。一共可以表示出多少种不同的信号？
1、把事情发生的可能性有条理地找出来，从而找出问题的全部答案，这种策略叫作一一列举。
列举的方式有：列表、画图、连线、画“√”，也可按一定规律排列出来等。
重难点题型：
简单枚举法
两两比赛
数字组成多位数的组合种数
数图形个数
发车问题
车票（往返）购买种数（7）数路径条数
题型1
简单枚举法
【错例】婷婷要把10个苹果分给2个小朋友，且每人最少分2个苹果，那么婷婷一共有多少种不同的分法?
10=1+9=2+8=3+7=4+6=5+5
答:一共有5种不同的分法。
【错因】未考虑到此题顺序性，且每人至少分两个。
【改正】
10=1+9=2+8=3+7=4+6=5+5
=6+4=7+3=8+2=9+1，每人最少分2个苹果，那么婷婷一共有7种不同的分法.
【反思】此类题型注意关键字，判断是否有顺序，如10=2+8，“分成两堆”是一种（无顺序），“分给两个人”是两种（有顺序），枚举时做到不重不漏。
题型2
两两比赛（握手原理）
【错例】实验小学举行足球比赛，有5支球队参加，每两支球队比赛一场，那么一共要比赛多少场?
1+2+3+4+5=15(场)
答：一共要比赛15场。
【错因】未画图理解比赛场次。
【改正】
4+3+2+1=10(场)
答：一共要比赛10场。
【反思】比赛问题，通过画图可以知道，假设5支球队分别是A、B、C、D、E五队，A要比赛4场，B比赛3场，C比赛2场，D比赛1场即可满足每两支球队比赛一场。握手问题同样方法解决。
题型3
数字表示多位数的组合：例如21=2×10+1×1，即对应数位上数字乘以对应数位上计数单位的和的累加
【错例】一个两位数，如果将它的十位上的数和个位上的数对调，那么得到的两位数比原来大18，这样的数有（
）个
A、6
B、7
C、8
D、9
答案：B
题型4
数图形个数：利用编号和数层数相结合的方式。数长方形个数时，按顺序数，由一格组成的开始数，逐渐递增，要考虑横向和竖向，做到不重不漏。
【错例】数一数，图中有（
14
）个长方形。
一格组成的长方形有6个；
两格组成的长方形有4个；
三格组成的长方形有2个；
四格组成的长方形有2个；
一共有14个。
【错因】两格组成的未数到竖向的两个长方形。
【改正】
16
题型5发车问题：注意起始时间发第一辆车，发车辆数为经过间隔时间数加1。
【错例】3路公交车每隔15分钟发一辆，早晨6：00发第一辆，第六辆车的发车时间是
7时15分
，
中午12：15发第
25
辆车.
【错因】未把第一辆车算进去。
【改正】
7时15分，26
题型6：车票（往返）购买种数：先数单程的车票种数再乘以2，n个站点设单程票数=1+2+3+...+(n-1)
【错例】一列火车从上海到扬州，一共有5个站，这列火车要准备(
)种不同的车票.
A.10
B.14
C.18
D.20
【错因】A
数漏，注意车票往返要单程种数×2
【改正】D
题型7：数路径条数:标点数路径走法（除起点）
【错例】一只蚂蚁从“6”爬到“3”处（只能向下或向右行走），有
种不同的走法
从A到B的走法=1+1=2种
1
1
B
1
2
3
A
【错因】：数重或者数漏
【纠正】1+2=3种
【变式练习】
1.
2.
3、
4、
1-4答案：1、8种2、7种3、6种4、10种
5、
如图，小斯从A城市到B城市有三种不同的路线，从B城市到C城市有两种不同的路线，如果从A城市直接到C城市还有两种不同的路线，那么小斯从A城市经过B城市到C城市共有多少种不同的路线?小斯从A城市到C城市一共有多少种不同的路线?
【易错题训练】
一、选择题.
1.
用3、5、9各一个可以组成(
)个不同的三位数。
A.3
B.4
C.6
D.7
2.妈妈给小明30元钱去买杯子，已知大杯子每个3元，小杯子每个2元，如果把钱正好用完，那么一共有(
)种不同的购买方法.
A.3
B.6
C.9
D.12
3.有1元、2元、5元和10元人民币各1张，任意取2张，可以有(
)种不同的取法.
A.4
B.6
C.10
D.14
4.用栅栏围成一个长12米宽4米的长方形苗圃，如果不增加栅栏，要使面积扩大的方法是(
)。
A.减长增宽
B.增长减宽
C.不可能
D.增长增宽
一根铁丝长18厘米，把它围成长和宽都是整数厘米的长方形，围成的长方形面积最大是(
)平方厘米.
A.14
B.18
C.20
D.24
7.某小学2017年9月4日正式上课，这一天是星期一，星期六和星期天不上课，那么这个月该小学一共上了(
)天课.
A.19
B.20
C.21
D.22
8.两人见面要握一次手，照这样的规定，5个人见面握(
)次手.
A.15
B.12
C.10
D.8
二、填空题.
1.学校组织了艺术、电脑、体育三种兴趣小组，小玲准备至少参加一种，她一共有
种不同的参加方式.
2.把一根粗细均匀的木头锯成3段要2分钟，锯成8段要
分钟.
3.10个1平方厘米的小正方形拼成的大长方形，一共有
种不同的拼法(平移、旋转、翻转后形状一样的视为同一种)，其中周长最大的是
厘米.
4.
小明属龙，再过11年后，小明属
爸爸比小明大24岁，爸爸属
。
5.
阿呆、阿瓜、小高、萱萱和卡莉娅是好朋友，他们每年每两人之间都要给对方写一封信，那么每年一共会有
封信。
三、判断题.(对的打“√”，错的打“×”)
1.有甲、乙、丙、丁四个人，每两人握一次手，一共握12次手.
(
)
2.用1、2、3这三个数字能够组成6个不同的三位数.(
)
3.用24个边长是1厘米的小正方形拼成长方形，有8种不同的拼法.
(
)
4.8个相同的小球分成三堆，有8种不同的分法.(
)
5.今天是星期三，47天后是星期日.(
)
