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1.2
一元二次方程的解法
【基础训练】
一、单选题
1．不解方程，则一元二次方程的根的情况是（
）
A．有两个相等的实数根
B．没有实数根
C．有两个不相等的实数根
D．以上都不对
2．已知关于的方程的一个根为，则实数的值为（
）
A．
B．
C．
D．
3．一元二次方程配方后化为（
）
A．.
B．
C．
D．
4．一元二次方程x2﹣3x+4＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．无法判断
5．用直接开平方解下列一元二次方程，其中无解的方程为(
)
A．x2+9＝0
B．－2x2=0
C．x2－3=0
D．(x－2)2=0
6．一元二次方程2x2﹣7x﹣1＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．不能确定
7．一元二次方程x2+6x﹣6=0配方后化为（ ）
A．（x﹣3）2=3
B．（x﹣3）2=15
C．（x+3）2=15
D．（x+3）2=3
8．关于的一元二次方程的根是（
）
A．
B．
C．
D．
9．方程x2=4的解是（ ）
A．x=2
B．x=﹣2
C．x1=1，x2=4
D．x1=2，x2=﹣2
10．方程
=9的根是（??
）
A．x=3
B．x=-3
C．
=3，
=-3
D．
=
=3
11．方程的根的情况是（
）
A．有两个相等实数根
B．有两个不相等实数根
C．有一个实数根
D．无实数根
12．一元二次方程的解是（
）
A．
B．
C．
D．
13．用配方法将方程变形为，则的值是（
）
A．4
B．5
C．6
D．7
14．用配方法将方程化成的形式，则，的值是（
）
A．-2，0
B．2，0
C．-2，8
D．2，8
15．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的值可能是（
）
A．8
B．9
C．10
D．11
16．关于的一元二次方程根的情况，下列说法正确的是（
）
A．有两个相等的实数根
B．无实数根
C．无法确定
D．有两个不相等的实数根
17．对于实数定义运算“☆”如下：，例如，则方程的根的情况为（
）
A．没有实数根
B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根
D．有两个不相等的实数根
18．若方程没有实数根，则的值可以是（
）
A．
B．
C．
D．
19．用配方法解方程，配方后所得的方程是（
）
A．
B．
C．
D．
20．关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则方程的根为（
）
A．
B．
C．或
D．或
21．分式方程的解为（
）
A．
B．
C．或
D．
22．关于x的一元二次方程x2﹣（a+2）x+a＝0根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．无法确定
23．当时，关于的一元二次方程的根的情况为（
）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．无法确定
24．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
25．若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+1=0有两个实数根，则m的取值范围是（
）
A．m≤
B．m＞
C．m≤且m≠1
D．m＜且m≠1
26．下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的是（
）
A．
B．
C．
D．
27．关于x的一元二次方程有实数根，则点在（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
28．关于的一元二次方程无实数根，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
29．下列一元二次方程有两个相等的实数根的是（
）
A．x2﹣2x﹣1＝0
B．x2＋2x＋1＝0
C．x2﹣x﹣1＝0
D．x2﹣x＋1＝0
30．下列关于的方程中，一定有两个不相等实数根的是（
）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
31．关于x的方程x2﹣kx+2＝0有一个根是1，则方程的另一个解为___．
32．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值为________．
33．已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程的两根，则该等腰三角形的周长为______．
34．若关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是_________．
35．方程的解是__________．
三、解答题
36．解方程：．
37．（1）计算：
（2）解方程：
38．（1）解方程：；
（2）解不等式组：．
39．解方程：．
40．（1）解方程：；
（2）解不等式组：
41．（1）解方程：x2+4x＝0；
（2）解不等式组：．
42．若a2+b2＝c2，则我们把形如ax2+cx+b＝0（a≠0）的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．
（1）当a＝3，b＝4时，写出相应的“勾系一元二次方程”；
（2）求证：关于x的“勾系一元二次方程”ax2+cx+b＝0（a≠0）必有实数根．
43．解方程：
（1）2y2﹣4＝0；
（2）x（x+4）＝3（x+4）．
44．（1）解方程：．
（2）已知与成反比例，当时，，求与之间的函数解析式．
45．已知关于的一元二次方程．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若该方程有一个根为，求的值．
46．解下列方程：
（1）；
（2）（请用配方法解）
47．解下列方程：
（1）
（2）
48．解方程
（1）
（2）
49．解方程：
（1）；
（2）．
50．解方程：
（1）2(x2+3x)+3＝0；
（2）3(x﹣5)2＝4(5﹣x)．
51．用适当的方法解下列方程：
（1）
（2）
（3）
52．计算：
（1）；
（2）．
53．解下列方程：
（1）
（2）
54．解方程：
（1）；
（2）．
55．解下列方程：
（1）；
（2）．
56．（1）解方程：
（2）解方程：
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精品试卷·第
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（共
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1.2
一元二次方程的解法
【基础训练】
一、单选题
1．不解方程，则一元二次方程的根的情况是（
）
A．有两个相等的实数根
B．没有实数根
C．有两个不相等的实数根
D．以上都不对
【答案】C
【分析】
根据?值判断根的情况
【详解】
解：a=2
b=3
c=
-4
∴有两个不相等的实数根
故本题答案为：C
【点睛】
本题考查了通过根的判别式判断根的情况，注意a,b,c有符号
2．已知关于的方程的一个根为，则实数的值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
将代入方程可得到一个关于k的等式，求解即可.
【详解】
将代入得：
解得：
故选：A.
【点睛】
本题考查了一元二次方程的根，理解题意得出关于k等式是解题关键.
3．一元二次方程配方后化为（
）
A．.
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
先把方程两边加上4，然后把方程左边写成完全平方的形式即可．
【详解】
，
，
，
故选A.
【点睛】
本题考查配方法，解题的关键是掌握配方法解一元二次方程.
4．一元二次方程x2﹣3x+4＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．无法判断
【答案】C
【分析】
先求出根的判别式“△”的值，再根据“△”的值＜0即可判定方程没有实数根．
【详解】
解：，
△，
方程没有实数根，
故选C．
【点睛】
本题考查了根的判别式，能熟记根的判别式的内容是解此题的关键．
5．用直接开平方解下列一元二次方程，其中无解的方程为(
)
A．x2+9＝0
B．－2x2=0
C．x2－3=0
D．(x－2)2=0
【答案】A
【分析】
根据负数没有平方根即可求出答案．
【详解】
解：（A）移项可得，故选项A无解；
（B），即，故选项B有解；
（C）移项可得，故选项C有解；
（D），故选项D有解；
故选A．21·cn·jy·com
【点睛】
本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法．
6．一元二次方程2x2﹣7x﹣1＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．不能确定
【答案】A
【分析】
根据根的判别式，求该方程的判别式，根据结果的正负情况即可得到答案．
【详解】
解：根据题意得：
△＝（﹣7）2﹣4×2×（﹣1）
＝49+8
＝57＞0，
即该方程有两个不相等的实数根，
故选A．
【点睛】
本题考查根的判别式：一元二次方
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．
7．一元二次方程x2+6x﹣6=0配方后化为（ ）
A．（x﹣3）2=3
B．（x﹣3）2=15
C．（x+3）2=15
D．（x+3）2=3
【答案】C
【分析】
先把常数项移到方程左边，再把方程两边加上9，然后把方程左边配成完全平方形式即可．
【详解】
x2+6x=6，
x2+6x+9=15，
（x+3）2=15．
故选C．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．www.21-cn-jy.com
8．关于的一元二次方程的根是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】
当时，
一元二次方程的求根公式为x=.
故选D.
9．方程x2=4的解是（ ）
A．x=2
B．x=﹣2
C．x1=1，x2=4
D．x1=2，x2=﹣2
【答案】D
【详解】
x2=4，
x=±2.
故选D.
点睛：本题利用方程左右两边直接开平方求解.
10．方程
=9的根是（??
）
A．x=3
B．x=-3
C．
=3，
=-3
D．
=
=3
【答案】C
【详解】
∵，
∴.
故选C.
11．方程的根的情况是（
）
A．有两个相等实数根
B．有两个不相等实数根
C．有一个实数根
D．无实数根
【答案】D
【解析】
试题分析：△=b2﹣4ac=9-16=-7<0所以方程无实数根．
故选D
考点：根的判别式
12．一元二次方程的解是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
利用因式分解法求解即可.
【详解】
解：，
，
∴x-3=0，x+5=0，
∴x1=3，x2=-5，
故选A.
【点睛】
本题考查了解一元二次方程，根据方程的形式选择合适的解法是解题的关键.
13．用配方法将方程变形为，则的值是（
）
A．4
B．5
C．6
D．7
【答案】B
【分析】
将方程用配方法变形，即可得出m的值.
【详解】
解：，
配方得：，
即，
则m=5.
故选B.
【点睛】
本题考查了配方法，解题的关键是利用完全平方公式对方程进行变形.
14．用配方法将方程化成的形式，则，的值是（
）
A．-2，0
B．2，0
C．-2，8
D．2，8
【答案】C
【分析】
根据配方法的步骤对原方程进行配方即可求解．
【详解】
∴m=-2，n=8
故选：C
【点睛】
本题考查的是一元二次方程的配方法，掌握在二次项系数为1时，配一次项系数一半的平方是关键．
15．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的值可能是（
）
A．8
B．9
C．10
D．11
【答案】A
【分析】
先根据判别式＞0，求出m的范围，进而即可得到答案．
【详解】
解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，解得：m＜9，
m的值可能是：8．
故选：A.
【点睛】
本题主要考查一元二次方程根的判别式与根的情况的关系，掌握一元二次方程有两个不等的实数解，则，是解题的关键．21·世纪
教育网
16．关于的一元二次方程根的情况，下列说法正确的是（
）
A．有两个相等的实数根
B．无实数根
C．无法确定
D．有两个不相等的实数根
【答案】D
【分析】
先计算判别式，再进行配方得到△=，然后根据非负数的性质得到△＞0，再利用判别式的意义即可得到方程总有两个不相等的实数根．www-2-1-cnjy-com
【详解】
解：，
∵△=(k-1)2-4(k-4)，
=，
=，
=，
∵，
∴（k-3）2+8＞0，即△＞0，
∴方程总有两个不相等的实数根．
故选：D．
【点睛】
本题考查的是根的判别式，一元二次方程
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当△=0时，方程有两个相等的实数根；③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．2-1-c-n-j-y
17．对于实数定义运算“☆”如下：，例如，则方程的根的情况为（
）
A．没有实数根
B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根
D．有两个不相等的实数根
【答案】D
【分析】
本题根据题目所给新定义将方程变形为一元二次方程的一般形式，即的形式，再根据根的判别式的值来判断根的情况即可．21
cnjy
com
【详解】
解：根据题意由方程得：
整理得：
根据根的判别式可知该方程有两个不相等实数根．
故选D．
【点睛】
本题主要考查了根的判别式，根据题目所给的定义对方程进行变形后依据的值来判断根的情况，注意时有两个不相等的实数根；时有一个实数根或两个相等的实数根；时没有实数根．
18．若方程没有实数根，则的值可以是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
直接利用根的判别式进行判断，求出m的取值范围即可．
【详解】
解：由题可知：“△＜0”，
∴,
∴,
故选：D．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式，解决本题的关键是掌握当“△＜0”时，该方程无实数根，本题较基础，考查了学生对基础知识的理解与掌握．【出处：21教育名师】
19．用配方法解方程，配方后所得的方程是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
直接利用配方法进行配方即可．
【详解】
解：
故选：D．
【点睛】
本题考查了配方法，解决本题的关键是牢记配方法的步骤，本题较基础，考查了学生对基础知识的掌握与基本功等．21世纪教育网版权所有
20．关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则方程的根为（
）
A．
B．
C．或
D．或
【答案】C
【分析】
根据方程有两个相等的实数根求出m的值，然后根据根与系数的关系得出x的值即可．
【详解】
解：∵关于x的一元二次方程2x2-mx+8=0有两个相等的实数根，
∴△=0，即△=m2-4×2×8=0，解得m=±8，
∵x1=x2，x1+x2=，
∴x1=x2=2或x1=x2=-2．
故选：C．
【点睛】
本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac的关系是解答此题的关键．
21．分式方程的解为（
）
A．
B．
C．或
D．
【答案】A
【分析】
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】
解：，
去分母得：2（x＋2）＋x2?4＝8，
解得：x＝2或x＝?4，
检验：当x＝2时，（x＋2）（x?2）＝0，
当x＝?4时，（x＋2）（x?2）≠0，
∴x＝2是增根，分式方程的解为x＝?4．
故选：A．
【点睛】
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
22．关于x的一元二次方程x2﹣（a+2）x+a＝0根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．无法确定
【答案】A
【分析】
计算判别式，根据判别式的符号即可作出选择．
【详解】
∵
∴关于x的一元二次方程x2﹣（a+2）x+a＝0有两个不相等的实数根
故选：A．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的判别式，根据根的判别式的符号可判别一元二次方程根的情况，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
23．当时，关于的一元二次方程的根的情况为（
）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．无法确定
【答案】A
【分析】
根据判别式以及配方法即可求出答案．
【详解】
解：由题意可知：△＝b2＋4×2a，
∵，
∴b2＋4×2a
=b2+8a
=b2+8(4-b)
=
b2-8b+32
＝（b?4）2＋16＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
【点睛】
本题考查一元二次方程根的情况，解题的关键是熟练运用根的判别式以及配方法，本题属于基础题型．
24．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
根据一元二次方程的根的判别式，建立关于的不等式，求出的取值范围即可．
【详解】
解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
△，
．
故选：B．
【点睛】
此题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△方程有两个不相等的实数根；（2）△方程有两个相等的实数根；（3）△方程没有实数根．21教育名师原创作品
25．若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+1=0有两个实数根，则m的取值范围是（
）
A．m≤
B．m＞
C．m≤且m≠1
D．m＜且m≠1
【答案】C
【分析】
利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到m-1≠0且△=12-4(m-1)×1≥0，然后求出两不等式的公共部分即可．
【详解】
解：∵，，，
，
根据题意得m-1≠0且，
解得且．
故选：C．
【点睛】
本题考查了根的判别式：一元二次方程a
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)x2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．
26．下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
先计算四个选项中方程的根的判别式的值，确定判别式的符号，选出判别式大于0的方程满足条件，由此即可得出结论．
【详解】
解：A．方程判别式
，方程有两个相等的实数根，不符合题意;
B．方程判别式
方程没有实数根，不符合题意;
C．方程判别式
，方程没有实数根，不符合题意;
D．方程判别式
，方程有两个不相等的实数根，符合题意．
故答案为：
D．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式，根的判别式
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)的值大于0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式的值等于0，方程有两个相等的实数根；根的判别式的值小于0，方程没有实数根，掌握并会利用解决问题是解题关键．
27．关于x的一元二次方程有实数根，则点在（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】B
【分析】
根据一元二次方程有实数根可得m-1≠0且，求出m的范围，可得m-3＜0，-m+4＞0，从而判断结果．
【详解】
解：∵是一元二次方程，且有实数根，
∴m-1≠0且，
解得：且m≠1，
∴m-3＜0，-m+4＞0，
∴在第二象限，
故选B．
【点睛】
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
28．关于的一元二次方程无实数根，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
根据题意得：，列出关于a的不等式，进而即可求解．
【详解】
解：∵关于的一元二次方程无实数根，
∴，
解得：，
故选B．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程（）无实数根，则，是解题的关键．
29．下列一元二次方程有两个相等的实数根的是（
）
A．x2﹣2x﹣1＝0
B．x2＋2x＋1＝0
C．x2﹣x﹣1＝0
D．x2﹣x＋1＝0
【答案】B
【分析】
逐一求出四个选项中方程的根的判别式△的值，取其为零的选项即可得出结论．
【详解】
解：A、∵△=(-2)2-4×1×(-1)=8＞0，
∴一元二次方程x2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根；
B、∵△=22-4×1×1=0，
∴一元二次方程x2+2x+1=0有两个相等的实数根；
C、∵△=(-1)2-4×1×(-1)=5＞0，
∴一元二次方程x2﹣x﹣1=0有两个不相等的实数根；
D、∵△=(-1)2-4×1×1=-3<0，
∴一元二次方程x2﹣x+1=0没有实数根．
故选：B．
【点睛】
本题考查了根的判别式，牢记“当△=0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．
30．下列关于的方程中，一定有两个不相等实数根的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
先求出的值，再比较出其与0的大小即可求解．
【详解】
解：A.，不能判断大小，不符合题意；
B.，此选项符合题意；
C.，不能判断大小，不符合题意；
D.
，不能判断大小，不符合题意．
故选B．
【点睛】
本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程的根与的关系是解答此题的关键．
二、填空题
31．关于x的方程x2﹣kx+2＝0有一个根是1，则方程的另一个解为___．
【答案】2
【分析】
先把x=1代入求解k，然后再进行求解方程即可．
【详解】
解：由题意得：
把x=1代入x2﹣kx+2＝0得：，解得：，
∴原方程为，
解得：，
∴方程的另一个解为2．
故答案为：2．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
32．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值为________．
【答案】．
【分析】
根据关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，得出关于k的方程，求解即可．
【详解】
∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴△==4+12k=0，
解得k=．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了运用一元二次方程根的
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)判别式，当△>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当△=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当△<
0时，一元二次方程没有实数根．【来源：21cnj
y.co
m】
33．已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程的两根，则该等腰三角形的周长为______．
【答案】7或8
【分析】
求出一元二次方程的解，得出三角形的边长，用三角形存在的条件分类讨论边长，即可得出答案．
【详解】
解：
（x－2）（x－3）=0
解得：x=2或x=3，
当等腰三角形的三边为2，2，3时，符合三角形三边关系定理，此时能组成三角形，周长为7；
当等腰三角形的三边为2，3，3时，符合三角形三边关系定理，此时能组成三角形，周长为8，
所以三角形的周长为7或8，
故填：7或8．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，解一元二次方程，能求出方程的解并能够判断三角形三边存在的条件是解此题的关键．【来源：21·世纪·教育·网】
34．若关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是_________．
【答案】m≤且m≠0
【分析】
根据判别式即可求出答案．
【详解】
解：∵关于x的一元二次方程mx2+（2m-1）x+m-=0有实数根，
∴m≠0且△=（2m-1）2-4m（m-）=-2m+1≥0，
则m的范围为m≤且m≠0．
故答案为：m≤且m≠0．
【点睛】
此题考查一元二次方程根的情况与判别式△的
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)关系：（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；（2）△=0?方程有两个相等的实数根；（3）△＜0?方程没有实数根．
35．方程的解是__________．
【答案】．
【分析】
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】
解：
去分母得：，
移项，合并同类项得：，
左边进行因式分解得到：，
解得：，
检验：当x=－１时，，则x=-1是原方程的根，
当x=3时，，则x=3是原方程的增根，不是原方程的解，
故原方程的解为：x=-1．
【点睛】
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
三、解答题
36．解方程：．
【答案】，．
【分析】
根据因式分解法即可求解．
【详解】
解：
，
，
，
或，
解得：，．
【点睛】
此题主要考查解一元二次方程，解题的关键是熟知因式分解法的应用．
37．（1）计算：
（2）解方程：
【答案】（1）；（2）x1=1，x2=-2
【分析】
（1）直接利用整数指数幂的性质、零指数幂的性质以及绝对值的性质分别化简得出答案．
（2）利用因式分解法求解即可．
【详解】
解：（1）原式=
=；
（2）x（x-1）+2（x-1）=0
（x-1）（x+2）=0，
解得：x1=1，x2=-2．
【点睛】
此题主要考查了实数运算以及因式分解法解方程，正确化简各数以及熟练掌握解一元二次方程的方法是解题关键．21教育网
38．（1）解方程：；
（2）解不等式组：．
【答案】（1），；（2）
【分析】
（1）利用公式法求解可得；
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【详解】
解：（1），，，
△，
则，
解得：，；
（2）解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为．
【点睛】
本题主要考查解一元一次不等式组和一元二次方
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
39．解方程：．
【答案】，
【分析】
先移项再利用因式分解法解方程即可．
【详解】
解：∵，
∴，
∴，
∴，．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程－因式分解法，解题的关键是找准公因式．
40．（1）解方程：；
（2）解不等式组：
【答案】（1）x1=1，x2=-3；（2）1≤x＜3
【分析】
（1）先移项，再直接开平方，即可求解；
（2）分别求出两个不等式的解，再取公共部分，即可求解．
【详解】
解：（1），
，
x+1=2或x+1=-2，
∴x1=1，x2=-3；
（2），
又①得：x≥1，
由②得：x＜3，
∴不等式组的解为：1≤x＜3．
【点睛】
本题主要考查解一元二次方程以及一元一次不等式组，掌握直接开平方法以及解不等式组的基本步骤，是解题的关键．
41．（1）解方程：x2+4x＝0；
（2）解不等式组：．
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）由一元二次方程的解法判断，用因式分解法解次方程简便；
（2）分别解出2个不等式，再确定不等式组的解集即可．
【详解】
（1）
解：
或，
，；
（2）解不等式得：；
∵，
∴原不等式组的解集为：．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的因式分解解法和解不等式组，掌握因式分解法解一元二次方程和不等式的解法是解本题的关键．
42．若a2+b2＝c2，则我们把形如ax2+cx+b＝0（a≠0）的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．
（1）当a＝3，b＝4时，写出相应的“勾系一元二次方程”；
（2）求证：关于x的“勾系一元二次方程”ax2+cx+b＝0（a≠0）必有实数根．
【答案】（1）3x2±5x+4＝0；（2）见解析
【分析】
（1）由a＝3，b＝4，由a2+b2＝c2求出c＝±5，从而得出答案；
（2）只要根据一元二次方程根的判别式证明△≥0即可解决问题．
【详解】
（1）解：由a2+b2＝c2可得：
当a＝3，b＝4时，c＝±5，
相应的勾系一元二次方程为3x2±5x+4＝0；
（2）证明：根据题意，得
△＝（c）2﹣4ab
＝2（a2+b2）﹣4ab
＝2（a﹣b）2≥0
∵△≥0，
∴勾系一元二次方程ax2+cx+b＝0（a≠0）必有实数根．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．
43．解方程：
（1）2y2﹣4＝0；
（2）x（x+4）＝3（x+4）．
【答案】（1）y=±（2）x1=-4或x2=3．
【分析】
（1）根据直接开平方法即可求解；
（2）根据因式分解法即可求解．
【详解】
（1）2y2﹣4＝0
2y2=4
y2=2
∴y=±
（2）x（x+4）＝3（x+4）
x（x+4）-3（x+4）=0
（x+4）（x-3）=0
∴x+4=0或x-3=0
解得x1=-4或x2=3．
【点睛】
此题主要考查一元二次方程的求解，解题的关键是熟知因式分解法的运用．
44．（1）解方程：．
（2）已知与成反比例，当时，，求与之间的函数解析式．
【答案】（1），；（2）．
【分析】
（1）根据因式分解法解一元二次方程即可；
（2）根据题意设出反比函数关系式，利用时，即可求解
【详解】
（1）∵，
∴，
则或，
解得，.
（2）设，根据题意得：，
解得，
∴.
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解法，以及求反比例函数解析式，熟练掌握一元二次方程的解法，和待定系数法求反比例函数解析式是解题关键．
45．已知关于的一元二次方程．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若该方程有一个根为，求的值．
【答案】（1）见解析；（2）3或4
【分析】
（1）根据根的判别式为1，得出方程有两个不相等的实数根；
（2）将x=4代入方程得出关于k的一元二次方程，从而得出k的值．
【详解】
解：（1）证明：，
方程有两个不相等的实数根．
（2）解：把代入方程，
得，
解方程得：，．
当方程有一个根为时，的值为或
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式，因式分解法和公式法解一元二次方程，熟练掌握相关知识是解题的关键．
46．解下列方程：
（1）；
（2）（请用配方法解）
【答案】（1）或；（2）
【分析】
（1）先把方程化为一般形式：，再利用因式分解解方程即可；
（2）先把方程化为：再两边都加，可得从而可得再利用直接开平方法解方程即可．
【详解】
解：（1）
，
整理得：，
，
或．
（2）
，
方程两边都除以得：
移项得：
【点睛】
本题考查的是一元二次方程的解法，掌握利用因式分解与配方法解一元二次方程是解题的关键．
47．解下列方程：
（1）
（2）
【答案】（1）；（2），
【分析】
（1）方程整理后，利用因式分解法求解即可；
（2）利用公式法求解即可．
【详解】
（1），
整理得：，
因式分解得：
解得：；
（2），
∵，，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．【版权所有：21教育】
48．解方程
（1）
（2）
【答案】（1），；（2），
【分析】
（1）方程常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，利用完全平方公式变形，开方即可求出解；
（2）移项，提公因式，利用因式分解法即可求解．
【详解】
解：（1），
移项得：，
配方得：，即，
开平方得：，
∴；
（2）
移项得：，
分解因式得：，
∴或，
∴．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程－配方法和因式分解法，能正确运用配方法和因式分解法解方程是解此题的关键．
49．解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）利用配方法求解即可；
（2）利用因式分解法求解即可．
【详解】
（1）．
移项得：，
配方得：，即，
开方得：，
∴；
（2）
移项得：，
因式分解得：，
∴或，
∴．
【点睛】
本题主要考查解一元二次方程的
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．2·1·c·n·j·y
50．解方程：
（1）2(x2+3x)+3＝0；
（2）3(x﹣5)2＝4(5﹣x)．
【答案】（1）x1＝，x2＝；（2）x1＝5，x2＝．
【分析】
（1）把方程整理为一般形式，然后根据公式法即可求出答案．
（2）根据因式分解法即可求出答案．
【详解】
解：（1）2(x2+3x)+3＝0,
2x2+6x+3＝0，
∴a＝2，b＝6，c＝3，
∴△＝36﹣24＝12＞0，
∴x＝＝，
∴x1＝，x2＝；
（2）∵3(x﹣5)2＝4(5﹣x)，
∴(x﹣5)(3x﹣11)＝0，
∴x﹣5＝0或3x﹣11＝0，
∴x1＝5，x2＝．
【点睛】
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．21
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com
51．用适当的方法解下列方程：
（1）
（2）
（3）
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【分析】
（1）运用公式法求解即可；
（2）运用因式分解法求解即可；
（3）运用因式分解法求解即可
【详解】
解：（1），
，
，
，
（2），
，
，
或，
，；
（3）,
【点睛】
本题考查了解一元二次方程，正确运用公式法和因式分解法是解本题的关键．
52．计算：
（1）；
（2）．
【答案】(1)x1=3，x2=-2；(2)x1=5，x2=7．
【分析】
(1)直接使用十字相乘法进行因式分解即可求解；
(2)先移项，提取公因式(x-5)后再用因式分解即可求解．
【详解】
解：(1)原方程可化为：(x-3)(x+2)=0，
即：x-3=0或x+2=0，
解得：x1=3，x2=-2，
故答案为：x1=3，x2=-2；
(2)移项：(x-5)2-2(x-5)=0，
即：(x-5)(x-5-2)=0
得到：x-5=0或x-5-2=0
解得x1=5，x2=7，
故答案为：x1=5，x2=7．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解法，属于基础题，运算过程中细心即可．
53．解下列方程：
（1）
（2）
【答案】（1），；（2），
【分析】
（1）移项后，利用提公因式法分解因式，然后求解即可；
（2）整理后利用配方法求解即可．
【详解】
解：（1）
原式可化为：
∴
∴
∴，；
（2）
∴
整理得：
，
【点睛】
本题考查一元二次方程的解法，解题的关键是灵活掌握一元二次方程的解法，熟悉相关解法是解题的关键．
54．解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）x1=3，x2=1；（2）x1=3，x2=
【分析】
（1）利用十字相乘分解因式，进而即可求解；
（2）先移项，再因式分解，进而即可求解．
【详解】
（1），
，
x-3=0或x-1=0，
∴x1=3，x2=1；
（2），
，
，
x-3=0或5x-1=0，
∴x1=3，x2=．
【点睛】
本题主要考查解一元二次方程，掌握十字相乘因式分解法解一元二次方程，是解题的关键．
55．解下列方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1），；（2），．
【分析】
（1）用因式分解法解方程即可；
（2）用因式分解法解方程即可．
【详解】
解：（1），
，
或，
解得，；
（2）
或，
解得，或．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程，正确理解因式分解法是解题的关键．
56．（1）解方程：
（2）解方程：
【答案】（1），；（2），．
【分析】
（1）方程整理后，利用配方法求出解即可；
（2）方程整理后，利用因式分解法求出解即可．
【详解】
（1）解：整理，得．
移项，得．
配方，得．
即．
∴．
∴，．
（2）解：将原方程整理，得，
所以，
所以或．
所以，．
【点睛】
本题考查配方法，因式分解法解一元二次方程，对于解方程的方法的选择，应该根据方程的特点选择不同的方法．21cnjy.com
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精品试卷·第
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