2021-2022学年苏科版九年级数学上册第2章对称图形—圆常考单元综合测评(word版、含解析)

2021-2022学年苏科版九年级数学上册《第2章对称图形—圆》
常考热点单元综合测评（附答案）
一．选择题（共10小题，满分30分）
1．如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，若∠AOC＝120°，则∠D的度数是（　　）
A．20°
B．30°
C．40°
D．45°
2．如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，连接PO并延长交⊙O于点C，连接AC，若AB＝8，∠P＝30°，则AC＝（　　）
A．4
B．4
C．4
D．3
3．正六边形的半径与边心距之比为（　　）
A．
B．
C．
D．
4．如图，在扇形OAB中，∠AOB＝110°，将扇形OAB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在上的点D处，折痕交OA于点C，则的度数为（　　）
A．40°
B．50°
C．60°
D．70°
5．如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，把半圆沿弦AC折叠，恰好经过点O，则与的关系是（　　）
A．＝
B．＝
C．＝
D．不能确定
6．如图，点A的坐标为（﹣3，﹣2），⊙A的半径为1，P为x轴上一动点，PQ切⊙A于点Q，则当PQ最小值时，点P的坐标为（　　）
A．（﹣4，0）
B．（﹣2，0）
C．（﹣4，0）或（﹣2，0）
D．（﹣3，0）
7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝12，点D为线段BC上一动点．以CD为⊙O直径，作AD交⊙O于点E，连BE，则BE的最小值为（　　）
A．6
B．8
C．10
D．12
8．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，以C为圆心，2.4cm长为半径的圆与AB的位置关系是（　　）
A．相切
B．相交
C．相离
D．不能确定
9．如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB＝∠PBC，则线段CP长的最小值为（　　）
A．
B．2
C．
D．
10．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5，AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，过点D作⊙O的切线交BC于点M，切点为N，则DM的长为（　　）
A．
B．
C．
D．2
二．填空题（共10小题，满分30分）
11．如图，△ABC中，∠A＝70°，⊙O截△ABC的三条边所截得弦长相等，则∠BOC＝　
　．
12．如图，⊙O的直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交AB于E，交⊙O于D．则弦AD的长是　
　cm．
13．已知圆锥的底面半径为5cm，侧面积为65πcm2，圆锥的母线是　
　cm．
14．如图，已知AD是∠BAC的平分线，以线段AB为直径作圆，交∠BAC和角平分线于C，D两点．过D向AC作垂线DE垂足为点E．若DE＝2CE＝4，则直径AB＝　
　．
15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2，将Rt△ABC绕点C顺时针旋转60°后得Rt△DEC，此时点B恰好在线段DE上，其中点A经过的路径为弧AD，则图中阴影部分的面积是　
　．
16．如图，△ABC内接于⊙O，∠CAB＝30°，∠CBA＝45°，CD⊥AB于点D，若⊙O的半径为2，则CD的长为　
　．
17．点O是△ABC的外心，若∠BOC＝80°，则∠BAC的度数为　
　．
18．在直径为200cm的圆柱形油箱内装入一些油以后，截面如图（油面在圆心下）：若油面的宽AB＝160cm，则油的最大深度为　
　．
19．⊙O的直径为10cm，弦AB∥CD，AB＝8cm，CD＝6cm，则AB和CD的距离是　
　cm．
20．如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC．若AB＝8，CD＝2，则EC的长为　
　．
三．解答题（共6小题，满分60分）
21．如图，△ABC内接于⊙O，∠B＝60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上的一点，且AP＝AC．
（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）若PD＝，求⊙O的直径．
22．如图，AB是⊙O的直径，C是的中点，CE⊥AB于点E，BD交CE于点F．
（1）求证：CF＝BF；
（2）若CD＝6，AC＝8，求⊙O的半径及CE的长．
23．如图，⊙C经过坐标原点，且与两坐标轴分别交于点A与点B，点A的坐标为（0，4），M是圆上一点，∠BMO＝120°．
（1）求证：AB为⊙C直径．
（2）求⊙C的半径及圆心C的坐标．
24．如图，⊙O中，直径CD⊥弦AB于E，AM⊥BC于M，交CD于N，连AD．
（1）求证：AD＝AN；
（2）若AB＝4，ON＝1，求⊙O的半径．
25．如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A、B两点，且与BC边交于点E，D为BE的下半圆弧的中点，连接AD交BC于F，若AC＝FC．
（1）求证：AC是⊙O的切线：
（2）若BF＝8，DF＝，求⊙O的半径；
（3）若∠ADB＝60°，BD＝1，求阴影部分的面积．（结果保留根号）
26．如图，在⊙O中，直径AB垂直弦CD于E，过点A作∠DAF＝∠DAB，过点D作AF的垂线，垂足为F，交AB的延长线于点P，连接CO并延长交⊙O于点G，连接EG．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若AD＝DP，OB＝3，求的长度；
（3）若DE＝4，AE＝8，求线段EG的长．
参考答案
一．选择题（共10小题，满分30分）
1．解：∵∠AOC＝120°，
∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝60°，
∴∠BDC＝∠BOC＝30°．
故选：B．
2．解：∵PA切⊙O于点A，
∴OA⊥PA，
∴∠OAP＝90°，
在Rt△OAP中，∵∠P＝30°，
∴∠AOP＝60°，AP＝OA＝4，
∵∠AOP＝∠C+∠OAC＝60°，
而∠C＝∠OAC，
∴∠C＝30°，
∴AC＝AP＝4．
故选：A．
3．解：∵正六边形的半径为R，
∴边心距r＝R，
∴R：r＝1：＝2：，
故选：D．
4．解：连接OD，如图，
∵扇形OAB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在上的点D处，折痕交OA于点C，
∴BC垂直平分OD，
∴BD＝BO，
∵OB＝OD，
∴BD＝BO＝DO，
∴△OBD为等边三角形，
∴∠DOB＝60°，
∴∠AOD＝∠AOB﹣∠DOB＝110°﹣60°＝50°，
∴的度数为50°，
故选：B．
5．解：如图，连接OC，BC，过O作OE⊥AC于D交圆O于E，
∵把半圆沿弦AC折叠，恰好经过点O，
∴OD＝OE，
∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴OD∥BC，
∵OA＝OB，
∴OD＝BC，
∴BC＝OE＝OB＝OC，
∴∠COB＝60°，
∴∠AOC＝120°，
∴＝，
故选：A．
6．解：连接AQ，AP．
根据切线的性质定理，得AQ⊥PQ；
要使PQ最小，只需AP最小，
根据垂线段最短，可知当AP⊥x轴时，AP最短，
∴P点的坐标是（﹣3，0）．
故选：D．
7．解：如图，连接CE，
∴∠CED＝∠CEA＝90°，
∴点E在以AC为直径的⊙Q上，
∵AC＝10，
∴QC＝QE＝5，
当点Q、E、B共线时BE最小，
∵BC＝12，
∴QB＝＝13，
∴BE＝QB﹣QE＝8，
故选：B．
8．
解：过C作CD⊥AB于D，
在Rt△ACB中，由勾股定理得：AB＝＝5，
由三角形面积公式得：×3×4＝×5×CD，
CD＝2.4，
即C到AB的距离等于⊙C的半径长，
∴⊙C和AB的位置关系是相切，
故选：A．
9．解：∵∠ABC＝90°，
∴∠ABP+∠PBC＝90°，
∵∠PAB＝∠PBC，
∴∠BAP+∠ABP＝90°，
∴∠APB＝90°，
∴OP＝OA＝OB（直角三角形斜边中线等于斜边一半），
∴点P在以AB为直径的⊙O上，连接OC交⊙O于点P，此时PC最小，
在RT△BCO中，∵∠OBC＝90°，BC＝4，OB＝3，
∴OC＝＝5，
∴PC＝OC﹣OP＝5﹣3＝2．
∴PC最小值为2．
故选：B．
10．解：连接OE，OF，ON，OG，
在矩形ABCD中，
∵∠A＝∠B＝90°，CD＝AB＝4，
∵AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，
∴∠AEO＝∠AFO＝∠OFB＝∠BGO＝90°，
∴四边形AFOE，FBGO是正方形，
∴AF＝BF＝AE＝BG＝2，
∴DE＝3，
∵DM是⊙O的切线，
∴DN＝DE＝3，MN＝MG，
∴CM＝5﹣2﹣MN＝3﹣MN，
在Rt△DMC中，DM2＝CD2+CM2，
∴（3+NM）2＝（3﹣NM）2+42，
∴NM＝，
∴DM＝3＝，
故选：A．
二．填空题（共10小题，满分30分）
11．解：过O作OM⊥AB于M，ON⊥BC于N，OQ⊥AC于Q，连接OK、OD、OF、OB、OC，设AB，AC，BC与⊙O的另一个交点分别为E，H，G．
由垂径定理得：DM＝DE，KQ＝KH，FN＝FG，
∵DE＝FG＝HK，
∴DM＝KQ＝FN，
∵OD＝OK＝OF，
∴由勾股定理得：OM＝ON＝OQ，
即O到三角形ABC三边的距离相等，
∴O是△ABC的内心，
∴∠OBC+∠OCB＝（180°﹣70°）＝55°，
∴∠BOC＝125°，
故答案为125°．
12．解：连接BD，
∵AB为⊙O的直径，∴∠BCA＝90°，
∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝45°，
∴∠ABD＝45°，
∴△ABD为等腰直角三角形，
∴AD2+BD2＝AB2，
∵AB＝10cm，∴AD＝5cm．
故答案为5．
13．解：设母线长为R，则：65π＝π×5R，
解得R＝13cm．
14．解：连接CD，BD，OD，过点D作DP⊥AB于点P，
∵DE⊥AC，DE＝2CE＝4，
∴CE＝2，
∴CD＝＝2，
∵AD是∠BAC的平分线，DP⊥AB，DE⊥AC，
∴∠BAD＝∠DAC，DP＝DE＝4，
∴BD＝CD＝2，
∴PB＝＝2，
在Rt△ODP中，设OD＝r，则OP＝r﹣2，
∴r2＝（r﹣2）2+42，解得：r＝5，
∴AB＝2r＝10．
故答案为：10．
15．解：过点B作BF⊥EC于点F，
由题意可得：BC＝CE＝2，∠ACD＝∠BCE＝60°，
故△BCE是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
∴AC＝BCtan60°＝2，
∵EC＝2，
∴FC＝EF＝1，则BF＝，
∴图中阴影部分的面积是：S扇形ACD+S△DCE﹣S△ACB﹣S△BCE＝﹣＝2π﹣．
故答案为：2π﹣．
16．解：连接CO，OB，
则∠O＝2∠A＝60°，
∵OC＝OB，
∴△BOC是等边三角形，
∵⊙O的半径为2，
∴BC＝2，
∵CD⊥AB，∠CBA＝45°，
∴CD＝BC＝，
故答案为：．
17．解：如图所示：
∵O是△ABC的外心，∠BOC＝80°，
∴∠A＝40°，
∠A′＝180°﹣∠A＝140°，
故∠BAC的度数为：40°或140°
故答案为：40°或140°．
18．40cm解：连接OA，过点O作OE⊥AB，交AB于点M，
∵直径为200cm，AB＝160cm，
∴OA＝OE＝100cm，AM＝80cm，
∴OM＝＝＝60cm，
∴ME＝OE﹣OM＝100﹣60＝40cm．
故答案为40cm．
19．解：分两种情况考虑：
当两条弦位于圆心O一侧时，如图1所示，
过O作OF⊥AB，交AB于点F，交CD于点E，连接OA，OC，
∵AB∥CD，
∴OE⊥CD，
∴F、E分别为AB、CD的中点，
∴AF＝BF＝AB＝4，CE＝DE＝CD＝3，
在Rt△COE中，
∵OC＝5，CE＝3，
∴OE＝＝4，
在Rt△AOF中，OA＝5，AF＝4，
∴OF＝＝3，
∴EF＝OE﹣OF＝4﹣3＝1；
当两条弦位于圆心O两侧时，如图2所示，同理可得EF＝4+3＝7，
综上，弦AB与CD的距离为7或1．
故答案为：7或1．
20．解：连接BE，设⊙O的半径为R，如图，
∵OD⊥AB，
∴AC＝BC＝AB＝×8＝4，
在Rt△AOC中，OA＝R，OC＝R﹣CD＝R﹣2，
∵OC2+AC2＝OA2，
∴（R﹣2）2+42＝R2，解得R＝5，
∴OC＝5﹣2＝3，
∴BE＝2OC＝6，
∵AE为直径，
∴∠ABE＝90°，
在Rt△BCE中，CE＝＝＝2．
故答案为：2．
三．解答题（共6小题，满分60分）
21．解：（1）证明：连接OA，
∵∠B＝60°，
∴∠AOC＝2∠B＝120°，
又∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA＝30°，
又∵AP＝AC，
∴∠P＝∠ACP＝30°，
∴∠OAP＝∠AOC﹣∠P＝90°，
∴OA⊥PA，
∴PA是⊙O的切线．
（2）在Rt△OAP中，
∵∠P＝30°，
∴PO＝2OA＝OD+PD，
又∵OA＝OD，
∴PD＝OA，
∵PD＝，
∴2OA＝2PD＝2．
∴⊙O的直径为2．
22．（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠A＝90°﹣∠ABC．
∵CE⊥AB，
∴∠CEB＝90°，
∴∠ECB＝90°﹣∠ABC，
∴∠ECB＝∠A．
又∵C是的中点，
∴＝，
∴∠DBC＝∠A，
∴∠ECB＝∠DBC，
∴CF＝BF；
（2）解：∵＝，
∴BC＝CD＝6，
∵∠ACB＝90°，
∴AB＝＝＝10，
∴⊙O的半径为5，
∵S△ABC＝AB?CE＝BC?AC，
∴CE＝＝＝．
23．解：（1）∵⊙C经过坐标原点，
∴∠AOB＝90°，
∴AB是⊙C的直径．
（2）∵四边形AOMB是圆内接四边形，∠BMO＝120°，
根据圆内接四边形的对角互补得到∠OAB＝60°，
∴∠ABO＝30°，
∵点A的坐标为（0，4），∴OA＝4，
∴AB＝2OA＝8，
⊙C的半径AC＝＝4；
∵C在第二象限，
∴C点横坐标小于0，
设C点坐标为（x，y），
由半径AC＝OC＝4，即＝，
则＝＝4，
解得，y＝2，x＝﹣2或x＝2（舍去），
故⊙C的半径为4、圆心C的坐标分别为（﹣2，2）．
24．（1）证明：∵∠BAD与∠BCD是同弧所对的圆周角，
∴∠BAD＝∠BCD，
∵AE⊥CD，AM⊥BC，
∴∠AMC＝∠AEN＝90°，
∵∠ANE＝∠CNM，
∴∠BCD＝∠BAM，
∴∠BAM＝BAD，
在△ANE与△ADE中，
∵，
∴△ANE≌△ADE，
∴AD＝AN；
（2）解：∵AB＝4，AE⊥CD，
∴AE＝2，
又∵ON＝1，
∴设NE＝x，则OE＝x﹣1，NE＝ED＝x，r＝OD＝OE+ED＝2x﹣1
连接AO，则AO＝OD＝2x﹣1，
∵△AOE是直角三角形，AE＝2，OE＝x﹣1，AO＝2x﹣1，
∴（2）2+（x﹣1）2＝（2x﹣1）2，解得x＝2，
∴r＝2x﹣1＝3．
25．（1）证明：连接OA、OD，如图，
∵D为BE的下半圆弧的中点，
∴OD⊥BE，
∴∠ODF+∠OFD＝90°，
∵CA＝CF，
∴∠CAF＝∠CFA，
而∠CFA＝∠OFD，
∴∠ODF+∠CAF＝90°，
∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠OAD，
∴∠OAD+∠CAF＝90°，即∠OAC＝90°，
∴OA⊥AC，
∴AC是⊙O的切线；
（2）解：设⊙O的半径为r，则OF＝8﹣r，
在Rt△ODF中，（8﹣r）2+r2＝（）2，解得r1＝6，r2＝2（舍去），
即⊙O的半径为6；
（3）解：∵∠BOD＝90°，OB＝OD，
∴△BOD为等腰直角三角形，
∴OB＝BD＝，
∴OA＝，
∵∠AOB＝2∠ADB＝120°，
∴∠AOE＝60°，
在Rt△OAC中，AC＝OA＝，
∴阴影部分的面积＝??﹣＝．
26．（1）证明：连接OD，如图1，
∵OA＝OD，
∴∠DAB＝∠ADO，
∵∠DAF＝∠DAB，
∴∠ADO＝∠DAF，
∴OD∥AF，
又∵DF⊥AF，
∴DF⊥OD，
∴DF是⊙O的切线；
（2）∵AD＝DP
∴∠P＝∠DAF＝∠DAB，
而∠P+∠DAF+∠DAB＝90°，
∴∠P＝30°，
∴∠POD＝60°，
∴的长度＝＝π；
（3）解：连接DG，如图2，
∵AB⊥CD，
∴DE＝CE＝4，
∴CD＝DE+CE＝8，
设OD＝OA＝x，则OE＝8﹣x，
在Rt△ODE中，∵OE2+DE2＝OD2，
∴（8﹣x）2+42＝x2，解得：x＝5，
∴CG＝2OA＝10，
∵CG是⊙O的直径，
∴∠CDG＝90°，
在Rt△DCG中，DG＝＝6，
在Rt△DEG中，EG＝＝2．