2021-2022学年九年级数学苏科版上册2.4圆周角 常考辅导训练(word版、含解析)

2021-2022学年苏科版九年级数学上册《2.4圆周角》常考热点优生辅导训练（附答案）
1．如图，△ABC内接于⊙O，若∠A＝45°，OC＝2，则BC的长为（　　）
A．
B．2
C．2
D．4
2．如图，AB是⊙O的直径，EF，EB是⊙O的弦，连接OF，若∠AOF＝40°，则∠E的度数是（　　）
A．40°
B．50°
C．55°
D．70°
3．如图，AB为⊙O的直径，点C，D在圆上，若∠D＝65°，则∠BAC＝（　　）
A．20°
B．25°
C．30°
D．35°
4．如图，⊙O的弦AB与CD交于点E，点F在AB上，且FD∥BC，若∠AFD＝125°，则∠ADC的度数为（　　）
A．60°
B．55°
C．50°
D．45°
5．如图，在⊙O中，点A、B、C在⊙O上，且∠ACB＝110°，则∠α＝（　　）
A．70°
B．110°
C．120°
D．140°
6．如图所示，⊙O是正方形ABCD的外接圆，P是⊙O上不与A、B重合的任意一点，则∠APB等于（　　）
A．45°
B．60°
C．45°
或135°
D．60°
或120°
7．如图，已知四边形ABCD为⊙O的内接四边形，BD平分∠ABC，DH⊥AB于点H，DH＝，∠ABC＝120°，则AB+BC的值为（　　）
A．
B．
C．2
D．
8．如图，点A，B，C，D在⊙O上，OA⊥BC，垂足为E．若∠ADC＝30°，AE＝1，则BC＝（　　）
A．2
B．4
C．
D．2
9．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，如果＝，则∠ACD的度数是　
　．
10．如图，四边形ABCD内接于⊙O，延长CO交⊙O于点E，连接BE．若∠A＝100°，∠E＝60°，则∠ECD＝　
　°．
11．在⊙O中，半径OA＝1，AB、AC为弦，AB＝，AC＝，则∠BAC＝　
　．
12．如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是上一点，且＝，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC．若∠ABC＝105°，∠BAC＝25°，则∠E的度数为　
　度．
13．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD、BC的延长线相交于点E，AB、DC的延长线相交于点F，∠A＝50°，则∠E+∠F＝　
　．
14．如图，量角器上的C、D两点所表示的读数分别是80°、50°，则∠DBC的度数为　
　．
15．已知△ABC内接于⊙O，若∠BOC＝100°，则∠BAC＝　
　°．
16．如图，AB是⊙O的一条弦，P是⊙O上一动点（不与点A，B重合），C，D分别是AB，BP的中点．若AB＝4，∠APB＝45°，则CD长的最大值为　
　．
17．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，如果∠ACD＝30°．
（1）求∠BAD的度数；
（2）若AD＝，求DB的长．
18．如图所示，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E，连接AC、OC、BC．
（1）求证：∠ACO＝∠BCD；
（2）若EB＝8，CD＝24，求⊙O的直径．
19．如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接AC、BD相交于点E．
（1）如图1，若AC＝BD，求证：AE＝DE；
（2）如图2，若AC⊥BD，连接OC，求证：∠OCD＝∠ACB．
20．如图，AB是⊙O的直径，C是的中点，CE⊥AB于E，BD交CE于点F，
（1）求证：CF＝BF；
（2）若CD＝12，AC＝16，求⊙O的半径和CE的长．
21．如图，四边形ABCD内接于圆，∠ABC＝60°，对角线BD平分∠ADC．
（1）求证：△ABC是等边三角形；
（2）过点B作BE∥CD交DA的延长线于点E，若AD＝2，DC＝3，求△BDE的面积．
22．如图，在△ABC中，AC＝BC，D是AB上一点，⊙O经过点A、C、D，交BC于点E，过点D作DF∥BC，交⊙O于点F．
求证：（1）四边形DBCF是平行四边形；
（2）AF＝EF．
参考答案
1．解：由圆周角定理得，∠BOC＝2∠A＝90°，
∴BC＝OC＝2，
故选：B．
2．解：∵∠AOF＝40°，
∴∠FOB＝180°﹣40°＝140°，
∴∠E＝∠FOB＝70°
故选：D．
3．解：连接BC，如图，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠B＝∠D＝65°，
∴∠BAC＝90°﹣∠B＝90°﹣65°＝25°．
故选：B．
4．解：∵∠EFD+∠AFD＝180°，
∴∠EFD＝180°﹣125°＝55°，
∵FD∥BC，
∴∠B＝∠EFD＝55°，
∴∠ADC＝∠B＝55°．
故选：B．
5．解：作所对的圆周角∠ADB，如图，
∵∠ACB+∠ADB＝180°，
∴∠ADB＝180°﹣110°＝70°，
∴∠AOB＝2∠ADB＝140°．
故选：D．
6．解：连接OA，OB，
∵⊙O是正方形ABCD的外接圆，
∴∠AOB＝90°，
若点P在优弧ADB上，则∠APB＝∠AOB＝45°；
若点P在劣弧AB上，
则∠APB＝180°﹣45°＝135°．
∴∠APB＝45°或135°．
故选：C．
7．解：延长BA到E，使AE＝BC，连接DE，如图，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝×120°＝60°，
∵∠DAC＝∠DBC＝60°，∠DCA＝∠DBA＝60°，
∴△DAC为等边三角形，
∴DA＝DC，
在△ADE和△BCD中，
，
∴△ADE≌△BCD（SAS），
∴∠E＝∠DBC＝60°，
而∠DBA＝60°，
∴△DBE为等边三角形，
∵DH⊥AB，
∴BH＝EH，
在Rt△BDH中，BH＝DH＝×＝1，
∴BE＝2BH＝2，
∴AB+BC＝2．
故选：C．
8．解：连接OC，如图，
∵∠ADC＝30°，
∴∠AOC＝60°，
∵OA⊥BC，
∴CE＝BE，
在Rt△COE中，OE＝OC，CE＝OE，
∵OE＝OA﹣AE＝OC﹣1，
∴OC﹣1＝OC，
∴OC＝2，
∴OE＝1，
∴CE＝，
∴BC＝2CE＝2．
故选：D．
9．解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，
∴＝，
∵＝，
∴＝＝，
即、、的度数是＝120°，
∴∠ACD＝°＝60°，
故答案为：60°．
10．解：∵EC是⊙O的直径，
∴∠EBC＝90°，
∴∠BCE＝90°﹣∠E＝30°，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠BCD＝180°﹣∠A＝80°，
∴∠ECD＝∠BCD﹣∠BCE＝50°，
故答案为：50
11．解：分别作OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别是D、E．
∵OE⊥AC，OD⊥AB，根据垂径定理得AE＝AC＝，AD＝AB＝，
∠AOE＝60°，∠AOD＝45°，
∴∠BAO＝45°，∠CAO＝90°﹣60°＝30°，
∴∠BAC＝45°+30°＝75°，
或∠BAC′＝45°﹣30°＝15°．
故答案为：15°或75°．
12．解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝105°，
∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝180°﹣105°＝75°，
∵＝，∠BAC＝25°，
∴∠DCE＝∠BAC＝25°，
∴∠E＝∠ADC﹣∠DCE＝75°﹣25°＝50°，
故答案为：50．
13．解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ADC+∠ABC＝180°，∠ECD＝∠A＝50°，∠BCF＝∠A＝50°，
∴∠EDC+∠FBC＝180°，
∴∠E+∠F＝360°﹣180°﹣50°﹣50°＝80°，
故答案为：80°．
14．解：连接OC，OD，
∵量角器上的C、D两点所表示的读数分别是80°、50°，
∴∠AOC＝50°，∠AOD＝80°，
∴∠COD＝∠AOD﹣∠AOC＝30°，
∴∠DBC＝∠COD＝15°．
故答案为：15°．
15．解：∵如图，若A在优弧BC上时，∠BAC＝∠BOC＝×100°＝50°；
若点A在劣弧BC上时，∠BA′C＝180°﹣∠BAC＝130°．
∴∠BAC＝50°或130°．
故答案为：50或130．
16．解：∵C，D分别是AB，BP的中点
∴CD＝AP，
当AP为直径时，CD长最大，
∵AP为直径，
∴∠ABP＝90°，且∠APB＝45°，AB＝4，
∴AP＝4
∴CD长的最大值为2
故答案为2
17．解：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠B＝∠ACD＝30°，
∴∠BAD＝90°﹣∠B＝90°﹣30°＝60°；
（2）在Rt△ADB中，BD＝AD＝×＝3．
18．（1）证明：∵AB⊥CD，
∴，
∴∠A＝∠BCD，
∵OA＝OC，
∴∠A＝∠ACO，
∴∠ACO＝∠BCD；
（2）解：设⊙O的半径为r，则OC＝r，OE＝OA﹣BE＝r﹣8，
∵AB⊥CD，
∴CE＝DE＝CD＝×24＝12，
在Rt△OCE中，122+（r﹣8）2＝r2，解得r＝13，
∴⊙O的直径＝2r＝26．
19．证明：（1）∵AC＝BD，
∴＝，
即+＝+，
∴＝，
∴∠ADB＝∠CAD，
∴AE＝DE；
（2）作直径CF，连接DF，如图2，
∵AC⊥BD，
∴∠AED＝90°，
∴∠ADE+∠CAD＝90°，
∵∠ACB＝∠ADE，∠F＝∠CAD，
∴∠ACB+∠F＝90°，
∵CF为直径，
∴∠CDF＝90°，
∴∠F+∠FCD＝90°，
∴∠ACB＝∠FCD，
即∠OCD＝∠ACB．
20．解：（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
又∵CE⊥AB，
∴∠CEB＝90°，
∴∠2＝90°﹣∠ABC＝∠A，
又∵C是弧BD的中点，
∴∠1＝∠A，
∴∠1＝∠2，
∴CF＝BF；
（2）∵C是弧BD的中点，
∴＝，
∴BC＝CD＝12，
又∵在Rt△ABC中，AC＝16，
∴由勾股定理可得：AB＝20，
∴⊙O的半径为10，
∵S△ABC＝AC?BC＝AB?CE，
∴CE＝＝9.6．
21．（1）证明：∵四边形ABCD内接于圆．
∴∠ABC+∠ADC＝180°，
∵∠ABC＝60°，
∴∠ADC＝120°，
∵DB平分∠ADC，
∴∠ADB＝∠CDB＝60°，
∴∠ACB＝∠ADB＝60°，∠BAC＝∠CDB＝60°，
∴∠ABC＝∠BCA＝∠BAC，
∴△ABC是等边三角形．
（2）过点A作AM⊥CD，垂足为点M，过点B作BN⊥AC，垂足为点N．
∴∠AMD＝90°，
∵∠ADC＝120°，
∴∠ADM＝60°，
∴∠DAM＝30°，
∴DM＝AD＝1，AM＝＝＝，
∵CD＝3，
∴CM＝CD+DM＝1+3＝4，
∴S△ACD＝CD?AM＝×＝，
Rt△AMC中，∠AMD＝90°，
∴AC＝＝＝，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC＝，
∴BN＝BC＝，
∴S△ABC＝×＝，
∴四边形ABCD的面积＝+＝，
∵BE∥CD，
∴∠E+∠ADC＝180°，
∵∠ADC＝120°，
∴∠E＝60°，
∴∠E＝∠BDC，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠EAB＝∠BCD，
在△EAB和△DCB中，
，
∴△EAB≌△DCB（AAS），
∴△BDE的面积＝四边形ABCD的面积＝．
方法二
（2）∵BE∥CD，
∴∠EBD＝∠BDC，
∵∠ADB＝∠CDB＝60°，
∴∠EBD＝∠EDB＝60°，
∴△BDE是等边三角形，
又∵△ABC为等边三角形，
∴∠EBD＝∠ABC＝60°，
∴∠ABE＝∠CBD，
在△ABE和△CBD中，
，
∴△ABE≌△CBD（SAS），
∴AE＝CD＝3，
∴DE＝AE+AD＝5，
∴△BDE的面积＝＝
22．证明：（1）∵AC＝BC，
∴∠BAC＝∠B，
∵DF∥BC，
∴∠ADF＝∠B，
∵∠BAC＝∠CFD，
∴∠ADF＝∠CFD，
∴BD∥CF，
∵DF∥BC，
∴四边形DBCF是平行四边形；
（2）连接AE，
∵∠ADF＝∠B，∠ADF＝∠AEF，
∴∠AEF＝∠B，
∵四边形AECF是⊙O的内接四边形，
∴∠ECF+∠EAF＝180°，
∵BD∥CF，
∴∠ECF+∠B＝180°，
∴∠EAF＝∠B，
∴∠AEF＝∠EAF，
∴AF＝EF．