2021-2022学年九年级数学苏科版上册2.3确定圆的条件 常考辅导训练(word版含解析)

2021-2022学年苏科版九年级数学上册《2.3确定圆的条件》
常考热点优生辅导训练（附答案）
1．经过不在同一直线上的三个点可以作圆的个数是（　　）
A．1
B．2
C．3
D．无数
2．如图，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，EF是AC的垂直平分线，交AD于点O．若OA＝3，则△ABC外接圆的面积为（　　）
A．3π
B．4π
C．6π
D．9π
3．如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝50°．E是边BC的中点，连接OE并延长，交⊙O于点D，连接BD，则∠D的大小为（　　）
A．55°
B．65°
C．60°
D．75°
4．直角三角形的两边长分别为16和12，则此三角形的外接圆半径是（　　）
A．8或6
B．10或8
C．10
D．8
5．有下列结论：（1）三点确定一个圆；（2）平分弦的直径垂直于弦；（3）三角形的外心到三角形各边的距离相等．其中正确结论的个数有（　　）
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
6．如图，点D、E分别是⊙O的内接正三角形ABC的AB、AC边上的中点，若⊙O的半径为2，则DE的长等于（　　）
A．
B．
C．1
D．
7．小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中三块碎片如图所示，三块碎片中最有可能配到与原来一样大小的圆形镜子的碎片是（　　）
A．①
B．②
C．③
D．均不可能
8．如图，AC，BE是⊙O的直径，弦AD与BE交于点F，下列三角形中，外心不是点O的是（　　）
A．△ABE
B．△ACF
C．△ABD
D．△ADE
9．点O是△ABC的外心，若∠BOC＝80°，则∠BAC的度数为　
　．
10．如图，△ABC是⊙O的内接正三角形，点O是圆心，点D，E分别在边AC，AB上，若DA＝EB，则∠DOE的度数是　
　度．
11．如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C都在格点上，过A，B，C三点作一圆弧，则圆心的坐标是　
　．
12．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠AOB＝60°，AB＝AC＝2，则弦BC＝　
　．
13．图中△ABC的外心坐标是　
　．
14．若点O是等腰△ABC的外心，且∠BOC＝60°，底边BC＝2，则△ABC的面积为　
　．
15．如图，⊙O的半径是5，△ABC是⊙O的内接三角形，过圆心O，分别作AB、BC、AC的垂线，垂足分别为E、F、G，连接EF，若OG＝3，则EF为　
　．
16．如图，在直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为（0，3）、（4，3）、（0，﹣1），则△ABC外接圆的圆心坐标为　
　．
17．将图中的破轮子复原，已知弧上三点A，B，C．
（1）画出该轮的圆心；
（2）若△ABC是等腰三角形，底边BC＝16cm，腰AB＝10cm，求圆片的半径R．
18．如图△ABC是⊙O内接三角形，点C是优弧AB上一点（点C与A、B不重合）设∠OAB＝α，∠C＝β．
（1）当α＝35°时，求β的度数；
（2）猜想α与β之间的关系，并给予证明．
19．如图，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，∠ABC的平分线交AD于点E．
（1）求证：DE＝DB；
（2）若∠BAC＝90°，BD＝4，求△ABC外接圆的半径．
20．已知：如图，⊙O是△ABC的外接圆，＝，点D在边BC上，AE∥BC，AE＝BD．
（1）求证：AD＝CE；
（2）如果点G在线段DC上（不与点D重合），且AG＝AD，求证：四边形AGCE是平行四边形．
21．如图，⊙O是△ABC的外接圆，弦BD交AC于点E，连接CD，且AE＝DE，BC＝CE．
（1）求∠ACB的度数；
（2）过点O作OF⊥AC于点F，延长FO交BE于点G，DE＝3，EG＝2，求AB的长．
22．已知，如图1，△ABC中，BA＝BC，D是平面内不与A、B、C重合的任意一点，∠ABC＝∠DBE，BD＝BE．
（1）求证：△ABD≌△CBE；
（2）如图2，当点D是△ABC的外接圆圆心时，请判断四边形BDCE的形状，并证明你的结论．
参考答案
1．解：经过不在同一直线上的三点确定一个圆．
故选：A．
2．解：∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，
∴BD＝CD，AD⊥BC，
∵EF是AC的垂直平分线，
∴点O是△ABC外接圆的圆心，
∵OA＝3，
∴△ABC外接圆的面积＝πr2＝π×32＝9π．
故选：D．
3．解：连接CD，
∵∠A＝50°，
∴∠CDB＝180°﹣∠A＝130°，
∵E是边BC的中点，
∴OD⊥BC，
∴BD＝CD，
∴∠ODB＝∠ODC＝BDC＝65°，
故选：B．
4．解：由勾股定理可知：
①当直角三角形的斜边长为16时，这个三角形的外接圆半径为8；
②当两条直角边长分别为16和12，则直角三角形的斜边长＝＝20，
因此这个三角形的外接圆半径为10．
综上所述：这个三角形的外接圆半径等于8或10．
故选：B．
5．解：不在同一直线上的三点确定一个圆，（1）错误；
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，（2）错误；
三角形的外心到三角形各顶点的距离相等，（3）错误；
故选：A．
6．解：连接BO并延长交⊙O于F，连接CF，
则BF为⊙O的直径，
∴∠BCF＝90°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝60°，
∴∠F＝∠A＝60°，
∵⊙O的半径为2，
∴BF＝4，
∴BC＝2，
∵点D、E分别是AB、AC边上的中点，
∴DE＝BC＝，
故选：A．
7．解：第①块出现两条完整的弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长．
故选：A．
8．解：如图所示：只有△ACF的三个顶点不都在圆上，故外心不是点O的是△ACF．
故选：B．
9．解：如图所示：
∵O是△ABC的外心，∠BOC＝80°，
∴∠A＝40°，
∠A′＝180°﹣∠A＝140°，
故∠BAC的度数为：40°或140°
故答案为：40°或140°．
10．解：连接OA，OB，
∵△ABC是⊙O的内接正三角形，
∴∠AOB＝120°，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA＝30°，
∵∠CAB＝60°，
∴∠OAD＝30°，
∴∠OAD＝∠OBE，
∵AD＝BE，
∴△OAD≌△OBE（SAS），
∴∠DOA＝∠BOE，
∴∠DOE＝∠DOA+∠AOE＝∠AOE+∠BOE＝∠AOB＝120°，
故答案为：120．
11．解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，
可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．
如图所示，则圆心是（2，1）．
故答案为：（2，1）．
12．解：OA交BC于D，如图，
∵∠AOB＝60°，
∴∠C＝∠AOB＝30°，
∵AB＝AC，
∴＝，
∴OA⊥BC，BD＝CD，
在Rt△ADC中，AD＝AC＝×2＝1，
CD＝AD＝，
∴BC＝2CD＝2．
故答案为2．
13．解：作BC和AB的垂直平分线，它们相交于点P，如图，
则点P为△ABC的外心，
P点坐标为（5，2）．
故答案为（5，2）．
14．解：由题意可得，如右图所示
存在两种情况，
当△ABC为△A1BC时，连接OB、OC，
∵点O是等腰△ABC的外心，且∠BOC＝60°，底边BC＝2，OB＝OC，
∴△OBC为等边三角形，OB＝OC＝BC＝2，OA1⊥BC于点D，
∴CD＝1，OD＝＝，
∴S△A1BC＝BC?A1D＝2﹣，
当△ABC为△A2BC时，连接OB、OC，
∵点O是等腰△ABC的外心，且∠BOC＝60°，底边BC＝2，OB＝OC，
∴△OBC为等边三角形，OB＝OC＝BC＝2，OA1⊥BC于点D，
∴CD＝1，OD＝＝，
∴S△A2BC＝BC?A2D＝＝2+，
由上可得，△ABC的面积为2﹣或2+，
故答案为2﹣或2+．
15．解：连接OA，
∵OG⊥AC，
∴∠OGA＝90°，AC＝2AG，
∴AG＝＝4，
∴AC＝2AG＝8，
∵OE⊥AB，OF⊥BC，
∴AE＝EB，CF＝FB，
∴EF＝AC＝4，
故答案为：4．
16．解：根据垂径定理的推论，则
作弦AB、AC的垂直平分线，交点O1即为圆心，
∵点A、B、C的坐标分别为（0，3）、（4，3）、（0，﹣1），
∴O1的坐标是（2，1）．
故答案为：（2，1）．
17．解：（1）如图所示：分别作弦AB和AC的垂直平分线交点O即为所求的圆心；
（2）连接AO，OB，BC，BC交OA于D．
∵BC＝16cm，
∴BD＝8cm，
∵AB＝10cm，
∴AD＝6cm，
设圆片的半径为R，在Rt△BOD中，OD＝（R﹣6）cm，
∴R2＝82+（R﹣6）2，
解得：R＝cm，
∴圆片的半径R为cm．
18．解：（1）连接OB，
∵∠OAB＝α＝35°，
∴∠OBA＝35°，
∴∠AOB＝110°，
∴β＝∠AOB＝55°；
（2）α+β＝90°．
∵∠AOB＝180°﹣2α，β＝∠AOB＝90°﹣α，
∴α+β＝90°．
19．（1）证明：∵AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，∠BAE＝∠CAD，
∴，
∴∠DBC＝∠CAD，
∴∠DBC＝∠BAE，
∵∠DBE＝∠CBE+∠DBC，∠DEB＝∠ABE+∠BAE，
∴∠DBE＝∠DEB，
∴DE＝DB；
（2）解：连接CD，如图所示：
由（1）得：，
∴CD＝BD＝4，
∵∠BAC＝90°，
∴BC是直径，
∴∠BDC＝90°，
∴BC＝＝4，
∴△ABC外接圆的半径＝×4＝2．
20．证明：（1）在⊙O中，
∵＝，
∴AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∵AE∥BC，
∴∠EAC＝∠ACB，
∴∠B＝∠EAC，
在△ABD和△CAE中，，
∴△ABD≌△CAE（SAS），
∴AD＝CE；
（2）连接AO并延长，交边BC于点H，
∵＝，OA为半径，
∴AH⊥BC，
∴BH＝CH，
∵AD＝AG，
∴DH＝HG，
∴BH﹣DH＝CH﹣GH，即BD＝CG，
∵BD＝AE，
∴CG＝AE，
∵CG∥AE，
∴四边形AGCE是平行四边形．
21．（1）证明：在△AEB和△DEC中
，
∴△AEB≌△DEC（ASA），
∴EB＝EC，
又∵BC＝CE，
∴BE＝CE＝BC，
∴△EBC为等边三角形，
∴∠ACB＝60°；
（2）解：作BM⊥AC于点M，
∵OF⊥AC，
∴AF＝CF，
∵△EBC为等边三角形，
∴∠GEF＝60°，
∴∠EGF＝30°，
∵EG＝2，
∴EF＝1，
又∵AE＝ED＝3，
∴CF＝AF＝4，
∴AC＝8，EC＝5，
∴BC＝5，
∵∠BCM＝60°，
∴∠MBC＝30°，
∴CM＝，BM＝＝，
∴AM＝AC﹣CM＝，
∴AB＝＝7．
22．（1）证明：∵∠ABC＝∠DBE，
∴∠ABC+∠CBD＝∠DBE+∠CBD，
∴∠ABD＝∠CBE，
在△ABD与△CBE中，
∵，
∴△ABD≌△CBE（SAS）
（2）解：四边形BDCE是菱形．证明如下：
同（1）可证△ABD≌△CBE，
∴CE＝AD，
∵点D是△ABC外接圆圆心，
∴DA＝DB＝DC，
又∵BD＝BE，
∴BD＝BE＝CE＝CD，
∴四边形BDCE是菱形．