2020-2021学年安徽省合肥市九年级（上）第三次联考数学试卷（word版含解析）

2020-2021学年安徽省合肥市九年级（上）第三次联考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是正确的）
1．（4分）下列是有理数的是　　
A．
B．
C．
D．
2．（4分）若，则的值为　　
A．
B．
C．
D．
3．（4分）在中，，，，则的正切值为　　
A．3
B．
C．
D．
4．（4分）函数中，自变量的取值范围是　　
A．
B．
C．的一切实数
D．取任意实数
5．（4分）如图所示，有一山坡在水平方向每前进就升高，那么山坡的坡度为　　
A．
B．
C．
D．
6．（4分）如图，直线与、轴分别交于、两点，则的值是　　
A．
B．
C．
D．
7．（4分）已知二次函数的图象与轴的一个交点为，则它与轴的另一个交点坐标是　　
A．
B．
C．
D．
8．（4分）关于抛物线，下列说法错误的是　　
A．该抛物线经过原点
B．该抛物线的对称轴是直线
C．该抛物线的最大值为1
D．当时，随增大而减小
9．（4分）如图，在等边三角形中，点，分别在，上，且，则下列不正确的是　　
A．
B．
C．
D．
10．（4分）如图，正方形和正方形的对角线，都在直线上，将正方形沿着直线从点与点重合开始向右平移，直到点与点重合为止，设点平移的距离为，，，两个正方形重合部分的面积为，则关于的函数图象大致为　　
A．
B．
C．
D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）如图，、交于点，，若，，，则　　．
12．（5分）如图，的三个顶点分别在边长为1的正方形网格的格点上，则
　　．（填“”“
”“
”
13．（5分）赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数关系式为，当水面离桥拱顶的高度是4米时，这时水面宽度为　　米．
14．（5分）一张直角三角形纸片，，，，点，分别是，上的点，点不与点，重合，折叠使得直角顶点落在斜边上的点处，且是直角三角形．
（1）四边形的形状是
　　；
（2）的长为
　　．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．（8分）计算：．
16．（8分）如图，已知中，交于点，交于点，点在边上，交于点．
求证：．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．（8分）如图，的顶点都在网格点上，点的坐标为．
（1）以点为位似中心，位似比为3，将放大，在第二象限得到△，画出△；
（2）直接写出点、的坐标．
18．（8分）某工厂生产化肥的总任务一定，平均每天化肥产量（吨与完成生产任务所需要的时间（天之间成反比例关系，如果每天生产化肥125吨，那么完成总任务需要7天．
（1）求关于的函数表达式；
（2）若要5天完成总任务，则每天产量应达到多少？
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．（10分）如图，在中，，为上的一点，，．求的三个三角函数值．
20．（10分）如图，在中，点，分别在边，上，，射线分别交线段，于点，，且．
（1）求证：；
（2）若，求的值．
六、（本题满分12分）
21．（12分）某公司向市场投入一款电子产品，前期研发投入为10万元，总利润（万元）与月份成二次函数，其函数关系式为（总利润月销售累积利润前期投入）
（1）投入市场后多长时间内总利润是随月份上升的？
（2）求最快要几个月，总利润才能达到81万元；
（3）当月销售利润小于等于3万元时应考虑推出替代产品，问该公司何时推出替代产品最好？
七、（本题满分12分）
22．（12分）如图，二次函数的图象与轴相交于，两点．与轴相交于点
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）若是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，轴于点，与交于点，请问：当点的坐标为多少时，线段的长最大？并求出这个最大值．
八、（本题满分14分）
23．（14分）如图1，和都是等腰直角三角形，，，且点是上的点（点不与点，重合），过点作交的延长线于点，的延长线交于点．过点作交于点，连接．
（1）求证：；
（2）若，求的长；
（3）如图2，若，求的值．
参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是正确的）
1．（4分）下列是有理数的是　　
A．
B．
C．
D．
【解答】解：、，是有理数，符合题意；
、，不是有理数，不符合题意；
、，不是有理数，不符合题意；
、，不是有理数，不符合题意；
故选：．
2．（4分）若，则的值为　　
A．
B．
C．
D．
【解答】解：，
，
即．
故选：．
3．（4分）在中，，，，则的正切值为　　
A．3
B．
C．
D．
【解答】解：在中，，，，
则，
故选：．
4．（4分）函数中，自变量的取值范围是　　
A．
B．
C．的一切实数
D．取任意实数
【解答】解：函数中，自变量的取值范围是，
故选：．
5．（4分）如图所示，有一山坡在水平方向每前进就升高，那么山坡的坡度为　　
A．
B．
C．
D．
【解答】解：铅直高度为，水平宽度为，
山坡的坡度，
故选：．
6．（4分）如图，直线与、轴分别交于、两点，则的值是　　
A．
B．
C．
D．
【解答】解：当时，，
当时，，
直线与、轴的交点的坐标、，
，，
由勾股定理得，，
则，
故选：．
7．（4分）已知二次函数的图象与轴的一个交点为，则它与轴的另一个交点坐标是　　
A．
B．
C．
D．
【解答】解：，，
，
即：，解得：，
二次函数与轴的另一个交点为，
故选：．
8．（4分）关于抛物线，下列说法错误的是　　
A．该抛物线经过原点
B．该抛物线的对称轴是直线
C．该抛物线的最大值为1
D．当时，随增大而减小
【解答】解：当抛物线，当时，，
经过原点，正确，
配方得：，
顶点坐标是，对称轴是直线，根据，得出开口向下有最大值，当时，随的增大而减小，
、说法正确；
说法错误．
故选：．
9．（4分）如图，在等边三角形中，点，分别在，上，且，则下列不正确的是　　
A．
B．
C．
D．
【解答】解：是等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，，
，
故选项，，正确，
故选：．
10．（4分）如图，正方形和正方形的对角线，都在直线上，将正方形沿着直线从点与点重合开始向右平移，直到点与点重合为止，设点平移的距离为，，，两个正方形重合部分的面积为，则关于的函数图象大致为　　
A．
B．
C．
D．
【解答】解：如图（1），当时，；
如图（2），当时，正方形在正方形内部，
则；
如图（3），当时，，
．综上所述，选项符合题意．
故选：．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）如图，、交于点，，若，，，则　2　．
【解答】解：，
，
，
，，，
，
解得：．
故答案为：2
12．（5分）如图，的三个顶点分别在边长为1的正方形网格的格点上，则　　．（填“”“
”“
”
【解答】解：由正方形网格图可知，，，
则，
，，
，
，
，
故答案为：．
13．（5分）赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数关系式为，当水面离桥拱顶的高度是4米时，这时水面宽度为　20　米．
【解答】解：当时，
，
解得，，，
当水面离桥拱顶的高度是4米时，这时水面宽度为：（米，
故答案为：20．
14．（5分）一张直角三角形纸片，，，，点，分别是，上的点，点不与点，重合，折叠使得直角顶点落在斜边上的点处，且是直角三角形．
（1）四边形的形状是
　正方形　；
（2）的长为
　　．
【解答】解（1）是直角三角形．
，
，
又，
，
四边形是矩形，
由折叠的性质可得：，
四边形是正方形，
故答案为：正方形；
（2）在中，由勾股定理得：
，
设，则，，
，，
，
，
即，
解得：，
．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．（8分）计算：．
【解答】解：原式
．
16．（8分）如图，已知中，交于点，交于点，点在边上，交于点．
求证：．
【解答】证明：，
，
，
．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．（8分）如图，的顶点都在网格点上，点的坐标为．
（1）以点为位似中心，位似比为3，将放大，在第二象限得到△，画出△；
（2）直接写出点、的坐标．
【解答】解：（1）如图，△即为所求．
（2）如图，，．
18．（8分）某工厂生产化肥的总任务一定，平均每天化肥产量（吨与完成生产任务所需要的时间（天之间成反比例关系，如果每天生产化肥125吨，那么完成总任务需要7天．
（1）求关于的函数表达式；
（2）若要5天完成总任务，则每天产量应达到多少？
【解答】解：（1）设，
根据题意得：，
关于的函数表达式为；
（2）当时，（吨，
即若要5天完成总任务，则每天产量应达到175吨．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．（10分）如图，在中，，为上的一点，，．求的三个三角函数值．
【解答】解：在中，、，
，
又，
，
则，
，
．
20．（10分）如图，在中，点，分别在边，上，，射线分别交线段，于点，，且．
（1）求证：；
（2）若，求的值．
【解答】（1）证明：，，
．
又，
．
（2），
．
，
，
．
六、（本题满分12分）
21．（12分）某公司向市场投入一款电子产品，前期研发投入为10万元，总利润（万元）与月份成二次函数，其函数关系式为（总利润月销售累积利润前期投入）
（1）投入市场后多长时间内总利润是随月份上升的？
（2）求最快要几个月，总利润才能达到81万元；
（3）当月销售利润小于等于3万元时应考虑推出替代产品，问该公司何时推出替代产品最好？
【解答】解：（1），
当时，随的增大而增大，
故投入市场后10个月内总利润是随月份上升的．
（2）当时，可得：，
解得：，，
故最快要7个月，总利润才能达到81万元．
（3）根据题意，得：，
整理，得：，
解得：，
答：该公司第9个月时推出替代产品最好．
七、（本题满分12分）
22．（12分）如图，二次函数的图象与轴相交于，两点．与轴相交于点
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）若是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，轴于点，与交于点，请问：当点的坐标为多少时，线段的长最大？并求出这个最大值．
【解答】解：（1）由题意得：，解得，
这个二次函数的解析式为，
（2）当时，，则为，
易得直线的函数解析式为：，
设的坐标为，，则的坐标为，
，
且，
当时，取得最大值，最大值为，此时的坐标为，．
八、（本题满分14分）
23．（14分）如图1，和都是等腰直角三角形，，，且点是上的点（点不与点，重合），过点作交的延长线于点，的延长线交于点．过点作交于点，连接．
（1）求证：；
（2）若，求的长；
（3）如图2，若，求的值．
【解答】证明：（1），
，
，
，
，
，
；
（2），，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）如图2，
作于，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，
，
，
．