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1.1
一元二次方程
【基础训练】
一、单选题
1．下列方程中是关于的一元二次方程的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
根据一元二次方程的概念找出答案即可．
【详解】
一元二次方程概念中要求只含有一个未知数，有二次项且二次项系数不为0，故A,B,C三项错误，
故选：D．
【点睛】
此题考查一元二次方程的概念，难度一般．
2．已知x=1是一元二次方程x2-2mx+1=0的解,则m的值是（
）
A．-1
B．0
C．1
D．0或1
【答案】C
【解析】
试题分析：把x=1代入方程x2﹣2mx+1=0,可得1﹣2m+1=0,得m=1,故选C．
考点：一元二次方程的解．
3．已知关于x的一元二次方程mx2﹣3x＝x2﹣m2+1有一个根是0，则m的值为（ ）
A．±1
B．1
C．﹣1
D．1或0
【答案】C
【分析】
本题根据一元二次方程的根的定义，一元二次方程的定义求解；把x＝0代入原方程即可求得m的值．
【详解】
解：把x＝0代入方程mx2﹣3x＝x2﹣m2+1，得m2＝1，
解得m＝±1；
∵mx2﹣3x＝x2﹣m2+1整理得（m﹣1）x2﹣3x+m2﹣1＝0，
∴m﹣1≠0即m≠1，
∴m＝﹣1．
故选：C．
【点睛】
此题考查的是根据一元二次方程的定义和解求方程中的参数，掌握一元二次方程的定义和方程的解的定义是解决此题的关键．2-1-c-n-j-y
4．二次函数y＝2x2﹣3的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ）
A．2、0、﹣3
B．2、﹣3、0
C．2、3、0
D．2、0、3
【答案】A
【分析】
根据二次函数的定义：一般
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项即可得出答案．
【详解】
解：二次函数y=2x2-3的二次项系数是2，一次项系数是0，常数项是-3，
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了二次函数的定义，关键是注意在找二次项系数，一次项系数和常数项时，不要漏掉符号．
5．将一元二次方程化为一般形式后，二次项系数和一次项系数分别为（
）
A．5，－6
B．5，6
C．5，1
D．，－6x
【答案】A
【分析】
一元二次方程的一般形式是：ax2+b
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)x+c=0（a，b，c是常数且a≠0）．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．【出处：21教育名师】
【详解】
解：一元二次方程5x2+1=6x化为一般形式是5x2-6x+1=0，二次项系数和一次项系数分别为5、-6．
故选A．【版权所有：21教育】
【点睛】
本题考查了一元二次方程的一般形式，解答本题要通过移项，转化为一般形式，注意移项时符号的变化．
6．若关于x的方程的一个根是3，则m-n的值是
A．-1
B．-3
C．1
D．3
【答案】B
【分析】
把x=3代入已知方程，即可求得（m-n）的值．
【详解】
解：由题意，得
x=3满足方程，
所以，9+3m-3n
=0，
解得，m-n=
-3．
故选B．
【点睛】
本题考查一元二次方程的解的定义．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．21
cnjy
com
7．已知关于x的一元二次方程有一个根为，则a的值为（
）
A．0
B．
C．1
D．
【答案】D
【分析】
根据一元二次方程的定义，再将代入原式，即可得到答案.
【详解】
解：∵关于x的一元二次方程有一个根为，
∴，，
则a的值为：．
故选D．
【点睛】
本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的定义.
8．下列方程中，有一个根是的方程为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
分别把x=6代入方程判断左右两边是否相等，进而得出答案．
【详解】
解：A、，故此选项错误；
B、62-60，故此选项错误；
C、62-7×6+6=0，故此选项正确；
D、（6+6）（2×6-7）0，故此选项错误．
故选C．21教育名师原创作品
【点睛】
此题主要考查了一元二次方程的根的概念，正确理解方程根的定义是解题关键．
9．一元二次方程2x2+3x﹣5＝0的常数项是(
)
A．﹣5
B．2
C．3
D．5
【答案】A
【分析】
一元二次方程ax2+bx+c＝0(a，b，c是常数且a≠0)中a、b、c分别是二次项系数、一次项系数、常数项．
【详解】
解：一元二次方程2x2+3x﹣5＝0的常数项是﹣5，
故选A．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的一般形式：ax2+b
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)x+c＝0(a，b，c是常数且a≠0)特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．21·cn·jy·com
10．已知是关于x的一元二次方程的一个根，则k的值为
A．3
B．
C．2
D．
【答案】B
【分析】
把代入方程得，然后解方程后利用一元二次方程的定义确定k的值．
【详解】
解：把代入方程得，
整理得，解得，，
而，
所以k的值为．
故选B．
【点睛】
考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解也考查了一元二次方程的定义．2·1·c·n·j·y
11．一元二次方程x2+kx﹣3＝0的一个根是x＝1，则k的值为（ ）
A．2
B．﹣2
C．3
D．﹣3
【答案】A
【详解】
将代入方程有，解得，故选A
12．如果2是方程的一个根，那么c的值是（
）
A．
B．－4
C．2
D．－2
【答案】A
【详解】
解：由题意得，
解得：，
故选A．
13．若关于x
的方程（a+1）x2﹣2x﹣1＝0
是一元二次方程，则
a
的取值范围是（
）
A．a≠﹣1
B．a＞1
C．a＜1
D．a≠0
【答案】A
【分析】
根据一元二次方程的定义可知
a
的取值范围.
【详解】
解：由题意可知：a+1≠0，
∴a≠﹣1
故选A．
【点睛】
本题考查一元二次方程的定义，本题属于基础题型，解题的关键是正确理解一元二次方程的定义．
14．已知一个一元二次方程的二次项系数是3，常数项是1，则这个一元二次方程可能是（ ）
A．3x+1=0
B．x2+3=0
C．3x2﹣1=0
D．3x2+6x+1=0
【答案】D
【分析】
根据二次项系数及常数项得到结果即可．
【详解】
已知一个一元二次方程的二次项系数是3，常数项是1，则这个一元二次方程可能是3x2+6x+1=0，
故选D．
【点睛】
此题考查了一元二次方程的
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．www-2-1-cnjy-com
15．下列方程中有一个根为-1的方程是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
根据方程根的定义，把x=-1分别代入各方程，进而判断得出答案．
【详解】
当x=-1时，
A.=2×（-1）2+（-1）=1≠0，故选项A不符合题意；
B.=3×（-1）2+2×(-1)-5=-4≠0，故选项B不符合题意；
C.=(-1)2-5×(-1)+4=10≠0，故选项C不符合题意；
D.
=2×(-1)2-3×(-1)-5=0，故选项D符合题意.
故选D.
【点睛】
此题主要考查了一元二次方程的根的意义，正确掌握一元二次方程的根的意义是解题关键．
16．若方程是关于的一元二次方程，则（
）
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】C
【分析】
根据一元二次方程的定义解答即可．
【详解】
解：∵方程是关于的一元二次方程，
∴n=2，m-3≠0，
即，.
故选C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的定义，一元二次
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)方程必须满足四个条件：（1）含有一个未知数；（2）未知数的最高次数是2；（3）二次项系数不为0；（4）是整式方程．
17．已知一元二次方程x2+kx-3=0有一个根为1，则k的值为（
）
A．?2
B．2
C．?4
D．4
【答案】B
【详解】
分析：根据一元二次方程的解的定义，把x=1代入方程得关于k的一次方程1-3+k=0，然后解一次方程即可．
详解：把x=1代入方程得1+k-3=0，
解得k=2．
故选B．
点睛：本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
18．下列方程一定是一元二次方程的是（ ）
A．3x2+﹣1=0
B．5x2﹣6y﹣3=0
C．ax2﹣x+2=0
D．3x2﹣2x﹣1=0
【答案】D
【解析】
A、是分式方程，故A错误；
B、是二元二次方程，故B错误；
C、a=0时，是一元一次方程，故C错误；
D、是一元二次方程，故D正确；
故选D．
点睛:根据一元二次方程的定
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)义解答，一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
19．方程x2-4x+3=0中二次项系数、一次项系数和常数项分别是（
）
A．1，4，3
B．2，-4，3
C．1，-4，3
D．2，-4，3
【答案】C
【解析】由一元二次方程的定义可得二次项系数、一次项系数、常数项分别为1，-4，3
．故选C.
20．已知一元二次方程有一个根为2，则另一根为
A．2
B．3
C．4
D．8
【答案】C
【详解】
试题分析：利用根与系数的关系来求方程的另一根．设方程的另一根为α，则α+2=6，
解得α=4．
考点：根与系数的关系．
21．根据下列表格的对应值，判断方程ax2+bx+c=0（a≠0，a、b、c为常数）一个解的范围是（
）
x
3.23
3.24
3.25
3.26
ax2+bx+c
﹣0.06
﹣0.02
0.03
0.09
A．3＜x＜3.23
B．3.23＜x＜3.24
C．3.24＜x＜3.25
D．3.25＜x＜3.26
【答案】C
【详解】
试题分析：观察表格可知ax2
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)+bx+c的值与0比较接近的是-0.02和0.03，相对应的x的值分别为3.24秘3.25，因此方程ax2+bx+c=0（a≠0，a、b、c为常数）一个解的范围是3.24＜x＜3.25；
故选C.
考点：一元二次方程的解
22．若m是一元二次方程的根，则代数式的值为（
）
A．1
B．-1
C．2
D．-22
【答案】B
【分析】
由m是一元二次方程的根可得关于m的方程，结合所求、变形方程即得答案.
【详解】
解：∵m是一元二次方程的根，
∴，
∴.
故选：B.
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解的概念和整体代入的求值方法，属于常考题型，熟练掌握一元二次方程的解的定义和整体的数学思想是解题的关键.
23．方程是关于的一元二次方程，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
根据一元二次方程的定义，列出不等式，求出a的取值范围即可
【详解】
∵方程是关于的一元二次方程，
∴a-2≠0，
解得：a≠2，
故选B.
【点睛】
本题考查一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．注意二次项系数不为0的条件.www.21-cn-jy.com
24．下列方程是一元二次方程的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
根据一元二次方程的定义分别判断即可．
【详解】
A、没有说明a是否为0，所以不一定是一元二次方程；
B、含分式，所以不是一元二次方程；
C、方程可整理为，所以是一元二次方程；
D、移项合并同类项后未知数的最高次为1，所以不是一元二次方程；
故选C．
【点睛】
此题考查一元二次方程的定义，解题关键在于注意有的方程需要整理成一元二次方程的一般形式后再进行判断．
25．若关于的一元二次方程的常数项为0，则的值等于（
）
A．1
B．3
C．1或3
D．0
【答案】B
【分析】
根据一元二次方程的定义及常数项为0列出不等式和方程，求出m的值即可．
【详解】
解：根据题意，得：，
解得：m＝3．
故选B．
【点睛】
考查了一元二次方程的定义和一元二次方程的一
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2＋bx＋c＝0（a，b，c是常数且a≠0），特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
26．下列方程中是一元二次方程的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
根据一元二次方程的定义依次判断后即可解答.
【详解】
选项A，是一元一次方程，不是一元二次方程；
选项B，是二元二次方程，不是一元二次方程；
选项C，是一元二次方程；
选项D，
是分式方程，不是一元二次方程.
故选C.
【点睛】
本题考查了一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程叫一元二次方程是解决问题的关键.
27．若关于x的一元二次方程有一个根为0，则a的值为（
）
A．
B．
C．
D．2
【答案】C
【分析】
方程的根即方程的解，就是能使方程两边相等的未知数的值，利用方程解的定义就可以得到关于a的方程，从而求得a的值．【来源：21·世纪·教育·网】
【详解】
把x=0代入方程有：
a2-4=0，
a2=4，
∴a=±2；
∵a-2≠0，
∴a=-2，
故选C．
【点睛】
本题考查的是一元二次方程的解，把方程的解代入方程可以求出字母系数的值．根据根与系数的关系，由两根之和可以求出方程的另一个根．
28．用换元法解方程：时，如果设，那么将原方程变形后表示为一元二次方程一般形式的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
根据题意把代入原方程即可求解.
【详解】
把代入原方程得，去分母得，故选C.
【点睛】
此题主要考查一元二次方程的定义，解题的关键是熟知等式的性质进行化简.
29．方程的二次系数、一次项系数、常数项分别是
A．3，2，9
B．3，，9
C．，，
D．3，，
【答案】D
【分析】
根据b，c是常数且特别要注意的条件，a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项，可得答案．
【详解】
解：一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是3，，，
故选D．
【点睛】
此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：b，c是常数且特别要注意的条件这是在做题过程中容易忽视的知识点在一般形式中叫二次项，bx叫一次项，c是常数项其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
30．已知是方程x2﹣3x+c＝0的一个根，则c的值是( )
A．﹣6
B．6
C．
D．2
【答案】B
【分析】
把x=代入方程x2-3x+c=0，求出所得方程的解即可．
【详解】
把x=代入方程x2-3x+c=0得：3-9+c=0，
解得：c=6，
故选B．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解的应用，解此题的关键是得出关于c的方程．
二、填空题
31．若是关于的方程的一个解，则的值为__________________．
【答案】
【分析】
把x=2代入方程2x2-mx+1=0列出关于m的新方程，通过解新方程来求m的值．
【详解】
解：依题意，得2×22-2m+1=0，
解得：m=，
故答案为：．
【点睛】
本题考查的是一元二次方程的解的定义．一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．21
cnjy
com
32．是方程的一个根，则代数式的值是______．
【答案】2019
【分析】
先根据一元二次方程的根的定义可得，再作为整体代入即可得．
【详解】
解：由题意得：，即，
则，
，
，
故答案为：2019．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的根、代数式求值，掌握理解一元二次方程的根的定义是解题关键．
33．若关于x的方程的一个根是，则m的值为_________．
【答案】-4
【分析】
把代入方程得，然后解关于的方程．
【详解】
解：把代入方程得，
解得．
故答案为．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
34．如果m是关于x的方程x2+2x﹣3＝0的一个根，则2m2+4m＝_____．
【答案】6．
【分析】
根据方程的解的定义即可求出答案．
【详解】
解：由题意可知：，
∴，
∴，
故答案为：6．
【点睛】
本题考查一元二次方程的解，熟悉相关性质是解题的关键．
35．已知是关于x的一元二次方程，则m=_______．
【答案】-2
【分析】
根据一元二次方程的定义，一元二次方程必须满足两个条件：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．21世纪教育网版权所有
【详解】
解：由题意，得|m|=2，且m-2≠0，解得m=-2，
故答案为：-2．
【点睛】
本题考查一元二次方程的概念．只
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
三、解答题
36．解方程：3(x-5)2=2(5-x)
（因式分解法）
【答案】x1=5，x2=
【解析】
试题分析：先移项，再提取公因式(x-5)，即可根据因式分解法解方程.
移项，得3(x-5)2+2(x-5)=0，
分解因式，得（(x-5)[(3(x-5)+2)]=0，即（x-5）(3x-13)=0
∴x-5=0或3x=13=0
∴x1=5，x2=.
考点：解一元二次方程
点评：因式分解法解一元二次方程是一元二次方程极为重要的方法，在中考中比较常见，在各种题型中均有出现，一般难度不大，要熟练掌握.21cnjy.com
37．解方程：3x2+5(2x+1)=0（公式法）
【答案】，
【解析】
试题分析：先把原方程化为一般形式，再判断根的判别式b2-4ac的正负，最后根据公式法解方程即可.
方程化为一般形式，得3x2+10x+5=0，
其中a=3，b=10，c=5
b2-4ac=102-4×3×5=40
∴，
∴，.
考点：解一元二次方程
点评：公式法解一元二次方程是一元二次方程极为重要的方法，在中考中比较常见，在各种题型中均有出现，一般难度不大，要熟练掌握.【来源：21cnj
y.co
m】
38．已知关于的方程：是一元二次方程，试求的值
【答案】-1.
【详解】
试题分析：根据题意，因为是一元二次方程,所以，可得，又因为，所以m=2舍去，故答案为-1.
考点：一元二次方程的定义.
39．先化简，再求值：，其中a是方程x2+x﹣3=0的解．
【答案】，
【详解】
试题分析：先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再根据a是方程x2+x﹣3=0的解得出a2+a=3，再代入原式进行计算即可．
试题解析：
=
=
=
=
∵a是方程x2+x﹣3=0的解，
∴a2+a﹣3=0，即a2+a=3，
∴原式=．
考点：1、分式的化简求值；2、一元二次方程的解
40．已知关于的方程有两个实数根﹣2，．求，的值．
【答案】m=1，n=-2
【详解】
思路点拨：利用根与系数的关系知-2+m=-1，-2m=n，据此易求m、n的值．
试题分析：由题意，可得-2+m=-1，-2m=n，解得m=1，n=-2
考点：一元二次方程的解
41．先化简，再求值：，其中满足方程．
【答案】．
【详解】
试题分析：原式==，
∵，∴，∴原式=．
考点：1．分式的化简求值；2．一元二次方程的解．
42．化简求值：，其中是方程的解
【答案】解：原式===a2－a.
因为是方程的解，所以.所以
所以原式=
【详解】
试题分析：化简分式可以得出最后的结果是，并且a是方程的解，由此可以得出结果是
试题解析：
原式=
因为a是方程的解，所以=
考点：解一元二次方程-因式分解法；分式的化简求值．
43．已知x是一元二次方程的实数根，求代数式：的值．
【答案】
【详解】
解：原式=
∵x2+3x－1=0
∴3x2+9x=3
∴原式＝
44．若关于x的一元二次方程x2＋4x＋2k＝0有实数根，求k的取值范围及k的非负整数值．
【答案】k≤2
0，1，2
【解析】
解：∵方程有两个实数根，∴42－4×1×(2k)≥0，解得k≤2.
所以k的取值范围为k≤2，满足条件的k的非负整数值有三个：0，1，2.
45．已知关于的方程．
为何值时，此方程是一元一次方程？
为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项．
【答案】(1)时，此方程是一元一次方程；（2）．一元二次方程的二次项系数、一次项系数，常数项．;
【详解】
试题分析：（1）根据一元一次方程的定义可得=0，且m+1≠0，解得m的值；
（2）根据一元二次方程的定义可得≠0，可得m的取值范围，然后写出一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项．
试题解析：解：（1）
=0，且m+1≠0，
解得m=1，
答：当m=1时，此方程是一元一次方程；
（2）
≠0，解得m≠±1，
答：当m≠±1时，此方程是一元二次方程，其二次项系数为，一次项系数为-（m+1），常数项为m．
考点：一元一次方程的定义；一元二次方程的定义．
46．若方程是关于x的一元二次方程，求m的值．
【答案】m=?2.
【分析】
根据一元二次方程的定义:只含有一个未知数,并且未知数的最高指数是2的整式方程,且二次项系数不等于0,即可进行求解,
【详解】
由题意得:m2-2=2且m-2≠0,
解得:m=-2.
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的定义,解决本题的关键是要熟练掌握一元二次方程的定义.
47．关于x的一元二次方程(n+1)x2+x+n2=1的一个根是0，求n的值．
【答案】n=1.
【分析】
根据一元二次方程解的定义,将0代入到一元二次方程可得:
n2=1,解得:,
根据一元二次方程二次项系数不等等于0可得:
n+1,解得:,因此.
【详解】
由题意得:n2=1且n+1≠0,
解得:n=1.
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的定义和一元二次方程解的定义,解决本题的关键是要熟练掌握一元二次方程的定义和一元二次方程解的定义.
48．k取何值时，关于x的方程（k2﹣1）x2+2（k+1）x+3（k﹣1）=0
（1）是一元一次方程？
（2）是一元二次方程？
【答案】（1）k=1（2）k≠±1
【解析】
【分析】
（1）根据含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程是一元一次方程，可以确定k的取值；
（2）根据含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程是一元二次方程，可以确定k的取值；
【详解】
（1）∵要使方程是一元一次方程，则k2﹣1=0且2（k+1）≠0，
∴k=±1且k≠﹣1，
∴k=1；
（2）要使方程是一元二次方程，则k2﹣1≠0，
∴k≠±1.
【点睛】
本题考查的是一元一次方程和一元二次方程的定义，根据定义确定k的取值．
49．按下列条件写出关于
x
的一元二次方程
ax
2
+
bx
+
c
＝0．
（1）二次项系数1，一次项系数为2，常数项3；
（2）二次项系数－1，一次项系数0，常数
．
【答案】（1）x2
+2x+3＝0．（2）－x2
+－1＝0．
【解析】
分析：（1）根据二次项的系数、一次项的系数、常数项，可得一元二次方程的一般形式；
（2）根据二次项的系数、一次项的系数、常数项，可得一元二次方程的一般形式．
详解：（1）当a＝1，b＝2，c＝3时，一元二次方程是x2
+2x+3＝0；
（2）二次项系数为-1，一次项系数为0，常数项为，一元二次方程是－x2
+－1＝0．
点睛：本题考查了一元二次方程的一般形式，把二次项的系数、一次项的系数、常数项代入是解题关键．
50．已知关于x的方程（m－n）x2+mx+n=0，你认为：
（1）当m和n满足什么关系时，该方程是一元二次方程？
（2）当m和n满足什么关系时，该方程是一元一次方程？
【答案】（1）当m≠n时，方程是一元二次方程；（2）当m=n且m≠0时，方程是一元一次方程
【详解】
试题分析：（1）一元二次方程要求最高项次数为2且二次项系数不为0，由题，只要
即可确定方程为一元二次方程.21·世纪
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（2）一元一次方程要求最高项次数为1且一次项系数不为0，所以当方程同时满足
时，即可确定方程为一元一次方程.
试题解析：（1）根据题意得：m－n≠0，解得：m≠n；
（2）根据题意得：，
解得：．
当
且
时，方程是一元一次方程．
点睛：本题考查一元二次方程与一元一次方程
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)的辨析，解题的关键在于清楚一元二次方程的最高项次数为2且二次项系数不为0，而一元一次方程的最高项次数为1且一次项系数不为0.
51．学完一元二次方程后，在一次数学课上，同学们说出了一个方程的特点：
①它的一般形式为ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0）
②它的二次项系数为5
③常数项是二次项系数的倒数的相反数
你能写出一个符合条件的方程吗？
【答案】5x2－2x－=0（答案不唯一）
【分析】
本题主要考查一元二次方程的定义，由（2）（3）可确定
的值，任意给出
的值即可得到所求方程.
【详解】
解：由（1）知这是一元二次方程，由（2）（3）可确定，而的值不唯一确定，可为任意数，熟悉一元二次方程的定义及特征是解答本题的关键．
这个方程是5x2－2x－=0
52．已知关于x的一元二次方程x2+2x+k﹣2=0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若k为大于1的整数，求方程的根．
【答案】（1）k＜3;（2）x1=0和x2=﹣2
.
【分析】
（1）根据方程有两个不相等的实数根,令△＞0，即可解题,
（2）根据k的取值范围确定k的值,代入原方程即可求解.
【详解】
解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+2
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)x+k﹣2=0有两个不相等的实数根，
∴△=b2﹣4ac=22﹣4（k﹣2）＞0，
即12﹣4k＞0，解得：k＜3．
故k的取值范围为k＜3．
（2）∵k为大于1的整数，且k＜3，
∴k=2．
将k=2代入原方程得：x2+2x=x（x+2）=0，
解得：x1=0，x2=﹣2．
故当k为大于1的整数，方程的根为x1=0和x2=﹣2
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式和求解,属于简单题,熟悉根的判别式的概念是解题关键.
53．已知关于x的方程x2﹣2kx+1=0有两个相等的实数根，
（1）求k的值，
（2）并求出方程的根．
【答案】(1)1或﹣1;(2)x1=x2=1或x1=x2=﹣1
【解析】
【分析】
根据方程有两个相等的实数根，可得△=b2-4
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)ac=（-2k）2-4×1×1=4（k2-1）=0，解方程可得k的值，再把k的值代入方程x2﹣2kx+1=0，解一元二次方程即可．
【详解】
∵关于x的方程x2﹣2kx+1=0有两个相等的实数根，
∴△=b2?4ac=(?2k)2?4×1×1=4(k2?1)=0，
解得：k=
1或?1
∴方程变为：x2﹣2x+1=0，或x2+2x+1=0
解得x1=x2=1或x1=x2=﹣1
故答案：x1=x2=1或x1=x2=﹣1
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系，以及一元二次方程的解法，关键掌握：△>0时，方程有两个不相等的实数根
△=0时，方程有两个相等的实数根
54．已知关于
x
的一元二次方程
x2?(k+3)x+2k+1=0.
(1)求证方程有两个不相等的实数根；
(2)若方程的一个根为
x=4，求
k
值，并求出此时方程的另一根.
【答案】（1）见解析；（2）.
【解析】
【分析】
（1）表示出方程根的判别式，判断其值大于0即可得证；
（2）把x=4代入方程求出k的值，确定出方程，即可求出另一根．
【详解】
（1），
故方程有两个不相等的实数根；
（2）∵方程的一个根为，
∴，
即，
由韦达定理得，
则.
【点睛】
此题考查了根的判别式，以及一元二次方程的解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
55．已知关于的一元二次方程有两个实数根，．
求实数的取值范围；
若方程的两实数根，满足，求的值．
【答案】；
．
【解析】
【分析】
用判别式法求解即可.
【详解】
，
整理得．
∵方程有两个实数根，．
∴，
解得；
由根与系数关系知：
，，
又，代入得，
，
∵，
∴，
∴可化简为：．
解得（不合题意，舍去）或，
∴．
【点睛】
利用判别式法和根与系数的关系是解决这一类题的通法.
56．已知关于x的方程x2﹣2kx+k2﹣k﹣1＝0有两个不相等的实数根x1，x2．
（1）求k的取值范围；（2）若x1﹣3x2＝2，求k的值．
【答案】（1）k＞﹣1；（2）k＝3．
【解析】
【分析】
（1）由题意得出△≥0进而得出答案；
（2）根据解方程组求出x1、x2的值，将其代入x1﹣3x2＝2中可求出k值．
【详解】
（1）△＝（﹣2k）2﹣4（k2﹣k﹣1）＝4k+4＞0，
∴k＞﹣1；
（2）∵，
∴，
∵x1?x2＝k2﹣k﹣1，
∴（3k+1）（k﹣1）＝k2﹣k﹣1，
∴k1＝3，k2＝﹣1，
∵k＞﹣1，
∴k＝3．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握根与系数的关系．
57．关于x的一元二次方程有一根为0，求m的值．
【答案】
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的解的定义，把代入得到关于m的方程，然后解方程即可．
【详解】
解：把代入，得：
，
解得，
又，
解得，
．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
58．已知x是一元二次方程x2－2x＋1＝0的根，求代数式的值．
【答案】
【详解】
解：∵x2－2x＋1＝0，∴x1＝x2＝1，
原式＝．
∴当x＝1时，原式＝．
解一元二次方程，求出x的值，再将分式化简，将x的值代入分式即可求解．
59．已知m是方程的一个实数根，求代数式的值．
【答案】4
【详解】
解：∵m是方程的根，
∴，即．
∴．
根据方程的解得出，变形后代入求出即可．
60．关于x的一元二次方程有实根.
（1）求k的最大整数值；
（2）当k取最大整数值时，方程的根满足，求m的值.
【答案】（1）（2）
【分析】
(1)根据方程有实数根,可得判別式大于等于零,根据解不等式,可得答案;
(2)把k=4代入方程，可得方程的解,把方程的解代入,可得关于m的一元一次方程,根据解一元一次方程,可得答案.21教育网
【详解】
（1）；（2）．
解：（1）根据题意知△=，
∵
∴
解得：
∴k的最大整数值为4.
（2）∵
∴方程为
则解得方程的根为；
把代入方程得，
∴．
【点睛】
本题考查了根的判别式,利用了根的情况判别参数的范围,同时考查一元二次方程的解.
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精品试卷·第
2
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1.1
一元二次方程
【基础训练】
一、单选题
1．下列方程中是关于的一元二次方程的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．已知x=1是一元二次方程x2-2mx+1=0的解,则m的值是（
）
A．-1
B．0
C．1
D．0或1
3．已知关于x的一元二次方程mx2﹣3x＝x2﹣m2+1有一个根是0，则m的值为（ ）
A．±1
B．1
C．﹣1
D．1或0
4．二次函数y＝2x2﹣3的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ）
A．2、0、﹣3
B．2、﹣3、0
C．2、3、0
D．2、0、3
5．将一元二次方程化为一般形式后，二次项系数和一次项系数分别为（
）
A．5，－6
B．5，6
C．5，1
D．，－6x
6．若关于x的方程的一个根是3，则m-n的值是
A．-1
B．-3
C．1
D．3
7．已知关于x的一元二次方程有一个根为，则a的值为（
）
A．0
B．
C．1
D．
8．下列方程中，有一个根是的方程为（
）
A．
B．
C．
D．
9．一元二次方程2x2+3x﹣5＝0的常数项是(
)
A．﹣5
B．2
C．3
D．5
10．已知是关于x的一元二次方程的一个根，则k的值为
A．3
B．
C．2
D．
11．一元二次方程x2+kx﹣3＝0的一个根是x＝1，则k的值为（ ）
A．2
B．﹣2
C．3
D．﹣3
13．若关于x
的方程（a+1）x2﹣2x﹣1＝0
是一元二次方程，则
a
的取值范围是（
）
A．a≠﹣1
B．a＞1
C．a＜1
D．a≠0
14．已知一个一元二次方程的二次项系数是3，常数项是1，则这个一元二次方程可能是（ ）
A．3x+1=0
B．x2+3=0
C．3x2﹣1=0
D．3x2+6x+1=0
15．下列方程中有一个根为-1的方程是（
）
A．
B．
C．
D．
16．若方程是关于的一元二次方程，则（
）
A．，
B．，
C．，
D．，
17．已知一元二次方程x2+kx-3=0有一个根为1，则k的值为（
）
A．?2
B．2
C．?4
D．4
18．下列方程一定是一元二次方程的是（ ）
A．3x2+﹣1=0
B．5x2﹣6y﹣3=0
C．ax2﹣x+2=0
D．3x2﹣2x﹣1=0
19．方程x2-4x+3=0中二次项系数、一次项系数和常数项分别是（
）
A．1，4，3
B．2，-4，3
C．1，-4，3
D．2，-4，3
20．已知一元二次方程有一个根为2，则另一根为
A．2
B．3
C．4
D．8
21．根据下列表格的对应值，判断方程ax2+bx+c=0（a≠0，a、b、c为常数）一个解的范围是（
）
x
3.23
3.24
3.25
3.26
ax2+bx+c
﹣0.06
﹣0.02
0.03
0.09
A．3＜x＜3.23
B．3.23＜x＜3.24
C．3.24＜x＜3.25
D．3.25＜x＜3.26
22．若m是一元二次方程的根，则代数式的值为（
）
A．1
B．-1
C．2
D．-22
23．方程是关于的一元二次方程，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
24．下列方程是一元二次方程的是（
）
A．
B．
C．
D．
25．若关于的一元二次方程的常数项为0，则的值等于（
）
A．1
B．3
C．1或3
D．0
26．下列方程中是一元二次方程的是（
）
A．
B．
C．
D．
27．若关于x的一元二次方程有一个根为0，则a的值为（
）
A．
B．
C．
D．2
28．用换元法解方程：时，如果设，那么将原方程变形后表示为一元二次方程一般形式的是（
）
A．
B．
C．
D．
29．方程的二次系数、一次项系数、常数项分别是
A．3，2，9
B．3，，9
C．，，
D．3，，
30．已知是方程x2﹣3x+c＝0的一个根，则c的值是( )
A．﹣6
B．6
C．
D．2
二、填空题
31．若是关于的方程的一个解，则的值为__________________．
32．是方程的一个根，则代数式的值是______．
33．若关于x的方程的一个根是，则m的值为_________．
34．如果m是关于x的方程x2+2x﹣3＝0的一个根，则2m2+4m＝_____．
35．已知是关于x的一元二次方程，则m=_______．
三、解答题
36．解方程：3(x-5)2=2(5-x)
（因式分解法）
37．解方程：3x2+5(2x+1)=0（公式法）
38．已知关于的方程：是一元二次方程，试求的值
39．先化简，再求值：，其中a是方程x2+x﹣3=0的解．
40．已知关于的方程有两个实数根﹣2，．求，的值．
41．先化简，再求值：，其中满足方程．
42．化简求值：，其中是方程的解
43．已知x是一元二次方程的实数根，求代数式：的值．
44．若关于x的一元二次方程x2＋4x＋2k＝0有实数根，求k的取值范围及k的非负整数值．
45．已知关于的方程．
为何值时，此方程是一元一次方程？
为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项．
46．若方程是关于x的一元二次方程，求m的值．
47．关于x的一元二次方程(n+1)x2+x+n2=1的一个根是0，求n的值．
48．k取何值时，关于x的方程（k2﹣1）x2+2（k+1）x+3（k﹣1）=0
（1）是一元一次方程？
（2）是一元二次方程？
49．按下列条件写出关于
x
的一元二次方程
ax
2
+
bx
+
c
＝0．
（1）二次项系数1，一次项系数为2，常数项3；
（2）二次项系数－1，一次项系数0，常数
．
50．已知关于x的方程（m－n）x2+mx+n=0，你认为：
（1）当m和n满足什么关系时，该方程是一元二次方程？
（2）当m和n满足什么关系时，该方程是一元一次方程？
51．学完一元二次方程后，在一次数学课上，同学们说出了一个方程的特点：
①它的一般形式为ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0）
②它的二次项系数为5
③常数项是二次项系数的倒数的相反数
你能写出一个符合条件的方程吗？
52．已知关于x的一元二次方程x2+2x+k﹣2=0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若k为大于1的整数，求方程的根．
53．已知关于x的方程x2﹣2kx+1=0有两个相等的实数根，
（1）求k的值，
（2）并求出方程的根．
54．已知关于
x
的一元二次方程
x2?(k+3)x+2k+1=0.
(1)求证方程有两个不相等的实数根；
(2)若方程的一个根为
x=4，求
k
值，并求出此时方程的另一根.
55．已知关于的一元二次方程有两个实数根，．
求实数的取值范围；
若方程的两实数根，满足，求的值．
56．已知关于x的方程x2﹣2kx+k2﹣k﹣1＝0有两个不相等的实数根x1，x2．
（1）求k的取值范围；（2）若x1﹣3x2＝2，求k的值．
57．关于x的一元二次方程有一根为0，求m的值．
58．已知x是一元二次方程x2－2x＋1＝0的根，求代数式的值．
59．已知m是方程的一个实数根，求代数式的值．
60．关于x的一元二次方程有实根.
（1）求k的最大整数值；
（2）当k取最大整数值时，方程的根满足，求m的值.
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