人教版八年级上册数学 12.3 角平分线的性质第2课时 角平分线的判定（共23张）

(共23张PPT)
12.3
角平分线的性质
第2课时
角平分线的判定
教学目标
1.理解角平分线判定定理.(难点）
2.掌握角平分线判定定理内容的证明方法并应用其解题.（重点）
3.学会判断一个点是否在一个角的平分线上.
复习导入
1、写出命题“全等三角形的对应边相等”的逆命题.
1、写出命题“角平分线上的点到角的两边的距离相等”
的逆命题.
我们知道，角平分线上的点到角的两边的距离相等.那么到角的两边的距离相等的点是否在角的平分线上呢？
到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
P
A
O
B
C
D
E
角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上．
问题：交换角的平分线的性质中的已知和结论，你能得到什么结论，这个新结论正确吗？
角平分线的性质：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
∵
OC平分∠AOB，
且PD⊥OA，
PE⊥OB
∴
PD=
PE
几何语言：
猜想:
角平分线的判定
┐
证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠PEO=∠PDO=90°.
∵在Rt△PEO和Rt△PDO中，
PE=PD，
PO=PO，∴Rt△PEO≌Rt△PDO（HL）.
∴∠AOC=∠BOC.
∴点P在∠AOB的平分线OC上.
例1.
如图，点P是∠AOB内的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD=PE.
求证：点P在∠AOB的平分线OC上.
O
A
B
C
P
D
E
┐
角的平分线的性质定理与判定定理的关系.
点在角的平分线上
(角的内部)点到角的两边的距离相等
性质定理
判定定理
性质定理是证明两条线段相等的依据，判定定理是证明两个角相等的依据.
角的平分线的性质定理与判定定理的关系
活动1
分别画出下列三角形三个内角的平分线，你发现了什么？
发现：三角形的三条角平分线相交于一点
三角形的内角平分线
活动2
分别过交点作三角形三边的垂线，用刻度尺量一量，每组垂线段，你发现了什么？
发现：过交点作三角形三边的垂线段相等
例2.
如图，△ABC的角平分线AD，BE，CF相交于点P.求证：点P到△ABC三边AB，BC，CA的距离相等.
B
C
P
D
E
F
M
N
O
证明：过点P作PM⊥BC，PN⊥AC，PO⊥AB，
垂足分别为点M，N，O.
┐
┐
┐
A
可多次利用角平分线的性质证得
∵AD为△ABC的角平分线，∴PN=PO.
∵BE为△ABC的角平分线，
∴PM=PO.
∵CF为△ABC的角平分线，
∴PM=PN.
∴PM=PN=PO，
即点P到△ABC三边AB，BC，CA的距离相等.
B
C
P
D
E
F
M
N
O
┐
┐
┐
A
M
E
N
A
B
C
P
O
D
变式1：如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，AP平分∠BAC，BD平分∠ABC;AP,BD交于点O，过点O作OM⊥AC,若OM＝4,
(1)求点O到△ABC三边的距离和.
温馨提示：不存在垂线段———构造应用
12
解：连接OC
M
E
N
A
B
C
P
O
D
变式1：如图，在直角△ABC中，∠C＝900，AP平分∠BAC，BD平分∠ABC;AP,BD交于点O，过点O作OM⊥AC,若OM＝4.
(2)若△ABC的周长为32，求△ABC的面积.
三角形三个内角的平分线的性质
三角形的三条角平分线相交于三角形内一点，且该点到三角形三边的距离相等.反之，三角形内部到三边距离相等的点是该
三角形三条角平分线的交点.
A
B
C
P
课后练习
1.
如图，某个居民小区C附近有三条两两相交的道路MN、OA、OB，拟在MN上建造一个大型超市，使得它到OA、OB的距离相等，请确定该超市的位置P.
小区C
P
A
O
B
M
N
2.如图，P是△ABC外部一点，PD⊥AB，交AB的延长线于点D，PE⊥AC，交AC的延长线于点E，PF⊥BC于点F，且PD=PE=PF.关于点P有下列三种说法：①点P在∠DBC的平分线上；②点P在∠BCE的平分线上；③点P在∠BAC的平分线上.其中说法正确
的个数为（
）
A.0
B.1
C.2
D.3
D
C
A
E
B
D
F
P
┐
┐
3.
如图所示，已知△ABC中，PE∥AB交BC于点E，PF∥AC交BC于点F，点P是AD上一点，且点D到PE的距离与到PF的距离相等，判断AD是否平分∠BAC，并说明理由．
解：AD平分∠BAC．理由如下：
∵D到PE的距离与到PF的距离相等，
∴点D在∠EPF的平分线上．
∴∠1＝∠2．
又∵PE∥AB，∴∠1＝∠3．
同理，∠2＝∠4．
∴∠3＝∠4，∴AD平分∠BAC．
A
B
C
E
F
D
(
(
(
(
3
4
1
2
P
4.已知：如图，OD平分∠POQ，在OP、OQ边上取OA＝OB，点C在OD上，CM⊥AD于M，CN⊥BD于N.求证：CM＝CN.
证明：∵OD平分线∠POQ，
∴∠AOD=∠BOD.
在△AOD与△BOD中，
∵OA=OB，∠AOD=∠BOD，OD=OD，
∴△AOD≌△BOD.
∴∠ADO=∠BDO.
∵CM⊥AD，CN⊥BD，
∴CM=CN.
5.如图，O是△ABC内一点，O到三边AB，BC，CA的距离分别为OF，OD，OE，且OF=OD=OE，若∠BAC=70°，则∠BOC=（
）.
证明：由题意，得OD⊥BC，OE
⊥
AC,
OF
⊥
AB,
且OF=OD=OE，
∴OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB.
∵∠BAC=70°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC=110°.
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=125°.
∴∠OBC+∠OCB=
（∠ABC+∠ACB）=55°.
6.如图，已知∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，
求证：点F在∠DAE的平分线上．
证明：
过点F作FG⊥AE于G，FH⊥AD于H，FM⊥BC于M.
∵点F在∠BCE的平分线上，
　　　　FG⊥AE，
FM⊥BC.
∴FG＝FM.
又∵点F在∠CBD的平分线上，
　　　　FH⊥AD，
FM⊥BC，
∴FM＝FH，
∴FG＝FH.
∴点F在∠DAE的平分线上.　　　
G
H
M
A
B
C
F
E
D
7.如图，∠B=∠C=90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC.求证：AE平分∠DAB.
A
B
C
E
D
┌
┌
证明：过点E作EF⊥AD于点F，
∵∠B=∠C=90°，
∴DC⊥EC，EB⊥AB.
∵DE平分∠ADC，
∴EC=EF.
证明角平分线的方法
只需从要证的线上的某一点向角的两边作（找）垂线段，再证明垂线段相等即可.
∵E是BC的中点，
∴EC=EB
=EF.
又∵EF⊥AD，EB⊥AB，
∴点E在∠DAB的平分线上，即AE平分∠DAB.
F
┌
A
B
C
E
D
┌
┌