2021-2022学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册3.3 幂函数课件(共21张PPT)

(共21张PPT)
3.3
幂函数
第三章
　函数概念与性质
问题1：如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克，那么她需要付的钱数
p
=
。
问题2：如果正方形的边长为a，那么正方形的面积是S
=
，
问题3：如果正方体的边长为b，那么正方体的体积是V
=
，
问题4:如果正方形场地的面积为S，那么正方形的边长c=
，
问题5：如果某人t
s内骑车行进了1km，那么他骑车的平均速度v
=
w
这里p是w的函数
a?
这里S是a的函数
b?
这里V是b的函数
这里c是S的函数
这里v是t的函数
t-1
km/s
若将它们的自变量全部用x来表示,函数值用y来表示,
则它们的函数关系式将是:
y
=
x?
y=
x?
y=
x
y=x
以上问题中的函数有什么共同特征？
（1）都是函数；
（2）均是以自变量为底的幂；
（3）指数为常数；
（4）自变量前的系数为1。
上述问题中涉及的函数，都是形如y=xα的函数。
　y=x
　y=x2
　y=x3
　y=x1/2
　y=x-1
一.幂函数定义
一般地，函数y=xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数.
(1)
为常量,
.
定义说明
(2)
中前面的系数为1.
(3)定义域没有固定,与
的值有关.
判断下列函数是否为幂函数。
(1)
y=x4
(3)
y=
-x2
(2)
y=2x2
(6)
y=x3+2
?
y＝x
y＝x2
y＝x3
?
y＝x－1
定义域
___
___
___
________
_______
值域
___
_________
___
_________
_______
奇偶性
___
___
___
__________
___
单调性
增
在[0，＋∞)
上___，
在(－∞，0]
上___
___
___
在(0，＋∞)上___，
在(－∞，0)上___
{x|x≠0}
[0，＋∞)
[0，＋∞)
{y|y≠0}
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
增
减
增
增
减
减
R
R
R
[0，＋∞)
R
R
1
1
x
y
0
y=x
y=x2
y=x3
y=x-1
(1)
图像都过点（1，1)；
(2)
y=x、y=x3、y=x-1是奇函数，
y=x2是偶函数；
(3)
在第一象限内，当α>0时是增函数，
当α
<
0时是减函数；
(4)
在第一象限内，y=x-1的图像向上与y轴无限接近，向右与x
轴无限接近。
解:设f(x)=xα,将
代入,得
总结:
理解并掌握形如y=xα的形式就是幂函数。
例1:已知幂函数的图象过点
,试求出此函数的解析式.
证明:
√
解析　由幂函数的定义知k＝1.
(2)已知f(x)＝ax2a＋1－b＋1是幂函数，则a＋b等于
A.2
B.1
C.
D.0
√
解析　因为f(x)＝ax2a＋1－b＋1是幂函数，
所以a＝1，－b＋1＝0，
即a＝1，b＝1，则a＋b＝2.
比较大小是实数必须在同一函数的同一单调区间内
例3
如图是幂函数y=xm与y=xn在第一象限内的图像,则(　　)?
A.n<0,m>1
B.n<0C.m>n>1
D.n>m>1
答案:B
解析:由幂函数的图像及性质可知,在第一象限内,若幂指数大于零,则函数为增函数;若幂指数小于零,则函数为减函数,故m>0,n<0.又由y=xm的图像与直线y=x比较,得01
3
4
5
2
3.函数y＝x－3在区间[－4，－2]上的最小值是________.
例1
函数f(x)=(m2-m-5)xm-1是幂函数,且当x∈(0,+∞)时,f(x)是增函数,试确定m的值.
分析:由f(x)=(m2-m-5)xm-1是幂函数,且当x>0时是增函数,可先利用幂函数的定义求出m的值,再利用单调性确定m的值.
解:根据幂函数的定义,得m2-m-5=1,解得m=3或m=-2.
当m=3时,f(x)=x2在(0,+∞)上是增函数;
当m=-2时,f(x)=x-3在(0,+∞)上是减函数,不符合要求.故m=3.
小结：
知识：幂函数的概念、图像和性质。
方法：
（1）
用待定系数法求幂函数的解析式；
（2）
用函数的单调性比较两个幂的大小：
①同指数不同底数的，
用幂函数的单调性。
1
1
x
y
0
y=x
y=x2
y=x3
y=x-1
(1)
图像都过点（1，1)；
(2)
y=x、y=x3、y=x-1是奇函数，
y=x2是偶函数；
(3)
在第一象限内，当α>0时是增函数，
当α
<
0时是减函数；
(4)
在第一象限内，y=x-1的图像向上与y轴无限接近，向右与x
轴无限接近。