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1.3
一元二次方程的根与系数的关系
【基础训练】
一、单选题
1．已知关于方程有一个根为1，则方程的另一个根为（
）
A．2
B．
C．4
D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据一元二次方程根与系数的关系，利用两根和即可求出另一根．
【详解】
解：设一元二次方程的另一根为x1，
则根据一元二次方程根与系数的关系得：1＋x1＝3，
解得：x1＝2．
故选：A．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根与系数的
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)关系，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根为x1，x2，则x1＋x2＝，x1?x2＝.
2．下列一元二次方程中，两实数根的和为3的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系可知：若方程的两根为x1，x2，则x1+x2=，据此选择两根的和为3的一元二次方程.
【详解】
解：A、x1+x2=-()=3，此选项正确,
B、x1+x2=-（-4）=4，此选项错误；
C、x1+x2=-3，此选项错误；
D、x1+x2==-3，此选项错误．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了根与系数的关系的知识，解答本题的关键是掌握一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1+x2=，x1?x2=.【来源：21cnj
y.co
m】
3．若方程的两个实数根为α,β，则α+β的值为（ ）
A．12
B．10
C．4
D．-4
【答案】A
【分析】
根据根与系数的关系可得，，再利用完全平方公式变形，代入即可求解.
【详解】
解：方程的两个实数根为，
，，
；
故选A．
【点睛】
本题考查一元二次方程根与系数的关系；熟练掌握韦达定理，灵活运用完全平方公式是解题的关键．
4．一元二次方程的两根分别为和，则为（
）
A．
B．
C．2
D．
【答案】C
【分析】
根据“一元二次方程的两根分别为和”，结合根与系数的关系，即可得到答案．
【详解】
解：根据题意得：
，
故选C．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系，正确掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
5．已知x1，x2是关于x的
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)方程x2-（2m-2）x+（m2-2m）=0的两根，且满足x1?x2+2（x1+x2）=-1，那么m的值为（ ）
A．或3
B．或1
C．
D．1
【答案】B
【分析】
根据一元二次方程根与系数的关系，可以将x1?x2+2（x1+x2）=-1中的替换为m,建立关于m的方程，求解该一元二次方程即可.
【详解】
根据题意得x1+x2=2m-2，x1x2=m2-2m，
∵x1?x2+2（x1+x2）=-1，
∴m2-2m+2（2m-2）=-1，
∴m=-3，m=1．
故选B．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握该公式是解答本题的关键.
6．已知方程x2﹣3x+k＝0的一个根是﹣2，则它的另一个根是（ ）
A．﹣3
B．﹣1
C．2
D．5
【答案】D
【解析】
【分析】
首先根据根与系数的关系可以得到两根之和，然后利用两根之和，可以求出另一个根．
【详解】
解：设x1，x2是方程x2﹣3x﹣k＝0的两根，
由题意知x1+x2＝﹣2+x2＝3，
解得x2＝5．
故选：D．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根时，x1＋x2＝，x1?x2＝．【出处：21教育名师】
7．已知关于x的一元二次方程2x2+mx﹣3＝0的一个根是﹣1，则另一个根是（ ）
A．1
B．﹣1
C．
D．
【答案】C
【分析】
由于该方程的一次项系数是未知数，所以求方程的另一解可以根据根与系数的关系进行计算．
【详解】
设方程的另一根为x1，
根据根与系数的关系可得：﹣1?x1＝﹣，
解得x1＝．
故选C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两根为x1，x2，则x1＋x2＝，，x1?x2＝．
8．已知x1，x2是关于x的方程x2﹣mx﹣3＝0的两个根，下面结论一定正确的是（ ）
A．x1+x2＞0
B．x1≠x2
C．x1?x2＞0
D．x1＜0，x2＜0
【答案】B
【解析】
【分析】
根据方程的系数结合根的判别式，可得出△＝m2+4＞0，进而可得出x1≠x2，此题得解．
【详解】
解：∵△＝（﹣m）2﹣4×1×（﹣3）＝m2+4＞0，
∴方程x2﹣mx﹣3＝0有两个不相等的实数根，
∴x1≠x2．
故选B．
【点睛】
本题考查了根的判别式，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
9．已知关于x的方程x2﹣2x+3k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＜
B．k＜﹣
C．k＜3
D．k＞﹣3
【答案】A
【分析】
根据方程的系数结合根的判别式△＞0，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围．
【详解】
解：∵关于x的方程x2﹣2x+3k＝0有两个不相等的实数根，
∴△＝（﹣2）2﹣4×1×3k＞0，
解得：k＜．
故选A．
【点睛】
本题考查了根的判别式，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
10．下列一元二次方程中，两根之和为的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由方程的判别式及根与系数的关系判定即可.
【详解】
解：由根与系数的关系可得与的两根之和为.
中，，无实根，
的两根之和为.
故选：D.
【点睛】
本题考查根与系数的关系，解题的关键是利用判定方程是否有实根.
11．已知实数x1、x2满足x1+x2=4，x1x2=–3，则以x1、x2为根的一元二次方程是（
）
A．x2–4x–3=0
B．x2+4x–3=0
C．x2–4x+3=0
D．x2+4x+3=0
【答案】A
【分析】
直接利用根与系数的关系求解．
【详解】
∵x1+x2=4，x1x2=–3，∴以x1，x2为根的一元二次方程可为x2–4x–3=0．
故选A．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=-，x1x2=．
12．已知x1，x2是方程x2+5x﹣2＝0的两个根，则x1+x2的值为（ ）
A．5
B．﹣5
C．2
D．﹣2
【答案】B
【解析】
【分析】
根据根与系数的关系即可得到结论．
【详解】
∵x1，x2是方程x2+5x﹣2=0的两个根，∴x1+x25．
故选B．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2．
13．已知一元二次x2+x﹣2＝0的一个根是﹣2，则该方程的另一个根是（ ）
A．1
B．﹣1
C．2
D．﹣2
【答案】A
【分析】
设方程的另一个根为x2，根据两根之和得出关于x2的方程，解之可得答案．
【详解】
解：设方程的另一个根为x2，
则x2+（﹣2）＝﹣1，
解得：x2＝1，
故选A．
【点睛】
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两根为x1，x2，则x1+x2＝﹣，x1?x2＝．21·世纪
教育网
14．如果一元二次方程x2+12x+27=0的两个根是x1
，
x2
，
那么x1+x2的值为（ ）
A．－6????????????????????????????????B．－12???????????????????????????????????????C．12???????????????????????????????????????
D．27
【答案】B
【分析】
根据一元二次方程中两根之和等于-直接进行解答即可．
【详解】
解：∵x1、x2是一元二次方程x2+12x+27=0的两个实根，
∴x1+x2=-12．
故选B．
【点睛】
本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，即x1+x2=-，x1?x2．
15．已知，为一元二次方程的两根，那么的值为（
）
A．9
B．10
C．11
D．12
【答案】C
【分析】
利用一元二次方程解的定义和韦达定理可得，，将整理成，代入即可求解．
【详解】
解：∵，为一元二次方程的两根，
∴，，
∵，
故选：C．
【点睛】
本题考查一元二次方程的解、韦达定理，掌握一元二次方程的解的定义和韦达定理是解题的关键．
16．已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于（
）
A．2019
B．2020
C．2021
D．2022
【答案】B
【分析】
根据一元二次方程根的定义得到，则，再利用根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】
解：∵m是一元二次方程的实数根，
∴，
∴，
∴，
∵m、n是一元二次方程的两个实数根，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程的两根时，，．也考查了一元二次方程的解．
17．若和为一元二次方程的两个根，则的值为（
）
A．2
B．3
C．4
D．
【答案】A
【分析】
根据一元二次方程根与系数的关系得出，化简代入求值即可．
【详解】
和为一元二次方程的两个根
．
故选A．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，因式分解，代数式求值，利用一元二次方程根与系数的关系求出是解题的关键．【版权所有：21教育】
18．已知关于的一元二次方程：有两个不相等的实数根，，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
根据题意及一元二次方程根的判别式可得，然后再根据一元二次方程根与系数的关系可进行求解．
【详解】
解：∵关于的一元二次方程：有两个不相等的实数根，，
∴，解得：，
∴由韦达定理可得：，
∴只有D选项正确；
故选D．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键．
19．关于x的一元二次方程的两实数根，满足，则的值是（
）
A．8
B．16
C．
32
D．16或40
【答案】C
【分析】
根据一元二次方程根与系数的关系，即韦达定理，先解得或，再分别代入一元二次方程中，利用完全平方公式变形解题即可．
【详解】
解：一元二次方程
或
当时，
原一元二次方程为
，
，
当时，原一元二次方程为
原方程无解，不符合题意，舍去，
故选：C．
【点睛】
本题考查一元二次方程根与系数的关系，韦达定理等知识，涉及解一元二次方程，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
20．下列叙述正确的是（ ）
A．的算术平方根是2
B．函数y＝的自变量x的取值范围是x＞－1
C．一元二次方程x2－2x＝4无实数根
D．若点P（m，－1）与点Q（5，n）关于坐标原点对称，则m＝－5，n＝1
【答案】D
【分析】
A.根据算术平方根定义解题；
B.根据二次根式有意义的条件解题；
C.根据一元二次方程根的判别式解题；
D.关于原点对称的点坐标的特征是横坐标、纵坐标都变为原数的相反数．
【详解】
解：A.
，的算术平方根是，故A错误；
B.
函数y＝的自变量x的取值范围是，故B错误；
C.
一元二次方程x2－2x＝4中，
方程有两个不相等的实数根，故C错误；
D.
点P（m，－1）与点Q（5，n）关于坐标原点对称，
则m＝－5，n＝1，故D正确，
故选：D．
【点睛】
本题考查实数的运算、二次根式的定义、一元二次方程根的判别式、关于原点对称的点的特征等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
21．若x1，x2是一元二次方程的两根，则的值是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
直接根据一元二次方程根与系数的关系即可求解．
【详解】
∵是一元二次方程的两根，
∴，
故选：C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，关键掌握是方程()的两根时，．
22．在下列方程中，以3，﹣4为根的一元二次方程是（ ）
A．x2﹣x﹣12＝0
B．x2+x﹣12＝0
C．x2﹣x+12＝0
D．x2+x+12＝0
【答案】B
【分析】
根据一元二次方程的根与系数的关系可得：以3，﹣4为根的一元二次方程是，再整理成一般形式即得答案．
【详解】
解：以3，﹣4为根的一元二次方程是，整理得：x2+x﹣12＝0．
故选：B．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，属于基本题目，正确掌握根与系数的关系是解题的关键．
23．方程x2－2x＝－3化成一般形式后，它的各项系数之和是( )
A．－5
B．0
C．4
D．2
【答案】D
【分析】
首先将方程化为一般式，然后确定各项的系数，记住一定带上它前面的符号，接下来按照有理数的加法运算法则进行计算即可解答.
【详解】
方程x2－2x=-3化成一般形式后为x2-2x+3=0，
则各项系数之和为1-2+3=2.
故选D.
【点睛】
此题考查一元二次方程，掌握一元二次方程的一般式是解题的关键.
24．已知a，b是一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两个实数根，则a2+b2+ab的值为（
）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】C
【分析】
根据一元二次方程根与系数的关系直接进行求解即可．
【详解】
解：∵a，b是一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两个实数根，
∴a+b＝2，ab＝﹣1，
∴a2+b2+ab
＝（a+b）2﹣ab
＝4+1
＝5．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．
25．已知一元二次方程有一个根为2，则另一根为（ ）
A．-4
B．-2
C．4
D．2
【答案】D
【详解】
试题解析:
设关于x的一元二次方程的另一个根为t，则
解得t=2.
故选D.
点睛：一元二次方程两根分别是
26．设、是方程x2＋x﹣2015＝0的两个实数根，则2＋2＋的值为（
）
A．2011
B．2012
C．2013
D．2014
【答案】D
【分析】
先根据一元二次方程的解的定义得到＋﹣2015＝0，即＋=2015，再根据根与系数关系得＋=﹣1，然后整体代入＋2＋=（＋）＋（+）求值即可．21教育名师原创作品
【详解】
∵、是方程x2＋x﹣2015＝0的两个实数根，
∴＋﹣2015＝0，即＋=2015，＋=﹣1，
∴＋2＋=（＋）＋（+）=2015﹣1=2014，
故选：D．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解定义及根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系，利用整体思想方法解决问题是解答的关键.
27．设m、n是一元二次方程x2+3x﹣7＝0的两个根，则m2+4m+n＝（ ）
A．﹣3
B．4
C．﹣4
D．5
【答案】B
【分析】
根据根与系数的关系即可求出答案．
【详解】
解：∵m+n＝﹣3，mn＝﹣7，m2+3m＝7，
∴原式＝m2+3m+m+n
＝7﹣3
＝4，
故选B．
【点睛】
本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系，属于基础题型．
28．若关于x的方程x2-3x+q=0的一个根x1的值是2，则另一根x2及q的值分别是（
）
A．x2
=1,q=2
B．x2
=
-1,q
=2
C．x2
=1,q
=
-2
D．x2
=
-1,q
=
-2
【答案】A
【分析】
根据一元二次方程根与系数的关系可知：x1+
x2=3，x1?x2=q，又因为x1的值是2，由此可以求出另一根x2及q的值．
【详解】
解：根据一元二次方程根与系数的关系可知：
x1+
x2=3，
x1?x2=q，
又∵x1的值是2，
∴x2=1，q=2．
故选A．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根与系数的关系．解此类题目要会代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可．
29．设a、b是一元二次方程x2+2x-7=0的两个根，则a2+3a+b的值为（
）
A．-1
B．2
C．5
D．8
【答案】C
【分析】
根据根与系数的关系可知a+b=
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)-2，又知a是方程的根，所以可得a2+2a-7=0，最后可将a2+3a+b变成a2+2a+a+b，最终可得答案．
【详解】
解：∵设a、b是一元二次方程x
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)2+2x-7=0的两个根，
∴a+b=-2，
∵a是原方程的根，
∴a2+2a-7=0，即a2+2a=7，
∴a2+3a+b=a2+2a+a+b=7-2=5，
故选C．
【点睛】
本题主要考查了根与系数的关系，解题的关键是把a2+3a+b转化为a2+2a+a+b的形式，结合根与系数的关系以及一元二次方程的解即可解答．
30．下列一元二次方程两实数根和为-4的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
根据根与系数的关系计算即可；
【详解】
A中，故错误；
B中，故错误；
C中，故错误；
D中，故准确；
故答案选D．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，准确计算是解题的关键．
二、填空题
31．设x1，x2是一元二次方程x2－3x－4＝0的两个根，则x1x2－x1－x2＝_________．
【答案】-7
【分析】
直接根据一元二次方程根与系数的关系求解即可．
【详解】
解：x1，x2是一元二次方程x2－3x－4＝0的两个根，
根据一元二次方程根与系数的关系可知：
，，
，
故答案为：-7．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟知，是解题的关键．
32．关于x的方程有两个实数根．且．则_______．
【答案】3
【分析】
先根据一元二次方程的根与系数的关系可得，再根据可得一个关于的方程，解方程即可得的值．
【详解】
解：由题意得：，
，
，
化成整式方程为，
解得或，
经检验，是所列分式方程的增根，是所列分式方程的根，
故答案为：3．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的根与系数的关系、解分式方程，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键．2-1-c-n-j-y
33．已知是一元二次方程的两个根，则__________．
【答案】
【分析】
运用一元二次方程根与系数的关系求解即可．
【详解】
解：
∵是一元二次方程的两个根，
根据根与系数的关系得：，，
∴，
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟知是解题关键．
34．若的两个根为、，则的值是______．
【答案】11．
【分析】
根据根与系数的关系求解．
【详解】
解：∵的两个根为、，
∴，
∵
故答案为：11．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的根与系数的关系：若方程两个根为，，则，．
35．已知是一元二次方程的两个实数根，则________．
【答案】2
【分析】
利用一元二次方程根与系数的关系式求值．
【详解】
解：．
故答案是：2．
【点睛】
本题考查一元二次方程根与系数的关系式，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系式．
三、解答题
36．已知关于的方程．
（1）试说明此方程总有两个不相等的实数根；
（2）若此方程的一个根是-1，求另一根．
【答案】（1）见解析；（2）7
【分析】
根据一元二次方程解的判别式进行判别方程根的情形，再根据两根根的关系式直接解出另一个根．
【详解】
（1），
∵，
∴，
∴方程总有两个不相等的实数根．
（2）设方程的另一根为，
根据一元二次方程根与系数的关系，得：，
解得：，
∴方程的另一个根为．
【点睛】
本题考查一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，理解并熟练运用根的判别式，以及根与系数的关系是解题关键．【来源：21·世纪·教育·网】
37．已知关于的一元二次方程．
（1）若方程有实数根，求的取值范围；
（2）若方程的两个实数根的倒数的平方和等于14，求的值．
【答案】（1）且；（2）
【分析】
(1)根据方程有实数根得出，且解之可得；
(2)利用根与系数的关系可用k表示出的值，根据条件可得到关于k的方程，可求得k的值，注意利用根的判别式进行取舍．
【详解】
解：
(1)由于是一元二次方程且有实数根，所以
，即，且
∴且
(2)设方程的两个根为，则
，
∴
整理，得
解得
根据(1)中且，得.
【点睛】
此题主要考查了根的判别式和根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
38．已知：关于的一元二次方程.
（1）求证：不论为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的一个根大于2，另一个根小于2，求的取值范围.
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】
（1）利用一元二次方程的根的判别式证明即可；
（2）设两个实数根为，，利用根与系数的关系列出等式求解即可．
【详解】
（1）
故不论取何实数，方程总有两个实数根；
（2）设两个实数根为，
则
又由题意得，即
代入得：
解得：
故m的取值范围为．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系等知识点，熟记一元二次方程的根与系数的关系是解题关键．
39．先化简，再求值：已知、是方程的两根，求的值．
【答案】；．
【分析】
先根据整式的加减化简所求的式子，再根据一元二次方程的根与系数的关系得出的值，然后将其代入即可得．
【详解】
由题意得
将代入得，原式．
【点睛】
本题考查了整式的加减：合并同类项、一元二次方程的根与系数的关系，熟记整式的加减法则和一元二次方程的根与系数的关系是解题关键．
40．已知关于的方程.
（1）求证：不论取何实数，该方程都有两个不相等的实数根；
（2）若该方程的一个根为，求该方程的另一个根.
【答案】（1）证明见解析；（2）另一根为-2.
【分析】
（1）写出根的判别式，配方后得到完全平方式，进行解答；
（2）将代入方程得到的值，再根据根与系数的关系求出另一根．
【详解】
（1）∵，，，
∴
∴不论取何实数，该方程都有两个不相等的实数根；
（2）将代入方程得，
，
解得：；
∴原方程为：，
设另一根为，则有，
解得：，
所以方程的另一个根为.
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，一元二次方程（a≠0）的根与有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．21教育网
41．已知关子x的一元二次方程x2﹣（2a+2）x+2a+1＝0．
（1）求证：不论a取何实数，该方程都有两个实数根：
（2）若该方程两个根x1，x2满足x12﹣x22＝0，求a的值
【答案】（1）证明见解析；（2）a＝0或a＝﹣1．
【分析】
（1）表示出根的判别式，配方后得到根的判别式大于等于0，进而确定出方程总有两个实数根；
（2）先求出方程的两根为x1＝2a＋1，x2＝1，再代入x12﹣x22＝0，得到关于a的方程，解方程即可求解．
【详解】
解：（1）证明：（1）△＝（2a+2）2﹣4×（2a+1）＝4a2，
∵a2≥0，
∴4a2＞0，
∴不论a取任何实数，该方程都有两个实数根；
（2）x2﹣（2a+2）x+2a+1＝0，
（x﹣2a﹣1）（x﹣1）＝0，
x1＝2a+1，x2＝1，
∵x12﹣x22＝0，
∴（2a+1）2﹣12＝0，
解得：a＝0或a＝﹣1．
【点睛】
此题考查一元二次方程根的情况与判别
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)式△的关系：（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；（2）△＝0?方程有两个相等的实数根；（3）△＜0?方程没有实数根．21·cn·jy·com
42．关于x的一元二次方程（k+1）x2﹣3x﹣3k﹣2＝0有一个根为﹣1，求k的值及方程的另一个根．
【答案】k＝1，x＝
【分析】
将x＝﹣1代入原方程可求出k值的值，然后根据根与系数的关系即可求出另外一根．
【详解】
将x＝﹣1代入（k+1）x2﹣3x﹣3k﹣2＝0，
∴k＝1，
∴该方程为2x2﹣3x﹣5＝0，设另外一根为x，
由根与系数的关系可知：﹣x＝，
∴x＝．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系，能熟记根与系数的关系的内容是解题的关键.
43．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求实数m的取值范围；
（2）若方程的两个实数根为，且，求实数的值．
【答案】（1）
；（2）
【分析】
（1）根据根的判别式大于0即可求出实数m的取值范围；
（2）利用根与系数的关系表示出，然后根据已知建立一个关于m的方程，解方程即可.
【详解】
（1）∵一元二次方程有两个不相等的实数根
∴
解得
（2）根据根与系数的关系，得
∵
∴
解得
或
∵
∴
【点睛】
本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，掌握根的判别式及根与系数的关系是解题的关键.
44．已知关于x的一元二次方程x2+mx﹣4＝0．
（1）求证：对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根；
（2）设方程的两个实根分别为x1，x2，当x12+x22＝12时，求m的值．
【答案】（1）证明见解析；（2）m＝2或m＝﹣2．
【分析】
（1）先计算判别式的值得到△＝m2+16，然后根据判别式的意义得到结论；
（2）利用根与系数的关系得到x1+x2＝﹣m
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，x1x2＝﹣4，利用完全平方公式和整体代入的方法得m2﹣2×（﹣4）＝12，然后解关于m的方程即可．
【详解】
（1）证明：△＝m2﹣4×（﹣4）＝m2+16＞0，
所以对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根；
（2）根据题意得x1+x2＝﹣m，x1x2＝﹣4，
∵x12+x22＝12，
∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝12，
即m2﹣2×（﹣4）＝12，
∴m＝2或m＝﹣2．
【点睛】
本题考查一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，熟记根与系数关系是解题的关键。
45．关于的一元二次方程的两个实数根分别为，.
（1）求的取值范围；
（2）若，求的值.
【答案】（1）；（2）m=-1.
【分析】
（1）根据一元二次方程有两个实数根可得：△≥0，列出不等式即可求出的取值范围；
（2）根据根与系数的关系，分别表示出和，然后代入已知等式即可求出m的值.
【详解】
（1）解：由题可知：
解出：
（2）解：由根与系数的关系得：
，
又∵
∴
解出：
【点睛】
此题考查的是求一元二次方程的参数的取值范围和参数的值，掌握一元二次方程根的情况与△的关系和根与系数的关系是解决此题的关键.21
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46．已知关于x的方程有两个实数根x1，x2．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若方程的两个实数根x1，x2满足，求k的值．
【答案】（1）k≤8；（2）k＝-13．
【分析】
（1）由根的情况，根据根的判别式，可得到关于k的不等式，则可求得k的取值范围；
（2）由根与系数的关系可用k表示出两根之和、两根之积，由条件可得到关于k的方程，则可求得k的值．
【详解】
（1）∵关于x的方程有两个实数根，
∴△≥0，即（-6）2?4（k+1）≥0，解得k≤8；
（2）由根与系数的关系可得x1＋x2＝6，x1x2＝k+1，
由
可得：2（x1＋x2）＝?x1x2，
∴2×6＝?（k+1），
∴k＝-13，
【点睛】
本题主要考查根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握根的个数与根的判别式的关系是解题的关键．
47．已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2＝0有实数根．
（1）求k的取值范围．
（2）设方程的两个实数根分别为x1、x2，若2x1x2﹣x1﹣x2＝1，求k的值．
【答案】（1）；（2）k＝0
【分析】
（1）由△≥0，求出k的范围；
（2）由根与系数的关系可知：x1+x2＝﹣2k﹣1，x1x2＝k2，代入等式求解即可．
【详解】
解：（1）∵一元二次方程x2+（2k+1）x+k2＝0有实数根，
∴△＝（2k+1）2﹣4k2≥0，
∴；
（2）由根与系数的关系可知：
x1+x2＝﹣2k﹣1，x1x2＝k2，
∴2x1x2﹣x1﹣x2＝2k2+2k+1＝1，
∴k＝0或k＝﹣1，
∵；
∴k＝0．
【点睛】
本题考查根与系数的关系；熟练掌握一元二次方程根与系数的关系，并能用判别式判断根的存在情况是解题的关键．21世纪教育网版权所有
48．已知：关于x的方程，根据下列条件求m的值．
（1）方程有一个根为1；
（2）方程两个实数根的和与积相等．
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）将1代入原方程，可得关于m的方程，解此方程即可求得答案；
（2）利用根与系数的关系列出方程即可求得答案.
【详解】
（1）方程的根1代入方程得：=0，
整理得：=0，
∵
∴
故答案为：
（2）方程两个实数根的和为
方程两个实数根的积为，
依题意得：，即：，
分解因式得：
解得：或2，
当时，原方程为：，方程有实数根；
当时，原方程为：，
，方程没有实数根，
∴不符合题意，舍去；
m的值为：
【点睛】
本题考查了根与系数的关系及求解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
49．已知关于x的一元二次方程x2﹣3x﹣k2+k+1＝0．
（1）证明：原方程有两个不相等的实数根；
（2）若原方程的两实根分别为x1，x2，且（x1﹣x2+2）（x1﹣x2﹣2）＝﹣3，求k的值．
【答案】（1）见解析；（2）k的值为2．
【分析】
（1）计算判别式得到△=（k-2）2+1，利用非负数的性质得到△＞0，从而得到结论；
（2）利用根与系数的关系得到x1+x2=3、x1x2=，再变形已知条件得到（x1+x2）2-4x1x2-1=0，即，然后解关于k的不等式即可．21cnjy.com
【详解】
（1）证明：∵△＝（﹣3）2﹣4（﹣k2+k+1）
＝k2﹣4k+5
＝（k﹣2）2+1，
∵（k﹣2）2≥0，
∴（k﹣2）2+1＞0，即△＞0，
∴无论k取何值，该方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：根据题意得x1+x2＝3、x1x2＝﹣k2+k+1，
∵（x1﹣x2+2）（x1﹣x2﹣2）＝﹣3，
∴（x1﹣x2）2﹣4＝﹣3，
（x1+x2）2﹣4x1x2﹣1＝0，
即32﹣4（﹣k2+k+1）﹣1＝0，
整理得k2﹣4k+4＝0，解得k1＝k2＝2，
即k的值为2．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，，．也考查了判别式的意义．www.21-cn-jy.com
50．关于x的一元二次方程mx2+(2m+1)x+m＝0有两个实数根.
(1)求m的取值范围
(2)是否存在实数m，使方程的两实数根的倒数和为0？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)m≥﹣且m≠0；(2)不存在，理由见解析.
【分析】
(1)利用根的判别式的意义得到m≠0且△═4m+1≥0，然后解两不等式求出它们的公共部分即可；
(2)
设方程的两根分别是
a
和b，利用根与系数的关系得到a+b＝﹣，ab＝1，则利用＝0得到﹣＝0，即可求出m的值，然后根据（1）中m的取值范围即可判断.2·1·c·n·j·y
【详解】
解：(1)根据题意得m≠0且
解得m≥﹣且m≠0；
(2)不存在.
设方程的两根分别是
a
和b，则a+b＝﹣，ab＝1，
∵＝0，即＝0，
∴﹣＝0，解得m＝，
∵m≥﹣且m≠0；
∴故不存在m，使方程的两实数根的倒数和为0.
【点睛】
此题考查的是一元二次方程根的情况和
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)根与系数的关系，掌握一元二次方程根的情况与△的关系和一元二次方程的两根之和、两根之积与系数的关系是解决此题的关键.www-2-1-cnjy-com
51．已知关于x的方程x2﹣mx﹣3x+m﹣4＝0(m为常数)
(1)求证：方程有两个不相等的实数根.
(2)设x1，x2是方程的两个实数根，且x1+x2＝4，请求出方程的这两个实数根.
【答案】(1)证明见解析；(2)x1＝2+，x2＝2﹣.
【分析】
(1)求出△＝(﹣m﹣3)2﹣4×1×(m﹣4)＝m2+2m+25＝(m+1)2+24＞0，即可得出结论；21
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(2)由x1+x2＝m+3，得出m+3＝4，解得m＝1，则原方程为x2﹣4x﹣3＝0，解方程即可得出结果.
【详解】
(1)证明：∵x2﹣mx﹣3x+m﹣4＝0，即：x2﹣(m+3)x+m﹣4＝0，
∴△＝(﹣m﹣3)2﹣4×1×(m﹣4)＝m2+2m+25＝(m+1)2+24＞0，
∴关于x的方程x2﹣mx﹣3x+m﹣4＝0有两个不相等的实数根；
(2)解：∵x1，x2是方程的两个实数根，
∴x1+x2＝m+3，
∵x1+x2＝4，
∴m+3＝4，
∴m＝1，
∴原方程为：x2﹣4x﹣3＝0，
解得：x1＝2+，x2＝2﹣，
∴方程的这两个实数根为：x1＝2+，x2＝2﹣.
【点睛】
本题考查了解一元二次方程、根与系数的关系、根的判别式等知识；熟练掌握根与系数的关系、根的判别式是解题的关键．
52．已知关于x的一元二次方程
（1）当m取何值时，这个方程有两个不相等的实根？
（2）若方程的两根都是正数，求m的取值范围；
（3）设是这个方程的两个实根，且，求m的值.
【答案】（1）；（2）；（3）m无解..
【分析】
(1)由根的判别式得出不等式，求出不等式的解集即可；
(2)由根与系数的关系得出不等式，求出不等式的解集即可；
(3)由根与系数的关系得出x1+x2=2，x1x2=m-1，将变形后代入，即可求出答案.
【详解】
解：（1）∵这个方程有两个不相等的实根
∴，即
解得.
（2）由一元二次方程根与系数的关系可得：
，，
∵方程的两根都是正数
∴，即
∴
又∵
∴m的取值范围为
（3）∵
∴
即，
将，代入可得：
，
解得.
而，所以m=4不符合题意，故m无解.
【点睛】
本题考查了由一元二次方程根的情况求参数，根与系数的关系，熟练掌握根的情况与△之间的关系与韦达定理是关键.
53．已知关于的一元二次方程有两个实数根.
（1）求的取值范围；
（2）如果方程的两个实数根为，且，求的值.
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）由根的情况，根据根的判别式，可得到
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)关于k的不等式，则可求得k的取值范围；
（2）由根与系数的关系可用k表示出两根之和、两根之积，由条件可得到关于k的方程，则可求得k的值．
【详解】
（1）∵关于x的方程有两个实数根，
∴△≥0，即[?(2k+1)]2?4k2≥0，解得，故答案为；
（2）由根与系数的关系可得x1+x2＝，x1x2＝1，
由可得：，
∴＝3，
∴．
【点睛】
本题考查根的判别式、根与系数的关系和一元二次方程的定义，解题的关键是掌握根的判别式、根与系数的关系和一元二次方程的定义.
54．已知是一元二次方程的两个实数根.
（1）求实数m的取值范围；
（2）如果满足不等式，且m为整数，求m的值．
【答案】（1）时，方程有两个实数根；（2）m的值为－1．
【分析】
（1）因为一元二次方程的两个实数根，所以，即时，方程有两个实数根．
（2）整理不等式，得．
由一元二次方程根与系数的关系，得．代入整理后的不等式进行计算即可得到答案.
【详解】
（1）．
当，即时，方程有两个实数根．
（2）整理不等式，得．
由一元二次方程根与系数的关系，得．
代入整理后的不等式得，解得．
又，且m为整数，∴m的值为－1．
【点睛】
本题考查根的判别式和一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握根的判别式和一元二次方程根与系数的关系.
55．己知关于的一元二次方程.
(1)试证:无论取任何实数，方程都有两个不相等的实数根;
(2)设为方程的两个实数根，且，求的值.
【答案】（1）详见解析；（2）
【分析】
（1）表示出根的判别式，配方后得到根的判别式大于0，进而确定出方程总有两个不相等的实数根；（2）利用根与系数的关系可以得到，-2（m+3），再把，进行变形可得，然后代入计算即可求解．
【详解】
(1)∵a=1，b=-（m?1），c=?2(m+3)，
∴△===，
∵，
∴＞0，
∴＞0，
∴无论m取任何实数，方程都有两个不相等的实数根；
(2)∵、是方程的两根，
∴，-2（m+3），
∵，
即，
代入得：=16，
解得.
【点睛】
本题主要考查了根的判别式，根与系数的关系，掌握根的判别式，根与系数的关系是解题的关键.
56．已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+m﹣2＝0有两个实数根x1，x2．
（1）求m的取值范围；
（2）若x1，x2满足2x1＝|x2|+1，求m的值．
【答案】（1）m≤
（2）或﹣8
【分析】
（1）根据根的判别式即可求解；
（2）根据根与系数的关系，分情况讨论即可求得m的值．
【详解】
解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+m﹣2＝0有两个实数根，
∴△≥0，即9﹣4（m﹣2）≥0
解得m≤．
答：m的求值范围为m≤．
（2））根据根与系数的关系：
x1+x2＝3，x1?x2＝m﹣2，
∵x1，x2满足2x1＝|x2|+1，
①当x2≥0时，2x1＝x2+1
把x2＝3﹣x1代入，得
2x1＝3﹣x1+1
解得x1＝，
∴x2＝，
∴m﹣2＝x1?x2＝
∴m＝．
②当x2≤0时，2x1＝﹣x2+1
∴2x1+3﹣x1＝1
解得x1＝﹣2，x2＝5，
∴m﹣2＝﹣10
m＝﹣8．
答：m的值为或﹣8
【点睛】
此题主要考查一元二次方程的根与系数的关系，解题的关键是熟知根的判别式与根与系数的关系.
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精品试卷·第
2
页
（共
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页）
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1.3
一元二次方程的根与系数的关系
【基础训练】
一、单选题
1．已知关于方程有一个根为1，则方程的另一个根为（
）
A．2
B．
C．4
D．
2．下列一元二次方程中，两实数根的和为3的是（
）
A．
B．
C．
D．
3．若方程的两个实数根为α,β，则α+β的值为（ ）
A．12
B．10
C．4
D．-4
4．一元二次方程的两根分别为和，则为（
）
A．
B．
C．2
D．
5．已知x1，x2是关于x的方程x2-（2
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)m-2）x+（m2-2m）=0的两根，且满足x1?x2+2（x1+x2）=-1，那么m的值为（ ）21世纪教育网版权所有
A．或3
B．或1
C．
D．1
6．已知方程x2﹣3x+k＝0的一个根是﹣2，则它的另一个根是（ ）
A．﹣3
B．﹣1
C．2
D．5
7．已知关于x的一元二次方程2x2+mx﹣3＝0的一个根是﹣1，则另一个根是（ ）
A．1
B．﹣1
C．
D．
8．已知x1，x2是关于x的方程x2﹣mx﹣3＝0的两个根，下面结论一定正确的是（ ）
A．x1+x2＞0
B．x1≠x2
C．x1?x2＞0
D．x1＜0，x2＜0
9．已知关于x的方程x2﹣2x+3k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＜
B．k＜﹣
C．k＜3
D．k＞﹣3
10．下列一元二次方程中，两根之和为的是（
）
A．
B．
C．
D．
11．已知实数x1、x2满足x1+x2=4，x1x2=–3，则以x1、x2为根的一元二次方程是（
）
A．x2–4x–3=0
B．x2+4x–3=0
C．x2–4x+3=0
D．x2+4x+3=0
12．已知x1，x2是方程x2+5x﹣2＝0的两个根，则x1+x2的值为（ ）
A．5
B．﹣5
C．2
D．﹣2
13．已知一元二次x2+x﹣2＝0的一个根是﹣2，则该方程的另一个根是（ ）
A．1
B．﹣1
C．2
D．﹣2
14．如果一元二次方程x2+12x+27=0的两个根是x1
，
x2
，
那么x1+x2的值为（ ）
A．－6????????????????????????????????B．－12???????????????????????????????????????C．12???????????????????????????????????????
D．27
15．已知，为一元二次方程的两根，那么的值为（
）
A．9
B．10
C．11
D．12
16．已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于（
）
A．2019
B．2020
C．2021
D．2022
17．若和为一元二次方程的两个根，则的值为（
）
A．2
B．3
C．4
D．
18．已知关于的一元二次方程：有两个不相等的实数根，，则（
）
A．
B．
C．
D．
19．关于x的一元二次方程的两实数根，满足，则的值是（
）
A．8
B．16
C．
32
D．16或40
20．下列叙述正确的是（ ）
A．的算术平方根是2
B．函数y＝的自变量x的取值范围是x＞－1
C．一元二次方程x2－2x＝4无实数根
D．若点P（m，－1）与点Q（5，n）关于坐标原点对称，则m＝－5，n＝1
21．若x1，x2是一元二次方程的两根，则的值是（
）
A．
B．
C．
D．
22．在下列方程中，以3，﹣4为根的一元二次方程是（ ）
A．x2﹣x﹣12＝0
B．x2+x﹣12＝0
C．x2﹣x+12＝0
D．x2+x+12＝0
23．方程x2－2x＝－3化成一般形式后，它的各项系数之和是( )
A．－5
B．0
C．4
D．2
24．已知a，b是一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两个实数根，则a2+b2+ab的值为（
）
A．3
B．4
C．5
D．6
25．已知一元二次方程有一个根为2，则另一根为（ ）
A．-4
B．-2
C．4
D．2
26．设、是方程x2＋x﹣2015＝0的两个实数根，则2＋2＋的值为（
）
A．2011
B．2012
C．2013
D．2014
27．设m、n是一元二次方程x2+3x﹣7＝0的两个根，则m2+4m+n＝（ ）
A．﹣3
B．4
C．﹣4
D．5
28．若关于x的方程x2-3x+q=0的一个根x1的值是2，则另一根x2及q的值分别是（
）
A．x2
=1,q=2
B．x2
=
-1,q
=2
C．x2
=1,q
=
-2
D．x2
=
-1,q
=
-2
29．设a、b是一元二次方程x2+2x-7=0的两个根，则a2+3a+b的值为（
）
A．-1
B．2
C．5
D．8
30．下列一元二次方程两实数根和为-4的是（
）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
31．设x1，x2是一元二次方程x2－3x－4＝0的两个根，则x1x2－x1－x2＝_________．
32．关于x的方程有两个实数根．且．则_______．
33．已知是一元二次方程的两个根，则__________．
34．若的两个根为、，则的值是______．
35．已知是一元二次方程的两个实数根，则________．
三、解答题
36．已知关于的方程．
（1）试说明此方程总有两个不相等的实数根；
（2）若此方程的一个根是-1，求另一根．
37．已知关于的一元二次方程．
（1）若方程有实数根，求的取值范围；
（2）若方程的两个实数根的倒数的平方和等于14，求的值．
38．已知：关于的一元二次方程.
（1）求证：不论为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的一个根大于2，另一个根小于2，求的取值范围.
39．先化简，再求值：已知、是方程的两根，求的值．
40．已知关于的方程.
（1）求证：不论取何实数，该方程都有两个不相等的实数根；
（2）若该方程的一个根为，求该方程的另一个根.
41．已知关子x的一元二次方程x2﹣（2a+2）x+2a+1＝0．
（1）求证：不论a取何实数，该方程都有两个实数根：
（2）若该方程两个根x1，x2满足x12﹣x22＝0，求a的值
42．关于x的一元二次方程（k+1）x2﹣3x﹣3k﹣2＝0有一个根为﹣1，求k的值及方程的另一个根．
43．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求实数m的取值范围；
（2）若方程的两个实数根为，且，求实数的值．
44．已知关于x的一元二次方程x2+mx﹣4＝0．
（1）求证：对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根；
（2）设方程的两个实根分别为x1，x2，当x12+x22＝12时，求m的值．
45．关于的一元二次方程的两个实数根分别为，.
（1）求的取值范围；
（2）若，求的值.
46．已知关于x的方程有两个实数根x1，x2．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若方程的两个实数根x1，x2满足，求k的值．
47．已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2＝0有实数根．
（1）求k的取值范围．
（2）设方程的两个实数根分别为x1、x2，若2x1x2﹣x1﹣x2＝1，求k的值．
48．已知：关于x的方程，根据下列条件求m的值．
（1）方程有一个根为1；
（2）方程两个实数根的和与积相等．
49．已知关于x的一元二次方程x2﹣3x﹣k2+k+1＝0．
（1）证明：原方程有两个不相等的实数根；
（2）若原方程的两实根分别为x1，x2，且（x1﹣x2+2）（x1﹣x2﹣2）＝﹣3，求k的值．
50．关于x的一元二次方程mx2+(2m+1)x+m＝0有两个实数根.
(1)求m的取值范围
(2)是否存在实数m，使方程的两实数根的倒数和为0？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由.
51．已知关于x的方程x2﹣mx﹣3x+m﹣4＝0(m为常数)
(1)求证：方程有两个不相等的实数根.
(2)设x1，x2是方程的两个实数根，且x1+x2＝4，请求出方程的这两个实数根.
52．已知关于x的一元二次方程
（1）当m取何值时，这个方程有两个不相等的实根？
（2）若方程的两根都是正数，求m的取值范围；
（3）设是这个方程的两个实根，且，求m的值.
53．已知关于的一元二次方程有两个实数根.
（1）求的取值范围；
（2）如果方程的两个实数根为，且，求的值.
54．已知是一元二次方程的两个实数根.
（1）求实数m的取值范围；
（2）如果满足不等式，且m为整数，求m的值．
55．己知关于的一元二次方程.
(1)试证:无论取任何实数，方程都有两个不相等的实数根;
(2)设为方程的两个实数根，且，求的值.
56．已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+m﹣2＝0有两个实数根x1，x2．
（1）求m的取值范围；
（2）若x1，x2满足2x1＝|x2|+1，求m的值．
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精品试卷·第
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