【精品解析】苏教版高中数学必修一3.1.2指数函数

苏教版高中数学必修一3.1.2指数函数
一、单选题
1．（2019高一下·岳阳月考）若a>0，且a≠1，则函数y=ax-1+1的图像一定过定点（　　）
A．（0，1） B．（1，1） C．（1，2） D．（0，-1）
【答案】C
【知识点】指数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解： ∵x=1时，y=a0+1=2，
∴函数 y=ax-1+1 （a＞0且a≠1）的图象经过点（1，2）.
故选C.
【分析】根据指数函数y=ax（a＞0且a≠1）的图象与性质，即可得出结论．
2．函数f(x)＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，则有（　　）
A．a＝1或a＝2 B．a＝1 C．a＝2 D．a>0且a≠1
【答案】C
【知识点】指数函数的概念与表示
【解析】【解答】由指数函数的定义得： ，
解得a＝2.
故答案为:C.
【分析】由指数函数的定义:形如y=ax(a>0且a ≠ 1)的函数叫指数函数,则ax前的系数为1,得到关于a的方程求a的值.
3．函数 是（　　）
A．奇函数 B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数
【答案】A
【知识点】指数型复合函数的性质及应用
【解析】解答：因为函数定义域为R，关于原点对称，又
，故 为奇函数。
分析：求出f(-x)与原函数对比，互为相反则为奇函数
4．如图，设a，b，c，d＞0，且不等于1，y=ax，y=bx，y=cx，y=dx在同一坐标系中的图象如图，则a，b，c，d的大小顺序（　　）

A．a＜b＜c＜d B．a＜b＜d＜c C．b＜a＜d＜c D．b＜a＜c＜d
【答案】C
【知识点】指数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：作辅助直线x=1，当x=1时，
y=ax，y=bx，y=cx，y=dx的函数值正好是底数a、b、c、d
直线x=1与y=ax，y=bx，y=cx，y=dx交点的纵坐标就是a、b、c、d
观察图形即可判定大小：b＜a＜d＜c
故选：C．
【分析】要比较a、b、c、d的大小，根据函数结构的特征，作直线x=1，与y=ax，y=bx，y=cx，y=dx交点的纵坐标就是a、b、c、d，观察图形即可得到结论．
5．（2019·浙江模拟）函数y= 的大致图象为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】指数型复合函数的性质及应用
【解析】【解答】解：由函数可知不取，故排除B选项；
当时，，，故排除A，D选项。
故答案为：C
【分析】利用排除法，根据特殊值进行排除，又快又准确。
6．（2013·四川理）函数 的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】指数函数的图象变换
【解析】【解答】解：要使函数有意义，则3x﹣1≠0，解得x≠0，∴函数的定义域为{x|x≠0}，排除A．
当x＜0时，y＞0，排除B．
当x→+∞时，y→0，排除D．
故选C．
【分析】分别根据函数的定义域，单调性，取值符号进行排除判断．
7．设a＝ ，b＝ ，c＝ ，则a，b，c的大小关系是（　　）
A．a>b>c B．c>a>b C．ac>a
【答案】C
【知识点】指数函数单调性的应用
【解析】【解答】∵函数 在R上是减函数，又 ，∴ ，即ab，∴a【分析】结合题意利用指数函数的图象与性质即可得出结论。
8．若函数 (a＞0，且a≠1)是R上的单调函数，则实数a的取值范围是（　　）
A．(0， ) B．( ，1) C．(0， ] D．[ ，1)
【答案】D
【知识点】指数函数单调性的应用
【解析】【解答】当a＞1时，f(x)在( ∞， 1)上是增函数，在[ 1，＋∞)上是减函数，则函数f(x)在R上不是单调函数，故a＞1不合题意；当0＜a＜1时，f(x)在( ∞， 1)上是增函数，在[ 1，＋∞)上是增函数，又函数f(x)在R上是单调函数，则a( 1 1)＋1≤a ( 1)，解得a≥ ，所以实数a的取值范围是 ≤a＜1.
故答案为D.
【分析】分段函数在R上单调，则要求各段函数都单调，且要注意在分段点处的左段函数值与右段函数值的大小.
9．（2018高三上·湖南月考）设平行于x轴的直线l分别与函数 和 的图象相交于点A，B，若在函数 的图象上存在点C，使得△ABC为等边三角形，则这样的直线l（　　）
A．至少一条 B．至多一条
C．有且只有一条 D．无数条
【答案】C
【知识点】指数函数的图象变换
【解析】【解答】设直线l的方程为 ，由 ，得 ，所以点 ．
由 ，得 ，所以点 ，从而|AB|＝1.
如图，
取AB的中点D，连接CD，因为△ABC为等边三角形，则CD⊥AB，
且|AD|＝ ，|CD|＝ ，所以点 .
因为点C在函数 的图象上，则 ，
解得 ，所以满足要求的直线l有且只有一条
故答案为：C.
【分析】设直线l的方程为 ，由指数式与对数式的互化公式，即由 ，得 ，所以点 ，由 ，得 ，所以点 ，从而|AB|＝1再利用图象结合中点的性质的等边三角形的性质得出CD⊥AB，且|AD|＝ ，|CD|＝ ，所以点 ，因为点C在函数 的图象上，则 ，解得 ，所以满足要求的直线l有且只有一条。
二、填空题
10．函数y= 的定义域是　 　
【答案】
【知识点】指数函数的概念与表示
【解析】【解答】
【分析】要是二次根式有意义， ，利用指数函数值域y>0,求出 的x值。
11．（2017高一上·长春期中）若指数函数f（x）=（2a+1）x在R上的减函数，则a的取值范围是　 　．
【答案】（ ，0）
【知识点】指数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：因为指数函数f（x）=（2a+1）x在R上的减函数，则0＜2a+1＜1，解得 ＜a＜0．
故答案为：（ ，0）．
【分析】本题解题的依据是指数函数的概念及单调性.指数函数的一般式为(a>0，a≠1)，当01时，函数为增函数.
12．（2019高一上·友好期中）指数函数 在 上最大值与最小值之差为6，则 　 　.
【答案】3
【知识点】指数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】当 时，函数为减函数， ， ，则 ，方程无解；
当 时，函数为增函数， ， ，则 ，解得 ， 舍去
故答案为：3
【分析】分为 和 两种情况，结合函数的增减性求解即可.
13．（2018高一上·牡丹江期中）求不等式 中 的取值范围。
【答案】解：由a2x﹣7＞a4x﹣1知需要进行分类，具体情况如下：
当a＞1时，∵y=ax在定义域上递增，
∴2x﹣7＞4x﹣1，解得x＜﹣3；
当0＜a＜1时，∵y=ax在定义域上递减，
∴2x﹣7＜4x﹣1，解得x＞﹣3；
综上得，当a＞1时，x的取值范围为（﹣∞，﹣3）；
当0＜a＜1时，x的取值范围为（﹣3，+∞）．
【知识点】指数函数单调性的应用
【解析】【分析】针对a取不同范围，结合指数函数的单调性，即可得出答案。
14．已知函数 ，若 ，则 　 　.
【答案】
【知识点】指数函数综合题
【解析】【解答】因为 ，所以 ，又 ，所以 ，解得 .
故答案为：.
【分析】指数型分段函数，已知多层函数值，求自变量的值，由外到内的原则得到关于a的方程求a的值.
15．（2018高一上·民乐期中）设 ，使不等式 成立的 的集合是　 　．
【答案】
【知识点】指数函数单调性的应用
【解析】【解答】 ，
函数 在 上为减函数，
若 ，
则 ，
则 ，
解得 ，
故不等式 的解集为 ，
故答案为 .
【分析】根据题意可得函数 在 上为减函数，进而将题目转化为求解不等式 即可。
16．指数函数y=（）x的图象如图所示，则二次函数y=ax2+bx的顶点的横坐标的取值范围是 　 　．
【答案】（﹣，0）
【知识点】指数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：由图象知函数为减函数，则0＜＜1，
二次函数y=ax2+bx的顶点的横坐标为x=﹣，
∵0＜＜1，
∴0＜＜，﹣＜﹣＜0，
即横坐标的取值范围是（﹣，0），
故答案为：（﹣，0）．
【分析】根据指数函数的图象求出的取值范围，利用二次函数的性质进行求解即可．
17．（2018高一上·宁波期中）函数 的值域是　 　，单调递增区间是　 　.
【答案】；
【知识点】指数型复合函数的性质及应用
【解析】【解答】因为 ,所以 ，即函数 的值域是
因为 单调递减， 在（1，+ ）上单调递减，因此函数 的单调递增区间是（1，+ ）.
【分析】本题利用复合函数求值域的方法求出值域，再利用求复合函数单调性的方法求出单调区间，注意复合函数单调性判断的法则，即同单调性为增函数，不同单调性为减函数。
18．定义区间 的长度为 ，已知函数 的定义域为[a，b]，值域为[1,9]，则区间[a，b]的长度的最大值为　 　，最小值为　 　．
【答案】4；2
【知识点】指数型复合函数的性质及应用
【解析】【解答】由 得x=0，由 得 ，故满足题意的定义域可以为 或 ，故区间[a，b] 的最大长度为4，最小长度为2．
故答案为:4;2.
【分析】已知函数的值域,求函数的定义域,由x=0时,函数取得最小值1,先求出使函数值为9时对应的x的值,分析得到可能的定义域,从而得到区间[a,b]的长度的最大最小值.
三、解答题
19．已知函数 ，
（1）判断函数的奇偶性；
（2）求该函数的值域；
（3）证明 是 上的增函数.
【答案】（1）解：∵f(x)定义域为 ，关于原点对称。
且 是奇函数；
（2）解：
即 的值域为 ；
（3）证明：设 ，且 ，
(∵分母大于零，且 )
∴ 是 上的增函数.
【知识点】指数型复合函数的性质及应用
【解析】 【分析】（1）判断函数奇偶性，先求定义域，关于原点对称再求f(-x)=-f(x),为奇函数；（2）求f(x)值域，先将f(x)化简，根据指数函数值域确定f(x)取值范围。（3）判断函数单调性，取值，作差，变形，定号。
20．（2017高一上·雨花期中）已知函数f（x）=a x（a＞0且a≠1）的图象经过点（2， ）
（1）求a的值
（2）比较f（2）与f（b2+2）的大小．
【答案】（1）解：f（x）=ax（a＞0且a≠1）的图象经过点（2， ），
∴a2= ，∴a=
（2）解：∵f（x）=（ ）x在R上单调递减，又2≤b2+2，
∴f（2）≥f（b2+2）
【知识点】指数函数的图象与性质
【解析】【分析】1、本题考查的是由待定系数法求指数函数的解析式。
2、由指数函数 的单调性可得结果。
21．（2019·衡水模拟）已知 （ ）.
（1）当 ，且 的解集为 ，求函数 的解析式；
（2）若关于x的不等式 对一切实数恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】（1）解：由 的解集为 可知 且 .
则
（2）解： 的解集为R.
当 时，满足题意；
当 时，由 .
综上，
【知识点】指数函数单调性的应用
【解析】【分析】（1）根据不等式的解集与方程根的关系，即可求出实数a的值；
（2）根据指数函数的单调性，解不等式，将不等式恒成立问题转化，即可求出实数a的取值范围.
22．已知函数f（x）=，
（1）若a=﹣1，求f（x）的单调区间；
（2）若f（x）有最大值3，求a的值．
（3）若f（x）的值域是（0，+∞），求a的取值范围．
【答案】解：（1）当a=﹣1时，f（x）=，
令g（x）=﹣x2﹣4x+3，
由于g（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递增，在（﹣2，+∞）上单调递减，
而y=t在R上单调递减，
所以f（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递减，在（﹣2，+∞）上 单调递增，
即函数f（ x）的递增区间是（﹣2，+∞），递减区间是（﹣∞，﹣2 ）．
（2）令h（x）=ax2﹣4x+3，y=h（x），由于f（x）有最大值3，
所以 h（x）应有最小值﹣1，
因此=﹣1，
解得a=1．
即当f（x）有最大值3时，a的值等于1．
（3）由指数函数的性质知，
要使y=h（x）的值域为（0，+∞）．
应使h（x）=ax2﹣4x+3的值域为R，
因此只能有a=0．
因为若a≠0，则h（x）为二次函数，其值域不可能为R．
故 a的取值范围是{0}．
【知识点】指数函数综合题
【解析】【分析】（1）当a=﹣1时，f（x）=，令g（x）=﹣x2﹣4x+3，结合指数函数的单调性，二次函数的单调性和复合函数的单调性，可得f（x）的单调区间；
（2）令h（x）=ax2﹣4x+3，y=h（x），由于f（x）有最大值3，所以 h（x）应有最小值﹣1，进而可得a的值．
（3）由指数函数的性质知，要使y=h（x）的值域为（0，+∞）．应使h（x）=ax2﹣4x+3的值域为R，进而可得a的取值范围．
23．已知函数y=ax(a＞0且a≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为20，记 .
（1）求a的值；
（2）证明：f(x)＋f(1 x)=1；
【答案】（1）解：函数y=ax(a＞0且a≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为20，
∴a＋a2=20，得a=4或a= 5(舍去)
（2）解：由（1）知 ，
∴ （3）求 的值．
解：由（2）知 ，
，
…
，
∴
【知识点】指数函数的概念与表示；指数函数综合题
【解析】【分析】(1)由指数函数的最值的和为20,得到关于a的方程求a的值;
(2)由f(x)的解析式证明f ( x ) + f ( 1 x )=1;
(3)由(2)的结论用倒序相加法求和.
24．已知函数f（x）=2x
（1）试求函数F（x）=f（x）+af（2x），x∈（﹣∞，0]的最大值；
（2）若存在x∈（﹣∞，0），使|af（x）﹣f（2x）|＞1成立，试求a的取值范围；
（3）当a＞0，且x∈[0，15]时，不等式f（x+1）≤f[（2x+a）2]恒成立，求a的取值范围．
【答案】解：（1）F（x）=f（x）+af（2x），x∈（﹣∞，0]
=2x+a 4x，令2x=t，（0＜t≤1），即有F（x）=at2+t，
a=0，即有最大值为1；a≠0时，对称轴为t=﹣，
讨论对称轴和区间的关系，即可得到，
（2）令2x=t，则存在t∈（0，1）使得|t2﹣at|＞1
所以存在t∈（0，1）使得t2﹣at＞1或t2﹣at＜﹣1
即存在t∈（0，1）使得a<或a>
∴a＜0或a＞2；
（3）由f（x+1）≤f[（2x+a）2]得x+1≤（2x+a）2恒成立
因为a＞0，且x∈[0，15]，所以问题即为恒成立
∴
设m（x）=-2x+令=t，则x=-1，t∈[1，4]
∴m(t)=-2(-1)+t=-2(t-)2+
所以，当t=1时，m（x）max=1，
∴a≥1
【知识点】指数函数综合题
【解析】【分析】（1）把f（x）代入到F（x）中化简得到F（x）的解析式求出F（x）的最大值即可；
（2）可设2x=t，存在t∈（0，1）使得|t2﹣at|＞1，讨论求出解集，让a大于其最小，小于其最大即可得到a的取值范围；
（3）不等式f（x+1）≤f[（2x+a）2]恒成立即为恒成立即要，根据二次函数求最值的方法求出最值即可列出关于a的不等式，求出解集即可．
1 / 1苏教版高中数学必修一3.1.2指数函数
一、单选题
1．（2019高一下·岳阳月考）若a>0，且a≠1，则函数y=ax-1+1的图像一定过定点（　　）
A．（0，1） B．（1，1） C．（1，2） D．（0，-1）
2．函数f(x)＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，则有（　　）
A．a＝1或a＝2 B．a＝1 C．a＝2 D．a>0且a≠1
3．函数 是（　　）
A．奇函数 B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数
4．如图，设a，b，c，d＞0，且不等于1，y=ax，y=bx，y=cx，y=dx在同一坐标系中的图象如图，则a，b，c，d的大小顺序（　　）

A．a＜b＜c＜d B．a＜b＜d＜c C．b＜a＜d＜c D．b＜a＜c＜d
5．（2019·浙江模拟）函数y= 的大致图象为（　　）
A． B．
C． D．
6．（2013·四川理）函数 的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
7．设a＝ ，b＝ ，c＝ ，则a，b，c的大小关系是（　　）
A．a>b>c B．c>a>b C．ac>a
8．若函数 (a＞0，且a≠1)是R上的单调函数，则实数a的取值范围是（　　）
A．(0， ) B．( ，1) C．(0， ] D．[ ，1)
9．（2018高三上·湖南月考）设平行于x轴的直线l分别与函数 和 的图象相交于点A，B，若在函数 的图象上存在点C，使得△ABC为等边三角形，则这样的直线l（　　）
A．至少一条 B．至多一条
C．有且只有一条 D．无数条
二、填空题
10．函数y= 的定义域是　 　
11．（2017高一上·长春期中）若指数函数f（x）=（2a+1）x在R上的减函数，则a的取值范围是　 　．
12．（2019高一上·友好期中）指数函数 在 上最大值与最小值之差为6，则 　 　.
13．（2018高一上·牡丹江期中）求不等式 中 的取值范围。
14．已知函数 ，若 ，则 　 　.
15．（2018高一上·民乐期中）设 ，使不等式 成立的 的集合是　 　．
16．指数函数y=（）x的图象如图所示，则二次函数y=ax2+bx的顶点的横坐标的取值范围是 　 　．
17．（2018高一上·宁波期中）函数 的值域是　 　，单调递增区间是　 　.
18．定义区间 的长度为 ，已知函数 的定义域为[a，b]，值域为[1,9]，则区间[a，b]的长度的最大值为　 　，最小值为　 　．
三、解答题
19．已知函数 ，
（1）判断函数的奇偶性；
（2）求该函数的值域；
（3）证明 是 上的增函数.
20．（2017高一上·雨花期中）已知函数f（x）=a x（a＞0且a≠1）的图象经过点（2， ）
（1）求a的值
（2）比较f（2）与f（b2+2）的大小．
21．（2019·衡水模拟）已知 （ ）.
（1）当 ，且 的解集为 ，求函数 的解析式；
（2）若关于x的不等式 对一切实数恒成立，求实数 的取值范围.
22．已知函数f（x）=，
（1）若a=﹣1，求f（x）的单调区间；
（2）若f（x）有最大值3，求a的值．
（3）若f（x）的值域是（0，+∞），求a的取值范围．
23．已知函数y=ax(a＞0且a≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为20，记 .
（1）求a的值；
（2）证明：f(x)＋f(1 x)=1；
24．已知函数f（x）=2x
（1）试求函数F（x）=f（x）+af（2x），x∈（﹣∞，0]的最大值；
（2）若存在x∈（﹣∞，0），使|af（x）﹣f（2x）|＞1成立，试求a的取值范围；
（3）当a＞0，且x∈[0，15]时，不等式f（x+1）≤f[（2x+a）2]恒成立，求a的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】指数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解： ∵x=1时，y=a0+1=2，
∴函数 y=ax-1+1 （a＞0且a≠1）的图象经过点（1，2）.
故选C.
【分析】根据指数函数y=ax（a＞0且a≠1）的图象与性质，即可得出结论．
2．【答案】C
【知识点】指数函数的概念与表示
【解析】【解答】由指数函数的定义得： ，
解得a＝2.
故答案为:C.
【分析】由指数函数的定义:形如y=ax(a>0且a ≠ 1)的函数叫指数函数,则ax前的系数为1,得到关于a的方程求a的值.
3．【答案】A
【知识点】指数型复合函数的性质及应用
【解析】解答：因为函数定义域为R，关于原点对称，又
，故 为奇函数。
分析：求出f(-x)与原函数对比，互为相反则为奇函数
4．【答案】C
【知识点】指数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：作辅助直线x=1，当x=1时，
y=ax，y=bx，y=cx，y=dx的函数值正好是底数a、b、c、d
直线x=1与y=ax，y=bx，y=cx，y=dx交点的纵坐标就是a、b、c、d
观察图形即可判定大小：b＜a＜d＜c
故选：C．
【分析】要比较a、b、c、d的大小，根据函数结构的特征，作直线x=1，与y=ax，y=bx，y=cx，y=dx交点的纵坐标就是a、b、c、d，观察图形即可得到结论．
5．【答案】C
【知识点】指数型复合函数的性质及应用
【解析】【解答】解：由函数可知不取，故排除B选项；
当时，，，故排除A，D选项。
故答案为：C
【分析】利用排除法，根据特殊值进行排除，又快又准确。
6．【答案】C
【知识点】指数函数的图象变换
【解析】【解答】解：要使函数有意义，则3x﹣1≠0，解得x≠0，∴函数的定义域为{x|x≠0}，排除A．
当x＜0时，y＞0，排除B．
当x→+∞时，y→0，排除D．
故选C．
【分析】分别根据函数的定义域，单调性，取值符号进行排除判断．
7．【答案】C
【知识点】指数函数单调性的应用
【解析】【解答】∵函数 在R上是减函数，又 ，∴ ，即ab，∴a【分析】结合题意利用指数函数的图象与性质即可得出结论。
8．【答案】D
【知识点】指数函数单调性的应用
【解析】【解答】当a＞1时，f(x)在( ∞， 1)上是增函数，在[ 1，＋∞)上是减函数，则函数f(x)在R上不是单调函数，故a＞1不合题意；当0＜a＜1时，f(x)在( ∞， 1)上是增函数，在[ 1，＋∞)上是增函数，又函数f(x)在R上是单调函数，则a( 1 1)＋1≤a ( 1)，解得a≥ ，所以实数a的取值范围是 ≤a＜1.
故答案为D.
【分析】分段函数在R上单调，则要求各段函数都单调，且要注意在分段点处的左段函数值与右段函数值的大小.
9．【答案】C
【知识点】指数函数的图象变换
【解析】【解答】设直线l的方程为 ，由 ，得 ，所以点 ．
由 ，得 ，所以点 ，从而|AB|＝1.
如图，
取AB的中点D，连接CD，因为△ABC为等边三角形，则CD⊥AB，
且|AD|＝ ，|CD|＝ ，所以点 .
因为点C在函数 的图象上，则 ，
解得 ，所以满足要求的直线l有且只有一条
故答案为：C.
【分析】设直线l的方程为 ，由指数式与对数式的互化公式，即由 ，得 ，所以点 ，由 ，得 ，所以点 ，从而|AB|＝1再利用图象结合中点的性质的等边三角形的性质得出CD⊥AB，且|AD|＝ ，|CD|＝ ，所以点 ，因为点C在函数 的图象上，则 ，解得 ，所以满足要求的直线l有且只有一条。
10．【答案】
【知识点】指数函数的概念与表示
【解析】【解答】
【分析】要是二次根式有意义， ，利用指数函数值域y>0,求出 的x值。
11．【答案】（ ，0）
【知识点】指数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：因为指数函数f（x）=（2a+1）x在R上的减函数，则0＜2a+1＜1，解得 ＜a＜0．
故答案为：（ ，0）．
【分析】本题解题的依据是指数函数的概念及单调性.指数函数的一般式为(a>0，a≠1)，当01时，函数为增函数.
12．【答案】3
【知识点】指数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】当 时，函数为减函数， ， ，则 ，方程无解；
当 时，函数为增函数， ， ，则 ，解得 ， 舍去
故答案为：3
【分析】分为 和 两种情况，结合函数的增减性求解即可.
13．【答案】解：由a2x﹣7＞a4x﹣1知需要进行分类，具体情况如下：
当a＞1时，∵y=ax在定义域上递增，
∴2x﹣7＞4x﹣1，解得x＜﹣3；
当0＜a＜1时，∵y=ax在定义域上递减，
∴2x﹣7＜4x﹣1，解得x＞﹣3；
综上得，当a＞1时，x的取值范围为（﹣∞，﹣3）；
当0＜a＜1时，x的取值范围为（﹣3，+∞）．
【知识点】指数函数单调性的应用
【解析】【分析】针对a取不同范围，结合指数函数的单调性，即可得出答案。
14．【答案】
【知识点】指数函数综合题
【解析】【解答】因为 ，所以 ，又 ，所以 ，解得 .
故答案为：.
【分析】指数型分段函数，已知多层函数值，求自变量的值，由外到内的原则得到关于a的方程求a的值.
15．【答案】
【知识点】指数函数单调性的应用
【解析】【解答】 ，
函数 在 上为减函数，
若 ，
则 ，
则 ，
解得 ，
故不等式 的解集为 ，
故答案为 .
【分析】根据题意可得函数 在 上为减函数，进而将题目转化为求解不等式 即可。
16．【答案】（﹣，0）
【知识点】指数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：由图象知函数为减函数，则0＜＜1，
二次函数y=ax2+bx的顶点的横坐标为x=﹣，
∵0＜＜1，
∴0＜＜，﹣＜﹣＜0，
即横坐标的取值范围是（﹣，0），
故答案为：（﹣，0）．
【分析】根据指数函数的图象求出的取值范围，利用二次函数的性质进行求解即可．
17．【答案】；
【知识点】指数型复合函数的性质及应用
【解析】【解答】因为 ,所以 ，即函数 的值域是
因为 单调递减， 在（1，+ ）上单调递减，因此函数 的单调递增区间是（1，+ ）.
【分析】本题利用复合函数求值域的方法求出值域，再利用求复合函数单调性的方法求出单调区间，注意复合函数单调性判断的法则，即同单调性为增函数，不同单调性为减函数。
18．【答案】4；2
【知识点】指数型复合函数的性质及应用
【解析】【解答】由 得x=0，由 得 ，故满足题意的定义域可以为 或 ，故区间[a，b] 的最大长度为4，最小长度为2．
故答案为:4;2.
【分析】已知函数的值域,求函数的定义域,由x=0时,函数取得最小值1,先求出使函数值为9时对应的x的值,分析得到可能的定义域,从而得到区间[a,b]的长度的最大最小值.
19．【答案】（1）解：∵f(x)定义域为 ，关于原点对称。
且 是奇函数；
（2）解：
即 的值域为 ；
（3）证明：设 ，且 ，
(∵分母大于零，且 )
∴ 是 上的增函数.
【知识点】指数型复合函数的性质及应用
【解析】 【分析】（1）判断函数奇偶性，先求定义域，关于原点对称再求f(-x)=-f(x),为奇函数；（2）求f(x)值域，先将f(x)化简，根据指数函数值域确定f(x)取值范围。（3）判断函数单调性，取值，作差，变形，定号。
20．【答案】（1）解：f（x）=ax（a＞0且a≠1）的图象经过点（2， ），
∴a2= ，∴a=
（2）解：∵f（x）=（ ）x在R上单调递减，又2≤b2+2，
∴f（2）≥f（b2+2）
【知识点】指数函数的图象与性质
【解析】【分析】1、本题考查的是由待定系数法求指数函数的解析式。
2、由指数函数 的单调性可得结果。
21．【答案】（1）解：由 的解集为 可知 且 .
则
（2）解： 的解集为R.
当 时，满足题意；
当 时，由 .
综上，
【知识点】指数函数单调性的应用
【解析】【分析】（1）根据不等式的解集与方程根的关系，即可求出实数a的值；
（2）根据指数函数的单调性，解不等式，将不等式恒成立问题转化，即可求出实数a的取值范围.
22．【答案】解：（1）当a=﹣1时，f（x）=，
令g（x）=﹣x2﹣4x+3，
由于g（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递增，在（﹣2，+∞）上单调递减，
而y=t在R上单调递减，
所以f（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递减，在（﹣2，+∞）上 单调递增，
即函数f（ x）的递增区间是（﹣2，+∞），递减区间是（﹣∞，﹣2 ）．
（2）令h（x）=ax2﹣4x+3，y=h（x），由于f（x）有最大值3，
所以 h（x）应有最小值﹣1，
因此=﹣1，
解得a=1．
即当f（x）有最大值3时，a的值等于1．
（3）由指数函数的性质知，
要使y=h（x）的值域为（0，+∞）．
应使h（x）=ax2﹣4x+3的值域为R，
因此只能有a=0．
因为若a≠0，则h（x）为二次函数，其值域不可能为R．
故 a的取值范围是{0}．
【知识点】指数函数综合题
【解析】【分析】（1）当a=﹣1时，f（x）=，令g（x）=﹣x2﹣4x+3，结合指数函数的单调性，二次函数的单调性和复合函数的单调性，可得f（x）的单调区间；
（2）令h（x）=ax2﹣4x+3，y=h（x），由于f（x）有最大值3，所以 h（x）应有最小值﹣1，进而可得a的值．
（3）由指数函数的性质知，要使y=h（x）的值域为（0，+∞）．应使h（x）=ax2﹣4x+3的值域为R，进而可得a的取值范围．
23．【答案】（1）解：函数y=ax(a＞0且a≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为20，
∴a＋a2=20，得a=4或a= 5(舍去)
（2）解：由（1）知 ，
∴ （3）求 的值．
解：由（2）知 ，
，
…
，
∴
【知识点】指数函数的概念与表示；指数函数综合题
【解析】【分析】(1)由指数函数的最值的和为20,得到关于a的方程求a的值;
(2)由f(x)的解析式证明f ( x ) + f ( 1 x )=1;
(3)由(2)的结论用倒序相加法求和.
24．【答案】解：（1）F（x）=f（x）+af（2x），x∈（﹣∞，0]
=2x+a 4x，令2x=t，（0＜t≤1），即有F（x）=at2+t，
a=0，即有最大值为1；a≠0时，对称轴为t=﹣，
讨论对称轴和区间的关系，即可得到，
（2）令2x=t，则存在t∈（0，1）使得|t2﹣at|＞1
所以存在t∈（0，1）使得t2﹣at＞1或t2﹣at＜﹣1
即存在t∈（0，1）使得a<或a>
∴a＜0或a＞2；
（3）由f（x+1）≤f[（2x+a）2]得x+1≤（2x+a）2恒成立
因为a＞0，且x∈[0，15]，所以问题即为恒成立
∴
设m（x）=-2x+令=t，则x=-1，t∈[1，4]
∴m(t)=-2(-1)+t=-2(t-)2+
所以，当t=1时，m（x）max=1，
∴a≥1
【知识点】指数函数综合题
【解析】【分析】（1）把f（x）代入到F（x）中化简得到F（x）的解析式求出F（x）的最大值即可；
（2）可设2x=t，存在t∈（0，1）使得|t2﹣at|＞1，讨论求出解集，让a大于其最小，小于其最大即可得到a的取值范围；
（3）不等式f（x+1）≤f[（2x+a）2]恒成立即为恒成立即要，根据二次函数求最值的方法求出最值即可列出关于a的不等式，求出解集即可．
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