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1.3
一元二次方程的根与系数的关系
【提升训练】
一、单选题
1．关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0的两实数根分别为x1、x2，且x1+3x2＝4，则m的值为（ ）
A．
B．
C．
D．3
【答案】A
【分析】
利用根与系数的关系可得出x1+x2＝3，结合x1+3x2＝4可求出x2的值，再将其代入原方程即可求出m的值．
【详解】
∵x1、x2是一元二次方程x2﹣3x+m＝0的解，
∴x1+x2＝3．
∵x1+3x2＝4，即3+2x2＝4，
∴x2＝，
将x2＝代入原方程，得：﹣+m＝0，
∴m＝．
故选：A．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解、根与系数的关系，理解一元二次方程的解的意义，熟练掌握根与系数关系是解答的关键.21
cnjy
com
2．若方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根分别是，5．则方程a（x-1）2＋bx＝b-2c的两根为（
）
A．-，6
B．-3，10
C．-2，11
D．-5，21
【答案】C
【分析】
由根与系数的关系求得和，再代入新方程求解便可．
【详解】
∵方程（）的两个根分别是，5．
∴，，
∴，，
由方程得：
，
∴，
即，
∴，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了解一元二次方程和根与系数的关系，关键是求得和，将两方程联系起来．
3．定义新运算：a
b＝a（
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)m﹣b）．若方程x2﹣mx+4＝0有两个相等正实数根，且b
b＝a
a（其中a≠b），则a+b的值为（
）
A．﹣4
B．4
C．﹣2
D．2
【答案】B
【分析】
根据判别式的意义得到△＝（﹣m）2﹣4×4
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)＝0，解得m1＝4，m2＝﹣4，再利用方程有两个相等的正实数解，所以m＝4，则a
b＝a（4﹣b）．利用新定义得到b（4﹣b）＝a（4﹣a），然后整理后利用因式分解得到（a﹣b）（a+b﹣4）＝0，从而得到a+b的值．
【详解】
解：∵方程x2﹣mx+4＝0有两个相等实数根，
∴△＝（﹣m）2﹣4×4＝0，
解得m1＝4，m2＝﹣4，
当m＝﹣4时方程有两个相等的负实数解，
∴m＝4，
∴a
b＝a（4﹣b），
∵b
b＝a
a，
∴b（4﹣b）＝a（4﹣a）
整理得a2﹣b2﹣4a+4b＝0，
（a﹣b）（a+b﹣4）＝0，
而a≠b，
∴a+b﹣4＝0，
即a+b＝4．
故选：B．
【点睛】
本题考查的是一元二次方程的根的判别式知识，因式分解的知识，仔细弄懂题意，掌握以上知识是解题的关键．
4．是方程的两根，的值是（
）
A．2017
B．2018
C．2019
D．2020
【答案】D
【分析】
将m，n代入方程得到从而得出
，再代入即可求解．
【详解】
解：∵m，n是方程的两根，代入得：
∴
∴代入得：
∴
=
将代入得：
=
根据韦达定理：
故答案选：D
【点睛】
本题考查一元二次方程的解、韦达定理，利用整体思想进行代换是解题关键．
5．α、β是方程2x2-2x-3=0的两根，则（α+1）（β+1）的值为（）
A．-
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
根据根与系数的关系,确定αβ、α+β的值，然后再将（α+1）（β+1）展开代入即可．
【详解】
解：∵α、β是方程2x2-2x-3=0
∴αβ=、α+β=1
∴（α+1）（β+1）=αβ+(α+β)+1=+1+1=．
故答案为B．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系以及代数式求值，其中正确应用根于系数的关系是解答本题的关键．
6．已知，满足方程，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
由一元二次方程两根关系得出m+n,mn的值,再将m代入方程得出m2的值,最后代入解出即可．
【详解】
由题意得:m+n=5,mn=﹣1,m2－5m－1=0即m2=5m+1．
∴．
故选B．
【点睛】
本题考查一元二次方程两根关系,关键在于熟练掌握基础知识并利用降次思维代入解题．
7．已知：x1，x2是方程2x2＋x－2＝0的两实根，则x12＋x22的值为（
）
A．
B．
C．1
D．9
【答案】B
【分析】
由方程解与系数的关系，运用韦达定理，可得、的值，再对变形为，代入数据即可求出答案．
【详解】
解：∵、是方程的两个根，运用韦达定理，其中二次项系数a=2，一次项系数，常数项c=-2，
∴，，
又∵，将、的值代入，
∴，
故选：B．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系（韦达定理）以及完全平方公式的应用，解题的关键是根据根与系数的关系找出，，．21世纪教育网版权所有
8．若，是方程的两个实数根，则的值是（
）
A．2019
B．-2019
C．
D．2021
【答案】A
【分析】
根据根与系数的关系可得+=-1以及方程解的定义可得，然后再对变形后代入计算即可．
【详解】
解：由题意得：+=-1，
=2020+（-1）=2019．
故选：A．
【点睛】
本题考查了二元一次方程根与系数的关系以及方程的解得定义，灵活运用二元一次方程根与系数的关系以及方程的解得定义是解答本题的关键．21cnjy.com
9．若是关于的一元二次方程的两个根，且，则的值为（
）
A．-3
B．
C．-5
D．
【答案】A
【分析】
根据一元二次方程的根与系数的关系直接求解即可．
【详解】
∵是关于的一元二次方程的两个根，
∴，，
又
∴，即b=-3．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，注意：若一元二次方程的两个根为和，则，．
10．关于x的一元二次方程（a，b，c为实数，）有两个相等的实数根，若实数满足，则此一元二次方程的根是（
）2·1·c·n·j·y
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
先把整理为，得，根据x的一元二次方程（a，b，c为实数，）有两个相等的实数根利用一元二次方程根与系数的关系可得结论.
【详解】
解：，
，
，
，
，
设，是方程（a，b，c为实数，）的两个根，
∴，
，
，
故选：A.
【点睛】
考查了根与系数的关系，掌握“若x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根，则方程的两个根x1，x2和系数a，b，c有如下关系：x1+x2=-，x1?x2=”的含义是解题的难点．
11．已知x1、x2为一元二次方程x2﹣bx﹣3＝0的两个实数根，且x1+x2＝2，则（
）
A．x1＝1，x2＝3
B．x1＝﹣1，x2＝﹣3
C．x1＝1，x2＝﹣3
D．x1＝﹣1，x2＝3
【答案】D
【分析】
利用根与系数的关系可求出b值，将b值代入原方程，利用因式分解法解方程即可得出结论．
【详解】
解：∵x1、x2为一元二次方程x2﹣bx﹣3＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝b＝2，
∴原方程为x2﹣2x﹣3＝0，
即（x+1）（x﹣3）＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝3．
故选：D．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握根与系数的关系进行解题．
12．设m、n是一元二次方程x2+5x﹣8=0的两个根，则m2+7m+2n=（???
）
A．-5?
B．-2
C．2?
D．5
【答案】B
【分析】
根据根与系数的关系可知m＋
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)n＝－5，又知m是方程的根，所以可得m2＋5m－8＝0，最后可将m2＋7m＋2n变成m2＋5m＋2（m＋n），最终可得答案．【出处：21教育名师】
【详解】
∵m、n是一元二次方程x2+5x﹣8=0的两个根，
∴m＋n＝－5，m2＋5m－8＝0，
∵m2＋7m＋2n=
m2＋5m＋2（m＋n）=8－10=－2，
故选：B．
【点睛】
本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练应用韦达定理．
13．若关于x的一元二次方程有两个实数根，，则下列说法正确的是（ ）
A．a的值可以是0
B．
C．
D．，都是正数
【答案】D
【分析】
根据方程有两个实数根，结合根的判别式，即可得出≥0，解之即可得出a的取值范围,根据两根的和与积的关系，可以得出结论．
【详解】
解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根，
∴
∴，故A错
∵关于x的一元二次方程有两个实数根，
∴，故B,C错误；
∵
∴同为正数，故D正确
故选：D
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式，韦达定理，牢记“当≥0时，方程有两个实数根”，两根的关系是解题的关键．21·世纪
教育网
14．关于未知数x的方程kx2+4x﹣1=0只有正实数根，则k的取值范围为（ ）
A．﹣4≤k≤0
B．﹣4≤k＜0
C．﹣4＜k≤0
D．﹣4＜k＜0
【答案】A
【分析】
1、观察题目，关于未知数x的方程kx2＋4x－1＝0只有正实数根，k不确定，需分情况进行解答；
2、当k＝0时，方程是一元一次方程，求出方程的根即可判断出k＝0是否满足条件；想一想k≠0时，要使方程只有正实数根，需满足什么条件？
3、当k≠0时，方程是一元
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)二次方程，只有正实数根，则应满足：△≥0，x1＋x2＞0，x1?x2＞0，建立关于k的不等式，进而即可求得此时k的取值范围．
【详解】
当k＝0时，方程是一元一次方程，方程是4x－1＝0，解得x＝，是正根；
当k≠0时，方程是一元二次方程．
∵a＝k，b＝4，c＝－1，
∴△＝16＋4k≥0，
x1＋x2＝＞0，
x1?x2＝＞0．
解得：－4≤k＜0．
则－4≤k≤0．
故答案选：A
【点睛】
本题主要考查一元二次方程根与系数的关系以及分情况讨论的思想，分a＝0与a≠0两种情况讨论是解决本题的关键．
15．一元二次方程(x﹣1)(x+3)＝5x﹣5的根的情况是( )
A．无实数根
B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根
D．有一个正根，一个负根
【答案】B
【分析】
先把方程化为一般式，再计算根判别式的值得到方程有两个不相等的两个实数根，然后根据根与系数的关系判断方程根的符号即可．
【详解】
解：方程化为x2﹣3x+2＝0，
∵△＝(﹣3)2﹣4×2＝1＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
设方程两根分别为x1，x2，
∴x1+x2＝3＞，x1x2＝2＞0，
∴方程有两个正的实数根．
故选：B．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=，x1x2=．也考查了根的判别式．
16．已知一元二次方程x2﹣4x+3=0的两根x1、x2，则x12﹣4x1+x1x2=（ ）
A．0
B．1
C．2
D．﹣1
【答案】A
【分析】
由一元二次方程x2﹣4x+3=0的两根x1、x2可得x12﹣4x1=﹣3，x1x2=3，代入可得结果．
【详解】
解：∵方程x2﹣4x+3=0的两根x1、x2，
∴x1x2=3、x12﹣4x1+3=0即x12﹣4x1=﹣3，
则原式=﹣3+3=0，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，关键是熟练掌握x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=．
17．一元二次方程的两个根为，则的值是（
）
A．10
B．9
C．8
D．7
【答案】D
【分析】
利用方程根的定义可求得，再利用根与系数的关系即可求解．
【详解】
为一元二次方程的根，
，
．
根据题意得，，
．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的解，根与系数的关系以及求代数式的值，熟练掌握根与系数的关系，是解题的关键．
18．下列一元二次方程中，没有实数根的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】
试题分析：A．∵△=25﹣4×2×4=﹣7＜0，∴方程没有实数根，故本选项正确；
B．∵△=36﹣4×1×4=0，∴方程有两个相等的实数根，故本选项错误；
C．∵△=16﹣4×5×（﹣1）=36＞0，∴方程有两个相等的实数根，故本选项错误；
D．∵△=16﹣4×1×3=4＞0，∴方程有两个相等的实数根，故本选项错误；
故选A．
考点：根的判别式．
19．已知一元二次方程的两根分别为m、n，则m+n的值为（
）
A．﹣2
B．﹣1
C．1
D．2
【答案】D
【详解】
试题分析：∵方程的两根分别为m、n，∴m+n=2．故选D．
考点：根与系数的关系．
20．已知关于x的一元二次方程x2-（2k+1）x+k+1=0，
若x1+x2=3，则k的值是（
）
A．0
B．1
C．﹣1
D．2
【答案】B
【分析】
利用根与系数的关系得出x1+x2=2k+1，进而得出关于k的方程求出即可．
【详解】
解：设方程的两个根分别为x1，x2，
由x1+x2=2k+1=3，
解得：k=1，
故选B．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，能把求k的值的问题转化为解方程得问题是关键．
21．设是方程的两个根，则的值是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
可以把变形为的形式，然后由一元二次方程根与系数的关系可以得解．
【详解】
由已知得：，=－2
∴==
5．
故选B．
【点睛】
本题考查一元二次方程根与系数的关系，把所求问题转化为含有两根积或两根和的代数式是解题关键．
22．关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根α、β满足，则p的值是（
）
A．-3
B．3
C．
D．
【答案】B
【分析】
先根据判别式的意义可判断p＞-，再根据根与系数的关系得到α+β=-3，αβ=-p，接着由变形得到（α+β）2=-3αβ，则32=3p，解得p=3．
【详解】
解：根据题意得△=32+4p＞0，解得p＞-，
∵α、β是一元二次方程的两个不相等的实数根，
∴α+β=-3，αβ=-p，
∵，
∴α2+β2=-5αβ，
∴（α+β）2=-3αβ，
∴32=3p，解得p=3，
故选：B．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=-，x1x2=．
23．以3和-2为根的一元二次方程是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
根据根与系数的关系得到以为根的方程为，然后代入数据计算即可．
【详解】
∵，，
∴3和-2为根的一元二次方程（二次项系数为1）为．
故选：C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程()的根与系数的关系：若方程两个为，则，．
24．已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
根据一元二次方程根与系数的关系得到+=2，=-1，将分式通分为同分母分式的加减法进行计算.
【详解】
∵，是一元二次方程的两个实数根，
∴+=2，=-1，
∴
=，
故选：A.
【点睛】
此题考查分式的化简求值，一元二次方程的根与系数的关系，正确化简计算异分母分式的加减法是解题的关键.
25．一元二次方程2x2﹣3x+a＝0有一个根是x＝2，则a的值及方程的另一个根是（
）
A．a＝2，x＝1
B．a＝﹣2，x＝
C．a＝﹣2，x＝
D．a＝2，x＝2
【答案】B
【分析】
首先利用两根之和求得另一根，然后利用两根之积求得a的值即可
【详解】
设方程的另一个根为x2，
∵关于x的一元二次方程2x2﹣3x+a＝0有一个根是x＝2，
∴x2+2＝，
解得：x2＝﹣．
∴2×(﹣)＝，
解得：a＝﹣2；
故选B．
【点睛】
本题考查一元二次方程根与系数的关系，若x1、x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根，则x1+x2=，x1x2=，熟练掌握韦达定理是解题关键.21教育网
26．已知x1、x2是关于x的方程x2+mx﹣1＝0的两根，下列结论一定正确的是（ ）
A．x1≠x2
B．x1+x2＜0
C．x1?x2＞0
D．x1＞0，x2＜0
【答案】A
【分析】
先计算判别式的值得到△＝m2+4＞0
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，根据判别式的意义可判断方程有两个不相等的实数解，再利用根与系数的关系得到x1、x2异号，然后对各选项进行判断．
【详解】
解：根据题意得△＝m2﹣4×（﹣1）＝m2+4＞0，
∴方程有两个不相等的实数解，
∵x1x2＝﹣1＜0，
∴x1、x2异号．
故选：A．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=，x1x2=．也考查了根的判别式．www-2-1-cnjy-com
27．已知m、n是一元二次方程的两个实数根，则（ ）
A．3
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
先根据根与系数的关系得到，，再把转化成含m+n和mn的代数式的形式，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】
根据题意得，，
∴．
故选：B．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系：若是一元二次方程()的两根时，，．
28．设、是方程的两个实数根，则的值为（
）
A．
B．2018
C．2020
D．2022
【答案】A
【分析】
根据方程算出两根之和与两根之积，代入经过变形的代数式中即可得到解答．
【详解】
解：由题意知，a+b=
-1，ab=
-2020，
∴(a-1)(b-1)=ab-(a+b)+1=-2020+1+1=-2018．
故选A．
【点睛】
本题考查一元二次方程根与系数的关系，对所求代数式变形后把两根之和与两根之积的值整体代入是解题关键．
29．已知x1，x2是一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣1＝0的两不相等的实数根，且，则m的值是（ ）
A．或3
B．﹣3
C．
D．
【答案】C
【分析】
先利用判别式的意义得到m＞-，再根据根与系数的关系的x1+x2=-（2m+1），x1x2=m2-1，则（x1+x2）2-x1x2-17=0，所以（2m+1）2-（m2-1）-17=0，然后解关于m的方程，最后确定满足条件的m的值．
【详解】
解：根据题意得△＝（2m+1）2﹣4（m2﹣1）＞0，
解得m＞﹣，
根据根与系数的关系的x1+x2＝﹣（2m+1），x1x2＝m2﹣1，
∵，
∴（x1+x2）2﹣x1x2﹣17＝0，
∴（2m+1）2﹣（m2﹣1）﹣17＝0，
整理得3m2+4m﹣15＝0，解得m1＝，m2＝﹣3，
∵m＞﹣，
∴m的值为．
故选：C．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=-，x1x2=．也考查了根的判别式．
30．已知a、b、m、n为互不相等的实数，且(a+m)(
a+n)＝2，(b+m)(
b+n)＝2，则ab﹣mn的值为（ ）
A．4
B．1
C．﹣2
D．﹣1
【答案】C
【分析】
先把已知条件变形得到a2
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)+
(m+n)
a+mn﹣2＝0，b2+(
m+n)
b+mn﹣2＝0，则可把a、b看作方程x2+(
m+n)
x+mn﹣2＝0的两实数根，利用根与系数的关系得到ab＝mn﹣2，从而得到ab﹣mn的值．
【详解】
解：∵(a+m)(
a+n)＝2，(b+m)(
b+n)＝2，
∴a2+(
m+n)a+mn﹣2＝0，b2+(
m+n)b+mn﹣2＝0，
而a、b、m、n为互不相等的实数，
∴可以把a、b看作方程x2+（m+n）x+mn﹣2＝0的两个实数根，
∴ab＝mn﹣2，
∴ab﹣mn＝﹣2．
故选：C．
【点睛】
本题考查一元二次方程根与系数的关系及整式的乘法，理解代数思想，把“a、b看作方程x2+（m+n）x+mn﹣2＝0的两实数根”是解题关键．
二、填空题
31．已知，关于的方程根都是整数；若为整数，则的值为______．
【答案】-1，0，1
【分析】
分情况讨论：当时方程为一元一次方程，求解看根是否为整数；当时利用韦达定理表示出、，即可求解．21·cn·jy·com
【详解】
解：当时，方程为，此时解为，符合题意；
当时，，
∴，，
∵和k均为整数，
∴或1，
综上所述，k的值为-1，0，1，
故答案为：-1，0，1．
【点睛】
本题考查一元二次方程根与系数的关系，掌握分类讨论的思想是解题的关键．
32．若实数、满足，，则代数式的值为______．
【答案】98
【分析】
由题意得：、是方程的两个根，利用跟与系数的关系，得出，，进而即可求解．
【详解】
解：∵实数、满足，，
∴、是方程的两个根，
∴，，
∴=
=，
故答案是：98．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式，把实数、看作是方程的两个根，是解题的关键．
33．若实数a、b满足a2﹣8a+5＝0，b2﹣8b+5＝0，则a+b的值_____．
【答案】8或
【分析】
分类讨论：当a＝b，解方程易得原式＝8±2；当a≠b，可把a、b可看作方程x2﹣8x+5＝0的两根，然后根据根与系数的关系求解．
【详解】
解：当a＝b时，
由a2﹣8a+5＝0解得a＝4±，
∴a+b＝8±2；
当a≠b时，
a、b可看作方程x2﹣8x+5＝0的两根，
∴a+b＝8．
故答案为8或8±2．
【点睛】
本题主要考查解一元二次方程以及根与系数的关系，能够对a、b进行分类讨论是解题关键．
34．已知α、β是方程x2－2x－1＝0的两个根，则α2＋2β＝_____．
【答案】5
【分析】
先用一元二次方程跟与系数的关系，再利用方程变形即可
【详解】
解：由题意可得：
∴
∴
∵α、β是方程x2－2x－1＝0的两个根
∴
∴
∴α2＋2β=5
故答案是：5
【点睛】
本题考查一元二次方程跟与系数的关系，换元法是关键
35．若m、n是方程的两个实数根，则之值为_________．
【答案】2022
【分析】
根据一元二次方程根与系数关系，求出两根之和、两根之积即可．
【详解】
解：∵m、n是方程的两个实数根，
∴，，
，
故答案为：2022．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根与系数关系，熟练掌握并灵活运用一元二次方程根与系数关系是解题关键．
三、解答题
36．若是关于x的一元二次方程的两个根，则．现已知一元二次方程的两根分别为m，n．
（1）若，求的值；
（2）若，求的值．
【答案】（1）；（2）-1．
【分析】
根据一元二次方程根与系数的关系得到．
（1）把，代入，即可求出的值；
（2）把，代入，得到．利用整体代入即可求解．
【详解】
解：∵已知一元二次方程的两根分别为m，n，
∴．
（1）当时，
，
解得，
经检验，是方程的根，
∴；
（2）当时，
．
∴．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据题意得到是解题关键．
37．已知关于的一元二次方程．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若，且该方程的两个实数根的差为2，求的值．
【答案】（1）见详解；（2）
【分析】
（1）由题意及一元二次方程根的判别式可直接进行求证；
（2）设关于的一元二次方程的两实数根为，然后根据一元二次方程根与系数的关系可得，进而可得，最后利用完全平方公式代入求解即可．
【详解】
（1）证明：由题意得：，
∴，
∵，
∴，
∴该方程总有两个实数根；
（2）解：设关于的一元二次方程的两实数根为，则有：，
∵，
∴，
解得：，
∵，
∴．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键．2-1-c-n-j-y
38．若关于的方程有两个实数根．
（1）求的取值范围；
（2）若方程的两根，，满足，求的值．
【答案】（1）k≥-3且k≠1；（2）
【分析】
（1）根据方程有两个实数根，结合根的判别式，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出结论．
（2）根据一元二次方程的根与系数的关系可以得到x1+x2＝，x1x2＝，再将它们代入，即可求出k的值．
【详解】
（1）∵关于x的一元二次方程有两个实数根，
∴△＝42+4（k﹣1）＝4k+12≥0，且k-1≠0，
解得：k≥-3且k≠1．
∴k的取值范围为：k≥-3且k≠1．
（2）由根与系数关系得：x1+x2＝
，x1x2＝，
∴＝x1x2+（x1+x2）+1＝+＝4．
解得k＝．
经检验，k＝是分式方程的解．
故k的值是．
【点睛】
本题主要考查了根的判别式及根与系数的关系，熟练运用根的判别式及根与系数的关系是解决问题的关键．
39．已知关于的一元二次方程有实数根．
（1）求的取值范围；
（2）若该方程的一个实数根为1，求的值及方程的另一个根．
【答案】（1）m≤2；（2）m=1；另一个根为5
【分析】
（1）根据根的判别式大于或等于零求解即可；
（2）把x=1代入求出m的值，利用根与系数的关系即可求出方程的另一个根．
【详解】
解：（1）由题意，得36-4(4m+1)
≥0，
解得m≤2；
（2）把x=1代入，得
，
解得m=1；
设另一根为x2，则1+
x2=6，
解得x2=5，
∴方程的另一个根为5．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解，根的判别式，以及根与系数的关系，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．
40．已知关于x的方程x2+2x+a+2＝0．
（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围；
（2）当该方程的一个根为1时，求a的值及方程的另一根．
【答案】（1）a的取值范围是a＜﹣1；（2）a的值是﹣5，该方程的另一根为﹣3
【分析】
（1）关于x的方程x2+2x+a+2＝0有两个不相等的实数根，即判别式△＝b2﹣4ac＞0．即可得到关于a的不等式，从而求得a的范围；
（2）设方程的另一根为x1，根据根与系数的关系列出方程组，求出a的值和方程的另一根．
【详解】
解：（1）∵方程有两个不相等的实数根
b2﹣4ac＝22﹣4×1×（a+2）＝﹣4﹣4a＞0，
解得：a＜﹣1．
∴a的取值范围是a＜﹣1；
（2）设方程的另一根为x1，由根与系数的关系得：，
解得：，
则a的值是﹣5，该方程的另一根为﹣3．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0时，方程有两个不相等的实数根；（2）△=0时，方程有两个相等的实数根；（3）△＜0时，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=，x1?x2=．
41．等腰△ABC中，BC＝8，AB、AC的长是关于x的方程x2﹣10x+m＝0的两根，求m的值．
【答案】m＝25或16
【分析】
等腰△ABC中，BC可能是方程的腰也可能是方程的底边，应分两种情况进行讨论．
当BC是底边时，AB=AC，则方程x2-10x+m=0有两个相等的实根，即△=0，即可得到关于m的方程，求得m的值；
当BC是腰时，则方程一定有一个解是x=8，根据一元二次方程的根与系数的关系即可求得另一边即底边，与m的值．
【详解】
解：在方程x2﹣10x+m＝0中，x1+x2＝﹣＝10，
当这两边是等腰三角形的腰时，有x1＝x2＝5，
∴x1x2＝25＝m，
当有两边的长都为8时，有8+x2＝10，
∴x2＝2，
m＝x1x2＝2×8＝16，
∴m＝25或16．
【点睛】
本题考查了：1、一元二次方程的根与系数的关系；2、等腰三角形中有两边相等的性质．
42．已知关于x的方程x2﹣（k+1）x+k2+1＝0，根据下列条件，分别求出k的值．
（1）方程两实根的积为5；
（2）方程的两实根x1，x2满足|x1|＝x2．
【答案】（1）4；（2）
【分析】
（1）根据二次函数的性质和根的判别式即可求出k的值；
（2）把已知等式两边平分可得到（x1
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)+x2）（x1﹣x2）＝0，则x1+x2＝0或x1﹣x2＝0，继而可得：k+1＝0或△＝0，再分别求出k，然后根据（1）中k的取值范围即可求得k的值
【详解】
解：（1）根据题意得△＝（k+1）2﹣4（k2+1）≥0，解得k≥，
x1+x2＝k+1，x1x2＝k2+1，
∵x1x2＝5，
∴k2+1＝5，解得k＝±4，
∵k≥，
∴k的值为4；
（2）∵|x1|＝x2，
∴x12＝x22，
∴（x1+x2）（x1﹣x2）＝0，
∴x1+x2＝0或x1﹣x2＝0，
∴k+1＝0或△＝0，
∴k＝﹣1或k＝，
∴k的值为．
【点睛】
本题考查一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，解题的关键是熟练运用一元二次方程的有关知识点．
43．已知关于的一元二次方程有两根，．
（1）求的取值范围；
（2）若，求的值．
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）利用判别式得到，然后解不等式即可；
（2）根据根与系数的关系得到，，由已知得到，代入得到关于m的方程，解方程即可求得m的值．
【详解】
（1）由题意知：，
解得：，
∴的取值范围是；
（2）由根与系数关系可知：，，
∵，
∴，
即，
解得：(舍去)，
∴的值为．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，若是一元二次方程()的两根时，，．
44．已知关于的一元二次方程有实数根．
（1）若1是方程的一个根，求出一元二次方程的另一根；
（2）若方程的两个实数根为，，且=3，求的值．
【答案】（1）3；（2）．
【分析】
（1）设方程的另一个根为α，选择合适计算方式，利用根与系数关系定理求解即可；
（2）利用根与系数关系定理和根的判别式求解即可．
【详解】
解：（1）∵1是关于的一元二次方程的一个根，
∴设α是关于的一元二次方程的另一个根，
∴1+α=4，
∴α=3，
∴关于的一元二次方程的另一个根是3；
（2）∵是方程的两个实数根，
∴，
∴，
又∵=3
而且，
∴=，
∴＜3，
∴的值是．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系定理的解题应用，根的判别式的应用，熟练掌握根与系数关系定理并灵活应用是解题的关键．【来源：21·世纪·教育·网】
45．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根x1、x2．
（1）求m的取值范围；
（2）当x1＝﹣1时，求另一个根x2的值．
【答案】（1）m<1；（2）另一个根x2的值是3．
【分析】
(1)根据题意可得根的判别式△>0,再代入可得4-4m>0，再解即可；
(2)
根据根与系数的关系可得，
再代入可得答案．
【详解】
解：（1）一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根x1、x2．
△＝4﹣4m＞0，
∴m＜1，
（2）根据根与系数的关系可知：x1+x2＝2，因为x1＝-1，所以x2＝3．
【点睛】
本题考查根与系数的关系及根的判别式，解题的关键是掌握根与系数的关系及根的判别式．
46．解答下列各题：
（1）用配方法解方程：；
（2）已知关于的一元二次方程的一个根，求的值及方程的另一个根．
【答案】（1），；（2），方程的另一个根3
【分析】
（1）先把常数项移到右边，再添加一次项系数一半的平方配方求解；
（2）将代入一元二次方程求得，再将代入原方程求另一个根，也可设另一根为,利用根与系数关系解方程组即可．
【详解】
解：（1），
，
，
，
∴，；
（2）方法1：设方程的另一个根为，利用根与系数关系则，
，
解得：，
即，方程的另一个根3．
方法2：将代入方程，得：，解得：，
∴，解得：，
即，方程的另一个根3．
【点睛】
本题考查了根的定义、一元二次方程的
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)解法，要熟练掌握配方法、因式分解法、公式法、直接开平方法，并能按照题目要求选择最佳解法.，也可用根与系数关系来求另一根问题．21
cnjy
com
47．已知关于x的一元二次方程有两个实数根．
（1）试求k的取值范围；
（2）若此方程的两个实数根，是否存在实数k，满足，若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）；（2）存在，．
【分析】
（1）由根的判别式，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围；
（2）由根与系数的关系，得到，，然后解关于k的一元二次方程，即可求出答案．
【详解】
解：（1）∵此方程有两个实数根，
∴
即
，
∴；
（2）存在．
根据题意，∵一元二次方程，
∴，，
∴，
∴符合题意，
即；
【点睛】
本题考查了根与系数的关系、一元二次方程
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)的定义以及根的判别式，解题的关键是：（1）根据根的判别式△＞0，列出关于k的一元一次不等式；（2）根据根与系数的关系求出k值．
48．已知关于x的方程．
（1）m为何值时，方程有两个不相等的实数根？
（2）若抛物线y=交x轴于A，B两点，且AB=3，求m的值．
【答案】（1）m＜；（2）-1．
【分析】
（1）求出判别式△，令△＞0，解不等式即可求解；
（2）设A（x1，0），B（x2，0），则x1+x2=﹣2m+1，x1x2=m2﹣1，
利用两点间的坐标公式可得关于m的方程，解方程即可．
【详解】
解：（1）由题意，得，⊿=（2m-1）2-4（m2-1）=﹣4m+5＞0，
解得，m＜
故当m＜时，方程有两个不相等的实数根；
（2）设A（x1，0），B（x2，0），
则x1+x2=﹣2m+1，x1x2=m2﹣1，
AB=|x1﹣x2|==3，
∴.
解得，m=﹣1（＜）
故m的值为﹣1．
【点睛】
本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练掌握根的判别式，根与系数的关系，两点间的坐标公式．
49．已知关于x的一元二次方程.
（1）若方程的两根之积为－5，求m的值；
（2）若方程有两个不相等的实数根，试判断另一个关于x的一元二次方程的根的情况．
【答案】（1）；（2）一元二次方程也有两个不相等的实数根．
【分析】
（1）由方程的两根之积为?5得出?m＋1＝?5，解之可得．
（2）由第一个方程根的情况，根据根的判别式可得到关于m的取值范围，进一步可判断第二个方程根的判别式的符号，可求得其根的情况．
【详解】
解：（1）∵方程的两根之积为－5，
∴．
∴；
（2）依题意，得＞0，
解得：m＞0．
∴一元二次方程的判别式为：=＞0
即一元二次方程也有两个不相等的实数根．
【点睛】
本题主要考查根的判别式，一元二次方
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根与△＝b2?4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．
50．已知关于的一元二次方程有两个实数根和．
（1）求实数的取值范围；
（2）当时，求的值．
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）根据判别式△=≥0求解即可；
(2)分解因式,确定两个根之间的关系,后根据判别式计算即可.
【详解】
(1)∵关于的一元二次方程有两个实数根和．
∴△=≥0,
∴;
(2)
∵
∴,
∴或,
∴△=0或2m+1=0,
解得或(舍去),
∴.
【点睛】
本题考查了一元二次方程的根与判别式的关系,根与系数的关系定理,熟记根的判别式和根与系数关系定理是解题的关键.【来源：21cnj
y.co
m】
51．已知关于的方程．
（1）取什么值时，方程有两个实数根；
（2）如果方程有两个实数根、，且，求的值．
【答案】（1）k≥；（2）k=．
【分析】
（1）利用一元二次方程的根的判别式就可以得到关于k的不等式，解不等式即可求出k的取值范围；
（2）|x1|=x2，即方程的两根
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)相等或互为相反数，当两根相等时判别式△=0；当方程的两根互为相反数时，两根的和是0，利用根与系数的关系可以得到关于k的方程，然后解方程即可求出k的值．
【详解】
解：（1）△=[-（k+1）]2-4（k2+1）=2k-3，
∵当△≥0，方程有两个实数根，
∴2k-3≥0，
∴k≥，
∴当k≥时，方程有两个实数根；
（2）由|x1|=x2，
①当x1≥0时，得x1=x2，
∴方程有两个相等实数根，
∴△=0，即2k-3=0，
∴k=．
又当k=时，有x1=x2=＞0
∴k=符合条件；
②当x1＜0时，得x2=-x1，
∴x1+x2=0
由根与系数关系得k+1=0，
∴k=-1，
由（1）知，与当k≥矛盾，
∴k=-1舍去，
综上可得，k=．
【点睛】
解答此题要知道一元二次方程根的情况与判别式△的关系和一元二次方程根与系数的关系：
（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0?方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0?方程没有实数根；
（4）x1+x2=
；
（5）x1?x2=
．
52．已知关于x的方程x2－(2k－1)x+k2=0有两个实数根x1，x2．
（1）求k的取值范围；
（2）若∣x1+x2∣=
x1x2-1，求k的值．
【答案】（1）；（2）k的值为0或
【分析】
（1）根据方程有两个实数根得到，求解即可；
（2）根据根与系数的关系得到，，讨论：当时，当时，分别求解，结合（1）可得答案．
【详解】
（1）∵方程有两个实数根，
∴，
解得；
（2）∵方程x2－(2k－1)x+k2=0有两个实数根x1，x2．
∴，，
∵∣x1+x2∣=
x1x2-1，
∴，
当时，则，解得k1=0，k2=2，
∵，
∴k=0；
当时，则，解得，
∵，
∴，
综上，k的值为0或．
【点睛】
此题考查一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程，正确求解一元二次方程并判断k的值是易错点．www.21-cn-jy.com
53．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求实数m的取值范围；
（2）若方程两实数根满足，求m的值．
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）根据根的判别式大于零求解即可；
（2）根据根与系数的关系及根的定义得出关于m的方程求解即可；
【详解】
（1）由题意知，，
∴；
（2）由根与系数关系得：，，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，
，
∵，
∴．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数的关系、以及根的定义，熟练掌握个知识点是解答本题的关键．【版权所有：21教育】
54．已知关于x
的一元二次方程x2
-5x
+
m
=
0．
（1）若方程有实数根，求实数m
的取值范围；
（2）若方程两实数根为x1，x2，且满足3
x1-2x2
=5，求实数m
的值．
【答案】（1）；（2）6
【分析】
（1）根据一元二次方程根的判别式列出不等式计算即可；
（2）根据根与系数的关系求出，，即可求出m的值．
【详解】
（1）∵一元二次方程有实数根，
∴，
∴，
解得；
（2）∵方程两实数根为x1，x2，
∴，
∴，
∵3
x1-2x2
=5，
∴，
解得，
∴，
∵，
∴m=6．
【点睛】
此题考查一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，熟记根的判别式的三种情况及根与系数的两个关系式是解题的关键．21教育名师原创作品
55．关于的一元二次方程．
（1）求证：无论取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根
（2）设该方程两个同号的实数根为，，试问是否存在使成立，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）不存在，理由见解析
【分析】
（1）根据根的判别式公式列出的表达式，证明>0即可证明此方程总有两个不相等的实数根；
（2）由根与系数的关系可得，，将方程中的转化为，再整体代入得到关于m的一元二次方程，解方程，最后根据两个同号的实数根进行取舍即可．
【详解】
（1）证明：，
无论取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根．
（2）由根与系数的关系可得：，，
，
则有，
，
整理得：，
解得：或，
由方程有两个同号的实数根可得：，即m－2>0，
m>2，
不存在m使成立．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程根与系数的
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)关系以及根的判别式，熟记根的判别式以及根与系数的关系公式是解题关键，此题还需注意的是根据两实数根同号对求出的m值进行取舍．
56．已知：关于x的方程有实数根．
（1）求k的取值范围．
（2）若，是方程的两个实数根，问：是否存在实数k，使其满足，若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）存在，或
【分析】
（1）利用一元二次方程根的判别式列出不等式，再求解即可；
（2）根据已知得出①，，推出，求出②，把①代入②得出，最后求出k即可.
【详解】
解：（1）当即时，方程，
，即方程有实数根，
当时，，方程有实数根，即，
综合上述：k的取值范围是．
（2）∵，是方程的两个实数根，
∴，①
，，
∴，
∵，
∴，
∴，
即：，②
把①代入②得：，
，
，，
由（1）可知k需满足：且，
∴或．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解和根的判别式、根与系数的关系等知识点的应用，灵活应用相关知识是解答本题的关键．
57．如果方程x2+px+q=0有两个实数根x1，
x2，那么x1+x2=﹣p，x1x2=q，请根据以上结论，解决下列问题：
（1）已知a、b是方程x2+15x+5=0的二根，则=?
（2）已知a、b、c满足a+b+c=0，abc=16，求正数c的最小值．
（3）结合二元一次方程组的相关知识，解决问题：已知和是关于x，y的方程组的两个不相等的实数解．问：是否存在实数k，使得y1y2﹣=2？若存在，求出的k值，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）43（2）4（3）存在，当k=﹣2时，
【分析】
（1）根据a，b是x2+15x+5=0的解，求出a+b和ab的值，即可求出的值．
（2）根据a+b+c=0，abc=16，得出a+b=-c，ab=，a、b是方程x2+cx+=0的解，再根据c2-4?≥0，即可求出c的最小值．
（3）运用根与系数的关系求出x1+x2=1，x1?x2=k+1，再解y1y2-=2，即可求出k的值．
【详解】
（1）∵a、b是方程x2+15x+5=0的二根，
∴a+b=﹣15，ab=5，
∴===43，
故答案是：43；
（2）∵a+b+c=0，abc=16，
∴a+b=﹣c，ab=
，
∴a、b是方程x2+cx+=0的解，
∴c2﹣4?≥0，c2﹣≥0，
∵c是正数，
∴c3﹣43≥0，c3≥43
，
c≥4，
∴正数c的最小值是4．
（3）存在，当k=﹣2时，
．
由x2﹣y+k=0变形得：y=x2+k，
由x﹣y=1变形得：y=x﹣1，把y=x﹣1代入y=x2+k，并整理得：x2﹣x+k+1=0，
由题意思可知，x1
，
x2是方程x2﹣x+k+1=0的两个不相等的实数根，故有：
即：
解得：k=﹣2．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
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精品试卷·第
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1.3
一元二次方程的根与系数的关系
【提升训练】
一、单选题
1．关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0的两实数根分别为x1、x2，且x1+3x2＝4，则m的值为（ ）
A．
B．
C．
D．3
2．若方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根分别是，5．则方程a（x-1）2＋bx＝b-2c的两根为（
）
A．-，6
B．-3，10
C．-2，11
D．-5，21
3．定义新运算：a
b＝a（
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)m﹣b）．若方程x2﹣mx+4＝0有两个相等正实数根，且b
b＝a
a（其中a≠b），则a+b的值为（
）www.21-cn-jy.com
A．﹣4
B．4
C．﹣2
D．2
4．是方程的两根，的值是（
）
A．2017
B．2018
C．2019
D．2020
5．α、β是方程2x2-2x-3=0的两根，则（α+1）（β+1）的值为（）
A．-
B．
C．
D．
6．已知，满足方程，则（
）
A．
B．
C．
D．
7．已知：x1，x2是方程2x2＋x－2＝0的两实根，则x12＋x22的值为（
）
A．
B．
C．1
D．9
8．若，是方程的两个实数根，则的值是（
）
A．2019
B．-2019
C．
D．2021
9．若是关于的一元二次方程的两个根，且，则的值为（
）
A．-3
B．
C．-5
D．
10．关于x的一元二次方程（a，b，c为实数，）有两个相等的实数根，若实数满足，则此一元二次方程的根是（
）2·1·c·n·j·y
A．
B．
C．
D．
11．已知x1、x2为一元二次方程x2﹣bx﹣3＝0的两个实数根，且x1+x2＝2，则（
）
A．x1＝1，x2＝3
B．x1＝﹣1，x2＝﹣3
C．x1＝1，x2＝﹣3
D．x1＝﹣1，x2＝3
12．设m、n是一元二次方程x2+5x﹣8=0的两个根，则m2+7m+2n=（???
）
A．-5?
B．-2
C．2?
D．5
13．若关于x的一元二次方程有两个实数根，，则下列说法正确的是（ ）
A．a的值可以是0
B．
C．
D．，都是正数
14．关于未知数x的方程kx2+4x﹣1=0只有正实数根，则k的取值范围为（ ）
A．﹣4≤k≤0
B．﹣4≤k＜0
C．﹣4＜k≤0
D．﹣4＜k＜0
15．一元二次方程(x﹣1)(x+3)＝5x﹣5的根的情况是( )
A．无实数根
B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根
D．有一个正根，一个负根
16．已知一元二次方程x2﹣4x+3=0的两根x1、x2，则x12﹣4x1+x1x2=（ ）
A．0
B．1
C．2
D．﹣1
17．一元二次方程的两个根为，则的值是（
）
A．10
B．9
C．8
D．7
18．下列一元二次方程中，没有实数根的是（
）
A．
B．
C．
D．
19．已知一元二次方程的两根分别为m、n，则m+n的值为（
）
A．﹣2
B．﹣1
C．1
D．2
20．已知关于x的一元二次方程x2-（2k+1）x+k+1=0，
若x1+x2=3，则k的值是（
）
A．0
B．1
C．﹣1
D．2
21．设是方程的两个根，则的值是（
）
A．
B．
C．
D．
22．关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根α、β满足，则p的值是（
）
A．-3
B．3
C．
D．
23．以3和-2为根的一元二次方程是（
）
A．
B．
C．
D．
24．已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值是（
）
A．
B．
C．
D．
25．一元二次方程2x2﹣3x+a＝0有一个根是x＝2，则a的值及方程的另一个根是（
）
A．a＝2，x＝1
B．a＝﹣2，x＝
C．a＝﹣2，x＝
D．a＝2，x＝2
26．已知x1、x2是关于x的方程x2+mx﹣1＝0的两根，下列结论一定正确的是（ ）
A．x1≠x2
B．x1+x2＜0
C．x1?x2＞0
D．x1＞0，x2＜0
27．已知m、n是一元二次方程的两个实数根，则（ ）
A．3
B．
C．
D．
28．设、是方程的两个实数根，则的值为（
）
A．
B．2018
C．2020
D．2022
29．已知x1，x2是一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣1＝0的两不相等的实数根，且，则m的值是（ ）21世纪教育网版权所有
A．或3
B．﹣3
C．
D．
30．已知a、b、m、n为互不相等的实数，且(a+m)(
a+n)＝2，(b+m)(
b+n)＝2，则ab﹣mn的值为（ ）
A．4
B．1
C．﹣2
D．﹣1
二、填空题
31．已知，关于的方程根都是整数；若为整数，则的值为______．
32．若实数、满足，，则代数式的值为______．
33．若实数a、b满足a2﹣8a+5＝0，b2﹣8b+5＝0，则a+b的值_____．
34．已知α、β是方程x2－2x－1＝0的两个根，则α2＋2β＝_____．
35．若m、n是方程的两个实数根，则之值为_________．
三、解答题
36．若是关于x的一元二次方程的两个根，则．现已知一元二次方程的两根分别为m，n．
（1）若，求的值；
（2）若，求的值．
37．已知关于的一元二次方程．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若，且该方程的两个实数根的差为2，求的值．
38．若关于的方程有两个实数根．
（1）求的取值范围；
（2）若方程的两根，，满足，求的值．
39．已知关于的一元二次方程有实数根．
（1）求的取值范围；
（2）若该方程的一个实数根为1，求的值及方程的另一个根．
40．已知关于x的方程x2+2x+a+2＝0．
（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围；
（2）当该方程的一个根为1时，求a的值及方程的另一根．
41．等腰△ABC中，BC＝8，AB、AC的长是关于x的方程x2﹣10x+m＝0的两根，求m的值．
42．已知关于x的方程x2﹣（k+1）x+k2+1＝0，根据下列条件，分别求出k的值．
（1）方程两实根的积为5；
（2）方程的两实根x1，x2满足|x1|＝x2．
43．已知关于的一元二次方程有两根，．
（1）求的取值范围；
（2）若，求的值．
44．已知关于的一元二次方程有实数根．
（1）若1是方程的一个根，求出一元二次方程的另一根；
（2）若方程的两个实数根为，，且=3，求的值．
45．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根x1、x2．
（1）求m的取值范围；
（2）当x1＝﹣1时，求另一个根x2的值．
46．解答下列各题：
（1）用配方法解方程：；
（2）已知关于的一元二次方程的一个根，求的值及方程的另一个根．
47．已知关于x的一元二次方程有两个实数根．
（1）试求k的取值范围；
（2）若此方程的两个实数根，是否存在实数k，满足，若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．
48．已知关于x的方程．
（1）m为何值时，方程有两个不相等的实数根？
（2）若抛物线y=交x轴于A，B两点，且AB=3，求m的值．
49．已知关于x的一元二次方程.
（1）若方程的两根之积为－5，求m的值；
（2）若方程有两个不相等的实数根，试判断另一个关于x的一元二次方程的根的情况．
50．已知关于的一元二次方程有两个实数根和．
（1）求实数的取值范围；
（2）当时，求的值．
51．已知关于的方程．
（1）取什么值时，方程有两个实数根；
（2）如果方程有两个实数根、，且，求的值．
52．已知关于x的方程x2－(2k－1)x+k2=0有两个实数根x1，x2．
（1）求k的取值范围；
（2）若∣x1+x2∣=
x1x2-1，求k的值．
53．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求实数m的取值范围；
（2）若方程两实数根满足，求m的值．
54．已知关于x
的一元二次方程x2
-5x
+
m
=
0．
（1）若方程有实数根，求实数m
的取值范围；
（2）若方程两实数根为x1，x2，且满足3
x1-2x2
=5，求实数m
的值．
55．关于的一元二次方程．
（1）求证：无论取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根
（2）设该方程两个同号的实数根为，，试问是否存在使成立，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．21教育网
56．已知：关于x的方程有实数根．
（1）求k的取值范围．
（2）若，是方程的两个实数根，问：是否存在实数k，使其满足，若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由．21cnjy.com
57．如果方程x2+px+q=0有两个实数根x1，
x2，那么x1+x2=﹣p，x1x2=q，请根据以上结论，解决下列问题：
（1）已知a、b是方程x2+15x+5=0的二根，则=?
（2）已知a、b、c满足a+b+c=0，abc=16，求正数c的最小值．
（3）结合二元一次方程组的相关知识，解决问题：已知和是关于x，y的方程组的两个不相等的实数解．问：是否存在实数k，使得y1y2﹣=2？若存在，求出的k值，若不存在，请说明理由．21·cn·jy·com
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