2021-2022学年九年级数学 苏科版 上册2.7弧长及扇形面积常考辅导训练 (word版、含解析)

2021-2022学年苏科版九年级数学上册《2.7弧长及扇形面积》
常考热点优生辅导训练（附答案）
1．在半径为1的⊙O中，弦AB、AC的长分别为、，则∠BAC所对的弧长为（　　）
A．
B．
C．或
D．或
2．若一个扇形的圆心角为90°，半径为6，则该扇形的面积为（　　）
A．
B．3π
C．6π
D．9π
3．如图所示，正方形ABCD的边长为1，依次以A，B，C，D为圆心，以AD，BE，CF，DG为半径画扇形，则图中四个扇形（阴影部分）的面积和为（　　）
A．
B．
C．
D．
4．如图，正方形ABCD的边长为4，分别以正方形的三边为直径在正方形内部作半圆，则阴影部分的面积之和是（　　）
A．8
B．4
C．16π
D．4π
5．如图，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转90°至矩形AEFG，点D的旋转路径为，若AB＝2，BC＝4，则阴影部分的面积为（　　）
A．
B．
C．
D．
6．如图，在边长为2的正方形ABCD中，以点D为圆心，AD为半径画，再以BC为直径画半圆，若阴影部分①的面积为S1，阴影部分②的面积为S2，则图中S2﹣S1的值为（　　）
A．﹣4
B．+4
C．﹣2
D．+2
7．如图，边长为2的正方形ABCD的四个顶点分别在扇形OEF的半径OE、OF和上，且点A是线段OB的中点，则的长为（　　）
A．
B．
C．
D．
8．如图，将矩形ABCD绕点C沿顺时针方向旋转90°到矩形A′B′CD′的位置时，若AB＝2，AD＝4，则阴影部分的面积为（　　）
A．π﹣
B．π﹣2
C．π﹣4
D．π﹣2
9．如图，四边形ABCD是平行四边形，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，AD＝OA＝2，则图中阴影部分的面积为
　
　．
10．如图，在扇形OAB中，已知∠AOB＝90°，OA＝，过弧AB的中点C作CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D、E，则图中阴影部分的面积为　
　．
11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝6，以C为圆心，以AC的长为半径作弧，交AB于点D，交BC于点E，则图中阴影部分的面积是　
　．（结果保留π）
12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2，将Rt△ABC绕点C顺时针旋转60°后得Rt△DEC，此时点B恰好在线段DE上，其中点A经过的路径为弧AD，则图中阴影部分的面积是　
　．
13．如图，将半径为1的半圆O，绕着其直径的一端点A顺时针旋转30°，直径的另一端点B的对应点为B'，O的对应点为O'，则图中阴影部分的面积是　
　．
14．已知18°的圆心角所对的弧长是cm，则此弧所在圆的半径是　
　cm．
15．如图，正方形ABCD中，AB＝2，将线段CD绕点C顺时针旋转90°得到线段CE，线段BD绕点B顺时针旋转90°得到线段BF，连接EF，则图中阴影部分的面积是　
　．
16．如图所示的扇形AOB中，OA＝OB＝2，∠AOB＝90°，C为上一点，∠AOC＝30°，连接BC，过C作OA的垂线交AO于点D，则图中阴影部分的面积为　
　．
17．如图，已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，OC∥BD，交AD于点E，连接BC．
（1）求证：AE＝ED；
（2）若AB＝6，∠ABC＝30°，求图中阴影部分的面积．
18．如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠D＝60°且AB＝6，过O点作OE⊥AC，垂足为E．
（1）求OE的长；
（2）若OE的延长线交⊙O于点F，求弦AF、AC和弧CF围成的图形（阴影部分）的面积S．
19．如图，BC是⊙O的直径，点A在⊙O上，AD⊥BC，垂足为D，＝，BE分别交AD、AC于点F、G．
（1）证明：FA＝FB；
（2）若BD＝DO＝2，求的长度．
20．如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使得DC＝BC，直线DA与⊙O的另一个交点为E，连接AC，CE．
（1）求证：CD＝CE；
（2）若AC＝2，∠E＝30°，求阴影部分（弓形）面积．
21．如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AC是直径，∠A＝30°，BC＝2，点D是AB的中点，连接DO并延长交⊙O于点P，过点P作PF⊥AC于点F．
（1）求劣弧PC的长；（结果保留π）
（2）求阴影部分的面积．（结果保留π）．
22．已知，点P是正方形ABCD内的一点，连接PA，PB，PC．将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置（如图）．
（1）设AB的长为a，PB的长为b（b＜a），求△PAB旋转到△P′CB的过程中边PA所扫过区域（图中阴影部分）的面积；
（2）若PA＝2，PB＝4，∠APB＝135°，求PC的长．
参考答案
1．解：①如图1，两弦在圆心的异侧时，过O作OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，连接OA，
∵AB＝，AC＝，
∴AD＝，AE＝，
∴∠AOD＝45°，
∴∠AOE＝60°，
∴∠OAD＝90°﹣∠AOD＝45°，∠OAC＝90°﹣∠AOE＝30°，
∴∠BAC＝∠OAD+∠OAC＝45°+30°＝75°，
∴的长＝＝．
②如图2，当两弦在圆心的同侧时同①可知∠AOD＝45°，∠AOE＝60°，
∴∠AOE＝60°，
∴∠OAC＝90°﹣∠AOE＝90°﹣60°＝30°，∠OAB＝90°﹣∠AOD＝90°﹣45°＝45°．
∴∠BAC＝∠OAB﹣∠OAC＝45°﹣30°＝15°，
∴的长＝＝．
故选：D．
2．解：S扇形＝＝9π，
故选：D．
3．解：AD＝1，BE＝2，CF＝3，DG＝4，
所以四个扇形（阴影部分）的面积和＝S扇形DAE+S扇形EBF+S扇形FCG+S扇形GDH
＝+++
＝π．
故选：A．
4．解：易知：两半圆的交点即为正方形的中心，设此点为O，连接AO，DO，
则图中的四个小弓形的面积相等，
∵两个小弓形面积＝×π×22﹣S△AOD，
∴两个小弓形面积＝2π﹣4，
∴S阴影＝2×S半圆﹣4个小弓形面积＝π?22﹣2（2π﹣4）＝8，
故选：A．
5．解：如图，设与EF交于H，连接AH，
∵四边形ABCD是矩形，AB＝2，BC＝4，
∴AH＝AD＝BC＝4，
∴∠AHE＝∠GAH＝30°，
∵AE＝AB＝2，
∴HE＝2，
∴阴影部分的面积＝S扇形AHG+S△AHE＝+×2×2＝+2，
故选：D．
6．解：由图形可知，扇形ADC的面积+半圆BC的面积+阴影部分①的面积﹣正方形ABCD的面积＝阴影部分②的面积，
∴S2﹣S1＝扇形ADC的面积+半圆BC的面积﹣正方形ABCD的面积
＝+π×12﹣22
＝﹣4，
故选：A．
7．解：连接OC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB＝BC＝2，∠ABC＝∠DAB＝90°＝∠DAO，
∵A为OB的中点，
∴OB＝2AB＝4，
在Rt△OBC中，由勾股定理得：OC＝＝＝2，
∵A为OB的中点，AB＝AD＝2，
∴OA＝AD＝2，
∵∠DAO＝90°，
∴∠DOA＝∠ADO＝45°，
∴的长为＝π，
故选：D．
8．解：连接CE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝∠BCD＝90°，
Rt△EDC中，∵CE＝CB＝4，CD＝2，
∴ED＝＝2，∠CED＝30°，
∴∠ECD＝60°，
S阴影＝﹣＝﹣2．
故选：D．
9．解：设CD交⊙O于点F，连接OD、OF、BF，作DE⊥OA于点E，
∵四边形ABCD是平行四边形，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，AD＝OA＝2，
∴OA＝OD＝AD＝OF＝OB＝2，DC∥AB，
∴△DOA是等边三角形，∠AOD＝∠FDO，
∴∠AOD＝∠FDO＝60°，
同理可得∠FBC＝60°，△BCF和△BOF是等边三角形，
∵弓形DF的面积＝弓形FB的面积，DE＝OD?sin60°＝，
∴图中阴影部分的面积为：S阴影＝S△AOD＝AO?DE＝×2×＝，
故答案为：．
10．解：∵CD⊥OA，CE⊥OB，
∴∠CDO＝∠CEO＝∠AOB＝90°，
∴四边形CDOE是矩形，
连接OC，
∵点C是弧AB的中点，
∴∠AOC＝∠BOC，
∵OC＝OC，
∴△COD≌△COE（AAS），
∴OD＝OE，
∴矩形CDOE是正方形，
∵OC＝OA＝，
∴OE＝1，
∴图中阴影部分的面积＝﹣1×1＝﹣1，
故答案为﹣1．
11．解：如图，连接CD．
∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝6，
∴∠BAC＝60°，BC＝6，
∵CA＝CD，
∴△ACD是等边三角形
∴∠ACD＝60°，∠ECD＝30°，
∵AB＝2AC＝12，AC＝AD，
∴AD＝BD＝6，
∴S阴＝S△ABC﹣S扇形CDE＝××6×﹣＝9﹣3π．
故答案为9﹣3π．
12．解：过点B作BF⊥EC于点F，
由题意可得：BC＝CE＝2，∠ACD＝∠BCE＝60°，
故△BCE是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
∴AC＝BCtan60°＝2，
∵EC＝2，
∴FC＝EF＝1，则BF＝，
∴图中阴影部分的面积是：S扇形ACD+S△DCE﹣S△ACB﹣S△BCE＝﹣＝2π﹣．
故答案为：2π﹣．
13．解：连接O′D、B′D，
∵∠B′AB＝30°，
∴∠AO′D＝120°，
∵AB′是半圆O′的直径，
∴∠ADB′＝90°，又∠B′AB＝30°，
∴B′D＝AB′＝1，
由勾股定理得，AD＝＝，
∴图中阴影部分的面积＝（﹣﹣×1××）+（﹣×1××）
＝﹣，
故答案为：﹣．
14．解：设此弧所在圆的半径为Rcm，
则＝，
解得，R＝2（cm），
故答案为：2．
15．解：
过F作FM⊥BE于M，则∠FME＝∠FMB＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，AB＝2，
∴∠DCB＝90°，DC＝BC＝AB＝2，∠DBC＝45°，
由勾股定理得：BD＝2，
∵将线段CD绕点C顺时针旋转90°得到线段CE，线段BD绕点B顺时针旋转90°得到线段BF，
∴∠DCE＝90°，BF＝BD＝2，∠FBE＝90°﹣45°＝45°，
∴BM＝FM＝2，ME＝2，
∴阴影部分的面积S＝S△BCD+S△BFE+S扇形DCE﹣S扇形DBF
＝++﹣
＝6﹣π，
故答案为：6﹣π．
16．解：∵∠AOB＝90°，∠AOC＝30°，
∴∠BOC＝60°，
∵扇形AOB中，OA＝OB＝2，
∴OB＝OC＝2，
∴△BOC是等边三角形，
∵过C作OA的垂线交AO于点D，
∴∠ODC＝90°，
∵∠AOC＝30°，
∴OD＝OC＝，CD＝OC＝1，
∴图中阴影部分的面积═S扇形BOC﹣S△OBC+S△COD
＝﹣+
＝π﹣．
故答案为π﹣．
17．（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵OC∥BD，
∴∠AEO＝∠ADB＝90°，即OC⊥AD，
又∵OC为半径，
∴AE＝ED，
（2）解：连接CD，OD，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠ABC＝30°，
∴∠AOC＝∠OCB+∠ABC＝60°，
∵OC⊥AD，
∴＝，
∴∠COD＝∠AOC＝60°，
∴∠AOD＝120°，
∵AB＝6，
∴BD＝3，AD＝3，
∵OA＝OB，AE＝ED，
∴OE＝＝，
∴S阴影＝S扇形AOD﹣S△AOD＝﹣×＝3π﹣．
18．解：（1）∵∠D＝60°，
∴∠B＝60°（圆周角定理），
又∵AB＝6，
∴BC＝3，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵OE⊥AC，
∴OE∥BC，
又∵点O是AB中点，
∴OE是△ABC的中位线，
∴OE＝BC＝；
（2）连接OC，
则易得△COE≌△AFE，
故阴影部分的面积＝扇形FOC的面积，
S扇形FOC＝＝π．
即可得阴影部分的面积为π．
19．（1）证明：∵BC
是⊙O
的直径，
∴∠BAC＝90°，
∴∠ABE+∠AGB＝90°；
∵AD⊥BC，
∴∠C+∠CAD＝90°；
∵＝，
∴∠C＝∠ABE，
∴∠AGB＝∠CAD，
∵∠C＝∠BAD
∴∠BAD＝∠ABE
∴FA＝FB．
（2）解：如图，连接AO、EO，
，
∵BD＝DO＝2，AD⊥BC，
∴AB＝AO，
∵AO＝BO，
∴AB＝AO＝BO，
∴△ABO是等边三角形，
∴∠AOB＝60°，
∵＝，
∴∠AOE＝60°，
∴∠EOC＝60°，
∴的长度＝＝π．
20．（1）证明：∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵DC＝BC，
∴AD＝AB，
∴∠D＝∠ABC，
∵∠E＝∠ABC，
∴∠E＝∠D，
∴CD＝CE．
（2）解：由（1）可知：∠ABC＝∠E＝30°，∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝60°，AB＝2AC＝4，
在Rt△ABC中，由勾股定理得到BC＝2，
连接OC，则∠COB＝120°，
∴S阴＝S扇形OBC﹣S△OBC＝﹣×××2＝﹣．
21．解：（1）∵点D是AB的中点，PD经过圆心，
∴PD⊥AB，
∵∠A＝30°，
∴∠POC＝∠AOD＝60°，OA＝2OD，
∵PF⊥AC，
∴∠OPF＝30°，
∴OF＝OP，
∵OA＝OC，AD＝BD，
∴BC＝2OD，
∴OA＝BC＝2，
∴⊙O的半径为2，
∴劣弧PC的长＝＝＝π；
（2）∵OF＝OP，
∴OF＝1，
∴PF＝＝，
∴S阴影＝S扇形﹣S△OPF＝﹣×1×＝π﹣．
22．解：（1）∵将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置，
∴△PAB≌△P'CB，
∴S△PAB＝S△P'CB，
S阴影＝S扇形BAC﹣S扇形BPP′＝（a2﹣b2）；
（2）连接PP′，根据旋转的性质可知：△APB≌△CP′B，
∴BP＝BP′＝4，P′C＝PA＝2，∠PBP′＝90°，
∴△PBP'是等腰直角三角形，P'P2＝PB2+P'B2＝32；
又∵∠BP′C＝∠BPA＝135°，
∴∠PP′C＝∠BP′C﹣∠BP′P＝135°﹣45°＝90°，即△PP′C是直角三角形．
PC＝＝6．