第八章
机械能守恒定律
1．功
与
功
率
一、功
1．力对物体所做的功，等于
、
、
这三者的乘积。
2．公式：W＝
。
(1)α是力与
方向之间的夹角，l为以地面为参考系时物体的位移。
(2)该公式只适用于
做功。
(3)功是
量。
3．单位：
国际单位制中，功的单位是
，简称
，符号是
。1
J＝1
。
二、正功和负功
1．正功和负功：
α的取值
W的取值
含义
α＝
W＝0
力F
0≤α＜
W＞0
力F对物体做
＜α≤π
W＜0
力F对物体做
(或说成物体克服力F做功)
2.几个力的总功的求法：
(1)先由W＝Fl
cos
α计算各个力对物体所做的功W1、W2、W3、…然后求所有力做功的
，即W总＝W1＋W2＋W3＋…
(2)先由力的合成或根据牛顿第二定律求出合力F合，然后由W总＝
计算总功，此时α为F合的方向与l的方向间的夹角。
三、功率
1．定义：功W与完成这些功所用时间t的
。
2．定义式：P＝。
3．单位：在国际单位制中，功率的单位是
，简称瓦，用W表示。
4．物理意义：功率是
量，它是表示物体
的物理量。
5．功率与力、速度的关系式：P＝Fv
cos
α，其中α是力与速度方向之间的夹角，当力的方向与物体的运动方向相同时，P＝
。
6．公式P＝Fv中各物理量间的关系：
(1)功率P一定时，物体的运动速度v与牵引力F成
。
(2)物体的运动速度v一定时，功率P与牵引力F成
。
(3)牵引力F一定时，功率P与物体的运动速度v成
。
7．平均功率：物体在一段时间内做功的功率的
，通常用P＝描述。
8．瞬时功率：物体在某一
或某一
的功率，瞬时功率通常用P＝
描述。，
学习功和功率的概念后，我们分析判断下列哪些说法是正确的？
①只要物体受力的同时又有位移发生，则一定有力对物体做功。
②一个力对物体做了负功，则说明这个力一定阻碍物体的运动。
③滑动摩擦力可能做负功，也可能做正功；静摩擦力对物体一定做负功。
④据P＝Fv可知，发动机功率一定时，交通工具的牵引力与运动速度成反比。
⑤汽车上坡的时候，司机必须换挡，其目的是减小速度，得到较大的牵引力。
说法正确的有
。
甲图人拉车向前运动，乙图人拉车阻止车前进。
思考1：甲图中人对小车做什么功？为什么？
思考2：乙图中人对小车做什么功？为什么？
P77【思考与讨论】
无论哪种启动过程，机车的最大速度是多少？
一、功及其正负(物理观念——能量观念)
飞机降落的时候，打开尾部的减速伞。在这个过程中，减速伞拉力的方向与飞机位移的方向相反。
探究：拉力对飞机做功了吗？做了什么功？
1．对W＝Fl
cos
α的理解：
力对物体做功的条件
对公式W＝Fl
cos
α的理解
(1)有力(2)在力的方向上发生位移
(1)相关性：由公式W＝Fl
cos
α可以看出力对物体做功，只与F、l、α有关，与物体的运动状态及物体是否还受其他作用力等因素均无关
(2)同时性：计算时应注意F与l必须具有同时性，即l必须是力F作用过程中物体发生的位移
(3)同一性：同一个客观运动，相对于不同的参考系，位移l是不同的，在中学物理中约定，计算功都以地面为参考系，即l应理解为“受力质点的对地位移”
(4)适用性：明确公式W＝Fl
cos
α适用于计算恒力做功，若是变力做功，此公式不再适用
功描述了力的作用效果在空间上的累积，它总与一个具体过程相联系。
2．对正功、负功的理解：
(1)正功、负功的物理意义。
功的正、负由力和位移之间的夹角决定，所以功的正负不表示方向，而只能说明做功的力对物体来说是动力还是阻力。
(2)功是标量。
功是标量，只有量值，没有方向。功的正、负并不表示功的方向，而且也不是数量上的正与负。我们既不能说“正功与负功的方向相反”，也不能说“正功大于负功”，它们仅表示相反的做功效果。
【典例】如图所示的四幅图是小明提包回家的情景，小明提包的力不做功的
是( )
【解题探究】
(1)力对物体做功的条件是什么？
(2)有力和位移，那么这个力一定对物体做功吗？
力不做功应该满足以下三点中之一：
(1)物体不受力的作用；
(2)以地面为参考系运动的位移为0；
(3)力的方向与位移的方向垂直。
1．下列关于做功的说法中，正确的是( )
A．凡是受力作用的物体，一定有力对物体做功
B．凡是发生了位移的物体，一定有力对物体做功
C．只要物体受力的同时又有位移发生，则一定有力对物体做功
D．只要物体受力，又在力的方向上发生了位移，则一定有力对物体做功
2.(多选)图中是小孩滑滑梯的情景，在小孩下滑过程中，关于各力做功的说法，正确的是( )
A．重力做正功
B．支持力做负功
C．支持力不做功
D．摩擦力做负功
【补偿训练】
如图甲为一女士站立在台阶式自动扶梯上正在匀速上楼，如图乙为一男士站立在履带式自动人行道电梯上正在匀速上楼。下列关于两人受到的力做功判断正确的是( )
A．甲图中支持力对人做正功
B．乙图中支持力对人做正功
C．甲图中摩擦力对人做负功
D．乙图中摩擦力对人做负功
二、求总功的两个思路(科学思维——科学推理)
光滑的水平面上，两个互相垂直的水平作用力F1和F2作用在同一物体上，使物体运动，如图所示。物体通过一段位移时，力F1对物体做功4
J，力F2对物体做功3
J。力F1与F2的合力对物体做的功为多少？
求总功的两个思路
(1)先确定物体所受的合力，再根据公式W合＝F合l
cos
α求解合力的功。该方法适用于物体的合力不变的情况，常见的是发生位移l过程中，物体所受的各力均没有发生变化。求解流程：
→→
(2)先根据W＝Fl
cos
α，求出每个分力做的功W1、W2、…、Wn，再根据W总＝W1＋W2＋…＋Wn，求解合力的功，即合力做的功等于各个分力做功的代数和。
该方法的适用范围更广，求解流程：
→→
【典例】如图所示，质量m＝2
kg的物体静止在水平地面上，受到与水平地面夹角为θ＝37°、大小F＝10
N的拉力作用，物体移动了s＝2
m，物体与地面间的动摩擦因数μ＝0.3，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，g取10
m/s2。求：
(1)拉力F所做的功W1；
(2)摩擦力f所做的功W2；
(3)重力G所做的功W3；
(4)弹力N所做的功W4；
(5)各力所做的总功W。
【解题探究】
(1)计算功的表达式是什么？
(2)计算总功的两种方法是什么？
计算总功的一般步骤和方法
(1)对物体进行正确的受力分析，明确物体受到哪几个力作用，以及每个力的大小和方向。
(2)分析每一个力作用过程中所对应的位移，根据功的定义式W＝Fl
cos
α，求出每一个力所做的功。
(3)将各个力所做的功进行代数求和，即可计算出总功。
(4)若各个力是同时作用在物体上，也可先求出各个力的合力，再根据功的定义式求出合力所做的总功。
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"对点训练.TIF"
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"对点训练.TIF"
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1.如图所示，坐在雪橇上的人与雪橇的总质量为m，在与水平面成θ角的恒定拉力F作用下，沿水平地面向右移动了一段距离s。已知雪橇与地面间的动摩擦因数为μ，雪橇受到的( )
A．支持力做功为(mg－F
sin
θ)s
B．重力做功为mgs
C．拉力做功为Fs
cos
θ
D．滑动摩擦力做功为－μmgs
2.如图所示，利用斜面从货车上卸货，每包货物的质量m＝20
kg，斜面倾角α＝37°，斜面的长度l＝0.5
m，货物与斜面间的动摩擦因数μ＝0.2，求货物从斜面顶端滑到底端的过程中受到的各个力所做的功以及合外力做的功。(g取
10
m/s2)
【拔高题组】
1．一滑块在水平地面上沿直线滑行，t＝0时，其速度为1
m/s。从此刻开始在滑块运动方向上再施加一水平作用力F，力F和滑块的速度v随时间的变化规律分别如图甲和乙所示。设在第1
s内、第2
s内、第3
s内力F对滑块做的功分别为W1、W2、W3，则以下关系式正确的是( )
A．W1＝W2＝W3
B．W1＜W2＜W3
C．W1＜W3＜W2
D．W1＝W2＜W3
2.质量为M的木板放在光滑水平面上，如图所示。一个质量为m的滑块以某一速度沿木板表面从A点滑至B点，在木板上前进了l，同时木板前进了s，若滑块与木板间的动摩擦因数为μ，求摩擦力对滑块、对木板所做的功各为多少？
【拓展例题】考查内容：变力做功的计算
【典例】如图所示，在水平面上，有一弯曲的槽道AB，槽道由半径分别为和R的两个半圆构成。现用大小恒为F的拉力将一光滑小球从A点沿槽道拉至B点，若拉力F的方向时刻与小球运动方向一致，则此过程中拉力F所做的功为( )
A．0
B．FR
C．πFR
D．2πFR
三、功率的计算(科学思维——科学推理)
质量为m的苹果从高处自由下落。
(1)经时间t，重力对苹果做功的平均功率为多少？
(2)在t时刻重力对物体做功的瞬时功率为多少？
四类功率的比较
名
称
表
述
平均功率
物体在一段时间内做功功率的平均值，通常用P＝描述
瞬时功率
物体在某一时刻或某一位置的功率，瞬时功率通常用P＝Fv描述
额定功率
机械长时间工作的最大允许功率
实际功率
机械实际工作时的功率，实际功率小于或等于额定功率，但不能长时间大于额定功率
【典例】如图所示，质量m＝2
kg的物块在倾角α＝37°的光滑固定斜面顶端由静止滑下，已知sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，g取10
m/s2，求：
(1)前2
s内重力做的功；
(2)前2
s内重力的平均功率；
(3)2
s末重力的瞬时功率。
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"思维导引.TIF"
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"对点训练.TIF"
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(2021·金华高一检测)火车在一段平直的轨道上做匀加速运动，若阻力不变，则牵引力F和它的瞬时功率P的变化情况是( )
A．F不变，P变大
B．F变小，P不变
C．F变大，P变大
D．F不变，P不变
【拔高题组】
1．用水平力F拉着一物体在水平面上做匀速运动，某时刻将力F随时间均匀减小，物体所受的摩擦力随时间的变化如图中实线所示，下列说法中正确的是( )
A.F做功的功率是从t1时刻开始减小的，t2时刻F做功的功率刚好变为零
B．F做功的功率是从t1时刻开始减小的，t3时刻F做功的功率刚好变为零
C．F做功的功率是从t2时刻开始减小的，t2时刻F做功的功率刚好变为零
D．F做功的功率是从t2时刻开始减小的，t3时刻F做功的功率刚好变为零
2.如图所示，在光滑水平面上放着一个质量为10
kg的木箱，拉力F与水平方向成60°角，F＝2
N，木箱从静止开始运动，4
s末拉力的瞬时功率为( )
A．0.2
W
B．0.4
W
C．0.8
W
D．1.6W
【拓展例题】考查内容：估算法计算平均功率
【典例】在一次举重比赛中，一名运动员在抓举比赛时，将质量为127.5
kg的杠铃举起历时约2
s，该运动员在举起杠铃过程中的平均功率为( )
A．几十瓦
B．一千瓦左右
C．几十千瓦
D．几百千瓦
额定功率
机械的额定功率是指机械设备所能达到的最大输出功率，机械设备的实际输出功率不会大于额定功率，这一点与电器不同。
电器的额定功率是指用电器正常工作时的功率。它的值为用电器的额定电压乘以额定电流。若用电器的实际功率大于额定功率，则用电器可能会损坏；若实际功率小于额定功率，则用电器无法正常运行。
在正常运行工作状况下，动力设备的输出功率或消耗能量的设备的输入功率，常以“千瓦”为单位。也指工厂生产的机器在正常工作时所能达到的功率。即平常所说的某机器的功率，机器的额定功率是一定的。
探究：通过电视机的铭牌你知道它的额定功率吗？
1．(水平1)以下关于功率的说法中正确的是( )
A．据P＝可知，机器做功越多，其功率就越大
B．据P＝Fv可知，汽车牵引力一定与速度成反比
C．据P＝可知，只要知道时间t内机器所做的功，就可求得这段时间内任一时刻机器做功的功率
D．据P＝Fv可知，发动机功率一定时，交通工具的牵引力与运动速度成反比
2．(水平1)如图所示，小朋友在弹性较好的蹦床上跳跃翻腾，尽情玩耍，在小朋友接触床面向下运动的过程中，床面对小朋友的弹力做功情况是( )
A.先做负功，再做正功
B．先做正功，再做负功
C．一直做正功
D．一直做负功
3．(水平1)如图所示，力F大小相等，物体运动的位移l也相同，下列哪种情况下F做功最小( )
4．(水平2)如图所示，木块A放在木块B的左上端，用恒力F将A拉至B的右端，第一次将B固定在地面上，F做功为W1，第二次让B可以在光滑的地面上自由滑动，F做功为W2，比较两次做功，应有( )
A．W1B．W1＝W2
C．W1>W2
D．无法比较
5．(水平2)传送带广泛应用在生产和生活中如图所示，工作人员将质量m＝1
kg的邮件无初速轻放在速度大小v＝0.4
m/s匀速运动的水平传送带上，经20
s邮件离开传送带。已知该邮件和传送带之间的动摩擦因数μ＝0.2，求：
(1)邮件刚放在传送带上时加速度a的大小；
(2)0～20
s内邮件位移x的大小；
(3)0～20
s内滑动摩擦力对邮件所做的功W。
【补偿训练】
一辆正在路面上行驶的汽车，遇到前方有人横穿马路时，司机紧急制动后又经过x的距离停下来才避免了一场车祸的发生，若汽车与地面的摩擦力大小为F，则关于汽车与地面间摩擦力做的功，以下说法中正确的是( )
A．摩擦力对汽车、地面均不做功
B．摩擦力对汽车做－Fx的功，对地面做Fx的功
C．摩擦力对汽车、地面均做－Fx的功
D．摩擦力对汽车做－Fx的功，对地面不做功
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-第八章
机械能守恒定律
1．功
与
功
率
一、功
1．力对物体所做的功，等于力的大小、位移的大小、力与位移夹角的余弦这三者的乘积。
2．公式：W＝Flcosα。
(1)α是力与位移方向之间的夹角，l为以地面为参考系时物体的位移。
(2)该公式只适用于恒力做功。
(3)功是标量。
3．单位：
国际单位制中，功的单位是焦耳，简称焦，符号是
J。1
J＝1
N·m。
二、正功和负功
1．正功和负功：
α的取值
W的取值
含义
α＝
W＝0
力F不做功
0≤α＜
W＞0
力F对物体做正功
＜α≤π
W＜0
力F对物体做负功(或说成物体克服力F做功)
2.几个力的总功的求法：
(1)先由W＝Fl
cos
α计算各个力对物体所做的功W1、W2、W3、…然后求所有力做功的代数和，即W总＝W1＋W2＋W3＋…
(2)先由力的合成或根据牛顿第二定律求出合力F合，然后由W总＝F合lcosα计算总功，此时α为F合的方向与l的方向间的夹角。
三、功率
1．定义：功W与完成这些功所用时间t的比值。
2．定义式：P＝。
3．单位：在国际单位制中，功率的单位是瓦特，简称瓦，用W表示。
4．物理意义：功率是标量，它是表示物体做功快慢的物理量。
5．功率与力、速度的关系式：P＝Fv
cos
α，其中α是力与速度方向之间的夹角，当力的方向与物体的运动方向相同时，P＝Fv。
6．公式P＝Fv中各物理量间的关系：
(1)功率P一定时，物体的运动速度v与牵引力F成反比。
(2)物体的运动速度v一定时，功率P与牵引力F成正比。
(3)牵引力F一定时，功率P与物体的运动速度v成正比。
7．平均功率：物体在一段时间内做功的功率的平均值，通常用P＝描述。
8．瞬时功率：物体在某一时刻或某一位置的功率，瞬时功率通常用P＝Fv描述。，
学习功和功率的概念后，我们分析判断下列哪些说法是正确的？
①只要物体受力的同时又有位移发生，则一定有力对物体做功。
②一个力对物体做了负功，则说明这个力一定阻碍物体的运动。
③滑动摩擦力可能做负功，也可能做正功；静摩擦力对物体一定做负功。
④据P＝Fv可知，发动机功率一定时，交通工具的牵引力与运动速度成反比。
⑤汽车上坡的时候，司机必须换挡，其目的是减小速度，得到较大的牵引力。
说法正确的有②④⑤。
甲图人拉车向前运动，乙图人拉车阻止车前进。
思考1：甲图中人对小车做什么功？为什么？
提示：人对小车做正功，力和位移的夹角是锐角。
思考2：乙图中人对小车做什么功？为什么？
提示：人对小车做负功，力和位移的夹角是钝角。
P77【思考与讨论】
无论哪种启动过程，机车的最大速度是多少？
提示：机车的最大速度都等于其匀速运动时的速度，此时F牵＝F阻，即vm＝。
一、功及其正负(物理观念——能量观念)
飞机降落的时候，打开尾部的减速伞。在这个过程中，减速伞拉力的方向与飞机位移的方向相反。
探究：拉力对飞机做功了吗？做了什么功？
提示：做功了，拉力对飞机做了负功。
1．对W＝Fl
cos
α的理解：
力对物体做功的条件
对公式W＝Fl
cos
α的理解
(1)有力(2)在力的方向上发生位移
(1)相关性：由公式W＝Fl
cos
α可以看出力对物体做功，只与F、l、α有关，与物体的运动状态及物体是否还受其他作用力等因素均无关
(2)同时性：计算时应注意F与l必须具有同时性，即l必须是力F作用过程中物体发生的位移
(3)同一性：同一个客观运动，相对于不同的参考系，位移l是不同的，在中学物理中约定，计算功都以地面为参考系，即l应理解为“受力质点的对地位移”
(4)适用性：明确公式W＝Fl
cos
α适用于计算恒力做功，若是变力做功，此公式不再适用
功描述了力的作用效果在空间上的累积，它总与一个具体过程相联系。
2．对正功、负功的理解：
(1)正功、负功的物理意义。
功的正、负由力和位移之间的夹角决定，所以功的正负不表示方向，而只能说明做功的力对物体来说是动力还是阻力。
(2)功是标量。
功是标量，只有量值，没有方向。功的正、负并不表示功的方向，而且也不是数量上的正与负。我们既不能说“正功与负功的方向相反”，也不能说“正功大于负功”，它们仅表示相反的做功效果。
【典例】如图所示的四幅图是小明提包回家的情景，小明提包的力不做功的
是( )
【解题探究】
(1)力对物体做功的条件是什么？
提示：力和在力的方向上发生的位移。
(2)有力和位移，那么这个力一定对物体做功吗？
提示：不一定。
【解析】选B。据功的概念及做功的两个因素可知，只有同时满足力及在力的方向上有位移两个条件时，力对物体才做功，A、C、D做功，B没有做功，选B。
力不做功应该满足以下三点中之一：
(1)物体不受力的作用；
(2)以地面为参考系运动的位移为0；
(3)力的方向与位移的方向垂直。
1．下列关于做功的说法中，正确的是( )
A．凡是受力作用的物体，一定有力对物体做功
B．凡是发生了位移的物体，一定有力对物体做功
C．只要物体受力的同时又有位移发生，则一定有力对物体做功
D．只要物体受力，又在力的方向上发生了位移，则一定有力对物体做功
【解析】选D。做功的两个不可缺少的因素是力和在力的方向上的位移，也就是说，只有力或只有位移，是不符合做功条件的，故选项A、B错误；若物体发生位移的同时也受力的作用，当力与位移垂直时，此力并不做功，故选项C错误，选项D正确。
2.(多选)图中是小孩滑滑梯的情景，在小孩下滑过程中，关于各力做功的说法，正确的是( )
A．重力做正功
B．支持力做负功
C．支持力不做功
D．摩擦力做负功
【解析】选A、C、D。小孩下滑过程中，重力和位移方向的夹角小于90°，重力做正功，故A正确；小孩下滑过程中，支持力和位移方向的夹角等于90°，支持力不做功，故B错误，C正确；小孩下滑过程中，摩擦力方向和位移方向夹角大于90°，故摩擦力做负功，故D正确。故选A、C、D。
【补偿训练】
如图甲为一女士站立在台阶式自动扶梯上正在匀速上楼，如图乙为一男士站立在履带式自动人行道电梯上正在匀速上楼。下列关于两人受到的力做功判断正确的是( )
A．甲图中支持力对人做正功
B．乙图中支持力对人做正功
C．甲图中摩擦力对人做负功
D．乙图中摩擦力对人做负功
【解析】选A。甲图中，人匀速上楼，不受静摩擦力，摩擦力不做功，支持力向上，与速度方向为锐角，即W＝Fs
cos
α＞0，所以支持力做正功，故A正确，C错误；乙图中，支持力与速度方向垂直，支持力不做功，摩擦力沿斜面向上即与速度方向相同，做正功。故B、D错误。
二、求总功的两个思路(科学思维——科学推理)
光滑的水平面上，两个互相垂直的水平作用力F1和F2作用在同一物体上，使物体运动，如图所示。物体通过一段位移时，力F1对物体做功4
J，力F2对物体做功3
J。力F1与F2的合力对物体做的功为多少？
提示：合力的功W合＝WF1＋WF2＝7
J。
求总功的两个思路
(1)先确定物体所受的合力，再根据公式W合＝F合l
cos
α求解合力的功。该方法适用于物体的合力不变的情况，常见的是发生位移l过程中，物体所受的各力均没有发生变化。求解流程：
→→
(2)先根据W＝Fl
cos
α，求出每个分力做的功W1、W2、…、Wn，再根据W总＝W1＋W2＋…＋Wn，求解合力的功，即合力做的功等于各个分力做功的代数和。
该方法的适用范围更广，求解流程：
→→
【典例】如图所示，质量m＝2
kg的物体静止在水平地面上，受到与水平地面夹角为θ＝37°、大小F＝10
N的拉力作用，物体移动了s＝2
m，物体与地面间的动摩擦因数μ＝0.3，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，g取10
m/s2。求：
(1)拉力F所做的功W1；
(2)摩擦力f所做的功W2；
(3)重力G所做的功W3；
(4)弹力N所做的功W4；
(5)各力所做的总功W。
【解题探究】
(1)计算功的表达式是什么？
提示：W＝Fl
cos
α。
(2)计算总功的两种方法是什么？
提示：①先计算出每个力做功的大小，然后计算出每个力做功的代数和。
②计算出物体所受的合力，然后计算合力做的功。
【解析】(1)对物体进行受力分析，如图所示。
W1＝Fs
cos
θ＝10×2×0.8
J＝16
J
(2)N＝G－F
sin
θ＝20
N－10×0.6
N＝14
N
f＝μN＝0.3×14
N＝4.2
N
W2＝fscos180°＝－4.2×2
J＝－8.4
J
(3)W3＝Gscos90°＝0
(4)W4＝Nscos90°＝0
(5)W＝W1＋W2＋W3＋W4＝7.6
J
也可由合力求总功
F合＝F
cos
θ－f＝10×0.8
N－4.2
N＝3.8
N
F合与s方向相同，所以W＝F合s＝3.8×2
J＝7.6
J。
答案：(1)16
J (2)－8.4
J (3)0 (4)0 (5)7.6
J
计算总功的一般步骤和方法
(1)对物体进行正确的受力分析，明确物体受到哪几个力作用，以及每个力的大小和方向。
(2)分析每一个力作用过程中所对应的位移，根据功的定义式W＝Fl
cos
α，求出每一个力所做的功。
(3)将各个力所做的功进行代数求和，即可计算出总功。
(4)若各个力是同时作用在物体上，也可先求出各个力的合力，再根据功的定义式求出合力所做的总功。
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"对点训练.TIF"
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"对点训练.TIF"
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MERGEFORMAT
1.如图所示，坐在雪橇上的人与雪橇的总质量为m，在与水平面成θ角的恒定拉力F作用下，沿水平地面向右移动了一段距离s。已知雪橇与地面间的动摩擦因数为μ，雪橇受到的( )
A．支持力做功为(mg－F
sin
θ)s
B．重力做功为mgs
C．拉力做功为Fs
cos
θ
D．滑动摩擦力做功为－μmgs
【解析】选C。支持力和重力与位移垂直，不做功，A、B错误；拉力和摩擦力分别做功为WF＝Fs
cos
θ，Wf＝－μ(mg－F
sin
θ)s，C正确，D错误。
2.如图所示，利用斜面从货车上卸货，每包货物的质量m＝20
kg，斜面倾角α＝37°，斜面的长度l＝0.5
m，货物与斜面间的动摩擦因数μ＝0.2，求货物从斜面顶端滑到底端的过程中受到的各个力所做的功以及合外力做的功。(g取
10
m/s2)
【解析】斜面上的货物受到重力G，斜面支持力N和摩擦力f共三个力的作用。货物位移的方向沿斜面向下，可以用正交分解法，将货物所受的重力分解到与斜面平行的方向和与斜面垂直的方向。可以看出，三个力中重力和摩擦力对货物做功，而斜面支持力对货物没有做功。其中重力G对货物做的功
W1＝mglsin37°＝20×10×0.5×0.6
J＝60
J。
支持力N对货物做功W2＝0。
摩擦力f对货物做负功
W3＝μmgcos37°·lcos180°＝－0.2×20×10×0.8×0.5
J＝－16
J。
所以，外力做的总功为
W＝W1＋W2＋W3＝(60＋0－16)
J＝44
J。
若先计算合外力再求功，则合外力做的功
W＝F合l＝(mgsin37°－μmgcos37°)l＝(20×10×0.6－0.2×20×10×0.8)×0.5
J＝44
J。
答案：重力做的功为60
J，支持力做的功为0，摩擦力做的功为－16
J，合力做的功为44
J。
【拔高题组】
1．一滑块在水平地面上沿直线滑行，t＝0时，其速度为1
m/s。从此刻开始在滑块运动方向上再施加一水平作用力F，力F和滑块的速度v随时间的变化规律分别如图甲和乙所示。设在第1
s内、第2
s内、第3
s内力F对滑块做的功分别为W1、W2、W3，则以下关系式正确的是( )
A．W1＝W2＝W3
B．W1＜W2＜W3
C．W1＜W3＜W2
D．W1＝W2＜W3
【解析】选B。在v?t图像中，图线与坐标轴所围面积大小等于滑块某时间段的位移，由图乙可计算第1
s内、第2
s内、第3
s内滑块的位移分别是x1＝0.5
m、x2＝0.5
m、x3＝1
m，所以W1＝F1x1＝0.5
J，W2＝F2x2＝1.5
J，W3＝F3x3＝2
J，所以W1＜W
2＜W3，B项正确。
2.质量为M的木板放在光滑水平面上，如图所示。一个质量为m的滑块以某一速度沿木板表面从A点滑至B点，在木板上前进了l，同时木板前进了s，若滑块与木板间的动摩擦因数为μ，求摩擦力对滑块、对木板所做的功各为多少？
【解析】由题图可知，木板的位移为sM＝s，滑块的位移为sm＝l＋s，m与M之间的滑动摩擦力f＝μmg。由公式W＝Fs
cos
α可得，摩擦力对滑块所做的功为Wm＝μmgsm
cos
180°＝－μmg(l＋s)，负号表示做负功。摩擦力对木板所做的功为WM＝μmgsM＝μmgs。
答案：－μmg(l＋s) μmgs
【拓展例题】考查内容：变力做功的计算
【典例】如图所示，在水平面上，有一弯曲的槽道AB，槽道由半径分别为和R的两个半圆构成。现用大小恒为F的拉力将一光滑小球从A点沿槽道拉至B点，若拉力F的方向时刻与小球运动方向一致，则此过程中拉力F所做的功为( )
A．0
B．FR
C．πFR
D．2πFR
【解析】选C。因F的方向不变，不能用W＝Fl
cos
α求解。在拉动的过程中，力F的方向总是与速度同向，用微元法的思想，把小球的位移分割成许多小段，在很小的一段位移内力F可以看成恒力，F做的总功即为F在各个小段上做功的代数和。小球路程为πR＋π×，由此得W＝πFR，C正确。
三、功率的计算(科学思维——科学推理)
质量为m的苹果从高处自由下落。
(1)经时间t，重力对苹果做功的平均功率为多少？
提示：苹果自由下落，t时刻速度为v＝gt，时间t内苹果的平均速度为＝＝gt，则在时间t内重力对苹果做功的平均功率＝mg＝mg2t。
(2)在t时刻重力对物体做功的瞬时功率为多少？
提示：在t时刻重力做功的瞬时功率P＝mgv＝mg2t。
四类功率的比较
名
称
表
述
平均功率
物体在一段时间内做功功率的平均值，通常用P＝描述
瞬时功率
物体在某一时刻或某一位置的功率，瞬时功率通常用P＝Fv描述
额定功率
机械长时间工作的最大允许功率
实际功率
机械实际工作时的功率，实际功率小于或等于额定功率，但不能长时间大于额定功率
【典例】如图所示，质量m＝2
kg的物块在倾角α＝37°的光滑固定斜面顶端由静止滑下，已知sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，g取10
m/s2，求：
(1)前2
s内重力做的功；
(2)前2
s内重力的平均功率；
(3)2
s末重力的瞬时功率。
INCLUDEPICTURE
"思维导引.TIF"
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"思维导引.TIF"
\
MERGEFORMAT
【解析】(1)对物块受力分析如图所示，F合＝mg
sin
α，
由牛顿第二定律F＝ma得：
a＝g
sin
α＝10×0.6
m/s2＝6
m/s2，
前2
s内物块的位移
s＝at2＝×6×22
m＝12
m，
前2
s内重力做的功
W＝mgs
sin
α＝2×10×12×0.6
J＝144
J。
(2)重力在前2
s内的平均功率
＝＝
W＝72
W。
(3)物块2
s末的速度v＝at＝6×2
m/s＝12
m/s，
重力在2
s末的瞬时功率
P＝mgv
sin
α＝2×10×12×0.6
W＝144
W。
答案：(1)144
J (2)72
W (3)144
W
INCLUDEPICTURE
"对点训练.TIF"
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"对点训练.TIF"
\
MERGEFORMAT
(2021·金华高一检测)火车在一段平直的轨道上做匀加速运动，若阻力不变，则牵引力F和它的瞬时功率P的变化情况是( )
A．F不变，P变大
B．F变小，P不变
C．F变大，P变大
D．F不变，P不变
【解析】选A。因为火车做匀加速运动，所以牵引力F不变，但速度在增大，故牵引力的瞬时功率变大，故A正确，B、C、D错误。
【拔高题组】
1．用水平力F拉着一物体在水平面上做匀速运动，某时刻将力F随时间均匀减小，物体所受的摩擦力随时间的变化如图中实线所示，下列说法中正确的是( )
A.F做功的功率是从t1时刻开始减小的，t2时刻F做功的功率刚好变为零
B．F做功的功率是从t1时刻开始减小的，t3时刻F做功的功率刚好变为零
C．F做功的功率是从t2时刻开始减小的，t2时刻F做功的功率刚好变为零
D．F做功的功率是从t2时刻开始减小的，t3时刻F做功的功率刚好变为零
【解析】选A。从图中看出，摩擦力从t2时刻开始逐渐减小，t1～t2时间内不变，知F从t1时刻开始减小，做减速运动，故可判断F做功的功率是从t1时刻开始减小，此后，物体继续受滑动摩擦力，直到t2时刻，此过程中摩擦力的大小不变。t2时刻物体的速度刚好变为零，故t2时刻F做功的功率刚好变为零。此后摩擦力变为静摩擦力，大小随F的变化而变化，故A正确，B、C、D错误。
2.如图所示，在光滑水平面上放着一个质量为10
kg的木箱，拉力F与水平方向成60°角，F＝2
N，木箱从静止开始运动，4
s末拉力的瞬时功率为( )
A．0.2
W
B．0.4
W
C．0.8
W
D．1.6W
【解析】选B。根据牛顿第二定律得加速度a＝＝＝0.1
m/s2；则
4
s末的速度v＝at＝0.1×4
m/s＝0.4
m/s，则拉力的功率P＝Fvcos60°＝2×0.4
×
W＝0.4
W。故B正确，A、C、D错误。
【拓展例题】考查内容：估算法计算平均功率
【典例】在一次举重比赛中，一名运动员在抓举比赛时，将质量为127.5
kg的杠铃举起历时约2
s，该运动员在举起杠铃过程中的平均功率为( )
A．几十瓦
B．一千瓦左右
C．几十千瓦
D．几百千瓦
【解析】选B。抓举过程中运动员克服重力做功W＝mgh，杠铃上升的高度h约为2
m，时间t约为2
s，则平均功率P＝＝＝
W＝1275
W＝1.275
kW，故B正确。
额定功率
机械的额定功率是指机械设备所能达到的最大输出功率，机械设备的实际输出功率不会大于额定功率，这一点与电器不同。
电器的额定功率是指用电器正常工作时的功率。它的值为用电器的额定电压乘以额定电流。若用电器的实际功率大于额定功率，则用电器可能会损坏；若实际功率小于额定功率，则用电器无法正常运行。
在正常运行工作状况下，动力设备的输出功率或消耗能量的设备的输入功率，常以“千瓦”为单位。也指工厂生产的机器在正常工作时所能达到的功率。即平常所说的某机器的功率，机器的额定功率是一定的。
探究：通过电视机的铭牌你知道它的额定功率吗？
提示：230
W。
1．(水平1)以下关于功率的说法中正确的是( )
A．据P＝可知，机器做功越多，其功率就越大
B．据P＝Fv可知，汽车牵引力一定与速度成反比
C．据P＝可知，只要知道时间t内机器所做的功，就可求得这段时间内任一时刻机器做功的功率
D．据P＝Fv可知，发动机功率一定时，交通工具的牵引力与运动速度成反比
【解析】选D。做功越多，若所用时间也很长，则其功率不一定大，A错；在功率P一定时，牵引力与速度成反比，B错，D对；P＝可求一段时间内的平均功率，不能求任一时刻的瞬时功率，C错。
2．(水平1)如图所示，小朋友在弹性较好的蹦床上跳跃翻腾，尽情玩耍，在小朋友接触床面向下运动的过程中，床面对小朋友的弹力做功情况是( )
A.先做负功，再做正功
B．先做正功，再做负功
C．一直做正功
D．一直做负功
【解析】选D。在小朋友接触床面向下运动的过程中，床面对小朋友的弹力是向上的，下降的过程中位移一直是向下的，与力的方向相反，一直做负功，D正确，A、B、C错误。
3．(水平1)如图所示，力F大小相等，物体运动的位移l也相同，下列哪种情况下F做功最小( )
【解析】选D。由W＝Fl
cos
α知选项A中，力F做的功W1＝Fl；选项B中，力F做的功W2＝Fl
cos
30°＝Fl；选项C中，力F做的功W3＝Flcos30°＝Fl；选项D中，力F做的功W4＝Flcos60°＝Fl，故D正确。
4．(水平2)如图所示，木块A放在木块B的左上端，用恒力F将A拉至B的右端，第一次将B固定在地面上，F做功为W1，第二次让B可以在光滑的地面上自由滑动，F做功为W2，比较两次做功，应有( )
A．W1B．W1＝W2
C．W1>W2
D．无法比较
【解析】选A。
两次做功，力F相同，但第二次的位移大于第一次的位移，位移s是相对于地的位移大小，由功的定义式可知，W15．(水平2)传送带广泛应用在生产和生活中如图所示，工作人员将质量m＝1
kg的邮件无初速轻放在速度大小v＝0.4
m/s匀速运动的水平传送带上，经20
s邮件离开传送带。已知该邮件和传送带之间的动摩擦因数μ＝0.2，求：
(1)邮件刚放在传送带上时加速度a的大小；
(2)0～20
s内邮件位移x的大小；
(3)0～20
s内滑动摩擦力对邮件所做的功W。
【解析】(1)邮件刚放在传送带上时受向前的滑动摩擦力，大小为F＝μmg，根据牛顿第二定律可知a＝＝＝μg＝2m/s2；(2)加速过程t1＝＝0.2
s，x1＝t1＝0.04
m，邮件的总位移x＝x1＋v(t－t1)＝7.96
m；
(3)滑动摩擦力对邮件所做的功W＝Fx1＝0.08
J。
答案：(1)2
m/s2 (2)7.96
m (3)0.08
J
【补偿训练】
一辆正在路面上行驶的汽车，遇到前方有人横穿马路时，司机紧急制动后又经过x的距离停下来才避免了一场车祸的发生，若汽车与地面的摩擦力大小为F，则关于汽车与地面间摩擦力做的功，以下说法中正确的是( )
A．摩擦力对汽车、地面均不做功
B．摩擦力对汽车做－Fx的功，对地面做Fx的功
C．摩擦力对汽车、地面均做－Fx的功
D．摩擦力对汽车做－Fx的功，对地面不做功
【解析】选D。地面的位移为零，摩擦力对地面不做功，汽车位移为x，摩擦力对汽车做功W＝－Fx，选项D正确，A、B、C错误。
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