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1.4
用一元二次方程解决问题
【提升训练】
一、单选题
1．在平面直角坐标系中，直线垂直于轴于点（点在原点的右侧），并分别与直线和双曲线相交于点，，且，则的面积为（
）21
cnjy
com
A．或
B．或
C．
D．
【答案】B
【分析】
设点的坐标为，从而可得，，再根据可得一个关于的方程，解方程求出的值，从而可得的长，然后利用三角形的面积公式即可得．
【详解】
解：设点的坐标为，则，
，
，
，
解得或，
经检验，或均为所列方程的根，
（1）当时，，
则的面积为；
（2）当时，，
则的面积为；
综上，的面积为或，
故选：B．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
本题考查了反比例函数与正比例函数的综合、解一元二次方程，正确求出点的坐标是解题关键．
2．如图1，矩形中，点为的中点，点沿从点运动到点，设，两点间的距离为，，图2是点运动时随变化的关系图象，则的长为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
先利用图2得出当P点位于B点时和当P点位于E点时的情况，得到AB和BE之间的关系以及，再利用勾股定理求解即可得到BE的值，最后利用中点定义得到BC的值．【出处：21教育名师】
【详解】
解：由图2可知，当P点位于B点时，，即，
当P点位于E点时，，即，则，
∵,
∴,
即,
∵
∴,
∵点为的中点，
∴,
故选：C．
【点睛】
本题考查了学生对函数图像的理解与应用，涉
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)及到了勾股定理、解一元二次方程、中点的定义等内容，解决本题的关键是能正确理解题意，能从图像中提取相关信息，能利用勾股定理建立方程等，本题蕴含了数形结合的思想方法．
3．某班学生毕业时，每一位同学都向全班其他同学送一张自己的相片作为纪念，全班共送了2550张相片，若设全班有名学生，则可列方程为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
如果全班有x名学生，那么每名学生应该送的相片为(x-1)张，根据“全班共送出了2550张相片”可得方程为x(x-1)=2550.
【详解】
解：∵全班有x名学生，
∴每名学生应该送的相片为(x-1)张，
∴x(x-1)=2550.
故选：B．
【点睛】
本题要注意题目中是共送，也是互送，所以要把握关键语．
4．某厂家2021年1－
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)5月份的产量如图所示．
下面有三个推断：①从1月份到5月份产量在逐月增长；②1月份到2月份产量的增长率是60%；③若设从3月份到5月份产量的平均月增长率为x，则可列方程为220（1＋x）2＝480，所有正确的推断是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．②
B．③
C．①②
D．②③
【答案】D
【分析】
根据图中的信息一一判断，利用增长率计算公式以及列出一元二次方程即可找出答案．
【详解】
解：①由图知，2月份到3月份产量减少，故①错误；
②由图，1月份的产量为：150万只，2月份的产量为：240万只，增长率为：；故②正确；
③设从3月份到5月份产量的平均月增长率为x，则4月份产量为220（1＋x）；5月份产量为220（1＋x）2＝480，故③正确；
故选：D．
【点睛】
此题考查的是数据分析，解题的关键是掌握增长率的计算公式以及找准等量关系，正确列出一元二次方程．
5．如图，在△ABC中，∠
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为1cm/s，点Q的速度为2cm/s，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动，若使△PBQ的面积为15cm2，则点P运动的时间是（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．2s
B．3s
C．4s
D．5s
【答案】B
【分析】
设出动点P，Q运动ts，能使△PBQ的面积为15cm2，用t分别表示出BP和BQ的长，利用三角形的面积计算公式即可解答．
【详解】
解：设动点P，Q运动ts后，能使△PBQ的面积为15cm2，
则BP为（8﹣t）cm，BQ为2tcm，由三角形的面积计算公式列方程得，
×（8﹣t）×2t＝15，
解得t1＝3，t2＝5（当t＝5时，BQ＝10，不合题意，舍去）．
∴动点P，Q运动3s时，能使△PBQ的面积为15cm2．
故选：B．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，借助三角形的面积计算公式来研究图形中的动点问题．
6．在某种病毒的传播过程中，每轮传染平均人会传染个人，若最初个人感染该病毒，经过两轮传染，共有人感染．则与的函数关系式为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
用含有x的代数式分别表示出每轮传染的人数和总人数即可得解.
【详解】
∵每轮传染平均人会传染个人，
∴2人感染时，一轮可传染2x人，
∴一轮感染的总人数为2x+2=2(1+x)人；
∵每轮传染平均人会传染个人，
∴2(1+x)人感染时，二轮可传染2(1+x)x人，
∴二轮感染的总人数为[2(1+x)+
2(1+x)x]=
人；
∴，
故选A.
【点睛】
本题考查了平均增长问题，准确表示每一轮传染的人数是解题的关键.
7．新冠肺炎传染性很强，曾有人同时患上新冠肺炎，在一天内一人平均能传染人，经过两天传染后人患上新冠肺炎，则的值为（
）www.21-cn-jy.com
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
根据两天后共有128人患上流感，列出方程求解即可．
【详解】
解：依题意得2+2x+x（2+2x）=128，
解得x1=7，x2=-9（不合题意，舍去）．
故x值为7．
故选：D．
【点睛】
考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
8．在“文博会”期间，某公司展销如图所示的长方形工艺品，该工艺品长，宽．中间镶有宽度相同的三条丝绸花边．若丝绸花边的面积为，设丝绸花边的宽为，根据题意，可列方程为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
找出丝绸花边的总面积与丝绸花边的宽之间的关系式即可列出方程．
【详解】
解：由题意知：三条丝绸花边的面积和-两个重叠部分的面积=丝绸花边的总面积，
∴设丝绸花边的宽为
xcm
，根据题意，可列方程为：
2×40x+60x-2x×x=650,即2x?40+x?(60?2x)=650，
故选D．
【点睛】
本题考查方程的列法，仔细分析题中含有未知数所表示的量之间的数量关系并把各数量正确地表示出来是解题关键．
9．一面足够长的墙，用总长
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)为30米的木栅栏（图中的虚线）围一个矩形场地ABCD，中间用栅栏隔成同样三块，若要围成的矩形面积为54平方米，设垂直于墙的边长为x米，则x的值为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．3
B．4
C．3或5
D．3或
【答案】D
【分析】
设AD长为x米，四边形ABCD是矩形，根据矩形的性质，即可求得AB的长；根据题意可得方程x（30?4x）＝54，解此方程即可求得x的值．2-1-c-n-j-y
【详解】
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
解：设与墙头垂直的边AD长为x米，四边形ABCD是矩形，
∴BC＝MN＝PQ＝x米，
∴AB＝30?AD?MN?PQ?BC＝30?4x（米），
根据题意得：x（30?4x）＝54，
解得：x＝3或x＝，
AD的长为3或米.
故选：D．
【点睛】
考查了一元二次方程的应用中的围墙问题，正确列出一元二次方程，并注意解要符合实际意义．
10．有x支球队参加篮球比赛，每两队之间都比赛一场，共比赛了21场，则下列方程中符合题意的是（
）
A．x(x-1)=21
B．x(x-1)=21
C．x(x+1)=21
D．x(x+1)=42
【答案】B
【分析】
设有x支球队参加篮球比赛，由于每两队之间都比赛一场，则此次比赛的总场数为：x（x-1）场．根据题意可知：此次比赛的总场数=21场，依此等量关系列出方程即可．
【详解】
解：设有x支球队参加篮球比赛，则此次比赛的总场数为x（x-1）场，
根据题意列出方程得：x（x-1）=21，
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了一元二次方程的应用，关键在于理解清楚题意，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
11．某企业通过改革，生产效率得到了
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)很大的提高，该企业一月份的营业额是1000万元，月平均增长率相同，第一季度的总营业额是3390万元．若设月平均增长率是x，那么可列出的方程是（
）
A．1000（1＋x）2＝3390
B．1000＋1000（1＋x）＋1000（1＋x）2＝3390
C．1000（1＋2x）＝3390
D．1000＋1000（1＋x）＋1000（1＋2x）＝3390
【答案】B
【分析】
月平均增长的百分率是x，则该超市二月份
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)的营业额为1000（1+x）万元，三月份的营业额为1000（1+x）2万元，根据该超市第一季度的总营业额是3990万元，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】
解：设月平均增长的百分率是x，则该超市二月份的营业额为1000（1+x）万元，三月份的营业额为1000（1+x）2万元，
依题意，得1000+1000（1+x）+1000（1+x）2=3990．
故选：B．
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
12．2020年12月29
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)日，贵阳轨道交通2号线实现试运行，从白云区到观山湖区轨道公司共设计了132种往返车票，则这段线路有多少个站点？设这段线路有x个站点，根据题意，下面列出的方程正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
利用列方程解应用题，仔细阅读试题，找出等量关系为：站点数×每站票数（比站点数少1）=总票数，列方程即可．
【详解】
设这段线路有x个站点，每个站点售其它各站一张往返车票，共有(x-1)张票，
根据题意，列方程得．
故选择：B．
【点睛】
本题考查列方程解应用题，掌握列方程解应用题的方法，抓住等量关系站点数×每站票数（比站点数少1）=总票数是解决问题的关键．
13．有一个密码程序系统，其原理如框图所示，若输出的数为4，则输入的x为（
）
A．﹣3或1
B．－3
C．1
D．3或－1
【答案】A
【分析】
将框图中的代数式与输出的结果建立方程，求解方程即可．
【详解】
解：根据题意得，，
解得，，
因此，输入的数为：-3或1，
故选：A．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键是根据程序图建立方程．
14．在疫情期间，口罩的需求量急剧上升.某口罩生产企业四月份生产了口罩200000只，
如果要在第二季度总共生产728000只口罩，设生产口罩月平均增长的百分率为，则可根据题意列出的方程是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
根据题意生产口罩月平均增长的百分率为，四月份生产了口罩200000只，第二季度总共生产728000只口罩，由此列出方程即可．
【详解】
解：设生产口罩月平均增长的百分率为，
四月份生产了口罩200000只，
五月份生产了口罩只，
六月份生产了口罩只，
又在第二季度四、五、六3个月总共生产了728000只口罩，
列式为：．
故选：D．
【点睛】
此题考查一元二次方程的实际应用问题，属于增长率问题，根据题意列出等式是解决本题的关键．
15．疫情促进了快递行业高速发展，某家快递公司年月份与月份完成投递的快递总件数分别为万件和万件，设该快递公司月到月投递总件数的月平均增长率为，则下列方程正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
利用7月份完成投递的快递总件数=5月份完成投递的快递总件数×（1+x）2，进而得出等式求出答案．
【详解】
解：设该快递公司这两个月投递总件数的月平均增长率为x，
根据题意，得100（1+x）2=144，
故选：B．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，根据题意正确用未知数表示出七月份完成投递的快递总件数是解题的关键．
16．据网络统计，某品牌手机2020年一月份销售量为400万部，二月份、三月份销售量连续增长，三月份销售量达到900万部，求二月份、三月份销售量的月平均增长率？若设月平均增长率为，根据题意列方程为（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
设月平均增长率为x，根据三月及五月的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】
解：设月平均增长率为x，
根据题意得：400（1+x）2=900．
故选：C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程中增长率的知识．增长前的量×（1+年平均增长率）年数=增长后的量．
17．某小区附近新建一个游泳馆，馆内矩形游泳池的面积为，且游泳池的宽比长短．设游泳池的长为，则可列方程为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
因为游泳池的长为xm，那么宽可表示为（x-10）m，根据面积为300，即可列出方程．
【详解】
解：因为游泳池的长为xm，那么宽可表示为（x-10）m；
则根据矩形的面积公式：x（x-10）=300；
故选：A．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，掌握“矩形面积=长×宽”是关键．
18．某厂家2020年1~5月份的口罩产量统计如图所示，设从2月份到4月份，该厂家门罩产量的月平均增长率为，根据题意可得方程（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
本题为增长率问题，一般用增长后的量
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)=增长前的量×（1+增长率），如果设这个增长率为x，根据“2月份的180万只，4月份的产量将达到460.8万只”，即可得出方程．21·世纪
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【详解】
解：从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程：180（1+x）2=460.8，
故选：A．
【点睛】
考查了由实际问题抽象出一元二次方程，本题为增长率问题，一般形式为a（1+x）2=b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．
19．某养殖户的养殖成本逐年增长，已知第1年
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)的养殖成本为10万元，第3年的养殖成本为16万元，设每年平均增长的百分率为x，则下面所列方程中正确的是（ ）
A．10（1﹣x）2=16
B．16（1﹣x）2=10
C．16（1+x）2=10
D．10（1+x）2=16
【答案】D
【分析】
根据第一年的养殖成本×(1+平均年增长率)2=第三年的养殖成本，列出方程即可．
【详解】
设增长率为，根据题意得．
故选：D．
【点睛】
本题考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为．（当增长时中间的“±”号选“+”，当下降时中间的“±”号选“-”）．
20．受非洲猪瘟及其他因素影响，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)2020年9月份猪肉价格两次大幅度上涨，瘦肉价格由原来23元/千克，连续两次上涨x%后，售价上升到60元/千克，则下列方程中正确的是（ ）
A．23（1﹣x%）2＝60
B．23（1+x%）2＝60
C．23（1+x2%）＝60
D．23（1+2x%）＝60
【答案】B
【分析】
可先用x%表示第一次提价后商品的售价，再根据题意表示第二次提价后的售价，然后根据已知条件得到关于x%的方程．
【详解】
解：当猪肉第一次提价x%
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)时，其售价为23+23x%=23（1+x%）；
当猪肉第二次提价x%后，其售价为23（1+x%）+23（1+x%）x%=23（1+x%）2．
∴23（1+x%）2=60．
故选：B．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，要根据题意列出第一次提价后商品的售价，再根据题意列出第二次提价后售价的方程，令其等于60即可．
21．某市“梨花节”观赏人数逐年增加，据有关部门统计，年约为万人次，年约为万人次，设观赏人数年均增长率为，则下列方程中正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
设这两年观赏人数年均增长率为x，根据“2016年约为30万人次，2018年约为38.8万人次”，可得出方程．
【详解】
解：设观赏人数年均增长率为x，那么依题意得30（1+x）2=38.8，
故选：C．
【点睛】
主要考查增长率问题，一般用增长后
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)的量=增长前的量×（1+增长率），一般形式为a（1+x）2=b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．
22．由于国内疫情得到缓和，餐饮业逐渐恢复，某地一家餐厅重新开张，开业第一天收入约为2000元，之后两天的收入按相同的增长率增长，第3天的收入约为2420元，若设每天的增长率为，则列方程为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
根据开业第一天收入约为2000元，之后两天的收入按相同的增长率增长，第3天收入约为2420元列方程即可得到结论．
【详解】
设每天的增长率为，
依题意，得：．
故选：．
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
23．某县以“重点整治环境卫生”
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)为抓手，加强对各乡镇环保建设的投入，计划从2018年起到2020年累计投入4250万元，已知2018年投入1500万元，设投入经费的年平均增长率为x，根据题意，下列所列方程正确的是（
）21cnjy.com
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
根据题意分别表示出2019年、2020年的投入进而得出等式．
【详解】
设投入经费的年平均增长率为x，根据题意得：
．
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，正确表示出每年的投入是解题关键．
24．如图，在长为32m，宽为20m的
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)长方形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为540m2，则道路的宽（ ）m．www-2-1-cnjy-com
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．1
B．1.5
C．2
D．2.5
【答案】C
【分析】
根据矩形的性质，先将道路进行平移，然后根据矩形的面积公式列方程求解．
【详解】
解：原图经过平移转化为图1．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
设道路宽为xm，
根据题意，得（20﹣x）（32﹣x）＝540．
整理得x2﹣52x+100＝0．
解得x1＝50（不合题意，舍去），x2＝2．
则道路宽为2m，
故选：C．
【点睛】
考查了一元二次方程的应用，对于面积问题应熟
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)记各种图形的面积公式．本题中按原图进行计算比较复杂时，可根据图形的性质适当的进行转换化简，然后根据题意列出方程求解．
25．我县为发展教育事业，加强了对教育经费
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)的投入，2018年投入5000万元，预计到2020年投入8000万元，设教育经费的年平均增长率为x，下面所列方程正确的是(
)
A．5000（1+x）2=8000
B．5000（1+x）+2000（1+x）2=8000
C．5000x2=8000
D．5000+5000（1+x）+5000（1+x）2=8000
【答案】A
【分析】
2018年投入的5000万元×（1+年平均增长率x）2=
2020年投入的8000万元，据此即可列出方程．
【详解】
解：根据题意，得5000（1+x）2=8000．
故选：A．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用之增长率问题，属于常考题型，正确理解题意、找准相等关系是解题的关键．
26．某超市今年1月份的营业额为50万元，已知2月至3月营业额的月增长率是1月至2月营业额的月增长率的2倍，3月份的营业额是66万元，设该超市1月至2月营业额的月增长率为，根据题意，可列出方程（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
根据2月份的营业额=1月份的营业额×（1+x），3月份的营业额=2月份的营业额×（1+2x），把相关数值代入即可得到相应方程．
【详解】
解：∵1月份的营业额为50万元，2月份的营
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)业额比1月份增加x，
∴2月份的营业额=50×（1+x），
∴3月份的营业额=50×（1+x）×（1+2x），
∴可列方程为：50（1+x）（1+2x）=66．
故选：D．
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出一元二
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)次方程中求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．注意先求得2月份的营业额．
27．十进制数2378，记作，其实，二进制数．有一个（为整数）进制数，把它的三个数字顺序颠倒得到的k进制数是原数的3倍，则（
）
A．10
B．9
C．8
D．7
【答案】D
【分析】
依据定义列出关于k的方程求解即可．
【详解】
解：由题意得：3（k2+6k+5）=5k2+6k+1，
解得：k=7或k=-1（舍去）．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查的是数的进制，依据定义列出关于k的方程是解题的关键．
28．如图，若将上图正方形剪成四块，恰能拼成下图的矩形，设，则（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
根据上图可知正方形的边长为a+b，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)下图长方形的长为a+b+b，宽为b，并且它们的面积相等，由此可列出（a+b）2=b(a+b+b)，解方程即可求得结论．21世纪教育网版权所有
【详解】
解：根据题意得：正方形的边长为a+b，长方形的长为a+b+b，宽为b，
则（a+b）2=b(a+b+b)，即a2﹣b2+ab=0，
∴，
解得：，
∵＞0，
∴，
∴当a=1时，，
故选：B．
【点睛】
本题考查了图形的拼接、解一元二次方程、正方形的面积、长方形的面积，正确理解题意，找到隐含的数量关系列出方程是解答的关键．
29．某网店在“双11”促
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)销活动中对一件原价500元的商品进行了“折上折”优惠活动（即两次打折数相同），优惠后实际仅售320元，设该店打x折，则可列方程（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
根据原价及经过两次打折后的价格，可得出关于x的一元二次方程，即可得答案．
【详解】
设该店打x折，
∵商品进行了“折上折”优惠活动，优惠后实际仅售320元，
∴500（）2=320，
故选：D．
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找出等量关系，正确列出一元二次方程是解题关键．
30．如图，在中，，．点是上一点，连接，将沿折叠至．连接，，平分交于点．若，则的长为（
）21教育名师原创作品
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
作EF⊥AC，EG⊥AB，通过勾股定理，求出AB，BC，的长度，E是∠BAC，的角平分线，得出AGEF为正方形，利用正方形性质及勾股定理即可求出答案．
【详解】
解：作EF⊥AC，EG⊥AB，
由题得∠ABC=90°，，
∴∠BAC，=90°，BC=BC,，
∴AB：BC，=1:2，∠AC，B=30°，∠ABC，=60°，
又∵，
∴
∴
∴AB=,
∵AE是∠BAC，的角平分线
∴EG=EF，
∴四边形AGEF为正方形
设AG=x，∴FA=AG=GE=EF=x
FC,=，C,E=2x
∴
解得x=1或x=
（舍去）
∴x=1，即FA=AG=GE=EF=1
AE为正方形AGEF的对角线
∴AE=．
故选：A
．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
本题主要考查折叠的性质正方形的性质及勾股定理的应用，解题关键在于做出辅助线，得出AGEF为正方形．
二、填空题
31．如图，已知一次函数的图象分别与x轴，y轴相交于点A，B，C是直线上一点．当时，点C的坐标是__________．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】（-1，3）或（3，1）
【分析】
求出点A和点B坐标，过点O作OE⊥AB交于点E，利用面积法求出OE的长，再根据∠OCB=45°，得到OC的长，设C（x，），得到关于x的方程，解之，可得点C坐标．
【详解】
解：由题意可得：令，得x=5，即A（5，0），
令x=0，得：y=，即B（0，），
过点O作OE⊥AB交于点E，
则AB=，OA=5，OB=，
∴S△AOB=，即，
即，得OE=，
若∠OCB=45°，则△OEC为等腰直角三角形，
∴OC=OE，
设C（x，），
则OC===OE=，
解得：，，
当x=-1时，y=3，此时C（-1，3），
当x=3时，y=1，此时C（3，1），
综上：点C的坐标为（-1，3）或（3，1）．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
本题考查了一次函数的图像和性质，面积法，等
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)腰直角三角形的判定和性质，一元二次方程，解题的关键是利用坐标与图形的性质，将坐标和线段长度进行转化．
32．已知，则________．
【答案】3．
【分析】
先将要求解的式子进行改写整理再利用已知方程进行求解即可．
【详解】
解：，
又∵，
∴，
则，
故答案为：3．
【点睛】
本题是一元二次方程求对应解的题目，解题的关键是将求解式子进行变形再利用已知方程进行简便运算．
33．响应国家号召打赢脱贫攻坚战，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)小明家利用信息技术开了一家网络商店，将家乡的土特产销往全国，今年6月份盈利24000元，8月份盈利34560元，求6月份到8月份盈利的月平均增长率．设6月份到8月份盈利的月平均增长率为x，根据题意，可列方程为______
．2·1·c·n·j·y
【答案】
【分析】
设该商店从6月份到8月份每月盈利的平均增长率为
x
，根据该商店6月份及8月份的利润，可得出关于
x
的一元二次方程；
【详解】
设该商店从6月份到8月份每月盈利的平均增长率为
x
故答案为：．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元二次方程．
34．如图，在矩形ABC
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)D中，AB＝12cm，BC＝6cm，点P从点A出发沿AB以2cm/s的速度向点B运动；同时，点Q从点B出发沿BC以1cm/s的速度向点C运动，点P运动到点B时，点Q也停止运动；当△PQC的面积等于16cm2时，运动时间为__s．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】2．
【分析】
设运动时间为xs（0≤x≤6），则
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)PB=（12-2x）cm，CQ=（6-x）cm，利用三角形面积的计算公式结合△PQC的面积等于16cm2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【详解】
设运动时间为xs（0≤x≤6），则PB＝（12﹣2x）cm，CQ＝（6﹣x）cm，
依题意，得：（12﹣2x）（6﹣x）＝16，
整理，得：x2﹣12x+20＝0，
解得：x1＝2，x2＝10（不合题意，舍去）．
故答案为：2．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
35．如图，在长为，宽为的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使得留下的图形（图中阴影部分）面积是原矩形面积的，则所截去小正方形的边长是___．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】2
【分析】
设所截去小正方形的边长是，再根据“留下的图形（图中阴影部分）面积是原矩形面积的”建立方程，然后解方程即可得．
【详解】
设所截去小正方形的边长是，
由题意得：，
解得或（不符题意，舍去），
则所截去小正方形的边长是，
故答案为：2．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的几何应用，依据题意，正确建立方程是解题关键．
三、解答题
36．甲、乙两家工厂计划每天各生产6万只口
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)罩，但由于转型条件不同，其生产的成本不一样，甲工厂每生产1万只口罩的成本为0.6万元，乙工厂每生产1万只口罩的成本为0.8万元．
（1）按照计划，甲、乙两家工厂共生产2000万只口罩，且甲工厂生产口罩的总成本不高于乙工厂生产口罩的总成本的，求甲工厂最多可生产多少万只口罩？
（2）实际生产时，甲工厂完全按计划执行，但乙工厂的生产情况发生了一些变化，乙工厂实际每天比计划多生产万只口罩，每生产1万只口罩的成本比计划少万元，最终乙工厂实际每天生产口罩的成本比计划少0.25万元，求的值．
【答案】（1）x≤1000；（2）m的值为5．
【分析】
（1）设甲工厂生产x万片口罩，则乙工厂生产（2000-x）万片口罩，由题意得关于x的一元一次不等式，求解即可；
（2）根据乙工厂实际每天生产的口罩数量乘以每万片的实际成本等于乙工厂实际每天生产口罩的成本，列出关于m的一元二次方程，求解即可．
【详解】
解：（1）设甲工厂生产x万片口罩，则乙工厂生产（2000-x）万片口罩，
由题意得：
，
解得：x≤1000．
答：甲工厂最多可生产1000万片的口罩．
（2）由题意得：，
整理得：
．
解得：（舍去）．
答：m的值为5．
【点睛】
本题考查了一元一次不等式和一元二次方程在实际问题中的应用，理清题中的数量关系正确列出不等式或方程是解题的关键．
37．随着某市养老机构建设的稳步推进，拥有的养老床位不断增加．
（1）该市的养老床位数从2018年底的
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)2万个增长到2020年底的2.88万个，求该市这两年（从2018年度到2020年底）拥有的养老床位数的平均年增长率；
（2）若该市某社区今年准备新建一养老中心，其中规划建造三类养老专用房间共100间，这三类养老专用房间分别为单人间t个（1个养老床位），双人间（2个养老床位），三人间（3个养老床位），因实际需要（），且双人间的房间数是单人间的2倍．设该养老中心建成后能提供养老床位y个，求y与t的函数关系式
【答案】（1）20%；（2）．
【分析】
（1）设该市这两年（从2018年度到20
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)20年底）拥有的养老床位数的平均年增长率为x，根据该市2018年底和2020年底的养老床位数，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）设该养老中心建成后能提供养老床位
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)y个，根据床位数=单人间数+2×双人间数+3×三人间数，即可得出y关于t的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．
【详解】
（1）设该市这两年（从2018年度到2020年底）拥有的养老床位数的平均年增长率为x，
依题意得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：该市这两年（从2018年度到2020年底）拥有的养老床位数的平均年增长率为20%．
（2）由题意：单人间t个（1个养老床位），则双人间（2个养老床位）2t个，三人间（3个养老床位）（100-t-2t）个，且，
该养老中心建成后能提供养老床位y个，
则．
答：y与t的函数关系式为．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用以
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)及一次函数的应用，解题的关键是找准数量关系，正确的列出对应的一元二次方程以及能根据各个数量间的关系找到y关于t的函数关系式.【来源：21cnj
y.co
m】
38．某枇杷园种植的枇杷除了
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)运往市区销售外，还可以让市民亲自去生态农业园购买．已知今年4月份该枇杷在市区、园区的销售价格分别为10元/千克、8元/千克，4月份一共销售了3000千克，总销售额为26000元．
（1）今年4月份该枇杷园在市区、园区销售枇杷各多少千克？
（2）5月份是枇杷产出旺季．为了促销，生态农业园决定5月份将该枇杷在市区、园区的销售价格均在今年4月份的基础上降低m%，预计这种枇杷在市区、园区的销售量将在今年4月份的基础上分别增长3m%、25%，要使5月份该枇杷的总销售额达到30000元，求m的值．
【答案】（1）今年4月份在市区销售了1000千克，在园区销售了2000千克；（2）100
【分析】
（1）设4月份该枇杷园在市区销售了x千克，则在园区销售了（3000-x）千克，根据等量关系：总销售额为26000元列出方程求解即可；
（2）题目中的等量关系是：5月份该枇杷的总销售额达到30000元，依此列出方程求解即可．
【详解】
解：（1）设在市区销售了x千克，则在园区销售了（3000﹣x）千克，则
10x+8（3000﹣x）＝26000.
解得x＝1000.
3000﹣x＝2000
答：今年4月份在市区销售了1000千克，在园区销售了2000千克；
（2）10（1﹣m%）×1000（1+3m%）+8（1﹣m%）×2000（1+25%）=30000，
设m%=a
,
代入化简得a2﹣a＝0，
解得a1＝1，a2＝0（舍去）．
∴m=100.
答：m的值为100．
【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用和一元二次方程的应用．解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的等量关系．
39．某超市经营款新电动玩具进
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)货单价是15元．在1个月的试销阶段，售价是20元，销售量是200件．根据市场调查，销售单价若每再涨1元，1个月就会少售出5件．
（1）若商店在1个月获得了2250元销售利润，求这款玩具销售单价定为多少元时，顾客更容易接受？
（2）若玩具生产厂家规定销售单价不低于
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)22元，且超市每月要完成不少于180件的销售任务，设销售单价为y（y为正整数）元，求该超市销售这款玩具有哪几种方案？哪一种方案利润最高？
【答案】（1）30元；（2）有三种销售方案：方案一：销售价为22元；方案二：销售价为23元；方案三，销售价为24元，第三种方案利润最大．
【分析】
（1）根据题意，可以列出相应的一元二次方程，再根据考虑顾客更容易接受的价格，即可得到这款玩具的销售单价；
（2）根据题意可以得到利润与销售单价的函
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)数关系，再根据玩具生产厂家规定销售单价不低于22元，且超市每月要完成不少于180件的销售任务，可以得到单价的取值范围，再根据销售单价为整数，计算每种方案的实际利润，选取其中利润最大的方案即可．
【详解】
解：（1）设销售单价为x元（），
，
解得，，，，
∴销售单价定为30元时，顾客更容易接受；
（2）由题意得，
解得：，
因为y取正整数，所以y取22或23或24，所以有三种销售方案：
方案一：销售价为22元，销售利润为（元），
方案二：销售价为23元，销售利润为（元），
方案三，销售价为24元，销售利润为（元），
，第三种方案利润最大．
【点睛】
本题主要考查二次函数的应用、一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答可以是解答变得简捷．
40．“杂交水稻之父”——袁隆平先生所率领
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)的科研团队在增产攻坚第一阶段实现水箱亩产量700公斤的目标，第三阶段实现水稻亩产量1008公斤的目标．
（1）如果第二阶段、第三阶段亩产量的增长率相同，求亩产量的平均增长率；
（2）按照（1）中亩产量增长率，科研团队期望第四阶段水稻亩产量达到1200公斤，请通过计算说明他们的目标能否实现．
【答案】（1）20%；（2）能
【分析】
（1）设亩产量的平均增长率为x，依题意列出关于x的一元二次方程，求解即可；
（2）根据（1）求出的平均增长率计算第四阶段亩产量即可．
【详解】
解：（1）设亩产量的平均增长率为x，根据题意得：
，
解得：，（舍去），
答：亩产量的平均增长率为20%．
（2）第四阶段的亩产量为（公斤），
∵，
∴他们的目标可以实现．
【点睛】
本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程，掌握2次变化的关系式是解决本题的关键．
41．某商场出售的电脑原价为每台5000元，元旦期间开展了促销活动，将原价经过两次下调后，促销价为每台4050元．
（1）求平均每次下调的百分率；
（2）临近春节，该店决定推出力度
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)更大的促销活动，按（1）中的百分率第三次下调销售价，若该电脑的进货价为每台3000元，则此次促销中每台电脑的利润为__________元．
【答案】（1）；（2）645元．
【分析】
（1）设平均每次下调的百分率为，根据电脑的原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的解；
（2）利用每台电脑的利润=经过两次降价后的价格（1下调率）进货价，即可求出结论．
【详解】
解：（1）设平均每次下调的百分率为，
根据题意得：，
解得：（不符合题意，舍去）
答：平均每次下调的百分率为．
（2）根据（1）所得结论及电脑利润的表达式得：
（元）
故答案是：645元．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元二次方程．
42．五一假期即将到来，重
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)庆是一个集山水、美食为一体的旅游城市，重庆某商家在4月就进行了“五一节”特产促销，已知江津米花糖每盒12元，梁平张鸭子每盒50元，第一次促销期间，共卖出江津米花糖和梁平张鸭子共计2000盒．
（1）若卖出米花糖和鸭子的总销售额不低于54400元，则至少卖出梁平张鸭子多少盒？
（2）第一次促销结束，为了回馈顾客，在第二次促销期间，米花糖每盒降价a%，鸭子每盒降价4a%，米花糖数量在（1）问最多的数量下增加6a%，鸭子数量在（1）问最少的数量下增加4a%，最终第二次促销总销售额比第一次促销的最低销售额54400元少80a元，求a的值．
【答案】（1）800；（2）5．
【详解】
【分析】（1）设至少卖出梁平张鸭子x盒，则卖江津米花糖（2000﹣x）盒，由题意得关于x的不等式，求解即可；
（2）根据（1）的结果得出米花糖最多卖出的盒数，根据题意得出关于a的方程，解方程即可．
【解答】解：（1）设至少卖出梁平张鸭子x盒，则卖出江津米花糖（2000﹣x）盒，由题意得：
50x+12（2000﹣x）≥54400，
解得：x≥800，
∴x的最小值是800，
∴至少卖出梁平张鸭子800盒；
（2）∵（1）中最少卖出梁平张鸭子800盒，
∴米花糖最多卖出的盒数为：2000﹣800＝1200（盒）．
由题意得：
12×（1﹣a%）×1200×（1+6a%）+50（1﹣4a%）×800×（1+4a%）＝54400﹣80a，
解得a1＝0（舍），a2＝5．
∴a的值为5．
43．端午将至，各大商家都在为端午节销
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)售粽子做准备．重庆某知名食品公司主推两款粽子礼盒，蛋黄鲜肉粽礼盒和八宝粽礼盒．礼盒上市第一天，卖出两种礼盒共计5000盒，其中蛋黄鲜肉粽礼盒和八宝粽礼盒的售价分别为160元和120元．
（1）若礼盒上市当天，蛋黄鲜肉棕礼盒销售数量是八宝粽礼盒销售数量的1.5倍，求当天八宝粽礼盒的销售量？
（2）在（1）的条件下，礼盒上市第二天，蛋黄鲜肉粽礼盒销售数量增长了，八宝粽礼盒销售数量增长了，而蛋黄鲜肉棕礼盒价格下降了，八宝粽礼盒价格不变，最终礼盒上市第二天两种礼盒的销售总额和（1）中两种礼盒的销售总额相等，求的值．
【答案】（1）八宝粽礼盒的销售量为2000盒；（2）．
【详解】
（1），∴，∴八宝粽礼盒的销售量为2000盒．
（2）
∴（舍），
44．云南某鲜花饼厂一月份生产20000个
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)鲜花饼，现升级设备，连续两个月增长率相同，三月份产量达到24200个．其中所生产的鲜花饼有两种口味，玫瑰鲜花饼每个利润为6元，茉莉鲜花饼每个利润为8元，请回答以下问题：
（1）鲜花饼厂这两个月的月平均增长率是多少?
（2）现将两种鲜花饼搭配成大礼盒，每盒有
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)12个，其中玫瑰鲜花饼的数量的2倍不少于茉莉花饼的数量，且每个大礼盒的利润不低于84元，请问有哪几种搭配方案?
【答案】（1）鲜花饼厂二、三月份平
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)均每月增长率为10%；（2）
方案一：玫瑰鲜花饼4个，茉莉鲜花饼8个；方案二：玫瑰鲜花饼5个，茉莉鲜花饼7个；方案三：玫瑰鲜花饼6个，茉莉鲜花饼6个
【详解】
解：（1）设鲜花饼厂二、三月份平均每月的增长率为．
依题意可列方程：
，（不合题意，舍去）．
答：鲜花饼厂二、三月份平均每月增长率为10%．
（2）设每盒搭配玫瑰鲜花饼个，则茉莉鲜花饼搭配个．
依题意可列不等式组：
解得：．
又为正整数，
，5，6．
（个），（个），（个）．
答：方案一：玫瑰鲜花饼4个，茉莉鲜花饼8个；
方案二：玫瑰鲜花饼5个，茉莉鲜花饼7个；
方案三：玫瑰鲜花饼6个，茉莉鲜花饼6个．8分
45．疫情期间，某企业每日需向疫情严重的地区
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)捐赠20万只口罩．该企业原口罩日产量为40万只，经政府出资两次加大设备投入后，日产量提升为90万只．每日用于销售的口罩当日全部售出，且每只口罩的成本和销售单价始终不变．该企业原来每日亏损4万元，加大设备投入后，每日盈利11万元．
（1）求两次口罩日产量的平均增长率；
（2）求每只口罩的成本和单价；
（3）该企业将每天生产的口罩达成90包（每包1万只），现从捐赠和自行销售的口罩中分别抽取若干包以成本价支持本地防疫工作，企业规定口罩捐赠量高于自行销售量的．若企业每日仍盈利4万元，则从捐赠和自行销售的口罩中各抽取多少包？
【答案】（1）；（2）成本为0.5元，单价为0.8元；（3）捐赠口罩为23包，自行销售为67包
【分析】
（1）设求两次口罩日产量的平均增长率为，根据题意列出方程，解之即可；
（2）设每只口罩的成本为元，销售单价为元，根据题意列出方程组，解之即可；
（3）设捐赠口罩为包，自行销售为包，列出不等式组，求出a的范围，再根据每日仍盈利4万元，得到a值，可得结果．
【详解】
解：（1）设求两次口罩日产量的平均增长率为，
由题意可列式得，
解得，（舍去），
∴两次口罩日产量的平均增长率为．
（2）设每只口罩的成本为元，销售单价为元，
由题意可列式得
，
解得，
∴每只口罩的成本为0.5元，销售单价为0.8元．
（3）设捐赠口罩为包，自行销售为包，
由题意可列式得，
解得，
由（2）得，每只口罩成本0.5元，销售单价为0.8元，
则，
解得，
∵，
∴，
∴，
∴捐赠口罩为23包，自行销售为67包．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用、二元一次方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出方程（组）和不等式组．21
cnjy
com
46．山西转型综合改革示范区的一工厂里，生产的某种产品按供需要求分为十个档次．若生产第一档次（最低档次）的产品，一天可生产76件，每件的利润为10元，每提高一个档次，每件的利润增加2元，每天的产量将减少4件．设产品的档次（每天只生产一个档次的产品）为，请解答下列问题．
（1）用含的代数式表示：一天生产的产品件数为_______件，每件产品的利润为________元；
（2）若该产品一天的总利润为1080元，求这天生产产品的档次的值．
【答案】（1）（80-4x），（8+2x）；（2）5
【分析】
（1）每件的利润为10+2（x-1），生产件数为76-4（x-1）；
（2）由题意可令y=1080，求出x的实际值即可．
【详解】
解（1）一天生产的产品件数为[76-4（x-1）]=（80-4x）件，
每件产品的利润为[10+2（x-1）]=（8+2x）元，
故答案为（80-4x），（8+2x）；
（2）当利润是1080元时，即：[10+2（x-1）][76-4（x-1）]=1080，
整理得：-8x2+128x+640=1080，
解得x1=5，x2=11，
因为x=11＞10，不符合题意，舍去．
因此取x=5，
当生产产品的质量档次是在第5档次时，一天的总利润为1080元．
【点睛】
此题考查的是一元二次方程的应
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)用，难度一般，注意，在市场营销问题中，一件的利润和件数，一个量增加的同时，另一个量会减少，要根据题意，正确使用，先根据总利润=产品总量×单件产品利润确定一元二次方程，再进行求解，同时要根据题目限定条件取舍答案．【版权所有：21教育】
47．毕业季即将到来，某礼品店购进了一批适合大学生的毕业纪念品，该礼品店用元购进种礼品若干件，用元购进种礼品若干件，所购种礼品的数量比种礼品的数量多件，且种礼品每件的进价是种礼品每件进价的倍．
两种礼品每件的进价分别为多少元?
礼品店第一次所购礼品全部售完后，再次购进两种礼品(进价不变)，其中种礼品购进的数量在第一次的基础上增加了，售价在进价的基础上提高了；种礼品购进的数量在第一次的基础上增加了，售价在进价的基础上提高了．全部售出后，第二次所购礼品的利润为元(不考虑其他因素)，求第二次购进两种礼品各多少件?
【答案】（1）A种礼品每件的进价为200元，B种礼品每件的进价为280元；（2）A种礼品40件，B种礼品60件．
【分析】
（1）设种礼品每件的进价为元，则种礼品每件的进价为元，根据数量总价单价，结合所购种礼品的数量比种礼品的数量多10件，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）利用数量总价单价，可分别求出第一次购进，两种礼品的数量，利用总利润每件礼品的利润销售数量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，将其正值分别代入和中即可求出结论．
【详解】
解：（1）设种礼品每件的进价为元，则种礼品每件的进价为元，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
（元）．
答：种礼品每件的进价为200元，种礼品每件的进价为280元．
（2）第一次购进种礼品的数量为（件），
第一次购进种礼品的数量为（件）．
依题意得：，
整理得：，
解得：（不合题意，舍去），，
（件），（件）．
答：第二次购进种礼品40件，种礼品60件．
【点睛】
本题考查了分式方程的应用以及一元二次方程
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
48．我省某农业合作社以原价为5元每千克对外销售某种苹果．为了减少库存，决定降价销售，经过两次降价后，售价为每千克3.2元．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）求平均每次降价的百分率；
（2）某超市计划从该农业合作社购进一批该种苹果（大于300千克），由于购买量较大，合作社在每千克3.2元的基础上决定再给予两种优惠方案：
方案一：不超过300千克的部分不打折，超过300千克的部分打八折；
方案二：每千克优惠0.4元．
则该超市选择哪种方案更合算，请说明理由（只能选一种）．
【答案】（1）20%
；（2）见解析．
【分析】
（1）设平均每次下调的百分率为，根据“两次降价后的售价=原价×（1-x）2”，即可得出关于x的一元二次方程，解方程即可得出结论；
（2）设该超市计划购进千克苹果，方案一所需费用为元，方案二所需费用元．分别用y表示为、，然后列出不等式及方程，解不等式及方程，根据解得情况确定方案即可．
【详解】
（1）设平均每次下调的百分率为．
由题意，得．
解这个方程，得，（不符合题意），
符合题目要求的是．
答：平均每次下调的百分率是20%．
（2）设该超市计划购进千克苹果，方案一所需费用为元，方案二所需费用元．
方案一：．
方案二：．
当时，，；
当时，，；
当时，，．
答：该超市购进苹果大于300千克
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)且小于800千克时，方案二合算；该超市购进苹果等于800千克时，两种方案费用相同；该超市购进苹果大于800千克时，方案一合算．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)及一元一次不等式的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程和不等式，再求解．
49．春节期间，佛山连锁超市派调查小组调查某种商品的销售情况，下面是调查后小李与其他两位成员交流的情况．
小李：“该商品的进价为50元/件．”
成员甲：“当定价为60元/件时，平均每天可售出800件．”
成员乙：“若售价每提高5元，则平均每天少售出100件．”
根据他们的对话，完成下列问题：
（1）若售价定为65元/件时，平均每天可售出______件；
（2）若超市希望该商品平均每天能盈利12000元，且尽可能扩大销售量，则该商品应该怎样定价？
【答案】（1）700；（2）该商品应该定价为70元/件
【分析】
（1）根据题意，直接列出算式，即可求解；
（2）设该商品应该定价为x元/件，列出关于x的方程，进而即可求解．
【详解】
解：（1）由题意得：800-(65-60)÷5×100=700（件）；
（2）设该商品应该定价为x元/件，
由题意得：，解得：，，
∵尽可能扩大销售量，
∴，
答：该商品应该定价为70元/件．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的实际应用，找出等量关系，列出方程，是解题的关键．
50．按照中央精准扶贫的部署，市委、市政府重
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)点扶持贫困户发展特色农业．现某区扶持一贫困户的李子园销售“金脆李”和“黄橙李”两种李子，因为“金脆李”果形奇特、口感佳，售价为30元/斤，“黄橙李”因大面积种植，售价要便宜一些，为20元/斤
（1）7月上旬，该果园一共售出300斤李子，要使销售额不低于7250元，问最多售出“黄橙李”多少斤？
（2）为了提高“金脆李”的知名度，政府对“金脆李”进行广告宣传，7月中旬该果园的总销售重量为1500斤，其中售出“黄橙李”1000斤，7月下旬由于李子大量上市，该果园推出优惠方案，“金脆李”每斤降价a%，“黄橙李”售价保持不变，售后统计“金脆李”销售数量在7月中旬的基础上增加了2a%，“黄橙李”数量在7月中旬的基础上减少了，若总销售额与7月中旬的总销售额持平，求a的值
【答案】（1）175；（2）37.5
【分析】
（1）设售出“黄橙李”x斤，根据销售额不低于7250元，列出不等式；
（2）根据总销售额与7月中旬的总销售额持平，用含a的式子分别表示出总销售额与7月中旬的总销售额列出等式．
【详解】
（1）设售出“黄橙李”x斤，则售出“金脆李”(300-x)斤．
20x+30(300-x)
≧7250，解得x≦175，
答：最多售出“黄橙李”175斤．
（2）由题意得：
20×1000(1-)+30(1-a%)×(1500-1000)(1+2a%)=20×1000+30×(1500-1000)，21·cn·jy·com
解得：a=0(舍去)，a=37.5．
答：a的值为37.5．
【点睛】
本题主要考查了一元一次不等式，以及一元二次方程的实际应用，找准关系式是解决本题的关键．
51．为了满足社区居民强身健体的需要，政府准备采购若干套健身器材免费提供给社区，经过考察了解，飞跃公司有，两种型号的健身器材可供选择，已知飞跃公司2018年每套型健身器材的售价为2.5万元，2018年每套型健身器材的售价为2万元，2020年每套型健身器材售价为1.6万元，每套型，型健身器材的年平均下降率相同．
（1）求每套型健身器材年平均下降率；
（2）2020年政府经过招标，决定年内采购并安装飞跃公司，两种型号的健身器材共80套，政府采购专项经费总计不超过112万元，问型健身器材最少可购买多少套？
【答案】（1）20%；（2）最少可购买50套
【分析】
（1）设每套A型健身器材年平均下降率为，根据题意得：，解方程组即可;
（2）利用(1)中下降率求出2020年每套型健身器材售价，设购买型健身器材套，则购买A型健身器材套，根据题意得：，解不等式即可．
【详解】
解：（1）设每套A型健身器材年平均下降率为，
根据题意得：，
解得：，（舍去）．
答：每套A型健身器材年平均下降率为20%．
（2）2020年每套型健身器材售价为，
（万元）．
设购买型健身器材套，则购买A型健身器材套，
根据题意得：，
解得：．
答：型健身器材最少可购买50套．
【点睛】
本题考查利用一元二次方程解下降率问题
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)应用题，列一元一次不等式，掌握一元二次方程解下降率应用题的解题步骤与方法，利用一元一次不等式进行方案设计是解题关键．
52．在大力推广垃圾分类之前，某小区虽然在
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)每栋楼都放置了可回收垃圾桶和不可回收垃圾桶，但是少数居民对垃圾分类的认识不够深入，常常将垃圾混装后随意丢入垃圾桶，导致垃圾分类混乱，垃圾处理站将可回收垃圾桶内的垃圾记为A类垃圾，将不可回收垃圾桶内的垃圾记为B类垃圾．该小区共有10栋楼，平均每栋楼每月产生12吨A类垃圾和4吨B类垃圾，每吨B类垃圾处理费是每吨A类垃圾处理费的2倍，该小区每月A、B两类垃圾处理费总费用为8000元．
（1）求每吨A类垃圾处理费多少元？
（2）在大力推广垃圾分类之后，该小区的居民认识到了垃圾分类的重要性并规范地放置垃圾．该小区每月产生的A、B两类垃圾总重量不变的情况下，B类垃圾的重量增加了a%，同时，垃圾处理站通过技术革新将A、B两类垃圾每吨处理费分别降低了a%和a%，这样与推广垃圾分类之前相比，该小区每月A、B两类垃圾处理费总费用减少了a%，求a的值．
【答案】（1）40元；（2）40
【分析】
（1）每吨A类垃圾处理费为x元，则
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)每吨B类垃圾处理费为2x元，根据该小区每月A、B两类垃圾处理总费用为8000元，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）根据A类垃圾处理费×
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)A类垃圾数量+B类垃圾处理费×B类垃圾数量=处理垃圾总费用即可得出关于a的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【详解】
解：（1）设每吨A类垃圾处理费为x元，则每吨B类垃圾处理费为2x元，
依题意，得：10×（12x＋4×2x）＝8000，
解得：x＝40，
答：每吨A类垃圾处理费为40元．
（2）依题意，得：40（1﹣）×10×(12﹣4×
a%)＋40×2（1﹣）×10×4（1＋a%）＝8000（1﹣），
整理，得：40a﹣a2＝0，
解得：a1＝40，a2＝0（不合题意，舍去）．
答：a的值为40．
【点睛】
本题考查一元一次方程解应用题，一元二次方程
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)解应用题，掌握一元一次方程解应用题，一元二次方程解应用题，抓住A类垃圾处理费×A类垃圾数量+B类垃圾处理费×B类垃圾数量=处理垃圾总费用是解题关键．
53．某商场经营一种新型台灯，进价
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)为每盏300元．市场调研表明：当销售单价定为400元时，平均每月能销售300盏；而当销售单价每下降1元时，平均每月的销售量就增加10盏．
（1）当销售单价为多少时，该型台灯的销售利润平均每月能达到40000元？
（2）临近春节，为了回馈广大顾客，商场部门经理决定在一月份开展降价促销活动，估计分析：若每盏台灯的销售单价在（1）的最高销售单价基础上降价%，则可多售出2%．要想使一月份的销售额达到209950元，并且保证不亏损，求的值．
【答案】（1）当销售单价为350元或380元时，该型台灯的销售利润平均每月能达到40000元；（2）的值为15
【分析】
（1）当降价为x元时，该型
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)台灯的销售利润平均每月能达到40000元，利用总利润等于每盏灯的利润乘以销售量列方程得（10x+300）（400-300-x）=40000，然后解方程即可；
（2）当x=380时，销售量为
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)500盏，则利用一月份的销售额达为209950元列方程得380（1-m%）×500（1+2m%）=209950，然后解关于m%的一元二次方程即可得到m的值．
【详解】
解：（1）当降价为x元时，该型台灯的销售利润平均每月能达到40000元，
根据题意得（10x+300）（400-300-x）=40000，
解得x1=50，x2=20，
所以400-50=350（元），400-20=380（元）．
答：当销售单价为350或380元时，该型台灯的销售利润平均每月能达到40000元；
（2）当售价380时，此时销售量为500盏．
根据题意得380（1-m%）×500（1+2m%）=209950，
解得m=15或m=35，
当m=15时，销售单价为323元；
当m=35时，销售单价为247元，将亏损，故舍去．
答：m的值为15．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用：列方
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．解决本题的关键是理解总利润等于每盏灯的利润乘以销售量．
54．随着天气逐渐变暖，周
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)末期间有更多的人选择出门游玩，重庆某景点的儿童票销量是成人票销量的3倍，且儿童票的价格为70元，成人票的价格为120元．
（1）若该景点3月份儿童票和成人票的总销售额不低于26.4万元，则3月份的售出的儿童票至少多少张？
（2）由于4月份天气变暖，外出游玩的人有所增加，景区对价格进行了调整，4月份儿童票销量比3月份儿童票最低销量增长了15a%，4月份儿童票价格比3月份降低了a%，4月份成人票销量比3月份成人票的最低销量相等，且价格比3月份降低了a%．最终该景区4月份儿童票和成人票的销售额比3月份的最低销售额增加了a%，求a的值．
【答案】（1）2400；（2）20
【分析】
（1）设3月份的成人票的销量为x张，则儿童票的销量为3x张，根据总价=单价×数量，结合3月份儿童票、成人票的总销售额不低于26.4万元，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，进而可得出3x的取值范围，取其中的最小值即可得出结论；
（2）根据总价=单价×数量，结合该景点4月份儿童票和成人票的销售额比3月份这两种肉的销售额增加了a%，即可得出关于a的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【详解】
设3月份的成人票的销量为x张，则儿童票的销量为3x张，
依题意，得：70×3x+120x≥264000，
解得：x≥800，
∴3x≥2400．
答：3月份的儿童票销量至少为2400张．
（2）依题意，得：
70（1-a%）×2400（1+15a%）+800×120×（1-a%）=264000×（1+a%），【来源：21·世纪·教育·网】
解得：a1=20，a2=0（舍去）．
答：a的值为20．
【点睛】
本题考查了一元一次不等式的
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
55．重庆某大型物流集散中心根据
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)实际情况，用工人手动分拣和机器自动分拣两种方式对不同类型的包裹进行处理．
一个工人每分钟分拣5个包裹，一台机器每分钟分拣10个包裹，该物流集散中心每分钟分拣包裹总量不低于6500个．
（1）若参与分拣的机器数量比工人数量多，则至少有多少名工人参与分拣？
（2）购物节期间，该物流中心收入的包裹数量大增，管理人员对分拣流程进行了重新调配．
调配后，参与分拣的工人比（1）中工人数量的最小值增加，机器数量比（1）中机器数量的最小值增加．每个工人分拣的效率不变，受到每天的工作总时间增多，机器超负荷运转的影响，机器分拣的效率降低．
在调配分拣流程后，该物流集散中心每分钟需要处理的包裹数量就比调配前的最小值6500个多了，求的值．
【答案】（1）300；(2)16．
【分析】
（1）有x名工人参与分拣，则需要机器数量为台，根据题意，得5x+≥6500，解不等式即可；
（２）由（1）确定工人数量，机器数量的最小值，根据题意，建立方程计算即可．
【详解】
（1）有x名工人参与分拣，则需要机器数量为台，根据题意，得5x+≥6500，解得x≥300，
故至少有300名工人参与分拣；
（2）由（1）知，工人最低数量为300，机器最低数量为500，根据题意，得：
5×300×+10××500×=6500，
解得a=16．
【点睛】
本题考查了不等式的应用，一元二次方程的应用，熟练将生活问题转化为数学的不等式模型和方程模型是解题的关键．
56．如图1，正方形ABCD和正方形AEFG，点E在边BC上，连接DG．
（1）求证：DG＝BE；
（2）如图2，连接AF交CD于点H，连接CF，EH；
①求证：EH＝BE+DH；
②设AB＝4，是否存在BE的长度，使CFEH？若存在，请求出BE的长；若不存在，请说明理由．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②存在，
【分析】
（1）通过证明△BAE≌△D
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)AG，即可推出DG=BE．
（2）第一问：证明△EAH≌△GAH，证明出EH＝GH，则EH＝BE+DH
，得证．
第二问：作FH⊥BC于点H，证明
△ABE≌△EHF，进一步推出BE=CH,推导CE＝CH，在Rt△CEH中，勾股定理求解即可．
【详解】
解：(1)∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形
∴AB＝AD，AE＝AG，∠BAD＝∠EAG＝90°
∴∠BAD－∠EAD＝∠EAG－∠EAD
即∠BAE＝∠DAG
∴△BAE≌△DAG
∴BE＝DG
(2)①∵△BAE≌△DAG
∴∠ADG＝∠ABE＝90°
∵∠ADC＝90°
∴G、D、H三点共线…
∴GH＝DG+DH
∵四边形AEFG是正方形，
∴∠EAF＝45°
∴∠BAE+∠DAH＝90°－45°＝45°
即∠GAH＝45°
∴∠EAH＝∠GAH
在△EAH和△GAH中
AE＝AG，∠EAH＝∠GAH，AH＝AH
∴△EAH≌△GAH
∴EH＝GH
∴EH＝BE+DH
②存在
作FH⊥BC于点H
∵四边形AEFG是正方形
∴AE＝EF，∠AEF＝90°
∴∠FEH+∠AEB＝90°
∵∠B=90°
∴∠BAE+∠AEB=90°
∴∠FEH=∠BAE
在△ABE和△EHF中
∠B＝∠EHF，∠BAE＝∠FEH，AE＝EF
∴△ABE≌△EHF
∴FH＝BE，EH＝AB
∴EH＝BC
∴BE＝CH
∴CH＝FH
∴∠FCH＝45°
∵∠DCH＝90°
∴∠FCH＝45°
∵CF∥EH
∴∠EHC＝∠FCH＝45°
∵∠BCD＝90°
∴∠HEC＝45°＝∠EHC
∴CE＝CH
设BE＝x，则CE＝DH＝4-x
∴DH＝x
由①得，EH＝BE+DH＝x
在Rt△CEH中，由勾股定理得，
∴
解得，
故当BE的值为时，CF∥EH
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
本题主要考查三角形全等的相关证明，以及由全等图形进行线段转换，以及勾股定理等相关知识点，能根据题意找见全等所需条件是解题重点所在．21教育网
21世纪教育网
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精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
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1.4
用一元二次方程解决问题
【提升训练】
一、单选题
1．在平面直角坐标系中，直线垂直于轴于点（点在原点的右侧），并分别与直线和双曲线相交于点，，且，则的面积为（
）21
cnjy
com
A．或
B．或
C．
D．
2．如图1，矩形中，点为的中点，点沿从点运动到点，设，两点间的距离为，，图2是点运动时随变化的关系图象，则的长为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
3．某班学生毕业时，每一位同学都向全班其他同学送一张自己的相片作为纪念，全班共送了2550张相片，若设全班有名学生，则可列方程为（
）21
cnjy
com
A．
B．
C．
D．
4．某厂家2021年1－5月份的产
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)量如图所示．
下面有三个推断：①从1月份到5月份产量在逐月增长；②1月份到2月份产量的增长率是60%；③若设从3月份到5月份产量的平均月增长率为x，则可列方程为220（1＋x）2＝480，所有正确的推断是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．②
B．③
C．①②
D．②③
5．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)AB＝8cm，BC＝6cm，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为1cm/s，点Q的速度为2cm/s，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动，若使△PBQ的面积为15cm2，则点P运动的时间是（ ）21·世纪
教育网
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．2s
B．3s
C．4s
D．5s
6．在某种病毒的传播过程中，每轮传染平均人会传染个人，若最初个人感染该病毒，经过两轮传染，共有人感染．则与的函数关系式为（
）
A．
B．
C．
D．
7．新冠肺炎传染性很强，曾有人同时患上新冠肺炎，在一天内一人平均能传染人，经过两天传染后人患上新冠肺炎，则的值为（
）【来源：21cnj
y.co
m】
A．
B．
C．
D．
8．在“文博会”期间，某公司展销如图所示的长方形工艺品，该工艺品长，宽．中间镶有宽度相同的三条丝绸花边．若丝绸花边的面积为，设丝绸花边的宽为，根据题意，可列方程为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
9．一面足够长的墙，用总长为30米
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)的木栅栏（图中的虚线）围一个矩形场地ABCD，中间用栅栏隔成同样三块，若要围成的矩形面积为54平方米，设垂直于墙的边长为x米，则x的值为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．3
B．4
C．3或5
D．3或
10．有x支球队参加篮球比赛，每两队之间都比赛一场，共比赛了21场，则下列方程中符合题意的是（
）
A．x(x-1)=21
B．x(x-1)=21
C．x(x+1)=21
D．x(x+1)=42
11．某企业通过改革，生产
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)效率得到了很大的提高，该企业一月份的营业额是1000万元，月平均增长率相同，第一季度的总营业额是3390万元．若设月平均增长率是x，那么可列出的方程是（
）
A．1000（1＋x）2＝3390
B．1000＋1000（1＋x）＋1000（1＋x）2＝3390
C．1000（1＋2x）＝3390
D．1000＋1000（1＋x）＋1000（1＋2x）＝3390
12．2020年12月29日，贵阳
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)轨道交通2号线实现试运行，从白云区到观山湖区轨道公司共设计了132种往返车票，则这段线路有多少个站点？设这段线路有x个站点，根据题意，下面列出的方程正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
13．有一个密码程序系统，其原理如框图所示，若输出的数为4，则输入的x为（
）
A．﹣3或1
B．－3
C．1
D．3或－1
14．在疫情期间，口罩的需求量急剧上升.某口罩生产企业四月份生产了口罩200000只，
如果要在第二季度总共生产728000只口罩，设生产口罩月平均增长的百分率为，则可根据题意列出的方程是（
）
A．
B．
C．
D．
15．疫情促进了快递行业高速发展，某家快递公司年月份与月份完成投递的快递总件数分别为万件和万件，设该快递公司月到月投递总件数的月平均增长率为，则下列方程正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
16．据网络统计，某品牌手机2020年一月份销售量为400万部，二月份、三月份销售量连续增长，三月份销售量达到900万部，求二月份、三月份销售量的月平均增长率？若设月平均增长率为，根据题意列方程为（
）．2·1·c·n·j·y
A．
B．
C．
D．
17．某小区附近新建一个游泳馆，馆内矩形游泳池的面积为，且游泳池的宽比长短．设游泳池的长为，则可列方程为（
）2-1-c-n-j-y
A．
B．
C．
D．
18．某厂家2020年1~5月份的口罩产量统计如图所示，设从2月份到4月份，该厂家门罩产量的月平均增长率为，根据题意可得方程（
）【出处：21教育名师】
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
19．某养殖户的养殖成本
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)逐年增长，已知第1年的养殖成本为10万元，第3年的养殖成本为16万元，设每年平均增长的百分率为x，则下面所列方程中正确的是（ ）【版权所有：21教育】
A．10（1﹣x）2=16
B．16（1﹣x）2=10
C．16（1+x）2=10
D．10（1+x）2=16
20．受非洲猪瘟及其他因
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)素影响，2020年9月份猪肉价格两次大幅度上涨，瘦肉价格由原来23元/千克，连续两次上涨x%后，售价上升到60元/千克，则下列方程中正确的是（ ）www.21-cn-jy.com
A．23（1﹣x%）2＝60
B．23（1+x%）2＝60
C．23（1+x2%）＝60
D．23（1+2x%）＝60
21．某市“梨花节”观赏人数逐年增加，据有关部门统计，年约为万人次，年约为万人次，设观赏人数年均增长率为，则下列方程中正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
22．由于国内疫情得到缓和，餐饮业逐渐恢复，某地一家餐厅重新开张，开业第一天收入约为2000元，之后两天的收入按相同的增长率增长，第3天的收入约为2420元，若设每天的增长率为，则列方程为（
）
A．
B．
C．
D．
23．某县以“重点整治环境卫生”为抓手，加
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)强对各乡镇环保建设的投入，计划从2018年起到2020年累计投入4250万元，已知2018年投入1500万元，设投入经费的年平均增长率为x，根据题意，下列所列方程正确的是（
）21教育名师原创作品
A．
B．
C．
D．
24．如图，在长为32m，宽为20
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)m的长方形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为540m2，则道路的宽（ ）m．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．1
B．1.5
C．2
D．2.5
25．我县为发展教育事业，加强了对教育
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)经费的投入，2018年投入5000万元，预计到2020年投入8000万元，设教育经费的年平均增长率为x，下面所列方程正确的是(
)
A．5000（1+x）2=8000
B．5000（1+x）+2000（1+x）2=8000
C．5000x2=8000
D．5000+5000（1+x）+5000（1+x）2=8000
26．某超市今年1月份的营业额为50万元，已知2月至3月营业额的月增长率是1月至2月营业额的月增长率的2倍，3月份的营业额是66万元，设该超市1月至2月营业额的月增长率为，根据题意，可列出方程（
）
A．
B．
C．
D．
27．十进制数2378，记作，其实，二进制数．有一个（为整数）进制数，把它的三个数字顺序颠倒得到的k进制数是原数的3倍，则（
）
A．10
B．9
C．8
D．7
28．如图，若将上图正方形剪成四块，恰能拼成下图的矩形，设，则（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
29．某网店在“双11”促
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)销活动中对一件原价500元的商品进行了“折上折”优惠活动（即两次打折数相同），优惠后实际仅售320元，设该店打x折，则可列方程（
）
A．
B．
C．
D．
30．如图，在中，，．点是上一点，连接，将沿折叠至．连接，，平分交于点．若，则的长为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
二、填空题
31．如图，已知一次函数的图象分别与x轴，y轴相交于点A，B，C是直线上一点．当时，点C的坐标是__________．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
32．已知，则________．
33．响应国家号召打赢脱
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)贫攻坚战，小明家利用信息技术开了一家网络商店，将家乡的土特产销往全国，今年6月份盈利24000元，8月份盈利34560元，求6月份到8月份盈利的月平均增长率．设6月份到8月份盈利的月平均增长率为x，根据题意，可列方程为______
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34．如图，在矩形ABCD
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)中，AB＝12cm，BC＝6cm，点P从点A出发沿AB以2cm/s的速度向点B运动；同时，点Q从点B出发沿BC以1cm/s的速度向点C运动，点P运动到点B时，点Q也停止运动；当△PQC的面积等于16cm2时，运动时间为__s．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
35．如图，在长为，宽为的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使得留下的图形（图中阴影部分）面积是原矩形面积的，则所截去小正方形的边长是___．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
三、解答题
36．甲、乙两家工厂计划每天
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)各生产6万只口罩，但由于转型条件不同，其生产的成本不一样，甲工厂每生产1万只口罩的成本为0.6万元，乙工厂每生产1万只口罩的成本为0.8万元．
（1）按照计划，甲、乙两家工厂共生产2000万只口罩，且甲工厂生产口罩的总成本不高于乙工厂生产口罩的总成本的，求甲工厂最多可生产多少万只口罩？
（2）实际生产时，甲工厂完全按计划执行，但乙工厂的生产情况发生了一些变化，乙工厂实际每天比计划多生产万只口罩，每生产1万只口罩的成本比计划少万元，最终乙工厂实际每天生产口罩的成本比计划少0.25万元，求的值．21教育网
37．随着某市养老机构建设的稳步推进，拥有的养老床位不断增加．
（1）该市的养老床位数从201
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)8年底的2万个增长到2020年底的2.88万个，求该市这两年（从2018年度到2020年底）拥有的养老床位数的平均年增长率；
（2）若该市某社区今年准备新建一养老中心，其中规划建造三类养老专用房间共100间，这三类养老专用房间分别为单人间t个（1个养老床位），双人间（2个养老床位），三人间（3个养老床位），因实际需要（），且双人间的房间数是单人间的2倍．设该养老中心建成后能提供养老床位y个，求y与t的函数关系式
38．某枇杷园种植的枇杷除了运往市区销
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)售外，还可以让市民亲自去生态农业园购买．已知今年4月份该枇杷在市区、园区的销售价格分别为10元/千克、8元/千克，4月份一共销售了3000千克，总销售额为26000元．
（1）今年4月份该枇杷园在市区、园区销售枇杷各多少千克？
（2）5月份是枇杷产出旺季．为了促销，生态农业园决定5月份将该枇杷在市区、园区的销售价格均在今年4月份的基础上降低m%，预计这种枇杷在市区、园区的销售量将在今年4月份的基础上分别增长3m%、25%，要使5月份该枇杷的总销售额达到30000元，求m的值．
39．某超市经营款新电动
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)玩具进货单价是15元．在1个月的试销阶段，售价是20元，销售量是200件．根据市场调查，销售单价若每再涨1元，1个月就会少售出5件．
（1）若商店在1个月获得了2250元销售利润，求这款玩具销售单价定为多少元时，顾客更容易接受？
（2）若玩具生产厂家规定销售单价不
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)低于22元，且超市每月要完成不少于180件的销售任务，设销售单价为y（y为正整数）元，求该超市销售这款玩具有哪几种方案？哪一种方案利润最高？
40．“杂交水稻之父”—
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)—袁隆平先生所率领的科研团队在增产攻坚第一阶段实现水箱亩产量700公斤的目标，第三阶段实现水稻亩产量1008公斤的目标．
（1）如果第二阶段、第三阶段亩产量的增长率相同，求亩产量的平均增长率；
（2）按照（1）中亩产量增长率，科研团队期望第四阶段水稻亩产量达到1200公斤，请通过计算说明他们的目标能否实现．
41．某商场出售的电脑原价为每台5000元，元旦期间开展了促销活动，将原价经过两次下调后，促销价为每台4050元．
（1）求平均每次下调的百分率；
（2）临近春节，该店决定推出力度更大的促
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)销活动，按（1）中的百分率第三次下调销售价，若该电脑的进货价为每台3000元，则此次促销中每台电脑的利润为__________元．
42．五一假期即将到来，重庆是一个集山
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)水、美食为一体的旅游城市，重庆某商家在4月就进行了“五一节”特产促销，已知江津米花糖每盒12元，梁平张鸭子每盒50元，第一次促销期间，共卖出江津米花糖和梁平张鸭子共计2000盒．
（1）若卖出米花糖和鸭子的总销售额不低于54400元，则至少卖出梁平张鸭子多少盒？
（2）第一次促销结束，为了回馈顾客，在第二次促销期间，米花糖每盒降价a%，鸭子每盒降价4a%，米花糖数量在（1）问最多的数量下增加6a%，鸭子数量在（1）问最少的数量下增加4a%，最终第二次促销总销售额比第一次促销的最低销售额54400元少80a元，求a的值．21cnjy.com
43．端午将至，各大商家都在为端午
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)节销售粽子做准备．重庆某知名食品公司主推两款粽子礼盒，蛋黄鲜肉粽礼盒和八宝粽礼盒．礼盒上市第一天，卖出两种礼盒共计5000盒，其中蛋黄鲜肉粽礼盒和八宝粽礼盒的售价分别为160元和120元．
（1）若礼盒上市当天，蛋黄鲜肉棕礼盒销售数量是八宝粽礼盒销售数量的1.5倍，求当天八宝粽礼盒的销售量？
（2）在（1）的条件下，礼盒上市第二天，蛋黄鲜肉粽礼盒销售数量增长了，八宝粽礼盒销售数量增长了，而蛋黄鲜肉棕礼盒价格下降了，八宝粽礼盒价格不变，最终礼盒上市第二天两种礼盒的销售总额和（1）中两种礼盒的销售总额相等，求的值．www-2-1-cnjy-com
44．云南某鲜花饼厂一月份
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)生产20000个鲜花饼，现升级设备，连续两个月增长率相同，三月份产量达到24200个．其中所生产的鲜花饼有两种口味，玫瑰鲜花饼每个利润为6元，茉莉鲜花饼每个利润为8元，请回答以下问题：
（1）鲜花饼厂这两个月的月平均增长率是多少?
（2）现将两种鲜花饼搭配成大礼盒，每盒有1
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)2个，其中玫瑰鲜花饼的数量的2倍不少于茉莉花饼的数量，且每个大礼盒的利润不低于84元，请问有哪几种搭配方案?
45．疫情期间，某企业每日需向
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)疫情严重的地区捐赠20万只口罩．该企业原口罩日产量为40万只，经政府出资两次加大设备投入后，日产量提升为90万只．每日用于销售的口罩当日全部售出，且每只口罩的成本和销售单价始终不变．该企业原来每日亏损4万元，加大设备投入后，每日盈利11万元．
（1）求两次口罩日产量的平均增长率；
（2）求每只口罩的成本和单价；
（3）该企业将每天生产的口罩达成90包（每包1万只），现从捐赠和自行销售的口罩中分别抽取若干包以成本价支持本地防疫工作，企业规定口罩捐赠量高于自行销售量的．若企业每日仍盈利4万元，则从捐赠和自行销售的口罩中各抽取多少包？
46．山西转型综合改革示范区的一工厂里，生产的某种产品按供需要求分为十个档次．若生产第一档次（最低档次）的产品，一天可生产76件，每件的利润为10元，每提高一个档次，每件的利润增加2元，每天的产量将减少4件．设产品的档次（每天只生产一个档次的产品）为，请解答下列问题．
（1）用含的代数式表示：一天生产的产品件数为_______件，每件产品的利润为________元；
（2）若该产品一天的总利润为1080元，求这天生产产品的档次的值．
47．毕业季即将到来，某礼品店购进了一批适合大学生的毕业纪念品，该礼品店用元购进种礼品若干件，用元购进种礼品若干件，所购种礼品的数量比种礼品的数量多件，且种礼品每件的进价是种礼品每件进价的倍．
两种礼品每件的进价分别为多少元?
礼品店第一次所购礼品全部售完后，再次购进两种礼品(进价不变)，其中种礼品购进的数量在第一次的基础上增加了，售价在进价的基础上提高了；种礼品购进的数量在第一次的基础上增加了，售价在进价的基础上提高了．全部售出后，第二次所购礼品的利润为元(不考虑其他因素)，求第二次购进两种礼品各多少件?
48．我省某农业合作社以原价为5元每千克对外销售某种苹果．为了减少库存，决定降价销售，经过两次降价后，售价为每千克3.2元．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）求平均每次降价的百分率；
（2）某超市计划从该农业合作社购进一批该种苹果（大于300千克），由于购买量较大，合作社在每千克3.2元的基础上决定再给予两种优惠方案：
49．春节期间，佛山连锁超市派调查小组调查某种商品的销售情况，下面是调查后小李与其他两位成员交流的情况．
小李：“该商品的进价为50元/件．”
成员甲：“当定价为60元/件时，平均每天可售出800件．”
成员乙：“若售价每提高5元，则平均每天少售出100件．”
根据他们的对话，完成下列问题：
（1）若售价定为65元/件时，平均每天可售出______件；
（2）若超市希望该商品平均每天能盈利12000元，且尽可能扩大销售量，则该商品应该怎样定价？
50．按照中央精准扶贫的部署，市委、市政
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)府重点扶持贫困户发展特色农业．现某区扶持一贫困户的李子园销售“金脆李”和“黄橙李”两种李子，因为“金脆李”果形奇特、口感佳，售价为30元/斤，“黄橙李”因大面积种植，售价要便宜一些，为20元/斤【来源：21·世纪·教育·网】
（1）7月上旬，该果园一共售出300斤李子，要使销售额不低于7250元，问最多售出“黄橙李”多少斤？
（2）为了提高“金脆李”的知名度，政府对“金脆李”进行广告宣传，7月中旬该果园的总销售重量为1500斤，其中售出“黄橙李”1000斤，7月下旬由于李子大量上市，该果园推出优惠方案，“金脆李”每斤降价a%，“黄橙李”售价保持不变，售后统计“金脆李”销售数量在7月中旬的基础上增加了2a%，“黄橙李”数量在7月中旬的基础上减少了，若总销售额与7月中旬的总销售额持平，求a的值
51．为了满足社区居民强身健体的需要，政府准备采购若干套健身器材免费提供给社区，经过考察了解，飞跃公司有，两种型号的健身器材可供选择，已知飞跃公司2018年每套型健身器材的售价为2.5万元，2018年每套型健身器材的售价为2万元，2020年每套型健身器材售价为1.6万元，每套型，型健身器材的年平均下降率相同．
（1）求每套型健身器材年平均下降率；
（2）2020年政府经过招标，决定年内采购并安装飞跃公司，两种型号的健身器材共80套，政府采购专项经费总计不超过112万元，问型健身器材最少可购买多少套？
52．在大力推广垃圾分类之前，某小
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)区虽然在每栋楼都放置了可回收垃圾桶和不可回收垃圾桶，但是少数居民对垃圾分类的认识不够深入，常常将垃圾混装后随意丢入垃圾桶，导致垃圾分类混乱，垃圾处理站将可回收垃圾桶内的垃圾记为A类垃圾，将不可回收垃圾桶内的垃圾记为B类垃圾．该小区共有10栋楼，平均每栋楼每月产生12吨A类垃圾和4吨B类垃圾，每吨B类垃圾处理费是每吨A类垃圾处理费的2倍，该小区每月A、B两类垃圾处理费总费用为8000元．
（1）求每吨A类垃圾处理费多少元？
（2）在大力推广垃圾分类之后，该小区的居民认识到了垃圾分类的重要性并规范地放置垃圾．该小区每月产生的A、B两类垃圾总重量不变的情况下，B类垃圾的重量增加了a%，同时，垃圾处理站通过技术革新将A、B两类垃圾每吨处理费分别降低了a%和a%，这样与推广垃圾分类之前相比，该小区每月A、B两类垃圾处理费总费用减少了a%，求a的值．
53．某商场经营一种新型台灯，进价为
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)每盏300元．市场调研表明：当销售单价定为400元时，平均每月能销售300盏；而当销售单价每下降1元时，平均每月的销售量就增加10盏．
（1）当销售单价为多少时，该型台灯的销售利润平均每月能达到40000元？
（2）临近春节，为了回馈广大顾客，商场部门经理决定在一月份开展降价促销活动，估计分析：若每盏台灯的销售单价在（1）的最高销售单价基础上降价%，则可多售出2%．要想使一月份的销售额达到209950元，并且保证不亏损，求的值．
54．随着天气逐渐变暖，周末期间有更多的人选
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)择出门游玩，重庆某景点的儿童票销量是成人票销量的3倍，且儿童票的价格为70元，成人票的价格为120元．
（1）若该景点3月份儿童票和成人票的总销售额不低于26.4万元，则3月份的售出的儿童票至少多少张？
（2）由于4月份天气变暖，外出游玩的人有所增加，景区对价格进行了调整，4月份儿童票销量比3月份儿童票最低销量增长了15a%，4月份儿童票价格比3月份降低了a%，4月份成人票销量比3月份成人票的最低销量相等，且价格比3月份降低了a%．最终该景区4月份儿童票和成人票的销售额比3月份的最低销售额增加了a%，求a的值．21·cn·jy·com
55．重庆某大型物流集散中心根据实际情况
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，用工人手动分拣和机器自动分拣两种方式对不同类型的包裹进行处理．
一个工人每分钟分拣5个包裹，一台机器每分钟分拣10个包裹，该物流集散中心每分钟分拣包裹总量不低于6500个．
（1）若参与分拣的机器数量比工人数量多，则至少有多少名工人参与分拣？
（2）购物节期间，该物流中心收入的包裹数量大增，管理人员对分拣流程进行了重新调配．
调配后，参与分拣的工人比（1）中工人数量的最小值增加，机器数量比（1）中机器数量的最小值增加．每个工人分拣的效率不变，受到每天的工作总时间增多，机器超负荷运转的影响，机器分拣的效率降低．
在调配分拣流程后，该物流集散中心每分钟需要处理的包裹数量就比调配前的最小值6500个多了，求的值．
56．如图1，正方形ABCD和正方形AEFG，点E在边BC上，连接DG．
（1）求证：DG＝BE；
（2）如图2，连接AF交CD于点H，连接CF，EH；
①求证：EH＝BE+DH；
②设AB＝4，是否存在BE的长度，使CFEH？若存在，请求出BE的长；若不存在，请说明理由．
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精品试卷·第
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（共
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