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1.2
一元二次方程的解法
【提升训练】
一、单选题
1．在中，，，，点P是所在平面内一点，则取得最小值时，下列结论正确的是（
）
A．点P是三边垂直平分线的交点
B．点P是三条内角平分线的交点
C．点P是三条高的交点
D．点P是三条中线的交点
2．关于x的一元二次方程的根的情况，下列说法正确的是（
）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．无实数根
D．无法确定
3．对于实数m，n，先定义一种新运算“?”如下：m?n＝，若x?（﹣2）＝10，则实数x等于（
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A．3
B．﹣4
C．8
D．3或8
4．定义“a
b”：对于任意实数a
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，b，都有a
b＝（a＋b）（a－b）－1，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，若x
k＝x（k为实数）是关于x的方程，则它的根的情况为（
）21
cnjy
com
A．有一个实数根
B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根
D．没有实数根
5．关于x的一元二次方程无实数根，则实数m的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
6．关于x的一元二次方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1＝0有实数根，则a满足（ ）
A．a≥1
B．a＞1且a≠5
C．a≥1且a≠5
D．a≠5
7．关于x的一元二次方程的实数根有（
）
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
8．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是（
）
A．－1或2
B．1
C．2
D．1或2
9．如果一元二次方程x2
-
mx
+
2
=
0的解为两个不相等的负实数根，则m的取值范围是（
）
A．
B．
C．或
D．无解
10．关于的方程有实数根，的取值范围是（
）
A．且
B．
C．且
D．
11．若关于x的一元二次方程kx2－3x＋1＝0有实数根，则k的取值范围为（
）
A．k≥
B．k≤且k≠0
C．k＜且k≠0
D．k≤
12．当时，关于的一元二次方程的根的情况为（
）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．无法确定
13．如果关于x的一元二次方程ax2+x﹣1＝0有实数根，则a的取值范围是（ ）
A．a＞﹣
B．a≥﹣
C．a≥﹣且a≠0
D．a＞且a≠0
14．如果关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣k＝0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（ ）
A．k＜﹣4
B．k＜4
且k≠0
C．k＞﹣4
D．k＞﹣4且k≠0
15．若关于x
的一元二次方程ax2＋2x－＝0（a＜0）有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（
）
A．a＜－2
B．a＞－2
C．－2＜a＜0
D．－2≤a＜0
16．《代数学》中记载，形如的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为的矩形，得到大正方形的面积为，则该方程的正数解为．”小聪按此方法解关于的方程时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为50，则该方程的正数解为（
）．21cnjy.com
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A．6
B．
C．
D．
17．关于x的方程x2﹣kx﹣2＝0的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根
B．没有实数根
C．有两个不相等的实数根
D．无法确定
18．若关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是（
）
A．
B．
C．且
D．且
19．方程的根是（
）
A．
B．
C．
D．
20．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．且
D．且
21．若关于的一元二次方程有实数根，则字母的取值范围是（
）
A．且
B．
C．
D．且
22．已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则下列说法正确的是（
）
A．1一定不是方程的根
B．0一定不是方程的根
C．可能是方程的根
D．1和都是方程
的根
23．把方程x2-6x-5=0左边配成一个完全平方式后，所得的方程是（
）
A．(x-6)2=41
B．(x-3)2=4
C．(x-3)2=14
D．(x-3)2=9
24．用配方法解一元二次方程，可变形为（
）
A．
B．
C．
D．
25．解一元二次方程x2＋4x－1＝0，配方正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
26．已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
27．将关于的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如…，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：，且，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
28．如图，反比例函数的图象经过点，过A作轴于点B，连，直线，交x轴于点C，交y轴于点D，若点B关于直线的对称点恰好落在该反比例函数图像上，则D点纵坐标为（
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A．
B．
C．
D．
29．用配方法解一元二次方程，配方正确的是（
）．
A．
B．
C．
D．
30．对于实数a、b，定义运算“★”：a★b=，关于x的方程（2x+1）★（2x-3）=t恰好有两个不相等的实数根，则t的取值范围是（
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A．t＜
B．t＞
C．t＜
D．t＞
二、填空题
31．已知双曲线与直线y=2x交于点A，B，与另一直线y=kx交于点C，D，其中点A，点C在第一象限．当以A，B，C，D为顶点的四边形的面积为6时，点C的横坐标为____________．
32．如图，反比例函数的图象经过第二象限内的点，若，则__________
．
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33．数学活动课上，小云和小王在讨论张老师出示的一道代数式求值问题：
已知实数同时满足，求代数式的值．
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结合他们的对话，请解答下列问题：
（1）当时，a的值是__________．
（2）当时，代数式的值是__________．
34．将关于的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：，且．则的值为________．www.21-cn-jy.com
35．已知一元二次方程x2-10x+21=0的两个根恰好分别是等腰三角形ABC的底边长和腰长，则△ABC的周长为_________．2·1·c·n·j·y
三、解答题
36．解下列方程．
（1）；
（2）．
37．（1）解方程：
（2）解不等式组：，
38．先化简，再求值：
，其中x满足．
39．用适当的方法解下列一元二次方程：
（1）
（2）．
40．解方程：
（1）；
（2）．
41．解方程：．
42．解方程：
（1）﹣4x﹣3＝0；
（2）2x（x﹣1）＝x﹣1
43．＋－2－1＝0
44．解下列方程：
（1）2（x﹣2）2＝x2﹣4．
（2）2x2﹣4x﹣1＝0．
45．解方程：
46．（1）解方程：
（2）已知点与点关于原点对称，求，的值．
47．解方程：
（1）；
（2）
48．用适当的方法解下列方程．
（1）
（2）
49．已知关于x的一元二次方程（m﹣3）x2﹣6x+m2﹣9＝0的常数项为0，求m的值及此方程的解．
50．解方程：
（1）；
（2）．
51．已知一元二次方程（a﹣3）x2﹣4x+3＝0．
（1）若方程的一个根为x＝﹣1，求a的值；
（2）若方程有实数根，求满足条件的正整数a的值．
52．解下列关于x的方程．
（1）x（x+1）＝3x+3；
（2）5x2﹣3x＝x+1．
53．用适当的方法求解下列方程：
（1）；
（2）．
54．我们知道：如图①，点把线段分成两部分，如果．那么称点为线段的黄金分割点．它们的比值为．【来源：21·世纪·教育·网】
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）在图①中，若，则的长为_____；
（2）如图②，用边长为的正方形纸片进行如下操作：对折正方形得折痕，连接，将折叠到上，点对应点，得折痕．试说明是的黄金分割点；21·世纪
教育网
（3）如图③，小明进一步探究：在边长为的正方形的边上任取点，连接，作，交于点，延长、交于点．他发现当与满足某种关系时、恰好分别是、的黄金分割点．请猜想小明的发现，并说明理由．www-2-1-cnjy-com
55．阅读下列材料
计算：（1﹣﹣）×（+）﹣（1﹣﹣）（+），令+＝t，则：
原式＝（1﹣t）（t+）﹣（1﹣t﹣）t＝t+﹣t2﹣+t2＝
在上面的问题中，用一个字母代表式子中的某一部分，能达到简化计算的目的，这种思想方法叫做“换元法”，请用“换元法”解决下列问题：2-1-c-n-j-y
（1）计算：（1﹣﹣）×（+）﹣（1﹣﹣）×（+）
（2）因式分解：（a2﹣5a+3）（a2﹣5a+7）+4
（3）解方程：（x2+4x+1）（x2+4x+3）＝3
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精品试卷·第
2
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（共
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1.2
一元二次方程的解法
【提升训练】
一、单选题
1．在中，，，，点P是所在平面内一点，则取得最小值时，下列结论正确的是（
）
A．点P是三边垂直平分线的交点
B．点P是三条内角平分线的交点
C．点P是三条高的交点
D．点P是三条中线的交点
【答案】D
【分析】
以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立直角坐标系，则=，可得P(2，)时，最小，进而即可得到答案．
【详解】
以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立直角坐标系，如图，
则A(0，0)，B(6，0)，C(0，8)，
设P(x，y)，则=
==，
∴当x=2，y=时，即：P(2，)时，最小，
∵由待定系数法可知：AB边上中线所在直线表达式为：，
AC边上中线所在直线表达式为：，
又∵P(2，)满足AB边上中线所在直线表达式和AC边上中线所在直线表达式，
∴点P是三条中线的交点，
故选D．
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【点睛】
本题主要考查三角形中线的交点，两点间的距离公式，建立合适的坐标系，把几何问题化为代数问题，是解题的关键．21cnjy.com
2．关于x的一元二次方程的根的情况，下列说法正确的是（
）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．无实数根
D．无法确定
【答案】A
【分析】
先计算判别式，再根据一元二次方程根与判别式的关系即可得答案．
【详解】
△=[-（k-3）]2-4（-k+1）
=k2-6k+9+4k-4
=（k-1）2+4，
∵（k-1）2≥0，
∴（k-1）2+4≥4，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
【点睛】
本题考查的是根的判别式，对于一元二次方程a
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)x2+bx+c=0（a≠0），判别式△=b2-4ac，当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．
3．对于实数m，n，先定义一种新运算“?”如下：m?n＝，若x?（﹣2）＝10，则实数x等于（
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A．3
B．﹣4
C．8
D．3或8
【答案】A
【分析】
分和两种情况，分别可得一个关于的方程，解方程即可得．
【详解】
解：由题意，分以下两种情况：
（1）当时，
则，即，
解得或（舍去）；
（2）当时，
则，即，
解得（舍去）；
综上，
故选：A．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程、解一元一次方程，正确理解新运算的定义是解题关键．
4．定义“a
b”：对于任意实数a，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)b，都有a
b＝（a＋b）（a－b）－1，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，若x
k＝x（k为实数）是关于x的方程，则它的根的情况为（
）
A．有一个实数根
B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根
D．没有实数根
【答案】C
【分析】
根据新定义把方程化为：，再利用一元二次方程根的判别式可得答案．
【详解】
解：
x
k＝x（k为实数），
＞
原方程有两个不相等的实数根，
故选：
【点睛】
本题考查的是新定义运算，一元二次方程的根的判别式，弄懂新定义，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．
5．关于x的一元二次方程无实数根，则实数m的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
根据判别式的意义得到△=（-2）2-4m<0，然后解不等式即可．
【详解】
解：∵关于x的一元二次方程无实数根，
∴△=（-2）2-4m<0，
解得m>1．
故选：D．
【点睛】
本题考查了根的判别式：一元二次方程a
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)x2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．
6．关于x的一元二次方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1＝0有实数根，则a满足（ ）
A．a≥1
B．a＞1且a≠5
C．a≥1且a≠5
D．a≠5
【答案】C
【分析】
由方程有实数根可知根的判别式b2﹣4ac≥0，结合二次项的系数非零，可得出关于a的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论．21教育名师原创作品
【详解】
解：由已知得：
，
解得：a≥1且a≠5，
故选：C．
【点睛】
本题考查了根的判别式，解题的关键是得出关于a的一元一次不等式组，由根的判别式结合二次项系数非零得出不等式组是关键．
7．关于x的一元二次方程的实数根有（
）
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
【答案】C
【分析】
根据一元二次方程根的判别式判断即可．
【详解】
解：一元二次方程的根的判别式为：
b2-4ac=（-4）2-4×3×1=4>0，
所以，方程有两个不相等的实数根，
故选：C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式，求出根的判别式的值是解题关键．
8．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是（
）
A．－1或2
B．1
C．2
D．1或2
【答案】C
【分析】
关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，说明判别式=0，且要注意二次项系数不为0，解出m的值即可．
【详解】
关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，
则，
解得：（舍去），
∴m=2，
故选：C．
【点睛】
本题是对一元二次方程的考查，熟练掌握一元二次方程的解法及根的判别式是解决本题的关键．
9．如果一元二次方程x2
-
mx
+
2
=
0的解为两个不相等的负实数根，则m的取值范围是（
）
A．
B．
C．或
D．无解
【答案】B
【分析】
根据方程有两个不相等实数解，△＞0，得到m2
-
8
＞
0，解得m
>
或
m
<
，再根据公式法求出方程的解，根据方程有两个不相等的负实数根即可判断m的取值．【来源：21cnj
y.co
m】
【详解】
若方程有两个不相等实数解，则m2
-
8
＞
0，
通过数形结合可知m
>
或
m
<
，
方程两个解为，
若m
>
，则一定有一个正实数根，所以m
<
，
当m
<
时，
因为一定小于0，所以比较与0大小，
假设＜0，那么解得
-8
＜
0
，即m为一切实数，
故选：B．
【点睛】
此题考查一元二次方程根的判别式，一元二次方程的求根公式，实数的大小比较，解题的关键是熟知根的判别式与数形结合思想.【出处：21教育名师】
10．关于的方程有实数根，的取值范围是（
）
A．且
B．
C．且
D．
【答案】D
【分析】
分两种情况：k=0时，是一元一次
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)方程，有实数根；k不等于0时，是一元二次方程，若有实数根，则根的判别式△=b2-4ac≥0，建立关于k的不等式，求出k的取值范围．
【详解】
解：时，是一元一次方程，有实数根；
不等于0时，是一元二次方程，根据题意，△，
△，
解得，
故选：．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的定义
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)及根与判别式的关系：
（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0?方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0?方程没有实数根．
11．若关于x的一元二次方程kx2－3x＋1＝0有实数根，则k的取值范围为（
）
A．k≥
B．k≤且k≠0
C．k＜且k≠0
D．k≤
【答案】B
【分析】
根据二次项系数非零及根的判别式△≥0，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出k的取值范围．
【详解】
解：∵关于x的一元二次方程kx2-3x+1=0有实数根，
∴，
∴k≤且k≠0．
故选：B．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的定义以及根的判别式，利用二次项系数非零及根的判别式△≥0，找出关于k的一元一次不等式组是解题的关键．2-1-c-n-j-y
12．当时，关于的一元二次方程的根的情况为（
）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．无法确定
【答案】A
【分析】
首先将已知等式转换形式，然后代入判别式，判断其正负，即可得解．
【详解】
解：，
，
，
，
方程有两个不相等的实数根，
故选：．
【点睛】
此题主要考查根据参数的值判定一元二次方程根的情况，熟练掌握，即可解题．
13．如果关于x的一元二次方程ax2+x﹣1＝0有实数根，则a的取值范围是（ ）
A．a＞﹣
B．a≥﹣
C．a≥﹣且a≠0
D．a＞且a≠0
【答案】C
【分析】
在判断一元二次不等式组的情况的问题中，必须满足下列条件：（1）二次项系数不为零；（2）在有实数根的情况下必须满足△＝b2?4ac≥0．
【详解】
依题意列方程组
，
解得a≥?且a≠0．
故选：C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．
14．如果关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣k＝0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（ ）
A．k＜﹣4
B．k＜4
且k≠0
C．k＞﹣4
D．k＞﹣4且k≠0
【答案】C
【分析】
根据根的判别式解答.
【详解】
根据题意得△＝（﹣4）2﹣4（﹣k）＞0，
解得k＞﹣4．
故选：C.
【点睛】
此题考查一元二次方程根与系数的关系：>0时方程有两个不相等的实数根，=0时方程有两个相等的实数根，<0时方程没有实数根.
15．若关于x
的一元二次方程ax2＋2x－＝0（a＜0）有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（
）
A．a＜－2
B．a＞－2
C．－2＜a＜0
D．－2≤a＜0
【答案】C
【分析】
由关于x的一元二次方程ax2＋2x－＝0（a＜0）有两个不相等的实数根可得，解不等式即可求出a的取值范围．
【详解】
∵关于x的一元二次方程ax2＋2x－＝0（a＜0）有两个不相等的实数根，
∴，
解得：a>?2，
∵a<0，
∴?2
故选C．
【点睛】
本题考查一元二次方程根的判别式，掌握根的判别式的应用为解题关键．
16．《代数学》中记载，形如的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为的矩形，得到大正方形的面积为，则该方程的正数解为．”小聪按此方法解关于的方程时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为50，则该方程的正数解为（
）．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．6
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
仿照题目中的做法可得空白部分小正方形的边长为，先计算出大正方形的面积=阴影部分的面积+4个小正方形的面积，从而可得大正方形的边长，再用其减去两个空白正方形的边长即可．
【详解】
解：如图2，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为的矩形，得到大正方形的面积为，
∴该方程的正数解为．
故选：D．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的几何解法，读懂题意并数形结合是解题的关键．
17．关于x的方程x2﹣kx﹣2＝0的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根
B．没有实数根
C．有两个不相等的实数根
D．无法确定
【答案】C
【分析】
根据一元二次方程根的判别式可得△＝（﹣k）2﹣4×1×（﹣2）＝k2+8＞0，即可得到答案．
【详解】
解：△＝（﹣k）2﹣4×1×（﹣2）＝k2+8．
∵k2≥0，
∴k2+8＞0，即△＞0，
∴该方程有两个不相等的实数根．
故选：C．
【点睛】
本题考查一元二次方程根的判别式，
，当时方程有两个不相等的实数根，当时方程有两个相等的实数根，当时方程没有实数根．
18．若关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是（
）
A．
B．
C．且
D．且
【答案】D
【分析】
根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后求写出两不等式的公共部分即可．
【详解】
根据题意得且，
解得且．
故选：D．
【点睛】
本题考查了根的判别式：一元二次方程()的根与有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．
19．方程的根是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
观察原方程，可用公式法求解.
【详解】
解：∵，，，
∴，
∴；
故选：D.
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解法，正确理解运用一元二次方程的求根公式是解题的关键.
20．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．且
D．且
【答案】C
【分析】
根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到a≠1且，然后解不等式组即可．
【详解】
得：
又
且．
故选C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式，熟记根的判别式符号与解的对应关系是解题关键．
21．若关于的一元二次方程有实数根，则字母的取值范围是（
）
A．且
B．
C．
D．且
【答案】D
【分析】
根据一元二次方程根的判别式，b2-4ac≥0，且二次项系数不为0，即可求出k的范围．
【详解】
∵方程有实数根
∴b2-4ac=
解得：
又∵原方程是一元二次方程
∴
∴的取值范围是且
故选D．
【点睛】
本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程有两个实数根”是解题的关键，且切记不要漏掉二次项系数不为0．2·1·c·n·j·y
22．已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则下列说法正确的是（
）
A．1一定不是方程的根
B．0一定不是方程的根
C．可能是方程的根
D．1和都是方程
的根
【答案】C
【分析】
根据方程有两个相等的实数根可得出n=m+1或n=-(m+1)，当n=m+1时，-1是方程的根，当n=-(m+1)时，1是方程的根，再结合m+1≠-(m+1)，即可得出1和-1都不是关于x的方程的根．www-2-1-cnjy-com
【详解】
解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
∴n=m+1或n=-(m+1)，
当n=m+1时，有m-n+1=0，此时-1是方程的根；
当n=-(m+1)时，有m+n+1=0，此时1是方程的根；
∵m+1≠0，
∴1和-1都不是关于x的方程的根．
故选：C
【点睛】
本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，掌握根的判别式是解题的关键．
23．把方程x2-6x-5=0左边配成一个完全平方式后，所得的方程是（
）
A．(x-6)2=41
B．(x-3)2=4
C．(x-3)2=14
D．(x-3)2=9
【答案】C
【分析】
先将常数项移到方程的右边，方程左右两边再同时加上一次项系数一半的平方，将方程左边整理成完全平方式即可．
【详解】
x2－6x－5=0，
x2－6x=5，
x2－6x+9=5+9，
(x－3)2=14．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查配方法解一元二次方程的，熟记配方的步骤是解题关键．
24．用配方法解一元二次方程，可变形为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方求得答案即可．
【详解】
x2-4x=9
x2-4x+=9+
x2-4x+4=13
(x-2)2=13
故选：B．
【点睛】
此题考查了配方法解一元二次方程，解题时
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
25．解一元二次方程x2＋4x－1＝0，配方正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
方程移项后，两边加上2变形即可得到结果．
【详解】
解：方程移项得：x2+4x=1，
配方得：
x2+4x+4=5，
∴（x+2）2=5，
故选：C．
【点评】
本题考查解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解题关键．．
26．已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
判断一元二次方程根的情况通过判别式判断即可,有实数根即判别式大于等于0．
【详解】
解：∵关于的一元二次方程有实数根
∴
解得：．
故选：B．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程的性质，运用判别式判断方程根的情况是解题的关键．
27．将关于的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如…，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：，且，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
先求得，代入即可得出答案．
【详解】
∵，
∴，，
∴
=
=
=
=
=，
∵，且，
∴，
∴原式=，
故选：C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是会将四次先降为二次，再将二次降为一次．
28．如图，反比例函数的图象经过点，过A作轴于点B，连，直线，交x轴于点C，交y轴于点D，若点B关于直线的对称点恰好落在该反比例函数图像上，则D点纵坐标为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
设点B关于直线的对称点，易得求出a的值，再根据勾股定理得到两点间的距离，即可求解．
【详解】
解：∵反比例函数的图象经过点，
∴，
∴直线OA的解析式为，
∵，
∴设直线CD的解析式为，
则，
设点B关于直线的对称点，
则①，
且，
即，解得，
代入①可得，
故选：A．
【点睛】
本题考查反比例函数的图象与性质，掌握反比例函数与一次函数的性质是解题的关键．
29．用配方法解一元二次方程，配方正确的是（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
按照配方法的步骤进行求解即可得答案.
【详解】
解：
移项得，
二次项系数化1的，
配方得
即
故选：A
【点睛】
本题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)般步骤为（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
30．对于实数a、b，定义运算“★”：a★b=，关于x的方程（2x+1）★（2x-3）=t恰好有两个不相等的实数根，则t的取值范围是（
）
A．t＜
B．t＞
C．t＜
D．t＞
【答案】D
【分析】
分两种情况：①当2x+1≤2x-3成立时；②当2x+1＞2x-3成立时；进行讨论即可求解．
【详解】
解：①当2x+1≤2x-3成立时，即1≤-3，矛盾；所以a≤b时不成立；
②当2x+1＞2x-3成立时，即1＞-3，所以a＞b时成立；
则（2x-3）2-（2x+1）=t，
化简得：4x2-14x+8-t=0，
该一元二次方程有两个不相等的实数根，
△=142-4×4×（8-t）＞0；
解得：t＞．
故选：D．
【点睛】
本题考查了根的判别式：一元二次方程a
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)x2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．同时考查了新定义的运算．
二、填空题
31．已知双曲线与直线y=2x交于点A，B，与另一直线y=kx交于点C，D，其中点A，点C在第一象限．当以A，B，C，D为顶点的四边形的面积为6时，点C的横坐标为____________．
【答案】或2
【分析】
分两种情况讨论，当在的右边时，过作轴交于
由的解析式为
设
则
再利用平行四边形的性质可得：再列方程，解方程可得答案，如图，当在的左边时，过作轴交于
同理可得答案．
【详解】
解：由题意得：
或
经检验：它们都是原方程组的解，且符合题意，
如图，当在的右边时，过作轴交于
由的解析式为：
设
则
四边形为平行四边形，
在上，
（舍去）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
此时的横坐标为
如图，当在的左边时，过作轴交于
由的解析式为：
设
则
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
同理：
同理：
或（舍去）
综上：的横坐标为：或
【点睛】
本题考查的是平行四边形的性质，反比例函数的性质，图形与坐标，一元二次方程的解法，熟练应用基础知识解决图形面积问题是解题的关键．
32．如图，反比例函数的图象经过第二象限内的点，若，则__________
．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】-6．
【分析】
根据点在反比例函数的图象上得出，设，由，利用勾股定理，解方程即可．
【详解】
解：点在反比例函数的图象上，
∴，
∴，
设，，
又∵，
∴，
解得：，
∵点在第二象限内，
∴，
∴．
故答案为：-6．
【点睛】
本题考查待定系数法求反比例函数解析式，利用反比例函数确定关系，利用勾股定理建立方程是解题关键．
33．数学活动课上，小云和小王在讨论张老师出示的一道代数式求值问题：
已知实数同时满足，求代数式的值．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
结合他们的对话，请解答下列问题：
（1）当时，a的值是__________．
（2）当时，代数式的值是__________．
【答案】或1
7
【分析】
（1）将代入解方程求出，的值，再代入进行验证即可；
（2）当时，求出，再把通分变形，最后进行整体代入求值即可．
【详解】
解：已知，实数，同时满足①，②，
①-②得，
∴
∴或
①+②得，
（1）当时，将代入得，
解得，，
∴，
把代入得，3=3，成立；
把代入得，0=0，成立；
∴当时，a的值是1或-2
故答案为：1或-2；
（2）当时，则，即
∵
∴
∴
∴
∴
故答案为：7．
【点睛】
此题主要考查了用因式分解法解一元二次方程，完全平方公式以及求代数式的值和分式的运算等知识，熟练掌握运算法则和乘法公式是解答此题的关键．
34．将关于的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：，且．则的值为________．
【答案】
【分析】
先利用得到，再利用的一次式表示出和，则化为，然后解方程得，从而得到的值．
【详解】
解：，
，
，
，
解方程得，，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了高次方程：通过适当
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)的方法，把高次方程化为次数较低的方程求解．所以解高次方程一般要降次，即把它转化成二次方程或一次方程．也有的通过因式分解来解．通过把一元二次方程变形为用一次式表示二次式，从而达到“降次”的目的，这是解决本题的关键．【版权所有：21教育】
35．已知一元二次方程x2-10x+21=0的两个根恰好分别是等腰三角形ABC的底边长和腰长，则△ABC的周长为_________．
【答案】17
【分析】
先求出方程的解，然后分两种情况进行分析，结合构成三角形的条件，即可得到答案．
【详解】
解：∵一元二次方程x2-10x+21=0有两个根，
∴，
∴，
∴或，
当3为腰长时，3+3<7，不能构成三角形；
当7为腰长时，则
周长为：7+7+3=17；
故答案为：17．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程，等腰三角形的定义，构成三角形的条件，解题的关键是掌握所学的知识，注意运用分类讨论的思想进行解题．
三、解答题
36．解下列方程．
（1）；
（2）．
【答案】（1），；（2）原方程无解．
【分析】
（1）方程利用配方法求出解即可；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，然后检验即可．
【详解】
（1）解：
，．
（2）解：方程两边乘，得，解得．
检验：当时，，因此不是原方程的解．
所以，原方程无解．
【点睛】
此题考查了解分式方程，以及解一元二次方程，解分式方程利用了转化的思想，注意要检验．
37．（1）解方程：
（2）解不等式组：，
【答案】（1），；（2）
【分析】
（1）可利用因式分解法解一元二次方程即可；
（2）先求解每个一元一次不等式的解集，再找出公共部分即为该不等式组的解集．
【详解】
（1）解：，
∴，；
（2）解：由①得，
由②得，
∴该不等式组的解集为．
【点睛】
本题考查解一元二次方程、解一元二次方程组，熟练掌握它们的解法是解答的关键．
38．先化简，再求值：
，其中x满足．
【答案】x（x+1）；6
【分析】
先求出方程的解，然后化简分式，最后选择合适的x代入计算即可．
【详解】
解：∵
∴x=2或x=-1
∴
=
=
=
=x（x+1）
∵x=-1分式无意义，∴x=2
当x=2时，x（x+1）=2×（2+1）=6．
【点睛】
本题主要考查了分式的化简求值、分式有意义的条件以及解一元二次方程等知识点，化简分式是解答本题的关键，确定x的值是解答本题的易错点．21世纪教育网版权所有
39．用适当的方法解下列一元二次方程：
（1）
（2）．
【答案】（1）x1＝1+，x2＝1﹣；（2）x1＝﹣3，x2＝﹣1
【分析】
（1）使用配方法解一元二次方程；
（2）使用因式分解法解一元二次方程
【详解】
解：
∴x1＝1+，x2＝1﹣；
（2）
∴x1＝﹣3，x2＝﹣1
【点睛】
本题考查解一元二次方程，掌握解方程的步骤正确计算是解题关键．
40．解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1），；（2），
【分析】
（1）利用配方法解一元二次方程；
（2）利用因式分解法解一元二次方程．
【详解】
解：（1）
∴，
（2）
∴，
【点睛】
本题考查解一元二次方程，掌握解一元二次方程的步骤的计算法则正确计算是解题关键．
41．解方程：．
【答案】，
【分析】
首先设，然后将方程转化为y的一元二次方程，从而求出y的值，然后根据y的值求出x的值．
【详解】
解：设，则原方程化为，
解得，
当时，得
，
当时，得
，
经检验，，是原方程的解．
所以，原方程的解为：，
【点睛】
本题主要考查的是分式方程的解法以及换元思想的应用，属于中等难度的题型．学会换元思想是解题的关键．
42．解方程：
（1）﹣4x﹣3＝0；
（2）2x（x﹣1）＝x﹣1
【答案】（1）＝2＋，＝2﹣；（2）＝1，＝0.5．
【分析】
（1）利用配方法求解即可；（2）利用因式分解法求解即可．
【详解】
解：（1）∵﹣4x＝3，
∴﹣4x＋4＝3＋4，
即＝7，
则x﹣2＝，
∴＝2＋，＝2﹣；
（2）∵2x（x﹣1）﹣（x﹣1）＝0，
∴（x﹣1）（2x﹣1）＝0，
则x﹣1＝0或2x﹣1＝0，
解得＝1，＝0.5．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的配方法，因式分解法求解，根据方程的特点，灵活选择解题方法是解题的关键．
43．＋－2－1＝0
【答案】＝，＝．
【分析】
利用公式变形，＋=，变形后，采用换元法求解即可．
【详解】
∵＋－2－1＝0，
∴－2－1＝0，
∴设x＋＝y，
则原方程变形为－2y－3＝0.
∴＝3，＝－1.
当y＝3时，x＋＝3，
整理，得－3x+1=0，
解得＝，＝．
当y＝－1时，x＋＝－1，
整理，得+x+1=0，
△=，
∴方程无实数解．
经检验，＝，＝都是原方程的根，
∴原方程的根为＝，＝．
【点睛】
本题考查了换元法解分式方程，完全平方公式的变式，熟练进行公式变形，灵活选择换元法求解是解题的关键．
44．解下列方程：
（1）2（x﹣2）2＝x2﹣4．
（2）2x2﹣4x﹣1＝0．
【答案】（1）x1＝2，x2＝6
（2）x1＝1+，x2＝1﹣
【分析】
（1）先移项得到2（x﹣2）2﹣（x﹣2）（x+2）＝0，然后利用因式分解法解方程；
（2）利用配方法解方程即可．
【详解】
解：（1）原式移项得：2（x﹣2）2﹣（x﹣2）（x+2）＝0，
因式分解得：（x﹣2）（2x﹣4﹣x﹣2）＝0，
所以x﹣2＝0或2x﹣4﹣x﹣2＝0；
所以x1＝2，x2＝6；
（2）x2﹣2x＝
，
x2﹣2x+1＝+1，即（x﹣1）2＝，
∴x﹣1＝±，
所以x1＝1+，x2＝1﹣．
【点睛】
此题考查了一元二次方程的解法中的因式分解法和配方法．此题比较简单，解题的关键是注意选择适当的解题方法，注意因式分解法与配方法的解题步骤．21·cn·jy·com
45．解方程：
【答案】，．
【分析】
先设：得到解出
的值，再求解的值并把结果进行检验即可得到答案．
【详解】
设：，
原方程化为：，
运用十字相乘法得到：，
解得:，
当时，解得，
当时，解得，
经检验，和代入原方程的分母均不为0，
故原方程的解为：或．
【点睛】
本题主要考查了用换元法求解一元二次方程，掌握换元法求解一元二次方程的步骤是解题的关键．
46．（1）解方程：
（2）已知点与点关于原点对称，求，的值．
【答案】（1），；（2）
【分析】
（1）利用十字相乘法进行进行因式分解，继而求解；
（2）直接利用关于原点对称点的性质得出方程组进而得出答案；
【详解】
（1）解：，
，
解得：，；
（2）∵点P(2x+y，1)与点Q(-7，x-y)关于原点对称，
∴，
解得，
【点睛】
本题考查了解一元二次方程和解一元二次方程组，正确掌握运算方法是解题的关键；
47．解方程：
（1）；
（2）
【答案】（1），；（2），
【分析】
（1）运用因式分解法分解成两个一元一次方程，求出方程的解即可；
（2）移项后运用因式分解法分解成两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【详解】
解：（1），
，
，，
∴，．
（2）
，
，
或，
所以，．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键．
48．用适当的方法解下列方程．
（1）
（2）
【答案】（1），；（2），．
【分析】
（1）利用因式分解法即可解方程；
（2）方程左边提取公因式x?3，进一步整理后可得两个关于x的一元一次方程，解之可得．
【详解】
（1）解：
或
，；
（2）解：
．
或
，．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握解一元二次方程的方法：直接开平方法、配方法、公式法以及因式分解法是解题的关键．
49．已知关于x的一元二次方程（m﹣3）x2﹣6x+m2﹣9＝0的常数项为0，求m的值及此方程的解．
【答案】m＝－3；x1＝0，x2＝?1．
【分析】
直接利用常数项为0，进而得出关于m的等式，计算后可求出m的值，利用所求m的值则求出方程的解．
【详解】
解：由题意，得m2?9＝0，且m?3≠0，
解得m＝－3．
当m＝－3时，代入（m﹣3）x2﹣6x+m2﹣9＝0，
得－6x2－6x＝0，
－6x（x＋1）＝0
解得x1＝0，x2＝?1．
【点睛】
此题主要考查了一元二次方程的一般形式以及一元二次方程的解法，掌握一元二次方程的定义及解法是解题的关键．21·世纪
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50．解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；（2）是原方程的解．
【分析】
（1）利用因式分解法解一元二次方程即可；
（2）利用方程两边都乘以x(x+1)把分式方程转化为整式方程，解方程，检验即可．
【详解】
解：（1），
因式分解，
化为，
∴；
（2），
方程两边都乘以x(x+1)得，
去括号得：，
移项合并得：，
检验当时，，
所以是原方程的解．
【点睛】
本题考查一元二次方程的解法与可化为一元一次方程的分式方程的解法，掌握一元二次方程的解法与可化为一元一次方程的分式方程的解法是解题关键．
51．已知一元二次方程（a﹣3）x2﹣4x+3＝0．
（1）若方程的一个根为x＝﹣1，求a的值；
（2）若方程有实数根，求满足条件的正整数a的值．
【答案】（1）a=-4．（2）a=1或2或4．
【分析】
（1）把x=-1代入方程求出a即可．
（2）利用判别式根据不等式即可解决问题．
【详解】
解：（1）∵方程的一个根为x=-1，
∴a-3+4+3=0，
∴a=-4．
（2）∵方程有实数根，
∴△≥0且a≠3，
∴16-12（a-3）≥0，
解得a≤，a≠3，
∵a是正整数，
∴a=1或2或4．
【点睛】
本题属于根的判别式，一元二次方程的解等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
52．解下列关于x的方程．
（1）x（x+1）＝3x+3；
（2）5x2﹣3x＝x+1．
【答案】（1）x1＝﹣1，x2＝3；（2）x1＝1，x2＝﹣0.2
【分析】
（1）利用因式分解法求解即可；
（2）先整理成一般式，再利用因式分解法求解即可．
【详解】
解：（1）∵x（x+1）＝3x+3，
∴x（x+1）﹣3（x+1）＝0，
则（x+1）（x﹣3）＝0，
∴x+1＝0或x﹣3＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝3；
（2）5x2﹣3x＝x+1
整理，得：5x2﹣4x﹣1＝0，
∴（x﹣1）（5x+1）＝0，
则x﹣1＝0或5x+1＝0，
解得x1＝1，x2＝﹣0.2．
【点睛】
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．21教育网
53．用适当的方法求解下列方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1），；（2），
【分析】
（1）用公式法解方程即可；
（2）用因式分解法解方程即可．
【详解】
解：（1）这里，，
∵，
∴，
即，
（2）∵，
∴，
则，
∴或，
解得，．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解法，解题关键是根据方程的特点选择恰当的解法解方程．
54．我们知道：如图①，点把线段分成两部分，如果．那么称点为线段的黄金分割点．它们的比值为．【来源：21·世纪·教育·网】
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）在图①中，若，则的长为_____；
（2）如图②，用边长为的正方形纸片进行如下操作：对折正方形得折痕，连接，将折叠到上，点对应点，得折痕．试说明是的黄金分割点；21
cnjy
com
（3）如图③，小明进一步探究：在边长为的正方形的边上任取点，连接，作，交于点，延长、交于点．他发现当与满足某种关系时、恰好分别是、的黄金分割点．请猜想小明的发现，并说明理由．
【答案】（1）；（2）见解析；（3）当PB=BC时，、恰好分别是、的黄金分割点，理由见解析
【分析】
（1）由黄金比值直接计算即可；
（2）如图，连接GE，设BG=x，则A
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)G=20-x，易证得四边形EFCD是矩形，可求得CE，由折叠知GH=BG=x，CH=BC=20，进而EH=CE-CH，在Rt△GAE和Rt△GHE中由勾股定理得关于x的方程，解之即可证得结论；
（3）当PB=BC时，证
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)得Rt△PBF≌Rt△CBF≌Rt△BAE,则有BF=AE，设BF=x，则AF=a-x，由AE∥PB得AE:PB=AF:BF，解得x，即可证得结论．
【详解】
（1）AB=×20=（）(cm)，
故答案为：；
（2）如图，连接GE，设BG=x，则GA=20-x，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠B=∠D=90?，
由折叠性质得：CH=BC=20，GE=BG=x，∠GHC=∠B=90?，AE=ED=10，
在Rt△CDE中，CE=，
∴EH=，
在Rt△GHE中，
在Rt△GAE中，,
∴，
解得：x=，
即，
∴是的黄金分割点；
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（3）当PB=BC时，、恰好分别是、的黄金分割点．
理由：∵，
∴∠BCF+∠CBE=90?，又∠CBE+∠ABE=90?，
∴∠ABE=∠BCF，
∵∠A=∠ABC=90?，AB=BC，
∴△BAE≌△CBF（ASA），
∴AE=BF，
设AE=BF=x，则AF=a-x，
∵AD∥BC即AE∥PB，
∴即，
∴，
解得：或(舍去)，
即BF=AE=，
∴，
∴、分别是、的黄金分割点．
【点睛】
本题考查了正方形的性质、折叠性质、勾
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)股定理、全等三角形的判定与性质、平行线分线段成比例、解一元二次方程等知识，解答的关键是认真审题，找出相关信息的关联点，确定解题思路，进而推理、探究、发现和计算．
55．阅读下列材料
计算：（1﹣﹣）×（+）﹣（1﹣﹣）（+），令+＝t，则：
原式＝（1﹣t）（t+）﹣（1﹣t﹣）t＝t+﹣t2﹣+t2＝
在上面的问题中，用一个字母代表式子中的某一部分，能达到简化计算的目的，这种思想方法叫做“换元法”，请用“换元法”解决下列问题：
（1）计算：（1﹣﹣）×（+）﹣（1﹣﹣）×（+）
（2）因式分解：（a2﹣5a+3）（a2﹣5a+7）+4
（3）解方程：（x2+4x+1）（x2+4x+3）＝3
【答案】（1）；（2）（a2﹣5a+5）2；（3）x1＝0，x2＝﹣4，x3＝x4＝﹣2
【分析】
（1）仿照材料内容，令+＝t代入原式计算．
（2）观察式子找相同部分进行换元，令a2﹣5a＝t代入原式进行因式分解，最后要记得把t换为a．
（3）观察式子找相同部分进行换元，令x2+4x＝t代入原方程，即得到关于t的一元二次方程，得到t的两个解后要代回去求出4个x的解．21
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【详解】
（1）令+＝t，则：
原式＝（1﹣t）（t+）﹣（1﹣t﹣）t＝t+﹣t2﹣﹣t+t2+＝
（2）令a2﹣5a＝t，则：
原式＝（t+3）（t+7）+4＝t2+7t+3t+21+4＝t2+10t+25＝（t+5）2＝（a2﹣5a+5）2
（3）令x2+4x＝t，则原方程转化为：
（t+1）（t+3）＝3
t2+4t+3＝3
t（t+4）＝0
∴t1＝0，t2＝﹣4
当x2+4x＝0时，
x（x+4）＝0
解得：x1＝0，x2＝﹣4
当x2+4x＝﹣4时，
x2+4x+4＝0
（x+2）2＝0
解得：x3＝x4＝﹣2
【点睛】
本题考查用换元法进行整式的运算，因式分解，解一元二次方程．利用换元法一般可达到降次效果，从而简便运算．
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精品试卷·第
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