小学数学北师大版六年级上第1单元 圆 教案（98页））

六年级数学·上
新课标[北师]
第1单元　圆
本单元的主要内容有圆的认识、欣赏与设计、圆的周长、圆周率的历史、圆的面积等。
《圆》属于图形与几何领域的内容,是平面图形中的一个重要内容。圆的认识是圆的测量的基础,反过来圆的测量是对圆的再认识。在“圆的认识(一)”中,通过想一想、画一画、试一试等活动帮助学生由具体到抽象,逐步对圆的本质(结构)特征加以体会,为学生到中学进一步学习圆的知识提供了感性认识和直观经验。“圆的认识(二)”通过折纸、观察比较等数学活动使学生认识到圆的一个重要性质——对称性。在圆的周长、圆的面积探索活动中,注重积累研究图形的活动经验,发展空间观念,还渗透“化曲为直”的思想方法。数学阅读“圆周率的历史”,挖掘π蕴涵的教育价值,让学生了解自古以来人类对圆周率的研究历程,领略与π有关的方法,从而感受到人类对数学知识的探索过程,感受数学的魅力。本单元对圆的探索始终注重与生活实际的联系,充分体现出数学在实践中的应用,同时也体现出通过实际生活探究数学知识的方法。
本单元前后知识的联系:在第一学段和第二学段,学生直观认识了圆,并学习了长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形等平面图形及其周长、面积的计算。本单元所涉及的圆的相关知识是小学阶段对曲线图形的第一次深入探究,有利于帮助学生建立空间观念,同时积累了一定的学习几何知识的活动经验和思想方法,是今后学习圆柱、圆锥表面积、体积必备的基础知识。
1.与生活实际相结合,通过观察、操作等活动认识圆及圆的对称性,认识半径、直径,理解同一圆中半径和直径的关系,体会圆的特征及圆心和半径的作用,会用圆规画圆。
2.创设具体情境,通过动手实践操作等活动,在探索圆的周长和直径关系的过程中,理解圆周率的意义,探索并掌握圆的周长和面积的计算方法。
3.积极参与欣赏与绘制图案的过程,体会圆在图案设计中的应用,能用圆规设计简单的图案,感受图案的美,发展想象力和创造力。
(1)在观察、操作、想象、图案设计等数学活动中,积极思考,发展空间观念。
(2)通过动手实践、自主探索、合作交流等活动,体会“化曲为直”的思想。
通过操作演示、动手实践,发现圆的周长与直径的关系,推导圆的面积计算公式,解决相关的实际问题。
(1)结合具体的情境,体验数学与日常生活的密切联系,能用圆的知识来解释生活中的简单现象,解决一些简单的实际问题。
(2)查找、阅读圆周率发展历史,体会人类对数学知识的不断探索过程,感受数学文化的魅力,激发民族自豪感,形成热爱数学的积极情感。
【重点】　掌握圆的特征,认识圆的轴对称性,会计算圆的周长和面积。
【难点】　理解圆的周长和面积公式的推导过程。
1.结合具体情境,通过丰富多彩的活动促进学生对圆的特征和圆的对称性的认识。
六年级学生虽然熟悉圆,能够辨认圆,但并不了解圆的特征。因此教材中编排了很多情境图,教学时,教师要结合这些情境图,通过各种探索活动,帮助学生了解圆的特征,认识圆的对称性。
2.开展测量活动,探索圆周率的意义及圆周长的计算方法。
在认识圆的周长与直径的关系及探索圆周长计算方法时,可通过生活经验“轮子越大滚一圈越远”以及“如何测量轮子的周长”的探索活动,通过对不同直径圆的周长的测量数据的分析,发现圆的周长与直径的关系,并推导出圆的周长计算公式。
3.利用“化曲为直”的思想探索圆的面积计算公式。
教学中除了教材中给出的将圆分割后拼成平行四边形的方法外,让学生尝试探索寻找其他方法,如拼成三角形等。
1　圆的认识(一)
“圆的认识”是学生研究曲线图形的开始,也是教学的唯一一个曲线图形,不仅能拓宽学生的知识面,丰富学生“空间与图形”的学习经验,而且能给学生探索学习的方法注入一些新的内容,这也是学生对平面图形认知结构的一次重要拓展。教材首先围绕“套圈游戏”的公平性展开探究,体会圆的优越性及其特征.通过实物画圆和用圆规画圆的活动,使学生认识圆心、半径和直径各组成要素,再通过画不同大小、不同位置的圆,认识圆心的位置决定圆的位置、半径的长短决定圆的大小。通过实际操作、观察、比较、测量等多种方式,使学生对圆的认识由具体逐步到抽象,学会用数学的方法认识圆的本质特征,从而培养学生空间思维能力及相应的数学思想。在初步探究认识了圆的组成及特征的基础上,对圆的特征进行再次的巩固与应用。通过操作活动,引导学生思考和研究“车轮为什么是圆的”,
使学生在活动中加深对“圆心到圆上各点的距离都相等”这一圆特征的掌握,应用所学的知识解释生活中的一些现象,进一步在解释生活现象中体会圆的本质特征。通过学习让学生感受到圆与现实生活的密切联系,再引导学生借助数学活动帮助体验圆的特征,进一步发展空间观念和空间想象力。
1.通过学生观察思考、动手操作、想象、讨论等数学活动,帮助学生认识圆,掌握圆的特征,体会圆心和半径的作用,学会用圆规画圆。
2.结合具体的情境,理解“车轮为什么是圆的”,能用所学知识解决生活中的实际问题,体验数学与日常生活的密切联系。
3.结合丰富多彩的活动,培养学生观察和认识周围事物的形体特征的兴趣和初步的空间观念。体验数学与日常生活的密切联系,培养学生善于思考的习惯。
4.结合具体情境,通过动手拼摆等活动,探索并掌握圆的周长和面积的计算方法,体会“化曲为直”的思想。
5.结合具体的情境,能用圆的知识来解释生活中的简单现象,解决一些简单的实际问题。
【重点】　认识圆并体会圆的特征及圆心和半径的作用,会用圆规画圆,理解同圆或等圆中半径和直径的关系。
【难点】
　理解半径和圆心的作用及直径和半径的关系。
第课时　圆的认识
1.在观察和操作中体会圆的特征。
2.在画圆的过程中理解同圆中半径、直径以及半径和直径的关系,体会圆心和半径的作用,会用圆规画圆。
3.通过观察、操作、想象等活动,发展空间观念。
【重点】　在动手操作中掌握圆的特征,学会用圆规画圆的方法。
【难点】　通过观察、操作、想象等活动,发展空间观念。
【教师准备】　PPT课件、圆规、图钉、细绳等。
【学生准备】　圆规、三角板、图钉、细绳、各种带有圆形面的实物等。
1.下面各图哪些是四边形?
2.用你喜欢的方式画一个四边形。
【参考答案】　1.是四边形的有:
2.略.
方法一
教师利用PPT课件出示下面的图形:
师:这是以前我们学过的哪些平面图形?它们都是由什么组成的?
新课开始前利用个别提问的方式,引导学生观察并回答问题,帮助学生对以前学过的平面图形的组成及特点进行回顾复习。
长方形、正方形、三角形、平行四边形等是我们以前学过的平面直线图形,请大家再想一想,在日常生活中,我们还见过哪些与我们学过的图形不一样的图形呢?
学生思考后回答,可能有的学生会想到圆这种图形,在学生回答到圆形后,教师引入课题。
今天,我们来认识图形王国里的一位新朋友,它叫圆形。板书:圆的认识。
谁能说一说,你见过的哪些物品是圆形的?圆形和我们以前学过的其他平面图形有什么不同呢?引导学生认识到圆是由一条曲线构成的封闭图形。
[设计意图]　让学生寻找生活中的圆形,使学生感受到生活中处处有数学,激发学生探究知识的愿望。在圆与其他平面图形的对比中,让学生对“几根线段围成的图形”与“圆是曲线围成的图形”有充分的了解与体会。
方法二
1.PPT课件出示带有圆的物体的图片,让学生欣赏,提问:这些物体上都有什么?
2.同学们,在一切平面图形中,圆是最美的,圆在生活中随处可见。今天这节课,我们就来认识圆。
揭示课题:圆的认识。
3.师:生活中很多物体的面是圆形的,同学们能说说你们在哪儿看到过圆吗?
学生自由举手发言。
[设计意图]　揭示课题,开门见山,简洁明了。导入部分采用师生、生生对话的形式,创设一个宽松、民主的课堂氛围。
一、圆的初步认识、画法及组成
1.初步感知圆的特点。
师:圆形与人们的生活息息相关,随处可见。大家看,同学们在操场上玩“套圈”游戏呢!
PPT课件出示教材第2页最上面的三幅情境图。
(1)师:体育课上,小朋友们正在操场上开展套圈游戏,老师用3种方式进行游戏,同学们,你觉得哪种方式游戏公平?
同桌展开讨论。通过学生的讨论,大多数学生都会得出同学们站成圆形玩套圈游戏比较公平。
(2)教师反问:你知道这蕴含着什么数学道理吗?
学生可以采用小组合作的形式进行探讨,教师巡视,到小组里去听一听学生是怎么说的。
学生一时还说不出来站成圆形比较公平的原因。
师:这个问题现在弄不懂不要紧,通过这节课的学习后,大家一定会明白其中蕴含的道理。
[设计意图]　创设贴近学生生活的情境,唤起学生已有的生活经验,抛出学生感兴趣的问题,激发了学生的求知欲望。让学生借助生活经验初步感受圆的本质特征以及圆与正方形的不同。
2.探索画圆。
师:你们能想办法画出一个圆形吗?
(1)尝试画圆。
尝试自己画出一个任意大小的圆。
同桌两人合作,用学具或自己所准备的材料尝试画圆,并比一比看哪个组想到的方法最多。
这时学生会在思考后出现以下几种方法,利用圆形的物体描圆,用手指或是线绳画圆,还有的同学直接用圆规画圆。
重点引导学生用手“比划”着画圆或用一根线和一支笔画圆,思考“为什么要把线的一头固定”“在画圆的过程中如果线没有拉直会怎么样”等问题。
(2)学习圆规画圆。
师:在各种画法中,哪种方法画圆最科学、最方便?请同学们用圆规自己尝试画一个圆。
学生动手画圆(对用圆规画圆有困难的学生给予必要的程序及方法的指导)。
收集并展示部分没有画成功的同学的图案,师生一起帮助寻找原因。
师生共同归纳用圆规画圆的方法和注意事项:
①画圆的步骤。
把圆规的两脚分开,定好两脚间的距离,把有针尖的一只脚固定在一点上,让装有铅笔的一只脚旋转一周就画出一个圆。
②画圆时的注意事项。
有针尖的一只脚不动,圆规的两只脚之间的距离不动,画出的曲线要首尾相连。
讨论圆规的“尖”、圆规张开的两脚之间的长度所起的作用。
(3)认识圆各部分的名称。
①自学教材第2页“画一画”中圆的各部分名称,全班交流。
师:通过自学,你知道了什么知识?
引导学生理解画圆时圆规的“尖”,圆规张开的两脚之间的长度所起的作用,引出圆心、半径等名称;学生反馈圆心、半径、直径,以及圆心用字母O表示,半径用字母r表示,直径用字母d表示。
②在刚才自己用圆规所画的圆上分别画出圆心、半径、直径,画完后向同桌介绍圆各部分的名称。
[设计意图]　通过尝试画圆,使学生感悟“圆是到定点的距离等于定长的点的集合”。学生有大量的生活经验,在想出各种方法尝试画圆的基础上,再引导学生用圆规画圆,让学生积极主动地发现画圆的方法及注意点,学生在动手、动口、动脑等实践活动中,促进知识与能力的协调发展。
二、深度认识圆的直径、半径
师:我们学会了如何借助圆规这一工具画出一个标准的圆,并知道了圆由圆心、半径、直径组成,那么你知道半径、直径有什么特点,它们之间有什么关系吗?
1.认识半径和直径的关系。
师:请同学们在自己画好的圆形中画出半径和直径,你会发现什么?
学生动手操作,画出半径、直径,并探究半径和直径的关系。
师:你采用什么办法?发现了什么?
预设
生1:我采用测量的方式,发现圆的半径是直径的一半。
生2:我采用对折的方法,把圆对折后发现圆的半径长度正好是直径长度的一半。
师:同一个圆的直径和半径是不是这样的关系呢?我们以同学们测量的结果为例,找一找规律。
由于学生画的圆的大小不同,得出的测量结果就不同,所以老师可以在黑板上列举出几名同学的测量结果,并让学生找一找规律。
师:你能从这几组测量结果中发现什么?
预设
生1:直径的长度都是半径的2倍。
生2:半径的长度都是直径的一半。
生3:半径长度是直径的二分之一。
师:同学们发现的规律正确吗?请你在自己所画的圆中多画几条半径和直径,看是否也是这个规律。
学生操作,并验证。
学生汇报自己画了几条半径和直径,每条直径长度都是半径长度的2倍。
师:通过同学们的验证,我们发现在同一个圆中直径长度总是半径长度的2倍,也就是半径长度是直径长度的二分之一,那么你能用含有字母的等式来表示它们之间的关系吗?
生:在同一个圆里,直径长是半径长的2倍,用字母表示为d=2r
或
r=。
2.认识半径和直径的特点。
师:同学们通过自己的努力不但成功学会了画圆而且发现了圆的半径和直径的关系,现在我们来做一个小比赛吧!
比赛要求:10秒钟,看看谁画出的半径最多。
学生在自己画的圆中画半径。
师:你一共画了多少条半径?(评比出画得最多的同学)请你量一量这些半径的长度有什么特点。
预设
生:所有半径的长度都是相等的。
师:如果老师现在给同学们1分钟、10分钟,你们能画出多少条半径呢?
学生可能会说出大约的数量,也可能会说出很多、无数条,此时教师提出:如果我们一直画下去,是否能知道到底有多少条半径呢?
预设
生:不能,因为圆的半径有无数条。
师:那么用同样的方法画直径呢?
预设
生:一个圆中直径的数量也是无数条的。
3.教师进行小结:在同一个圆内,半径和直径有无数条,所有的半径都相等,直径也都相等,直径是半径的2倍。
[设计意图]　本环节通过丰富的学习活动帮助学生直观认识圆的半径和直径的关系以及半径和直径的数量特点。在这个过程中适时引导学生进行操作训练,通过画一画、量一量、小比赛等操作活动直观形象地认识圆的半径和直径的特征,大胆放手,把一切探究的机会交给学生,学生不仅学得轻松活泼,而且较好地体现了新课程的教学理念。
三、进一步认识圆的特征
1.用圆规任意画几个自己喜欢的圆。
师:请同学们拿出准备好的圆规,用圆规在纸上任意画几个圆。
展示学生画的圆,学生会发现有的同学画的圆比较大,有的同学画的比较小,有的是在练习本的中间画的,有的是在边上画的,有的是以一点为圆心画了几个大小不同的圆。教师选取几个有代表性的圆进行展示。
2.认识圆的大小和位置关系。
师:请同学们仔细观察,这些圆的位置都一样吗?
预设
生:不一样。
师:为什么会不一样?
预设
生:因为圆心的位置不一样(或点的位置不一样)。
师:看来这个圆心能决定圆的位置。
师:(出示同一圆心画出的几个大小不同的圆)请同学们看,这几个圆的位置相同,可它们大小一样吗?
预设
生:不一样。
师:为什么会不一样?
预设
生1:因为它们的半径不同。
生2:半径越大圆就越大。
3.师生小结。
圆的大小是由圆的半径或直径决定的,圆心决定圆的位置。
[设计意图]　教师引导学生在动手操作、观察、比较的情境下,通过自主学习活动发现圆的大小和位置关系分别与半径和圆心有关。这种探究方法极大地调动了学生学习的积极性、主动性和创造性,主动获得数学知识、思想和方法,使学生最大限度地参与到探究新知识的活动中。
1.任意画出一个圆,并用字母标出圆心、半径和直径。
2.教材第4页第5题。
【参考答案】　1.提示:圆心用字母O表示,半径用字母r表示,直径用字母d表示,画图略。　2.4
cm　8
cm　3
cm　6
cm　4
cm　2
cm
这节课你们学了什么知识?有什么收获?
学生反馈汇报预设:
生1:这节课我们一起认识了圆,圆是由曲线围成的一种平面图形。
生2:画圆的工具是圆规,圆的大小由半径决定,圆的位置由圆心决定。
生3:画圆时,固定的点是圆心,圆心一般用字母O表示;圆上任意一点到圆心的线段是半径,半径一般用字母r表示;通过圆心且两端都在圆上的线段是直径,直径一般用字母d表示。
生4:圆内有无数条半径,每条半径的长度都相等;圆内有无数条直径,每条直径的长度都相等。
作业1
教材第3页第2,3题。
作业2
【基础巩固】
1.(基础题)想一想,填一填。
(1)圆中心的一点叫作(　　)。
(2)通过(　　)并且两端都在圆上的(　　)叫作圆的直径。
(3)在同一个圆或相等的圆中,所有的半径长度都(　　);所有的直径长度都(　　)。直径的长度是半径的(　　)。
(4)画一个直径为4厘米的圆,那么圆规两脚间的距离应该是(　　)厘米。
(5)以一点为圆心可以画出(　　)个圆。
2.(难点题)判断对错。
(1)通过圆心的线段是这个圆的直径。
(　　)
(2)圆心到圆上任意一点的距离都相等。
(　　)
(3)直径是一个圆内最长的线段。
(　　)
(4)圆规两脚间的距离是3厘米,画出的圆的直径是3厘米。
(　　)
(5)两端在圆上的线段是直径。
(　　)
3.(重点题)指出下面圆的直径和半径。
【提升培优】
4.(操作题)(1)以B点为圆心,画一个直径是3厘米的圆,并标出它的一条半径和一条直径。
·B
(2)在一个长8厘米,宽3厘米的长方形里画最大的圆,最多可以画几个?
5.(重点题)下图中大圆的直径是10
cm,请你求出小圆的半径。
【思维创新】
6.(探究题)看图填空。
(1)
图中已学过的图形有(　　)、(　　)、(　　)、(　　)。
(2)正方形的周长是(　　),小圆的直径是(　　)。
(3)直角梯形的高是(　　),上底长是(　　),下底长是(　　),面积是(　　)。
(4)大三角形的最长的边长是(　　),相对应的高是(　　),面积是(　　)。
【参考答案】
作业1:2.
　3.4
dm　2.5
m　1.2
cm　3.6
dm　4.16
m
作业2:1.(1)圆心　(2)圆心　线段　(3)相等　相等　2倍　(4)2　(5)无数　2.(1)?　(2)√　(3)√　(4)?　(5)?　3.AB　OC(或OA或OB)EF　OD(或OF或OE)　4.(1)略　(2)最多可以画2个(画图略)　5.10÷2
-
2=3(cm)　6.(1)三角形圆形　梯形　正方形　(2)20
cm　5
cm　(3)5
cm5
cm　10
cm　37.5
cm2　(4)10
cm　5
cm　25
cm2
圆的认识
圆d=2r或r=
教学过程中,给学生提供自主探索的机会,让学生参与知识的形成过程,通过设疑——探究——发现规律的思路,让他们真正地参与到学习之中,自主探究理解新知识,使所有学生都能获得成功感,树立自信心。如教学圆心、直径、半径,不急于传授,通过引导学生动手操作画圆,发现圆中心的一点,比一比、量一量、画一画,发现圆的一些特征;教师适时引导,使学生懂得归纳知识的一般方法,同时学会了观察、实验、操作、发现等学习方法,并伴随新知识的获得,体验到了成功的快乐。
通过教学学生掌握了本课的重点内容,也实现了教学目标。但是,在教学过程中也出现了一些不足之处:(1)在课堂上教师讲的内容过多,而学生自主探究的略少,在今后的课堂教学中应该更注意发挥学生的主体作用,让学生自己发现问题并解决问题,(2)在讲圆心、半径、直径的概念时,应该让学生通过自己动手折一折所画的圆,深入感知,然后再出示课件讲解,(3)教学用圆规画圆的环节,教学还不够细致,有的学生没有掌握画圆的方法,未理解半径的长度也就是圆规两脚间的距离,圆的半径决定了圆的大小。
(1)在画圆这个教学过程中借助学生已有的经验,让学生在自主探索中掌握画圆的方法,而不是一边示范,一边讲解圆的画法。在学生介绍画圆的经验时,要借助学生的实践操作,解决“画圆时,圆心决定圆的位置,
圆规两脚张开的大小是圆的半径,
圆的半径决定圆的大小”的问题。
(2)“圆的半径和直径的关系”这一知识点比较简单,引导学生利用画、折、量等方式,完全放手让学生进行自主探究,发现它们之间的关系。教师尽量少讲解,在探究结束后适当进行小结。
　右图是一个正方形,在它的内部画一个最大的圆。
[名师点拨]　首先画出正方形的两条对角线,它们的交点就是圆心,然后以正方形边长的一半为半径,画出一个圆。
[解答]　如下图所示。
【知识拓展】　在正方形或长方形的内部画一个最大的圆,只要圆的直径等于正方形的边长或长方形的宽即可。
圆的来历
2000多年前,我国的墨子给圆下的定义:“一中同长也。”意思是说,圆有一个中心(圆心),圆上各点到中心的距离(半径)都相等。这个定义比希腊数学家欧几里得给圆下的定义要早100年。
第2课时　生活中的圆
1.复习巩固圆的组成要素及特点。
2.结合具体的情境,理解“车轮为什么是圆的”,体验数学与日常生活密切相关,能用圆的知识来解释生活中的简单现象,解决简单的实际问题。
3.通过观察、操作、想象等活动,使学生感受到数学与实际生活的联系,培养学生产生利用所学知识解决生活中的问题的兴趣和善于思考的能力。
【重点】　能用圆的知识来解释生活中的简单现象,解决简单的实际问题。
【难点】　体会各个图形的不同特征及“车轮做成圆形”的道理。
【教师准备】　PPT课件、圆形纸板、正方形纸板、椭圆形纸板、直尺。
【学生准备】　圆形纸板、正方形纸板、椭圆形纸板、直尺。
1.分别标出这个圆的圆心(O)、半径(r)和直径(d)。
2.在同一位置画一个半径是3厘米和5厘米的圆。
3.圆的半径和直径的关系是什么?(请你用含有字母的等式表示)
【参考答案】　1.
2.略　3.d=2r(r为半径,d为直径)
方法一
师:森林王国里要举行骑车比赛。参加比赛的选手有豹子、羚羊、大熊猫。(出示PPT课件)
师:同学们看,它们所骑的自行车各有不同,豹子号称是速度之王,它骑的车车轮是正方形的;这是羚羊,它的奔跑速度也是极快的,它骑的车车轮是椭圆形的;可爱的大熊猫骑的车车轮是圆形的。
同学们,对于这次比赛你有什么想法吗?
预设
生1:熊猫得第一名,因为它的车轮是圆形的。
生2:这样的比赛不公平。
生3:车轮的形状不同,圆形的车轮速度快。
生4:正方形的车轮不能滚动。
师:根据生活经验,我们都知道自行车的车轮、汽车的车轮都是圆形的,那么为什么要把它设计成圆形呢?这节课我们一起来探究这个问题!
出示课题:生活中的圆。
[设计意图]　以森林里的小动物骑车比赛这一小故事引入新课,能够充分调动学生参与的热情,学生根据生活经验已经知道车轮都是圆形的,但其中的原因并不太清楚,通过观察,小故事中车轮有的是正方形,有的是椭圆形,自然会思考为什么车轮是圆形时会速度快这一问题。
方法二
师:这些都是我们出行离不开的交通工具,在它们身上有我们刚刚学过的新知识是什么?
(PPT课件出示自行车、小轿车等交通工具)
预设
生:圆。
师:是啊,人们把车轮设计成圆形的。同学们试想一下,如果把车轮设计成其他形状,比如正方形、三角形、椭圆形会怎样?
预设
生1:会无法转动。
生2:会不稳。
师:这节课我们就用所学的知识来解决这个问题:车轮为什么是圆的。
出示课题:生活中的圆。
[设计意图]　日常生活中学生都知道车轮是圆的,但对于为什么是圆的很少思考过,也不知道其中蕴含的数学知识,教师利用激励性的问题,能够激发学生积极思考,急于解决问题的兴趣。
1.呼应课前解决套圈游戏中的问题。
(1)课件出示玩套圈游戏的场景:现在能解释为什么玩套圈游戏时大家站成圆形比较公平吗?
学生反馈汇报:三种站法中,只有站成圆形,每个同学离套圈的目标是同样远的,所以站成圆形比较公平。
(2)在套圈游戏中,被套的目标应放在什么位置?为什么?
[设计意图]　练习设计回扣上节课伊始的引入,前后呼应,目的明确,层次清晰,针对性强,巩固、深化了学生对圆的特征的认识,充分活跃学生的思维。使学生感到数学就在身边,要学会运用学到的知识去观察周围的事物,想身边的问题。
2.研究“车轮为什么是圆的”。
(1)讨论:车轮为什么都是圆形的?用方的可以吗?圆形有什么好处?
小组合作,开展动手操作,画一画、剪一剪,分别用硬纸板做成下面的图形。
并将这些图形沿一条直线滚一滚,观察点A滚动留下的痕迹。
小组内议一议后,全班交流,引导学生发现圆形车轮的车轴到地面的距离就是圆的半径,同一个圆的半径是相等的,所以圆形车轮的运动是平稳的。
(2)课件出示圆形、正方形和椭圆形中心的运动痕迹。
(3)小结:正方形和椭圆形的中心点到边上各点的距离不全相等,这样的车轮滚动时不平稳。圆心到圆上各点的距离都相等,圆心的运动轨迹在一条直线上,所以车轮滚动时比较平稳。
[设计意图]　让学生在操作活动中体会各个图形不同的特征及“车轮做成圆形”的道理,培养学生自觉地用数学思维方式来观察和解决生活中的实际问题的习惯。
1.教材第4页第4题。
2.教材第4页第7题。
【参考答案】　1.用三角形、正方形、五边形、六边形做成的车轮中心运行的轨迹都是曲线,如果做成车轮,行走起来会不稳定。　2.圆形的井盖边缘到圆心的距离处处相等,无论井盖怎样旋转,井盖也不会掉到井中。水滴落到水里形成涟漪也就是形成波,波向水面各个方向的传播速度是一样的,所以涟漪的形状也是圆形。
这节课你们学了什么知识?有什么收获?
学生反馈汇报预设:
生1:通过这节课的学习,我知道由于圆的半径都是相等的,将车轮做成圆形运行时车轮的轨迹是一条直线,这样才能够平稳。正方形、椭圆形、三角形等其他图形的中心到边缘的距离不相等,如果做成车轮,中心运行的轨迹是上下波动的,会不稳定。
生2:我知道了井盖设计成圆形是因为井盖边缘到圆心的距离处处相等,无论井盖怎样旋转,井盖也不会掉到井中。
生3:我还知道小朋友们玩套圈游戏的站队用圆形,是因为每个人到中心的距离都相等,这样才公平。
作业1
教材第4页第8题。
作业2
【基础巩固】
1.(重点题)想一想,填一填。
(1)如图所示,点O是圆的(　　　　);线段OA是圆的(　　　),通常用字母(　　)表示;线段BC是圆的(　　　　),通常用字母(　　)表示。
(2)在同一个圆中,可以画(　　　　)条直径,画(　　　)条半径。
(3)两端都在圆上的线段,(　　　　)最长。
(4)从圆心到圆上任意一点的线段的长度都(　　　　)。
(5)时钟的分针针尖转动一周所形成的图形是(　　)。
(6)(　　　　)的位置确定了,圆的位置也就确定了。圆的(　　　　)决定圆的大小。
2.(难点题)判断对与错。
(1)所有圆的半径都相等,直径都相等。(　　)
(2)直径一定比半径长。
(　　)
(3)圆的半径越长,则这个圆就越大。(　　)
(4)圆沿一条直线滚动,圆心在一条直线上运动。
(　　)
(5)画圆时,圆规两脚尖之间的距离等于圆的长度。
(　　)
3.(操作题)用彩色笔描出下面每个圆的直径和半径。
【提升培优】
4.(操作题)想一想,画一画。
(1)以点A为圆心画一个任意大小的圆,分别画出它的一条半径和一条直径,并用字母表示。
(2)以点P为圆心,画出两个大小不同的圆。
(3)画出一个半径是0.6
cm的圆。
5.(探究题)在下面的长方形内画一个最大的圆。
【思维创新】
6.(操作题)请标出下列各圆的圆心和直径。
【参考答案】
作业1:略
作业2:1.(1)圆心　半径　r　直径　d　(2)无数　无数　(3)直径　(4)相等　(5)圆　(6)圆心　半径2.(1)?　(2)?　(3)√　(4)√　(5)?　3.提示:
4.(1)如图(1)所示,答案不唯一。　(2)如图(2)所示,答案不唯一。　(3)如图(3)所示。
5.以对角线的交点为圆心,长方形宽的一半为半径画圆,如下图所示,答案不唯一。
6.
生活中的圆
本节课的重点是用圆的知识来解释生活中的问题,也就是教材第3页试一试部分,车轮为什么都是圆形的?学生根据生活实际大多能够明白:圆形的车轮平稳、速度快。但是为什么平稳就不清楚了,也无法用所学的数学知识来解决问题。通过对教材中提示的研读,根据教师有层次的问题逐步操作、探究,由图形表象到实际的数学知识,学生逐层深入探究学习。重点引导学生探究各种图形的中心点的滚动轨迹,让学生经历研究的过程,最后学生明白:圆形的中心点到圆周上各点的距离都相等,中心点的滚动轨迹就是一条直线,这样的车轮滚动时就平稳。也学会了解释为什么车轮不能是其他的形状。层层设疑,逐步解决,用生活中的实际现象巩固所学知识,再用所学知识解释生活中的问题,学生在这样的反复中深刻体会到数学知识与生活实际的紧密联系。
(1)在“讨论套圈的设计方案、车轮为什么都是圆形的”部分教学中渗透圆的特征还不够充分。
(2)在探究的过程中,有一部分学生更关注的是结论:车轮是圆的是因为平稳,井盖是圆的是因为掉不下去,而不愿去深入思考其中的数学道理,这其中有一部分原因是学生根据生活经验知道车轮是圆的,没有兴趣探讨,另一方面,操作的过程中教师没有兼顾到所有学生,没有激发学生的学习热情。
(1)对于正方形、椭圆形、圆形的车轮运行轨迹,在学生操作完成后,教师通过多媒体课件进行动态展示,使车轮真正“运行”起来,给学生形象直观的感受。
(2)学生用纸板做学具进行操作前,教师提示车轮的运行轨迹就是图形中心的运行轨迹,让学生直接找到图形中心进行操作,这样能够降低操作的难度,学生易于理解。
【练一练·3页】
1.因为圆心到圆上任意一点的距离都相等,也就是同圆中半径相等。　2.如图所示。　3.4
dm　2.5
m　
1.2
cm　3.6
dm　4.16
m　4.四种图形边上的点到中心点的距离不全相等,因此非圆形的车轮滚动起来不平稳。　5.4
cm　8
cm　3
cm　6
cm　4
cm　2
cm　6.①用圆形物体的面做模子,沿边缘画一圈。②用手比划着画圆。③用一个图钉、一根细线和一支笔画圆。
　你能用圆的知识解释下列现象吗?试着写一写。
[名师点拨]　根据圆心到圆上的距离都相等这一特性来解释。
[解答]　现象1:圆形的井盖边缘到圆心的距离处处相等,无论井盖怎样旋转,井盖也不会掉到井中。
现象2:圆的半径都是相等的,当人围成圆形时,火堆就是圆心,那么每个人与火堆的距离相等,可以让每个人都看得很清楚。
追溯古人对圆的认识之路
石器时期的古人没有给我们留下可靠的资料,只能从考古发掘出的石器的形状上发现他们对于圆的一些认识。如山顶洞人的骨针磨得很圆,中间部分是较规则的圆柱。在7000多年前的浙江河姆渡新石器时代出土了4个木筒,上下基本平直,弧度一致,其中有一件两头缠着藤篾类的圆箍多道,是很规则的圆柱。新石器时代,手工纺纱已经发明,陶纺轮大都是与圆有关的立体形状,如圆柱、圆台、圆饼等。由于纺线的需要,在圆形轮的中间要插一根带钩的细棍,所以纺轮中间都有一个圆孔。从这些出土文物中,我们认识到,古人对于圆的特征已有初步的把握,并在生产与生活中进行了应用。这给我们的教学启示是:对于圆形特征的“元认知”,不是起源于对“几何圆”的认识,而是在圆形物品的制作过程中逐步发现与完善的。从古人对“圆的应用”中我们可以发现,把一些物品的面做成圆形,是应用了圆的某一个或几个方面的特征。把这些圆形物品作为研究对象,可以发现圆区别于其他图形的一些特点。
2　圆的认识(二)
本课时主要使学生认识到圆的轴对称性,与其他平面图形相比,圆具有很好的对称性:它是一个轴对称图形,任意一条直径所在的直线都是它的对称轴。教材通过引导学生开展折纸活动,探索圆的轴对称性以及同一个圆里半径与直径的关系,通过与其他图形对称性的比较体会圆的对称性所具有的独特性。首先,通过折纸活动使学生认识到圆的对称轴必须经过圆心,直径所在的直线就是对称轴,因此圆有无数条对称轴。接着,梳理已经学过的轴对称图形,与圆形进行比较,深刻认识圆的独特性:只有圆有无数条对称轴。通过折纸活动找出圆心,认识到两条直径的交点就是圆心,并通过找圆心的方法培养学生的普遍化思维策略。最后,通过找组合图形的对称轴体会正多边形的对称轴一定是圆的对称轴,这也是组合图形的对称轴,进一步体会圆的完美的对称性。
1.通过折纸活动探索并发现圆是轴对称图形,有无数条对称轴,体会圆的对称性。
2.在验证圆是轴对称图形和折纸找圆心的活动中,发展学生的空间观念。
3.通过操作、讨论、比较等活动,使学生感受到合作的乐趣,培养学生的探究能力和兴趣,激发学生喜爱数学的情感。
【重点】　认识圆是轴对称图形及区别于其他轴对称图形的特点。
【难点】　通过折纸活动找出圆的圆心,从而培养学生普遍化的思维策略。
【教师准备】　多媒体课件、圆形纸片、正方形纸片、平行四边形纸片。
【学生准备】　圆形纸片、正方形纸片、平行四边形纸片。
1.任意画一个圆,并回答下面的问题。
(1)在所画的圆中画出三条直径。
(2)圆有多少条直径?
(3)每条直径有什么特点?
2.画出下面图形的对称轴。
【参考答案】　1.(1)
　(2)圆有无数条直径。　(3)每条直径的长度相等。
2.
方法一
师:刚刚我们画出了轴对称图形的对称轴,那么什么样的图形是轴对称图形?它们有什么特点?圆是轴对称图形吗?
学生充分表达自己的看法。
预设
生1:长方形是轴对称图形。
生2:我们穿的衣服是轴对称图形。
生3:这些图形如果一个图形沿着一条直线对折,两侧的图形能够完全重合。
师:(教师手持圆形卡片)那么我们新认识的伙伴“圆”是不是轴对称图形呢?它有什么不同于其他轴对称图形的特性?这节课我们共同来探究“圆的对称性”。
板书课题:圆的认识(二)。
[设计意图]　在观察和教师的引导中学生对轴对称图形的知识进行回顾,为新课的学习做好必要的知识准备。同时,学生通过感观能够知道圆是轴对称图形,教师提出激励性问题“圆有什么不同于其他轴对称图形的特性”进行设疑,与本节新知紧密相关,顺利将学生带入新知的学习。
方法二
课前活动。
教师出示一个圆,你能找到这个圆的圆心在哪吗?你有什么好办法吗?
学生自由发表看法。
师:同学们的办法可行吗?能说出其中的道理吗?
学生思考,尝试表达找圆心方法的依据。
师:刚才有的同学谈到了把圆对折,这样的办法是否正确呢?
今天这节课,我们就来探究圆的一种重要特性——对称性。
揭示课题:圆的认识(二)。
[设计意图]　通过欣赏和列举生活中的轴对称图形,帮助学生回顾轴对称图形的特点,由此引出圆也是轴对称图形,从而顺利进入新课的学习。
师:请同学们拿出课前准备好的圆形纸片,我们来共同探究,圆是否为轴对称图形,怎样找到圆的对称轴,圆的对称轴有什么特点。
一、折纸活动体会圆的对称性
1.初步认识圆是轴对称图形。
(1)学生独立尝试,对折圆形纸片。
(2)集体汇报。
师:通过折叠圆形纸片,同学们有什么发现?
生:圆形纸片对折后两边完全重合,说明圆是轴对称图形。
师:其他同学得出的也是这样的结论吗?请把手中对折后完全重合的纸片举起来展示给同学们看。
(学生展示纸片,教师巡视,确保每位学生都能操作成功,认识到圆是轴对称图形)
2.认识圆的对称轴。
师:请同学们将圆形纸片打开,你发现了什么?
预设
生1:折痕就是圆的对称轴。
生2:直径就是圆的对称轴。
师:那么你能找到多少条对称轴呢?试着折一折。
学生再次折叠纸片,操作探究。学生汇报时,可能会找到不同条数的对称轴,当有学生发现有无数条对称轴时,教师进行提问:
师:你是怎样发现圆有无数条对称轴的呢?
预设
生1:我对折了很多次。
生2:因为圆有无数条直径,所以就有无数条对称轴。
3.小结。
圆的每条直径所在直线都是圆的对称轴,所以圆有无数条对称轴。
[设计意图]　利用多次折纸的活动让学生直接去探索、发现,在体会交流中,认识圆的对称性及对称轴的特点,充分培养学生自我探究能力,并能够体验到成功的乐趣。
二、对比中认识圆的对称性
师:我们对轴对称图形并不陌生,以前学过的正方形、长方形、等腰三角形、等腰梯形(PPT课件出示这些轴对称图形)都是轴对称图形,那么我们今天学的圆与这些图形有哪些不同之处呢?
(1)动手操作找出对称轴。
师:请同学们拿出课前准备的正方形、长方形、等腰三角形、平行四边形和圆形,动手折一折,这些图形有多少条对称轴呢?
(学生操作,教师进行巡视,适时指导)
以个别提问的方式进行汇报。要求汇报的同学要把自己折过的图形进行展示,粘贴在黑板上,同时其他学生检验自己是否找对。
师:(PPT课件出示教材第5页第2板块的表格内容)这些图形分别有多少条对称轴呢?
预设
生1:正方形有4条对称轴。
师:正方形有4条对称轴,请把你的作品展示在黑板上吧!
生2:长方形有2条对称轴。
师:真不错,把你的作品也展示出来吧!
生3:等腰三角形有1条对称轴。
(粘贴到黑板上)
生4:平行四边形不是轴对称图形,它没有对称轴。
师:请同学们将折叠的平行四边形举起来,我们一起折一折试一试。
学生和老师一起尝试折叠,发现无论怎样折叠平行四边形的两边都不会重合。
师:平行四边形有没有对称轴呢?
生5:平行四边形没有对称轴。
生6:圆形有无数条对称轴。
(把学生折叠过的圆形张贴在黑板上)
(2)对比圆的对称轴特点。
师:你发现圆的对称轴的数量与其他图形有什么不同呢?
预设
生:只有圆有无数条对称轴。
(3)小结:只有圆有无数条对称轴。
[设计意图]　动手操作是解决数学问题的一个有效手段,学生通过折纸活动,形象直观地发现圆的对称性区别于其他图形的特点——圆有无数条对称轴。本环节知识比较简单,为了鼓励学生参与的热情,将他们的折纸展示出来,同时也是为了让其他学生与之对比,进行检验。
三、找圆心,认识圆的对称性
师:(教师出示一张圆形纸片)这个圆形纸片老师并没有用圆规画,我是用盘子的边缘描画出来的,因此我不知道圆心在哪里,你能想办法帮我找到吗?
(1)思考:圆的圆心与直径(对称轴)有什么关系?怎样找到圆的圆心?
学生思考后,个别学生回答,只要说得有理,教师都给予鼓励。
(2)验证。
动手折一折验证自己的猜想是否正确。(让学生参照教材第5页板块3折一折)。
方法一:把圆对折,然后在此基础上再对折。
打开后,两条对称轴的交点就是圆的圆心。
方法二:任意折出两条直径。
这两条直径的交点就是圆的圆心。
归纳:圆心在直径(对称轴)上,因此两条直径(对称轴)的交点一定是圆的圆心。
[设计意图]　在第一种方法中,学生利用经验很容易找到圆心,如果让学生说一说为什么“对折再对折”就可以找到圆心学生很难说清楚,教学中通过折纸观察思考,找到答案。通过两种折纸找圆心的活动,使学生进一步认识到圆的对称性的另一个特点,圆的对称轴一定经过圆心。
四、含有圆的组合图形的对称性
(1)探究同一中心的组合图形的对称性。
(PPT课件出示教材第5页最下面的四幅图)
师:同学们观察这几个图形有什么共同的特点。
预设
生1:都含有圆形。
生2:有的圆形在正方形和正六边形的里面,有的在外面。
师:这些都是含有圆的组合图形,同学们能想办法画出这些图形的对称轴吗?
学生尝试画对称轴(在教材第5页画),教师巡视指导。
学生展示汇报。
师:老师发现同学们都画对了,找得非常准确。谁能告诉同学们,你是怎样找到的对称轴?
生:正方形、正六边形的对称轴就是组合图形的对称轴。
师:圆有无数条对称轴,那么这些组合图形也有无数条对称轴吗?
(PPT课件出示教材第5页最下面的四幅图,显示出对称轴)
预设
生1:正方形有4条对称轴,所以前两个图形的对称轴就有4条。
生2:正六边形有6条对称轴,所以后两个图形的对称轴就有6条。
(2)拓展延伸。
师:这四个图形中,正方形和正六边形的所有对称轴都是组合图形的对称轴。那么这种说法适合所有组合图形吗?
(PPT课件出示下面的图形)
师:同学们想一想,这两个图形的对称轴应该怎样画呢?
预设
生1:第一个图形应该竖着画。
(教师利用PPT课件演示)
生2:第二个图形应该横着画。
(教师利用PPT课件演示)
师:第一个图形还有4条对称轴,第二个图形还有6条对称轴吗?
学生观察思考。
师:还可以说正方形和正六边形的所有对称轴都是组合图形的对称轴吗?
生:不能。
师:那么什么情况下才能说正方形和正六边形的所有对称轴都是组合图形的对称轴呢?
(这个问题对于学生来说可能有难度,因此教师再次将教材中图形和举例的图形利用课件出示给学生,引导学生进行观察、对比)
师:(PPT课件出示)请同学们再次观察这几个图形有什么不同的地方。
预设
生1:它们没有完全重合。
生2:它们的中心点不同。
师:上面的组合图形中圆和其他图形是同一个中心,只有这样的图形,正方形和正六边形的所有对称轴都是组合图形的对称轴。
(再次出示下面的图形)
师:像这样的图形,正方形或正六边形的其中一条对称轴是组合图形的对称轴。
(3)小结。
当圆形的圆心和正多边形的中心重合时,正多边形的所有对称轴都是组合图形的对称轴。
[设计意图]　本环节对教材知识进行适当的拓展,通过多次设疑、解疑的活动使学生逐步认识到含有圆的组合图形的对称轴的特点,对于不同的图形要采取不同的方法。但由于圆有无数条对称轴,找组合图形的对称轴时首先要找其他图形的对称轴,再观察是否为组合图形的对称轴。
1.教材第6页第1题。
2.教材第6页第2题。
【参考答案】　1.如图所示。　2.(1)25　(2)略
这节课你们有什么收获?
学生反馈汇报:
预设
生1:这节课我们知道了圆是轴对称图形。
生2:圆有无数条对称轴,圆的对称轴都要通过圆心,每条直径所在的直线都是圆的对称轴。
生3:圆和正多边形组成的组合图形,如果圆心和正多边形的中心重合,那么正多边形的所有对称轴都是组合图形的对称轴。
生4:通过这节课我感受到圆形中蕴含很多知识,等待我们去探索。
[设计意图]　通过课堂小结回顾本节课所学新知,对知识要点进行整理和归纳,使学生再次明确圆的对称性的独特性,这为下节课学习利用圆设计美丽的图案做好准备。
作业1
教材第6页第3,4题。
作业2
【基础巩固】
1.(基础题)想一想,填一填。
(1)将一个圆沿着它的(　　　　)对折,正好完全重合,所以圆是(　　　　)图形。
(2)一个圆有(　　　　)条对称轴,(　　　　)所在的直线是圆的对称轴。
(3)要找一个圆形纸片的圆心,至少要将圆对折(　　)次。
(4)在同一个圆里,直径的长度是半径的(　　　　),半径的长度等于直径长度的(　　　　)。
2.(重点题)填表。
半径/cm
3
3.14
直径/cm
10
0.72
10.03
3.(操作题)画出下列图形的所有对称轴。
4.(易错题)判断。(对的画“√”,错的画“?”)
(1)圆是轴对称图形,每一条直径所在的直线都是它的对称轴。
(　　)
(2)等腰梯形是轴对称图形。
(　　)
(3)正方形只有一条对称轴。
(　　)
(4)通过一个圆的圆心的直线是这个圆的对称轴。
(　　)
【提升培优】
5.(易错题)看图填空。
(1)半圆的直径是(　　　　),半圆的半径是(　　　　)。
(2)大圆的半径是(　　　　),小圆的半径是(　　　　)。
(3)圆的直径是(　　　　),圆的半径是(　　　　)。
(4)长方形的宽是(　　　　),圆的直径是(　　　　),圆的半径是(　　　　)。
6.(难点题)如下图所示,大圆的直径是6,两个小圆的半径是多少?
【思维创新】
7.(探究题)有一个圆形纸片,没有标明圆心,你能测出它的直径吗?
8.(操作题)在下面的圆中画一个最大的正方形。
【参考答案】
作业1:3.(1)右　4　右　6　(2)下　3　左　2　(3)平移方法有很多种。如:①从位置A向右平移8个方格,再向下平移2个方格。②从位置A向下平移2个方格,再向右平移8个方格等。　4.发现:正方形和等边三角形绕着点A旋转一定的角度后与原图形重合,圆旋转任何角度后都与原图形重合。
作业2:1.(1)直径　轴对称　(2)无数　直径　(3)2(4)2倍　一半
2.
半径/cm
3
5
3.14
0.36
5.015
直径/cm
6
10
6.28
0.72
10.03
3
.
　4.(1)√　(2)√　(3)?　(4)√　5.(1)3
cm　1.5
cm　(2)1.5
cm　1
cm　(3)3.5　1.75　(4)5　5　2.5　6.6÷2÷2=1.5　7.能。将圆形纸片对折两次,再展开,两条折痕的交点就是圆心,过圆心作出直径,测量即可。
8.
圆的认识(二)
中心重合时,正多边形所有对称轴都是组合图形的对称轴
本节课通过折纸找对称轴,与正方形、长方形、三角形等其他常见图形的对比、找圆心、探究组合图形的对称性等多方面的内容对圆的对称性进行深入认识,使学生体会到与其他平面图形相比,圆具有完美的对称性:它是一个轴对称图形,任意一条直径所在的直线都是它的对称轴。另外,本节课每个环节都尽量放手让学生自己发现来突破重难点,通过折一折、画一画、作比较等多种探究活动,培养学生解决问题的能力和空间观念。
(1)各个环节之间的衔接做得不够严密,知识的整体性不够,知识点分散,有些零散。每个环节的知识重点学生掌握得较好,但并没有体会出前后知识之间关联性。
(2)组合图形的对称性,拓展的知识较少,仅限于探究找对称轴的方法及对称轴的数量问题,没有与找圆的圆心相联系进行拓展。
(1)对于教材的第一个环节初步认识圆的对称性部分,内容比较简单,引导学生通过折一折、画一画等方式,让学生独立探究,教师做简单小结即可。
(2)在探究组合图形的对称性教学中,增设“圆心和正多边形的中心重合”的组合图形,使学生掌握找圆心方法方面的知识,使本节课的知识有更好的连贯性。
　画出下列各图形的对称轴。
[名师点拨]　图(1)和图(3)是由大小不同的两个非同心圆组成的,只有一条对称轴;图(2)虽然不是同心圆,但这两个圆大小相等,它有两条对称轴;图(4)是两个同心圆,它有无数条对称轴。
[解答]　如下图所示。
【知识拓展】　如果一个图形由大小不相同的两个圆组成,当这两个圆是同心圆时,这样的图形有无数条对称轴,当这两个圆不是同心圆时,这样的图形只有一条对称轴,而且这条对称轴就是这两个圆圆心所在的直线。如果这两个圆大小相等且不是同心圆,那么这样的图形就有2条对称轴。
各国对圆的认识
圆形,是一个看起来简单,实际上是很奇妙的形状。
中国古代人最早是从太阳,从阴历十五的月亮得到圆的概念的。一万八千年前的山顶洞人曾经在兽牙、砾石和石珠上钻孔,那些孔有的就很圆。以后到了陶器时代,许多陶器都是圆的,圆的陶器是将泥土放在一个转盘上制成的。当人们开始纺线,又制出了圆形的石纺锤或陶纺锤。古代人还发现圆的木头滚着走比较省劲,后来他们在搬运重物的时候,就把几段圆木垫在大树、大石头下面滚着走,这样当然比扛着走省劲得多。
大约在6000年前,美索不达米亚人做出了世界上第一个轮子——圆的木盘。大约在4000多年前,人们将圆的木盘固定在木架下,这就成了最初的车子。
古代埃及人就认为:圆,是神赐给人的神圣图形。
一直到两千多年前我国的墨子才给圆下了一个定义:“一中同长也”。意思是说:圆有一个圆心,圆心到圆周的长都相等。这个定义比古希腊数学家欧几里得(约前330~约前275年)给圆下定义要早100年。
3　欣赏与设计
本节知识主要是引导学生利用所学知识设计、欣赏美丽的图案,感受图形世界的神奇和美妙,同时在分析图案和创造图案的过程中,进一步巩固对所学图形的特征的认识,培养学生的想象力和创造力。教材通过四幅典型的图案,让学生在欣赏中感受图案的神奇和美丽,有学生熟悉并喜欢的风车,代表中国文化的太极图,有趣的心脏线和大自然中大量存在的螺旋线。围绕这几幅图案,从分析图案的形成、模仿图案、设计图案逐层展开探求,巩固所学圆的特征知识,同时激发学生主动探索图形世界的魅力和神奇。
1.结合欣赏与绘制图案的过程,体会圆在图案设计中的应用,能用圆规设计简单的图案。
2.在设计图案的活动中,进一步体会圆的对称性等特征。
3.感受图案的美,发展想象力和创造力。
【重点】　在设计中,进一步体会圆的对称性等特征,在观察、操作中发展学生的空间观念。
【难点】　会用基本图形及学过的数学方法设计漂亮的图案。
【教师准备】　多媒体课件、教学圆规、直尺、教材图案的组成图。
【学生准备】　圆规、直尺。
1.给下面的图形涂色,设计出美丽的图案。
2.请你利用下面的图形,经过旋转或平移设计出美丽的图案。
【参考答案】　略
方法一
在我们的现实生活中,美无处不在,而我们学过的正方形、三角形、菱形等平面图形是设计出美丽的图案的最基本的图形,同样,利用圆形也能设计出很多美丽的图案,请大家欣赏这几幅图案。(PPT课件出示教材第7页的图案)
师:你能说一说看到这些图案的感受吗?
预设
生1:这些图案都非常漂亮。
生2:这些图案中都含有圆形。
师:是啊,这些美丽的图案中的曲线都是圆的一部分,充分体现出圆的曲线美。在我们的生活中还有哪些图案是利用圆设计出来的呢?
预设
生:奥运五环。
(依据班级实际情况而定,比如有的学生会说家里的桌布、窗帘、衣服等,只要学生说出来,教师就应给予肯定)
师:利用圆形能设计出这么多美丽的图案,同学们想不想也设计出这样漂亮的图案呢?这节课让我们走进美丽的图案世界,利用所学知识也设计出美丽的图案。
揭示课题:欣赏与设计。
[设计意图]　引导学生欣赏由圆(或其一部分)设计出的美丽图案,使学生体会到图案世界的神奇,激发学生乐于参与设计的热情。
方法二
组织学生欣赏由圆组成的图案。
师:同学们,这个学期的数学课上我们又认识了一个新朋友,它就是圆。想一想,生活中哪些物品上有圆呢?
学生举手回答。
师:是啊,看来圆在我们生活中的用处还真不小呢!它也正无处不在地装点着我们的生活世界。课前老师给大家收集了一些有趣的圆的图案,想不想一起来看看?
学生观看PPT课件出示的图案,思考:你眼中的这些图案像什么?你发现了什么?
学生自由回答,教师给予适当的点评。
师:这些图案中的曲线都是圆的一部分,这些图案的设计都离不开圆。这节课我们就一同与圆为伴当一次设计师,上一节欣赏与设计课。(教师板书课题:欣赏与设计)
[设计意图]　利用PPT课件展现由圆为基本元素设计的色彩鲜艳、变化多端的图案,展现圆的曲线美,感受图案的美丽与神奇,为新课的学习做好铺垫。
师:通过观察,我们能够发现这些美丽的图案都是由圆构成的,那么是怎样构成的?我们是否能用简图把它画出来呢?
动手操作,分析图案的形成
1.描一描,体会图案的构成。
(1)教师出示教材第7页风车、太极、心脏、蜗牛的构成图,引导学生进行想象并描画。
师:同学们仔细观察,这几幅图形像什么?你知道它们是怎样画出来的吗?
预设
生1:第一幅图像风车。
生2:第二幅图像太极图。
生3:第三幅图像心脏。
生4:第四幅图像蜗牛。
师:同学们观察力和想象力真不错,你能把这些图形涂上你喜欢的颜色,把它们涂成风车、太极、心脏和蜗牛吗?
(2)教师给每个学生发放图案的组成图,指导学生进行涂色。教师巡视适时指导。
(3)学生展示涂色作品,并说一说每个图案都是怎样形成的。
师:同学们能用涂色的方式展现这几种图案,能说一说这些图案是怎样形成的吗?
预设
生1:风车是以外面大圆的半径的一半为半径画出的4个小半圆。
生2:太极图是以大圆的半径的一半为半径上下画两个半圆。
生3:心脏图是由很多圆重叠而成的。(心脏的组成图比较复杂,学生能够用自己的话表述出来即可,在新课的最后教师可以利用课件进行展示,让学生欣赏学习)
生4:蜗牛的图案是由多个四分之一圆依次组成的。(蜗牛的组成图也比较复杂,如果学生通过观察无法表述清楚,这个问题不要急于讲解,可以在后面画图的过程中指导学生完成)
2.画一画,画组成图。
师:我们知道了图案的组成,就可以利用圆规画出这些图案,同学们想试一试吗?
(1)小组合作探究画出风车和太极图。
提示:学生可以参照教材第7页进行操作。
思考:画出风车图需要几步?每步分别画什么?
画出太极图需要几步?每步分别画什么?
(2)学生操作画图,教师巡视指导。
(3)展示学生画图作品,集体汇报画图过程。
师:画出风车需要几步?每步分别画什么?
学生汇报,教师利用课件进行演示。
预设
生1:第一步,画一个圆形和两条直径。
生2:第二步,以圆的半径的一半为半径画出四个小半圆。
师:画出太极图需要几步?每步分别画什么?
预设
生1:第一步,画一个圆形和一条直径。
生2:第二步,以圆的半径的一半为半径,上下方向画出两个小半圆。
如图:
3.涂一涂,检验画图是否正确。
师:同学们刚才画的图是否正确呢?现在把这两个图涂色来检验一下吧!
(1)学生把完成的图再次涂色,涂色后检验画出的图形是否为风车和太极。
(2)教师巡视检查,并特别指导第一次合作画图时没有画成功的学生。
4.拓展延伸。
师:我们在新课开始时了解到心脏图也是由很多的圆形组成的,同学们感觉这个图案很复杂,那么你知道它是怎样利用圆形画出来的吗?
教师利用PPT课件进行操作演示画心脏图的过程,并做必要的讲解,鼓励学生根据观察和提示,模仿画出心脏图。
[设计意图]　学生通过观察能说出风车、太极、心脏、螺旋图的大概组成都离不开圆,但具体是如何组成的却不能说清楚,所以设计先利用组成图涂色的环节,帮助学生建立组成图的直观形象,进而通过语言描述、画一画等方式进一步分析组成图,逐步培养学生的观察、分析和思维能力。
1.教材第8页第1题。
2.教材第8页第3题。
【参考答案】
1.(1)①先画一个圆(以2格为直径),②再画一个圆(以4格为直径),③再画一个圆(以1格为半径)　(2)①先画一个大圆,②再画以大圆半径为直径的4个小圆。　2.略
这节课我们学了什么知识?有什么收获和感受?
学生反馈汇报。
预设
生1:这节课我知道了很多美丽的图案都是由圆设计而成的。
生2:我感受到圆是一个非常奇妙的图形,通过不同的组合方式可以设计出各种美丽的图案。
生3:大自然中的很多东西都含有圆形,可以将图形进行分解,就可以知道怎么画出来了。
生4:在平时的生活中我们要有一双善于观察的眼睛,发现大自然中的数学知识。
[设计意图]　通过课堂小结回顾本节课所学新知,使学生再次体会到圆可以作为很多图案的组成元素,设计出美丽的图案,自然界中很多事物都可以用数学的知识来解决。
作业1
教材第8页第2,4题。
作业2
【基础巩固】
1.(操作题)请你利用圆形设计一个你喜欢的图案。
2.(操作题)请将下面图形涂上你喜欢的颜色,设计出美丽的图案。
3.(操作题)画出下面图形的对称轴,你能画出几条?
【提升培优】
4.(操作题)请用圆规和三角尺画出下面图形。
5.(操作题)以下面横线上任意的点为圆心,设计一
个由圆组成的美丽图案。
【思维创新】
6.(操作题)用两个相同的圆、两个相同的三角形和两组平行线设计一个轴对称图形。
【参考答案】
作业1:2.痕迹是一个圆。　4.第(1)组图画出的正方形的个数足够多时,其内部接近一个圆。第(2)组图正多边形的边数越多越接近于一个圆。
作业2:1.答案不唯一,如
　2.略　3.能画出5条对称轴,如图所示。　4.略
5.答案不唯一,如:
6.答案不唯一,如:
欣赏与设计
风车的组成:
太极图的组成:
自主发挥想象进行设计活动是学生喜欢的数学课之一,因此本节课根据知识特点设计为活动课。在学生对圆有了初步认识的基础上,通过让学生观察、操作、想象和设计,进一步体会圆的对称性,再次让学生在涂一涂、画一画等活动中应用已有知识,提高了审美能力,发展他们的想象力和创造力。根据学生的年龄特点,创设“我是小小设计师”活动,让学生充分地展示自己的设计才能。
(1)在分析图案的组成环节,学生的活动是在教师一步一步引导下进行的,忽略了学生想象力和分析能力,没有给学生创造更多的活动机会。
(2)设计美丽的图案活动中,颜色的搭配也是使图案变漂亮的重要环节,同时也是审美能力中不可或缺的能力,在这一环节中没有将颜色搭配问题做为重点,只是注重让学生画组成图。
(1)在活动中教师应多以表扬鼓励为主,寓教于乐。这样,为学生创设的良好学习氛围更能让他们在学习中感受快乐,提高自信,更有助于他们审美和想象能力的发展。
(2)设计图案活动中,学生完成设计后,将图案的色彩搭配方案在小组中交流,进一步完善自己的设计,最后完成美丽的图案设计。通过这样一系列的活动建立学生的自信心,培养合作意识。
　在下面的图形中涂上颜色,设计出你喜欢的图案。
[名师点拨]　两个图形涂色时都要充分发挥想象力,有规律地涂图形相同形状的部分。
[解答]　第一幅的组成元素都是圆形,每个空白处要有规律地涂色,色彩可以多样。第二幅图都是由正方形组成的,涂色时最好不要涂成一个颜色,要有层次感。
圆的性质
用同样长度的材料围成一个三角形或正方形或圆,那么面积最大的是圆。人们利用这一性质制造了各种用途的圆形制品,如农民用竹席围成圆柱形的谷仓,这样可堆放更多的粮食,且又省材料,工人将杯子、瓶子等制成圆柱形也是同样的道理。
圆还有许多重要的性质和应用,因此人们称圆为简单而又实用的曲线。
4　圆的周长
圆的周长是以学生学习了长方形、正方形周长知识为认知基础的,是对前面所学“圆的认识”的深化,也是后面学习圆的面积等知识的基础。本课起着承前启后的作用,是小学几何初步知识教学中的一项重要内容,为学习圆的面积、圆柱、圆锥等知识打下坚实的基础。教材通过一系列的操作活动,让学生在观察、分析、比较、归纳中理解“圆的周长”的含义,经历圆周率的形成过程,推导圆周长的计算方法。教材安排了测量车轮(圆)的周长的活动,认识周长的意义,为下面对周长的进一步认识打下基础。教材中呈现了比较常用的两种方法:一种是在直尺上滚动的方法;一种是用线绕一圈,再量出线的长度的方法。在初步认识圆的周长和测量圆的周长后,教材安排了探究活动,即探究“圆的周长与什么有关系,有什么关系”。教材先引导学生进行猜想:由正方形的周长是边长的4倍,类比猜想圆的周长与直径之间也有一定的关系。组织学生开展实验研究活动,通过测量、计算,研究发现圆的周长与直径的关系,从而得出圆的周长计算公式。最后,教材回顾了最初的实际问题,鼓励学生直接运用周长的计算公式进行计算,解决实际问题。
1.结合实例认识圆的周长,在探索圆的周长和直径的关系的过程中,理解圆周率的意义及圆的周长的计算方法。
2.能正确运用公式计算圆的周长,能运用圆的周长的知识解决一些简单的实际问题。
3.通过祖冲之与圆周率故事的介绍,了解圆周率的发展史,向学生进行爱国主义教育,激发学生的民族自豪感和探索精神。
【重点】　理解和掌握圆周率的意义及圆的周长计算公式的推导过程,并利用圆的周长公式解决简单的实际问题。
【难点】　探索发现圆的周长与直径的关系,理解圆周率的意义。
第课时　圆的周长的认识
1.圆的周长的认识及测量圆的周长的方法。
2.探索圆的周长和直径的关系,理解并掌握圆周率的意义。
3.通过祖冲之与圆周率故事的介绍,了解圆周率的发展史,向学生进行爱国主义教育,激发学生的民族自豪感和探索精神。
【重点】　探索发现圆的周长与直径的关系。
【难点】　探索发现圆的周长与直径的关系及圆周率的意义。
【教具准备】　PPT课件、圆形纸板、软尺、绳子、铁丝围成的圆。
【学具准备】　圆形纸板、一元硬币、直尺、软尺、数据统计表、计算器。
1.计算下面图形的周长。
2.张爷爷每天早晨都要绕着公园的花坛跑步(花坛形状如下图)。如果张爷爷今天绕着花坛跑了5圈,你知道张爷爷跑了多少米吗?
【参考答案】　1.(5+2)×2=14(cm)　4×3=12(cm)　2.10×4×5=200(m)
方法一
1.唐老鸭和米老鼠在公园里跑步的情境(PPT课件出示)。唐老鸭沿着正方形的路线跑,米老鼠沿着圆形的路线跑,结果米老鼠获胜。唐老鸭看到米老鼠得了第一名,心里很不服气,它说这样的比赛不公平。
师:同学们,你们认为这样的比赛公平吗?
学生根据自己的想法自由回答。
2.设置问题引入新课。
师:如果要求唐老鸭所跑的路程,实际上就是求正方形的什么?怎样求?
预设
生1:要求唐老鸭所跑的路程,实际上就是求正方形的周长。
生2:50×4=200(m)。
师:那么求米老鼠所跑的路程,实际就是求圆的什么呢?
预设
生:求圆的周长。
师:那么怎样才能求出圆的周长?圆的周长与什么有关系呢?这节课我们一起来探究圆的周长。
出示课题:圆的周长的认识。
[设计意图]　“兴趣是最好的老师”。利用学生都非常喜欢的动画形象引入新课,能够吸引学生的参与热情,由于还没有学过圆的周长的求法,无法算出米老鼠跑的路程,利用这个问题设下了认知障碍,激发了学生的求知欲望。
方法二
1.(PPT课件出示李爷爷沿着正方形草坪的边缘散步的情境)
提问:(1)李爷爷散步一圏所走的路程是多少米?
(2)你是怎么算的?你为什么这样算呢?
(3)李爷爷散步一圈所走的路程恰好是这个正方形的什么?
2.把正方形改成圆形,引入圆的周长。
提问:①那么李爷爷现在散步一圈所走的路程又是多少呢?
②李爷爷散步一圈所走的路程恰好是这个圆的什么?
今天这节课,我们就一起来研究圆的周长的有关知识。
揭示课题:圆的周长的认识。
[设计意图]　利用学生已学的知识引入新课,能充分调动学生的学习积极性,把学生的注意力集中到课堂中来,通过变换图形自然引出本节新知。
师:圆是封闭的曲线图形,它与正方形、长方形一样都是有周长的,那么什么是圆的周长,怎样计算圆的周长呢?
(一)圆的周长认识及测量。
1.圆的周长的认识。
师:(PPT课件出示教材第9页最上面的图)
请同学们看,这里有两辆车,如果要举行骑车比赛,你想用哪辆车参加呢?为什么?
预设
生1:用第一个,车轮比较大的。
生2:车轮大速度快。
师:根据生活经验我们知道,自行车的车轮大速度就快,那么是什么原因呢?
预设
生:车轮转一周的距离长。
师:那么车轮滚动一周的长度是它的什么?
预设
生:车轮的周长。
师:那么什么叫圆的周长?
(出示PPT课件)我们已经知道,围成圆的这条线是一条什么线?这条曲线的长就是什么的长?
预设
生:一条曲线,圆的周长。
师:围成圆的曲线的长叫作圆的周长。
师:(拿出一个用铁丝围成的圆)谁来说说这个圆的周长就是指哪一部分的长?(学生边指边说)
师:请同桌之间相互边指边说,我这个圆片的周长就是指哪一部分的长。(学生相互指说)
[设计意图]　通过直观观察自行车车轮,与正方形作类比,实际感知、迁移类推,使学生在头脑中建立了清晰的圆周长的表象。
2.测量圆的周长。
师:我们可以用直尺测量长方形、正方形、三角形等图形的周长,那么怎样测量圆的周长呢?
(1)直接化曲为直。
师:(用铁丝和直尺演示)圆的周长如果用直尺去直接测量方便吗?为什么?
　　预设
生:不方便。因为直尺是直的,而圆的周长却是曲的。
师:噢,这条线是曲的,有没有办法把这条曲线变直呢?
预设
生:有,只要把它截断拉直就行了。
师:(用手比划截断拉直)同学们想象一下,它就变成了什么呢?
预设
生:一条线段。
师:(出示PPT课件,化曲为直,再化直为曲)我们看,把圆这条曲线切断展开拉直以后,它就变成了一条线段。这条线段的长就是什么的长?
预设
生:就是圆的周长。
师:你现在能知道这个圆的周长吗?
预设
生:只要用直尺去测量这条线段的长度。
师:对,圆的周长虽然不能用直尺把它直接测量出来,但是我们可以用展开的方法,通过“化曲为直”,只要测量出这条线段的长,我们就可以知道这个圆的周长。
(2)间接化曲为直。
①借助线绳化曲为直。
师:(出示一教具圆片)但是,这个圆的圆周要展开就很麻烦了,我们用什么方法也可以化曲为直测量出它的周长呢?看谁最聪明!
　　预设
生:用线去绕。
　　师:怎么绕?可以绕给同学们看看吗?
(师生合作用绕线的方法去测量圆周长)
师:这样绕了以后,怎样就知道了圆的周长呢?
(生说明用线绕圆一周以后,捏紧这两个正好连接的端点,把线拉直,这两点之间线的长就是圆的周长)
操作练习:同桌之间相互合作,用这种绕线的方法测量出一个圆片的周长。
②滚动圆形化曲为直。
师:如果圆形无法展开,也没有线绳,怎样能测量出圆的周长呢?
预设
生:把圆放在直尺上滚动一周。
师:(师用直尺和圆片演示)同学们动手试一试吧!
学生小组合作,探究测量方法。
思考:怎么知道圆正好滚动一周呢?直尺上读数时要注意什么?
集体汇报,演示。
学生汇报的过程中重点强调:滚动圆时在圆上取一点作个记号,并对准直尺的零刻度线,然后把圆沿着直尺滚动,直到这一点又对准了直尺的另一刻度线,这时候圆就正好滚动一周,就是圆的周长。
[设计意图]　通过不断地设疑,再通过操作验证解疑,激发学生探究的热情,找到解决问题的方法。通过直接和间接两种方法渗透化曲为直的数学思想,培养学生主动探索和实践的精神。
(二)圆的周长与直径的关系。
师:每天马路上都会有各种车辆穿行,如果想测量这些车的车轮周长,用绕线和滚动的方法方便吗?
学生自由发表看法。
师:是啊,这些测量方法都有一定的局限性,这就需要我们探讨出一种求圆周长的普遍规律。
1.探究发现圆的周长与直径的关系。
(1)初步认识圆的周长与直径的关系。
师:我们已经知道正方形的周长与它的边长有关,周长是边长的4倍,圆的周长是否也与圆内某线段长有关系呢?
(出示PPT课件:以三条不同长度的线段为直径,分别画出三个大小不同的圆)
师:观察一下,在这三个圆中,你发现了什么?
预设
生1:我发现第一个圆的直径最短,周长也最短。
生2:我发现第三个圆的直径最长,周长也最长。
师:那么关于圆的直径和周长能否总结出什么规律?
预设
生:圆的直径越短,圆的周长也就越短;圆的直径越长,圆的周长也就越长。
师:这就说明圆的周长肯定与圆的直径有关系,到底有什么关系呢?这个问题要同学们自己去发现。
(2)深入探究圆的周长与直径的比值关系。
①学生合作测量、计算。
操作方法:同桌之间相互分工,一位同学测量圆片的周长,一位学生测量圆片的直径,并计算出周长除以直径所得的商,得数保留两位小数,并把数据记录下来。
②集体汇报,整理数据。
学生汇报测量和计算的结果,教师利用课件将数据进行整理。
组名
周长
直径
比值
第一组
第二组
第三组
第四组
第五组
第六组
第七组
……
　　③观察数据,发现规律。
师:从这组数据中,同学们发现了什么吗?
学生根据测量的数据,汇报圆的周长和直径间的比值都是3点几。
师:同学们测量的圆中,不管是大圆还是小圆,每一个圆的周长都是它直径的3倍多一些。那么我们可以用一句话来概括圆周长与直径的关系吗?
生:圆的周长都是直径的3倍多一些。
[设计意图]　探究圆的周长和它的直径间的比值关系对理解圆周率的意义至关重要。通过直观观察、精确测量、计算等环节,由浅入深逐步探究,使学生认识到圆的周长和它的直径不只是大小的关系,比值上还有固定值。
(3)理解圆周率的意义。
师:这就是圆的周长与直径的关系。请同学们自学教材第9页。
思考:圆的周长与直径的这个关系在数学上叫什么?怎样表示?数值是多少?
学生汇报,教师利用课件适时介绍讲解。
预设
生1:圆的周长除以它的直径的商是一个固定的值,我们把它叫作圆周率。
生2:圆周率用字母“π”表示。(此时教师要指导“π”的读写法)
生3:计算时通常取3.14。
(4)介绍圆周率的资料。
师:关于圆周率,大家都知道什么?
(学生自由发言,教师要给予鼓励)
师:老师也收集了一些有关的资料,请同学们看。
(出示PPT课件并介绍:祖冲之在数学上的杰出成就,是关于圆周率的计算。秦汉以前,人们以“径一周三”作为圆周率,这就是“古率”。后来发现古率误差太大,圆周率应是“圆径一而周三有余”,不过究竟余多少,意见不一。祖冲之在前人成就的基础上,经过刻苦钻研,反复演算,求出π在3.1415926与3.1415927之间。祖冲之为之付出了艰辛的努力,他在治学上的顽强毅力和聪敏才智是令人钦佩的。祖冲之计算得出的密率,外国数学家获得同样结果,已是一千多年以后的事了。为了纪念祖冲之的杰出贡献,有些外国数学史家建议把π叫作“祖率”。)
[设计意图]　学生第一次接触“圆周率”“π”“3.14”等专有的数学词汇,引导学生自学并向同学介绍,能够激发他们的成就感;另外通过介绍祖冲之与圆周率的课外知识,使学生产生对数学的敬畏之情,激发他们的爱国热情。
1.教材第10页第1题。
2.教材第10页第2题。
【参考答案】　1.提示:用绕线的方法或在直尺上滚动的方法都可以。　2.4　4
这节课你们学了什么知识?有什么收获?
学生反馈汇报。
预设
生1:这节课我知道了什么是圆的周长,围成圆的曲线的长度就是圆的周长。
生2:我还知道了圆的周长和它的直径的商是一个固定的值,这个值就是圆周率,用字母π表示。
师:圆周率是一个无限不循环的小数,我们在计算时一般取多少?
生3:一般取3.14。
生4:我知道我国著名的数学家祖冲之在圆周率的研究中做出了巨大的贡献,比国外的研究要早1000多年。
师:圆周率的探究经历了漫长的过程,希望同学们以后也能成为数学方面的专家,在研究圆周率方面取得更伟大的成就,为数学领域做出贡献。
[设计意图]　通过叙述本节课的收获,不但对所学知识做系统的梳理,再次明确圆周率的意义,而且激发学生努力学习、热爱数学的热情。
作业1
收集有关圆周率的课外知识。
作业2
【基础巩固】
1.(基础题)想一想,填一填。
(1)圆的周长是指围成圆的(　　　　　)的长。
(2)车轮越大,滚动一圈就越(　　　　)。
(3)一个圆环形的机器零件,在10
cm长的标尺上正好能滚动5圈,这个圆环形机器零件的周长是(　　　　　)。
(4)在正方形内画一个最大的圆(如下图),半径为r,正方形的周长是(　　　　)。
(5)圆的周长除以直径的商是一个固定的数,我们把它叫作(　　　　),用字母(　　　　)表示,它是一个无限不循环小数,在小学阶段我们计算时通常取其值为(　　　　)。
2.(操作题)用彩笔描出下面圆或半圆的周长。
3.(重点题)按要求填下面表格,说一说你从中发现了什么。
圆的周长
圆的直径
圆的周长除以直径
的商(保留两位小数)
9.45
3
19.02
6
6.284
2
【提升培优】
4.(重点题)李军和爸爸同时骑车去玩(如下图),谁的速度比较快?为什么?
【思维创新】
5.(探究题)下面网格的一个小格边长是1
cm,网格中画有圆A和圆B,哪个圆的周长比较长?请你说说理由。
【参考答案】
作业1:略。
作业2:1.(1)曲线　(2)远　
(3)2
cm　(4)8r　(5)圆周率　π　3.14　2.略　3.3.15　3.17　3.14圆的周长除以直径的商都是三点一几。　4.爸爸的
速度比较快,因为爸爸骑的车车轮周长长。　5.圆B的周长长。因为圆B在边长为3
cm的正方形内,它的周长比12
cm少一些;圆A在边长为2
cm的正方形内,它的周长比8
cm少一些。
圆的周长的认识
　　围成圆的曲线的长度就是圆的周长　化曲为直
圆的周长÷直径=圆周率　π≈3.14
本节课从学生的生活实践经验和已有的知识展开教学,通过层层预设,逐步引导学生进行探究活动,并根据知识点的难易程度设置合适探究的方法,同时根据课堂出现的新的生成性信息进行适时的调整,改变预设的程序,从而提高课堂效率,真正发挥自主学习的作用。教学中,根据不同的内容,适时放手让学生动手操作,让学生在操作中探索新知,理解新知,学习新知,培养学生动手操作的能力、激发学习兴趣。
(1)很多环节只注重学生的操作及教师的讲解,而忽略了多媒体课件的作用,仅靠教师的描述和学生的想象建立相应的知识表象,有时是不准确的。
(2)对于学生自主学习能力、自我探究发现能力的培养还是很欠缺的,为了顺利完成教学任务,很多知识都是老师直接讲授,缺少学生自我探究的过程。
(1)充分利用多媒体课件进行演示,给学生直观的感受,增强对圆的周长的表象认识,同时通过数学教学与多媒体课件的有效整合,使课堂信息量加大,教学过程图文并茂、生动活泼。
(2)在教学中,对于简单的问题教师不能替学生“包办”,限制学生的思维,多给学生创造自主学习的机会,根据学生实际情况进行有针对性的指导,并充分发挥学生的主体作用,提高了教学效率。
　将两个半径分别为4
cm和6
cm的半圆按右图所示的方式放置,求阴影部分的周长。
[名师点拨]　半径为4
cm的圆的周长的一半与半径为6
cm的圆的周长的一半的和,再加上一条4
cm长的半径和线段AB的长,就得到阴影部分的周长。
[解答]　3.14×4+3.14×6+4+(6
-
4+6)=12.56+18.84+12=43.4(cm)。
答:阴影部分的周长是43.4
cm。
【知识拓展】　求复杂图形阴影部分的周长时,可先把围成阴影部分的线用笔描粗或用彩笔描出来,然后确定由哪几条曲线或线段组成,通过分解或组合用周长公式计算即可。
圆周率的历史
圆周率,也就是圆周与直径的比值,是一个非常奇特的数。
《周髀算经》上说“周三径一”,把圆周率看成3,但是这只是一个近似值。美索不达米亚人在做第一个轮子的时候,也只知道圆周率是3。
魏晋时期的刘徽于公元263年给《九章算术》作注。他发现“周三径一”只是圆内接正六边形周长和直径的比值。他创立了割圆术,认为圆内接正多边形边数无限增加时,周长就越逼近圆周长。他算到圆内接正3072边形的周长与直径的比=。刘徽已经把极限的概念运用于解决实际的数学问题之中,这在世界数学史上也是一项重大的成就。
祖冲之(公元429~500年)在前人的计算基础上继续推算,求出圆周率在3.1415926与3.1415927之间,是世界上最早的七位小数精确值,他还用两个
分数值来表示圆周率:称为约率,称为密率。
在欧洲,直到1000年后的十六世纪,德国人鄂图和安托尼兹才得到这个数值。
现在有了电子计算机,圆周率已经算到了小数点后一千万位以上了。
第课时　圆周长计算公式的推导
1.利用圆周率的意义推导圆的周长计算公式并熟记圆的周长的计算公式。
2.能正确运用公式计算圆的周长,能运用圆的周长的知识解决简单的实际问题。
3.经历知识的探索过程,使学生体会到知识的内在联系,同时培养学生解决实际问题的能力。
【重点】　理解周长计算公式,利用圆的周长知识解决简单的实际问题。
【难点】　探索组合图形周长的计算思路。
【教具准备】　PPT课件。
【学具准备】　圆规、圆形卡片。
1.选一选。
(1)所有车轮都做成圆形是利用了圆的(　　)的特性。
A.曲线图形　　　　　B.容易加工
C.圆心到圆上任意一点都相等
(2)圆周率表示(　　)。
A.圆的周长
B.圆的面积与直径的倍数关系
C.圆的周长与直径的倍数关系
(3)圆的周长与直径的比值是一个(　　)。
A.循环小数
B.有限小数
C.无限不循环小数
2.填一填。
(1)同一个圆内直径是半径的(　　)。
(2)圆周率用字母(　　)表示,一般取近似值是(　　)。
(3)如图所示的图形是由一个正方形、一个大圆和两个相等的小圆组成的,如果正方形的边长是8厘米,小圆的半径是(　　)厘米。
【参考答案】　1.(1)C　(2)C　(3)C　2.(1)2倍　(2)π　3.14　(3)2
方法一
1.回顾旧知。
师:同学们还记得上节课我们学习了哪些知识吗?
预设
生1:认识了圆的周长。
生2:学习了圆的周长的测量方法。
生3:知道了圆的周长和直径的关系。
生4:学习了圆周率。
2.引入新课。
师:上节课我们在探究圆周率时,是在测量出圆的周长和直径后,发现它们之间的倍数总是一个固定范围的数值,我们称它为圆周率,取值一般保留两位小数是3.14。那么反过来,知道了圆的直径或半径,能不能求出圆的周长呢?这节课我们就来探究圆的周长计算方法。
出示课题:圆周长计算公式的推导。
[设计意图]　通过回顾上节课所学知识,一方面对圆周率的意义进行巩固,同时使学生体会到圆的周长的计算一定与圆周率有关,从而顺利进入新课的学习。
方法二
PPT课件出示几种圆形的机器零件,请学生观察,并谈话:你们见过这些东西吗?这是什么?
学生自由表达看法。
师:很多机器、车辆等都需要圆形的零件,设计这些零件时工人师傅可不敢马虎。同学们还记得上节课,我们是怎样测量圆形的周长吗?
预设
生1:绕绳法。
生2:滚动法。
师:那么工人师傅能不能用这两种方法精准地测量出圆形零件的周长呢?
学生自由发言。
师:是啊,这两种方法不好操作,测量时很容易出现误差,那么我们能不能更准确地知道一个圆形的周长呢?
学生发表各自看法,教师顺势引出课题。
师:这节课我们来探究圆的周长的计算方法。
揭示课题:圆周长计算公式的推导。
[设计意图]　通过学生比较熟悉的实际生活事例,使学生认识到对于圆的周长采用绕绳法、滚动法等测量方法,很多时候并不适用,产生认知冲突,激起学习的欲望。
过渡语:对于圆的周长我们是否可以像计算正方形、长方形的周长那样利用周长公式来计算呢?圆是否有周长计算公式?这个公式与什么有关呢?
一、探究圆的周长计算公式
1.猜测。
师:我们知道正方形的周长与它的边长有关,长方形的周长与它的长和宽有关,同学们猜测一下圆的周长与什么有关。
预设
生1:与直径有关。
生2:与半径有关。
生3:与圆周率有关。
师:同学们说得是否正确?我们来验证一下吧!
[设计意图]　在推导圆的周长公式之前设计让学生猜测圆的周长与什么有关的问题,主要为了让学生将新旧知识间很好地联系起来。
2.验证、推导圆的周长计算公式。
(1)小组合作、交流,探究圆的周长公式。
教师巡视,了解讨论情况,适时进行指导。
(2)交流汇报。
师:老师发现很多小组已经推导出圆的周长计算公式,我们来听一听吧!
预设
生:圆的周长公式是“周长=直径×圆周率”。
师:其他同学同意他的说法吗?那么怎样得出的这个计算公式呢?
预设
生:因为圆的周长÷直径=圆周率,所以根据逆运算周长=直径×圆周率。
师:如果只知道一个圆的半径,能否求出周长呢?
预设
生1:半径是直径的一半,只要半径乘2就可以求出直径,就能求出圆的周长了。
生2:圆的周长=半径×2×圆周率。
3.认知圆的周长公式的字母表示形式。
(出示PPT课件,教师一边操作课件一边讲解)
师:你表现得真棒!为了方便,圆的周长可以用字母“C”来表示,我们还知道直径用字母“d”表示,圆周率用字母“π”表示,那么你能用字母表示出圆的周长公式吗?
预设
生:圆的周长公式用字母表示是:C=πd。(学生可能也会表述成C=dπ,此时教师要强调为了记忆方便一般表示为C=πd)
师:那么如果只知道半径,怎样用字母表示圆的周长公式呢?
预设
生:C=2πr。(学生可能也会表述成C=2rπ或C=π2r等,此时教师要强调为了记忆方便一般表示为C=2πr)
[设计意图]　对圆的周长公式的推导主要从圆周率的意义入手,有上节课知识作为铺垫,学生能够通过自主探究的形式发现圆的周长公式。因此以上两个环节采取学生自己探究,教师适当引导的形式,将学习的主动权交给学生。
二、利用圆的周长计算公式解决实际问题
师:我们知道了圆的周长计算公式,利用公式求出圆的周长就方便多了,我们试试吧!
1.课件出示教材第9页最上面的图。
师:同学们还记得这两幅图吗?如果参加比赛你会选择哪辆车作为你的工具呢?为什么呢?
预设
生1:大自行车。
生2:因为它的车轮大,滚一圈的距离远。
生3:它们的周长不同。
师:是啊,大车轮转一圈的长度要比小车轮转一圈的长度长,实际上是说两个车轮的周长不同。
(1)估一估两个车轮的周长。
师:(出示PPT课件)就是两个车轮的外圆的周长不同。如果大车轮的直径是70厘米,小车轮的直径是10厘米,估一估它们的周长分别是多少?
预设
生1:大车轮的直径是70厘米,圆周率大约是3,它的周长大约是210厘米。
生2:小车轮的直径是10厘米,周长大约是30厘米。
(2)计算车轮的周长。
师:怎样精确计算呢?
学生利用圆的周长公式分别计算两个车轮的周长。学生汇报,教师板书:大车轮周长:3.14×70=219.8(cm)。小车轮周长:3.14×10=31.4(cm)。引导学生再次小结:车轮越大,滚一圈的距离越远,也就是圆的直径越大周长就越大。
[设计意图]　本环节通过设计比较两个车轮大小的问题,引导学生利用圆的周长计算公式估计、精确计算求出两个圆的周长,既训练了利用公式解决实际问题的能力,又再次印证“轮子越大,滚一圈越远”的道理。
2.出示教材第10页第三个例题的组合图形:你能计算出下面图形的周长吗?
师:这个图形的周长指的是哪部分,你能指一指吗?
学生先在教材的图中用笔描一描,然后找一名学生到屏幕前指一指。
师:这个图形可以一笔描画下来,你能看出是由什么图形组成的吗?
预设
生:是由一个大半圆和两个小半圆组成的。
师:大半圆和小半圆的直径之间有什么关系?
预设
生:大圆的半径是小圆的直径。
(学生回答,教师按照学生描述,在黑板上用不同颜色的粉笔画出这个组合图形。)
师:我们发现这是由三个半圆组成的图形,它是组合图形,怎样计算它的周长呢?同学们试一试吧!
学生尝试计算,汇报计算过程,教师板书:
3×2×3.14÷2=9.42(cm),
3×3.14÷2×2=9.42(cm),
9.42×2=18.84(cm)。
并强调分别求出三个半圆的周长,再把它们加起来。
[设计意图]　学生第一次计算含有圆的组合图形的周长,清晰地知道计算的周长应该是哪部分十分重要,因此本环节首先设计让学生实际画一画、指一指、说一说等活动,明确图形的周长及组成,再探究计算方法就迎刃而解了。
3.拓展延伸,优化解决方法。
师:我们按照图形的构成计算出组合图形的周长,还有更简单的方法吗?
(1)学生尝试计算,教师巡视了解学生计算情况。由于本题计算思路多样,学生汇报时只要有道理,计算正确,教师就应给予鼓励。重点引导学生分析大圆和小圆的关系,发现更简单的计算方法。
师:同学们认真观察,大圆的直径和小圆的直径有什么关系?
预设
生:大圆直径的一半是小圆的直径。
师:那么你知道这样的两个圆的周长各是多少吗?
(通过课件出示这样的两个圆,一个圆的直径是6厘米,一个圆的直径是3厘米,引导学生利用圆的周长公式表示这两个圆的周长,并发现它们之间的关系。)
预设
生:大圆的周长:6π厘米,小圆的周长:3π厘米。
师:这两个圆的周长之间有什么关系?
预设
生:小圆的周长是大圆周长的一半。
(再次引导学生观察教材第10页的组合图形)
师:如果把右边的小半圆平移到左边,你会发现什么?
预设
生1:平移后两个半圆组成一个小圆。
生2:这个组合图形的周长实际上就是大圆的周长。
师:你能用更简单的方法计算出组合图形的周长吗?
学生尝试计算,并集体汇报订正:2×3.14×3=18.84(cm)。
(2)师生小结:大圆的直径是小圆直径的2倍,大圆的周长也是小圆周长的2倍。
[设计意图]　学习数学不仅是解决问题本身,而且要通过数学问题学会如何用数学的思维去思考。本环节通过引导学生分析、理解大圆和小圆的关系,向学生渗透“转化”的数学思想,同时在对比中优化方法。
1.教材第10页第3题。
2.教材第11页第4题。
3.教材第11页第7题。
【参考答案】　1.3×2×3.14=18.84(cm)　18.84>18　不够。　2.3.14×0.3×2=1.884(m)　1.884×1000=1884(m)　3.量得直径为2
cm,画图略。周长为3.14×2=6.28(cm)。
师:这节课你们学了什么知识?有什么收获?
学生反馈汇报。
预设
生:这节课我知道了圆的周长计算公式,C=πd或C=2πr。要知道求车轮滚动一周的长度就是求车轮的周长;计算组合图形的周长时,要先观察组合图形的周长是什么,再看这个图形是由哪些图形组成的,把每部分的周长计算出来再求出总和;计算组合图形的周长时也可以先分析各组成部分的关系,用简单方法计算。我还知道了大圆直径是小圆直径的几倍,那么大圆周长也是小圆周长的几倍。
作业1
教材第11页第5题。
作业2
【基础巩固】
1.(基础题)想一想,填一填。
(1)在同一个圆内,圆的直径一定是半径的(　　)倍,周长一定是它半径的(　　)倍。
(2)圆的(　　　)除以它的(　　　　)的商是一个固定的数,我们把它叫作(　　　　),用字母(　　)来表示,计算时通常取(　　)。
2.(难点题)判断对与错。
(1)半径不相等的两个圆,周长一定不相等。
(　　)
(2)两个大小不同的圆,它们的圆周率也不同。
(　　)
3.(易错题)一块交通标志牌的半径是
25
cm,这块交通标志牌的周长是多少厘米?
4.(重点题)一辆自行车的车轮半径为30厘米,如果这辆自行车经过一条980米长的街道,车轮大约需要转多少周?(得数保留整数,自行车本身的长度忽略不计)
【提升培优】
5.(探究题)把4根水泥管捆扎成下图的形状,用铁丝缠3圈,至少需要铁丝多少米?(接头处忽略不计)
【思维创新】
6.(开放题)如下图所示,猫和老鼠以相同的速度同时从A地出发,猫和老鼠哪一个先到B地?
7.(探究题)一个直径为1
m的圆形拱门,一个身高为1.45
m的小女孩,不能直身过去。如果把这个拱门的周长增加1.57
m,计算一下,小女孩能直身通过吗?
【参考答案】
作业1:5.62.8÷3.14=20(m)
作业2:1.(1)2　2π　(2)周长　直径　圆周率　π　3.14　2.(1)√　(2)?　3.25×2×3.14=157(cm)4.980÷(2×3.14×0.3)≈520(周)　5.(3.14×0.8+0.8×4)×3=17.136(m)　6.猫所走的路程:(3+2+3)×3.14÷2=12.56(m),老鼠所走的路程:3×3.14÷2+2×3.14÷2+3×3.14÷2=12.56(m),所以同时到达B地。　7.(1×3.14+1.57)÷3.14=1.5(m)。因为1.5
m>1.45
m,所以小女孩能直身通过。
圆周长计算公式的推导
本节课重难点的解决充分利用了多媒体直观、形象、动态地展示知识形成过程的作用,把学生放在学习的主体地位,让学生适当进行动手画一画、指一指,充分调动学生学习的积极性,让学生面对困难自己想办法解决。在教学过程中层层设疑,逐步解决,不但教给学生如何计算圆的周长问题,同时教给学生思考方法,渗透“优化”“转化”等数学思想,培养学生数学思维能力。
(1)对于推导圆的周长计算公式部分比较容易理解,教学中没有放手让学生自己去探索总结,而是在教师的引导下进行归纳的,没有充分发挥学生学习的探究能力。
(2)在练习的设计上内容较多。为了教学需要在知识点的讲解时安排了拓展练习,同时随堂练习设计的内容也比较多,使课堂教学显得时间紧张,课堂节奏比较快。
(1)多给学生独立思考、合作交流的机会,尽量避免“问答”形式的课堂模式。对于新知的学习教师通过设置有效的问题,让学生自己去交流、解决,教师作适当的引导。
(2)无论拓展练习还是巩固练习都要根据课堂的实际情况进行适当调整,设计精巧,使之有针对性和层次性,多数学生有能力当堂完成,高质高效完成教学任务。
【练一练·10页】
2.4　4　3.3×2×3.14=18.84(cm)　18.84>18　不够。　4.3.14×0.3×2=1.884(m)　1.884×1000=1884(m)　5.62.8÷3.14=20(m)　6.3.14×6÷2=9.42(m)　7.量得直径为2
cm,如右图所示。周长为3.14×2=6.28(cm)。　8.3.14×10=31.4(m)　9.正