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1.1
一元二次方程
【提升训练】
一、单选题
1．关于的一元二次方程的常数项为，则的值为（ ）
A．1
B．2
C．0，2
D．0
【答案】D
【解析】
∵关于的一元二次方程的常数项为，
∴
，解得：m=0.
故选D.
2．若是关于x的一元二次方程，则a的值是（
）
A．0
B．2
C．-2
D．±2
【答案】C
【详解】
由题意得：
，解得：a=-2.故选C.
3．一个等腰三角形的边长是6，腰长是一元二次方程x2﹣7x+12＝0的一根，则此三角形的周长是（ ）
A．12
B．13
C．14
D．12或14
【答案】C
【详解】
解方程x2﹣7x+12=0，得
，则等腰三角形的三边为4,4,6或3,3,6（舍去），易得等腰三角形的周长为4+4+6=14，故选C.www.21-cn-jy.com
4．方程x2+ax+1=0和x2-x-a=0有一个公共根，则a的值是( )
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】C
【详解】
试题解析：方程
和有一个公共根.
解得：
把代入.
即：
故选C.
5．将一元二次方程3x2=﹣2x+5化为一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别为（
）
A．3、﹣2、5
B．3、2、﹣5
C．3、﹣2、﹣5
D．3、5、﹣2
【答案】B
【解析】
试题分析：把原方程根据移项法则化为一般形式，根据一元二次方程的定义解答即可．
解：3x2=﹣2x+5，
移项得，3x2+2x﹣5=0，
则二次项系数、一次项系数、常数项分别为3、2、﹣5，
故选B．
考点：一元二次方程的一般形式．
6．若方程（m2－1）x2－mx－x＋2＝0是关于x的一元一次方程，则代数式|m－1|的值为（ ）
A．0
B．2
C．0或2
D．－2
【答案】A
【详解】
试题分析：根据一元一次方程的定义知m2﹣1=0，且﹣m﹣1≠0，据此可以求得代数式|m﹣1|的值．
解：由已知方程，得
（m2﹣1）x2﹣（m+1）x+2=0．
∵方程（m2﹣1）x2﹣mx﹣x+2=0是关于x的一元一次方程，
∴m2﹣1=0，且﹣m﹣1≠0，
解得，m=1，
则|m﹣1|=0．
故选A．
点评：本题考查了一元一次方程的概念和解法．一元一次方程的未知数的指数为1．
7．关于x的一元二次方程的一个根为0，则实数a的值为
A．
B．0
C．1
D．或1
【答案】A
【详解】
分析：先把x=0代入方程求出a的值，然后根据二次项系数不能为0，把a=1舍去．
解答：解：把x=0代入方程得：
|a|-1=0，
∴a=±1，
∵a-1≠0，
∴a=-1．
故选A．
8．已知m是方程x2﹣2019x+1＝0的一个根，则代数式m2﹣2018m++2的值是（ ）
A．2018
B．2019
C．2020
D．2021
【答案】C
【分析】
利用一元二次方程的解的定义得到m2=2019m-1，利用整体代入的方法变形得到，然后通分后再利用整体代入的方法计算．21·世纪
教育网
【详解】
解：∵m是方程x2﹣2019x+1＝0的一个根，
∴m2﹣2019m+1＝0，
∴m2＝2019m﹣1，
∴
＝2019+1
＝2020．
故选C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
9．关于的方程（、、为常数，）的解是，，则方程的解是（
）.
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】D
【分析】
先用直接开平方法解出，然后再解出，对比两个解的关系，即可得到答案.
【详解】
解：，
解得：，
∵，，
∴，，
∵，
解得：，
∴，，
故选择：D.
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是掌握正确解出一元二次方程的解
10．下列是一元一次方程的为
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
根据一元一次方程的定义：只含有一个未知数元，且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程,进行分析即可．【来源：21·世纪·教育·网】
【详解】
解：A.是一元一次方程；
B.是一元二次方程；
C.是二元一次方程；
D.是一元一次不等式；
故选A．
【点睛】
本题考查了一元一次方程的定义，一元一次方程属于整式方程，即方程两边都是整式一元指方程仅含有一个未知数，一次指未知数的次数为1，且未知数的系数不为0．21·cn·jy·com
11．关于的一元二次方程有一个根为，则的值应为（
）
A．
B．
C．或
D．
【答案】B
【分析】
把x=0代入方程可得到关于m的方程，解方程可得m的值，根据一元二次方程的定义m-2≠0，即可得答案.
【详解】
关于的一元二次方程有一个根为，
且，
解得，．
故选B．
【点睛】
本题考查一元二次方程的解及一元二次方程的定义，使等式两边成立的未知数的值叫做方程的解，明确一元二次方程的二次项系数不为0是解题关键.【出处：21教育名师】
12．若方程x2+mx-3＝0的一根为3，则m等于
（
）.
A．-2
B．-1
C．1
D．2
【答案】A
【分析】
将x=3代入即可求解.
【详解】
解：∵方程x2+mx-3＝0的一根为3，
∴9+3m-3=0,
解得：m=-2,
故选A.
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解,属于简单题,熟悉方程的性质是解题关键.
13．一元二次方程的实数根是（
）
A．0或1
B．0
C．1
D．±1
【答案】A
【分析】
先移项得到x2－x＝0，再把方程左边分解得到x（x－1）＝0，原方程转化为x＝0或x－1＝0，然后解一次方程即可．21世纪教育网版权所有
【详解】
∵x2－x＝0，
∴x(x－1)＝0，
∴x＝0或x－1＝0，
∴x1＝0，x2＝1.
故答案为C.
【点睛】
本题考查了解一元二次方程中的因式分解法，熟练掌握该方法是本题解题的关键.
14．方程是关于的一元二次方程，则
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
根据一元二次方程的定义，
得到关于
的不等式，
解之即可
．
【详解】
解：根据题意得：
，
解得：，
故选．
【点睛】
本题考查一元二次方程的定义，解题关键是
正确掌握一元二次方程的定义．
15．一元二次方程的二次项系数、一次项系数分别是
A．3，
B．3，1
C．，1
D．3，6
【答案】A
【分析】
根据一元二次方程的定义解答．
【详解】
3x2?6x+1=0的二次项系数是3，一次项系数是?6，常数项是1.
故答案选A.
【点睛】
本题考查的知识点是一元二次方程的一般形式，解题的关键是熟练的掌握一元二次方程的一般形式.
16．若关于x的一元二次方程(k+2)x2﹣3x+1＝0有实数根，则k的取值范围是(
)
A．k＜且k≠﹣2
B．k≤
C．k≤且k≠﹣2
D．k≥
【答案】C
【分析】
根据一元二次方程的定义和根的判别式得出k+2≠0且△=（-3）2-4（k+2）?1≥0，求出即可．
【详解】
∵关于x的一元二次方程（k+2）x2-3x+1=0有实数根，
∴k+2≠0且△=（-3）2-4（k+2）?1≥0，
解得：k≤且k≠-2，
故选C．21cnjy.com
【点睛】
本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，能得出关于k的不等式是解此题的关键．
17．已知a是方程x2+x﹣1=0的一个根，则的值为（ ）
A．
B．
C．﹣1
D．1
【答案】D
【分析】
先化简，由a是方程x2+x﹣1=0的一个根，得a2+a﹣1=0，则a2+a=1，
再整体代入即可．
【详解】
原式==，
∵a是方程x2+x﹣1=0的一个根，
∴a2+a﹣1=0，
即a2+a=1，
∴原式==1．
故选D．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解与分式的混合运算的应用，注意运用整体代入的思想.
18．一元二次方程2x2＝2x﹣3的一次项系数是（ ）
A．﹣2
B．2
C．﹣3
D．3
【答案】A
【分析】
先化为一般形式，从而得出答案．
【详解】
解：∵2x2＝2x﹣3，
∴2x2﹣2x+3＝0，
∴一次项系数是﹣2，
故选：A．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a≠0），其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．21教育名师原创作品
19．下列所给方程中，是一元二次方程的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
一元二次方程必须满足四个条件
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
【详解】
解：A.方程含有两个未知数，故本选项错误；
B.符合一元二次方程的定义，故本选项正确；
C.符合一元一次方程的定义，故本选项错误；
D.方程含有两个未知数，故本选项错误．
故选：B．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．21
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20．将下列一元二次方程化成一般形式后，其中二次项系数是2，一次项系数是，常数项是3的方程是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意确定出所求方程即可.
【详解】
A.
化为化成一般形式后，其中二次项系数是2，一次项系数是，常数项是3，符合题意；
B.
化为化成一般形式后，其中二次项系数是2，一次项系数是，常数项是-3，不符合题意；
C.
化为化成一般形式后，其中二次项系数是2，一次项系数是，常数项是-3，不符合题意；
D.
化为化成一般形式后，其中二次项系数是2，一次项系数是，常数项是-3，不符合题意；
故选：A
【点睛】
此题考查了一元二次方程的一般形式，其一般形式为
21．如果2是方程的一个根，则常数的值是（
）
A．1
B．2
C．－1
D．－2
【答案】D
【分析】
把x=2代入已知方程列出关于的新方程，通过解方程来求的值．
【详解】
解：∵2是一元二次方程的一个根，
∴22-2+
=0，
解得，
=-2．
故选：D．
【点睛】
本题考查的是一元二次方程的解的定义．一元二次方程的解，就是使方程左右两边相等的未知数的值．
22．若是方程的根，则的值为（
）
A．2022
B．2020
C．2018
D．2016
【答案】B
【分析】
根据一元二次方程的解的定义，将x=m代入已知方程，即可求得（m2+m）的值，然后将其整体代入所求的代数式进行求值即可．
【详解】
依题意得：m2+m-1=0
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，
则m2+m=1，
所以2m2+2m+2018=2（m2+m）+2018=2×1+2018=2020．
故选：B．
【点睛】
此题考查一元二次方程的解．解题关键在于能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
23．关于x的一元二次方程x2+2x﹣a＝0的一个根是1，则实数a的值为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】D
【分析】
方程的解就是能使方程左右两边相等的未知数的值，把x=1代入方程，即可得到一个关于a的方程，即可解得实数a的值；
【详解】
解：由题可知，一元二次方程x2+2x﹣a＝0的一个根是1，
将x=1代入方程得，，
解得a=3；
故选D.
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的解，掌握一元二次方程的解是解题的关键.
24．根据下表：确定方程的解的取值范围是（
）
…
4
5
6
13
5
…
5
13
A．或
B．或
C．或
D．或
【答案】D
【分析】
观察已知表格，根据第二行代数式的值的变化，使代数式的值等于0或接近0的x的值即为所求方程的解，从而确定出方程解的范围即可．21
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【详解】
解：由表格得：x=-2时，=5，x=-1时，
=-1；
x=4时，
=-1，x=5时，
=5，
可得=0的解取值范围是或．
故选：D．
【点睛】
本题考查估算一元二次方程的近似解，弄清表格中的数据变化规律是解题关键．
25．若关于x的一元二次方程ax2+bx+5＝0的一个根是x＝﹣1，则2015﹣a+b的值是（ ）
A．2012
B．2016
C．2020
D．2021
【答案】C
【分析】
把x=-1代入方程ax2+bx+5=0得a-b+5=0，然后利用整体代入的方法计算2015-a+b的值．
【详解】
把x＝﹣1代入方程ax2+bx+5＝0得a﹣b+5＝0，
所以a﹣b＝﹣5，
所以2015﹣a+b＝2015﹣（a﹣b）＝2015﹣（﹣5）＝2020．
故选：C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
26．已知x＝1是一元二次方程2x2﹣cx＝0的一个根，则c的值是（ ）
A．﹣1
B．2
C．3
D．﹣2
【答案】B
【分析】
将x=1代入方程可得关于c的方程，解之可得．
【详解】
将x=1代入方程2x2-cx=0，得：2-c=0，
解得c=2，
故选B．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的解，解题的关键是掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
27．将一元二次方程5x2﹣1＝4x化为一般形式，其中一次项系数是（ ）
A．5
B．﹣4
C．4
D．﹣1
【答案】B
【解析】
【分析】
一元二次方程的一般形式是：ax2+b
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)x+c=0（a，b，c是常数且a≠0）．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
【详解】
解：一元二次方程5x2﹣1＝4x化为一般形式是5x2﹣4x﹣1＝0，一次项系数分别为﹣4．
故选：B．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的一般形式，解题的关键是通过移项，转化为一般形式，注意移项时符号的变化．
28．已知是方程的一个实数根，则代数式的值（
）
A．2
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
把m代入方程，根据等式性质得3m2-2m=2，，再代入可得.
【详解】
因为m是方程3x2-2x-2=0的一个实数根，
所以3m2-2m-2=0
所以3m2-2m=2，
所以
故选：C
【点睛】
考核知识点：一元二次方程的根.掌握等式基本性质是关键.
29．已知m、n是方程x2﹣3x﹣1＝0的两根，且（2m2﹣6m+a）（3n2﹣9n﹣5）＝10，则a的值为（ ）
A．7
B．﹣7
C．3
D．﹣3
【答案】B
【分析】
把m、n分别代入原方程可得m2﹣3m﹣1＝0，n2﹣3n﹣1＝0，对其进行变形后整体代入计算即可.
【详解】
∵m、n是方程x2﹣3x﹣1＝0的两根，
∴代入方程可以分别得到m2﹣3m﹣1＝0，n2﹣3n﹣1＝0，
∴m2﹣3m＝1，n2﹣3n＝1，
∴2m2﹣6m＝2，3n2﹣9n＝3，
而（2m2﹣6m+a）（3n2﹣9n﹣5）＝10，
∴（2+a）（3﹣5）＝10，
∴a＝﹣7．
故选：B．
【点睛】
本题考查的是方程解的定义，能根据算式进行变形并整体代入是关键.
30．若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+3x+m2﹣4＝0有一个根是0，则m的值是（ ）
A．2
B．﹣2
C．2或﹣2
D．
【答案】B
【分析】
一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
【详解】
原方程可变形为（m﹣2）x2+3x+（m+2）（m﹣2）＝0，
把x＝0代入可得到（m+2）（m﹣2）＝0，
解得m＝2或m＝﹣2，
当m＝2时，m﹣2＝0，一元二次方程不成立，故舍去，
所以m＝﹣2．
故选B．
【点睛】
本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．本题容易出现的错误是忽视二次项系数不等于0这一条件．
二、填空题
31．若关于x的方程的一个根为，则m的值为__________．
【答案】-6
【分析】
根据方程解的意义及求法解答．
【详解】
解：∵关于x的方程的一个根为，
∴把代入方程得：，
∴．
故答案为-6．
【点睛】
本题考查方程的应用，熟练掌握一元二次方程解的意义及一元一次方程的解法是解题关键．
32．若关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0（a≠0）的解是x=-1，则2021-a+b的值是___．
【答案】2022
【分析】
把x=-1代入方程可以得到-a+b的值，从而得到所求答案．
【详解】
解：∵x=-1，
∴a-b+1=0，
∴-a+b=1，
∴2021-a+b=2022，
故答案为2022
．
【点睛】
本题考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程解的意义、等式的性质和代数式求值的方法是解题关键．
33．已知是关于的一元二次方程的一个根，若，则的值为____．
【答案】1．
【分析】
把x=n代入方程求出mn2-4n的值，代入已知等式求出m的值即可．
【详解】
解：把x=n代入方程得：mn2-4n-5=0，即mn2-4n=5，
代入，得：5+m=6，
解得：m=1．
故答案为：1．
【点睛】
此题考查了一元二次方程的解，以及一元二次方程的定义，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
34．若关于x的方程的一个根为1，则代数式的值为__________．
【答案】-1．
【分析】
把x=1代入方程，整体求值即可．
【详解】
解：关于x的方程的一个根为1，
代入得，，
移项得，，
故答案为：-1．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解，解题关键是明确方程解的概念，代入未知数的值求代数式的值．
35．方程（m﹣1）x|m|+1﹣4x+3
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)=0是一元二次方程，则m满足的条件是：_____，此方程的二次项系数为：_____，一次项系数为：_____，常数项为：_____．2·1·c·n·j·y
【答案】m=﹣1
﹣2
﹣4
3
【分析】
根据一元二次方程的定义解答即可．
【详解】
解：根据题意得，|m|+1=2且m﹣1≠0，
解得m=1或﹣1且m≠1，
所以，m=﹣1，
m﹣1=﹣1﹣1=﹣2，
所以，此方程为，
所以，此方程的二次项系数为﹣2，一次项系数为﹣4，常数项为3．
故答案为：m=﹣1；﹣2，﹣4，3．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的一般形式是：（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．【来源：21cnj
y.co
m】
三、解答题
36．先化简，再求值：，其中m是方程x2=6-2x的解.
【答案】；原式=-2.
【分析】
根据分式的运算法则可以化简题目中的式子，然后根据m是方程x2=6-2x的解，即可求得所求式子的值．
【详解】
=
=
=
=
=
，
∵m是方程x2=6-2x的解，
∴m2=6-2m，
∴原式=＝?2．
【点睛】
此题考查分式的化简求值、一元二次方程的解，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
37．先化简，再求值：÷，其中m是方程的根．
【答案】
【分析】
先将括号内的进行通分，再将除法转换成乘法，从而进一步将含m的式子进行化简，最后整体代入求值即可
【详解】
原式===
又因为m为的根
所以
所以
所以原式=
【点睛】
本题主要考查了分式的化简求值以及一元二次方程根的意义，熟练掌握相关概念是关键
38．已知m,n是方程的两个根,且的计算结果等于8,求a的值.
【答案】.
【分析】
先分别把m、n代入方程，得到关于m、n的等式，利用整体思想分别求出，代入所求代数式即可求解.
【详解】
解：,n是方程的两个根,
,,
,
解得.
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解,解题的关键是得出,,注意解题中的整体代入思想根据方程根的定义得出,,再整体代入即可得出a的值.21教育网
39．已知是关于的方程的一个根，求的值．
【答案】
【分析】
把x＝代入方程，即可得到一个关于a的方程，从而求得a的值．然后将所求代数式化简，再代入求值即可．
【详解】
解：将x＝代入方程中，得，
解得a＝，
当a＝时，．
【点睛】
本题主要考查了方程的解的定义．此类题型
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)的特点是：利用方程解的定义找到相等关系，再把所求的代数式化简后整理出所找到的相等关系的形式，再把此相等关系整体代入所求代数式，即可求出代数式的值．
40．一元二次方程化为一般形式后为，试求的值．
【答案】
【分析】
把原方程展开，化为一般形式，与已知方程系数对应相等，求出a、b、c的值，计算得到答案．
【详解】
解：原方程可化为：
ax2?（2a?b）x＋a?b＋c＝0，
由题意得，a＝2，2a?b＝3，a?b＋c＝?1，
解得：a＝2，b＝1，c＝?2，
∴．
【点睛】
本题考查的是一元二次方程的一般形式，运用完全平方公式和合并同类项的方法正确变形是解题的关键，注意系数对应相等的运用．
41．若x＝﹣2是关于x的一元二次方程x2+ax﹣a2＝0的一个根，求a的值．
【答案】1或－4
【分析】
把x=-2代入x2+ax﹣a2＝0得4-3a-a2=0，然后解关于a的一元二次方程即可．
【详解】
把x＝﹣2代入x2+ax﹣a2＝0得4﹣3a﹣a2＝0，
即a2+3a﹣4＝0，解得a1＝1，a2＝﹣4．
即a的值为1或﹣4．…
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
42．某中学数学兴趣小组对关于的方程提出了下列问题：
（1）是否存在的值，使方程为一元二次方程？若存在，求出的值；
（2）是否存在的值，使方程为一元一次方程？若存在，求出的值，并解此方程．
【答案】（1）1
（2），；，
【分析】
（1）根据一元二次方程的定义可得可求得m的值；
（2）当m2+1=1或m+1=0时方程为一元一次方程，求出m的值，进一步解方程即可．
【详解】
解：（1）根据一元二次方程的定义，得
解得．
（2）由题可知，当即时，方程为一元一次方程．
此时方程为，解得；
当即时，方程为一元一次方程，
此时方程为，解得．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程和一元一次方程的定义，（2）中容易漏掉m2+1=1的情况，应考虑全面．
43．把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．
（1）；
（2）．
【答案】（1），1，，
（2），3，1，
【分析】
（1）利用完全平方公式首先去括号移项进而整理为一元二次方程的一般形式得出各项系数；
（2）去括号移项进而整理为一元二次方程的一般形式得出各项系数.
【详解】
解：（1）去括号，得．
移项、合并同类项，得．
∴它的二次项系数为1，一次项系数为，常数项为．
（2）去括号，得．
移项、合并同类项，得．
∴它的二次项系数为3，一次项系数为1，常数项为．
【点睛】
此题主要考查了一元二次方程的一般形式，正确化简得出一般形式是解题关键．
44．已知关于x的一元二次方程x2+(2k?3)x?3k=0.
(1)求证：此方程总有两个不相等的实数根；
(2)如果方程有一个根为1，求k的值.
【答案】（1）详见解析；（2）k=-2
【分析】
（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=4k2+9＞0，由此即可证出此方程总有两个不相等的实数根；
（2）将x=1代入原方程，即可得出关于k的一元一次方程，解之即可得出k的值．
【详解】
（1）证明：在方程x2+（2k-3）x-3k=0中，
∵△=b2-4ac=（2k-3）2-4×（-3k）=4k2-12k+9+12k=4k2+9＞0，
∴此方程总有两个不相等的实数根．
（2）解：将x=1代入x2+（2k-3）x-3k=0中，
可得：1+（2k-3）-3k=0，
解得：k=-2，
∴如果方程有一个根为1，k的值为-2．
【点睛】
本题考查了根的判别式以及一元二次方程的解
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，解题的关键是：（1）牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”；（2）将x=0代入原方程求出k值．
45．已知关于的一元二次方程的两实数根为．
（1）求的取值范围．
（2）设，当取得最小值时，求相应的值，并求出最小值．
【答案】（1）；（2），最小值1．
【解析】
【分析】
（1）因为方程有两个实数根,故方程的根的判别式大于或等于0,据此列出不等式即可得出答案；（2）根据根与系数的关系求解即可..
【详解】
（1）∵原方程有两个实数根，
∴，
解得．
（2）∵为的两根，
∴，且．
∵随值的增大而减小，故当时，取得最小值1．
【点睛】
本题考查了根的判别式,一元二次方程根的情况与判别式△的关系，熟练掌握判别式的三种情况是正确解题的关键.
46．已知m是方程的一个根，试求的值.
【答案】2015
【分析】
先根据一元二次方程的解的定义得到，变形有或，再利用整体思想进行计算．
【详解】
解：∵m是方程的一个根，代入即得.
∴或.
∴
.
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解的定义，解题的关键是适当选择整体代入法，使得解答变得简单.
47．若是方程的一个根，求的值．
【答案】．
【分析】
把代入原方程，得到关于的一元二次方程，2-5+1=0，化简得到+=5,代入直接求值即可．
【详解】
由题意得，，则．
两边同除以，得，
所以，两边同时平方，得，
所以，所以．
【点睛】
代数式中的字母表示的数没有明确告知，而是隐含在题设中，首先应从题设中获取代数式的值，然后利用“整体代入法”求代数式的值．
48．方程．
（1）m取何值时，方程是一元二次方程，并求此方程的解；
（2）m取何值时，方程是一元一次方程．
【答案】（1）m=－4，x=±1；（2）m=2或m=0或m=－2或m=1或m=－3
【分析】
（1）根据一元二次方程的定义得到：m﹣2≠0且，解答即可；
（2）根据一元一次方程的定义得到：m－2=0或或且2m+2≠0．
【详解】
（1）依题意得：m﹣2≠0且，解得：m=－4，此时方程为：，解得：x=±1．即当m=－4时，它是一元二次方程，方程的解为x=±1．
（2）依题意得：m－2=0，或或且2m+2≠0，解得：m=2或m=0或m=－2或m=1或m=－3．
即当m=2或m=0或m=－2或m=1或m=－3时，它是一元一次方程．
【点睛】
本题考查了一元一次方程和一元二次方程的定义，属于基础题，掌握定义即可正确解答该题．
49．(1)已知x满足x2-4x-2=0，求(2x-3)2-(x+y)(x-y)-y2的值；
(2)如图，在等边△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．求证：DC=CF．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】（1）15；（2）详见解析.
【解析】
【分析】
（1）由x2-4x-2=0可得x2-4x=2，再将原式变形，整体代入即可；
（2）根据等边三角形的性质结合EF⊥DE，可求得，可得.
【详解】
解：（1）
∵
∴
∴原式=15
（2）∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
∵
∴
∴
∴
【点睛】
本题主要考查了整式化简求值和等边三角形的性质，整体代入与数形结合思想是解题关键.
50．关于x的一元二次方程.
（1）若方程有两个相等的实数根，请比较的大小，并说明理由；
（2）若方程有一个根是0，求此时方程的另一个根.
【答案】（1），理由见解析；（2）方程的一个根为
【分析】
根据一元二次方程的定义及判别式的意义得到且，然后得到；
把代入原方程得出，再将代入，解方程即可求出方程的另一根．
【详解】
（1）依题意可知，
∴
∴
（2）∵方程有一个根是0，
∴
∴
即，
∵a≠0，
∴方程的一个根为
【点睛】
本题考查了根的判别式当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根也考查了解一元二次方程．2-1-c-n-j-y
51．若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1，且a＝＋－2，求的值.
【答案】0
【解析】
【分析】
将x=-1代入原方程即可求
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)得a、b、c之间的关系，根据二次根式的性质可求出a的值，进而求出c的值，再根据a、b、c之间的关系求出b的值，代入原式求值即可得答案.
【详解】
∵a＝＋－2，
∴c－4≥0且4－c≥0，即c＝4，则a＝－2.
又∵－1是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根，
∴a－b＋c＝0，
∴b＝a＋c＝－2＋4＝2.
∴原式＝＝0.
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值，即用这个数代替未知数所得式子仍然成立，本题需注意当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
52．规定一种特殊运算※为：.
(1)(-2)※1=_____.
(2)解不等式：m※21，并将解集表示在数轴上；
(3)解方程12※m=1
【答案】(1)-1；(2)；数轴见解析；(3).
【分析】
（1）根据新定义代入求值即可；（2）根据新定义求出m※2==,令1,求解即可解题；（3）化简12※m=1得m2+m-12=0,解一元二次方程即可.www-2-1-cnjy-com
【详解】
解：（1）由可知,
(-2)※1==-2+1=-1,
（2）∵m※2==,
又m※21，即1,
解得：,在数轴上表示如下图,
（3）∵12※m=1
即=1,去分母整理得m2+m-12=0,
解得：,
经检验都是原方程的根,
∴.
【点睛】
本题考查了新定义和一元二次方程,分式方程的求解,中等难度,认真审题,根据新定义正确表示出代数式是解题关键.
53．已知、是关于的方程的两个不相等的实数根.
(1)求实数的取值范围;
(2)已知等腰的一边长为7，若、恰好是另外两边长，求这个三角形的周长.
【答案】（1）m>2;
(2)17
【解析】
试题分析：（1）由根的判别式即可得；
（2）由题意得出方程的另一根为7，将x=7代入求出x的值，再根据三角形三边之间的关系判断即可得．
试题解析：解：（1）由题意得△=4（m+1）2﹣4（m2+5）=8m－16＞0，解得：m＞2；
（2）由题意，∵x1≠x2
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)时，∴只能取x1=7或x2=7，即7是方程的一个根，将x=7代入得：49﹣14（m+1）+m2+5=0，解得：m=4或m=10．【版权所有：21教育】
当m=4时，方程的另一个根为3，此时三角形三边分别为7、7、3，周长为17；
当m=10时，方程的另一个根为15，此时不能构成三角形；
故三角形的周长为17．
点睛：本题主要考查判别式、三角形三边之间的关系，熟练掌握韦达定理是解题的关键．
54．若关于的一元二次方程有一个根为,且,求的值.
【答案】0
【解析】
试题分析：根据二次根式有意义的条件，可求出
的值，进而求出
的值，再将
与
的值代入一元二次方程，可求出
的值，最后将
的值代入代数式即可.
试题解析：根据二次根式有意义的条件，可得
，解得
，那么
.将代入方程可得
，所以
，则将
的值代入可得.
故本题的正确答案为0.
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精品试卷·第
2
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1.1
一元二次方程
【提升训练】
一、单选题
1．关于的一元二次方程的常数项为，则的值为（ ）
A．1
B．2
C．0，2
D．0
2．若是关于x的一元二次方程，则a的值是（
）
A．0
B．2
C．-2
D．±2
3．一个等腰三角形的边长是6，腰长是一元二次方程x2﹣7x+12＝0的一根，则此三角形的周长是（ ）
A．12
B．13
C．14
D．12或14
4．方程x2+ax+1=0和x2-x-a=0有一个公共根，则a的值是( )
A．0
B．1
C．2
D．3
5．将一元二次方程3x2=﹣2x+5化为一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别为（
）
A．3、﹣2、5
B．3、2、﹣5
C．3、﹣2、﹣5
D．3、5、﹣2
6．若方程（m2－1）x2－mx－x＋2＝0是关于x的一元一次方程，则代数式|m－1|的值为（ ）
A．0
B．2
C．0或2
D．－2
7．关于x的一元二次方程的一个根为0，则实数a的值为
A．
B．0
C．1
D．或1
8．已知m是方程x2﹣2019x+1＝0的一个根，则代数式m2﹣2018m++2的值是（ ）
A．2018
B．2019
C．2020
D．2021
9．关于的方程（、、为常数，）的解是，，则方程的解是（
）.
A．，
B．，
C．，
D．，
10．下列是一元一次方程的为
A．
B．
C．
D．
11．关于的一元二次方程有一个根为，则的值应为（
）
A．
B．
C．或
D．
12．若方程x2+mx-3＝0的一根为3，则m等于
（
）.
A．-2
B．-1
C．1
D．2
13．一元二次方程的实数根是（
）
A．0或1
B．0
C．1
D．±1
14．方程是关于的一元二次方程，则
A．
B．
C．
D．
15．一元二次方程的二次项系数、一次项系数分别是
A．3，
B．3，1
C．，1
D．3，6
16．若关于x的一元二次方程(k+2)x2﹣3x+1＝0有实数根，则k的取值范围是(
)
A．k＜且k≠﹣2
B．k≤
C．k≤且k≠﹣2
D．k≥
17．已知a是方程x2+x﹣1=0的一个根，则的值为（ ）
A．
B．
C．﹣1
D．1
18．一元二次方程2x2＝2x﹣3的一次项系数是（ ）
A．﹣2
B．2
C．﹣3
D．3
19．下列所给方程中，是一元二次方程的是（
）
A．
B．
C．
D．
20．将下列一元二次方程化成一般形式后，其中二次项系数是2，一次项系数是，常数项是3的方程是（
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A．
B．
C．
D．
21．如果2是方程的一个根，则常数的值是（
）
A．1
B．2
C．－1
D．－2
22．若是方程的根，则的值为（
）
A．2022
B．2020
C．2018
D．2016
23．关于x的一元二次方程x2+2x﹣a＝0的一个根是1，则实数a的值为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
24．根据下表：确定方程的解的取值范围是（
）
…
4
5
6
13
5
…
5
13
A．或
B．或
C．或
D．或
25．若关于x的一元二次方程ax2+bx+5＝0的一个根是x＝﹣1，则2015﹣a+b的值是（ ）
A．2012
B．2016
C．2020
D．2021
26．已知x＝1是一元二次方程2x2﹣cx＝0的一个根，则c的值是（ ）
A．﹣1
B．2
C．3
D．﹣2
27．将一元二次方程5x2﹣1＝4x化为一般形式，其中一次项系数是（ ）
A．5
B．﹣4
C．4
D．﹣1
28．已知是方程的一个实数根，则代数式的值（
）
A．2
B．
C．
D．
29．已知m、n是方程x2﹣3x﹣1＝0的两根，且（2m2﹣6m+a）（3n2﹣9n﹣5）＝10，则a的值为（ ）
A．7
B．﹣7
C．3
D．﹣3
30．若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+3x+m2﹣4＝0有一个根是0，则m的值是（ ）
A．2
B．﹣2
C．2或﹣2
D．
二、填空题
31．若关于x的方程的一个根为，则m的值为__________．
32．若关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0（a≠0）的解是x=-1，则2021-a+b的值是___．
33．已知是关于的一元二次方程的一个根，若，则的值为____．
34．若关于x的方程的一个根为1，则代数式的值为__________．
35．方程（m﹣1）x|m|
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)+1﹣4x+3=0是一元二次方程，则m满足的条件是：_____，此方程的二次项系数为：_____，一次项系数为：_____，常数项为：_____．21教育网
三、解答题
36．先化简，再求值：，其中m是方程x2=6-2x的解.
37．先化简，再求值：÷，其中m是方程的根．
38．已知m,n是方程的两个根,且的计算结果等于8,求a的值.
39．已知是关于的方程的一个根，求的值．
40．一元二次方程化为一般形式后为，试求的值．
41．若x＝﹣2是关于x的一元二次方程x2+ax﹣a2＝0的一个根，求a的值．
42．某中学数学兴趣小组对关于的方程提出了下列问题：
（1）是否存在的值，使方程为一元二次方程？若存在，求出的值；
（2）是否存在的值，使方程为一元一次方程？若存在，求出的值，并解此方程．
43．把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．
（1）；
（2）．
44．已知关于x的一元二次方程x2+(2k?3)x?3k=0.
(1)求证：此方程总有两个不相等的实数根；
(2)如果方程有一个根为1，求k的值.
45．已知关于的一元二次方程的两实数根为．
（1）求的取值范围．
（2）设，当取得最小值时，求相应的值，并求出最小值．
46．已知m是方程的一个根，试求的值.
47．若是方程的一个根，求的值．
48．方程．
（1）m取何值时，方程是一元二次方程，并求此方程的解；
（2）m取何值时，方程是一元一次方程．
49．(1)已知x满足x2-4x-2=0，求(2x-3)2-(x+y)(x-y)-y2的值；
(2)如图，在等边△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．求证：DC=CF．21cnjy.com
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
50．关于x的一元二次方程.
（1）若方程有两个相等的实数根，请比较的大小，并说明理由；
（2）若方程有一个根是0，求此时方程的另一个根.
51．若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1，且a＝＋－2，求的值.
52．规定一种特殊运算※为：.
(1)(-2)※1=_____.
(2)解不等式：m※21，并将解集表示在数轴上；
(3)解方程12※m=1
53．已知、是关于的方程的两个不相等的实数根.
(1)求实数的取值范围;
(2)已知等腰的一边长为7，若、恰好是另外两边长，求这个三角形的周长.
54．若关于的一元二次方程有一个根为,且,求的值.
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